P
r o g r a m a d eP
ó s- G
r a d u a ç ã o e mE
n g e n h a r i aM
e c â n i c aM
o d e l oM
a t e m á t i c o p a r a aS
o l u ç ã o d aC
a m a d aL
i m i t eT
u r b u l e n t aS
o b r eS
u p e r f í c i e sC
u r v a s D i s s e r t a ç ã o s u b m e t i d a ã U n i v e r s i d a d e F e d e r a l de S a n t a C a t a r i n a p a r a a o b t e n ç ã o do G r a u de M e s t r e em E n g e n h a r i a .{/JLSOM CARLOS VA SlLl/A FERREIRA
M
o d e l oM
a t e m á t i c o p a r a aS
o l u ç á o d aC
a m a d aL
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u r b u l e n t aS
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u r v a sV I L S O N CA RLOS DA S I L V A F E R R E I R A
E s t a d i s s e r t a ç ã o f o i j u l g a d a a d e q u a d a p a r a o b t e n ç ã o do Tí t u 1 o de " M E S T R E E M E N G E N H A R I A ” e s p e c i a l i d a d e : E n g e n h a r i a M e c â n i c a , á r e a : T e r m o t é c n i c a , e a p r o v a d a e m s u a f o r m a f i n a l p e l o p r o g r a m a de P ó s - G r a d u a ç ã o P r o f . A N T O N I O F A B I Ü C. DA S I L V A - M . S cp a ^ 4,
A
g r a d e c i m e n t o s - A U F R G S e C N E N p e l o s u p o r t e f i n a n c e i r o q u e p o s s i b i l i t ou a r e a l i z a ç ã o d e s t e t r a b a l h o ; - A U F S C p e l o se u c o r p o D o c e n t e a n o s s a d i s p o s i ç ã o ; - Ao o r i e n t a d o r P r o f . H y p p ó l i t o do V a l l e P e r e i r a F i l h o , p e l a d e d i c a ç ã o c o m q u e c o n d u z i u os n o s s o s e s t u d o s ; - A o s c o l e g a s C a r l o s D u t r a e Lutero, C. L i m a p e l a i n t e n s a c o l a b o r a ç ã o e a c o m p a n h a m e n t o d os e s t u d o s r e a l i z a d o s ; - Ao C P D - U F R G S q u e c o m a u t i l i z a ç ã o do B - 6 7 0 0 t o r n o u p o s s í v e l a r e a l i z a ç ã o d e s t e t r a b a l h o ; - A m i n h a f a m í l i a p e l o i n c e n t i v o r e c e b i d o ; e a t o d o s os q u e d i r e t a ou i n d i r e t a m e n t e c o n c o r r e r a m p.a ra o p e r f e i t o ê x i t o d e s t e ti-abalho os m e u s s i n c e r o s a- g r a d e c i m e n t o s .p-S I M B O L O G I A ... i R E S U M O ... i v A B S T R A C T ... v i 1 - I N T R O D U Ç Ã O ... 1 2 - A P R E S E N T A Ç Ã O D O P R O B L E M A ... 6 2 . 1 - E q u a ç õ e s G e r a i s ... 6 2 . 2 - O r d e m d e G r a n d e z a d a s E q u a ç õ e s ... 10 2 . 3 - H i p ó t e s e s d e F e c h a m e n t o ... 1 2 2 . 3 . 1 - P a r â m e t r o d e e s t r u t u r a ... 1 3 2 . 3 . 2 - T e r m o d i f u s ã o ... ... 1 3 2 . 3 . 3 - T e r m o d i s s i p a ç ã o v i s c o s a ... 14 3 - T R A T A M E N T O N U M É R I C O ... 1 8 3 . 1 - A d i m e n s i o n a l i z a ç ã o ... 19 3 . 2 - D i s c r e t i z a ç ã o ... 20 3 . 3 - F l u x o g r a m a ... 2 5
p-4 - A N A L I S E d o s R E S U L T A D O S ... 2 8 4 . 1 - R e s u l t a d o s O b t i d o s ... ... 29 4 . 1 . 1 - D i a g r a m a s d e v e l o c i d a d e s ... 29 4 . 1 . 2 - D i a g r a m a s d e e n e r g i a c i n é t i c a ... 30 4 . 1 . 3 - C o e f i c i e n t e s f i n a i s ... 31 4 . 2 - A n á l i s e F i n a l ... 33 4 . 2 . 1 - D a d o s i n i c i a i s ... ... 33 4 . 2 . 2 - C o n c l u s õ e s ... 36 B I B L I O G R A F I A ... ... 39 A N E X O S A N E X O 1 - P R O C E S S O D E M É D I A ... 42 A N E X O 2 - E Q U A Ç Ã O D A E N E R G I A C I N É T I C A T U R B U L E N T A ____ 47 A N E X O 3 - O R D E M D E G R A N D E Z A ... . 5 3 A N E X O 4 - A D I M E N S I O N A L I Z A Ç Ã O ... 6 2 A N E X O 5 - D I S C R E T I Z A Ç Ã O ... 6 7 A N E X O 6 - M O D E L O M A T E M Ã T I C O ... 76 A N E X O 7 - D I A G R A M A S O B T I D O S ... 7 7
Cj, Dj C o e f i c i e n t e s da e q u a ç ã o d i f e r e n c i a l l i n e a r i z a d a . BK R a z ã o da p r o g r e s s ã o g e o m é t r i c a p a r a o c r e s c i m e n t o d o s i n t e r v a l o s na d i r e ç ã o y C^ C o n s t a n t e d i s s i p a t i v a C o n s t a n t e p a r a o p e r f i l i n i c i a l de v e l o c i d a d e s . C^ C o e f i c i e n t e de F r i c ç ã o . T e r m o d e d i s s i p a ç ã o v i s c o s a na e q u a ç ã o da e n e r g i a c i n é t i c a . y Gj , gj C o e f i c i e n t e s da f u n ç ã o s o l u ç ã o d a s m a t r i z e s t r i -d i a g o n a i s . H F a t o r de f o r m a . H ’ F u n ç ã o d e f i n i d a em (6 .2 ] KC y] P a r â m e t r o de e s t r u t u r a .
K C o n s t a n t e = 0 , 4 L^, L ^ , E s c a l a s de g r a n d e z a s . C o m p r i m e n t o de d i s s i p a ç ã o , n E x p o e n t e d e f i n i d o p e l a e q u a ç ã o Í33> P' F l u t u a ç ã o de p r e s s ã o . P P r e s s ã o m é d i a . X I Q ’ E n e r g i a c i n é t i c a t u r b u l e n t a d e f i n i d a c o m o l/2Cu^u^). Q E n e r g i a c i n é t i c a .m é d i a . R s N ú m e r o de R e y n o l d s b a s e a d o no d i â m e t r o , R§ N ú m e r o de R e y n o l d s b a s e a d o em 6 . R 5 * N ú m e r o de R e y n o l d s b a s e a d o em ô* . R N ú m e r o de R e y n o l d s b a s e a d o em 0 . o rQ C o n s t a n t e i g u a l a 110. U o ( x ) V e l o c i d a d e do e s c o a m e n t o p o t e n c i a l . Uoo V e l o c i d a d e do e s c o a m e n t o p o t e n c i a l nã o p e r t u r b a d o Uj_ íu ou V) v e l o c i d a d e s i n s t a n t â n e a s , uí ' C u ' ou V ’ ] f l u t u a ç õ e s d e v e l o c i d a d e s . U J {u ou U ] v e l o c i d a d e s m é d i a s , u* V e l o c i d a d e de f r i c ç ã o . V e l o c i d a d e a d i m e n s i o n a l i z a d a s e g u n d o u / u *
V V e l o c i d a d e a d i m e n s i o n a l l z a d a s e g u n d o U/í/o - Çiu' '0 ' T e n s o r de R e y n o l d s . V V e l o c i d a d e d e f i n i d a em (4,5). X C o o r d e n a d a na d i r e ç ã o do e s c o a m e n t o . y C o o r d e n a d a n o r m a l ao e s c o a m e n t o . y ’*' T r a n s f o r m a ç ã o de c o o r d e n a d a s e g u n d o y u * . V a ( x , y ] F u n ç ã o d e f i n i d a em (6 .1 ]. 3 C o n s t a n t e i g u a l a 0,2. 6 E s p e s s u r a da c a m a d a l i m i t e a u / U o = 0 , 9 8 9 9 . £ ’ C r i t é r i o de e r r o . e " C r i t é r i o de c o n v e r g ê n c i a . 0 E s p e s s u r a de m o m e n t o , y V i s c o s i d a d e a b s o l u t a . V V i s c o s i d a d e c i n e m á t i c a . ^ N o v a c o o r d e n a d a na d i r e ç ã o x . ri N o v a c o o r d e n a d a na d i r e ç ã o y . p D e n s i d a d e . <j).33 F u n ç ã o d e f i n i d a p e l a t a b e l a C6 .ll Xj, F o r ç a s de c a m p o
M
o d e l oM
a t e m á t i c o p a r a aS
o l u ç ã o d aC
a m a d aL
i m i t eT
u r b u l e n t aS
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u p e r f í c i e s c u r v a s R e s u m o P a r a a d e t e r m i n a ç ã o d a s g r a n d e z a s do e s c o a m e n t o t u r b u l e n to i n c o m p r e s s í ve 1 ( m é d i o ) , t r ê s e q u a ç õ e s f u n d a m e n t a i s f o r a m u t i l i z a d a s : a e q u a ç ã o da c o n s e r v a ç ã o d a m a s s a , d a c o n s e r v a ç ã o do m o v i m e n t o e a da e n e r g i a c i n é t i c a t u r b u l e n t a . Há no e n t a n t o , no s i s t £ ma a s s i m f o r m a d o , um p r o b l e m a de f e c h a m e n t o o r i g i n a d o , no p r o c e s s o de m é d i a , p e l a n ã o l i n e a r i d a d e d a s e q u a ç õ e s J). P a r a l e v a n t a r - s e e s t a d i f i c u l d a d e e m p r e g o u - s e um m o d e l o m a t e m á t i c o de t u r b u l ê n c i a r e l a c i o n a n d o ; t e n s ã o t u r b u l e n t a c o m e n e r g i a c i n é t i c a t u r b u l e n t a ( p a r â m e t r o de e s t r u t u r a ) , d i s s i p a ç ã o v i s c o s a c o m a e n e r g i a c_i n é t i c a e c o m o c o m p r i m e n t o de d i s s i p a ç ã o e f i n a l m e n t e o t e r m o de di f u s ã o da e n e r g i a c o m o . g r a d i e n t e d a e n e r g i a c i n é t i c a ao l o n g o da ca m a d a l i m i t e . F e i t a s as s i m p l i f i c a ç õ e s p r ó p r i a s da c a m a d a l i m i t e e s u b s t i t u i n d o - s e as r e l a ç õ e s do m o d e l o t u r b u l e n t o o b t e v e - s e um s i s t e m a de t r ê s e q u a ç õ e s d i f e r e n c i a i s , n ão l i n e a r e s , a c o p l a d a s e m c o o r d e n a d a s c u r v i l í n e a s .A s o l u ç ã o a n a l í t i c a é d i f i c u l t a d a p e l a n ã o linearidade das e q u a ç õ e s do m o v i m e n t o e da e n e r g i a c i n é t i c a . P a r a c o n t o r n a r e s t e p r o b l e m a , 1 i n e a r i z o u - se o m o d e l o n u m é r i c o a s s o c i a d o . U t i l i z o u - s e um m é t o d o i m p l í c i t o de d i f e r e n ç a s f i n i t a s a p r o v e i t a n d o a c a r a c t e r í s t i ca t r i d i a g o n a l d a s m a t r i z e s o b t i d a s .
