ESTUDO DO CONTROLADOR LQG/LTR APLICADO A INVERSORES MONOFA SICOS

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UNIVERSIDADE TECNOL ÓGICA FEDERAL DO PARAN Á DEPARTAMENTO ACAD ÊMICO DE EL ÉTRICA

CURSO DE ENGENHARIA EL ´ETRICA

LET´ICIA DE ABREU ARA ´UJO

ESTUDO DO CONTROLADOR LQG/LTR APLICADO A

INVERSORES MONOF ´

ASICOS

TRABALHO DE CONCLUS ˜AO DE CURSO

PATO BRANCO 2017

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LET´ICIA DE ABREU ARA ´UJO

ESTUDO DO CONTROLADOR LQG/LTR APLICADO A

INVERSORES MONOF ´

ASICOS

Trabalho de Conclus ão de Curso de graduaç ão, apresentado à disciplina de Trabalho de Conclus ão de Curso 2, do Curso de Engenharia El étrica da Coordenaç ão de Engenharia El étrica - CO-ELT - da Universidade Tecnol ógica Federal do Paran á - UTFPR, C âmpus Pato Branco, como requisito parcial para obtenç ão do t´ıtulo de Engenheira Eletricista.

Orientador: Prof. Dr. Rafael Cardoso

PATO BRANCO 2017

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TERMO DE APROVAC¸ ˜AO

O Trabalho de Conclus ão de Curso intitulado ESTUDO DO CONTROLA-DOR LQG/LTR APLICADO A INVERSORES MONOF ÁSICOS do acad êmico Let´ıcia de Abreu Ara újo foi considerado APROVADO de acordo com a ata da banca

exami-nadoraN◦ 165 de 2017.

Fizeram parte da banca examinadora os professores:

Prof. Dr. Rafael Cardoso Prof. Dr. Emerson Giovani Carati

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AGRADECIMENTOS

Agradeço primeiramente a Deus, minha fam´ılia pelo apoio em todos os mo-mentos e por acreditar em meus sonhos, aos meus amigos que sem eles esse tra-balho e o caminho percorrido na graduaç ão teria sido muito mais dif´ıcil, e ao meu namorado, pelo incentivo, paci ência e companheirismo durante a graduaç ão e no de-senvolvimento deste trabalho.

Tamb ém devo agradecer ao professor Rafael Cardoso pela oportunidade de orientaç ão e desenvolvimento deste trabalho, sempre me incentivando e mostrando que podemos melhorar.

Finalmente, agradeço à UTFPR, universidade que abriu as portas para uma nova etapa em minha vida, tornando poss´ıvel a minha graduaç ão como Engenheira Eletricista.

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RESUMO

ARA ÚJO, Leticia de Abreu. Estudo do controlador LQG/LTR aplicado a In-versores Monof ásicos. 2017. 51p. Trabalho de Conclus ão de Curso (Graduaç ão em Engenharia El étrica) - Universidade Tecnol ógica Federal do Paran á, 2017.

A geraç ão distribu´ıda possibilita o consumidor brasileiro gerar sua pr ópria energia el étrica e injetar o excedente na rede, esses sistemas em sua totalidade utili-zam inversores para a conex ão com à rede de energia el étrica. Para que a conex ão com a rede de energia el étrica ocorra na forma correta é necess ário um sistema de controle que atue sobre o inversor do sistema. Este trabalho apresenta a utilizaç ão do controlador LQG/LTR aplicado a inversores monof ásicos conectados a rede de ener-gia el étrica. Para a realizaç ão do estudo do controlador LQG/LTR s ão consideradas variaç ões na imped ância da rede e um ru´ıdo de medida. Para verificar os resultados utilizou-se o controlador ressonante para prop ósito de comparaç ão, pois o mesmo j á vem sendo estudado para sistemas conectados a rede. Atrav és deste estudo, pode-se concluir a efic ácia do controlador LQG/LTR diante das incertezas e dist úrbios no ponto de conex ão do inversor monof ásico com a rede de energia el étrica.

Palavras-chave: Inversores conectados `a rede, controle, controlador PR, controlador

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ABSTRACT

ARA ´UJO, Leticia de Abreu. LQG / LTR Controller Study Applied to Single-Phase Inverters. 2017. 51p. Undergraduate Thesis (Bachelor’s degree in Electrical Engineering) - Federal University of Technology - Paran ´a. Pato Branco, 2017.

Distributed generation allows the Brazilian consumer to generate its own electricity and inject surplus into the grid, these systems in their entirety use inverters to connect to the grid. In order for the connection to the electricity grid to take place in the correct way, a control system is required that acts on the system inverter. This work presents the use of the LQG / LTR controller applied to single phase inverters connected to the electric power grid. In order to perform the LQG / LTR controller study, variations in the network impedance and a disturbance signal at the point of connection to the network are considered. To verify the results, the resonant controller was used for comparison purposes, since it has already been studied for systems connected to the network. Through this study, one can conclude the efficiency of the LQG / LTR controller in the face of uncertainties and disturbances at the point of connection of the single-phase inverter with the electric power grid.

Keywords: Single-Phase Grid-Connected Inverters, control, PR controller, LQG/LTR

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LISTA DE FIGURAS

Figura 1: Sistema de Gerac¸ ˜ao de Energia. . . 11

Figura 2: Inversor monof ´asico de topologia ponte completa conectado `a rede. . . 14

Figura 3: S1 e S2 operando de forma complementar. . . 15

Figura 4: Diagrama de Bode do controlador ressonante Ideal e N ˜ao Ideal. 17 Figura 5: Diagrama de blocos de um sistema a ser estudado. . . 18

Figura 6: Modelo do bloco PLL, utilizado neste trabalho. . . 19

Figura 7: Diagrama de Bode de malha aberta do controlador ressonante e da planta G(s). . . 21

Figura 8: Diagramas de Bode de malha aberta do controlador ressonante e da planta G(s). . . 22

Figura 9: Sistema considerando a imped ˆancia da rede. . . 23

Figura 10: Efeito do aumento da imped ˆancia da rede no sistema. . . 24

Figura 11: Efeito do aumento da imped ˆancia da rede no sistema. . . 25

Figura 12: Corrente de refer ˆencia e corrente de sa´ıda do inversor monof ´asico controlada pelo controlador ressonante. . . 27

Figura 13: Erro de rastreamento no caso 1. . . 27

Figura 14: Corrente de referencia e corrente de sa´ıda do inversor monof ´asico no Caso 2 14(a) e no Caso 3 14(b). . . 28

Figura 15: Erro de rastreamento no Caso 2 15(a) e no Caso 3 15(b). . . . 29

Figura 16: Diagramas de Bode de malha aberta do controlador ressonante e da planta G(s). . . 30

Figura 17: Corrente de referencia e corrente de sa´ıda do inversor monof ´asico no Caso 2 17(a) e no Caso 3 17(b). . . 31

Figura 18: Erro de rastreamento no Caso 2 18(a) e no Caso 3 18(b). . . . 32

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Figura 20: Diagrama de blocos do controlador LQG. . . 36 Figura 21: Sensibilidade S(s) do sistema controlado pelo m ´etodo LQG/LTR. 39 Figura 22: Sensibilidade Complementar T (s) do sistema controlado pelo

m ´etodo LQG/LTR. . . 40 Figura 23: Corrente de refer ˆencia e a corrente de sa´ıda do inversor

mo-nof ásico no Caso 2 (a) e no Caso 3 (b). . . 41 Figura 24: Erro de rastreamento no Caso 2 (a) e no Caso 3 (b). . . 42 Figura 25: Diagram de Bode de malha fechado da atuaç ão do controlador

ressonante. . . 44 Figura 26: Diagrama de Bode de malha fechada da atuac¸ ˜ao do controlador

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LISTA DE TABELAS

Tabela 1: M áxima Distorç ão Harm ônica de corrente em Percentuais de

Cor-rente. . . 15

Tabela 2: Dados do sistema ideal. . . 20

Tabela 3: Dados do sistema considerando a imped ˆancia da rede. . . 23

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SUM ÁRIO 1 INTRODUÇ ÃO . . . 10 1.1 OBJETIVO GERAL . . . 12 1.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS . . . 12 1.3 ORGANIZAÇ ÃO DO TRABALHO . . . 12 2 FUNDAMENTAÇ ÃO TE ÓRICA . . . 14 2.1 INTRODUÇ ÃO . . . 14

