DINÂMICA DO SISTEMA CARRO-PÊNDULO

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(1)FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008. 205. DINÂMICA DO SISTEMA CARRO-PÊNDULO Rafael Alves Figueiredo1, Márcio José Horta Dantas2 Faculdade de Matemática – FAMAT Universidade Federal de Uberlândia – UFU Resumo O objetivo principal desse trabalho é estudar e investigar a estabilidade de um sistema dinâmico não linear, precisamente o sistema carro-pêndulo. O modelo do sistema é obtido através da formulação de Lagrange. Tendo o modelo do sistema, utilizam-se dois métodos para analisar e classificar a estabilidade do mesmo, sendo o Teorema de Linearização de Lyapunov-Poincaré e a Função de Lyapunov. Utilizando o Teorema de Linearização de Lyapunov, os estudos são desenvolvidos seguindo o procedimento usual, isto é, determinação dos pontos de equilíbrio, linearização do sistema de equações em uma vizinhança dos pontos de equilíbrio e o estudo da estabilidade desses pontos. Por outro lado, a Função de Lyapunov classifica os pontos de equilíbrio do sistema sem linearizá-lo. Palavras-chave: sistemas dinâmicos, pontos críticos, estabilidade, teoria de Lyapunov, função de Lyapunov.. 1. Introdução Em diversos problemas práticos de mecânica, as equações matemáticas que descrevem o seu comportamento são equações diferenciais ordinárias não lineares. Naturalmente, quando se consideram pequenas amplitudes das oscilações envolvidas, estas equações podem ser aproximadas por outras que são lineares. No entanto, como a prática tem demonstrado, cada vez mais é necessário ter modelos mais realistas. Com isto a consideração das equações não lineares originais é inevitável. Assim, o interesse pela teoria de sistemas dinâmicos ganhou um grande impulso. O modelo do sistema carro-pêndulo analisado nesse trabalho, é constituído por um carro de massa que desliza sobre uma superfície horizontal sem atrito, que está ligado à parede por uma mola e um amortecedor c, onde o carro serve de eixo de rotação de um As equações que descrevem seu pêndulo simples de massa e comprimento . movimento, são equações não lineares, que pertencem a classe de problemas não ideais. O estudo desse sistema dinâmico oferece estudos interessantes de seu comportamento.. 2. Cálculo das Variações Queremos encontrar o caminho mais curto entre dois pontos em uma superfície curva. Suponhamos que os dois pontos sejam dados por , e , . Tomemos uma curva passando por eles representada por uma equação

(2) , tal que a função . satisfaça as condições de contorno 1. 2. Bolsista do PIBIC/CNPq/UFU e-mail: rafamatufu@yahoo.com.br Professor orientador, e-mail: marcio@ufu.br.

(3) 206. FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008.

(4) ,.

(5) .. (1). Consideremos dois pontos vizinhos nesta curva. O comprimento total da curva é dado por .

(6) 1 / . . . 2. O problema, portanto, é encontrar aquela função que, sujeita às condições de contorno (1), minimize a integral (2). Este problema difere do tipo usual de problemas de valor mínimo, pois o que temos que variar não é uma única variável ou conjunto de variáveis, mas uma função . De qualquer modo, podemos aplicar o mesmo critério: quando a integral tem um valor mínimo, seu valor não deve mudar em primeira ordem por uma pequena variação na função . De um modo geral, estamos interessados em encontrar valores estacionários (máximos ou mínimos, neste caso mínimo) de uma integral da forma .

(7) , , . 3. onde , é uma função especificada de y e sua primeira derivada. Resolveremos este problema geral e aplicaremos o resultado à integral (2). Considere uma função : , ! " # derivável tal que

(8)

(9) 0. Seja uma função que satisfaça (1). Então dado % & #, temos que também a função " % satisfaz as mesmas condições de contorno. Considere a função . '%

(10) ( % , % ). . Se é um mínimo da integral dada em (3), temos que '% * '0 . Assim, ' tem um mínimo em %

(11) 0. Observemos que ': +,, , " #. Portanto, o problema inicial de minimizar a integral (3), relaciona-se com o problema de minimizar a função ', de variável real, no ponto %

(12) 0. Na literatura em física, normalmente indica-se a função , por - . Daqui em diante vamos sempre usar esta notação adotada em física, mas sem perder o seu correto significado matemático dado anteriormente. Particularmente - . ' 0 . Consideremos uma pequena variação - da função , sujeita à condição de que os valores de nos pontos extremos não sejam alterados (vide Fig. 1): -

(13) 0,. -

(14) 0.. (4).

(15) FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008. 207. Figura 1- Pequena variação - da função .. Em primeira ordem, a variação de , é -

(16). /0. /1. - . Assim, a variação da integral é. /0. /1. - 2, onde -

(17). 3. 3. - .. 5 5 - 6 . -

(18) 4 - 5 2 5 . . No segundo termo podemos efetuar uma integração por partes. O termo integrado, isto. é 7/1 - 8 /0. . se anula nos limites por causa da condição (4). Obtemos, assim, . -

(19) 4 . 5 5 9 :6 - . + 5 5 . 5. Agora, para que seja mínima (estacionária), esta variação - deve se anular para uma pequena variação - arbitrária. Pode-se mostrar que isto só é possível se o integrando se anula identicamente. Exigimos assim que: 5 5 9 :

(20) 0. + 5 5 . 6. Esta equação é conhecida como a de Euler-Lagrange. Em geral ela é uma equação diferencial de segunda ordem para a função , cuja solução contém duas constantes arbitrárias que podem ser determinadas a partir dos valores conhecidos de em e . Podemos agora resolver nosso problema inicial. Comparando (2) e (3), devemos escolher e portanto. 5

(21) 0, 5. ,

(22) 1 /, . 2 5 .