A
b s t r a c t In o r d e r to c a l c u l a t e the p a r a m e t e r s i n v o l v e d in m e a n i n c o m p r e s s i b l e t u r b u l e n t f l o w , t h e c o n t i n u i t y e q u a t i o n , t h e m o m e n t u r n e q u a t i o n s a n d the t u r b u l e n t K i n e t i c en e r g y , e q u a t i o n , w e r e u s e d . T h i s s y s t e m of d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s p r e s e n t s a c l o s u r e p r o b l e m o r i g i n a t i n g in t he t i m e - a v e r a g e d p r o c e d u r e d ue the n o n - l i n e a r i t yof the e q u a t i o n s . To r e s o l v e this difficulty a m a t h e m a t i c a l
m o d e l of t u r b u l e n c e r e l a t i n g t u r b u l e n t s h e a r s t r e s s to t u r b u l e n t k i n e t i c e n e r g y ( s t r u c t u r e p a r a m e t e r ) . v i s c o u s d i s s i p a t i o n to d i s s i p a t i o n l e n g t h a n d t he d i f f u s i o n t e r m to t h e t u r b u l e n t k i n e t i c e n e r g y g r a d i e n t , w a s u s e d .
A f t e r s o m e a p p r o p r i a t e s i m p l i f i c a t i o n s to t h e t u r b u l e n t m o d e l c o n c e r n i n g the b o u n d a r y l a y e r , a s y s t e m of three two-dimensional, c o u p l e d p a r t i a l d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s in c u r v i l i n e a r c o o r d i n a t e s w a s r e a c h e d .
T h e n o n - l i n e a r i t y in the m o m e n t u m e q u a t i o n a n d k i n e t i c e n e r g y e q u a t i o n c a u s e a g r e a t d i f f i c u l t y to f i n d an a n a l y t i c a l s o l u t i o n . To r e s o l v e t h i s p r o b l e m , the a s s o c i a t e d n u m e r i c a l m o d e l , w a s l i n e a r i z e d . A n i m p l i c i t f i n i t e d i f f e r e n c e m e t h o d u s i n g the t r i d i a g o n a l c h a c a r t i s t i c of th e m a t r i x e s w a s u s e d .
I
n t r o d u ç ã o 0 p r e s e n t e t r a b a l h o t e m p o r o b j e t i v o a d e t e r m i n a ç ã o do s d i v e r s o s p a r â m e t r o s do e s c o a m e n t o t u r b u l e n t o s o b r e s u p e r f í c i e s c u r vas, e m p r e g a n d o as e q u a ç õ e s d a c o n s e r v a ç ã o d a m a s s a , do m o v i m e n t o e da e n e r g i a c i n é t i c a t u r b u l e n t a . C o n c e n t r o u - s e e s t e e s t u d o na c a m a d a l i m i t e e p r i n c i p a l m e n t e p r ó x i m o â p a r e d e , já q u e a l i t e m - s e g r a d i e n t e s a c e n t u a d o s e é p r e d o m i n a n t e o e f e i t o da v i s c o s i d a d e . 0 e s t u d o da h i d r o d i n â m i c a s o f r e u c o m L u d w i g Prandtl (1904), i m p o r t a n t e m o d i f i c a ç ã o c o n c e i t u a i . A t e o r i a da c a m a d a l i m i t e d i v i d i u o e s c o a m e n t o em d u a s r e g i õ e s : a p o t e n c i a l e a v i s c o s a (onde a r e s i s t ê n c i a ao e s c o a m e n t o e s t á c o n c e n t r a d a A p a r t i r d e s t a d a t a , m u i t o se t e m p e s q u i s a d o s o b r e o c o m p o r t a m e n t o da c a m a d a l i m i t e s ob d i v e r s a s c o n d i ç õ e s . 0 e s c o a m e n t o l a m i n a r s o f r e u a t e n ç ã o e s p e c i a l de i n í c i o . A p e s a r da r e l a t i v a c o m p l e x i d a d e d a s e q u a ç õ e s , f o i p o s s í v e l o b t e r - se s o l u ç õ e s a n a l í t i c a s ( a i n d a q u e a p r o x i m a d a s ) c o m e x c e l e n t e r e s u l t a d o . □ m e s m o n ã o se p o d e d i z e r do e s c o a m e n t o t u r b u l e n t o . A m a i o r i a d e s t e s t r a b a l h o s t e m c a m p o de v a l i d a d e r e s t r i t o as c o n d i ç õ e sA g r a n d e d i f i c u l d a d e na s o l u ç ã o do e s c o a m e n t o t u r b u l e n t o é o a p a r e c i m e n t o de n o v a s v a r i á v e i s no s i s t e m a , o r i g i n a d a s p e l o p r £ c e s s o de m é d i a e s t a t í s t i c a {T^mz-avQ,fiagz] ^ . ( A n e x o 1 e 2]. As n o vas v a r i á v e i s i n t r o d u z i d a s t o r n a m o s i s t e m a i n d e t e r m i n a d o . 0 p r ó p r i o p r o c e s s o de m é d i a p o d e mais e q u a ç õ e s , p o r é m r e a l m e n t e n ã o s o l u c i o n a o p r o b l e m a de i n d e t e r m i n a ç ã o . J u n t o c o m a n o v a e q u a ç ã o c r i a d a , a p a r e c e um n ú m e r o a i n d a m a i o r de n o v a s v a r i á v e i s d e p e n d e n t e s . 0 p r o b l e m a de f e c h a m e n t o é r e a l m e n t e r e s o l v i do c o m 0 a u x í l i o de um m o d e l o m a t e m á t i c o q u e r e l a c i o n a as n o v a s v a r i á v e i s e n t r e si, ou c o m g r a d i e n t e s d a s v a r i á v e i s p r i n c i p a i s . (-') A m e d i d a q u e se a u m e n t a o n ú m e r o de e q u a ç õ e s o s i s t e m a se t o r n a a n t i - e c o n ô m i c o , s o b o p o n t o de v i s t a de t e m p o de c o m p u t a ç ã o , a l é m de e l e v a r o g r a u de c o m p l e x i d a d e do p r o b l e m a . G m o d e l o m a t e m á t i c o e m p r e g a d o no p r e s e n t e t r a b a l h o é c o m p o s t o de t r ê s r e l a ç õ e s a u x i l i a r e s : R e l a ç ã o e n t r e a t e n s ã o t u r b u l e n t a e a e n e r g i a c i n é t i ca t u r b u l e n t a - " P a r â m e t r o de E s t r u t u r a " — R e l a ç ã o e n t r e a d i s s i p a ç ã o v i s c o s a e a e n e r g i a c i n é t i ca — R e l a ç ã o e n t r e o t e r m o de d i f u s ã o e o g r a d i e n t e de e n e r g i a c i n é t i c a ( A n e x o 6 ). (*) V a l e r e g i s t r a r q u e o m o d e l o m a t e m á t i c o de D a v i d o v e m p r e g a 23 e- q u a ç o e s de t r a n s p o r t e e n q u a n t o q u e o de K o l a v a d i n , 28 e q u a ç õ e s .