2.2 INVERSOR MONOF ´ASICO PONTE COMPLETA . . . 14

2.3 CONTROLADOR RESSONANTE . . . 16

2.4 CONTROLADOR LQG/LTR . . . 17

2.5 PHASE-LOCKED LOOP - PLL . . . 19

3 S´INTESE DO CONTROLADOR RESSONANTE . . . 20

3.1 INTRODUC¸ ˜AO . . . 20

3.2 SISTEMA SEM IMPED ˆANCIA DA REDE . . . 20

3.3 AN ´ALISE DA ESTABILIDADE CONSIDERANDO-SE OS EFEITOS DA IM-PED ˆANCIA DA REDE . . . 22

4 RESULTADOS DA ATUAC¸ ˜AO DO CONTROLADOR RESSONANTE . . . 26

4.1 INTRODUC¸ ˜AO . . . 26

4.2 CONTROLADOR RESSONANTE CONSIDERANDO REDE IDEAL . . . 26

4.3 CONTROLADOR RESSONANTE CONSIDERANDO IMPED ˆANCIA DE REDE N ˜AO NULA . . . 27

5 S´INTESE DO CONTROLADOR LQG/LTR . . . 33

5.1 INTRODUC¸ ˜AO . . . 33

5.2 MODELAGEM DO SISTEMA . . . 33

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5.4 PROJETO DO CONTROLADOR LQG/LTR . . . 38

5.5 RESULTADO DA ATUAC¸ ˜AO DO CONTROLADOR LQG/LTR . . . 39

6 COMPARAC¸ ˜AO DOS RESULTADOS OBTIDOS . . . 43

7 CONCLUS ˜AO . . . 45

ANEXO A - C ÓDIGO DO CONTROLADOR LQG/LTR . . . 49 ANEXO B - SIMULAÇ ÃO UTILIZADA PARA OBTENÇ ÃO DOS RESULTADOS . 50

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1 INTRODUC¸ ˜AO

A geraç ão de energia el étrica vem sendo repensada no mundo. Uma pes-quisa realizada pela Ag ência Internacional de Energia mostra um aumento na utilizaç ão de fontes renov áveis para a geraç ão de energia el étrica, em relaç ão a outras fontes prim árias de energia. Em n úmeros, a pesquisa diz que desde 1990, a geraç ão de energia por fontes renov áveis no mundo cresce na m édia de 3,6% no ano, o que é ligeiramente mais r ápido que a taxa de crescimento de todas as fontes prim árias de energia no mundo que cresce no mesmo per´ıodo um percentual de 2,9% (AGENCY, 2016).

No Brasil, de acordo com a Administraç ão de Informaç ão de Energia, a geraç ão de energia atrav és de fontes renov áveis tamb ém tem perspectiva de aumento (AGENCY, 2016). Inclusive a Ag ência Nacional de Energia El étrica (ANEEL) tem incen-tivado a adoç ão de medidas que buscam soluç ões alternativas as matrizes j á existen-tes, como a geraç ão distribu´ıda, no qual o consumidor pode gerar sua pr ópria energia el étrica a partir de fontes renov áveis ou a cogeraç ão qualificada e fornecer o exce-dente de energia gerada para a rede de distribuiç ão de sua localidade (ANEEL, 2015).

Assim, a geraç ão distribu´ıda permite o consumidor conectar o seu sistema de geraç ão de energia na rede de distribuiç ão el étrica. Para a conex ão desses siste-mas, tais como o sistema fotovoltaico, s ão utilizados inversores. Na qual, a funç ão do inversor é realizar a convers ão de tens ão CC em CA pois, usualmente, h á um est ágio CC para o armazenamento de energia (KANIESKI, 2010).

Os inversores geralmente podem ser classificados segundo ao n úmero de fases como inversores monof ásicos e inversores trif ásicos. O inversor escolhido para estudo é o monof ásico, pois é o mais utilizado em aplicaç ões de baixa pot ência, que é a que ocorre, por exemplo em sistemas fotovoltaicos residenciais. Esses inverso-res em geral usam sinais de controle PWM para produzir uma corrente CA de sa´ıda (RASHID, 1999), neste trabalho utiliza-se o controle PWM.

Com isso, a Figura 1 descreve o sistema considerado neste trabalho. O bloco Geraç ão de Energia representa os pain éis fotovoltaicos e o conversor CC/CC utilizado para garantir o m áximo aproveitamento de pot ência do conjunto de pain éis. Como este trabalho tem seu escopo no controle do inversor, este bloco n ão é

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deta-1 Introduc¸ ˜ao 11

lhado. O bloco Sistema de Controle é o respons ável pela correta operaç ão do inversor e ser á detalhado ao longo do trabalho. Da mesma forma, a topologia do inversor utilizada é um inversor monof ásico de ponte completa.

Conversor CC/CC Inversor CC/CA Sistema de Controle PWM Rede Elétrica VREDE IREDE Geração de Energia

Figura 1: Sistema de Geraç ão de Energia. Fonte: Autoria pr ópria

Uma das maiores dificuldades encontrada pelo controle de sistemas dis-tribu´ıdos é no ponto de conex ão do inversor com a rede de energia el étrica, devido as incertezas ocasionadas pelos tipos de cargas conectadas e a imped ância da rede vista no ponto de conex ão. Estes dist úrbios permitem a presença de harm ônicas no ponto de conex ão do inversor com a rede (CHEN et al., 2017).

Assim, o objetivo deste trabalho é o estudo de um m étodo de Controle Ro-busto que garanta a estabilidade e o desempenho do sistema, mesmo em condiç ões onde perturbaç ões e incertezas estejam presentes (LUQUE, 2007).

O controlador LQG/LTR, é caracterizado como um controlador robusto mul-tivari ável e os objetivos que este controlador busca atender s ão: o acompanhamento de sinais de refer ência, a rejeiç ão de perturbaç ões externas, a insensibilidade a variaç ões na planta e a rejeiç ão do erro de medida (CRUZ, 1996).

O m étodo de controle LQG/LTR utiliza dois procedimentos que s ão: a obtenç ão do controlador linear quadr ático ótimo e a recuperaç ão das propriedades desejadas de robustez a ele associada. Para o projeto é preciso especificar o par de matrizes do observador de estados e assim, definir os par âmetros de controle para garantir a estabilidade do sistema.

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1.1 Objetivo Geral 12

aplicado a inversores monof ásicos e uma comparaç ão com o uso do controlador res-sonante aplicado ao mesmo sistema. A comparaç ão com o controlador resres-sonante se deve ao fato do mesmo ter recebido grande destaque nas aplicaç ões conectadas à rede de energia el étrica devido a sua capacidade de eliminar o erro de sinais com refer ências senoidais e ser de simples implementaç ão.

Sendo assim, ao final deste trabalho ser á poss´ıvel determinar o impacto da incerteza param étrica no controlador LQG/LTR aplicado a um inversor monof ásico conectado a rede de energia el étrica.

1.1 OBJETIVO GERAL

O principal objetivo deste trabalho é investigar o uso de um sistema de con-trole, baseado no controlador LQG/LTR, visando o controle de inversores monof ásicos conectados na rede el étrica de energia.

1.2 OBJETIVOS ESPEC´IFICOS

• Projetar e simular um sistema de controle baseado no controlador ressonante para um inversor conectado a rede de distribuiç ão monof ásica ideal para prop ósitos de comparaç ão.

• Considerar uma rede n ˜ao ideal com o acoplamento de um filtro L e analisar seu efeito no desempenho do controlador e na estabilidade do sistema.

• Projetar um controlador LQG/LTR e analisar seu desempenho para sistema co-nectado a rede n ˜ao ideal.

• Realizar simulaç ões computacionais para comparar o desempenho do controla-dor LQG/LTR com o controlacontrola-dor ressonante para rede n ão ideais.

1.3 ORGANIZAC¸ ˜AO DO TRABALHO

Esta monografia est á dividida em seis Cap´ıtulos. Sendo o primeiro a introduç ão, os outros est ão descritos na sequ ência.

• O Cap´ıtulo 2 cont ém a revis ão te órica do trabalho. Nele s ão apresentados os principais conceitos relativos ao inversor e ao sistema de controle. Ainda nesse Cap´ıtulo, tamb ém s ão abordados os fundamentos do controlador Ressonante e do controlador LQG/LTR.

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1.3 Organizac¸ ˜ao do trabalho 13

• O Cap´ıtulo 3 é reservado para a modelagem do sistema, descriç ão e projeto do Controlador Ressonante. Nele é modelado uma planta ideal com um filtro L, ou seja, n ão é considerada a imped ância da rede.

