UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO – USP
ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS – EESC
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA – SEM
DESENVOLVIMENTO DE UM PROGRAMA PARA VERIFICAÇÃO
DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E
HELICOIDAIS
Trabalho de Conclusão de curso apresentado ao
Departamento de Engenharia Mecânica, da
Escola de Engenharia de São Carlos, da
Universidade de São Paulo, como parte dos
requisitos necessários para a conclusão do
curso de Graduação em Engenharia Mecânica.
Aluno: Mateus Nasser Silva
Orientadora: Prof. Dra. Zilda de Castro Silveira
São Carlos, SP 2012
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AUTORIZO A REPRODUÇÃO E DIVULGAÇÃO TOTAL OU PARCIAL DESTE TRABALHO, POR QUALQUER MEIO CONVENCIONAL OU ELETRÔNICO, PARA FINS DE ESTUDO E PESQUISA, DESDE QUE CITADA A FONTE.
Ficha catalográfica preparada pela Seção de Tratamento da Informação do Serviço de Biblioteca – EESC/USP
Silva, Mateus Nasser
S586d Desenvolvimento de um programa para verificação de engrenagens cilíndricas de dentes retos e
helicoidais. / Mateus Nasser Silva ; orientador Zilda de Castro Silveira –- São Carlos, 2012.
Monografia (Graduação em Engenharia Mecânica) -- Escola de Engenharia de São Carlos da Universidade de São Paulo, 2012.
1. Engrenagens cilíndricas de dentes retos e helicoidais. 2. AGMA. 3. Elementos de máquinas. 4. Sistematização de dimensionamento. I. Titulo.
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RESUMO
NASSER, M. (2012). Desenvolvimento de um programa para verificação de engrenagens cilíndricas de dentes retos e helicoidais. Trabalho de Conclusão de Curso – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, 2012. 57p.
O objetivo deste trabalho é desenvolver um programa para a verificação de engrenagens de dentes retos e helicoidais baseado na norma AGMA (American Gear Manufacturers Association). As engrenagens represetam o principal elemento de máquina para a transmissão de potência na indústria metal-mecânica e automotiva. Apresentada a metodologia para o dimensionamento, discorre-se sobre o programa feito em MatLab, com o objetivo de automatizar os cálculos, reduzindo o tempo gasto buscando valores tabelados e recomendados na literatura durante o projeto.
Palavras-chave: engrenagens cilíndricas de dentes retos e helicoidais, AGMA,
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ABSTRACT
NASSER, M. (2012). Spur and helical gears checking program development. Trabalho de Conclusão de Curso – Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo, São Carlos, 2012. 57p.
The main objective of this work is to develop a program for spur and helical gears checking based on AGMA standards (American Gear Manufacturers Association). Gears represent the main part on machinery design for power transmission in the metalworking and automotive industry. After the design methodology was explained, this work talks about the program, which was done in Matlab, in order to automate calculations. It reduces the project duration because of the time saving on searches for tabulated values recommended in the literature.
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Sumário
RESUMO 1 – INTRODUÇÃO ... 08 1.1 – Objetivo ... .09 2 – EMBASAMENTO TEÓRICO ... 103 – TRANSMISSÕES MECÂNICAS POR ENGRENAGEM ... 13
3.1 – Tipos de engrenagens ... .15
3.2 – Considerações sobre a lei de engrenamentos e processos de fabricação ... .20
3.3 – Modos de falha de engrenagens ... .22
3.4 – Considerações sobre a utilização de programa de apoio à engenharia... .23
4 – METODOLOGIA AGMA PARA ENGRENAGENS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS ... .25
4.1 – Dimensionamento por flexão ... .25
4.2 – Dimensionamento por fadiga de contato ... .33
4.3 – Discussão ... .36
5 – DESENVOLVIMENTO DE UM PROGRAMA COMPUTACIONAL, BASEADO NA NORMA AGMA, PARA DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS CILÍNDRICAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS ... 38
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7 – CONCLUSÃO ... 53
8 – REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ... 54
APÊNDICES
APÊNDICE A - TENSÕES ADMISSÍVEIS AGMA PARA FLEXÃO E FADIGA
SUPERFICIAL SEGUNDO NORTON ... 56
ANEXOS
ANEXO A - FATOR DE GEOMETRIA PARA FLEXÃO “J” ... 58 ANEXO B - FATORES DE CARREGAMENTO CÍCLICO “YN” E “ZN” ... 59
8 1. INTRODUÇÃO
A linha de pesquisa denominada projeto mecânico possui algumas áreas de conhecimento bastante consolidadas, como o dimensionamento analítico de elementos de máquinas. Muitos desses dimensionamentos estão baseados no equilíbrio estático e conceitos de mecânica dos sólidos, e podem ser estendidos às interfaces com sistemas de monitorimento (sensores e transdutores), em condições dinâmicas e estudos de variações térmicas em condições operacionais.
Além do crescente uso da eletrônica e da tecnologia da informação em máquinas-ferramentas e dispositivos mecânicos, o avanço na área do desenvolvimento de novos materiais de engenharia é outro fator de constante análise e tomadas de decisões no desenvolvimento de projetos de engenharia. Portanto, a multidisciplinaridade é a forma que o projeto de engenharia se molda nos dias atuais.
Na engenharia mecânica, o ensino da disciplina de elementos de máquinas e outras disciplinas correlatas têm como objetivo apresentar ao aluno de graduação procedimentos e metodologias de dimensionamento analítico de um conjunto de elementos fundamentais, para o projeto e construção dos mais diferentes tipos de projetos e dispositivos mecânicos. Muitas das metodologias propostas são iterativas, pois utilizam hipóteses simplificadoras, uma vez que o desenvolvimento de um projeto é uma atividade não estruturada e há um número finito de possíveis soluções.
Dentro deste contexto, o desenvolvimento de rotinas computacionais que reduzam o tempo de dimensionamentos analíticos com iterações, de diversos elementos de máquinas, garantindo a confiabilidade dos resultados obtidos é indicado, para que possam ser aplicados na fase do projeto preliminar, bem como comparar diferentes procedimentos de cálculo.
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Neste trabalho é proposto um programa para o dimensionamento de engrenagens cilíndricas de dentes retos e helicoidais, considerando seus principais modos de falha, segundo a norma AGMA (American Gear Manufacturers Association), como programa aberto e para ferramenta didática, para auxílio ao curso de elementos de máquinas (transmissões mecânicas).