A s s i m m o n t o u - s e um s i s t e m a p o s s í v e l de t r ê s e q u a ç õ e s d i f e r e n c i a i s a t r i s i n c ó g n i t a s . N u i t o se t e m e m p r e g a d o a e q u a ç ã o da e n e r g i a c i n é t i c a j u n - to c o m as d e m a i s e q u a ç õ e s b á s i c a s ( c o n t i n u i d a d e e m o v i m e n t o ] p a r a a s o l u ç ã o da c a m a d a l i m i t e . P a r a a p l a c a p l a n a , M c D o n a l d ^ p r e f e r i u s o l u c i o n a r as t r ê s e q u a ç õ e s p o r m e i o de u m m é t o d o i n t e g r a l . Já M e l l o r e Herring** r e s o l v e r a m o m e s m o s i s t e m a p o r d i f e r e n ç a s f i n i t a s e a d o t a r a m c o m o m o d e l o m a t e m á t i c o de f e c h a m e n t o r e l a ç õ e s e n v o l v e n d o o c o m p r i m e n t o de m i s t u r a de P r a n d t l . P e r e i r a F i l h o ® r e s o l v e u a p l a c a p l a n a c o m e s e m g r a d i e n t e de p r e s s ã o , a c o p l a n d o ao s i s t e m a m a i s u m a e q u a ç ã o a do t r a n s p o r t e de d i s s i p a ç ã o v i s c o s a ao l o n g o da c a m a d a l i m i t e . Va le r e g i s t r a r os t r a b a l h o s de A k a t n o v e T u l ’b e r t ® p u b l i c a d o s e m Le- n i n g r a d o , p a r a um e s c o a m e n t o s o b r e p l a c a p l a n a e i n t e r i o r de t u b o s ( s e c ç ã o c i r c u l a r e r e t a n g u l a r ] q u e a l é m da e q u a ç ã o da e n e r g i a u t i -l i z a r a m a e q u a ç ã o do t e n s o r de R e y n o -l d s u ' v * - B u r b a n K e F i l l o ^ t a m b é m r e s o l v e r a m a p l a c a p l a n a e no m o d e l o de f e c h a m e n t o u t i l i z a r a m o p a r â m e t r o de e s t r u t u r a a s s i m c o m o se e s t á f a z e n d o . A m a i o r i a d o s r e s u l t a d o s t e ó r i c o s p a r a a p l a c a p l a n a é c o m p a r a d a c o m os d a d o s e x p e r i m e n t a i s de K l e b a n o f f ® ou c o m os de W i e g h a r d t ® . P a r a s u p e r f í c i e s c u r v a s ou s õ l i d o s de r e v o l u ç ã o g r a n d e njj m e r o de t r a b a l h o s ( p r i n c i p a l m e n t e e x p e r i m e n t a i s ) já f o r a m a p r e s e n t a d o s . C e b e c i ^ ® a n a l i s o u o e s c o a m e n t o s o b r e c o r p o s de r e v o l u ç ã o c o m f l u x o a x i a l e m p r e g a n d o a p e n a s d u a s e q u a ç õ e s ( c o n t i n u i d a d e e m o v i m e n t o ) e p a r a o f e c h a m e n t o , os c o n c e i t o s de P r a n d t l e f a t o r de I n
-t u d o -t e ó r i c o a b r a n g e n d o d e s d e o e s c o a m e n -t o l a m i n a r a -te o -t u r b u l e n to s o b r e s ó l i d o s de r e v o l u ç ã o . P e s q u i s o u d e t a l h a d a m e n t e a c o n v e r g ê n c i a d o s r e s u l t a d o s e m f u n ç ã o da m a l h a de d i f e r e n ç a s f i n i t a s . D os t r a b a l h o s e x p e r i m e n t a i s s o b r e s u p e r f í c i e s c u r v a s a d u a s d i m e n s õ e s , d o i s p o d e m s e r f a c i l m e n t e r e p r o d u z i d o s t e ó r i c a m e n t e . 0 p r i m e i r o , de So e N e l l o r ^ ^ , a n a l i s a o e f e i t o da c u r v a t u r a c o n v e x a na c a m a d a l i m i t e . Q r a i o de c u r v a t u r a é v a r i á v e l e a s u p e r f í c i e c ô n c a v a e n v o l v e n t e é f l e x í v e l a f i m de a j u s t a r o e s c o a m e n t o p o t e n c i a l a um p e q u e n o g r a d i e n t e de p r e s s ã o , ü s e g u n d o é de S h i v a p r a s a d e R a m a - p r i a n ^ ^ , ^ . E s t e e n v o l v e e s c o a m e n t o s o b r e s u p e r f í c i e l e v e m e n t e c u £ va ( c ô n c a v a e c o n v e x a ] c o m r a i o c o n s t a n t e . E n t r e o u t r a s g r a n d e z a s a n a l i s a d a s o p a r â m e t r o de e s t r u t u r a é d e t e r m i n a d o a c a d a e s t a ç ã o t a n t o p a r a a p a r t e c ô n c a v a q u a n t o p a r a a c o n v e x a . L i m i t a ç õ e s : A p e s a r da p r e t e n d i d a g e n e r a l i z a ç ã o q u e se d e s e j o u d a r ao p r o b l e m a , a c r e d i t a - s e q u e e s t á l i m i t a d o d e v i d o as s u c e s s i v a s s i m p l i f i c a ç õ e s e a r t i f í c i o s m a t e m á t i c o s e m p r e g a d o s c o m a f i n a l i d a d e de se o b t e r um s i s t e m a p a s s í v e l de s o l u ç ã o . A s s i m : * A a n á l i s e da o r d e m de g r a n d e z a , c o m os c r i t é r i o s da c a m a d a l i m i t e , e l i m i n o u d i v e r s o s t e r m o s de p e q u e n a o r d e m . . . * A i n t r o d u ç ã o do m o d e l o m a t e m á t i c o p o r si s ó . . . * A i n t r o d u ç ã o do m o d e l o m a t e m á t i c o p r ó p r i o da p l a c a pl_a na e m s u p e r f í c i e s c u r v a s . . .
* E o u t r a s c o n s i d e r a ç õ e s , t a i s c o m o a e l i m i n a ç ã o s i s t e m á t i c a d a s f o r ç a s de c a m p o C g r a v l t a c i o n a i s ] t o r n a m o r e s u I t a d o r e s t r i t o , E n t â o , s e m a c o m p r o v a ç ã o de o u t r o s c a s o s , l i m i t a - s e o p r £ g r a m a a : — E s c o a m e n t o s i n c o m p r e s s í v e i s , c o m f l u í d o s de b a i x o p e s o e s p e c í f i c o . — A r e g i ã o f í s i c a e s t a r á d e l i m i t a d a a
pouco
a l é m do p o n to de e s t a g n a ç ã o epouc.0
a q u é m do p o n t o de s e p a r a ç ã o . — E s c o a m e n t o s c o m g r a d i e n t e s de p r e s s ã o n ã o m u i t o a c e n t u a d o s . — E s c o a m e n t o s s o b r e s u p e r f í c i e s c o m c u r v a t u r a i n f e r i o r a t(S/R < 0 , 1 ) .S e r ã o a p r e s e n t a d a s n e s t e c a p í t u l o as e q u a ç õ e s f u n d a m e n t a i s do p r o b l e m a e a o b t e n ç ã o da e q u a ç ã o da e n e r g i a c i n é t i c a t u r b u l e n t a p o r m e i o do p r o c e s s o de m é d i a . As n o v a s v a r i á v e i s i n t r o d u z i d a s p o r e s t e p r o c e s s o ( p r o d u t o s de f l u t u a ç õ e s t a i s c o m o : u'^u'^ ,
W;Ip’, u'^u’ ^ u ’ f o r a m r e l a c i o n a d a s c o m o m o d e l o m a t e m á t i c o .'A n a l i s o u - s e a s e g u i r a o r d e m de g r a n d e z a d o s t e r m o s d a s e q u a ç õ e s e foi m o n t a d o um s i s t e m a de e q u a ç õ e s d i f e r e n c i a i s p a r c i a i s , n ã o l i n e a r e s e m c o o r d e n a d a s c u r v i l í n e a s a d u a s d i m e n s õ e s .
2. 1 - E
q u a ç õ e sG
e r a i s Na f o r m a m a i s g e r a l , as e q u a ç õ e s f u n d a m e n t a i s de u m e s c o a m e n t o i n c o m p r e s s í v e 1 em n o t a ç ã o t e n s o r i a l * ® são: 1 u (2) 11 = - p l ' H. y w i J . \ j } I jo n d e Cl} é a e q u a ç ã o da c o n s e r v a ç ã o da m a s s a (c o n t i n u i d a d e ] e (2 ) a e q u a ç ã o de N a v i e r - S t o k e s . 0 s i s t e m a a s s i m a p r e s e n t a d o é p a s s í v e l de s o l u ç ã o , p o i s t e m o s q u a t r o g r a n d e z a s d e s c o n h e c i d a s P) e q u a t r o e q u a ç õ e s . A s e g u i r , d e s p r e z o u - s e o e f e i t o d as f o r ç a s c a m p o s m p r e s e n ç a d a s f o r ç a s de i n é r c i a , v i s c o s i d a d e e de c o n t a t o . C o m o a p r o p o s i ç ã o e r a d e t e r m i n a r o e s c o a m e n t o i n c o m p r e s - s í v e l s o b r e s u p e r f í c i e s c u r v a s , h a v i a n e c e s s i d a d e de um s i s t e m a de r e f e r i n c i a c o m p a t í v e l c o m e s t a s i t u a ç ã o . 0 s i s t e m a de c o o r d e n a d a s e m p r e g a d o é ta l q u e o e i x o d o s x s e g u e a s u p e r f í c i e c u r v a e o e i x o d o s y a e l a é n o r m a l a c a d a p o n t o (Fig. 1) 7 CFig. 1) P a r a r e g i m e p e r m a n e n t e e as c o o r d e n a d a s a s s i m d e f i n i d a s a e q u a ç ã o da c o n t i n u i d a d e e a de N a v i e r - S t o k e s s ã o f o r n e c i d a s p o r S c h l i c h t i n g ^ ® e p o r M i I n e - T h o m p s o n ^ ^ ; (3)
í1j± . l Í l M . R2 R 9X (4) ^ ^ - f lál dx d)/ R i 9P p a y V 1 Î Ü - 2£ _ l ü + £ 1 !^ + 3 V R 3x R 3y 3X2 R2 R2 dx R2 ^ dx 3x (5 3 o n d e a f u n ç ã o f é d e f i n i d a c o m o : / ( x , y ) R(x] R ( X ) + y e R(x) é o i n v e r s o da c u r v a t u r a . As e q u a ç õ e s a c i m a (3), (43 e (5) s ã o g e r a i s ; v á l i d a s p o r t a n t o p a r a o e s c o a m e n t o l a m i n a r e t u r b u l e n t o ( i n s t a n t â n e o } . Como não há i n t e r e s s e no e s c o a m e n t o i n s t a n t â n e o ( r a n d ô m i c o ) , m a s s i m no s e u e f e i t o f i n a l , o b t e v e - s e a e q u a ç ã o p a r a o e s c o a m e n t o m é d i o . Assim de c o m p o n d o as g r a n d e z a s i n s t a n t â n e a s em: u -V -P P ü + u ' V + v ' P' + P ' e s t e = p (B) 0 t e r m o q u e c o n t é m a b a r r a (—3 é o v a l o r m é d i o d a g r a n d e za e o q u e c o n t é m a a p ó s t r o f e ( ’3 é o v a l o r de s u a f l u t u a ç ã o . I n t r o d u z i n d o as r e l a ç õ e s (63 n as e q u a ç õ e s (33, (43 e (53 e u t i l i z a n do a t é c n i c a da m é d i a ^ o b t i d a s c o n f o r m e a n e x o 1 , as e q u a ç õ e s do
e s c o a m e n t o m é d i o : 9x 8 y C7] f u 3x + V dy Rf ---- f 9P + f r u y = - - ^ ^ + R 3x R2 dx p 9x dR du R 2 ^ dx 8 x f- 3x2
,
3y3 n uG f
*4 )
- f-3u /23 X y 3 ü ~ ^ 3y (8 ) 3y 1 P 9yÈ L + V 3y \3y i £ lR l ü . 3x R2 dx . 4 llíi . £ 1 dR ^ 3x2 r 2 - ^ (R \ U + dR 3u ^ ^ dx 3x dV J è u ' v ' 3y - /■ 3x ) (9) e j u n t a n d o a e q u a ç ã o da e n e r g i a c i n é t i c a (1 0 ) o b t i d a no a n e x o 2 ao s i s t e m a de e q u a ç õ e s : f u 3Q - 3Q 3 X + V 3y ( 3y 3x - R / t p I V 'P , m R 3y ) , 2 3y _ 3y 3 z; 'g _ 3z; 'Q _ _1 R 3y p f du 'P ' 3 X 3y V D t p I V 'P + V 3x2 3 y • (1 0) C o m u m a r á p i d a i n s p e ç ã o no s i s t e m a a s s i m f o r m a d o i d e n t i f i c a - s e c o m o g r a n d e z a s d e s c o n h e c i d a s : "i -!► U, U i jU ^ P ’ --- >- U * P ' . V^P ' [ U ; . + U ■. . ] U ; . ^ D i,j j , 1 j , 1 — * e P obtendo-se assim um s i s t e m a c o m m a i s i n c ó g n i t a s q u e e q u a ç õ e s . A a n á l i s e da o r d e m de g r a n d e z a c o n t o r n o u em p a r t e o p r o b l e m a da i n d e t e r m i n a ç ã o p o i s m u i t o s d o s t e r m o s d e s p r e z a d o s l e v a r a m c o n s i g o a l g u m a s i n c ó g n i t a s .