• O Cap´ıtulo 4 apresenta os resultados da atuaç ão do controlador Ressonante no sistema modelado no Cap´ıtulo 3. Os resultados obtidos s ão analisados e discu-tidos.

• O Cap´ıtulo 5 é apresentado o m étodo LQG/LTR. Inicialmente é feita a mode-lagem do sistema, para a aplicaç ão do m étodo LQG/LTR. Posteriormente, o controlador LQG/LTR é projetado e, finalmente, s ão apresentados os resulta-dos obtiresulta-dos com a atuaç ão do controlador LQG/LTR avaliando sua efici ência em comparaç ão ao controlador Ressonante.

• No Cap´ıtulo 6 é realizada a comparaç ão da atuaç ão do controlador LQG/LTR com o controlador ressonante, avaliando-se sua efici ência.

• O Cap´ıtulo 7 finaliza o trabalho estabelecendo as principais conclus ˜oes e pro-pondo sugest ˜oes para trabalhos futuros.

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2 FUNDAMENTAÇ ÃO TE ÓRICA

2.1 INTRODUC¸ ˜AO

Este cap´ıtulo apresenta os principais t ópicos relevantes no contexto deste trabalho. É realizada uma breve revis ão sobre o inversor monof ásico ponte completa, bem como é apresentado o controlador ressonante. Os conceitos b ásicos do controle LQG/LTR s ão tamb ém introduzidos. Ao final deste cap´ıtulo ser á poss´ıvel entender a base de funcionamento dos controladores propostos e as metodologias utilizadas para o projeto de cada um deles.

2.2 INVERSOR MONOF ´ASICO PONTE COMPLETA

O inversor tem um importante papel na geraç ão distribu´ıda, pois é ele quem possibilita um sistema de geraç ão de energia, como por exemplo os sistemas fotovol-taicos, e ólicos, baseados em c élulas de combust´ıvel e micro turbinas operarem co-nectados com a rede de energia el étrica.

Devido o aumento da tecnologia na área de eletr ônica de pot ência, no mer-cado é encontrada uma grande variedade de topologias de inversores. A topologia de ponte completa, apresentada na Figura 2, é usualmente utilizada em sistemas fotovol-taicos. Comparada ao inversor meia ponte, o inversor de ponte completa consegue processar maior quantidade de energia com o mesmo valor de barramento CC.

UPWM

Figura 2: Inversor monof ´asico de topologia ponte completa conec-tado `a rede.

Fonte: Autoria pr ´opria.

O inversor de ponte completa monof ´asico possui dois brac¸os compostos por um par de chaves semicondutoras, de modo que as chaves S1 e S4, assim como

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2.2 Inversor Monof ´asico Ponte Completa 15

as chaves S3 e S2 operam de forma complementar, como apresentado na Figura 3.

UPWM

Figura 3: S1e S2operando de forma complementar.

Se a tens ão CC de entrada do inversor for constante, uma tens ão vari ável de sa´ıda pode ser obtida pela variaç ão do ganho do inversor, a qual é normalmente realizada pelo controle de PWM (RASHID, 1999). A forma de corrente de sa´ıda deste in-versor deve ser senoidal, mas na pr ática n ão é senoidal pelo fato de conter harm ônicos oriundos da modulaç ão PWM. Em sistemas que utilizam-se inversores conectados à rede, esses harm ônicos causados pela modulaç ão PWM s ão indesej áveis.

Essas componentes harm ônicas, podem causar: problemas como a degradaç ão do fator de pot ência, distorç ões nas formas de onda de corrente e tens ão, aqueci-mento de eleaqueci-mentos reativos e irradiaç ões de ondas eletromagn éticas (ALEX-SANDER et al., 2008).

Ainda, de acordo com a norma IEEE 1547, as condiç ões que devem ser atendidas para a conex ão com à rede em relaç ão a m áxima distorç ão de corrente, s ão apresentadas na Tabela 1.

Tabela 1: M áxima Distorç ão Harm ônica de corrente em Percentuais de Corrente. Ordem Harm ônica Individual

(harm ˆonicas ´ımpares) h<11 11≤h<17 17≤h<23 23≤h<35 h≥35

Distorç ão Harm ônica Total

% 4,0 2,0 1,5 0,6 0,3 5,0

Fonte: IEEE 1547.

Uma sa´ıda para reduzir as componentes harm ônicas, é a utilizaç ão de filtros na sa´ıda do inversor com a conex ão com a rede, de modo que atenue as harm ônicas de ordem superior, de maneira a atender as normas relativas à qualidade do sinal a ser injetado na rede (POMILIO, 2007).

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2.3 Controlador Ressonante 16

2.3 CONTROLADOR RESSONANTE

O controlador ressonante é um controlador baseado no princ´ıpio do modelo interno, ou seja, para que seja garantido o seguimento de refer ência e/ou rejeiç ão à pertubaç ão, adiciona-se à malha de controle, ou na planta ou no controlador, um termo que apresente ganho infinito na frequ ência que se deseja seguir e/ou rejeitar (SCHILDT, 2014).

No controle de inversores, o objetivo do controlador é seguir uma refer ência senoidal com frequ ência w0. No controlador ressonante, w0 é a sua frequ ência de resson ância, que neste trabalho, relaciona-se com a frequ ência da rede, isto é 60Hz. Assim, tem-se que w0 ' 377 rad/s.

A estrutura do controlador na forma ideal é apresentada na Equaç ão 1. Nessa configuraç ão considera-se um par de p ólos complexos e conjugados sobre o eixo imagin ário exatamente na frequ ência do sinal de refer ência w0.

Cres = kp+

kr.s s2_{+ w}

02

(1) O controlador na forma ideal garante erro nulo em regime permanente para uma entrada senoidal de frequ ência w0. Entretanto, para evitar problemas de esta-bilidade associados a um ganho infinito, é acrescentado uma constante de amorte-cimento wa na funç ão de transfer ência do controlador PR (TEODORESCU et al., 2006). A funç ão de transfer ência do controlador PR com a constante de amortecimento é apresentada na Equaç ão 2.

Cres= kp+

kr.wa.s s2_{+ w}

a.s + w02

(2) A introduç ão da constante de amortecimento reduz o ganho do controla-dor na frequ ência w0 e faz com que o ganho deste em torno da frequ ência de res-son ância seja maior. Dessa forma, garante-se que o controlador tenha um ganho elevado mesmo se a frequ ência de refer ência divergir ligeiramente de w0.

A Figura 4 ilustra a diferenc¸a na resposta em frequ ˆencia do controlador ressonante ideal e do controlador com constante de amortecimento.

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2.4 Controlador LQG/LTR 17 0 100 200 300 Magnitude (dB) 100 101 102 103 -45 0 45 90 Fase (deg) Ideal Não Ideal Diagrama de Bode Frequência (Hz)

Figura 4: Diagrama de Bode do controlador ressonante Ideal e N ˜ao Ideal. Fonte: Autoria pr ´opria.

O ganho kp é escolhido de modo que a planta seja est ável e tenha uma boa resposta din âmica. O ganho kr é projetado de forma a corrigir o erro de amplitude e fase sem comprometer a margem de fase (NAHAR, 2015).

2.4 CONTROLADOR LQG/LTR

O m étodo LQG/LTR (Linear Quadratic Gaussian with Loop Transfer Reco-very ) inicialmente foi proposto por (DOYLE; STEIN, 1981) para o projeto de controlado-res. Esse m étodo trata-se de uma t écnica de controle robusto, ou seja, tolerante a grandes incertezas e dist úrbios, que pode ser aplicado tanto em sistemas SISO (Sin-gle Input – Sin(Sin-gle Output) quanto MIMO (Multiple Input – Multiple Output) (SILVA et al., 2014).

Para descrever a metodologia de funcionamento do controlador LQG/LTR um diagrama geral do sistema a ser estudado ´e apresentado na forma de diagramas de blocos na figura 5.

Os sinais apresentados na figura representam os sinais que comp õem o sistema a ser estudado, de modo que r(s) representa a refer ência do sistema, u(s) o sinal de controle gerado pelo controlador (K(s)), y(s) o sinal de sa´ıda do sistema, d(s) as pertubaç ões ou ru´ıdos, n(s) s ão as incertezas e G(s) a planta do sistema.

