REVISITANDO THALES. Leandro Ferreira da Silva Universidade Federal Rural de Pernambuco - UFRPE Alexandre Marcelino de Lucena

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Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Pôster 1

REVISITANDO THALES

Leandro Ferreira da Silva Universidade Federal Rural de Pernambuco - UFRPE leomatematica@gmail.com Alexandre Marcelino de Lucena Universidade Federal Rural de Pernambuco - UFRPE

Resumo: Neste artigo pretendemos mostrar como um teorema pode ser demonstrado de

várias formas, usando áreas diferentes da matemática. O nosso intuito é demonstrar que a matemática, mesmo evoluindo com o tempo, tem seus resultados elementares válidos. Isso mostra uma estrutura lógica consolidada dentre na matemática através dos tempos e que foi muito importante para seu desenvolvimento.

Palavras-chave: Thales; Demonstração; Geometria Plana; Geometria Analítica;

Cálculo Vetorial.

Um dos grandes matemáticos de toda a história foi Thales de Mileto, que sua juventude trabalhou como mercador, onde acumulou riqueza suficiente para dedicar a parte final da sua vida as suas viagens e a matemática.

Segundo o historiador grego Herótodo ele nasceu em Mileto por volta do ano de 640 A.C e entrou para a história como o primeiro matemático, pois foi o primeiro a dar um tratamento dedutivo a matemática, em especial a geometria.

Um historiador grego Proclus(420-485 D.C) publicou um livro de comentários sobre o primeiro livro dos elementos de Euclides onde atribui a Thales a demonstração de cinco teoremas elementares da geometria plana, que são:

1. Qualquer diâmetro efetua a bissecção do circulo em que é traçado; 2. Os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais;

3. Ângulos opostos pelo vértice são iguais;

4. Se dois triângulos têm dois ângulos e um lado em cada um deles respectivamente iguais, então esse triângulos são iguais

5. Um ângulo inscrito no semi-circulo é reto.

Neste trabalho pretendemos demonstrar os teoremas 2 e 5, usando geometria plana elementar, geometria analítica e calculo vetorial, pretendemos com isso mostrar

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Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Pôster 2 Figura 1

que resultados elementares podem ser provados usando áreas mais avançadas dentro da matemática e como essas áreas se interligam entre elas.

Inicialmente provaremos o teorema 5 e posteriormente o teorema 2.

O teorema sobre o feixe de paralelas conhecido como teorema de Thales só essa denominação pela primeira vez no final Sec. XIX na França no Livro Éléments de géométrie de Rouche e Comberousse, por isso não trataremos dele neste artigo.

TEOREMA 5

Se

___

AB é um diâmetro e C é um ponto qualquer da circunferência, distintos de A e B, então o ABC é retângulo em C, isto é, C é reto.

Daremos três soluções para esse problema, abordando três áreas diferentes da matemática.

1° SOLUÇÃO (GEOMETRIA PLANA)

Considere a seguinte figura

Os Triângulos CEA e EAD são isósceles, pois )

(raios EA

CE e EA ED(raios),então e m

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Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Pôster 3 2 z e t y m 2 , logo, y y z t z t 2 2 180 , Substituindo t z na segunda equação temos:

2 2y 180( 2) 90

y

2° SOLUÇÃO (GEOMETRIA ANALÍTICA)

Considere a figura ao lado.

Primeiramente iremos calcular o coeficiente angular da reta formada pelos pontos (-c,0) e (a,b) que chamarei de m₁, após calcularemos o coeficiente angular da reta formada o pelos pontos (a,b) e (c,0) que chamarei de m . ₂

Calculando temos a c b m₁ e a c b m₂

Outro resultado importante a considerar é os pontos (a,b) e (c,0) são eqüidistantes do centro,vistos que essas distâncias representam raio.

) 1 ( 2 2 2 2 2 2 c b a c b a .

Para duas retas serem perpendiculares o produto dos coeficientes angulares tem que ser -1. 2 2 2 2 1. ( )( ) a c b a c b a c b m m , mas (1) 2 2 2 b a c . Então teremos: 1 . ₂ 2 2 1 b b m m

3° SOLUÇÃO (CALCULO VETORIAL)

Figura 2

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Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Pôster 4 Considere a figura ao lado, sendo u,v e w vetores. Dois vetores são perpendiculares quando

o produto interno entre eles é zero.