(23) 5 2 1 /.

(24) 208. FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008. Assim, a equação (6) de Euler-Lagrange fica. 2 >

(25) 0. = 1 /. Esta equação diz que a expressão dentro dos colchetes é uma constante e, portanto, que 2 é uma constante. Assim, suas soluções são as retas

(26) ? @. Portanto, o caminho mais curto entre dois pontos é um segmento de reta. As constantes ? e @ são obviamente fixadas pelas condições (1). É fácil generalizar a discussão para o caso de uma função de A variáveis B , B , … , BD , e suas derivadas temporais BE , BE , … , BE D . Para que a integral G.

(27) B , B , … , BD , BE , BE , … , BE D F G. seja estacionária, o seu valor não deve mudar, em primeira ordem por uma variação em qualquer uma das funções BH F I

(28) 1, 2, … , A , sujeitas às condições BH F

(29) BH F

(30) 0. Obtemos assim A equações de Euler-Lagrange. 5 5 + 9 :

(31) 0, I

(32) 1, 2, … , A. 5BH F 5BE H. 7. Estas A equações diferenciais de segunda ordem determinam as A funções BH F. contendo 2A constantes arbitrárias de integração.. 3. Princípio de Hamilton; Equações de Lagrange. As equações de movimento de uma partícula, que se move sob a ação de uma força conservativa, podem ser escritas como as equações de Euler-Lagrange correspondentes a uma integral adequada. Definimos a função lagrangiana

(33) K + L L

(34) E E ME + L, , M. (8). 5L 5

(35) O ,

(36) + 5 5 5L 5

(37) O1 ,

(38) + 5 5 5L 5

(39) OQ .

(40) + 5M 5M. 9. onde K é a energia cinética do sistema, expressa em termos das coordenadas cartesianas , , M e de suas primeiras derivadas em relação ao tempo, L é a energia potencial do sistema, sendo expressa somente em termos das coordenadas cartesianas , , M. Suas derivadas são 5

(41) E

(42) N , 5E 5

(43) E

(44) N1 , 5 E 5

(45) ME

(46) NQ , 5ME. Com isso as equações do movimento NE

(47) O , NE1

(48) O1 e NEQ

(49) OQ podem ser escrita do seguinte modo.

(50) FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008. 5 5 , 9 :

(51) 5 F 5E 5 5 , 9 :

(52) 5 F 5 E 5 5 , 9 :

(53) 5M F 5ME. 209. 10. que têm exatamente a forma de uma equação de Euler-Lagrange correspondente à integral G.

(54) F .. 11. G. Esta integral denomina-se integral de ação. Obtivemos assim o princípio de Hamilton da ação mínima: a integral de ação é estacionária, por variações arbitrárias -, - , -M, que se anulam nos limites de integração F e F . A importância deste princípio reside no fato de que ele pode ser imediatamente aplicado em qualquer sistema de coordenadas. Se, ao invés de coordenadas cartesianas , , M, usarmos um conjunto de coordenadas curvilíneas B , B , BR , então poderemos exprimir a função lagrangiana

(55) K + L em termos de B , B , BR , e suas derivadas temporais BE , BE , BE R . A integral de ação (11) deverá então ser estacionária com relação a variações arbitrárias -B , -B , -BR, sujeitas à condição de se anularem nos limites F e F . E assim obteremos. 5 5 , 9 :

(56) 5BH F 5BE H. I

(57) 1, 2, 3.. 12. Estas são as equações de Lagrange. São as equações de movimento em termos das coordenadas B , B , BR .. Exemplo: A posição de um ponto na superfície de um cone de revolução de ângulo 2 S é especificada pela distância T do vértice e pelo ângulo azimutal U em torno do eixo. Vamos mostrar que o caminho mais curto, sobre a superfície, entre dois pontos dados é especificado por uma função TU que obedece à equação. T T + 2 9 : + T sin S

(58) 0. T U U . Seja, , , M

(59) TU sin S cos U , TU sin S sin U , TU cos S .. Figura 2- Cone de revolução de ângulo 2 S..

(60) 210. U. FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008. O caminho mais curto, sobre a superfície do cone é o que minimiza a função U " [.

(61) 2 2 M2 / U. [\. Observe que 2 2 M2 / equivale à T2 T sin S /

(62) T, T . Para obtermos o caminho mais curto sobre a superfície do cone, T, T tem que satisfazer a equação de Euler-Lagrange. A equação de Lagrange toma a forma. T sin S 5

(63) 5T T2 T sin S /. T22T2 T sin S / T2 T22 TT2 sin S 5 + 9 :

(64) T2 T sin S R/ T2 T sin S U 5T2. onde,. 5 5 9 :

(65) 0. + 5T U 5T2. Portanto, temos que. T T2 sin S T R sin] S + T2 T + T T T2 T T T2 sin S

(66) 0.. Logo, segue que T T22 + 2T2 + T sin S

(67) 0, como queríamos mostrar.. 4. Mecânica Lagrangiana. As equações do movimento para um sistema de ^ partículas movendo-se sob a ação de forças conservativas podem ser obtidas de uma função lagrangiana em termos de qualquer conjunto de 3 ^ coordenadas independentes. Para se obter uma forma mais geral das equações de Lagrange que a obtida anteriormente, considere por um momento, o caso de uma única partícula. Suponhamos que ela se mova sob a ação de uma força arbitrária O e consideremos variações da integral: G.