Os objetivos que o controlador LQG/LTR deve atender s ˜ao: • que a sa´ıda y(s) acompanhe o sinal de refer ˆencia r(s);

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2.4 Controlador LQG/LTR 18

n(s) Figura 5: Diagrama de blocos de um sistema a ser estudado. Fonte: Autoria pr ´opria.

• que o sinal de pertubac¸ ˜ao d(s) seja rejeitado sobre a sa´ıda y(s);

• e que apresente estabilidade e desempenho robusto diante de incertezas no modelo.

Para garantir essas especificaç ões é projetado o controlador K(s), ou seja, o controlador LQG/LTR, o m étodo combina instrumentos como o controlador linear ótimo quadr ático (LQR) e o Filtro de Kalman, de onde se justifica a parte ”LQG”(Linear Quadr ático Gaussiano) (CRUZ, 1996).

O controlador linear ótimo quadr ático (LQR) garante a estabilidade do sis-tema regulado em malha fechada, se condiç ões como margem de ganho e margem de fase s ão satisfeitas. A dificuldade encontrada pelo LQR é que sua implementaç ão requer a realimentaç ão de todos os estados do sistema, mas na pr ática nem todos esses estados s ão acess´ıveis.

Uma forma de resolver este problema, é utilizando observadores de estado, para que assim todos os estados do sistema sejam realimentados. Em 1979, (DOYLE; STEIN, 1979) apresentaram um artigo com o procedimento de ajuste para controlado-res lineacontrolado-res com observadocontrolado-res de estado, pois (DOYLE; STEIN, 1979) haviam provado que a utilizaç ão de observadores podia reduzir a robustez do regulador LQR.

Sendo assim, foi proposto o m étodo LQG/LTR, que é o projeto de con-troladores combinados com observadores, em que utiliza a t écnica de loop transfer recovery (LTR) em conjunto com a fomulaç ão do regulador linear gaussiano (LQG). A metodologia LQG/LTR se assemelha ao c álculo dos ganhos de um filtro de Kal-man, mas com algumas modificaç ões nas matrizes de covari ância das pertubaç ões atuantes no sistema e dos ru´ıdos de mediç ão das sa´ıdas do sistemaSILVA.

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2.5 Phase-Locked Loop - PLL 19

2.5 PHASE-LOCKED LOOP - PLL

Uma parte cr´ıtica em sistemas de controle de inversores monof ásicos co-nectados a rede é a sincronizaç ão do sistema de geraç ão de energia com a rede el étrica.

Diferentes t écnicas vem sendo utilizadas na literatura para a sincronizaç ão de sistemas de geraç ão com a rede el étrica. Uma t écnica bem disseminada é Phase-Locked Loop, PLL. A ideia principal do PLL é gerar um sinal cujo ângulo de fase encontra-se continuamente rastreando variaç ões do ângulo de fase de um dado sinal (MARANGONI, 2012). Normalmente a estrat égia utilizada nesse sistema é estimar a diferença entre o ângulo de fase do sinal de entrada e do sinal gerado e levar este valor a zero por meio de uma malha de controle.

Em sua totalidade, os sistemas PLL’s s ão baseados em tr ês partes. A pri-meira parte é o detector de fase (Phase Detector - PD), o PD é quem gera o sinal de erro de fase, esse sinal de erro gerado é o erro entre o sinal de entrada e a fase esti-mada. A segunda parte trata-se um loop filter (Loop Filter - LF), o LF é respons ável por eliminar dist úrbios gerados dentro do loop de controle do PLL. O LF tamb ém deve garantir uma resposta din âmica, um bom rastreamento das caracter´ısticas do sinal de entrada e manter a estabilidade do PLL. Em aplicaç ões relacionadas a sistemas de energia el étrica, o LF geralmente é um controlador proporcional integral (PI). A última parte é um oscilador controlado de tens ão (Voltage-controlled Oscillator - VCO), o qual gera o sinal de sa´ıda, ou seja, o sinal com as caracter´ısticas do sinal de entrada, de modo que essas caracter´ısticas s ão a frequ ência e a velocidade angular do sinal de entrada do PLL.

Na Figura 6 ´e apresentado o diagrama interno do bloco PLL que ser ´a utili-zado neste trabalho.

cos Entrada* Freq X PID VCO Ganho Detector de fase Filtro Freq wt Entrada

Figura 6: Modelo do bloco PLL, utilizado neste trabalho. Fonte: Autoria pr ´opria (Baseado no software Matlab).

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20

3 S´INTESE DO CONTROLADOR RESSONANTE

3.1 INTRODUC¸ ˜AO

Este cap´ıtulo tem o objetivo de descrever a modelagem de um inversor monof ásico para aplicaç ão em geraç ão distribu´ıda. Inicialmente, considera-se um, modelo simplificado onde a imped ância de rede é desprezada. Na sequ ência, um controlador ressonante é projetado considerando este modelo simplificado. Um estudo de estabilidade é apresentado para o sistema controlado pelo controlador ressonante considerando-se os efeitos da inserç ão da imped ância da rede.

3.2 SISTEMA SEM IMPED ˆANCIA DA REDE

Para iniciar o estudo do controlador Ressonante aplicado a inversores mo-nof ásicos, inicia-se com uma planta ideal, ou seja, n ão foi considerado a imped ância da rede. A planta ideal j á foi ilustrada na Figura 2, e seus par âmetros s ão descritos na Tabela 2.

Tabela 2: Dados do sistema ideal.

Par âmetros Descriç ão Valor

L Indut ˆancia 2, 5mH

Vcc Tens ˜ao CC 300V

Vrede(RM S) Tens ˜ao da Rede 127V

frede Frequ ˆencia da Rede 60Hz

finv Frequ ˆencia de Chaveamento 10kHz

Fonte: Autoria Pr ´opria.

A funç ão de transfer ência encontrada para o sistema ideal é apresentada na equaç ão 3. E a partir da modelagem do sistema ideal é projetado o controlador PR.

(23)

3.2 Sistema sem Imped ˆancia da Rede 21

G(s) = ig(s) UP W M(s)

= 1

sL (3)

Para o controlador PR foi considerada a frequ ência de resson ância como sendo a da rede. Logo tem-se w0 ' 377rad/s, a frequ ência de amortecimento esco-lhida foi de fa = 10Hz, ent ão wa = 2 · π · 10rad/s. Com isso, o pr óximo passo foi determinar os ganhos kp e kr.

Primeiro determinou-se o ganho kp. Para determinar kp utilizou-se o dia-grama de Bode para encontrar um valor de ganho kp onde o sistema seja est ável. E por meio da simulaç ão realizada pelo software matlab foram feitos os ajustes para que ganho kp apresentasse uma boa resposta din âmica.

O diagrama de Bode apresentado na Figura 7 mostra o comportamento do controlador ressonante com a planta e o ganho kp escolhido. Observando a Figura 7 podemos ver que a margem de fase encontrada para o ganho kp ´e de 88, 7◦garantindo assim que o sistema com o controlador seja est ´avel.

-20 0 20 40 60 80 Magnitude (dB) 100 101 102 103 104 -180 -135 -90 -45 0 Fase (deg) Diagrama de Bode Frequência (Hz) Margem de Fase: 88.7º

Figura 7: Diagrama de Bode de malha aberta do controlador ressonante e da planta G(s). Fonte: Autoria pr ´opria.

Para especificar o ganho kr, o crit ério que deve ser atendido é que o ganho apresentado no diagrama de Bode, deve ser o maior poss´ıvel na frequ ência de w0 ' 377rad/s. Sendo assim, foi realizado uma rotina no software Matlab para investigar um valor de ganho que na frequ ência de w0 ' 377rad/s atenda esse crit ério. A rotina é iniciada com kr igual a 500 e realiza incrementos de 50 at é kr igual a 750. Os diagramas de Bode s ão apresentados na Figura 8.

(24)

3.3 An ´alise da estabilidade considerando-se os efeitos da imped ˆancia da rede 22 0 20 40 60 80 Magnitude (dB) 101 102 103 -180 -135 -90 -45 0 Fase (deg) kr=550 kr=600 kr=650 kr=700 kr=750 Diagrama de Bode Frequência (Hz)

Figura 8: Diagramas de Bode de malha aberta do controlador ressonante e da planta G(s). Fonte: Autoria pr ´opria.

Dessa forma, como apresentado na Figura 8 o ganho kr = 750 é o que apresenta maior ganho na frequ ência de w0 ' 377rad/s. Logo determinou-se que o ganho kr é de 750.