2.2 - O
r d e m d eG
r a n d e z a d a sE
q u a ç õ e s F e l i z m e n t e , n e m t o d o s os t e r m o s do s i s t e m a de e q u a ç õ e s t e m a m e s m a o r d e m de g r a n d e z a . A s s i m u ns f o r a m d e s p r e z a d o s em p r e s e n ç a de o u t r o s de m a i o r o r d e m . D e f i n i u - s e e n t ã o , as e s c a l a s de g r a n d e z a s e g u n d o a d i r e ç ã o X e na d i r e ç ã o Y. P a r a a c a m a d a l_i m i t e t e r e m o s : - ô , tal q u e G Li' » 0 e 0 L. 2 - . M -4<« 1
( 1 1 ] 1 A d m i t i u - s e R ( x ) c o m o s e n d o da o r d e m de E e n t ã o : _ üCLi) 0 (L i ) ^ R ( x ] + y 0 ( L i ) + 0 ( L ] 0 ( L i ) ^ ^ A s s i m a e q u a ç ã o da c o n t i n u i d a d e f i c a r á□
(2)
^
^ + 0(13 — 1- = Q
(13)
G ( L i ) 0 ( L 2 ) 0 ( L i ) ^ir
T 4- • 1 •
^
0 (Li )
E m u l t i p l i c a n d o p o r ~ õ T Ü ) " 0 (y) 0 ( L 2 ) 11 e foi p o s s í v e l c o n c l u i r ; 0 (U) _ 0 (L 2 ) Õ T 5 T - õ õ T T ' ‘ i ' ' > A s s u m i u - s e a i n d a : E p a r a as f l u t u a ç õ e s de v e l o c i d a d e s : 0 [ V ) ^ 0 [T J T ^ ) == Q í u ' ^ ) ^ 0 ( y ' M □ (Q) ü ( £ M _ (16) S u b s t i t u i n d o e s t a s r e l a ç õ e s n a s e q u a ç õ e s do m o v i m e n t o e da e n e r g i a c i n é t i c a e, a p ó s as m a n i p u l a ç õ e s a l g é b r i c a s n e c e s s á r i a s ( a n e x o 3), c h e g o u - s e as e q u a ç õ e s (17), (18), (19) e (20). N e l a s fo-^ ^ 1 ü d z ) 0 ( £ M r a m d e s p r e z a d o s os t e r m o s c o n t e n d o 7^77^—r- , —-7-— r- e 7r r_jõ-v na p r i -U L K g J U L L i J ^ ^ u J m e i r a e q u a ç ã o do m o v i m e n t o ; t o d o s os t e r m o s da s e g u n d a e q u a ç ã o do-
nri 1
0(AP) 0(Li)
^
^
^
m o v i m e n t o c o m e x c e ç ã o D d , ) , --- --- — ; e d e s p r e z a d o s os t e r m o s P Q ( L f ) Q ( W ^ )
F i n a l m e n t e o b t e v e - s e : z>- 9 “ , - _ / 9P , ,, d f'du , _^u'^ “ Î 7 - - p Ï 7 ♦ Î 7 W + V J _ 9y (17) (18] f ü l ^ i. i P R p 9y (19] + V - y ' rq + P / p J + 3Q ÏÏ7 - v ’ ( Q + P / p ; + V - V D (2 0] O n d e as i n c ó g n i t a s a g o r a são u . 1 U , V u ’u ’ --- 2Q 1 J ÏT1P' u^Q, u ^ P ’ ÿ ~ ^ , v ’ p ' P e D (em n ú m e r o de o i t o ]
2.3 - H
i p ó t e s e s d eF
e c h a m e n t o P a r a t o r n a r 0 s i s t e m a c o m p o s t o p e l a s e q u a ç õ e s C17], C I 8 ], (19) e (20] s o l ú v e l , u t i l i z o u - s e u m c o n j u n t o de r e l a ç õ e s a u x i l i a r e s ( m o d e l o m a t e m á t i c o ] p r o c u r a n d o r e l a c i o n a r as v a r i á v e i s o r i g i n a d a s p e l o p r o c e s s o de m é d i a c o m as v a r i á v e i s f u n d a m e n t a i s (Uj v e Q].2 , 3 , 1 - P A R Â M E T R O DE E S T R U T U R A
A p r i m e i r a d a s r e l a ç õ e s a u x i l i a r e s s u r g i u c o m a a n á l i s e do c o m p o r t a m e n t o do t e n s o r de R e y n o l d s e da e n e r g i a c i n i t i c a t u r b u l e n t a ao l o n g o da c a m a d a l i m i t e . T a n t o p a r a a p l a c a p l a n a ^ ' ® q u a n to p a r a s u p e r f í c i e s c u r v a s ^ ^ o c o m p o r t a m e n t o d e s t a s d u a s g r a n d e z a s é s i m i l a r . T a l é a s e m e l h a n ç a que, ao se f a z e r a r a z ã o e n t r e o t e n s o r t u r b u l e n t o p e l o d o b r o da e n e r g i a c i n é t i c a é o b t i d o um f a t o r p r a t i c a m e n t e c o n s t a n t e e i g u a l a 0 , 1 5 na r e g i ã o c e n t r a l da c a m a d a l i m i t e . C h a m a - s e e s t e f a t o r de " P a r â m e t r o de E s t r u t u r a " =K[y). ( A n e x o 6 ] 13 A s s i m : 2Q E n t ã o K ( y ) K -t
PIP'
= 2KQ ( 2 1 )2 . 3 . 2 - T E R M O DE D I F U S Ã O
A s e g u n d a r e l a ç ã o a u x i l i a r , n e c e s s á r i a ao f e c h a m e n t o , en g l o b a as v a r i a v e i s v ’Q e v ’P ’ e x i s t e n t e s na e q u a ç a o da e n e r g i a c i n é t i c a t u r b u l e n t a . C o s t u m a - s e a g r u p a r os t e r m o s c o n t e n d o e s t a s v a r i á v e i s e i d e n t i f i c á - l o s c o m o " D i f u s ã o " da e n e r g i a c i n é t i c a . A s s i m , p a r a c o o r d e n a d a s c u r v i l í n e a s t i r a m o s da e q u a ç ã o (2 0 ):D i f u s ã o = 9y - ü' (Q + P’/p] + V 9Q 9y - y ' (Q + P’/p} + + V 9q 3y i 2 2 ) 0 p r i m e i r o m e m b r o da e x p r e s s ã o a c i m a (2 2 ] p o d e s e r i d e n t i f i c a d o c o m o um t e r m o de d i f u s ã o s e m o e f e i t o da c u r v a t u r a ( p l a c a p l a n a ] ( 2 1 ] “*. A s s o c i o u - s e e s t e m e m b r o a s e g u i n t e r e l a ç ã o m a t e m á t i ca : 3y - y ' (Q + P ’/p] + V 3Q 9y 9y V 9y (23] E p e l a s e m e l h a n ç a , o s e g u n d o se r á : £ R - u' (Q + P-/p] + V 9Q 9y
-
l Ra
^9y (24] A f u n ç ã o a (x,y] s e r á a p r e s e n t a d a no a n e x o 62 , 3 , 3 - T E R M O DE D I S S I P A Ç Ã O V I S C O S A
I d e n t i f i c o u - s e o ú l t i m o t e r m o da e q u a ç ã o (20] c o m o s e n d o r e s p o n s á v e l p e l a d i s s i p a ç ã o v i s c o s a da e n e r g i a c i n é t i c a . E s t e t e r mo t a m b é m t e m n e c e s s i d a d e de s e r r e p r e s e n t a d o c o m o f u n ç ã o d a s v a r i á v e i s m é d i a s (Q). U t i l i z o u - s e a r e l a ç ã o q u e B e c K w i t h e Bushnell^® idealizaram para a placa p l a n a b a s e a d o s no p r o c e d i m e n t o de Glushko (1965):O n d e e u ma c o n s t a n t e d i s s i p a t i v a a s e r d e t e r m i n a d a j -£^1 u m a f u n ç ã o de c o m p r i m e n t o de d i s s i p a ç ã o s e m e l h a n t e ao c o m p r i m e n t o de m i s t u r a . ( A n e x o B) As e q u a ç õ e s s ã o a g o r a r e e s c r i t a s : 15 9 X 3y 9y \ 3y 3y (2KQ (26) aQ ~ ^ T T 9 7 (27) F o i p o s s í v e l , a i n d a , e l i m i n a r a v a r i á v e l F do s i s t e m a , em p r e g a n d o , c o m o f e z S c h l i c h t i n g , a e q u a ç ã o de B e r n o u l l i p a r a u m a l i n h a de c o r r e n t e : ^ p
4
2 p 2 = CSTE. I n t e g r a n d o a e q u a ç ã o (19) ao l o n g o da c a m a d a l i m i t e : y 9p ^ f y„ d y = P I f -r 9y Jr R dy ou Pq C X ) - P ( X ) = p E s u b s t i t u i n d o na e q u a ç ã o de B e r n o u l l i P (x) = C S T E - p P L^^(x)E d e r i v a n d o c o m r e l a ç ã o a x 8 P ( x ] 9x 3x Uc? (x) f — dy E x p r e s s ã o q u e s u b s t i t u í d a na e q u a ç ã o (26) f i c a * V 3x 3y * f 9 X + V 9y
( i
* ã 7
)