(68) K F ,. 13. G. onde K

(69) T_E ` e T_

(70) , , M . Considere t" F % F , com % & # e F

(71) F

(72) 0, então pela definição de - temos G -

(73) F F F. F F G. Efetuando uma integração por partes, obtemos G. -

(74) + G. F F F F .

(75) FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008. e pela segunda lei de Newton . Assim,. 211. F

(76) O(F ). F G. -

(77) + O(F )F F, G. onde a função é neste caso por definição -. Agora o integrando é O-

(78) +-a, onde -a é o trabalho dado pela força O no deslocamento -. Analogamente, se fizermos variações de todas as três coordenadas, obtemos G. -

(79) + -a F ,. 14. -a

(80) O -B O -B OR -BR .. (15). G. onde -a

(81) O_ . -T_ trabalho dado pela força no deslocamento -T_. Por conseqüência, podemos usá-lo para obter equações do movimento em termos de um conjunto arbitrário de coordenadas B , B , BR . Definamos as forças generalizadas O , O , OR correspondentes a O_ por Então podemos igualar - dada por (14) com a expressão geral (5). Consideremos, por exemplo, uma variação -B de B . Então, de acordo com (5), G. -

(82) 4 G. Por outro lado, por (14) e (15),. 5K 5K :6 -B F F. + 9 5B F 5BE G. -

(83) + O -B F F. G. Estas duas expressões devem ser iguais para variações arbitrárias, sujeitas somente à condição de que -B F

(84) -B F

(85) 0. Por conseqüência, os integrandos devem ser iguais e obtemos as equações de Lagrange na forma. 5K 5K OS . :

(86) 9 5BS F 5BE S. 16. 5. Equações não Lineares. Não existem métodos sistemáticos que possam resolver o sistema de equações diferenciais de primeira ordem.

(87) 212. FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008. f F d d F e d dD c F.

(88) F, , , … , D.

(89) F, , , … , D h g.

(90) D F, , , … , D. 17. quando as funções H não forem lineares em , … , D . Entretanto, em boa parte das aplicações reais, não é necessário conhecer expressões analíticas para as soluções F do sistema (17), e sim algumas de suas propriedades.. 5.1 Sistemas Autônomos Um sistema de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem da forma H

(91) H , , … , D , I

(92) 1, 2, … , A F. é denominado sistema dinâmico (ou autônomo, pois as funções H não dependem explicitamente do tempo t). As variáveis , , … , D são as variáveis de estado do sistema. Resumidamente podemos escrevê-lo na forma i

(93) ji , i & #D . F. O estudo destas equações é feito com base no seguinte teorema. Teorema de Existência, Unicidade e Dependência de Parâmetros para Soluções do Problema de Cauchy: Seja ji, k um campo vetorial em #D definido e continuamente diferenciável com relação a i, k & #D l #m em uma vizinhança de 0, 0 . Então, existem - n 0 e - n 0 tal que para todo oko p - existe uma única solução de iE

(94) ji, r h i0

(95) 0. 18.

(96) O, . F h t

(97) u, . F. 19. q. definida em um intervalo F & +- , - e iF, k é uma função continuamente diferenciável com relação a F e k. Para mais detalhes veja [1]. Consideremos agora o sistema de segunda ordem. onde F e G são funções contínuas de e , com derivadas parciais contínuas; O, , u, . é um campo vetorial no plano-xy, as órbitas são as curvas integrais desse campo e, portanto, em cada ponto, são curvas tangentes ao campo (vide Fig. 3)..

(98) FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008. 213. Figura 3- Órbita de uma solução no espaço de fase , & # e no espaço de fase estendido , , F .. É freqüentemente possível obter informações sobre a órbita de uma solução sem conhecermos a própria solução. Seja

(99) F ,

(100) F uma solução do sistema (19). Se 3 v 0 em F

(101) Fw , então podemos obter o valor de F

(102) F numa vizinhança do ponto 3G w

(103) Fw e, desta forma, para F próximo de Fw , a órbita da solução

(104) F ,

(105) F é a curva

(106) F. . Como. F /F u, . ,

(107)

(108) ·

(109) F /F O, . as órbitas das soluções de (18) são as curvas-soluções da equação u, . .

(110) O, . 20. Entretanto, em um ponto w , w em que O w , w

(111) u w , w

(112) 0, a expressão acima perde o significado. Denominamos estes pontos de críticos. Se w , w for um ponto crítico de (19) então F

(113) w e F

(114) w é uma solução do sistema e tal solução constante é a única que passa pelo ponto w , w . A órbita desta solução constante é o próprio ponto crítico e nesta posição dizemos que a partícula que descreve a trajetória está em equilíbrio ou em repouso. É interessante, do pondo de vista qualitativo, saber se esta posição de equilíbrio é estável, isto é, se uma pequena perturbação na posição de equilíbrio da partícula resultará em um retorno ou em um afastamento desta posição. Considere um sistema autônomo iE

(115) i ; i & #D nas vizinhanças do ponto crítico i , satisfazendo as condições do Teorema de Existência. Então, i

(116) 0 e iF y i é a solução de equilíbrio. Dizemos que o ponto de equilíbrio i do sistema iE

(117) i é estável se, dado , n 0, é possível determinar um - n 0 dependente apenas de , tal que se oz + i o p -, a solução iF, z do problema de Cauchy.