Definidos os par âmetros do controlador PR aplica-se os mesmos na Equaç ão 2. Assim, a equaç ão da funç ão de transfer ência do controlador encontrada, é apre-sentada na Equaç ão 4.

Gres(s) = 75 +

750 · 125, 64

s2_{+ 125, 64s + 142122, 3} (4)

3.3 AN ´ALISE DA ESTABILIDADE CONSIDERANDO-SE OS EFEITOS DA IMPED ˆANCIA DA REDE

Uma vez que na pr ática a imped ância de rede pode ser de dif´ıcil caracterizaç ão e esta apresenta impactos na din âmica do sistema, é importante se analisar seus efei-tos. Assim, é adicionada uma imped ância na rede de distribuiç ão conforme ilustra a Figura 9.

(25)

3.3 An ´alise da estabilidade considerando-se os efeitos da imped ˆancia da rede 23

LG RG

UPWM

Figura 9: Sistema considerando a imped ˆancia da rede. Fonte: Autoria pr ´opria.

A funç ão de transfer ência da planta da Figura 9, é apresentada na Equaç ão 5. G(s) = ig(s) UP W M(s) = 1 s(L + Lg) + Rg (5) Na qual a imped ância da rede é representada por Lg e Rg, e o par âmetro L representa o filtro L.

Algumas concession árias disponibilizam as especificaç ões dos cabos CA tipicamente utilizados, logo é poss´ıvel determinar os valores de imped ância para a rede. Os valores escolhidos s ão apresentados na Tabela 3. Esses valores foram adaptados das concession árias CELG e COPEL.

Tabela 3: Dados do sistema considerando a imped ância da rede. Caso Dist ância(km) Resist ência (R) [Ω\km] Imped ância (X) [Ω\km]

1 0,0 0,0 0,0

2 1,0 1,5 0,9

3 2,0 3,0 1,8

Os valores encontrados s ão baseados em cabos de alum´ınio nu com alma de aço tipo CAA, esses cabos s ão geralmente os utilizados em redes de distribuiç ão rurais, onde ainda se encontra uma grande quantidade de redes de distribuiç ões mo-nof ásicas.

Na Tabela 3, quando a dist ância é 0, tem-se o caso do sistema ideal. Isso significa que a fonte prim ária est á muito pr óxima do inversor sendo a imped ância na rede desprez´ıvel.

(26)

para analisar os efeitos da imped ˆancia ao sistema. Nessa rotina foram considerados os casos 1, 2 e 3 apresentados na Tabela 3.

A primeira an álise foi realizada atrav és do diagrama de Bode do sistema em malha aberta onde foi considerado o controlador ressonante e a planta demonstrada na Equaç ão 5. Os diagramas s ão apresentados na Figura 10.

-20 0 20 40 60 80 Magnitude (dB) 100 101 102 103 104 -180 -135 -90 -45 0 45 Fase (deg) caso 1 caso 2 caso 3 Diagrama de Bode Frequência (Hz)

Figura 10: Efeito do aumento da imped ˆancia da rede no sistema. Fonte: Autoria pr ´opria.

Com a Figura 10 foi poss´ıvel observar que em todos os casos, o sistema permanece est ´avel. Isso pode ser conclu´ıdo por meio do comportamento da margem de fase de cada caso, onde os valores de margem de fase s ˜ao menores que 180◦, como demostrado na Tabela 4.

Tabela 4: Margem de ganho e de fase para os casos 1, 2 e 3. Caso Margem de Fase) Margem de Ganho

1 88,8◦ ∞

2 88,8◦ ∞

3 88,8◦ ∞

Outro aspecto observado nos diagramas de Bode foram que de acordo com o aumento das imped âncias da rede o ganho na frequ ência de w0 ' 377rad/s diminuiu. Essa alteraç ão no ganho pode causar perda de desempenho no controlador, como

(27)

dificuldade no rastreamento de refer ˆencia.

Tamb ém foi observado o comportamento do sistema considerando a im-ped ância da rede pela funç ão pzmap do software Matlab. Com a funç ão pzmap foi analisada a tend ência dos polos e zeros do sistema em malha fechada para os tr ês casos da Tabela 3. O resultado é apresentado na Figura 11.

Figura 11: Efeito do aumento da imped ˆancia da rede no sistema. Fonte: Autoria pr ´opria.

Pelo comportamento observado no mapeamento de polos e zeros, espera-se que o controlador tenha problema de deespera-sempenho, pois o aumento da imped ância da rede faz com que os polos e zeros do sistema sofram alteraç ões de localizaç ão. Estas alteraç ões afetam o controlador no rastreamento da refer ência (SOUZA, 2007), visto que o projeto do controlador foi feito para o caso 1, ou seja onde n ão é considera a imped ância da rede.

Com a estabilidade n ão é esperado problemas, pois como observado na Figura 11 conforme o aumento do valor da imped ância os polos no eixo real seguem uma tend ência a caminho do semiplano direito, mas n ão chegam a deslocar-se para o semiplano direito.

(28)

26

4 RESULTADOS DA ATUAC¸ ˜AO DO CONTROLADOR RESSONANTE

4.1 INTRODUC¸ ˜AO

Este cap´ıtulo é dedicado a apresentaç ão dos resultados obtidos atrav és da atuaç ão do Controlador Ressonante. Inicialmente é apresentada a resposta do contro-lador atuando em um sistema desconsiderando a imped ância da rede. Na sequ ência, s ão apresentados os resultados obtidos da atuaç ão do controlador em uma planta considerando a imped ância da rede com um filtro L.

4.2 CONTROLADOR RESSONANTE CONSIDERANDO REDE IDEAL

Os par ˆametros do controlador, foram projetados baseados na planta ideal, conforme projeto descrito no cap´ıtulo 3. Por isso, espera-se que o controlador atuando neste primeiro modelo consiga rastrear a refer ˆencia.

A resposta do sistema é apresentada na Figura 12. A corrente no tempo de 0,10 segundos, tem um aumento de amplitude de 20A para 30A. Esse aumento de amplitude visa testar o comportamento transit ório do sistema. O dist úrbio considerado nas simulaç ões é do tipo gaussiano, com m édia 0 e vari ância de 1,5. Essa pertubaç ão

´e considerada na sa´ıda do sistema.

Observando a Figura 12 nota-se que o controlador obteve uma resposta satisfat ória no rastreamento da corrente de refer ência. Outro ponto observado foi que a corrente de sa´ıda do inversor no in´ıcio da simulaç ão n ão acompanha a corrente de refer ência por alguns milissegundos e esse comportamento se repete onde o dist úrbio é percept´ıvel. Afim de analisar melhor esse comportamento é apresentado na Figura 13 o erro da corrente de sa´ıda do inversor em relaç ão à corrente de refer ência.

Observando a Figura 13 percebe-se um erro maior de rastreamento em al-guns pontos. O pr óximo passo é adicionar a imped ância da rede ao sistema e verificar seus efeitos.

(29)

4.3 Controlador Ressonante considerando imped ˆancia de rede n ˜ao nula 27 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 Tempo (s) -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 Corrente (A)

Corrente de Saída do Inversor

Corrente de Saída do Inversor Corrente de Referência

Figura 12: Corrente de refer ˆencia e corrente de sa´ıda do inversor monof ´asico controlada pelo controlador ressonante.

Figura 13: Erro de rastreamento no caso 1. Fonte: Autoria pr ´opria.

4.3 CONTROLADOR RESSONANTE CONSIDERANDO IMPED ˆANCIA DE REDE N ˜AO NULA

A atuaç ão do controlador ressonante é verificada considerando-se uma rede de imped ância n ão nula. Para isso foi adicionada a imped ância da rede ao sis-tema. A imped ância da rede pode assumir valores diferentes, isso pode ocorrer devido ao cabo utilizado na rede de distribuiç ão, a dist ância em que o inversor é conectado à rede, a quantidade de equipamentos encontrados na rede el étrica e tamb ém a

(30)

adver-4.3 Controlador Ressonante considerando imped ˆancia de rede n ˜ao nula 28

sidades naturais.

Os valores escolhidos para a simulaç ão da imped ância da rede, s ão os do caso 2 e 3. Como discutido no cap´ıtulo anterior a imped ância da rede faz com que o sistema reduza o seu desempenho. O resultado da simulaç ão é apresentado na Figura 14. 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 Tempo (s) -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 Corrente (A)

Corrente de Saída do Inversor Corrente de Referência (a) 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 Tempo (s) -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 Corrente (A)

(b)

Figura 14: Corrente de referencia e corrente de sa´ıda do inversor monof ´asico no Caso 2 14(a) e no Caso 3 14(b).

