A ANÁLISE DA DIALÉTICA FERRAMENTA – OBJETO NO OBJETO
DE APRENDIZAGEM “POTENCIALIZANDO O SEU
CONHECIMENTO”
GT 05 - Educação Matemática: tecnologias informáticas e educação à distância
Danusa de Lara Bonoto – danusalb@urisantiago.br
Maria Arlita da Silveira Soares – arlita@urisantiago.br
Maria Clailta Machado Martins – m.clailta@bol.com.br
Resumo: Este trabalho apresenta um recorte do projeto de pesquisa desenvolvido no Departamento de Ciências Exatas e da Terra da URI-Campus Santiago, cujo objetivo é analisar os Objetos de Aprendizagem do Projeto RIVED- Brasil que contemplam o Módulo Educacional Funções, na perspectiva da Dialética Ferramenta – Objeto de Règine Douady (1984), que possibilita a mobilização dos conhecimentos prévios dos alunos como ferramenta para resolução de situações-problema propiciando a aquisição de novos conhecimentos. Dessa forma, trazemos algumas discussões, análises e reflexões realizadas do Objeto de Aprendizagem “Potencializando seu conhecimento” que aborda o estudo da função exponencial por meio de situações reais envolvendo nesse caso, Matemática Financeira. Buscamos identificar além das etapas da Dialética Ferramenta –Objeto, se o mesmo permite ao aluno compreender o objeto Função Exponencial, nas suas diferentes representações: língua natural, registro tabular, registro gráfico e registro algébrico. Para tal, utilizamos uma abordagem qualitativa na forma de estudo de caso, onde os sujeitos da pesquisa foram alunos do primeiro ano do ensino médio de uma escola da rede estadual de Santiago/RS. A exploração do objeto fez parte de uma seqüência de ensino, desenvolvida por acadêmicos do Curso de Licenciatura em Matemática da URI-Santiago na disciplina de Estágio Curricular em Ensino de Matemática I. Por meio da análise realizada, foi possível constatar que o objeto em estudo, contempla os princípios da Dialética Ferramenta – Objeto uma vez que traz a função exponencial como objeto de estudo e como ferramenta para a resolução do problema proposto. Ainda, pode ser considerado um recurso que oportuniza a criação de espaços de análise, formulação de hipóteses e generalização por meio da exploração de situações personalizadas de ensino, desde que esteja intencionalmente alinhado ao planejamento do professor e de que este exerça um papel incentivador/mediador durante o processo de ensino e aprendizagem dos seus alunos.
Palavras-chave: função exponencial; objeto de aprendizagem; Dialética Ferramenta – Objeto.
Introdução
O ensino de Matemática no Brasil aparece como fator preocupante, principalmente nas últimas décadas, um exemplo disso pode ser observado nos resultados da avaliação do SAEB (2001), pois de um total de 2.067.147 alunos que realizaram a prova de Matemática do terceiro ano do Ensino Médio, 4,84% se encontram num estágio, classificado pelo Instituto de Estudos e Pesquisas Educacionais – INEP, como muito crítico, ou seja, não conseguem resolver comandos operacionais elementares compatíveis com a sua escolaridade como, por
exemplo, construção, leitura e interpretação gráfica, ou seja, não conseguem transpor o que está sendo pedido no enunciado para uma linguagem matemática específica. Desse modo, realizam com dificuldades a construção, leitura, interpretação gráfica e resolução de atividades que evolvem em especial funções.
De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) do Ensino Médio (1999), o ensino de funções deve contemplar alguns critérios com vistas ao desenvolvimento de atitudes e habilidades. Isto é, deve buscar a contextualização e a interdisciplinaridade, de modo a permitir conexões entre diversos conceitos matemáticos e entre diferentes formas de pensamento matemático, bem como apresentar relevância cultural, tanto no que diz respeito às suas aplicações dentro ou fora da Matemática, como no que tange à sua importância histórica para o desenvolvimento dessa ciência.