(118) 214. FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008. existe para F n 0 e. q. iE

(119) i h i0

(120) z. o{F, z + iF, i o

(121) o{F, z + i o p , para todo F n 0.. Ou seja, todas as soluções que partem suficientemente próximas de i são definidas para todo F n 0 e se mantêm perto deste ponto. Observe que a solução de equilíbrio existe para todo F n 0 e a estabilidade desta solução pode ser interpretada como uma continuidade uniforme (para F n 0) das soluções com respeito às condições iniciais, isto é, para condições iniciais suficientemente próximas de i a solução do problema de Cauchy existe para todo F n 0 e se mantém uniformemente próxima da solução de equilíbrio (vide Fig. 4). Dizemos que o ponto de equilíbrio i de iE

(122) i é assintoticamente estável se for estável e, além disto, limG"~ {F, z

(123) i (vide Fig. 5).. Um ponto crítico é instável se existe um , n 0 e pelo menos uma solução do sistema que não permanece indefinidamente na bola o{ + i o p , (vide Fig. 6).. Figura 4- Órbita fechada em torno do ponto de equilíbrio i

(124) x , x .. Figura 5- Órbitas que nascem suficientemente próximas de i

(125) x , x se aproximam deste ponto quando F " ∞..

(126) FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008. 215. Figura 6- O ponto i

(127) x , x é instável.. 5.2 Sistemas Autônomos Lineares- Estudo Qualitativo no Plano Um sistema autônomo linear de segunda ordem é da forma

(128) ? @ F h t

(129) F. 21. onde os coeficientes ?, @, , são considerados constantes. Para este sistema, o ponto de equilíbrio é a origem 0, 0 . Este ponto é isolado, isto é, é o único ponto de equilíbrio de (21) no disco 0,0

(130) , & # : p , . se ? + @ v 0. De fato, o sistema. q. ? @

(131) 0h

(132) 0. ? @

(133) ? + @ v 0. tem solução

(134) 0,

(135) 0 única se Podemos reduzir o sistema (21) numa equação diferencial de segunda ordem. Supondo que @ v 0, tiramos o valor de na primeira equação de (21)

(136). 1 ? + . @ F @. Agora, derivando ambos os membros desta equação e substituindo o valor de na primeira equação do sistema (21), obtemos. ou. 1 ? 1 ? + + :

(137) 9 @ F @ F @ F @. 31 3G. dado.

(138) 216. FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008. ? + @

(139) 0. + ? . F F. O polinômio característico associado a esta equação é dado por cujas raízes são. e.

(140) + ? ? + @

(141) 0.

(142).

(143). ? ? + 4? + @. 2. ? + ? + 4? + @. . 2. Se v , a solução geral de (22) é dada por. F

(144) G \ G. F

(145) . + ? G + ? G \ . @ @. Se

(146) , a solução geral de (21) é dada por e.

(147) F G

(148) F G. onde

(149)

(150) , e apenas duas das constantes , , e são independentes. O fato de supormos ? + @ v 0 nos dá v 0 e v 0. Se @

(151) 0, resolvemos diretamente a primeira equação e encontramos F

(152) G . Substituindo este valo na segunda equação encontramos G se v ? F

(153) 3G ?+ ou F

(154) 3G 3G se

(155) ?.. De uma maneira geral a solução do sistema (21) é dada por F

(156) G \ G , F

(157) G \ G. 22. onde entre cada duas constantes , e , , apenas uma é independente. Desta forma, o estudo da natureza do ponto crítico 0, 0 fica restrito ao comportamento dos valores de e , pois será: 1. estável, se e permanecerem limitados, quando F " ∞; 2. assintoticamente estável se " 0 e y" 0, quando F " ∞; 3. instável se " ∞ ou y" ∞, quando F " ∞. Podemos simplificar as várias alternativas em relação ao comportamento das raízes e , colocando Δ

(158) ? + 4? + @.

(159) FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008. 217. N

(160) ? e B

(161) ? + @ v 0.. Uma variação dos sinais de Δ, N e B nos leva a tipos de estabilidades diferentes. Vejamos: 1. Raízes e reais e distintas Δ n 0 . a. e têm o mesmo sinal B n 0 :. (i) n 0 e n 0 N n 0 ponto instável; (ii) p 0 e p 0 N p 0 ponto assintoticamente estável.. O ponto de equilíbrio, neste caso, é denominado nó ou nódulo. b. e têm sinais opostos B p 0 : n 0 e p 0. ou. p 0 e n 0. Tomando a expressão geral (22) da solução do sistema (21), observamos que para alguns valores das constantes , e , é possível que F " 0 e F " 0 quando F " ∞, enquanto que com outros valores destas constantes F ou F se tornam ilimitados. Neste caso, o ponto de equilíbrio é chamado ponto de sela (equilíbrio instável). 2. Raízes e reais e iguais Δ

(162) 0 . A solução geral de (21) é dada por.

(163) F G ,

(164) F G .. Se N n 0,

(165) ? ⁄2 n 0 e, portanto, a direção do movimento em todas as órbitas se afastará do ponto crítico 0, 0 , que será instável. Se N p 0,

(166) ? ⁄2 p 0. Neste caso, independentemente dos valores das constantes , , e , a direção do movimento se aproximará do ponto de equilíbrio 0, 0 que será, assintoticamente estável. 3. Raízes e complexas conjugadas Δ p 0 . As raízes do polinômio característico + ? ? + @

(167) 0 são

(168) I. e a solução geral de (21) toma a forma. e.

(169) + I. F

(170) G cos F sin F , F

(171) G cos F sin F). onde somente duas das constantes , , e são independentes. Como as partes trigonométricas de F e F são limitadas, a natureza do ponto crítico 0, 0 é determinada pelo sinal da parte real das raízes

(172). ? N

(173) . 2 2. Se p 0, o movimento de todas as trajetórias é em direção ao ponto crítico (estabilidade assintótica) e, se n 0, acontece o contrário (instabilidade)..