E f i n a l m e n t e f o r m o u - s e um s i s t e m a de e q u a ç õ e s d i f e r e n c i a i s , p a r c i a i s , n ão l i n e a r e s , a c o p l a d a s em c o o r d e n a d a s c u r v i l í n e a s , a s a b e r : _pdu dv V % * 1 7 * i r ' “ (2 6) 3v dx f 3x / dy 3y (29) R 9y (30) o n d e os v a l o r e s a d e t e r m i n a r são: Wj Vj Q já q u e f o r a m a d m i t i d a s co m o c o n h e c i d a s as f u n ç õ e s K ( y ) , a (x,y ), e a c o n st a nt e^ C .17 C o m o c o n d i ç õ e s de c o n t o r n o : u = y = Q = ü p a r a V — > u = Uo ( X 3 p a r a y -- > oo Q = Qo = e s t e p a r a y --> 00 = ü p a r a 8y y
As e q u a ç õ e s o b t i d a s no c a p í t u l o a n t e r i o r f o r a m t r a b a l h a d as p a r a a s u a s o l u ç ã o n u m é r i c a ; f o r a m a d i m e n s i o n a 1i z a d a s e s o f r e r a m u m a m u d a n ç a de v a r i á v e i s c o m a f i n a l i d a d e de c o n t o r n a r o r á p i do c r e s c i m e n t o da c a m a d a l i m i t e na d i r e ç ã o x ^ S e g u i u - s e a l i n e a r i z a ç ã o e o d e s a c 1 o p a m e n t o d a e q u a ç ã o da e n e r g i a , s e n d o p o s s í v e l p e l a d i s c r e t i z a ç ã o e m t o r n o de um p o n t o g e n é r i c o P . . . . 1 + 1 / 2 . j P a r a a s o l u ç ã o do s i s t e m a de e q u a ç õ e s p a r a b ó l i c a s u t i l i - z o u - s e um m é t o d o n u m é r i c o i m p l í c i t o de d i f e r e n ç a s f i n i t a s a p r o v e i t a n d o - s e a c a r a c t e r í s t i c a tri d i a g o n a l d a s ' E q u a ç õ e s ( A m e s , E s t e m é t o d o n ã o o f e r e c e r e s t r i ç ã o q u a n t o ao t a m a n h o da m a l h a de diferen_ ças f i n i t a s ^ , p o r é m a ú n i c a d i f i c u l d a d e é q u a n t o m a i o r o i n c r e m e n to na d i r e ç ã o x m e n o r a p r e c i s ã o dos r e s u l t a d o s . F i n a l m e n t e é f o r n e c i d o o f l u x o g r a m a p a r a a s o l u ç ã o do m o d e l o n u m é r i c o a s s o c i a d o p o r m e i o de c o m p u t a ç ã o ( F o r t r a n IV).
19
3.1 - A
d i m e n s i o n a l i z a ç ã o As e q u a ç õ e s C28}, C29) e [30] f o r a m a d i m e n s i o n a 1 i z a d a s se g u n d o n o v a s v a r i á v e i s : E p a r a as v a r i á v e i s i n d e p e n d e n t e s f e z - s e a t r a n s f o r m a ç ã o de X p a r a Ç e y p a r a n^ a s s i m d e f i n i d a s : ÇCx) = Ç dx (31] n ( x . y ] = y -üa-iill (32) v(2Ç)rv o n d e n é u m a f u n ç ã o de Ç e 6 . Gu t i r a n d o o v a l o r de n na e x p r e s s ã o a c i m a : n = Uo (x) 6 \ . L b T T T I n (2Ç) (33) C o m o ô v a r i a r a p i d a m e n t e é de se s u p o r q u e o m e s m o se di c o m n. A o r i e n t a ç ã o de S o h l i c h t i n g é u t i l i z a r - s e u m a f a i x a de va r i a ç ã o p a r a n e n t r e 0 , 5 e 0,8, A d m i t i u - s e p a r a o p r e s e n t e c a s o n c o n s t a n t e e i g u a l a 0,5. C o m a u t i l i z a ç ã o d e s t a s r e l a ç õ e s , as e q u a ç õ e s (28), (29) e (30) s e r ã o : ( V i d e a n e x o 4), y 3u _ f dUo (2Ç) f u - ^ + V - ^ - (2Ç] Õ T 1 - u^ * 2 u" O n f u 2 n (2Ç) / n n Rn du _p _ U _ \ 9ri + Í 2 K )^ 2 ( K Q } (35) fnC^^nur, í 1^f\ 9 / « 9 Q \ ftt 9Q ^ ÏÏÏÏ (“ 9ïïJ ^ 9ÏÏ ^ Uo-(36) o n d e a n o v a v a r i á v e l V i n t r o d u z i d a é f u n ç ã o de u V = ( 2 P ^ - v - i l í T / u Uo 9 X (37) B R^: R ( X ) Uo ( X ) ( 2 Ç ) ^ V (36)
3.2 - D
i s c r e t i z a ç ã o D a d o 0 c o m p o r t a m e n t o da c a m a d a l i m i t e , foi c o n v e n i e n t e e_£ c o l h e r - s e u ma m a l h a v a r i á v e l c o m p e q u e n o s i n t e r v a l o s p r ó x i m o a p a r e d e e c a d a v e z m a i o r e s p a r a p o n t o s m a i s a f a s t a d o s d e l a (na d i r e ç ã o n ) (Fig. 2). A s s i m a r e l a ç ã o e n t r e d o i s i n t e r v a l o s a d j a c e n t e s étal q u e = BK. o n d e Bk d e v e a s s u m i r v a l o r m a i o r q u e a u n i d a d e (Bk - 1 , 0 3 a 1 , 0 9 } “ . Na o u t r a d i r e ç ã o (Ç) a m a l h a p o d e o u n ã o t e r i n t e r v a l o s c o n s t a n t e s d e p e n d e n d o do c a s o a n a l i s a d o . P a r a s u p e r f i c i e s c o m p e q u e n o r a i o de c u r v a t u r a é c o n v e n i e n t e q u e AÇ s e j a v a r i á v e l . 21 (Fig. 2} P . A d i s c r e t i z a ç ã o f o i f e i t a em t o r n o de um p o n t o g e n é r i c o U m a f u n ç ã o n e s t e p o n t o é e n t e n d i d a com o : (39} As d i v e r s a s d e r i v a d a s em r e l a ç ã o a Ç e n são a s s i m r e p r e s e n t a d a s :
3F 9Ç (41] 8F 3n i + 1 / 2 , j 2(Arij + (42) 8 9n
( ■ s )
i +1
/2
, j ^ i + l /2
, j + l/ 2
A n . ( A n . - ' ' i + 1 / 2 , j - l / 2 + A 1 . . 1 . ( i n . + A n . . j ) + ' ' i + 1 / 2 , j + 1 / 2 - '’ i , . i ) ^ Arij . - A . i + 1 / 2 , j - l / 2 ^ i .j ~ ''t.iri____ _ A n j _ i ( A v . + Anj_jj (43) A l i n e a r i z a ç ã o d a s e q u a ç õ e s do m o v i m e n t o e da e n e r g i a é c o n s e g u i d a a p ó s a s u b s t i t u i ç ã o d a s r e l a ç õ e s (39), (40), (41), (42) e (43) na s e q u a ç õ e s (34), (35) e (36). S e p a r a n d o os t e r m o s de t al s o r t e a se o b t e r : (44) üs t e r m o s c o n t e n d o o í n d i c e (i+1) s ã o os n o v o s v a l o r e s , e n q u a n t o os q u e c o n t i v e r e m (i) sã o c o n h e c i d o s da e s t a ç ã o a n t e r i o r .Os c o e f i c i e n t e s A., B., C. e □. a s s u m e m f o r m a s d i f e r e n -J J J J tes p a r a c a d a u m a d a s d u a s e q u a ç õ e s , [ A n e x o 5] A e x p r e s s ã o [44) f o r m a um s i s t e m a de e q u a ç õ e s l i n e a r e s , c u j a m a t r i z r e p r e s e n t a t i v a é p a r c i a l m e n t e p o v o a d a ( m a t r i z t r i d i a - g o n a l ) , A sua s o l u ç ã o , d a d a p o r Ames^°, p o d e a s s i m s e r s i n t e t i z a d a : 2 3 o n d e D . - e . g . , g . = ____J_______ [47) B. + C.G. T J J J -1 0 v a l o r d e s c o n h e c i d o é F. , . , p o i s c o m o i n i c i o u - s e os 1 + 1 ,J c á l c u l o s p e l o p o n t o m a i s a l t o da c a m a d a l i m i t e o v a l o r de F. . 1 + i , j + i já f o i d e t e r m i n a d o , A e q u a ç ã o (45) e s t á s u j e i t a as s e g u i n t e s c o n d i ç õ e s d e c o n t o r n o A e q u a ç ã o do m o v i m e n t o c o n t é m no s eu ú l t i m o t e r m o a v a r i á v e l Q c o n s i d e r a d a c o n h e c i d a da e s t a ç ã o a n t e r i o r . E s t e procedi^ m e n t o f a z c o m q u e o s i s t e m a s e j a d e s a c o p l a d o .
