Introdu¸c˜ao `a L´ogica Matem´atica Gabarito da Primeira Lista de Exerc´ıcios 1. Para cada uma das senten¸cas a seguir, fa¸ca o que se pede:
i) Classificar como atˆomica, nega¸c˜ao, conjun¸c˜ao, disjun¸c˜ao, implica¸c˜ao ou biimplica¸c˜ao. ii) Reescrever, segundo as regras apresentadas.
iii) Simbolizar, segundo as regras apresentadas. (a) N˜ao ´e o caso que Renata seja legal.
i) Nega¸c˜ao
ii) ¬(Renata ´e legal) iii) ¬p,
onde p : (Renata ´e legal) (b) Renata n˜ao gosta de Simone.
i) Nega¸c˜ao
ii) ¬(Renata gosta de Simone) iii) ¬p,
onde p : (Renata gosta de Simone)
(c) N˜ao acontece que Simone v´a reprovar toda a turma. i) Nega¸c˜ao
ii) ¬(Simone vai reprovar toda a turma) iii) ¬p,
onde p : (Simone vai reprovar toda a turma) (d) Renata e Simone s˜ao inteligentes.
i) Conjun¸c˜ao
ii) (Renata ´e inteligente)∧(Simone ´e inteligente) iii) p ∧ q,
onde p : (Renata ´e inteligente) q : (Simone ´e inteligente) (e) Renata e Simone s˜ao grandes amigas.
I: Podemos entender a frase como Renata ´e grande amiga de Simone. Assim ter´ıamos:
i) Atˆomica
ii) (Renata e Simone s˜ao grandes amigas) iii) p,
onde p : (Renata e Simone s˜ao grandes amigas)
II: Ou podemos entender a frase como Renata ´e uma grande amiga, assim como Simone. Assim ter´ıamos:
i) Conjun¸c˜ao
ii) (Renata ´e uma grande amiga)∧(Simone ´e uma grande amiga) iii) p ∧ q,
onde p : (Renata ´e uma grande amiga) q : (Simone ´e uma grande amiga) (f) Renata e Simone s˜ao chatas e sem gra¸ca.
i) Conjun¸c˜ao
ii) ((Renata ´e chata)∧(Renata ´e sem gra¸ca))∧((Simone ´e chata)∧(Simone ´e sem gra¸ca)) iii) (p ∧ q) ∧ (r ∧ s),
onde p : (Renata ´e chata) q : (Renata ´e sem gra¸ca) r : (Simone ´e chata) s : (Simone ´e sem gra¸ca) (g) Renata ´e chata e Simone n˜ao.
i) Conjun¸c˜ao
ii) (Renata ´e chata)∧¬(Simone ´e chata) iii) p ∧ ¬q,
onde p : (Renata ´e chata) q : (Simone ´e chata) (h) Renata ´e gente fina mas Simone n˜ao.
i) Conjun¸c˜ao
ii) (Renata ´e gente fina)∧¬(Simone ´e gente fina) iii) p ∧ ¬q,
onde p : (Renata ´e gente fina) q : (Simone ´e gente fina)
(i) Renata n˜ao ´e bem humorada mas Simone sim. i) Conjun¸c˜ao
ii) ¬(Renata ´e bem humorada)∧(Simone ´e bem humorada) iii) ¬p ∧ q,
onde p : (Renata ´e bem humorada) q : (Simone ´e bem humorada)
(j) Renata n˜ao gosta de conversa e Simone n˜ao gosta de atraso. i) Conjun¸c˜ao
ii) ¬(Renata gosta de conversa)∧¬(Simone gosta de atraso) iii) ¬p ∧ ¬q,
onde p : (Renata gosta de conversa) q : (Simone gosta de atraso)
(k) Nem Renata nem Simone gostam de quem n˜ao estuda. i) Conjun¸c˜ao
ii) ¬(Renata gosta de quem n˜ao estuda)∧¬(Simone gosta de quem n˜ao estuda) iii) ¬p ∧ ¬q,
onde p : (Renata gosta de quem n˜ao estuda) q : (Simone gosta de quem n˜ao estuda) (l) Renata ´e chata ou ´e mal humorada.