(174) 218. FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008. Se

(175) 0,

(176) I e

(177) +I, o movimento é periódico no tempo e as órbitas do sistema são curvas fechadas contendo em seu interior o ponto crítico estável 0, 0 que, neste caso, é denominado centro. Um resumo dos resultados obtidos intuitivamente até aqui é dado no teorema a seguir, como visto em [1]. Teorema: O sistema autônomo linear

(178) ? @ F h t

(179) F. tem a origem 0, 0 como ponto de equilíbrio isolado quando ? + @ v 0. Este ponto crítico será a. assintoticamente estável, se as raízes e do polinômio característico

(180) + ? ? + @

(181) 0. forem reais e negativas ou, ainda, se forem complexas e tiverem parte real negativa; b. estável, se

(182) I e

(183) +I (imaginários puros); c. instável, se , e forem reais e pelo menos uma delas for positiva, ou ainda, se forem complexas e tiverem parte real positiva. Os diferentes tipos de órbitas obtidas do Sistema linear (21). cujo polinômio característico é.

(184) ? @ h t F

(185) F.

(186) + ? ? + @

(187) 0 ? + @ v 0 , são resumidos no quadro1 que segue anexo.. 5.3 Integrais de um Sistema Autônomo. Sejam um campo vetorial em #D e F, o seu fluxo, isto é, as soluções do problema de Cauchy

(188) h F 0

(189) . Se U for uma função de valor real, podemos calculá-la em particular sobre a trajetória pela composição UF, . cuja derivada com relação a t nos fornecerá a taxa de variação de U sobre a trajetória F " F, . Pela regra da cadeia temos D. 5m 5U F,

(190) U(F, ) · EF, . (F, ) U(F, )

(191) 5F 5m m.

(192) FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008. 219.

(193) U · (F, ). que é exatamente a derivada direcional de U na direção do campo vetorial . Observe que podemos calcular esta derivada em cada ponto de #D , sem necessidade de resolvermos o problema de Cauchy. As funções U que são constantes sobre as trajetórias na forma U(F, )

(194) U e tais que U v 0 para todo , são chamadas integrais do sistema dinâmico e são de grande importância no estudo de sistemas dinâmicos em geral. Os sistemas mecânicos têm suas integrais naturais dadas por leis físicas de conservação de energia, de quantidade, de movimento angular e outros. Analisemos agora a interpretação geométrica das integrais de um sistema dinâmico e a razão de sua importância. Observemos inicialmente que U é uma integral de se as suas superfícies (linhas em # ) de nível : U

(195) U

(196) tangenciarem o campo vetorial , pois U é normal a e U ·

(197) 0 (vide Fig. 7).. Figura 7. No caso particular de # , observamos então que as linhas de nível

(198) : U

(199) U são os traços geométricos das trajetórias (vide Fig. 8).. Figura 8. Portanto, para um campo em # , as suas trajetórias no plano de fase são imediatamente obtidas, se conhecemos uma integral deste campo e vice-versa..

(200) 220. FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008. Exemplo: O plano de fase global para o sistema obtido da equação

(201) + onde o ¡ potencial

(202) + £ cos tem a seguinte forma: ¢. Figura 9- Plano de fase global.. Voltemos agora às equações do tipo E

(203) para & #D . Para melhor visualização geométrica, tomemos A

(204) 3. Se é uma função escalar (com a diferenciabilidade necessária!) integral do campo , sabemos então que este campo é tangente às superfícies de nível de . Portanto, uma vez fixada uma destas superfícies, podemos considerar o campo . como que “acionando” um sistema dinâmico sobre a superfície. Desta forma, o estudo do espaço de fase de três dimensões originais pode ser reduzido a um espaço de fase de duas dimensões, embora não plano, em geral. Ou seja, uma função integral reduz, por assim dizer, a dimensão do espaço de fase que deve ser analisado. No caso de duas dimensões, o espaço de fase reduzido era unidimensional e, portanto, caracterizava os traços geométricos em trajetórias. Em dimensão três (ou superior) uma integra não é,todavia, suficiente para caracterizar os traços da trajetória. Mas suponha que tenhamos e duas integrais do campo funcionalmente independentes, isto é, e linearmente independentes, para todo . Isto nos garante que as superfícies de nível de e se interceptam transversalmente e definem, portanto, um sistema de linhas que “varre” uma região do #R (vide Fig. 10).. Figura 10.

(205) FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008. 221. Não é difícil concluir que estas linhas são os traços das trajetórias do sistema dinâmico. Seja um ponto de #R e considere a linha

(206) :

(207)

(208) .. Se uma solução de E

(209) O é tal que F

(210) então, sendo e integrais, temos F.

(211) e F.

(212) para todo F, ou seja, F descreve uma trajetória sobre a linha . Observe eu este sistema de linhas não representa completamente o sistema dinâmico, simplesmente o reduz para um sistema de dimensão A

(213) 1. A obtenção destas funções integrais nos leva, portanto, à resolução do sistema de equações através de um ponto de vista geométrico. Analisemos agora um sistema de segunda ordem

(214) em #D , com o objetivo de repetir os argumentos desenvolvidos para A

(215) 1. Multiplicando a equação por E (produto escalar) temos 1 ¤E¤

(216) · E F 2 onde ¤E¤

(217) p E, E n.. Mas o termo · E só poderá ser escrito como + 3G F. se

(218) +. Entretanto, ao contrário do caso unidimensional, isto só é possível se a função satisfizer as condições de compatibilidade 5H 5¥

(219) 5¥ 5H 3. Ou seja, se a matriz jacobiana / ¦ for simétrica. No caso A

(220) 3, isto significa que T¨F y 0. /0. §. Nestes casos o campo é chamado conservativo e derivado do potencial

(221) +; 9H

(222) +. 5 : 5H. e o sistema mecânico

(223) + é chamado conservativo, em virtude do fato de que suas trajetórias F conservam a energia. #D. . . ¤EF ¤ (F )

(224) ¤E ¤ . . . Transformando esta equação vetorial de segunda ordem em #D para um sistema em

(225) #D l #D temos

(226) h t F

(227) + . F. , & #D l #D . Verificamos que.