0 ,v u v 2 u 2 u v .Visto que 2 2 u v (raio da circunferência) TEOREMA 2

Os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais

1° SOLUÇÃO (GEOMETRIA PLANA)

Figura 4

Figura 5

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Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Pôster 5 Dado o ABC isósceles, sendo AB BC.

Traçando uma bissetriz do ângulo B ,obtemos os triângulos ABD e CDB. Esses triângulos são congruentes, pois :

BD é um lado comum aos dois triângulos (lado).

C B D D B

A , pois BD é bissetriz (ângulo) BC

AB , pois é um triângulo isósceles.

Pelo critério de congruência LAL os triângulos ABD e CDB são congruentes, logo os ângulos BAD e BCD são iguais.

2° SOLUÇÃO (GEOMETRIA ANALÍTICA)

Dado o triângulo isósceles abaixo, demonstrar que α β.

Na geometria analítica quando queremos encontrar um ângulo entre duas retas usamos a expressão: 1 2 1 2 . 1 m m m m tg

Onde m1 e m2 são os coeficientes angulares das retas que formam o ângulo.

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Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Pôster 6 Inicialmente calcularemos o coeficiente angular das retas que dão suporte aos

seguimentos que formam o triângulo isósceles.

Reta suporte do segmento formado pelos pontos (0,0) e (c,b).

c b c b m 0 0 1

Reta suporte do segmento formado pelos pontos (a,0) e (c,b) a c b c b m 0 0 2

Reta suporte do segmento formado pelos pontos (0,0) , (a,0)

0 0 0 0 0 3 a a m Calculando a tg α e tg β ; c b c b c b m m m m tg . 0 1 0 . 1 ₃ ₁ 1 3 a c b a c b a c b m m m m tg . 0 1 0 . 1 3 2 2 3

Sabemos que o segmento formado pelos pontos (0,0) e (c,b) e o segmento (c,b) e (a,0) são iguais pois o triângulo é isósceles.

. 2 ) ( 2 2 ) 0 ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c a a ac a b c ac a b c b c a b c Substituindo na tg β temos:

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Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Pôster 7 c b c b c c b a c b tg 2

Com isso provamos que:

tg tg

3ª SOLUÇÃO (CALCULO VETORIAL)

Usando os vetores u,v e w, iremos demonstrar que α β. ) , ( ) 0 , ( ) , ( ) 0 , ( ) 0 , 0 ( ) 0 , ( ) , ( ) 0 , 0 ( ) , ( b a c a b c v a a w b c b c u

Para calcular o ângulo entre dois vetores usaremos a expressão;

t w t w . , cos Calculando;

Ângulo entre os vetores u e w.

2 2 2 2 2 2 0 ) , ( ) , ( ) 0 , ( ), , ( cos a b c a c a b c b a c o a b c a b c ; Figura 8

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Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Pôster 8 Ângulo entre os vetores w e –v (vide figura 8).

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) ( ) , ( ) 0 , ( ) , ( ), 0 , ( cos b a ac c a a c a b a c a a c a b a c a b a c a

Por outro lado sabemos que u v ,pois o triângulo formado pelos vetores v,w e u é isósceles; ac a b a ac c b c b a c b c b a c b c v u 2 2 ) ( ) ( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

Usando esse resultado na expressão e cos teremos,

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos a b c a c b a a c a ac c a b a ac c a a c a c CONCLUSÕES

Um dos pilares da matemática é o raciocínio lógico-dedutivo,pois na matemática nada é teológico,ou seja, onde acreditamos pelo poder da fé, por isso é muito importante que nossos alunos tenham a oportunidade de demonstrar,mesmo algo simples, como esse teorema matemático,pois a demonstração mostra estrutura lógica da matemática e pode até tornar mais atraente a matéria para os discentes.

REFERÊNCIAS

Bongiovanni,v. Teorema de Tales: uma ligação entre o geométrico e o numérico. Revista Eletrônica de Educação Matemática. V2.5, p. 94-106, UFSC: 2007.

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Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Pôster 9 Loureiro C., Bastos R., Demonstração – uma questão polêmica. Encontro da Sociedade Portuguesa de ciências da Educação. p.105-128,2000. Disponível em http://www.spce.org.pt/sem/CL.pdf. Acesso 26/06/2009.

Iezzi,G.,Dolce, O.,Machado, A. Matematica e Realidade 7ª Serie. São Paulo.Editora Atual, 2005.

Dante,L. R.Tudo é matemática 7ª Serie.São Paulo. Editora ática,2007. Editora Moderna. Projeto Araribá.São Paulo, Editora Moderna, 2006.