Neste contexto, o conceito de função apresenta um grande potencial, pois além de permitir conexões internas à própria Matemática, desempenha papel importante para descrever e estudar através da leitura, interpretação e construção de gráficos, o comportamento de certos fenômenos tanto do cotidiano como de outras áreas do conhecimento, como a Física, Geografia ou Economia. (BRASIL, 1999) Desta forma, o ensino isolado desse tema não permite a exploração do seu caráter integrador, uma vez que não garante ao aluno adquirir certa flexibilidade para lidar com este conceito em situações diversas.
Dentre as funções reais, a função exponencial é considerada “[...] um dos temas centrais em todo o conhecimento científico, por ser um modelo para inúmeros fenômenos naturais, tem, também, um papel central na Matemática [...]” (BRASIL, 2005, p.72). Entretanto, existem pesquisas, como a desenvolvida por Santos (2002), apontando que os alunos do Ensino Médio, em geral, apresentam dificuldades ao trabalharem com os saberes relacionados às representações gráficas e algébricas, ou seja, os alunos apresentam dificuldades para compreenderem o significado de função como sendo uma relação entre grandezas. Desse modo, não compreendem o significado de variável, sendo que a não compreensão desses conceitos acarretam prejuízos no tratamento da escrita algébrica da função como sendo uma equação. Dessa forma, igualam a zero e determinam o valor de “x”, sem entenderem o significado da raiz da função, apresentando assim, dificuldades para construírem/analisarem gráficos. Isto, segundo o autor, deve-se ao fato de que a grande maioria dos professores, utiliza apenas o livro didático como instrumento para a transformação do saber sábio em saber a ensinar ou como única fonte para a resolução de
problemas que, muitas vezes, apresentam-se descontextualizados e sem nenhuma relação com o cotidiano dos alunos, ou seja, não enfatizam a dependência e a variação entre grandezas.
No intuito de minimizar esse problema, Maia (2007), analisou a utilização das novas tecnologias em uma seqüência didática para auxiliar o aluno a compreender a representação gráfica da função quadrática como sendo um conjunto de variáveis que estão diretamente ligadas á escrita algébrica. Por meio dos resultados obtidos constatou-se que houve um avanço significativo, por parte dos alunos, na apreensão dos conceitos, propiciado pela compreensão e articulação entre as variáveis visuais e unidades simbólicas significativas.
Deste modo, Borba (2001) aponta que atividades realizadas em ambientes informatizados, além de trazerem a visualização, de forma natural, para o centro da aprendizagem da Matemática, enfatizam o aspecto da experimentação. Por outro lado, Santos (2002) acrescenta que além da visualização e da experimentação, a interatividade proporcionada pela utilização das novas tecnologias no processo de ensino-aprendizagem do conceito função, contribuem no estabelecimento de relações por meio da experimentação, elaboração de hipóteses e estabelecimento de conjecturas, capacidades imprescindíveis na atividade matemática.
Ainda, segundo Assis (2005), as diferentes formas existentes para busca e apreensão de informações encontram-se disseminadas na sociedade. Desse modo, os ambientes informatizados buscam fornecer a integração de diversas formas de percepção e significação do mundo que cerca o aluno, apresentando formas potencialmente intuitivas para que cada um explore o conteúdo abordado, auxiliando na aquisição dos conhecimentos sem que o aluno tenha que pensar sobre a tecnologia que está usando.
Desta forma, a utilização de Objetos de Aprendizagens, que segundo o Projeto Rived-Brasil é caracterizado como qualquer material eletrônico que provém informações para a construção de conhecimentos, estimulando novas idéias e testando estratégias, visualizando, relacionando e utilizando conceitos para a resolução de problemas, constitui-se em uma ferramenta atrativa e interativa que pode auxiliar na aquisição do conceito de função.
