Definição 3: Uma seção transversal de um prisma é a interseção do prisma com um

CAPÍTULO 5 -

PRISMA

Definição 1: Sejam  e  dois planos paralelos e R uma região poligonal contida em . Seja r uma reta não paralela a esses planos.

A união de todos os segmentos '

PP

com P R e P’  denomina-se prisma. r

B' 

C'

A' D'

B

C R

A D 

Prisma oblíquo r

C’  D'

P'

A' B'

 C D

P

A B

Prisma reto

Elementos de um Prisma:

 Vértices: São os pontos: A, B, C, D, A', B', C', D'.

Arestas laterais: São os segmentos:

_AA

'

,

_BB

'

,

_CC

'

,

_DD

'

.

Faces laterais: são os polígonos: ABB'A', BCC'B', CDD'C', DAA'D'.

Diagonais: São os segmentos que unem dois vértices não situados numa mesma face.

'

AC

,

_BD

'

,

_CA

'

,

_BD

'

.

Bases: A região poligonal R chama-se base inferior ou simplesmente base do prisma. A parte do prisma contida no plano  chama-se base superior.

 Arestas das bases: São os lados dos polígonos das bases:

AB

,

BC

,

CD

,

DA

,

_A

'

_B

'

,

_B

'

_C

'

,

_C

'

_D

'

,_D'_A'.

Altura: é a distância entre os planos das bases.

Observe que para os prismas retos, a altura é a distância PP', mas para os prismas não retos, a altura é menor que PP'.

Teorema 1: As faces laterais de um prisma são paralelogramos.

Prova: Seja  o plano definido pelas retas paralelas AA’ e BB’. Como  //  as interseções de  com esses planos são retas paralelas. Portanto _AB'//

_AB

e assim ABB’A’ é um paralelogramo.

Analogamente, são paralelogramos os quadriláteros: BCC'B', CDD'C', DAA'D'.

▆

Teorema 2: As bases de um prisma são polígonos congruentes.

Prova: Pelo teorema anterior, os lados dos polígonos das bases são respectivamente congruentes. Além disso, os ângulos internos desses polígonos são congruentes, pois os mesmos têm os lados paralelos.

▆

Observe que as faces laterais de um prisma reto são retângulos.

Os prismas classificam-se segundo suas bases. Por exemplo, um prisma triangular é aquele cuja base é um triângulo, um prisma quadrangular é aquele cuja base é um quadrilátero e assim por diante.

Definição 2: Um prisma regularé o prisma reto, cujas bases são polígonos regulares.

Num prisma regular, suas faces laterais são congruentes.

Definição 3: Uma seção transversal de um prisma é a interseção do prisma com um plano paralelo aos planos das bases.

Teorema 3: Toda seção transversal de um prisma é um polígono congruente às bases.

Prova: Duas arestas laterais consecutivas definem um plano cujas interseções com 

e com os planos das bases são retas paralelas. Daí,

MN

//

AB

,

NP

//

BC

, QP//

DC

e

MQ

//

AD

, isto é, os lados da seção transversal são respectivamente congruentes às

bases. Esses polígonos são congruentes, pois os seus ângulos internos têm os lados paralelos.

▆

Definição 4: Uma seção reta de um prisma é a interseção do prisma com um plano perpendicular as suas arestas laterais.

PRISMAS PARTICULARES

Paralelepípedo: É um prisma cujas bases são paralelogramos.

Paralelepípedo retângulo: É o paralelepípedo reto cujas bases são retângulos.

Cubo: É o paralelepípedo retângulo cujas arestas são todas congruentes.

A união das faces laterais de um prisma chama-se superfície lateral do prisma. A área desta superfície é denominada área lateral do prisma.

A união das faces laterais e as duas bases chama-se superfície total do prisma; sua área é denominada área total do prisma.

O volume de um prisma é obtido pela fórmula abaixo:

V = B.h,

 Exercício 1: A área total de um cubo é igual a 96 cm2_{. Calcular o volume desse} cubo.

Solução: A superfície total de um cubo é constituída de seis quadrados congruentes. Se

a

é a medida do lado de uma das faces então sua área total, A t, é igual a

A t= 6

a

2.

Portanto temos: 6 2

a = 96  a2 =

6

96

= 16  a = 4 cm.

O volume do cubo é igual a:

V = (área da base) x altura =

_a

2

_a



_a

3



4

3



64

cm3 (Resposta).

 Exercício 2: A altura de um prisma triangular regular mede 6 cm e a diagonal de uma face lateral mede 10 cm. Calcular a área total e o volume desse prisma.

Solução: As bases desse prisma são triângulos eqüiláteros congruentes e suas faces laterais são retângulos também congruentes.

C

h = 6 d =10

A B

Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo ABC, obtemos:

AB2 _{+ AC}2 _{= BC}2 _{ AB}2 _{+ 6}2 _{= 10}2 _{ AB = 8.}

A superfície lateral,

S

_l = 3 x (8 x 6) = 144 cm2.

Sabemos que a área de um triângulo eqüilátero de lado l é dada por S =

4

3

2

l

, assim a

soma das áreas das bases é igual a: 2 x (

4

3

8

2

) =

32

3

cm2.

Portanto a área total desse prisma é igual a: A t = 144 +

32

3

cm2. (Resposta)

O volume é igual a

V = B . h =

4

3

8

2

 Exercício 3: A aresta lateral de um prisma oblíquo mede 3 cm. Uma seção feita no mesmo por um plano perpendicular a estas arestas é um quadrado de lado igual a 1 cm. Determinar a área lateral do prisma.