(228) 222. FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008. 1 ª ,

(229) o o . 2. é uma integral deste sistema dinâmico. Portanto, sistemas mecânicos conservativos podem ser vistos como sistemas dinâmicos definidos sobre as (hiper)superfícies de nível da função energia.. 5.4 Teoria da Estabilidade – Método de Lyapunov Considere uma generalização importante do conceito de funções integrais chamadas funções de Lyapunov e que, de certa forma, são motivadas pelo próprio conceito de energia em osciladores não conservativos, onde a energia não é preservada pela trajetória, mas assume um comportamento monótono, decrescente, se o processo for dissipativo, e crescente, se houver absorção de energia. Esta característica é essencial na motivação do chamado método de Lyapunov para o estudo de estabilidade. As funções de Lyapunov, que veremos em seguida, de certa forma generalizam o conceito de energia para sistemas gerais. Os Teoremas de Lyapunov sobre estabilidade são também extensões dos argumentos acima. Considere, um sistema autônomo E

(230) , & #D , em que o campo é continuamente diferenciável, tal como exigido pelo Teorema da Seção 5.1, definido em uma região Ω em torno da origem onde tem um ponto crítico. Seja ¬ uma função continuamente diferenciável definida em Ω #D com valores reais. Dizemos que ¬ é uma função de Lyapunov se: 1. ¬

(231) ; 2. ¬ n se v ; 3. ¬ satisfaz uma das seguintes condições: a. ¬ é não crescente sobre qualquer trajetória em Ω; b. ¬ é estritamente decrescente sobre qualquer trajetória em Ω; c. ¬ é estritamente crescente sobre qualquer trajetória em Ω. Observe que as condições (a), (b) e (c) de 3 podem ser testadas sem conhecermos as trajetórias, pois o objetivo da teoria é analisar o comportamento do fluxo sem dispor das trajetórias explicitamente. Basta utilizar a Regra da Cadeia e veremos que. 5¬ m

(232) ¬ · . ¬(F )

(233) 5m F F. e, assim, podemos expressar estas condições da seguinte forma: 4. a. ¬ · ® 0 para todo & Ω, v ; b. ¬ · p 0 para todo & Ω, v ; c. ¬ · n 0 para todo & Ω, v . Teorema de Lyapunov:. Seja : Ω #D " #D um campo continuamente diferenciável com um ponto crítico na origem,

(234) , e considere o sistema dinâmico E

(235) . Suponha que exista uma função ¬ de Lyapunov satisfazendo uma das condições (a), (b) ou (c) anteriores. Então, o ponto crítico será, respectivamente.

(236) FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008. 223. a. estável; b. assintoticamente estável; c. instável. A demonstração desse teorema pode ser encontrada em [1]. Uma função de Lyapunov não é “única” e, obviamente, nos interessa sempre procurar aquelas mais simples. As funções de Lyapunov usualmente encontradas nas aplicações são funções quadráticas do tipo ¬

(237) · , onde é uma matriz simétrica positiva definida. O teorema a seguir nos ajuda a encontrar uma função de Lyapunov para sistemas lineares assintoticamente estáveis. Teorema da Função de Lyapunov para Sistemas Lineares Assintoticamente Estáveis: Se é uma matriz A l A onde todos os autovalores têm ¯ p 0 (matriz assintoticamente estável), então existe uma forma quadrática az

(238) z · z positiva definida tal que (az )

(239) a · z é negativa definida. Veja maiores detalhes em [1].. 5.5 Sistemas Autônomos Quase Lineares Considere o sistema autônomo geral de segunda ordem

(240) O, . F h t

(241) u, . F. 23. Seja , um ponto de equilíbrio isolado deste sistema, ou seja, O ,

(242) 0, u ,

(243) 0 e existe , n 0 tal que O, v 0, u, v 0 para todo par , v , , , pertencente ao círculo de centro , e raio ,. Sabemos que F

(244) , F

(245) é uma solução constante de (23). Para analisar o comportamento das trajetórias nas vizinhanças do ponto de equilíbrio podemos, sem perda de generalidade, considerar

(246) 0 e

(247) 0 (se v 0 e v 0 fazemos a substituição

(248) °,

(249) ±). Considerando as função O, e u, contínuas com derivadas de primeira ordem também contínuas numa vizinhança de 0, 0 , podemos expandi-las pela Fórmula de Taylor e obtemos o Sistema (23) na forma. 5O 5O 0, 0 O , . 0, 0 f

(250) O0, 0 5 5 d F e

(251) u0, 0 5u 0, 0 5u 0, 0 u , . d F 5 5 c. Temos que O0, 0

(252) u0, 0

(253) 0 e. u , . O , .

(254) 0

(255) lim ²" ²" T T lim. onde T

(256) (distância do ponto , à origem 0, 0 ).. 25. 24 h.