O que foi observado na Figura 14 ´e que com o aumento da imped ˆancia da rede, o sistema de controle tem uma maior dificuldade em manter a corrente de

(31)

4.3 Controlador Ressonante considerando imped ˆancia de rede n ˜ao nula 29

sa´ıda do inversor com a mesma amplitude da corrente de refer ˆencia. Comparando os resultados do caso 2 e do caso 3 nota-se que quanto maior a imped ˆancia menor foi a amplitude da corrente de sa´ıda do inversor.

Na Figura 15 s ão apresentados para o caso 2 e 3 os gr áficos de erro de rastreamento. Nele foi poss´ıvel visualizar uma diminuiç ão no ripple da corrente de sa´ıda do inversor de acordo com o aumento da imped ância da rede.

(a)

(b)

Figura 15: Erro de rastreamento no Caso 2 15(a) e no Caso 3 15(b).

A fim de aumentar a amplitude da corrente de sa´ıda do inversor foi realizada uma alteraç ão o ganho kr, pois como j á foi comentado o ganho kr é projetado de forma

(32)

a corrigir o erro de amplitude e fase sem comprometer a margem de fase.

Utilizou-se a rotina desenvolvida para o primeiro projeto do ganho kr para encontrar um novo ganho. Os resultados obtidos com a rotina s ˜ao apresentados na Figura 16. -50 0 50 100 Magnitude (dB) 100 101 102 103 104 105 -180 -135 -90 -45 0 Fase (deg) kr=750 kr=1500 kr=2250 kr=3000 kr=3750 Diagrama de Bode Frequência (rad/s)

Figura 16: Diagramas de Bode de malha aberta do controlador ressonante e da planta G(s). Fonte: Autoria pr ´opria.

Analisando a Figura 16 o ganho com maior valor valor na frequ ência de w0 ' 377rad/s é o ganho de kr igual a 3750 e esse valor de ganho tamb ém n ão deixou o sistema inst ável como pode ser verificado pela margem de fase que nesse caso é de 84,7◦. Ent ão o novo valor do ganho kr é de 3750.

Os resultados do caso 2 e 3 para o novo valor do ganho kr s ˜ao apresenta-dos na Figura 17.

(33)

4.3 Controlador Ressonante considerando imped ˆancia de rede n ˜ao nula 31 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 Tempo (s) -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 Corrente (A)

(b)

Figura 17: Corrente de referencia e corrente de sa´ıda do inversor monof ´asico no Caso 2 17(a) e no Caso 3 17(b).

Com o ajuste do controlador, o sistema apresentou uma melhora na ampli-tude da corrente de sa´ıda do inversor, conforme ilustrado na figura 17.

O erro de rastreamento do sistema tamb ´em foi verificado para o caso 2 e 3, e ´e apresentado na Figura 18. Com a Figura 18 notou-se que o ripple da corrente de sa´ıda do inversor diminuiu.

(34)

(a)

(b)

(35)

33

5 S´INTESE DO CONTROLADOR LQG/LTR

5.1 INTRODUC¸ ˜AO

Nesse cap´ıtulo ser á inicialmente descrita a metodologia de projeto do con-trolador LQG/LTR, e os passo realizados para o projeto do concon-trolador. Na sequ ência, ser á apresentado os resultados da atuaç ão do controlador LQG/LTR aplicado ao sis-tema considerando as incertezas. Por fim é realizada uma comparaç ão entre os re-sultados do Controlador Ressonante e o Controlador LQG/LTR.

5.2 MODELAGEM DO SISTEMA

Para aplicaç ão do controlador LQG/LTR a planta do sistema tamb ém con-sidera o controlador Ressonante projetado na Seç ão 4.3, nessa Seç ão foi alterado o valor ganho kr do controlador ressonante para aumentar a amplitude da corrente de sa´ıda do inversor. O controlador ressonante, ent ão utilizado para o projeto do contro-lador LQG/LTR é apresentado na Equaç ão 6.

Gres(s) = 75 +

3750 · 125, 64

s2_{+ 125, 64s + 142122, 3} (6) O controlador ressonante é inclu´ıdo ao projeto, pois a planta deve apresen-tar rejeiç ões de pertubaç ões em car áter estacion ário, ou seja, erro nulo em regime estacion ário (MATOS et al., 2008).

A planta do inversor é a mesma descrita no cap´ıtulo 3, a funç ão de trans-fer ência retrans-ferente a planta do inversor é demonstrada na Equaç ão 7.

G(s) = ig(s) UP W M(s) = 1 s(L + Lg) + Rg (7) Os par âmetros Lg e Rg apresentados na Equaç ão 7 representam a im-ped ância da rede e L representa o filtro passivo de primeira ordem.

Tendo definido estes par âmetros, temos que a planta que ser á aplicada ao controlador LQG/LTR é Gn(s), na qual Gn(s) é Gres(s) · G(s). O diagrama de blocos que representa Gn(s) é apresentado na Figura 19.

(36)

G (s)

_res

G(s)

Figura 19: Diagrama de blocos de Gn(s).

Determinada Gn(s)com o software Matlab utilizou-se a funç ão ssdata para convers ão da funç ão de transfer ência para espaço de estados. Assim, a Equaç ão 8 representa Gn(s)em espaços de estados.

A =     −403, 37 −345, 73 −301, 14 512 0 0 0 256 0     B =     256 0 0     C =h 54, 24 13, 31 61, 30 i D =h 0 i (8)

A planta Gn(s) deve seguir alguns requisitos, para assim ser poss´ıvel a aplicaç ão do controlador LQG/LTR. Os requisitos que a planta deve cumprir s ão ( MA-TOS et al., 2008):

• a planta deve ser fase m´ınima, isto ´e, os zeros s ˜ao localizados no semiplano esquerdo aberto;

• o par (A,B) deve ser control ´avel e • o par (C,A) deve ser observ ´avel.

Este requisitos foram testado com o software Matlab e a planta Gn(s) se encaixa em todos. Uma vez que estes requisitos s ão cumpridos pela planta Gn(s), inicia-se o projeto do controlador LQG/LTR na seç ão seguinte.

5.3 CONTROLADOR LQG/LTR

A ideia do controlador LQG/LTR é determinar um controlador K(s) que mesmo na presença de dist úrbios consiga gerar um sinal de controle para a planta do sistema que neutralize as pertubaç ões. A estrutura do sistema de controle que ser á utilizada foi apresentada na Figura 5.

Para que o controlador LQG/LTR (K(s)) consiga neutralizar as pertubaç ões, o erro de rastreamento e(s) deve ser pequeno. Em um caso ideal, no qual h á erro nulo

(37)

de rastreamento, tem-se que y(s)=r(s), mesmo com dist úrbios aplicados ao sistema. Para iniciar o projeto do controlador define-se a funç ão de malha aberta do sistema como L(s), sendo L(s) = Gn(s)K(s). A funç ão L(s) é utilizada na definiç ão das funç ões de sensibilidade e sensibilidade complementar.

As funç ões de sensibilidade e sensibilidade complementar permitem melhor conhecimento do rastreamento de refer ência e dos dist úrbios que o sistema apresenta. Define-se que os sinais de dist úrbios e o sinal de refer ência s ão sinais caracter´ısticos de baixas frequ ências (PAULA, 2013).

A funç ão de sensibilidade é a matriz de transfer ência de d(s) para y(s), ou seja, representa a sensibilidade do sistema ao vetor de dist úrbio. A funç ão de sensi-bilidade complementar representa a sensisensi-bilidade do sistema ao vetor de refer ência, logo é a matriz r(s) para y(s).

As matrizes das func¸ ˜oes de sensibilidade e sensibilidade complementar para o sistema podem ser descritas como:

S(s) = (I + Gn(s)K(s))−1 (9)

T (s) = (I + Gn(s)K(s))−1Gn(s)K(s) (10) Considerando que as incertezas do sistema da planta sejam representadas na sua sa´ıda, tem-se que:

y(s) = T (s)r(s) + S(s)d(s) (11)

Como discutido no in´ıcio da seç ão deseja-se que y(s) seja igual a r(s) para que o erro de rastreamento seja nulo, sendo assim necess ário, que T (s) → 1 e S(s) → 0.