1.1 OBJETIVOS
O objetivo principal deste trabalho é elaborar e implementar um programa computacional, para auxílio ao dimensionamento de engrenagens cilíndricas de dentes retos e helicoidais, utilizando a norma AGMA (American Gear Manufacturers
Association). O desenvolvimento de um programa aberto possibilita sua utilização em
disciplinas da área de projeto mecânico fornecendo ao aluno um aumento de tempo, para avaliação dos resultados obtidos para cada dimensionamento, reduzindo o tempo de cálculo, inclusive o tempo relativo à consulta de tabelas e ábacos inseridos no programa proposto.
10 2. EMBASAMENTO TEÓRICO
O dimensionamento e avaliação de desempenho dos elementos de máquinas são essenciais para o ensino de Engenharia Mecânica, uma vez que são componentes indispensáveis para a construção de equipamentos, máquinas e dispositivos. Autores clássicos como Shigley, et al. (2006), Norton (2006), Juvinal e Marshek (2008) inserem o dimensionamento de componentes mecânicos na segunda parte de seus livros, nos quais são aplicadas teorias provenientes dos cursos básicos de engenharia, como: estática, mecânica dos sólidos, engenharia de materiais, dinâmica e noções de desenho técnico mecânico. Niemann (1971) apresenta metodologias de dimensionamento de elementos de máquinas, baseadas na norma alemã DIN (Deutsches Institut für Normung).
Há atualmente vários programas individuais ou pacotes desenvolvidos para o dimensionamento dos principais elementos de máquinas. Esses programas podem ser acadêmicos, como o Sistema EleMaq (Silveira, 1999) e comerciais, como por exemplo: Hexagon (www.hexagon.de), Engineering Power Tools (www.pwr-tools.com) e MITCalc (www.mitcalc.com). Os sistemas CAD também oferecem recursos numéricos, para verificação de propriedades geométricas e cálculos preliminares de componentes mecânicos.
O processo de desenvolvimento de um projeto de engenharia insere-se em uma cadeia mais longa: o ciclo de desenvolvimento do produto, que se inicia pelas metas e diretrizes definidas pela organização, empresa ou indústria e termina com a reciclagem ou descarte do produto. Essas metas podem estar relacionadas com um único produto ou famílias de produtos, que por sua vez pode ser: bens de consumo, componentes, subconjuntos ou máquinas industriais, processos ou serviços.
Partindo-se de um componente ou uma máquina mecânica, por exemplo, dentro dessa cadeia longa, insere-se o “processo de desenvolvimento do projeto”, no
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qual é desenvolvido o “produto técnico”. Há diferentes abordagens e denominações para as etapas que se desdobram nesta fase. Back (1983) divide as etapas, conforme a Figura 2.1 ilustra.
Figura 2.1 – Etapas do projeto de engenharia (Silveira, 1999 adaptado de Back, 1983)
A primeira etapa “Viabilidade de projeto” é também denominada como “Projeto Informacional” (Silveira, 1999), na qual são levantados os requisitos do usuário final ou cliente e os requisitos técnicos, que serão desdobrados, para estudo na etapa posterior “Projeto Conceitual”, e então analisados, dimensionados e otimizados na fase do “Projeto Preliminar” ou “Ante-Projeto”. A última etapa é o “Projeto Detalhado” no qual são elaborados o desenho de conjunto, desenhos de detalhes, tolerâncias dimensionais e geométricas, para montagem e testes laboratorias ou lote piloto. Esta
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sequência se aplica, quando há o completo desenvolvimento de um produto. Muitas empresas realizam parte desse processo de desenvolvimento do produto, por serem, por exemplo, montadoras ou empresas de serviço.
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3. TRANSMISSÕES MECÂNICAS POR ENGRENAGEM
Denominam-se transmissões mecânicas, os mecanismos utilizados para transmitir energia entre elementos, normalmente com transformações de velocidades, forças e momentos. Os exemplos de elementos de máquinas, que são capazes de realizar a função de transmissão de potência são: rodas de atrito, correias/polias, CVT´s (Transmissões Continuamente Variáveis), correntes e engrenagens.
De todos os elementos de máquinas, talvez o dimensionamento completo de pares de engrenagens tenha o procedimento de cálculo mais trabalhoso, devido ao grande número de parâmetros envolvidos em seu dimensionamento.
As engrenagens são peças com formatos cilíndricos, cônicos ou hiperbólicos, cuja projeção de contato tem o formato de um “dente", que através do contato direto feito ao pares sobre os flancos desses dentes, transmitem movimento sem deslizamento (Niemann, 1971). A relação de transmissão é constante e independe do carregamento.
A escolha do tipo de transmissão depende de uma série de fatores, que incluem: distância entre centros dos eixos, nível de ruído, custo de montagem e manutenção, custo de fabricação, capacidade de carga, eficiência, peso adicional do sistema de transmissão, repetibilidade de movimento, entre outros. Portanto, em muitas aplicações, a utilização de transmissões por engrenagens é altamente indicada, mesmo que os custos possam ser superiores às demais alternativas.
Quando um dente é solicitado, há vários níveis de tensões que se desenvolvem devido à uma série de razões, como fator de concentração de tensão, distribuição da carga, sobrecarga dinâmica (erros geométricos no passo), grau de recobrimento, efeitos de fadiga mecânica e térmica, tipos de acabamento e sobrecarga estática. Por
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essas razões, os pares de engrenagens devem ser dimensionados, a fim de se evitar falhas potencias e catastróficas.
Lewis (1893) propôs o primeiro modelo de análise, para um par de dentes engrenados, utilizando uma analogia de uma viga engastada sujeita à tração no ponto de carga e esforços de compressão no lado oposto, oferecendo uma resistência à flexão (Fernandes, 1997). Este modelo ficou conhecido como parábola de resistência uniforme, modificado posteriormente por Dudley (1973), que detalhou o estudo adicionado fatores tecnológicos como: largura do dente, raio do filete, distribuição da carga ao longo do dente, velocidade tangencial, cargas dinâmicas e de impacto, desvios geométricos e viscosidade do lubrificante. Resumindo, o dente pode ser verificado, quanto à sua capacidade de resistir à quebra e à flexão. Portanto, essa é a primeira verificação que deve ser feita ao se projetar um par engrenado: critério de
resistência à flexão no pé do dente.
A segunda verificação é o dimensionamento pelo critério da pressão superficial no flanco do dente, proveniente da teoria de contato – Hertz, que considera dois cilindros, função da área de contato e do coeficiente de atrito existente entre eles. Esse método também foi melhorado, considerando-se tipos de materais e regimes de lubrificação.