C o m o p o d e s er p e r c e b i d o p e l a a n á l i s e d o s c o e f i c i e n t e s da e x p r e s s ã o C44), o m é t o d o t r i d i a g o n a l e x i g e o c o n h e c i m e n t o da f u n ç ã o n u m a e s t a ç ã o a n t e r i o r p a r a a d e t e r m i n a ç ã o da f u n ç ã o na a t u a l . A s s i m p a r a a e s t a ç ã o i n i c i a l Ci=l] f o r n e c e u - s e p e r f i s de v e l o c i d a d e s e de e n e r g i a c i n é t i c a t u r b u l e n t a ( a n e x o 6). C o m o a c a m a d a l i m i t e c r e s c e ao l o n g o do escoamento, a q u a n t i d a d e de p o n t o s na d i r e ç ã o n d e v e t a m b é m v a r i a r p a r a a c o m p a n h a r e s t e c r e s c i m e n t o . A e s c o l h a da c o n d i ç ã o de c o n t o r n o s u p e r i o r u - - U o ( x ] q u a n d o y ---- » 6 ou = 0 , 9 9 i m p l i c a na v a l i d a d e de: 3n ^ 'imax ^ e ’ (48] o n d e £’ s e r á um p e q u e n o v a l o r p r é - f i x a d o ( c r i t é r i o de e r r o ] . E m d i f e r e n ç a s f i n i t a s e a p l i c a n d o a e x p r e s s ã o (48], t e m o s p a r a e s t e cri t é r i o : (1 - Gn-i ] - gj\)-l í N-i q u e q u a n d o s a t i s f e i t o f o r n e c e o n ú m e r o N de p o n t o s na v e r t i c a l . A p r e c i s ã o e x i g i d a p a r a os r e s u l t a d o s f o i d a d a p o r m e i o de um c r i t é r i o de c o n v e r g ê n c i a a p l i c a d o à e q u a ç ã o do m o v i m e n t o . A- pó s a d e t e r m i n a ç a o do p e r f i l a t u a l de v e l o c i d a d e '-'i + j j ( o n d e m é 0 n ú m e r o da i t e r a ç ã o ] , d et e r m i n ou - se a v e l o c i d a d e + j ° a u x í l i o da e q u a ç ã o da c o n t i n u i d a d e . T e s t o u - s e a s e g u i r a c o n v e r g ê n c i a s e g u n d o o c r i t é r i o a p r e s e n t a d o p o r P e r e i r a F i l h o ® e a s s i m d e f i n i d o : m m - 1 ^ i + 1 , 2 ~ ^ i + 1 , 2 m- 1 "^i + 1,2 < e" (50]
25 o n d e e”d e v e s e r p r e s c r i t o C- 0 . 0 0 5 ) C o m o a e q u a ç ã o da e n e r g i a c i n é t i c a e s t á d e s a c o p l a d a d a d o m o v i m e n t o e na d e t e r m i n a ç ã o de Q. , . são e m p r e g a d o s v a l o r e s de 1 + 1 , 3 u. , . , t i d o s c o m o c o r r e t o s , n ã o se p r e v i u i t e r a ç õ e s p a r a ela. 1 J C o m o d e i x o u - s e t r a n s p a r e c e r a d e t e r m i n a ç ã o de • ( a t u a l ) é p o s s í v e l c o m o a u x í l i o do p e r f i l V . ^ . E n t ã o p a r a o 1 + i / / , J i n í c i o d a s o p e r a ç õ e s p r e c i s o u - s e t a m b é m de um p e r f i l i n i c i a l de V . E s t e d a d o i n i c i a l p o d e r á s e r n u l o (V = 0) ou c o m a e x p r e s s ã o (37) f a z e n d o ü = 0 :
3.3 - F
l u x o g r a m a □ p r o c e d i m e n t o u t i l i z a d o p a r a t o r n a r p o s s í v e l a s o l u ç ã o do p r o b l e m a p o r m e i o de c o m p u t a ç ã o s e r á a s s i m s i n t e t i z a d o : * B l o c o 1 J u n t o c o m as d i v e r s a s c o n s t a n t e s s ão f o r n e c i d o s os p e r f is de v e l o c i d a d e s e de e n e r g i a c i n é t i c a . A s u b r o t i n a T a b l e 2 é es p e c i a l m e n t e u t i l i z a d a p a r a e s t e fi m. * B l o c o 2 A d i s t r i b u i ç ã o de p r e s s ã o ( u t i l i z a d a na e q u a ç ã o do m o v i m e n t o ) é f o r n e c i d a a n a l i t i c a m e n t e ( p r e s s ã o t e ó r i c a ) ou na f o r m a d is c r e t a , c o m o a u x í l i o de uma f u n ç ã o de i n t e r p o l a ç ã o l a g r a n g i a n a .* B l o c o 3 C o m os d a d o s a n t e r i o r e s p o d e s e s o l u c i o n a r o a l g o r i t m o t r i d i a g o n a l p a r a a e q u a ç ã o do m o v i m e n t o . □ e t e r m i n o u - s e ^ . * B l o c o 4 C o m a v e l o c i d a d e u, d e t e r m i n a d a no b l o c o a n t e r i o r , f o i p o s s í v e l d e t e r m i n a r a v e l o c i d a d e V. . . na e q u a ç ã o da c o n t i n u i d a de . * B l o c o 5 0 t e s t e de c o n v e r g ê n c i a é f e i t o m a n t e n d o - s e o c r i t é r i o p r é - e s t a b e l e c i d o . C£” = 0 ^ 0 0 5 ) * B l o c o 6 A n t e s de s o l u c i o n a r a e q u a ç ã o da e n e r g i a p e l o a l g o r i t m o t r i d i a g o n a l , d e t e r m i n o u - s e as f u n ç õ e s a (x,y) e * B l o c o 7 C a l c u l o u - s e n e s t e b l o c o t o d o s os p a r â m e t r o s do e s c o a m e n to t u r b u l e n t o da e s t a ç ã o a t u a l t a i s com o : C o e f i c i e n t e de F r i c ç ã o , e s p e s s u r a s da c a m a d a l i m i t e (de d e s l o c a m e n t o , de m o m e n t o e de e n e r g i a ) , n ú m e r o s de R e y n o l d s b a s e a d o s n as d i f e r e n t e s e s p e s s u r a s e F a t o r de f o r m a ( ô * / 0 ]. * B l o c o 8 S a í d a d o s r e s u l t a d o s . Os r e s u l t a d o s p o d e r ã o s a i r na f o r m a de d i a g r a m a s ou t a b e l a d o s . U m d i a g r a m a de b l o c o f i c a r i a :
A m e l h o r a n á l i s e de r e s u l t a d o s q u e se p o d e f a z e r para. um m é t o d o n u m é r i c o é a c o m p r o v a ç ã o c o m a s o l u ç ã o e x a t a . Q u a n d o nã o há s o l u ç ã o a n a l í t i c a e x a t a , r e c o r r e - s e a t r a b a l h o s e x p e r i m e n t a i s . O e s c o a m e n t o t u r b u l e n t o é o p r ó p r i o c a s o e m q u e s t ã o . N ã o há s o l u ç ã o e- x a t a p a r a ele. Há m u i t o se e s t u d a um m e i o de o b t i - l a , p o r é m as não l i n e a r i d a d e s e o f e c h a m e n t o d a s e q u a ç õ e s d i f i c u l t a m s o b r e m a n e i r a . £ b e m p o s s í v e l q ue e s t a d e s c o b e r t a só v e n h a a o c o r r e r d a q u i a m u i to t e m p o , p o i s c o m o a d v e n t o de m o d e r n a s m á q u i n a s de c o m p u t a ç ã o e c o m 0 d e s e n v o l v i m e n t o de m é t o d o s n u m é r i c o s s a t i s f a t ó r i o s em n í v e l de e n g e n h a r i a a i n e x i s t ê n c i a de u m a s o l u ç ã o e x a t a f i c o u em s e g u n d o p l a n o . No p r e s e n t e t r a b a l h o e s c o l h e u - - o s d a d o s e x p e r i m e n t a i s de So e M e l l o r ^ ^ p a r a s e r e m r e p r o d u z i d o s . A p l a c a p l a n a , c o m o s d a-Q <• «w d o s de W i e g h a r d t , t a m b e m f o i a n a l i s a d a c o m o v e r i f i c a ç a o inicial pois, c o m o se sabe, e l a é o c a s o p a r t i c u l a r de u m a s u p e r f í c i e c u r v a c o m r a i o i n f i n i t o . E s t u d o u - s e a i n d a o e s c o a m e n t o r a d i a l s o b r e c i 1 i n d r o s c i r c u l a r e s (Rg = 1 , 0 3 x 10® e = 3,6 x 10®} no e n t a n t o s e u s
re-29 s u l t a d o s n ã o são a p r e s e n t a d o s p o i s c a r e c e m de a l g u m r e f i n a m e n t o
^.1 - R
e s u l t a d o s o b t i d o s A u t i l i z a ç ã o de u m a s u b - r o t i n a ^ C P L 0 T R 2 ] p e r m i t i u a m e l h o r e m a i s r á p i d a c o m p r o v a ç ã o d o s r e s u l t a d o s . P l o t o u - s e c o m e l a d i a g r a m a s de v e l o c i d a d e s , e n e r g i a c i n é t i c a , t e n s ã o na p a r e d e e d i v e r s o s c o e f i c i e n t e s do e s c o a m e n t o t u r b u l e n t o . ( A N E X O 7)4 , 1 , 1 - D I A G R A M A S DE V E L O C I D A D E S