i) Disjun¸c˜ao
ii) (Renata ´e chata)∨(Renata ´e mal humorada) iii) p ∨ q,
onde p : (Renata ´e chata)
q : (Renata ´e mal humorada) (m) Renata vai de carro ou vai de ˆonibus.
ii) (Renata vai carro)∨(Renata vai de ˆonibus) iii) p ∨ q,
onde p : (Renata vai de carro) q : (Renata vai de ˆonibus)
(n) Renata vai de carro ou vai de ˆonibus, mas n˜ao ambos. i) Conjun¸c˜ao
ii) ((Renata vai de carro)∨(Renata vai de ˆonibus))∧¬((Renata vai de carro)∧(Renata vai de ˆonibus)) iii) (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q),
onde p : (Renata vai de carro) q : (Renata vai de ˆonibus) (o) Renata ou Simone ´e a melhor professora.
i) Disjun¸c˜ao
ii) (Renata ´e a melhor professora)∨(Simone ´e a melhor professora) iii) p ∨ q,
onde p : (Renata ´e a melhor professora) q : (Simone ´e a melhor professora) (p) Simone ´e a melhor professora ou a melhor atleta.
i) Disjun¸c˜ao
ii) (Simone ´e a melhor professora)∨(Simone ´e a melhor atleta) iii) p ∨ q,
onde p : (Simone ´e a melhor professora) q : (Simone ´e a melhor atleta) (q) Se provocada, Renata reage.
i) Implica¸c˜ao
ii) (Renata ´e provocada)→(Renata reage) iii) p → q,
onde p : (Renata ´e provocada) q : (Renata reage)
(r) Simone n˜ao mente, se a pergunta for sobre Matem´atica. i) Implica¸c˜ao
ii) (A pergunta ´e sobre matem´atica)→(Simone n˜ao mente) iii) p → q,
onde p : (A pergunta ´e sobre matem´atica) q : (Simone n˜ao mente)
(s) Renata fica irritada, quando os alunos conversam. i) Implica¸c˜ao
ii) (Os alunos conversam)→(Renata fica irritada) iii) p → q,
onde p : (Os alunos conversam) q : (Renata fica irritada)
(t) Quando os alunos conversam, Simone fica brava. i) Implica¸c˜ao
ii) (Os alunos conversam)→(Simone fica brava) iii) p → q,
onde p : (Os alunos conversam) q : (Simone fica brava)
(u) Para Renata ficar feliz basta todo mundo estudar. i) Implica¸c˜ao
ii) (Todo mundo estuda)→(Renata fica feliz) iii) p → q,
onde p : (Todo mundo estuda) q : (Renata fica feliz)
(v) Se Felipe n˜ao estudar mas aprender, ent˜ao vai passar em L´ogica. i) Implica¸c˜ao
ii) (¬(Felipe estudar)∧(Felipe aprender))→(Felipe vai passar em L´ogica) iii) (¬p ∧ q) → r,
onde p : (Felipe estudar) q : (Felipe aprender)
r : (Felipe vai passar em L´ogica) (w) Quando todo mundo estuda Renata fica feliz.
i) Implica¸c˜ao
ii) (Todo mundo estuda)→(Renata fica feliz) iii) p → q,
onde p : (Todo mundo estuda) q : (Renata fica feliz)
2. Como acabaram as letras do alfabeto, muda a numera¸c˜ao do exerc´ıcio. (a) Para Felipe passar em L´ogica tem que estudar e aprender.
i) Implica¸c˜ao
ii) (Felipe passou em L´ogica)→(Felipe estudou e aprendeu) iii) p → q,
onde p : (Felipe passou em L´ogica) q : (Felipe e estudou e aprendeu) (b) Felipe n˜ao estuda acarreta que Renata fica triste.