A terceira verificação é função direta da condição operacional dos pares engrenados, considerando a velocidade tangencial, temperatura e viscosidade do lubrificante, evitando-se contato direto entre as superfícies (lubrificação elastohidrodinâmica). Segundo Fernandes (1997) essa verificação é necessária, quando se excede uma determinada velocidade (acima de 4 m/s), e possa ocorrer oscilações, que conduzam ao engripamento (avaria superficial) dos dentes.
Há vários outros métodos utilizados para pré-dimensionar engrenagens, como por exemplo, os métodos simplificados encontrados em manuais de engenharia,
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como Dübbel (1989). Esses métodos possuem uma formulação simples, que permite ao projetista determinar o módulo da engrenagem, a partir do material pré-definido, e então são definidas as geometrias importantes. Em função de sua simplicidade, não são considerados vários fatores que interferem no engrenamento, sendo compensados por coeficientes de segurança elevados Schützer (1988) apud Silveira (1999).
Atualmente, a otimização do perfil e da linha de ação de dentes de engrenagens e acabamentos cada vez mais refinados, que permitam relações de transmissões maiores e condições operacionais com maior confiabilidade e silenciosas são buscadas pelas empresas fabricantes de engrenagens.
3.1 TIPOS DE ENGRENAGENS
Há quatro tipos básicos de engrenagens:
Engrenagens cilíndricas de dentes retos; Engrenagens cilíndricas de dentes helicoidais; Engrenagens cônicas;
Parafuso sem fim.
A seguir, será analisado cada tipo de engrenamento, discutindo-se as vantagens e desvantagens de cada tipo.
ENGRENAGENS CILÍNDRICAS RETAS
As engrenagens cilíndricas de dentes retos são as mais simples e, consequentemente, as de produção mais barata. Elas possuem os dentes paralelos aos eixos de rotação e os eixos de rotação são paralelos entre si como pode ser visto na figura 3.1.
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O contato entre os dentes do pinhão e da engrenagem é uma linha ao longo de toda a largura da engrenagem. Este contato ocorre ao mesmo tempo em toda a extensão da linha e devido a falta de progressividade, causa vibração e ruído.
Para este tipo de engrenamento não é recomendável utilizar reduções maiores do que 10:1 em um único par. Para isto devem ser feitos dois pares de engrenagens.
Figura 3.1: par pinhão-engrenagem reto[11]
ENGRENAGENS CILÍNCRICAS HELICOIDAIS
As engrenagens cilíndricas helicoidais possuem uma geometria um pouco mais complexa do que as de dentes retos, pois os seus dentes são inclinados em relação ao eixo de rotação (figura 3.2) e eles não possuem um perfil reto. Esta inclinação é denominada ângulo de hélice e varia entre 10º e 40º. Estas engrenagens são capazes de transmitir grandes potências.
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Em alguns casos os eixos não são paralelos entre si (Figura 3.3). O movimento é totalmente transmitido por escorregamento entre os dentes e o contato entre as duas engrenagens, teoricamente, é apenas um ponto. Isto reduz drasticamente a sua capacidade de transmissão de torque e potência deste tipo de engrenamento.
Figura 3.3: par pinhão-engrenagem helicoidal com eixos perpendiculares[11]
Os engrenamentos helicoidais são mais silenciosos e causam menos vibração do que os engrenamentos retos, pois seu engrenamento ocorre de maneira gradual. Isto ocorre devido à inclinação dos dentes. Outra vantagem é o ângulo de hélice é que o número de dentes em contato, em média, passa a ser maior.
Em contrapartida esta inclinação dos dentes gera uma carga axial, ou seja, os mancais devem ser projetados de forma a suportar esta carga, necessidade que não existe nas engrenagens cilíndricas de dentes retos. Quanto maior o ângulo de hélice, maior será a reação axial provocada nos mancais e maior a quantidade média de dentes em contato.
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Da mesma forna que nas engrenagens cilíndricas de dentes retos, não é recomendável a utilização de reduções maiores do que 10:1 em um únipo par.
ENGRENAGENS CÔNICAS
As engrenagens cônicas, como o próprio nome diz, possuem um formato cônico. Ou seja, diferem das engrenagens cílindricas citadas anteriormente. Seus dentes podem ser helicoidais (como os da figura 3.4) ou podem ser retos.
Ao compararem-se as engrenagens cônicas de dentes retos com as de dentes helicoidais, conclui-se que as suas vantagens e desvantagens são, analogamente, as mesmas vantagens e desvantagens ao compararem-se as engrenagens cilíndricas retas com as helicoidais.
O ângulo entre os eixos não possui restrições, porém em geral são utilizados eixos com 90º (perpendiculares). Assim como nas engrenagens cilíndricas de dentes retos e helicoidais, não é recomendável a utilização de reduções maiores que 10:1 em um únipo par.
19 PARAFUSO SEM FIM
Este tipo de engrenagem é, na prática, uma engrenagem helicoidal com um ângulo grande o suficiente de modo que, em alguns casos, forma-se apenas um dente em toda a engrenagem (figura 3.5). É possível fazer um comparativo do parafuso sem fim com a rosca de um parafuso comum.
Figura 3.5: par pinhão-engrenagem helicoidal[11]
Sua grande vantagem é possibilitar grandes reduções podendo ser projetada desde 1:1 até 360:1, segundo Norton (2006). Geralmente elas são encontradas comercialmente com relações variando entre 3:1 e 100:1.
Outra particularidade deste tipo de engrenamento é, em praticamente todos os casos, o auto-bloqueio da engrenagem. Ou seja, na maioria dos casos um torque na engrenagem não é capaz de gerar movimento no parafuso sem-fim.
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3.2 CONSIDERAÇÕES SOBRE A LEI DE ENGRENAMENTO E PROCESSOS DE FABRICAÇÃO
Engrenagens são componentes que, para que cumpra seus requisitos de funcionamento e vida útil, exigem certa qualidade na manufatura e montagem. Seu rendimento está diretamente relacionado com os processos e tolerâncias adotados. Em geral os engrenamentos possuem rendimentos iguais ou superiores a 95%, dependendo dos processos e tolerâncias utilizados.
Para que um engrenamento funcione corretamente é necessário que obedeça a duas leis fundamentais. Elas tratam de condições que, sem as quais, podem causar a falha do sistema.
A primeira lei diz que o passo circular das engrenagens deve ser igual para que elas possam se “engrenar”. Se esta lei não for cumprida, pode ocorrer o deslizamento, separação ou ruptura do par. Há casos em que, mesmo cumprindo este requisito, podem haver flutuações na transmissão da rotação. Dois exemplos disto podem ser vistos na figura 3.6, segundo aula 2 – Transmissões por Engrenagens.