Neste sentido, faz-se necessário salientar que o Projeto RIVED-Brasil, Rede Internacional Virtual de Educação, foi concebido com o intuito de aperfeiçoar e apoiar o trabalho de professores com o auxílio de atividades realizadas em ambientes informatizados, ou seja, tem por objetivo a produção de conteúdos pedagógicos digitais, na forma de objetos de aprendizagem. Na concepção do Projeto Rived-Brasil, um módulo educacional é composto por diversas atividades e estas por Objetos de Aprendizagem que podem ser utilizados
separadamente, combinados ou recombinados para auxiliar o professor em sua prática pedagógica nas diversas disciplinas.
Ainda, no que se refere a construção do conceito de função e a utilização desse como ferramenta para a resolução de problemas, MARTINS (2006), aponta uma estratégia de ensino baseada na a análise da Dialética Ferramenta – Objeto como alternativa para construir esse conceito, partindo de conhecimentos que os alunos já possuem, para tal, o autor utiliza uma seqüência didática baseada em situações-problema.
Considerando os aspectos mencionados sobre a problemática do ensino de funções e que seqüências de ensino fundamentadas na teoria da Dialética Ferramenta – Objeto auxiliam no desenvolvimento dos conceitos matemáticos, bem como que a utilização dos objetos de aprendizagem permite o desenvolvimento de capacidades de visualização, análise, abstração e generalização, estamos desenvolvendo um projeto de pesquisa que está inserido na linha de pesquisa Estratégia de Ensino e Aprendizagem do Grupo de Investigação em Ensino-Aprendizagem de Ciências e Matemática-GIECIM e que aborda a temática das novas tecnologias. O objetivo do projeto que estamos desenvolvendo é analisar os Objetos Aprendizagem do Projeto RIVED- Brasil que contemplam o Módulo Educacional Funções, na perspectiva da Dialética Ferramenta – Objeto de Douady (1984), bem como as contribuições que a utilização desses objetos fornecem para a aquisição do conceito de função e utilização desse conceito como ferramenta para a resolução de problemas.
Sendo assim, o presente trabalho tem como objetivo apresentar um recorte desse projeto. Apresentamos neste artigo as análises e reflexões do Objeto de Aprendizagem “Potencializando seu conhecimento” segundo a Dialética Ferramenta - Objeto, bem como buscamos identificar se o referido Objeto de Aprendizagem permite ao aluno compreender o objeto Função Exponencial, nas suas diferentes representações: língua natural, registro tabular, registro gráfico e registro algébrico.
Para tal, utilizamos uma abordagem qualitativa na forma de estudo de caso, onde os sujeitos da pesquisa foram alunos do primeiro ano do ensino médio de uma escola da rede estadual de Santiago/RS. A realização da atividade ocorreu no laboratório de informática da escola, em turno oposto ao da aula e fez parte de uma seqüência de ensino, desenvolvida por acadêmicos do Curso de Matemática da URI-Santiago na disciplina de Estágio Curricular em Ensino de Matemática.
As noções de ferramenta, de objeto e suas relações dialéticas que foram introduzidas por Régine Douady (1984) e se caracterizam como instrumentos de análise, permitindo uma certa leitura da evolução de noções matemáticas.
Segundo esta autora, uma noção (um conceito) tem o estatuto de ferramenta quando ela intervém na resolução de problemas e tem o estatuto de objeto quando, estando identificado, ela é o objeto da aprendizagem.
Um determinado conceito ou representação é considerado ferramenta quando focalizamos nosso interesse no uso que está sendo feito dele para resolver um problema e esta ferramenta pode ser adaptada e utilizada para diferentes problemas.
Segundo MARANHÃO (2002), é possível descrever as fases da Dialética Ferramenta – Objeto, identificando suas etapas de organização da seguinte forma:
a) Antigo – onde os conceitos matemáticos devem ser utilizados como ferramentas explícitas para resolver os problemas propostos.
Nessa fase, os objetos de saber matemático, funcionam como ferramenta.
b) Pesquisa – os alunos encontram dificuldades para resolver completamente o problema e são conduzidos a colocar em jogo novos conhecimentos.
Nessa fase, o objeto de ensino é a ferramenta adequada para resolver o problema.
c) Explicitação – os alunos descrevem o que obtém em seu trabalho, as dificuldades, os resultados obtidos.