(257) 224. FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008. Assim, o comportamento das órbitas numa vizinhança do ponto de equilíbrio 0, 0 é determinado pelo sistema linearizado

(258) O 0,0 O1 0, 0. F t

(259) u 0, 0 u1 0, 0. F. 26 h.

(260) ? @ O , . t F

(261) u , . F. 27 h. Em geral, dizemos que um sistema autônomo é quase linear, se for da forma. onde O , e u , satisfazem a Propriedade (25). Para o caso geral de um campo em #D , onde é ponto de equilíbrio, podemos escrever

(262) ³. onde H¥

(263) / ¦ e ³ é uma designação geral para as funções contínuas definidas em /0. §. uma vizinhança da origem e que são de ordem de nulidade inferior a ; isto é, podemos escrever ³. ³

(264) ooT onde lim" oo

(265) 0. ´. O campo pode ser considerado como um campo linear perturbado por termos de ordem superior. No que se segue, iremos sempre supor que seja continuamente diferenciável, tal como no Teorema da Seção 5.1. A questão agora é: em que condições a parte linear predomina sobre os termos de ordem superior na caracterização qualitativa no ponto crítico? Esta questão é respondida pelo Teorema de Linearização de Lyapunov.. Teorema da Linearização de Lyapunov-Poincaré: Seja um campo continuamente diferenciável em uma vizinhança da origem onde podemos escrever

(266) ³. 1. Então, se a matriz for assintoticamente estável, o ponto

(267) será assintoticamente estável para o campo . 2. Se a matriz tiver um de seus autovalores tal que ¯ n 0 (parte real positiva) então o sistema será instável. 3. Se todos os autovalores de forem tais que ¯ n 0, o ponto crítico é repulsor, isto é, existe uma vizinhança da origem L tal que se F for uma órbita não nula, existirá F , e para F n F temos que F µ L.. 6. Critério de Routh-Hurwitz.

(268) FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008. 225. Como discutido no Teorema da Seção 5.5, a estabilidade de um sistema autônomo depende dos autovalores da matriz associada. Em um sistema autônomo o polinômio característico da matriz associada tem a forma

(269) ? D ? D¶ · ?D 28. onde A é o grau do polinômio, que é igual ao grau de liberdade do sistema. Em um sistema com grau quatro ou maior, é relativamente difícil encontrar explicitamente as raízes do polinômio característico. O critério de Routh-Hurwitz fornece condições para testar se todas as raízes de um polinômio tem parte real negativa sem o cálculo explícito das raízes. Para ilustrar o critério, vamos dar forma à disposição ? ?R ?¸ ?¹ …. ?D¶. ? ? ?] ?º …. 0 ? ?R ? …¸ ?D¶R. ?D¶. 0 ? ? ? …] …. … 0 … 0 … 0 … … 0 … … ?D. onde ?H I

(270) 0, 1, 2, … , A são os coeficientes da equação (28). Construindo os determinantes »

(271) ? ,. ? »

(272) ? R. ? »R

(273) ¼?R ?¸ g. »D

(274) ½. ? ? ,. ? ?R. ? ? ?]. g ?D¶. 0 ? ¼, ?R. ? ? g ?D¶. 0 … 0 ? … 0 ½. g ¾ g · · ?D. Todos os elementos com índices T n A dever ser substituídos por 0. O critério de Routh-Hurwitz é uma condição necessária e suficiente para todas as raízes ¥ , ¿

(275) 0, 1, 2, … , A do polinômio característico ter parte reais negativa são que todos os determinantes Δ , Δ , … , ΔÀ sejam positivos, sendo ? n 0. Os detalhes desse critério pode ser visto em [3].. 7. Sistema Carro-Pêndulo Simples. Considere um carro de massa que desliza sobre uma superfície horizontal sem atrito. Ele está ligado à parede por uma mola e um amortecedor . O carro de massa serve como eixo de rotação de um pêndulo simples de massa e comprimento (vide Fig. 11)..

(276) 226. FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008. Figura 11 Vamos deduzir o modelo matemático desse sistema utilizando equações de Lagrange. Energia potencial do sistema: L

(277). Energia cinética do sistema: K

(278). '1 + cos Á. 2. 1 Â E 2ÁEE cos Á ÁE Ã 2. Lagrangiano do sistema:. 1

(279) K + L

(280) Â E ÁE h2ÁE E cos ÁÃ + '1 + cos Á + 2 2. Equações de Lagrange:. Logo,. Logo,. 5 5

(281) +E 9 :+ 5 F 5E 5

(282) + 5 5 9 :

(283) Á cos Á + ÁE sin Á F 5E. Á cos Á + ÁE sin Á E

(284) 0. 5 5

(285) 0 9 :+ 5Á F 5ÁE 5

(286) + sin Á (E ÁE ') 5Á 5 9 :

(287) Á cos Á + E ÁE sin Á F 5ÁE.

(288) FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008. 227. Á cos Á ' sin Á

(289) 0. Tomando a mudança de variáveis E

(290) e ÁE

(291) U, segue que E ÁE U

(292) e

(293) F F F F. logo,

(294) E e Á

(295) UE . Assim, teremos o seguinte sistema:. E

(296) + sin Á U ' cos Á. E

(297) cos Á + . ÁE

(298) U ' sin Á cos Á U sin Á + + . UE

(299) ( cos Á + ). f d d e d d c. Os pontos de equilíbrio são obtidos do sistema. h.

(300) 0 + sin Á U ' cos Á.

(301) 0 cos Á + . U

(302) 0 ' sin Á cos Á U sin Á + + .