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A segunda lei vem para cobrir casos nos quais, a relação de transmissão não é constante. Ela diz que o ponto primitivo, no qual todas as linhas de ação devem passar, deve permanecer fixo sobre a linha formada entre os pontos que são o centro de rotação das duas engrenagens.
Quanto ao perfil do engrenamento, é importante que ele acomode variações de carga e distância entre os centros dos eixos. Assim, sua manufatura e montagem tornam-se menos custosas, admitindo tolerâncias maiores. A solução desenvolvida para isto foi o perfil evolvente. Este perfil cumpre perfeitamente as duas leis mencionadas mesmo ocorrendo um possível aumento da distância entre centros.
Para a produção de perfis evolventes, existem alguns processos mais comuns, que dependem do tamanho do lote e das tolerâncias exigidas. As três grandes vertentes de métodos utilizados para a manufatura dos dentes são a fabricação por usinagem, conformação e sinterização.
Dentro da vertente da usinagem os dois grandes grupos são a fabricação por processo de geração e por perfilamento. A grande diferença é que no perfilamento ocorre a cópia do perfil da ferramenta, ao passo que na geração há a rotação da ferramenta e da peça durante a produção. Para processos de conformação, o principal processo é o de forjamento a frio. Este processo é aplicado em produções de larga escala, pois as matrizes possuem um elevado custo.
Por fim, a sinterização, que consiste na compactação do pó seguida de elevação da temperatura até a sua solidificação. Este processo deixa o material mais poroso e, em grande parte das aplicações, exige um tratamento posterior.
Apresentado os principais métodos primários de manufatura, serão abordados os processos de acabamento. Os mais comumente utilizados são os de shaving e de retificação. Estes processos conferem para a engrenagem maior precisão e menos
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ruídos durante o seu funcionamento. Estes processos também possibilitam a produção do crowning, melhorando desta forma a capacidade de acomodar desalinhamento dos eixos devido ao seu abaulamento.
Um método utilizado para aumentar a dureza superficial e consequentemente a vida útil das engrenagens tratamento térmico. As técnicas mais comuns são a têmpera superficial por indução, nitretação e o shot peening, que consiste em um jateamento com granalhas e também causa a redução das tensões residuais.
Independentemente do método utilizado, o perfil do dente não depende apenas do módulo do engrenamento, como também do número de dentes da engrenagem. Isto implica, que em um mesmo engrenamento, a evoluta do pinhão é diferente quando comparada com a da engrenagem. Quanto maior o número de dentes, mais plano é o flanco do dente.
3.3 MODOS DE FALHA DE ENGRENAGENS
Neste capítulo são discutidos os principais modos de falhas considerados em projetos de engrenamentos. São tratados os modos de falha, não as causas raíz de falha.
Existem potencialmente dois possíveis modos de falha: a falha por fadiga a flexão, causada pela carga de flexão cíclica no pé do dente, e a falha por fadiga superficial ou de contato (pitting). Ambos os casos devem ser cuidadosamente analisados durante o projeto de um engrenamento.
Engrenagens projetadas com materiais ferrosos, que em geral possuem um patamar bem definido para vida infinita em flexão, podem ser projetadas para vida infinita em termos de flexão no pé do dente.
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Por outro lado, mesmo os materiais ferrosos com maior dureza superficial não possuem um patamar de vida infinita para fadiga superficial, dificultando projetos com mais do que 108 ciclos.
Segundo Norton (2006), a fadiga por contato é o modo mais comum de falha, seja ela por abrasão ou adesão (scuffing ou scoring). Como o scoring é considerado uma falha por falta de lubrificação, a falha da engrenagem passa a ser uma mera consequência. Por esta razão, o scoring não será abordado neste trabalho.
Pelos motivos apresentados acima, neste trabalho serão abordados métodos para o dimensionamento considerando apenas os modos de falhas por flexão no pé do dente e por fadiga superficial ou de contato.
3.4 CONSIDERAÇÕES SOBRE A UTILIZAÇÃO DE PROGRAMA DE APOIO À ENGENHARIA
Um software, segundo Pressman (1996), é um programa de computador que produz a função e o desempenho desejados, possui estruturas de dados que possibilitam que os utilização da informação de maneira adequada e documentos que descrevem as suas operação e utilização.
Partindo desta definição, os códigos podem ser baseados na programação de processos em uma grande diversidade de áreas e eles aumentam a velocidade de definição dos resultados desejados. Muitas vezes ele reduz a dependência de protótipos e testes físicos, reduzindo o tempo e o custo detes processos.
Produzir um programa não se resume a escrever o seu algoritmo. Existem algumas regras e recomendações que tornam o código de um programa mais fácil de ser compreendido e mais modular. Códigos mais modularizados facilitam o
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reaproveitamento de partes do código em outras partes do programa ou até mesmo em outros programas.
Com isto, os softwares se tornaram fundamentais, principalmente quando tratam-se de programas que adotam considerações inviáveis de serem realizadas sem uma ferramenta computacional.
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4. METODOLOGIA AGMA PARA ENGRENAGENS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
Neste capítulo serão abordados os cálculos de flexão no pé do dente e fadiga de contato utilizando a norma AGMA (American Gear Manufacturers Association) com algumas simplificações e considerações, tornando assim o cálculo viável de ser realizado. Abaixo as principais delas:
O número médio de dentes em contato está entre um e dois; Não existe interferência entre os dentes;
Backlash diferente de zero;
As forças de atrito são desprezíveis.
A primeira proposição torna-se conservadora a partir do momento em que a razão de contato é maior que dois. O seu cálculo em tal situação seria indeterminado, pois haveria situações difíceis de prever.
4.1 DIMENSIONAMENTO POR FLEXÃO
Inicialmente, será analisada a equação para o cálculo da tensão de flexão e a equação da tensão admissível de flexão AGMA, de modo a obter-se uma visão geral do método (equações 4.1 e 4.2).
[4.1]
[4.2]
Onde:
σ – tensão de flexão;
σall – tensão admissível de flexão; Wt – carga transmitida;
26 Kv – fator dinâmico;
Ks – fator dimensional;
Pd – passo diametral dado em dentes por polegada; F – menor largura ou largura efetiva;
Km – fator de distribuição da carga; KB – fator de espessura no diâmetro; J – fator de geometria para flexão;
ST – tensão admissível para flexão AGMA; SF – fator de segurança;
YN – fator de carregamento cíclico; KT – fator de temperatura;
KR – fator de confiabilidade.
Considera-se que uma engrenagem suporta a sua condição teórica de funcionamento a partir do momento em que “σ” passa a ser menor que “σall”, ou seja, a tensão aplicada é menor que a tensão admissível AGMA para flexão. A seguir será abordada cada variável para o seu entendimento.