i) Implica¸c˜ao
ii) ¬(Felipe estuda)→(Renata fica triste) iii) ¬p → q,
onde p : (Felipe estuda) q : (Renata fica triste)
(c) Felipe n˜ao estuda acarreta que Renata n˜ao fica feliz. i) Implica¸c˜ao
ii) ¬(Felipe estuda)→ ¬(Renata fica feliz) iii) ¬p → ¬q,
onde p : (Felipe estuda) q : (Renata fica feliz)
(d) Se Felipe n˜ao estudar e aprender, n˜ao vai passar em L´ogica. i) Implica¸c˜ao
ii) ¬(Felipe estudar e aprender)→ ¬(Felipe vai passar em L´ogica) iii) ¬p → ¬q,
onde p : (Felipe estudar e aprender) q : (Felipe vai passar em L´ogica)
(e) Se Felipe n˜ao estudar e nem aprender, n˜ao vai passar em L´ogica. i) Implica¸c˜ao
ii) (¬(Felipe estudar)∧¬(Felipe aprender))→ ¬(Felipe vai passar em L´ogica) iii) (¬p ∧ ¬q) → ¬r,
onde p : (Felipe estudar) q : (Felipe aprender)
r : (Felipe vai passar em L´ogica)
(f) Como Felipe passou em L´ogica ´e porque estudou e aprendeu. i) Implica¸c˜ao
ii) (Felipe passou em L´ogica)→(Felipe estudou e aprendeu) iii) p → q,
onde p : (Felipe passou em L´ogica) q : (Felipe estudou e aprendeu) (g) Felipe estudar ´e suficiente para aprender.
i) Implica¸c˜ao
ii) (Felipe estuda)→(Felipe aprende) iii) p → q,
onde p : (Felipe estuda) q : (Felipe aprende)
(h) Felipe estudar ´e necess´ario para que aprenda. i) Implica¸c˜ao
ii) (Felipe aprende)→(Felipe estuda) iii) p → q,
onde p : (Felipe aprende) q : (Felipe estuda)
(i) Para Felipe aprender n˜ao ´e necess´ario estudar. i) Atˆomica
ii) (Para felipe aprender n˜ao ´e necess´ario estudar) iii) p,
onde p : (Para Felipe aprender n˜ao ´e necess´ario estudar) (j) Todo mundo estudar acarreta Simone estar feliz.
i) Implica¸c˜ao
ii) (Todo mundo estuda)→(Simone est´a feliz) iii) p → q,
onde p : (Todo mundo estuda) q : (Simone est´a feliz)
(k) Simone estar feliz ´e uma conseq¨uˆencia de todo mundo estudar. i) Implica¸c˜ao
ii) (Todo mundo estuda)→(Simone est´a feliz) iii) p → q,
onde p : (Todo mundo estuda) q : (Simone est´a feliz) (l) Elisangela e M´arcia v˜ao para a faculdade.
ii) (Elisangela vai para a faculdade)∧(Marcia vai para a fauldade) iii) p ∧ q,
onde p : (Elisangela vai para a faculdade) q : (Marcia vai para a fauldade)
(m) Elisangela se matriculou no curso de L´ogica, mas M´arcia n˜ao. i) Conjun¸c˜ao
ii) (Elisangela se matriculou no curso de L´ogica)∧¬(Marcia se matriculou no curso de L´ogica) iii) p ∧ ¬q,
onde p : (Elisangela se matriculou no curso de L´ogica) q : (Marcia se matriculou no curso de L´ogica) (n) Nem Elisangela nem M´arcia gostam de L´ogica.
i) conjun¸c˜ao
ii) ¬(Elisangela gosta de L´ogica)∧¬(Marcia gosta de L´ogica) iii) ¬p ∧ ¬q,
onde p : (Elisangela gosta de L´ogica) q : (Marcia gosta de L´ogica)
(o) Se Felipe encontrou com Elisangela, ent˜ao M´arcia n˜ao. i) Implica¸c˜ao
ii) (Felipe encontrou com Elisangela)→ ¬(Marcia encontrou com Elisangela) iii) p → ¬q,
onde p : (Felipe encontrou com Elisangela) q : (Marcia encontrou com Elisangela) (p) Ou Elisangela ou M´arcia encontra Felipe, mas n˜ao ambas.