(303) 0 ( cos Á + ). f d e d c. Logo, segue que ou seja,. q. + ' sin Á cos Á

(304) 0 h ' sin Á + cos Á

(305) 0 ' sin Á cos Á h t ' sin Á

(306) cos Á

(307). de onde obtemos

(308) 0, Á

(309) 0 ou cos Á +

(310) 0. Como, cos Á v , o único ponto de equilíbrio deste sistema é a origem 0, 0, 0, 0 . Na vizinhança da origem, o sistema inicial pode ser aproximado pelo sistema linear. Forma matricial:. E

(311) f d E

(312) 1 'Á + + ! h E Á

(313) U e d 1 cUE

(314) + 'Á!. h.

(315) 228. FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008. Ä Å

(316) F Á U. 0 È + Ë Ç Ê

(317) Ç Ê , Ç 0 Ê Ç Ê ÆÉ. onde,. . 0 Ë È ' Ê Ç Ê, R

(318) Ç 0 Ê Ç Ç+ 'Ê É Æ . . ] ! Ä Å Á U. R. 1 È + Ë Ç Ê

(319) Ç Ê Ç 0 Ê Ç Ê ÆÉ. 0 ]

(320) Ì0Í 1 0. Temos que o polinômio característico é da forma. ] R ' ! ' '

(321) 0 .. Desde que n 0, podemos prosseguir verificando o sinal dos determinantes das matrizes de Hurwitz »H com I

(322) 1, 2, 3, 4. Os determinantes têm os valores »

(323) n 0 »

(324) ' n 0 »R

(325) ' n 0 »]

(326) 'R n 0. De acordo com o critério de Hurwitz, todas as raízes do polinômio característico têm parte real negativa. Segue do Teorema da Linearização de Lyapunov-Poincaré, que o ponto de equilíbrio 0, 0, 0, 0 é assintoticamente estável.. 8. Função Lyapunov. Outra maneira de analisar a estabilidade no ponto de equilíbrio, é utilizando a função Lyapunov. Tomando a função energia ª, , Á, U

(327) K L , onde:. K

(328). L

(329). '1 + cos Á. 2. 1 2 U cos Á U ! 2. Temos que ª, , Á, U é uma função de Lyapunov. De fato,.

(330) FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008. 229. I ª0, 0, 0, 0

(331) 0 II ª, , Á, U n 0 se , , Á, U v 0, 0, 0, 0 , pois a função T é uma substituição de soma m de quadrados e o valor mínimo que a função V assume é . iii) 5ª 5ª 5ª 5ª ª , , Á, U

(332) · UE

(333) ª · , , Á, U. · ÁE · E · E 5U 5Á 5 5 F. Como ª, , Á, U é da forma. 5ª

(334) 5. 5ª

(335) U cos Á 5. 5ª

(336) sin Á ' + U. 5Á. e o campo , , Á, U é. f d d e d d c. temos que. 5ª

(337) U cos Á 5U. E

(338) + sin Á U ' cos Á. E

(339) cos Á + . ÁE

(340) U ' sin Á cos Á U sin Á + + . UE

(341) ( cos Á + ). ª · , , Á, U

(342) + . Como o campo , , Á, U é continuamente diferenciável com o ponto crítico na origem, e a função ª, , Á, U é uma função de Lyapunov satisfazendo ª · , , Á, U p 0 para todo , , Á, U v 0, 0, 0, 0 . Então, o ponto crítico será assintoticamente estável.. 9. Conclusão. No estudo do sistema carro-pêndulo obtivemos a origem como ponto de equilíbrio, o qual foi classificado como assintoticamente estável. Usando o Teorema de LyapunovPoincaré nos deparamos com a dificuldade de encontrar o sinal da parte real das raízes do polinômio característico, para isso utilizamos o Critério de Routh-Hurwitz. Por outro lado, empregando a Função de Lyapunov não nos deparamos com a mesma dificuldade, pois não foi necessário linearizar o sistema, todavia nem sempre é fácil encontrar uma função de Lyapunov. As técnicas utilizadas neste trabalho também podem ser aplicadas a uma grande gama de problemas dinâmicos que ocorrem em mecânica. Além disso, elas formam a base sobre o qual se apóiam estudos posteriores, sobre Bifurcação em Sistemas Dinâmicos.. h.

(343) 230. FAMAT em Revista - Número 11 - Outubro de 2008. 10. Bibliografia [1] Bassanezi, C.B. e Ferreira Jr, W.C., 1988, Equações Diferenciais com Aplicações, Editora Harbra, São Paulo. [2] Kononenko, V., 1969, Vibrating Systems with Limited Power Supply, Illife.Books, London. [3] Meirovitch, L., 2003, Methods of Analytical Dynamics, Dover, New York. [4] Monteiro, L.H.A., 2002, Sistemas Dinâmicos, Editora Livraria da Física, São Paulo. [5] Guckenheimer, J., Holmes, P., 1983, Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields, Springer Verlag, New York, Berlin, Heidelberg, Tokyo. [6] Murdock, J.A., 1999, Perturbations Theory and Methods, SIAM, Philadelphia.. Anexo Raízes e . Δ n 0q. n n 0 I h p p 0 II. Δ n 0, p 0 p .

(344) n 0 I h Δ

(345) 0q

(346) p 0 II.

(347) Î I Δ p 0 n 0 I h p 0 II. Δ p 0,

(348) 0. Quadro 1 Natureza do Esboço da órbita ponto crítico. nódulo (impróprio). Estabilidade. instável assintoticamente estável (i). (ii). ponto de sela. instável. nódulo. instável assintoticamente estável. (i). (ii). ponto espiral (i). centro. (ii). instável assintoticamente estável. estável.

(349)