CARGA TRANSMITIDA
A carga transmitida é a força tangencial resultante que é aplicada pelo pinhão na engrenagem no ponto de contato entre os seus respectivos diâmetros primitivos (figura 4.1)
27 FATOR DE SOBRECARGA
Este fator leva em consideração os choques sofridos pelo engrenamento, provenientes tanto do acionamento (motor, turbina, etc...) quanto os choques provenientes da carga. Os valores são tabelados conforme a tabela 4.1.
Tabela 4.1: fator de sobrecarga, segundo Shigley (2006)
FATOR DINÂMICO
O fator dinâmico leva em conta a velocidade tangencial “V” no diâmetro primitivo e a qualidade da fabricação e da montagem do conjunto. A influência da qualidade no cálculo se dá através da variável Qv, que varia de um a doze. Em geral, engrenamentos comerciais possuem fator de qualidade entre três e sete, já os de precisão entre oito e doze. Para o cálculo do fator dinâmico Kv, são utilizadas as equações 4.3.
[4.3]
Onde:
V - velocidade tangencial em pés por minuto; Qv – fator de qualidade AGMA.
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Cada valor para o fator de qualidade possui uma velocidade máxima “Vmáx” (dada em pés por minuto). Ou seja, conforme aumenta-se a velocidade tangencial deve-se reduzir a qualidade. Para o cálculo da máxima velocidade tangencial, utiliza-se a equação 4.4.
[4.4]
FATOR DIMENSIONAL
O fator dimensional indica que quanto maior a engrenagem, maior o fato. Para concluir isto pode-se analisar a fórmula para o cálculo do fator, na qual a largura está no numerador e o passo diemetral (inversamente proporcional ao módulo) no denominador. Para este cálculo utiliza-se a equação 4.5.
[4.5]
Onde:
F – menor largura em polegadas;
Pd – passo diametral em dentes por polegada;
Y – fator de Lewis em função do número de dentes, conforme a tabela 4.2. Para encontrar valores intermediários aos valores tabelados é necessário utilizar o método de interpolação linear.
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Tabela 4.2: fator de Lewis em função do número de dentes, segundo
Shigley (2006)
FATOR DE DISTRIBUIÇÃO DE CARGA
Algumas considerações são necessárias para o cálculo do fator de distribuição de carga “Km” (equação 4.6). Considera-se que a engrenagem é montada entre dois mancais, mesmo que esteja com um offset em relação ao ponto central. São considerados também larguras de no máximo quarenta polegadas, força de contato uniforme em toda a largura do engrenamento e razão entre a largura efetiva e o diâmetro primitivo é de no máximo dois.
[4.6]
Onde:
Cmc – 1,0 para engrenamentos com crowning e 0,8 sem;
Cpf - calculado conforme as equações 4.7, onde Pd é o passo diametral dado em dentes por polegada.
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[4.7]
Caso
seja menor que 0,05, deve-se utilizar 0,05 para esta razão.
Cpm – é considerado 1,0, exceto quando a razão entre a distância da engrenagem ao ponto central entre os mancais e a largura da engrenagem for maior que 17,5%, ou seja S1/S é maior que 0,175 (figura 4.2). Neste caso considera-se Cpm=1,1;
Figura 4.2: representação esquemática do offset da engrenagem em relação ao ponto central entre os dois mancais, segundo Back (1983)
Cma – é calculado conforme a equação 4.8, onde F é dado em polegadas e os coeficientes podem ser encontrados na tabela 4.3.
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Tabela 4.3: coeficientes A, B e C para
Ce – utiliza-se em geral igual a um. Pode ser utilizado 0,8 para engrenamentos ajustados em montagem ou quando for utilizada lapidação.
FATOR DE ESPESSURA
O fator de espessura fator leva em conta que, no caso de engrenagens não-solidárias, se o furo for grande o suficiente, a parede seja fina o suficiente para reduzir a vida do pinhão ou da engrenagem.
Para o cálculo do fator de espessura, utiliza-se a equação 4.9.
[4.9]
Caso mb seja maior ou igual a 1,2, utiliza-se o valor um para o fator de espessura. Caso contrário o fator é dado pela equação 4.10.
[4.10]
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De modo a tornar mais rápido o cálculo do fator de geometria para a flexão “J”, utilizam-se as tabelas contidas no anexo A (figuras A.1 e A.2).
FATOR DE CARREGAMENTO CÍCLICO
O fator de carregamento cíclico YN pode ser calculado conforme o gráfico contido no anexo B (figura A.3)..
A aplicação deste fator se deve ao fato de que os valores de tensão admissível AGMA para flexão são definidos para 107 ciclos. Nota-se que para 107 ciclos, YN é igual a um. Portanto sua função é corrigir estes valores quando a vida desejada é diferente de 107 ciclos.
FATOR DE TEMPERATURA
O cálculo do fator de temperatura é simples, conforme pode ser visto na equação 4.11.
[4.11]
Onde:
T - temperatura em graus Célcius:
Caso a temperatura seja menor do que 120ºC, ou seja, KT é menor que um, deve-se utilizar um para este fator.
FATOR CONFIABILIDADE
Todos os cálculos e dados desta metodologia consideram que o fator de confiabilidade “KR” é de 99%. Portanto para valores diferentes deste será necessário um fator para o ajuste. Este fator pode ser calculado a partir das equações 4.12.
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[4.12]
Onde:
R - confiabilidade variando de 50% a 99,99%;
4.2 DIMENSIONAMENTO POR FADIGA DE CONTATO
Inicialmente, será analisada a equação para o cálculo da tensão de contato e da tensão admissível de contato de modo a ter-se uma visão geral do método (equações 4.13). [4.13] Onde: σc – tensão de contato;
σc,all – tensão admissível de contato; Cp – coeficiente de elasticidade; dp – diâmetro primitivo em polegadas; F – menor largura em polegadas;
I – fator de geometria para fadiga de contato;
Sc – tensão admissível AGMA para fadiga superficial; ZN – fator de carregamento cíclico para fadiga superficial; CH – fator de razão de dureza;
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Considera-se que uma engrenagem suporta a sua condição teórica de trabalho a partir do momento em que “σc” passa a ser menor que “σc,all”, ou seja, a tensão de contato aplicada é menor que a tensão de contato admissível AGMA. A seguir será abordada cada variável ainda não discutida para o seu entendimento.
COEFICIENTE DE ELASTICIDADE
O coeficiente de elasticidade “Cp” é que uma variável que pode ser calculada a partir de valores medidos, que dependem apenas das propiedades dos materiais do pinhão e da engrenagem. Utiliza-se para o seu cálculo a equação 4.14.