Solução:

A superfície lateral desse prisma é formada por quatro paralelogramos de bases medindo 3 cm cada e de altura igual a 1 cm. Portanto a área lateral do mesmo é igual a

l

S

= 4 x (3 x 1) = 12 cm2.

EXERCÍCIOS

01. Encontrar a área total de um cubo cuja soma das arestas vale 4 m.

02. Sabemos que as arestas de três cubos medem 3 dm, 4 dm e 5 dm, respectivamente. Calcular a aresta do cubo cujo volume é igual à soma dos volumes desses três cubos.

03. Calcular o volume de um cubo, sabendo-se que quando se aumenta sua aresta de 1 m a área lateral do mesmo cresce de 164 m2_.

04. A área total de um cubo é 96 m2_{. De quanto devemos aumentar a aresta para obter} um cubo de volume igual a 216 m3_?

05. A aresta de um cubo mede 4 cm. O ponto O é o centro de uma face e

AB

, uma

aresta da face oposta. Determinar a área do triângulo AOB.

06. Determinar o volume de um cubo, sabendo que a diagonal de uma face mede 12 cm.

08. Achar o volume de um paralelepípedo retângulo sabendo que:

I. as três arestas que concorrem em um mesmo vértice estão em progressão aritmética.

II. a soma dessa três arestas vale 21 m.

III. a área total do sólido é 276 m2_.

09. As arestas que concorrem em um vértice de um paralelepípedo retângulo são proporcionais aos números 2, 3 e 4. Calcular o comprimento dessas arestas sabendo-se que o volume do paralelepípedo é igual a 192 m3_.

10. Calcular o volume de um paralelepípedo retângulo de base quadrada, sabendo que sua área total mede 138 m2 _{e a soma das áreas de uma base com uma face lateral} vale 39 m2_.

11. Um prisma reto tem como base um hexágono regular. Pede-se o lado da base e a altura do prisma, sabendo que seu volume é 4,5 m3 _{e sua área lateral 12 m}2_.

12. A diagonal da base de um prisma quadrangular regular é d = 24 m e a altura os 3/4 do lado da base. Calcular a área total do prisma.

13. A diagonal da base de um prisma quadrangular regular é 10 m e a altura representa os 4/5 do lado da base. Determinar a área total e o volume do sólido.

14. Dá-se um prisma reto cuja base é um retângulo tendo um lado triplo do outro. Sabemos que a altura mede 12 m e a área total vale 966 m2_{. Determinar as} dimensões da base.

15. Determinar o volume de um prisma quadrangular regular cuja base está inscrita em uma circunferência de 6 m de comprimento, sendo a altura igual ao diâmetro dessa circunferência.

16. A figura abaixo representa um prisma reto que repousa sobre uma de suas faces laterais. Suas bases são trapézios. Os comprimentos das arestas paralelas da base são 4 cm e 9 cm, os comprimentos das arestas não paralelas são 5 cm e 6 cm e BF = 12 cm. Determine a área da superfície lateral do prisma.

H G

E F D C

A B

18. Se uma face lateral de um prisma é um retângulo, pode-se concluir que todas as faces laterais são retângulos?

19. As bases do prisma abaixo são triângulos eqüiláteros e suas faces laterais são retângulos. Sabe-se que o comprimento da aresta da base é 6 e a altura do prisma é 10. Calcular a área da superfície total do prisma.

F

D E C A B

20. A base de um paralelepípedo é um retângulo de dimensões 6 por 15. Duas faces opostas são quadrados que formam um ângulo de 60o _{com a base. Um plano} perpendicular a aresta maior da base intercepta o paralelepípedo segundo uma região retangular. Determine a área da superfície total.

6

60o

15

21. Uma barra de prata tem a forma de um prisma reto cuja base é um trapézio. As bases do trapézio medem 7 cm e 10 cm. A altura da barra é 5 cm e seu comprimento é 30 cm. Se a prata pesa 10,5 gramas por cm3_{, quanto pesa a barra?}

22. Ao introduzir-se um objeto de metal em um tanque retangular, contendo água, de dimensões 50 cm por 37 cm, o nível da água sobe 1 cm. Qual é o volume do objeto?

23. Num prisma triangular oblíquo a seção reta é um triângulo eqüilátero de 9

3

m2 de área. A aresta lateral do prisma é igual a um dos lados da seção. Calcule, em m2_{, a} área lateral do prisma.

24. A aresta de um cubo mede 4 cm. O ponto O é o centro de uma face e

AB

, uma

aresta da face oposta. Determinar a área do triângulo AOB.

RESPOSTAS

01. 2/3 m2_{. 02. 6 dm. 03. 8000 m}3_{. 04. 2 m 05. 4}

₅

_cm2_.

06. 432

2

cm2. 07. 3cm, 4cm, 5 cm 08. 280 m3.

09. 4 m, 6 m, 8 m 10. 90 m3_.

11.

l

=

3

/

2

m; h = 4

3

/3m. 12. 1440 m2.

13. A t = 260 m2; V = 200

2

m3. 14. 7 m e 21 m. 15. 108 m3.

16. 288. 17. 102. 18. Não 19. 18

3

.

20. 18 (14 + 5

3

). 21. 13,3875 kg. 22. 1850 cm3.

23. 108 m2_{. 24. 2}

₂₀

_cm2 _{25. h =}

5 1

126