F o r a m r e g i s t r a d o s p a r a a p l a c a p l a n a : u Uo V E R S U S (G r á f i CO — G 1 ] V - m a x V E R S U S y/í (Gl) V E R S U S ( G2) V* V E R S U S Logi 0 (y*") (G2) V E R S U S (G3) E p a r a o c a n a l ( T R A B A L H O DE So e M e l l o r ) u Uo V E R S U S y ( p o 1 } ( G12)V E R S U S L o g 1 0 C y + ] C G 1 3 ] V E R S U S U * L 0 g 10 C y /{*] (G14)
^ . 1 . 2 - D I A G R A M A S DE E N E R G I A C I N É T I C A
P L A Ç A P L A N A ; 2Q ( G4) e o b a l a n ç o de E n e r g i a C i n é t i c a t u r b u l e n t a s e g u n d o a f o r m a C O N V E C Ç A O = P R O D U Ç A ü + D I F U S A O - D I S S I P A Ç A O p a r a p e r t o ( 0 . $ y / 5 < 0 , l ) e l o n g e ( 0,1 $ y / ^ ^ 1] da p a r e d e . A n a l i s a n d o - s e o c o m p o r t a m e n t o d e s t e s t e r m o s , c o n f i r m a m o s a e x p e c t a t i v a a p r e s e n t a d a p o r Rotta^^: * P r ó x i m o a p a r e d e os t e r m o s de p r o d u ç ã o e d i s s i p a ç ã o tem p r a t i c a m e n t e o m e s m o v a l o r a b s o l u t o ( p o r é m s i n a i s c o n t r á r i o s ) * n u i t o p r ó x i m o a p a r e d e a d i f u s ã o t e m m e s m a o r d e m de gran_ d e z a q u e os d e m a i s t e r m o s . * F o r a da r e g i ã o da p a r e d e os t e r m o s ( t o d o s ) t e n d e m a ze ro. ( G r á f i c o s : G5, G6 e G15) F o i p l o t a d o t a m b é m a d i s t r i b u i ç ã o de t e n s ã o ao l o n g o da e s p e s s u r a da c a m a d a l i m i t e p r ó x i m o a p a r e d e :31 V E R S U S (G7] ( 2 p K C y ] Q V E R S U S y+] [ G7 ] (G7) C A N A L 2Q V E R S U S y A ( G16 ) 20 U o ‘ V E R S U S y A (G17) e 0 b a l a n ç o dos d i v e r s o s t e r m o s da E q u a ç ã o da E N E R G I A C I N É T I C A .
^ . 1 . 3 - C O E F I C I E N T E S FINAIS
— C o e f i c i e n t e de A t r i t o CCf] A l é m do v a l o r do c o e f i c i e n t e c a l c u l a d o s e g u n d o : C F C A L * \ 2 [G8) e (G18) (52) c a l c u l o u - s e d i f e r e n t e s v a l o r e s p a r a C^ d a d o s p o r f ó r m u l a s e m p í r i cas: C F X l 0 , 0 5 9 2 R E X - 0 , 2 (53) C F D E L T = 0 , 0 4 5 ( R E D E L ) - 0 , 2 5 (54) C F T H E T 0 , 0 5 7 6 ^ L o g i 0 ( 4 , 0 7 5 R ^) ^ - 2 (55)C F T E T 2 C F X 2 0 , 0 2 5 6 R - 0 , 2 5 0 2 L o g j o [ R E X ) - 0 , 6 5 - 2 . 3 C FH 0 , 2 4 6 10- 0 , 6 7 8 4 R - 0 . 2 6 8 (56] ( 5 7 ) ( 5 8 ] 0 üs d i a g r a m a s r e g i s t r a d o s no a n e x o 7 p a r a a p l a c a p l a n a s ão os s e g u i n t e s : C F C A L v e r s u s X (em m e t r o s ] C F T E T 2 v e r s u s X (em m e t r o s ] C F H v e r s u s X (em m e t r o s ] E s p e s s u r a s da C a m a d a L i m i t e s ã o p l o t a d a s s e g u n d o as s e g u i n t e s f ó r m u l a s : ô* ( P L / P L ] ô * ( C A N A L ] 0 ( P L / P L ] 0 ( C A N A L ] 6 ( P L / P L ] e ( C A N A L ] oo (1 - u ]dy toa / ( I - u ]dy fOO u (1 - u ]dy oo / u ( 1 - u ] d y 00 u ( 1 - u ]dy fu {\ - u ]d y ( G9] ( G 1 9 ] ( G9 ] ( G19 ] ( G9] ( G 1 9 ] u Uo e t a m b é m a e s p e s s u r a 5 d a d a c o m o o v a l o r d e y p a r a q u a n d o = 0 . 9 8 9 9 9 .
33 - N Ü M E R O DE R E Y N O L D S C a l c u l a d o s s e g u n d o ( G10 ) U o (x ) à' C G 1 0 ) Uo Cx ] 9 V ( G10} - F A T D R DE F O R M A D e f i n i d o c o m o : 6* CG11) e (G20)
^.2 - A
n á l i s e f i n a l^ . 2 , 1 - D A D O S IN ICIAIS
P r o c u r o u - s e u t i l i z a r os p e r f i s i n i c i a i s u ( l , J ) e Q ( 1 , J } os m a i s p r ó x i m o s d o s r e a i s . A v a n t a g e m o b t i d a f o i a r á p i d a e s t a b i l i z a ç ã o d os r e s u l t a d o s . A não u t i l i z a ç ã o de p e r f i s t ã o a p u r a d o s (co m o 0 c a s o do p e r f i l de v e l o c i d a d e s e n o i d a l —» u ( l , j ) = S E N ( ^ ) ) l e v o u 0 p r o g r a m a a c o n s u m i r um t e m p o e x c e s s i v o p a r a o m e s m o n ú m e r o de e s t a ç õ e s e os r e s u l t a d o s n e m s e m p r e c o n v e r g i a m , m e s m o p a r a v a l o r e s i m p r e c i s o s . £ p o s s í v e l q u e i s t o se d e v a as h i p ó t e s e s de f e c h a m e n t o q u e l e v a m na sua f o r m u l a ç ã o as d e r i v a d a s d a s v a r i á v e i s d e p e n d e n t e s ( w e Q ) .■ M o d e l o u - s e um p e r f i l g e n é r i c o de v e l o c i d a d e ( i n i c i a l ] ba s e a d o na c a r a c t e r í s t i c a u n i v e r s a l do e s c o a m e n t o t u r b u l e n t o . P r ó x i mo a p a r e d e ( s u b - c a m a d a v i s c o s a ) g v a r i a ç ã o de u* é l i n e a r c o m re-U j l a ç ã o a y'*' e l o n g e u = (x)^ F oi t e s t a d o , c o m m e s m o i x i t o , o p e r f i l i n i c i a l a d o t a d o p o r C e b e c i ^ ^ na p l a c a p l a n a p a r a um comprimento inicial de Xo = 0, 3 8 7 m e Uo = 3 3 m / s . Já as d i s t r i b u i ç õ e s de e n e r g i a c i n é t i c a f o r a m d a d a s d i s c r e t a m e n t e t o m a n d o - s e os p r ó p r i o s v a l o r e s i n i c i a i s f o r n e c i d o s p o r So e M e l l o r e K l e b a n o f f p a r a o c a n a l e p l a c a p l a n a r e s p e c t i v a mente'-,. A t a b e l a 6 .2 r e g i s t r a e s t e s v a l o r e s . A e s p e s s u r a da c a m a d a l i m i t e 6(1 ) e a v e l o c i d a d e de f r i c ç ã o u * ( l ) t e m c a p i t a l i m p o r t â n c i a p a r a o p e r f e i t o d e s e n v o l v i m e n t o do p r o g r a m a . Os s e u s v a l o r e s p r e c i s a m s e r m u i t o p r ó x i m o d o s v a l o r e s c o r r e t o s p o i s são f a t o r e s d e t e r m i n a n t e s p a r a a g e r a ç ã o do p e r f i l i n i c i a l de v e l o c i d a d e e do n ú m e r o de p o n t o s na v e r t i c a l . Um p e r f i l i n i c i a l m u i t o a l t o ou m u i t o b a i x o a f e t a r á a c o n v e r g i n c i a d o s r e s u l t a d o s n as e s t a ç õ e s s u b s e q u e n t e s . A f a l t a de v a l o r e s c o r r e t o s p a r a 6(1) e íí* (1 ) d e v e t e r s i d o o m a i o r m o t i v o p e l o q u a l n ão se c o n s e g u i u a i n d a r e s u l t a d o s s a t i s f a t ó r i o s p a r a o u t r o s c a s o s a n a l i s a d o s , ( c i l i n d r o c i r c u l a r ) . A d e t e r m i n a ç ã o de u * (ou de Cf) é f u n ç ã o do e s c o a m e n t o na p a r e d e . Q u a n t o m a i s p r ó x i m o d e l a e s t i v e r os p r i m e i r o s p o n t o s , m a i s r e a l d e v e r á s er o r e s u l t a d o . E n t r e t a n t o q u a n t o m e n o r f o r e m os i n t e r v a l o s i n i c i a i s e c o n s e q u e n t e m e n t e m a i s p r ó x i m o da p a r e d e e s t a r á