Neste caso, os alunos apresentam várias formas de saber, o objetivo é dar um estatuto de objeto aos conhecimentos que foram utilizados como ferramenta.
d) Novo implícito – os alunos podem formular certos elementos como objetos de conhecimento matemático (conceitos, propriedades ou procedimentos)
Nesse momento, os alunos são levados a procurar outros meios de validação de suas idéias.
e) Institucionalização – os alunos desenvolvem novos conhecimentos, chegando-se a institucionalização do saber matemático, isto é, definições, enunciados e teoremas. f) Reinvestimento – os alunos desenvolvem diversas atividades para a familiarização
com o que é novo.
Sendo assim, o novo objeto se torna conhecimento “antigo” para ser utilizado num novo ciclo da dialética ferramenta-objeto.
g) Novo problema – propõe-se a reutilização dos novos conhecimentos.
Assim, são propostas situações mais complexas para que o aluno teste e/ou desenvolva os novos conhecimentos adquiridos.
De acordo com Martins (2006), o aluno pode recorrer as quatro primeiras etapas da dialética para resolver um problema, no entanto há necessidade da elaboração ou da formulação de conceitos intermediários para que ele atinja o objeto desejado, a aquisição do conceito. Desse modo, os dados obtidos para solucionar o problema poderão ser representados em diversos quadros da matemática, como por exemplo, o numérico por meio da elaboração de uma tabela, o geométrico com a construção de um gráfico ou com a determinação da expressão algébrica que melhor representa o problema.
Segundo Douady (1986, p.11) apud Martins (2006), “um quadro é constituído pelos objetos de um ramo da matemática, das relações entre esses objetos, e as várias imagens mentais associadas a esse objeto dentro desse quadro”.
Dentro deste contexto, Martins (2006) fala que um mesmo objeto pode ter diversas formas de representação num mesmo quadro, como por exemplo, o objeto função linear pode ser representado de diferentes formas dentro do quadro algébrico, ou seja, podemos utilizar a sua lei de formação que pode ser registrada como y = ax + b ou f(x) = ax + b ou na sua forma implícita como uma equação algébrica ax – y + b = 0.
Desse modo, um mesmo objeto visto em dois quadros distintos gera imagens mentais diferentes que são necessárias para compreensão desse objeto, pois a mudança de quadros permite a mudança de ponto de vista.
O objeto de aprendizagem “Potencializando o seu conhecimento” na perspectiva da Dialética Ferramenta-Objeto
O Objeto de Aprendizagem que estamos analisando apresenta uma situação-problema, por meio de uma atividade interativa que explora a realidade do dia-a-dia dos alunos, aborda a compra de aparelhos celulares, computadores e televisores, bem como explora fatores que estão relacionados ao tipo de compra que é realizada, ou seja, se a compra for a prazo existirão várias formas de pagamento e juros correspondentes que serão embutidos no valor do bem a ser adquirido. Ainda, este objeto não explora os conceitos relacionados a Função Exponencial de forma isolada/fragmentada, pois busca estabelecer uma conexão entre a mesmos e a Matemática Financeira.
Desse modo, primeiramente o aluno é convidado a entrar na loja e efetuar a compra de um dos eletrodomésticos disponíveis, podendo optar pela escolha de um modelo que melhor
se adapte as suas exigências em relação às funções que este realiza ou de acordo com os valores dos objetos.
Após a escolha do eletrodoméstico, bem como da leitura de uma parte teórica que fala a respeito dos juros e de como é calculado o montante, ou seja, o valor a ser pago ou recebido ao final de um período, é apresentado ao aluno uma situação-problema com uma tabela que deverá ser preenchida de acordo com os dados do problema. Faz-se necessário salientar que os valores do problema (valor a ser aplicado na caderneta de poupança e taxa de juros) não são sempre os mesmos, ou seja, aparecem de forma aleatória. Ainda as duas primeiras linhas da tabela já aparecem preenchidas. Como mostra a figura abaixo:
Figura – 1. Atividade da tela de N° 10.