i) Conjun¸c˜ao
ii) ((Elisangela encontra Felipe)∨(Marcia encontra Felipe))∧¬((Elisangela encontra Felipe)∧(Marcia encontra Felipe))
iii) (p ∨ q) ∧ ¬(p ∧ q),
onde p : (Elisangela encontra Felipe) q : (Marcia encpntra Felipe)
(q) Felipe vai passar no curso de L´ogica somente se estudar. i) Biimplica¸c˜ao
ii) (Felipe vai passar no curso de L´ogica)↔(Felipe estuda) iii) p ↔ q,
onde p : (Felipe vai passar no curso de L´ogica) q : (Felipe estuda)
(r) Felipe vai passar no curso de L´ogica somente se estudar e fizer os exerc´ıcios e estudar. i) Biimplica¸c˜ao
ii) (Felipe vai passar no curso de L´ogica)↔((Felipe estuda)∧(Felipe faz os exerc´ıcios e estuda)) iii) p ↔ (q ∧ r),
onde p : (Felipe vai passar no curso de L´ogica) q : (Felipe estuda)
r : (Felipe faz os exerc´ıcios e estuda)
(s) Felipe n˜ao vai passar no curso de L´ogica somente se n˜ao fizer os exerc´ıcios nem estudar. i) Biimplica¸c˜ao
iii) ¬p ↔ (¬q ∧ ¬r),
onde p : (Felipe passa no curso de L´ogica) q : (Felipe faz os exerc´ıcios)
r : (Felipe estuda)
(t) N˜ao ´e o caso que Felipe vai passar no curso de L´ogica, mesmo sabendo-se que ele estuda e faz os exerc´ıcios.
i) Conjun¸c˜ao
ii) ¬(Felipe passa no curso de L´ogica)∧((Felipe estuda)∧(Felipe faz os exerc´ıcios)) iii) ¬p ∧ (q ∧ r),
onde p : (Felipe passa no curso de L´ogica) q : (Felipe estuda)
r : (Felipe faz os exerc´ıcios)
(u) Uma condi¸c˜ao suficiente para que Felipe passe no curso de L´ogica ´e que ele estude e fa¸ca os exerc´ıcios. i) Implica¸c˜ao
ii) ((Felipe estuda)∧(Felipe faz os exerc´ıcios))→(Felipe passa no curso) iii) (p ∧ q) → r,
onde p : (Felipe estuda)
q : (Felipe faz os exerc´ıcios) r : (Felipe passa no curso)
(v) Se Felipe n˜ao estudar e nem fizer os exerc´ıcios, ele n˜ao passar´a no curso de L´ogica. i) Implica¸c˜ao
ii) (¬(Felipe estuda)∧¬(Felipe faz os exerc´ıcios))→ ¬(Felipe passa no curso de L´ogica) iii) (¬p ∧ ¬q) → ¬r),
onde p : (Felipe estuda)
q : (Felipe faz os exerc´ıcios)
r : (Felipe passa no curso de L´ogica)
(w) Se Felipe e Elisangela trabalharem em paz, n˜ao existir´a perda ou ganho de eficiˆencia, quando eles trabalharem juntos.
i) Implica¸c˜ao
ii) (Felipe e Elisangela trabalham em paz)→ ¬((Felipe e Elisangela ter˜ao perda de eficiˆencia quando trabalharem juntos) ∨(Felipe e Elisangela ter˜ao ganho de eficiˆencia quando trabalharem juntos)) iii) p → ¬(q ∨ r),
onde p : (Felipe e Elisangela trabalham em paz)
q : (Felipe e Elisangela ter˜ao perda de eficiˆencia quando trabalharem juntos) r : (Felipe e Elisangela ter˜ao ganho de eficiˆencia quando trabalharem juntos)