Os par âmetros do controlador s ão definidos de forma que a malha L(s) apresente as caracter´ısticas desejadas. A formataç ão da malha (loop shaping) é uma abordagem para a escolha dos par âmetros no projeto de controladores KOZAN (2016). Em sistemas SISO, que é o caso deste trabalho, a formataç ão da malha est á relacionada à magnitude de L(s) (PAULA, 2013).

Para a formataç ão da malha objetivo geralmente utiliza-se a funç ão de sen-sibilidade, pois muitos problemas de controle desejados envolvem rastreamento de

(38)

refer ências ou rejeiç ão a dist úrbio, sinais as quais a sensibilidade est á diretamente relacionada (KOZAN, 2016).

Mas em alguns casos a formataç ão somente à sensibilidade n ão é sufici-ente, pois outros requisitos como overshoot, diminuiç ão da taxa de atenuaç ão em altas frequ ências ou limitaç ão na magnitude dos sinais de controle podem ser desejados. Os dois primeiros est ão relacionados com a funç ão T (s), enquanto que o último com a funç ão K(s)S(s) (PAULA, 2013).

Outros par âmetros que devem ser definidos no projeto do controlador s ão µ, ρ, L e H. Segundo Paula (2013), no ponto de vista do projeto de controlado-res baseados na formataç ão da malha objetivo, tais par âmetros s ão tratados como par âmetros livres de projeto sem interpretaç ão f´ısica, como um meio para um fim. Esses par âmetros s ão projetados com o objetivo de formatar as matrizes de trans-fer ência em malha fechada no dom´ınio da frequ ência, sendo neste caso as matrizes S(s)e T (s).

Com essas definiç ões inicia-se a demostraç ão do projeto do controlador LQG/LTR, sendo que a planta Gn(s)utilizada no projeto do controlador é representada em vari áveis de estado pela Equaç ão 12.

˙x = Ax + Bu

y = Cx + D (12)

A funç ão de transfer ência que representa o controlador LQG/LTR é apre-sentada na Equaç ão 13, com o seu diagrama de blocos demonstrado na Figura 20.

KLQG/LT R(s) = KC(sI − A + BKC + KFC)−1KF (13) -I KF C -1 (sI-A) B -KC -+ ++ E(s) U(s) K(s)

Figura 20: Diagrama de blocos do controlador LQG. Fonte: Adaptado de Maia J ´unior (2007).

Definida a estrutura do controlador LQG/LTR determina-se os ganhos KC e KF, que s ˜ao matrizes de ganho, onde KC ´e a matriz de ganho do regulador LQR e

(39)

KF ´e a matriz de ganho do observador de estados do Filtro de Kalman.

As matrizes KC e KF s ão calculadas utilizando-se as Equaç ões 14 e 15.

KC = ρ−2BTX, (14)

KF = µ−2Y CT, (15)

Sendo que X e Y s ão soluç ões das Equaç ões Alg ébrica de Ricatti, na qual para determinar X utiliza-se a Equaç ão (16) e para o c álculo de Y a Equaç ão (17).

ATX + XA − ρ−2XBBTX + HTH = 0 (16) Y AT + AY − µ−2Y CTC + LLT = 0 (17) A teoria do princ´ıpio de recuperac¸ ˜ao da malha objetivo, primeiramente pro-posto por (DOYLE; STEIN, 1981) diz que, se ρ → 0+ _{e a matriz H for igual a matriz C e} a planta do sistema for quadrada e de fase-m´ınima, pode demonstrar que:

lim ρ→0+K(S) = (C(sI − A) −1 B)−1C(sI − A)KF (18) Assim: lim ρ→0+G(s)K(S) = C(sI − A)KF (19)

Dessa forma tem-se que L(s) é a pr ópria matriz do observador de estados (Filtro de Kalman). Com isso pode-se dizer que houve uma recuperaç ão da matriz de transfer ência da malha aberta do observador (SILVA et al., 2014). Este procedimento é conhecido como Princ´ıpio de Recuperaç ão da Malha Objetivo pela sa´ıda e existe tamb ém o procedimento conhecido como Princ´ıpio de Recuperaç ão da Malha Objetivo pela entrada que corresponde ao procedimento pela sa´ıda, no qual µ → 0+ _{e L igual} a B, resultando em:

lim

µ→0+K(s)G(s) = B(sI − A)KC (20)

Ou seja, K(s)G(s) é a matriz de transfer ência do Regulador Linear Quadr ático (LQR).

Como uma consequ ência de (19) e (20), as seguintes propriedades da formataç ão da malha para o Princ´ıpio da Malha Objetivo pela sa´ıda podem ser

(40)

ob-5.4 Projeto do Controlador LQG/LTR 38 tidas: lim ρ→0+σmaxS(jw) ≤ 1, (21) lim ρ→0+σmaxT (jw) ≤ 2, (22) lim

ρ→0+σmaxS(jw) ≤ µσmax(C(jwI − A)L)

−

1, (23)

lim

ρ→0+σmaxT (jw) ≤ σmax(C(jwI − A)KF), (24)

O par âmetro σ representa o valor singular, neste trabalho ele é utilizado para quantificar a magnitude das matrizes, sendo σmaxo maior valor singular da funç ão. Para a sensibilidade é poss´ıvel determinar os par âmetros livres de projeto L e µ e contar com a restriç ão (23), entretanto para o rastreamento nenhum par âmetro livre de projeto adicional (al ém de L e µ) pode ser utilizado e é necess ário contar apenas com a restriç ão (24) imposta pelo ganho KF (que depende de L e µ). Se for priorizado o rastreamento na escolha de L e µ (atrav és de KF), a sensibilidade ficar á ent ão condicionada a estes par âmetros (OLIVEIRA, 2017).

5.4 PROJETO DO CONTROLADOR LQG/LTR

Conforme apresentado na seç ão anterior, para o projeto do controlador LQG/LTR é necess ário definir L, µ e ρ. Os par âmetros L e µ s ão determinados para a formataç ão da malha objetivo e ρ é definida para a recuperaç ão da malha, sendo que quanto menor for o valor de ρ, melhor é a recuperaç ão do Filtro de Kalman.

Na seç ão 5.2 foi determinado Gn(s)e verificado que o modelo é Control ável e Observ ável. Assim, inicia-se a definiç ão de L e µ de modo que a malha objetivo apre-sente a resposta desejada, obedecendo as barreiras de desempenho e estabilidade. Sendo assim, os valores adotados s ão L = B e µ = 4, 5.

O par âmetro ρ foi definido de forma que garantisse a recuperaç ão da malha objetivo e as propriedades de robustez. O valor escolhido para ρ que garante essas condiç ões é de 0,0001.

Com os par ˆametros definidos obteve-se as seguintes matrizes de ganho KC e KF.

(41)

5.5 Resultado da atuac¸ ˜ao do Controlador LQG/LTR 39 KC = h 3720 2321 4020 i , KF =     6470 4034, 5 6988     (25)

Substituindo os valores encontrados de KC e KF obt ém se a equaç ão de transfer ência do controlador LQG/LTR:

K(s) = 3, 22 · 10

6_s2_{· 9, 439 · 10}9_{s · 4, 147 · 10}11

s3_{· 1, 424 · 10}6_s2_{· 4, 554 · 10}9_{s · 2, 02 · 10}11 (26) Na Figura 21 é apresentado o gr áfico da sensibilidade e na Figura 22 é apresentado o gr áfico da sensibilidade complementar do sistema. Analisando os gr áficos percebe-se que para baixas frequ ências o sistema apresenta valores singula-res de sensibilidade pequenos e para valosingula-res singulasingula-res de sensibilidade complemen-tar apresenta valores singulares altos. Observa-se tamb ém que em altas frequ ências o gr áfico de sensibilidade complementar apresenta baixos valores singulares.

101 102 103 104 105 106 107 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 Valores Singulares de S(s) Frequência (Hz) V alores Singulares (dB)

Figura 21: Sensibilidade S(s) do sistema controlado pelo m ´etodo LQG/LTR.

Na pr óxima Seç ão s ão apresentados os resultados da atuaç ão do contro-lador LQG/LTR projetado.

5.5 RESULTADO DA ATUAC¸ ˜AO DO CONTROLADOR LQG/LTR

Nesta Seç ão é analisada a resposta da planta com a atuaç ão do controlador LQG/LTR. O primeiro resultado analisado é o rastreamento da refer ência do sistema. Os valores de imped ância, s ão os descritos no caso 2 e 3 da Tabela 3. Os resultados s ão apresentados na Figura 23.