Nesta atividade podem-se evidenciar duas etapas da dialética ferramenta-objeto: a primeira etapa (antigo), uma vez que o aluno deve mobilizar os seus conhecimentos prévios, neste caso, operações numéricas envolvendo o cálculo de porcentagens, e também a segunda etapa (pesquisa) visto que é necessário utilizar a fórmula do montante, entendido nesta situação como novo implícito.
No entanto, percebemos que se não houver a intervenção do professor após a realização desta atividade para discutir sobre as conclusões de cada grupo (terceira etapa da dialética: explicitação) os alunos não conseguem chegar a generalização da Função Exponencial. Sendo que essa generalização é dada de forma “pronta” na próxima tela.
Na seqüência, é dado continuidade à parte teórica que explica o que é uma Função Exponencial, sua representação algébrica e suas características, como por exemplo, o crescimento e o decrescimento da função como mostra as figuras abaixo:
Figura – 2. Atividade da tela de Nº 14.
Figura – 3. Atividade da tela nº 15.
Na tela de nº 14 os alunos deverão variar o valor da base “a” clicando nas setas azuis (figura – 2). Também será necessário fazer uso da segunda etapa da dialética, uma vez que o registro das observações realizadas (quarta etapa da dialética: novo implícito) permitem responder as atividades da tela nº 15, isto é, o aluno mobiliza o novo implícito para institucionalizar o conhecimento (quinta etapa da dialética), ou seja, ocorre a formalização dos conceitos e a definição das convenções pertinentes.
No entanto, para que isto aconteça, faz-se necessário que o professor durante a realização da atividade assuma o papel de mediador (terceira etapa da dialética: explicitação), promovendo discussões entre os grupos, validando ou não as conjecturas elaboradas.
Observa-se ainda que, se o professor não realizar as intervenções necessárias, corre-se o risco dos alunos não lembrarem do novo implícito e assim realizam tentativas até passarem para próxima tela, o que não é a finalidade do objeto de aprendizagem.
Nas próximas tela, é apresentada a representação algébrica da função exponencial, por meio da fórmula do juro composto (M=C(1.04) 1t), ou seja, mostrando que a função exponencial pode ser escrita como f(x) = b(a) cx, onde “b” e “c” são parâmetros constantes reais, diferentes de zero para cada função e a seguir o aluno poderá variar os valores dos parâmetros “b” e “c” e obsevar o que acontece com a representação gráfica da função exponencial para a base a=2 (a>1) e base a=1/2 (0<a<1) para responder questões relacionadas ao domínio, imagem e crescimento, como mostra o exemplo abaixo:
Figura – 4. Atividade tela de n° 21.
Figura – 5. Atividade tela de nº 22.
Percebe-se que antes dos alunos chegarem às telas de nº 21 e n°22, para resolverem as atividades, o professor precisa intervir (terceira etapa da dialética: explicitação) propiciando um momento para discussão das conclusões de cada grupo, a fim de que os alunos percebam que utilizando valores negativos para o parâmetro “b” ocorrem variações na imagem. Ainda,
que utilizando valores positivos para o parâmetro “c” há um afastamento da curva em relação ao eixo y e utilizando valores negativos para c há também mudança na função em relação ao crescimento ou decrescimento. A intervenção do professor, antes dos alunos chegarem às telas de nº 21 e nº 22, é de extrema importância para que os alunos não passem para as próximas telas por tentativa sem compreender os conceitos envolvidos.
Na tela de nº 23 os alunos deverão marcar as alternativas que representam uma função exponencial. Nesta atividade, percebe-se a sexta etapa da dialética (reinvestimento), pois os alunos utilizam os conhecimentos adquiridos para se familiarizarem com os mesmos.