[4.14]
Onde:
Vp – coeficiente de poisson do pinhão; Vg – coeficiente de poisson da engrenagem;
Ep – módulo de Young em libras por polegada quadrada do pinhão; Eg – módulo de Young em libras por polegada quadrada da
engrenagem.
FATOR DE GEOMETRIA PARA FADIGA DE CONTATO
O fator de geometria para o cálculo de fadiga superficial leva em conta apenas fatores geométricos e pode ser definido conforme a equação 4.15.
35 Onde:
Φt – ângulo de pressão;
mG – redução do engrenamento;
mN – razão de distribuição de carga. Esta variável é igual a um para engrenagens de dentes retos. Já para engrenagens helicoidais a razão pode ser calculada a partir de uma série de relações, não mencionadas neste trabalho, que podem ser encontradas, segundo Shigley (2006).
FATOR DE CARREGAMENTO CÍCLICO PARA FADIGA DE CONTATO O fator de carregamento cíclico para fadiga de contato pode ser encontrado na figura A.4 do anexo B.
A aplicação deste fator se deve ao fato de os valores de tensão limite AGMA serem definidos para 107 ciclos. Nota-se que para 107 ciclos, ZN é igual a um. Portanto sua função é corrigir estes valores quando a vida desejada é diferente de 107 ciclos.
FATOR DE RAZÃO DE DUREZA
O pinhão possui menos dentes que a engrenagem e, portanto, é submetido a um maior número de ciclos. Ou seja, espera-se que a vida do pinhão seja menor que a vida da engrenagem. Por esta razão, pode-se utilizar dureza superficial maior no pinhão e, de certa forma, compensar este efeito.
Este fator é utilizado apenas para o dimensionamento da engrenagem. Para definir este falor, utiliza-se as equações 4.16.
36 Onde:
mG – redução do engrenamento;
HBpinhão – dureza superficial do pinhão em dureza Brinell; HBengrenagem – dureza superficial do pinhão em dureza Brinell.
4.3 DISCUSSÃO
Ainda não foram abordados neste trabalho os coeficientes de segurança, tensões admissíveis AGMA e tensões aplicadas. Deve-se atentar para alguns detalhes importantes ao avaliá-los e utilizá-los.
Primeiramente, será tratado o assunto referente às tensões admissíveis AGMA para flexão e para fadiga superficial. Estas tensões diferem das tensões convencionais de ruptura, pois elas são específicas para engrenagens. Por esta razão, deve-se buscar estes valores na norma AGMA ou em bibliografias baseadas na norma, como Shigley (2006) ou Norton (2006), por exemplo. As tabelas para as tensões admissíveis fornecidas por Norton (2006) encontram-se nas figuras A.1 e A.2 do apêndice A.
Obtidos estes valores das tabelas, devem-se aplicar os fatores que levam em conta condições específicas de trabalho. Estes fatores reduzem as tensões admissíveis, como temperatura e confiabilidade, por exemplo, conforme discutido previamente.
Para o cálculo das tensões aplicadas são levados em conta, conforme foi apresentado anteriormente, diversos fatores que, a fim de determinar a situação mais crítica de funcionamento, acabam aumentando o seu valor, como os fatores de velocidade, dimensional e de sobrecarga, por exemplo.
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Calculados valores para as tensões aplicadas no engrenamento, deve-se compará-los aos valores das tensões admissíveis. A razão entre a tensão admissível e a tensão aplicada será o coeficiente de segurança.
Ao analisar as equações para calcular as tensões de flexão e superficial aplicadas, nota-se que a tensão de flexão é proporcional à carga transmitida “Wt”, enquanto a tensão de fadiga superficial é proporcional ao seu quadrado. Para tornar a segunda tensão proporcional ao carregamento, calcula-se o quadrado do coeficiente de segurança. Caso o engrenamento possua crowning, calcula-se elevado ao cubo.
Desta forma podemos comparar os coeficientes de segurança de flexão e de fadiga superficial. O menor destes dois valores determina qual modo de falha predomina nestas condições de serviço. Assim sendo, é possível modificar as dimensões ou as condições de funcionamento de modo a obter o comportamento desejado.
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5. DESENVOLVIMENTO DE UM PROGRAMA COMPUTACIONAL, BASEADO NA NORMA AGMA, PARA DIMENSIONAMENTO DE ENGRENAGENS CILÍNDRI-CAS DE DENTES RETOS E HELICOIDAIS
Utilizando a metodologia apresentada, foi desenvolvido e implementado um programa utilizando o ambiente MatLab®, desenvolvido pela Mathworks, para sistematização dos cálculos. Optou-se pela utilização desta linguagem, pois ela é capaz de ler códigos mais antigos. Assim, a chance de o programa cair em desuso é menor. Também não foram utilizados outros programas com esta vantagem, como o Excel®, por exemplo, desenvolvido pela Microsoft, pois sua praticidade ao trabalhar com valores tabelados e gráficos é menor.
No programa foram inseridos, por exemplo, o cálculo do fator de geometria para engrenamentos helicoidais e o cálculo de interpolação, para o fator de Lewis, em função do número de dentes. Nesta parte do trabalho será discutida a forma como foi estruturado o programa, evidenciando a sua praticidade.
Para o melhor entendimento do procedimento aplicado na elaboração do pro-grama, foi produzido um fluxograma concomitantemente ao programa. Tais fluxogramas foram simplificados em alguns pontos de programação extensa. Estes fluxogramas podem ser vistos no apêndice A.
Na figura 5.1, é possível entender o funcionamento do programa principal. O programa principal limitou-se à inserção de variáveis básicas para todo o programa e ao cálculo de cada fator através de funções. Até mesmo os fatores mais simples de serem definidos, como, por exemplo, o fator de sobrecarga foi utilizado na forma de função. Desta forma o programa torna-se simples de ser entendido e corrigido.
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Inicialmente, antes do cálculo de qualquer fator, foi criada uma função para os cálculos de algumas variáveis básicas necessárias para os cálculos posteriores, como passo diametral e velocidade tangencial, por exemplo. A lista com as variáveis calculadas na função encontra-se na figura 5.1, dentro do segundo bloco.
A próxima função a ser chamada é para o cálculo do fator de sobrecarga. Seu cálculo é simples, conforme foi apresentado anteriormente, e seu fluxograma pode ser visto na figura 5.2.
Fluxograma 5.2 – fluxograma para o cálculo do fator de sobrecarga
A seguir, calcula-se o fator dinâmico através da figura 5.3. Para o seu cálculo é utilizada a velocidade tangencial (pode ser vista no bloco mencionando “dados de entrada”) e a qualidade AGMA (bloco de “inserção de dados”).