o p r i m e i r o p o n t o , m a i o r s e r á a q u a n t i d a d e de p o n t o s na d i r e ç ã o n o r m a l ao e s c o a m e n t o . [ L e m b r a r q u e A n ^ = Bk . BK > 1). C o m o na r e g i ã o p r ó x i m o a p a r e d e a v e l o c i d a d e v a r i a l i n e a r m e n t e = y+} s ã o s u f i c i e n t e s a li a l g u n s p o n t o s a p e n a s p a r a se t e r u m a i n f o r m a ç ã o p e r f e i t a do g r a d i e n t e de u . A s s i m e x i s t e um n ú m e r o i d e a l d e p o n t os na v e r t i c a l que, a l é m da p r e c i s ã o , f o r n e c e u m a m a l h a e c o n ô m i c a em t e m p o de m á q u i n a . A m e l h o r c o m b i n a ç ã o e n c o n t r a d a p a r a c a d a c a s o f oi : P L A C A P L A N A A n ( l ) = 0 , 0 2 5 Bk = 1 , 0 3 35 C A N A L A n d ] = 0 , 0 3 Bk = 1 , 0 3 q u e f o r n e c e m 99 p o n t o s i n i c i a i s p a r a o p r i m e i r o c a s o e 101 p a r a o s e g u n d o . 0 n ú m e r o de p o n t o s na d i r e ç ã o Ç i n f l u i na p r e c i s ã o d o s r e s u l t a d o s e não na sua c o n v e r g ê n c i a , c o m o já e r a e s p e r a d o ^ . P o r o u t r o l a d o o a u m e n t o do v a l o r de AÇ d i m i n u i o t e m p o g l o b a l de c o m p u t a ç ã o . E s t a s d u a s c a r a c t e r í s t i c a s são o p o s t a s p e r m i t i n d o a determ_i n a ç ã o de um i n t e r v a l o ó t i m o d e n t r o da p r e c i s ã o e s t a b e l e c i d a . A t a b e l a 1 r e g i s t r a o c o n s u m o do t e m p o de p r o c e s s a m e n t o
de m á q u i n a p a r a c a d a c a s o em r e l a ç ã o a os i n t e r v a l o s AÇ a d o t a d o s C A S O Bk T E M P O / E S T A Ç A D T E M P G T O T A L AÇ X ( T O T A L } ' L / P L A N A 0 , 0 2 5 1 .03 2 . 4 2 seg 3 5 3 2 . 2 seg 5 0 0 0 3 . 6 2 m C A N A L 0 . 0 3 1 . 03 4 . 1 5 6 2 seg 6 2 3 . 4 3 7 seg 5 0 0 0 1 , 8 0 3 4 m T A B E L A 1
A . 2,2 - C O N C L U S Õ E S
Os r e s u l t a d o s e n c o n t r a d o s t a n t o p a r a a p l a c a p l a n a q u a n to p a r a o c a n a l , q u a n d o c o m p a r a d o s c o m os d a d o s de W i e g h a r d t ou de So e M e l l o r r e s p e c t i v a m e n t e são t i d o s c o m o b o n s . Os d i a g r a m a s de v e l o c i d a d e s , c o m o os d e m a i s c o e f i c i e n t e s d e l e s d e p e n d e n t e s , f o r a m o b t i d o s c o m u ma b oa p r e c i s ã o . A d i s t r i b u i çã o de e n e r g i a c i n é t i c a p r ó x i m o a p a r e d e , no e n t a n t o , c o n t é m v a l o re s f o r a d o s e s p e r a d o s . No c a s o do c a n a l e s t e d e s v i o p a r e c e ser m a i s a c e n t u a d o . A p e r f e i t a c o m p r o v a ç ã o nã o p o d e s e r f e i t a p o r q u e os d a d o s de So e M e l l o r s ão p a r a y /ô > 0,1. A c r e d i t a m o s q u e na s o l u ç ã o g e n é r i c a de q u a l q u e r s u p e r f í c i e c u r v a 0 m o d e l o m a t e m á t i c o d e v e r á s o f r e r a l g u m r e f i n a m e n t o p a r a a m e l h o r p r e c i s ã o d o s r e s u l t a d o s . E s t e r e f i n a m e n t o p o d e r á ser: 1 - No p a r a m e t r o de e s t r u t u r a que, c o n f o r m e S h i v a p r a s a d e R a m a p r i a n ^ . v a r i a n ão só c o m y m a s t a m b é m c o m x. T e r - s e - á K ( x . y } ao i n v é s de K(y] a p e n a s . 2 - N u m a n o v a f u n ç ã o a f x , y].37 3 - No v a l o r da c o n s t a n t e d i s s i p a t i v a ^ ® q u e c a r e c e de m a i o r e s e s t u d o s a f i m de q u e s e j a e n c o n t r a d o o m e l h o r v a l o r p a r a su p e r f í c i e s c u r v a s . 4 - No v a l o r de n, q u e no c a s o f o i t o r n a d o s e m p r e c o n s t a n t e e i g u a l a 0,5. £ p o s s í v e l se e n c o n t r a r o m e l h o r v a l o r p a r a ca da s i t u a ç ã o ou se n e c e s s á r i o o b t e r - s e u ma f u n ç ã o n ( x ) . 5 - No c r i t é r i o de e r r o (CRI T ) q u e dá o a u m e n t o do n ú m e ro de p o n t o s na v e r t i c a l d e v i d o ao c r e s c i m e n t o da c a m a d a l i m i t e . 6 - Na d i s c r e t i z a ç ã o d a s e q u a ç õ e s . N e s t e i t e m m u i t o s p o n t o s p o d e m s e r a b o r d a d o s c o m o i n t e r e s s e n u m r e s u l t a d o m a i s p r e c i s o . A s s i m as n ã o l i n e a r i d a d e s e x i s t e n t e s n os t e r m o s d e p r e s s ã o e c u r v a t u r a f o r a m s e m p r e c o n s i d e r a d a s c o n h e c i d a s Cda e s t a ç ã o a n t e r i o r m e n t e d e t e r m i n a d a ) . £ p o s s í v e l q u e m e l h o r e s r e s u l t a d o s se o b t e n h a , q u a n d o e s t e a r t i f í c i o f o r e v i t a d o . Qs i t e n s a c i m a , b e m c o m o os q u e se s e g u e m e n g l o b a m as p r i n c i p a i s m e t a s a s e r e m a t i n g i d a s c o m f u t u r o s t r a b a l h o s : 1 - A c o m p l e m e n t a ç ã o d e s t a d i s s e r t a ç ã o c o m a a n á l i s e de n o v o s e v a r i a d o s c a s o s : l.a - E s c o a m e n t o r a d i a l s o b r e c i l i n d r o s c i r c u l a r e s p a r a d ^ v e r s o s n ú m e r o s de R e y n o l d s . 1.b E s c o a m e n t o s o b r e p e r f i s e s p e c i a i s t a i s c o m o a e r o f ó
-lios, p á s de h é l i c e e t c . , . A s s i m s e r á p o s s í v e l c o m p l e t a r a a n a l i s e d o s e f e i t o s da c u r v a t u r a e de g r a d i e n t e s de p r e s s ã o no d e s e n v o l v i m e n t o da c a m a d a l i m i t e s o b r e s u p e r f í c i e s c u r v a s . 2 - I n t r o d u z i r a t r a n s f e r ê n c i a de c a l o r no p r o b l e m a , c o m a i n c l u s ã o de m a i s u m a e q u a ç ã o . 3 - I n t r o d u z i r o t r a n s p o r t e de m a s s a no p r o b l e m a o r a p r o p o s t o . 4 - A n a l i s a r o e s c o a m e n t o c o m c o n t r o l e da c a m a d a l i m i t e C s u c ç ã o ou i n s u f l a m e n t o na p a r e d e ) . 5 - D e t e r m i n a r o e s c o a m e n t o c o m p r e s s í v e l s ob as m e s m a s c o n d i ç õ e s .
R
e f.
1 - A K A T N O V , N . I . e T U L ’B E R T , v.F.
U6e
0
^ tun.bule.nt energy
balance, equation .in the theory o/j turbulent {,low6 ■
aZong iMatti>
. I z v e s t i y a A k a d e m i i N a u k . S S S R . Mekha - n i k a Z h i d r o s t i i G a z a . N ’ 3, p p . 2 5 - 3 3 , L e n i n g r a d o , 19 7 3 .2 - 20 AMES, W.F.
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3 - 18 B E C K W I T H , K. e T I L L M A N N , w.
On the Turbulent Kinetic E-
nengy Field Method.
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4
-5 - 10
B U R B A N K , R.A. e F I L H O , J o h n A.
Calculation
0
^ two di
mensional, turbulent boundary layen uòlng the tunbu-
lent-enengy equation Including the
v I ò c o u òòublayen.
( i n f o r m a ç ã o p e s s o a l )
C E B E C I , T.
Lamlnan. and tuàbulent Incompneòòlble boundary
layen
.0
on òlenden bondles Oj^ revolution In axial Ilow.
40 6 - 1 1 1 7 - 21 15 9 -10 -11 -12 13 14 15 -1 7 22 C E B E C I , T. e S M I T H , A . M . 0 .
A
flnlto, Method^OA C a Z c a l a t l n Q C om pA e^iZbZe Lam inae and T u A b u i i n t
0
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e
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Zangth appAoach ^
oacomputing the tuAbuZznt boundaAy
Zaye,A de.vzZopm2.nt.
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Two mzthodi oi caZcu-
ZatZng tuAbuZznt boundaAy ZayzA bzhavioA ba&zd on nu-
mtAicaZ 6 oZat-ion6 oi^ the. aquation^ o^ motion.
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