Na seqüência é retomada a questão da compra do eletrodoméstico a fim de que os alunos escolham a forma de pagamento que poderá ser à vista ou, a prazo com uma entrada (50% do valor do bem) e mais seis vezes ou uma entrada (50 % do valor do bem) e mais dez vezes. Cabe ressaltar que se a compra for a prazo os alunos precisam efetuar os cálculos correspondente a forma de pagamento escolhida utilizando assim a primeira fase da dialética (antigo). Ainda, os alunos podem optar por não realizar a compra do eletrodoméstico. Independentemente da escolha que o aluno fizer (comprar à vista, a prazo ou não efetuar a compra) as atividades do objeto serão encerradas na próxima tela com um agradecimento pela visita do aluno à loja.
Considerações finais
Por meio da análise do Objeto de Aprendizagem “Potencializando o seu conhecimento”, é possível afirmar que o mesmo apresenta os princípios da Dialética Ferramenta – Objeto, pois a função exponencial desempenha alternativamente o papel de instrumento para resolver um problema, uma vez que, na situação explorada no objeto de aprendizagem o aluno é levado a reconhecer que o juro composto pode ser representado por uma função exponencial e de objeto que toma lugar na construção de um saber organizado, uma vez que é possível reconhecer, interpretar e descrever os fatores que influenciam a representação gráfica da função exponencial, isto é, a função exponencial é objeto de estudo e ferramenta para a resolução do problema proposto.
Percebemos ainda que as telas do objeto propiciam a utilização das diferentes formas de representação do mesmo objeto: língua natural, tabular, gráfica e algébrica, etapas intermediárias da fases da dialética, que permitem a compreensão dos conceitos matemáticos.
Entretanto, percebemos que o desenvolvimento das atividades do Objeto de Aprendizagem por si só, não garante a aquisição dos conceitos referentes ao objeto função
exponencial, uma vez que constatamos que os alunos conseguem “avançar” realizando tentativas sucessivas.
Assim, ficou claro que os alunos precisam registrar as suas observações, segunda etapa da dialética, bem como deve haver a intervenção do professor (terceira etapa da dialética: explicitação) promovendo um ambiente de discussão e análise das conclusões dos alunos para que as mesmas sejam validadas ou reformuladas, quinta fase da dialética institucionalização.
Dentro deste contexto, a sexta fase da dialética, o reinvestimento, mostrou-se eficiente ocupando um espaço significativo durante a realização das atividades, pois os alunos conseguem aplicar os novos conhecimentos como ferramenta para resolução do problema apresentado o que permite uma melhor assimilação do novo objeto.
Desse modo, o Objeto de Aprendizagem “Potencializando o seu conhecimento”, pode ser considerado um recurso que oportuniza a criação de espaços de análise, formulação de hipóteses e generalização por meio da exploração de situações personalizadas de ensino, desde que esteja intencionalmente alinhado ao planejamento do professor e de que este exerça um papel incentivador/mediador durante o processo de ensino e aprendizagem de seus alunos. Referências
ASSIS, Leila Souto de. Concepções de professores de Matemática quanto à utilização de objetos de aprendizagem: um estudo de caso do projeto RIVED-Brasil. Dissertação de Mestrado. São Paulo: PUC/SP, 2005.
BORBA, M.C. & PENTEADO, M.G. Informática e Educação Matemática. Belo Horizonte: Ed. Autêntica, 2001.
BRASIL, Ministério da Educação. Secretaria da Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares do Ensino Médio: Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília: MEC/Semtec, 1999.
BRASIL. Ministério da Educação e do Desporto. Plano Nacional do Livro didático do Ensino Médio. Brasília: SEB, 2005.
MAIA, Diana. Função Quadrática: um estudo didático de uma abordagem computacional. Dissertação de Mestrado. São Paulo: PUC – SP, 2007.
MARANHÃO, Maria Cristina S. de A. Dialética Ferramenta-Objeto. In: Educação Matemática: uma introdução. São Paulo: educ, 1999.
SANTOS, E. P. dos. Dissertação de mestrado. Função afim y=ax+b: a articulação entre os registros gráficos e algébricos com o auxílio de um software educativo. São Paulo: PUC-SP, 2002.