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A função a ser chamada a seguir, seguindo a lógica do fluxograma 5.1, é para a determinação do fator de distribuição e funciona conforme o fluxograma 5.4. É importante evidenciar mais uma vez a praticidade do programa, pois, nesta parte, além de retornar para o valor do fator, retorna também se a engrenagem possui ou não crowning. A grande vantagem disto é para o cálculo do coeficiente de segurança que, conforme visto anteriormente, é elevado ao cubo, caso o engrenamento possua crowning.
O proximo passo é o cálculo do fator de espessura, como pode ser visto na figura 5.5. Esta função utiliza como dados de entrada o adendo, dedendo e o passo diametral. Também são inseridas variáveis locais, como se o pinhão é ou não solidário ao eixo e, caso não seja, o diâmetro do furo. Nota-se que o projetista não necessita da bibliografia para a definição deste fator, pois os valores tabelados já estão inseridos no programa na forma de matrizes.
Calculado o fator de espessura, passa-se à determinação dos fatores dimensionais, seguindo o fluxograma 5.6. A partir da menor largura, do passo diametral e dos valores dos coeficientes de Lewis, calculados para o pinhão e para a engrenagem utilizando interpolação linear, é possível determinar os fatores dimensionais, tanto para o pinhão quanto para a engrenagem, sem que o usuário tenha que buscar os valores dos coeficientes de Lewis na literatura.
O fator seguinte é de simples determinação (figura 5.7). Utilizando os coeficientes de Poisson e de módulos de Young do pinhão e da engrenagem, inseridos localmente na função é possível determiná-lo.
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Fluxograma 5.5 – fluxograma para o cálculo do fator de espessura
Fluxograma 5.6 – fluxograma para o cálculo do fator dimensional
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A função é para o cálculo dos fatores de geometria (figura 5.8) e é uma das que possui maior complexidade no programa. Complexidade que é causada pelo cálculo da razão de distribuição de carga. Para o cálculo desta razão necessita-se de uma série de variáveis, todas já inseridas pelo projetista ou calculadas previamente. Seu cálculo não foi abordado neste trabalho, porém foi inserido no programa. Sua determinação é realizada sem que o usuário insira um dado sequer dentro da função, demonstrando mais uma vez a grande praticidade do programa. Para maiores detalhes consultar Shigley (2006). Quanto ao fator de geometria relacionado à flexão, sua definição é baseada no gráfico da figura A.1 do anexo A, ou seja, o usuário deve, a partir do gráfico, inserir os valores dos coeficientes geométricos “J” para o pinhão e para a engrenagem e seus respectivos fatores de correção, determinados utilizando a figura A.1 do anexo A.
Fluxograma 5.8 – fluxograma para o cálculo do fatores de geometria para flexão e fadiga superficial
Os dois fatores seguintes são de simples determinação. Para o coeficiente de confiabilidade (figura 5.9) necessita-se apenas da confiabilidade desejada. Para o seu cálculo são utilizadas as fórmulas contidas no fluxograma e na abordagem da norma AGMA. Da mesma forma o fator de temperatura (figura A.10) é calculado com apenas um dado: a temperatura de trabalho (caso seja menor que 120ºC não é necessário conhecer o seu valor, basta saber que está abaixo de 120ºC).
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Fluxograma 5.9 – fluxograma para o cálculo do fator de confiabilidade
A próxima definição a ser feita é a dos valores de tensões admissíveis (fluxograma 5.11). Aqui mais uma vez o projetista tem a comodidade de não consultar a norma ou a literatura, pois os valores estão previamente inseridos no programa utilizando as equações e tabelas fornecidas por Shigley (2006) conformr (apendice A) em função do material utilizado e da sua dureza superficial. Caso o usuário deseje, ele pode inserir o valor desejado diretamente no início da função, pode consultar o valor recomendado pela norma e em seguida inserir o valor desejado ou utilizar o valor sugerido pela norma.
Fluxograma 5.10 – fluxograma para o cálculo do fator de temperatura.
Fluxograma 5.11 – fluxograma para o cálculo das tensões admissíveis de flexão e de fadiga superficial.
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Fluxograma 5.12 – fluxograma para o cálculo do fator de razão de dureza
Utilizando os valores de dureza superficial, utilizandos na escala Brinell, inseridos na função anterior e o número de dentes do pinhão e da cremalheira inseridos no início do programa, pode-se calcular o fator de razão de dureza superficial (fluxograma 5.12).
Baseado na informação se o engrenamento possui ou não crowning, obtida na função para o cálculo do fator de distribuição, dos valores das durezas superficiais do pinhão e da engrenagem e da inserção do valor de vida desejada (em número de ciclos) é possível calcular os fatores de carregamento cíclico para a flexão e para a fadiga superficial, conforme pode ser visto no fluxograma 5.13.
Fluxograma 5.13 – fluxograma para o cálculo do fator de carregamento cíclico para flexão e para tensão de contato
Finalmente para o cálculo das tensões aplicadas, tensões admissíveis e coeficientes de segurança, tanto do pinhão quanto da engrenagem, para a flexão e para a fadiga de contato, criaram-se uma função específica para isto. A função determina estes valores conforme os fluxogramas 5.14 e 5.15. Note que, como já mencionado no capítulo destinado à discussão, o programa automaticamente determina o fator de segurança para a fadiga superficial levando em conta se o
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engrenamento possui crowning. O coeficiente de segurança é elevado ao exponente adequado para possibilitar a comparação entre a flexão e a fadiga superficial.
Os valores das tensões aplicadas e dos coeficientes de segurança retornam para o programa principal e são aapresentados para o usuário. Desta forma o projetista analisa os resultados e faz as modificações desejadas nas entradas, iniciando todo o ciclo do programa novamente.
Fluxograma 5.14 – fluxograma para o cálculo das tensões de flexão e seu coeficiente de segurança
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Fluxograma 5.15 – fluxograma para o cálculo das tensões de fadiga superficial e seu coeficiente de segurança
49 6. VALIDAÇÃO DOS RESULTADOS
Concluída a parte inicial do programa em MatLab®, serão necessários alguns exemplos que se encaixem ao contexto do software e que possua um resultado confiável. Assim é possível utilizá-los para encontrar falhas de programação e corrigí-las.
São feitas modificações no programa para que ele produza resultados aceitáveis. Existem erros simples de serem identificados e erros que são praticamente imperceptíveis quando causam variações pequenas nos resultados.
Desta forma, adotaram-se alguns exemplos resolvidos da bibliografia para buscar erros no código e em seguida validar o programa. Foram comparados não só os resultados, mas também cada variável individualmente.