(42)

5.5 Resultado da atuac¸ ˜ao do Controlador LQG/LTR 40 100 ₁₀1 ₁₀2 ₁₀3 ₁₀4 ₁₀5 ₁₀6 ₁₀7 -140 -120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 Valores Singulares de T(s) Frequência (Hz) V alores Singulares (dB)

Figura 22: Sensibilidade Complementar T (s) do sistema controlado pelo m ´etodo LQG/LTR.

Um aspecto que pode ser observado na Figura 23 é que com a atuaç ão do controlador LQG/LTR a corrente de sa´ıda do inversor tem a forma desejada, de modo que a corrente de sa´ıda segue a corrente de refer ência. Os resultados tamb ém mos-traram que com o aumento da imped ância a corrente de sa´ıda do inversor conseguiu alcançar uma amplitude pr óxima da corrente de refer ência.

O erro de rastreamento com a atuaç ão do controlador LQG/LTR é apresenta no caso 2 e no caso 3, esses resultados s ão apresentados na Figura 24.

Por meio da an álise do erro de rastreamento observou-se que com o au-mento da imped ância a amplitude do erro diminuiu, portanto houve uma reduç ão no ripple da corrente de sa´ıda do inversor.

No pr óximo Cap´ıtulo é feita uma discuss ão, comparando os resultados do controlador ressonante e do controlador LQG/LTR.

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5.5 Resultado da atuac¸ ˜ao do Controlador LQG/LTR 41 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 Tempo (s) -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 Corrente (A)

(b)

Figura 23: Corrente de refer ˆencia e a corrente de sa´ıda do inversor monof ´asico no Caso 2 (a) e no Caso 3 (b).

(44)

5.5 Resultado da atuac¸ ˜ao do Controlador LQG/LTR 42

(a)

(b)

(45)

43

6 COMPARAC¸ ˜AO DOS RESULTADOS OBTIDOS

Este cap´ıtulo aborda uma comparaç ão entre os resultados dos controla-dores, a forma escolhida de verificar a estabilidade e desempenho do controlador ressonante e do controlador LQG/LTR é aumentando a imped ância da rede. Aqui as comparaç ões s ão realizadas para os casos 2 e 3.

A modelagem do controlador ressonante utilizada para comparaç ão é a com ajuste no ganho kr. A escolha do modelo com ajuste se deve ao fato do mesmo ter apresentado melhor desempenho quando simulado com as imped âncias da rede.

Comparando inicialmente os resultados obtidos no caso 2 pelos os dois controladores, percebe-se que nos resultados das simulaç ões os controladores tive-ram um bom desempenho alcançando a amplitude da corrente de refer ência, mas para uma an álise mais detalhada foi apresentado tamb ém os gr áficos de rastreamento de erro, neles foram poss´ıvel notar que a amplitude do erro de rastreamento do controla-dor ressonante é maior que a do controlacontrola-dor LQG/LTR. Outra caracter´ıstica diferente que se observou foi que no gr áfico de erro de rastreamento do controlador ressonante quando a amplitude da corrente de refer ência foi alterada visualiza-se um pico de am-plitude no erro de rastreamento.

No caso 3 para verificar o desempenho dos controladores aumentou-se a imped ância da rede com do dados da Tabela 3. Verificou-se que nesse caso o controlador LQG/LTR mostrou um melhor desempenho, de modo que a amplitude da corrente de sa´ıda do inversor na sua simulaç ão foi maior que a amplitude da corrente de sa´ıda do inversor com a atuaç ão do controlador ressonante.

Uma outra an álise é proposta, espera-se entender melhor o comportamento dos controladores atuando no sistema por meio do Diagrama de Bode. Na Figura 25 é apresentado o diagrama de bode referente ao controlador ressonante e na Figura 26 o diagrama de bode referente ao controlador LQG/LTR.

(46)

6 Comparac¸ ˜ao dos Resultados Obtidos 44

Figura 25: Diagram de Bode de malha fechado da atuac¸ ˜ao do con-trolador ressonante.

Figura 26: Diagrama de Bode de malha fechada da atuac¸ ˜ao do con-trolador LQG/LTR.

Observou-se que no diagrama de bode do controlador ressonante a mar-gem de fase apresentada é maior em relaç ão a marmar-gem de fase do controlador LQG/LTR. Essa caracter´ıstica apresentada implica em um sistema de controle com resposta mais lenta, voltando aos resultados das simulaç ões dos dois controladores essa ca-racter´ıstica tamb ém pode ser notada, sendo que o controlador ressonante mostra um tempo de acomodaç ão maior.

(47)

45

7 CONCLUS ˜AO

Neste trabalho foi apresentado um estudo do controlador LQG/LTR apli-cado a inversores monof ásicos conectados à rede de energia el étrica, para isso, foi realizado uma comparaç ão de resultados com o controlador ressonante aplicado no mesmo sistema.

Como abordado no cap´ıtulo 2, é muito importante o estudo do comporta-mento do sistema, uma vez que com o uso da modelagem aproximaç ões s ão feitas deixando de representar a din âmica real do sistema.

Desta forma, no cap´ıtulo 3 foi apresentada a modelagem do sistema, com intuito de entender suas caracter´ısticas. Os testes realizados na modelagem do sis-tema envolvem entender atrav ´es do mapeamento dos polos e zeros e pelo diagrama de Bode, como o sistema se comporta em malha aberta e em malha fechada com o aumento da imped ˆancia da rede.

Quando aplicado o controlador ressonante no sistema modelado, os resul-tados mostraram o que foi discutido na modelagem do sistema, que de acordo com o aumento de imped ância da rede o controlador apresenta dificuldades em alcançar a amplitude da corrente de refer ência, sendo preciso sofrer ajustes para seguir a re-fer ência da forma desejada. No caso da planta em que o controlador foi projetado, o mesmo obteve uma boa resposta cumprindo com o rastreamento da refer ência.

O desenvolvimento do controlador LQG/LTR, abordou a modelagem do sis-tema considerando o controlador ressonante. A t écnica LQG/LTR trata-se de um con-trolador robusto, ou seja, essa t écnica busca garantir a estabilidade e bom desempe-nho do sistema mesmo onde exista incertezas e ru´ıdos. Os resultados do controlador LQG/LTR aplicado ao sistema mostraram resultados positivos. Entretanto no caso de maior imped ância a corrente de sa´ıda do inversor n ão alcança a amplitude da corrente de refer ência, mas chega bem pr óximo da amplitude desejada.

Analisando os resultados dos controladores abordados nesse trabalho, foi poss´ıvel mostrar o que foi discutido ao longo deste. O controlador ressonante apre-senta os resultados almejados quando aplicado ao sistema para que foi modelado, por ´em quando aumentada a imped ˆancia o controlador mostra uma perda de

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ampli-7 Conclus ˜ao 46

tude na corrente de sa´ıda do inversor. Em relaç ão ao tempo de resposta do controla-dor verificou-se que comparado ao controlacontrola-dor LQG/LTR sua resposta é mais lenta.

O desenvolvimento desse estudo serve de ponto de inicial para aplicaç ões do controlador LQG/LTR em inversores monof ásicos conectados à rede. Portanto este trabalho contribui para que novas pesquisas possam surgir. Assim uma ideia proposta para trabalhos futuros é a utilizaç ão de um filtro LCL na sa´ıda do inversor.

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ANEXO A - C ´ODIGO DO CONTROLADOR LQG/LTR

clear all; close all; clc; s=tf(’s’); Lg=2.9*10^-3; Rg=1.5; L=2.5*10^-3; kp=75; kr=750*5; w0=2*pi*60; wa=2*pi*10; Gres= (kp + ((kr*wa*s)/(s^2+wa*s+w0^2))); G=[1/(s*(L+Lg)+Rg)]; FTMA = ss(Gres*G); [A,B,C,D]=ssdata(FTMA); Qc=C’*C; R=0.0001; [Kc,X,e]=lqr(A,B,Qc,R,0); XI=1; THETA=1; RHO=4.5; [K,SVL,W1]=ltrsyn(FTMA,Kc,XI,THETA,RHO); [A,B,C,D]=ssdata(K); [num, den]=ss2tf(A,B,C,D); Ktransf = tf(num,den);

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ANEXO B - SIMULAÇ ÃO UTILIZADA PARA OBTENÇ ÃO DOS RESULTADOS

Controlador LQG/L

TR

Controlador Ressonante