Foi observado que os resultados referentes a valores tabelados ou que possuem uma função bem definida para o seu cálculo, quando não ocorreram erros de programação, convergiram para o resultado. Já valores determinados através de gráficos possuem uma pequena diferença.
Será mostrado agora um destes exemplos resolvidos, presente em Shigley (2006). Os dados para o dimensionamento são:
Pinhão: 17 dentes; Engrenagem: 52 dentes; Ângulo de pressão: 20º; Ângulo de hélice: 30º; Rotação: 1800 rpm; Potência: 4hp;
Passo diametral: 10 dentes por polegada; Largura efetiva: 1,5”;
50 Qualidade AGMA: 6;
Engrenagens montadas próximas aos rolamentos; Material: aço temperado grau 1;
Dureza superficial do pinhão: 240 HB; Dureza superficial da engrenagem: 200 HB; Acionamento: motor elétrico;
Carga: bomba centrífuga; Vida desejada: 108 ciclos; Confiabilidade: 90%;
Para YN e ZN considerar a curva menos conservadora (anexo B, figuras A.1 e A.2).
Estes dados foram então inseridos no programa. Os resultados fornecidos pelo programa são mostrados na figura 6.1. Foram colocados na tabela 6.1 os resultados fornecidos pelo programa e os resultados dados pela bibliografia.
Tabela 6.1: comparação dos resultados fornecidos pelo programa com os resultados de um exemplo resolvido de Shigley (2006).
Foram colocados na tabela 6.1 os resultados fornecidos pelo programa e os resultados dados pela bibliografia.
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Nota-se que os valores resultantes estão muito diferentes dos valores encontrados no Shigley (2006). Isto ocorreu devido a diferenças nas considerações tomadas durante os cálculos e devido a fato dos fatores possuirem pequenas
diferenças causadas pelas quantidade de casas decimais utilizadas nas contas.
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Por outro lado as diferenças entra as tensões aplicadas ocorre por pequenas diferenças entre os fatores utilizados. Constatou-se esta diferença, para o cálculo das tensões de flexão, nos fatores de tamanho e de distribuição de carga. A diferença destes fatores aumenta a tensão aplicada em flexão.
Para as tensões superficiais contatou-se diferença nos mesmos fatores, pois na prática estes fatores são os mesmos para os dois cálculos. Ou seja, o efeito é semelhante para a tensão de fadiga superficial.
Como maior causador desta diferença surge o fator de carregamento cíclico. Este valor é levado em conta apenas no cálculo da tensão admissível e consequentemente afeta o cálculo dos fatores de segurança. Enquanto o software utiliza valores médios o autor utiliza valores maiores e, portanto, o projetista tem menores valores de coeficiente de segurança e assume uma posição mais conservadora.
Considerando todos os efeitos citados, ocorre um efeito cumulativo, que no resultado final causa uma diferença considerável. Porém como todos os fatores são considerados mais conservadores, e não necessariamente errôneos, os resultados tornam-se conservadores também.
53 7. CONCLUSÃO
Definiram-se as falhas por flexão no pé do dente e por fadiga superficial como sendo as de maior importância no momento do projeto. Partindo disto, iniciou-se uma abordagem da norma AGMA (American Gear Manufacturers Association) para o dimensionamento de engrenagens retas e helicoidais.
Apresentada a metodologia para o dimensionamento e discutidos seus pontos importantes ou que requerem mais atenção do projetista, discorre-se sobre o programa feito em MatLab®. Isto possibilita a automatização dos cálculos e, consequentemente, reduz o tempo de projeto, pois buscar valores tabelados e recomendados na literatura torna-se desnecessário.
Na fase de validação do programa constatou-se que suas considerações são mais conservadoras que as de Shigley (2006) no exercício resolvido apresentado. Porém estas considerações, em efeito cumulativo, causam grande diferença nos resultados e não podem ser consideradas erradas.
Poderão ser implementados outros modos de falha não abordados, como por exemplo, um engrenamento com erros de fabricação, utilização de material fora das especificações consideradas ou a ausência de lubrificação.
54 8. REFERÊNCIA
[1] Budynas, R. G.; Nisbett, J. Keith. (2006) Shigley’s Mechanical Engineering Design. 8. ed. Nova Iorque: McGraw−Hill.
[2] Back, N. (1983) Metodologia de projeto de produtos industriais. Rio de Janeiro, Guanabara Dois, 385p.
[3] Fernandes O.C. (1997) Apostila de elementos de máquinas: introdução ao projeto de engrenagens cilíndricas, Departamento de Engenharia Mecânica, EESC, USP.
[4] Pressmam, R. (1996) Engenharia de software. São Paulo, McGrawHill p. 177-229; p. 231-279.
[5] Niemann, G. (1971) Elementos de máquinas. V.1; 2 e 3. São Paulo: Edgard Blücher, Ltda.
[6] Norton, R. L. (2006) Machine Design: An Integrated approach. 3. ed. Worcester, Massachusetts: Pearson Prentice Hall.
[7] Shigley, J.E.; Mischke, C.R.; Budynas, R.G. (2006) Projeto de Engenharia Mecânica, Bookman.p. 627-724.
[8] Silveira, Z.C. (1999) Desenvolvimento de um sistema computacional de auxílio ao cálculo e desenho de elementos de máquinas. Dissertação de mestrado, Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo. 180 p.
[9] Grupo de Projeto. Aula 2 - Transmissões por Engrenagens. Aula de Complementos de Elementos de Máquinas 2, Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo. 48 transparências.
[10] Grupo de Projeto. Aula 3 - Transmissões por Engrenagens. Aula de Complementos de Elementos de Máquinas 2, Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo. 48 transparências.
[11] HowStuffWorks. Disponível em: <http://science.howstuffworks.com/>. Acesso em: 12 dez. 2011.
[12] Hexagon. Disponível em: <http://www.hexagon.com/>. Acesso em: 12 dez. 2011.
[13] PWR Tools. Disponível em: <http://www.pwr-tools.com/>. Acesso em: 12 dez. 2011.
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APÊNDICE A – TENSÕES ADMISSÍVEIS AGMA PARA FLEXÃO E FADIGA SUPERFICIAL SEGUNDO NORTON (2006)
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ANEXO A – FATOR DE GEOMETRIA PARA FLEXÃO “J” , segundo Shigley (2006)
Figura A.1 - Fator de geometria
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ANEXO B – FATORES DE CARREGAMENTO CÍCLICO “I” E “J” , segundo Shigley (2006)
Figura A.3 - Fator de carregamenteo cíclico de flexão
