ESCOAMENTO EM DUTOS: transientes fluidodinâmicos e perdas de carga Paulo Seleghim Jr. Universidade de São Paulo

ESCOAMENTO EM DUTOS:

transientes fluidodinâmicos e perdas de carga

SEM0551 Fenômenos de Transporte

Paulo Seleghim Jr.

MOTIVAÇÃO:

v elocity (m/s) 0 10 30 100 300 1000 0.001 0.01 0.1 1.0 10.0 n o rm al ize d e n e rg y c o st passengers freight http://sia.planning.unc.edu/ Operation envelope

consumo ~ atrito ~velocidade ~ área externa capacidade de transporte ~ volume Demand / Modal more efficient and faster

v elocity (m/s) 0 10 30 100 300 1000 0.001 0.01 0.1 1.0 10.0 n o rm al ize d e n e rg y c o st avião supersônico turbofan turboélice helicóptero passengers freight carro ônibus trem bike http://sia.planning.unc.edu/ Operation envelope

consumo ~ atrito ~velocidade ~ área externa

capacidade de transporte ~ volume

v elocity (m/s) 0 10 30 100 300 1000 0.001 0.01 0.1 1.0 10.0 n o rm al ize d e n e rg y c o st avião supersônico turbofan turbofan turboélice helicóptero passengers freight carro ônibus trem caminhão gasoduto bike oleoduto navio container trem http://sia.planning.unc.edu/ Operation envelope

consumo ~ atrito ~velocidade ~ área externa capacidade de transporte ~ volume Demand / Modal supertankers supercontainers

v elocity (m/s) 0 10 30 100 300 1000 0.001 0.01 0.1 1.0 10.0 n o rm al ize d e n e rg y c o st avião supersônico turbofan turbofan turboélice helicóptero passengers freight carro ônibus trem rodotrem gasoduto bike oleoduto navio container trem http://sia.planning.unc.edu/ Operation envelope

consumo ~ atrito ~velocidade ~ área externa capacidade de transporte ~ volume Demand / Modal supertankers supercontainers Pareto

v elocity (m/s) 0 10 30 100 300 1000 0.001 0.01 0.1 1.0 10.0 n o rm al ize d e n e rg y c o st avião supersônico turbofan turbofan turboélice helicóptero passengers freight carro ônibus trem rodotrem gasoduto bike oleoduto navio container trem http://sia.planning.unc.edu/ Operation envelope

consumo ~ atrito ~velocidade ~ área externa capacidade de transporte ~ volume Demand / Modal supertankers supercontainers Pareto Pipeline total length

3.5 Mkm

in 120 countries,

75% of which are in the United States

Blast at Azerbaijan's capital Baku January 03, 2017

Escoamento em dutos: obtenção das equações governantes... x r u v w

Escoamento em dutos: obtenção das equações governantes... x r u v w Hipóteses simplificadores 0 w v    = (t,x) ) x , t ( u u =

Escoamento em dutos: obtenção das equações governantes... x r 0 w v   u v x r laminar

(parabólico) turbulento(lei de potência)

w ) x , t (  =  Hipóteses simplificadores v ariação do perfil de v elocidades com Reynolds

) x , t ( u u =               −  = n max R r 1 u u

Escoamento em dutos: obtenção das equações governantes... x r u v x r laminar

(parabólico) turbulento(lei de potência)

med A A Au dA u A A dA u m = 



 = 



 =  w Hipóteses simplificadores v ariação do perfil de v elocidades com Reynolds

              −  = n max R r 1 u u 0 w v    = (t,x) ) x , t ( u u =

Escoamento em dutos: obtenção das equações governantes... x r u v x r



 = A med _A u dA 1 u w Hipóteses simplificadores perfil uniforme resultando na mesma v azão mássica ) x ,t ( u ) x ,t ( u_med = →

Obs.: não havendo escorregamento entre as camadas de fluido, a ação das forças viscosas será modelada como uma força externa

0 w v    = (t,x) ) x , t ( u u =

Escoamento em dutos: obtenção das equações governantes... x r u v ) x ,t ( ) x ,t ( P P ) x ,t ( u u  =  = = w 0 ) U ( t +    =     



+   +  − =       _{+ }     u u P 2u F_3D t u       D~ : ~ ) T k ( T u t T C_P  =   +       _{+ }       

Obs.: a densidade pode ser

calculada em função da pressão e temperatura

Escoamento em dutos: obtenção das equações governantes... x r u v ) x ,t ( ) x ,t ( P P ) x ,t ( u u  =  = = w 0 ) U ( t +    =     



+   +  − =       _{+ }     u u P 2u F_3D t u       D~ : ~ ) T k ( T u t T C_P  =   +       _{+ }       

Obs.: a densidade pode ser

calculada em função da pressão e temperatura

Escoamento em dutos: obtenção das equações governantes... ) x ,t ( ) x ,t ( P P ) x ,t ( u u  =  = = 0 ) U ( t +   =      0 x u x u t ) u ( x t  =   +    +    =    +    →

Derivada material: derivada tomada ao longo de um caminho movendo-se com

velocidade u → =   + =   +   → 0 x u Dt DP K 1 x u Dt D 1     =   = / P V / V P K Módulo de elasticidade volumétrica de um fluido (compressibilidade) Velocidade de propagação de pequenas perturbações acústicas (isentrópica)  =K a2 x u t Dt D   +   = ☺ ☺ ☺ 0 x u a t P _{2 =}    +  

Escoamento em dutos: obtenção das equações governantes... ) x ,t ( ) x ,t ( P P ) x ,t ( u u  =  = =



+   +  − =       _{+ }     u u P 2u F_3D t u _  _  _ 



+    +   − =          +     → 2₂ F_3D x u x P x u u t u 

Força gravitacional exercida sobre o fluido em função da inclinação da tubulação em

relação à horizontal

 

= gsin F_g

Como não há deslizamento entre as camadas de fluido a ação das forças viscosas pode ser modelada pela equação de Darcy-Weisbach

2 | u | u D f F 2 u D f F_ =     2 → _ =     0 D 2 | u | u f sin g x P 1 x u u t u =  +  +    +    +   →

0

D

2

|

u

|

u

f

sin

g

x

P

1

t

u

₊

_

₊

_

₌







+





→  a u

Solução das equações pelo método das características... 0 x u a t P ₂ =    +   0 D 2 | u | u f sin g x P 1 t u =  +  +    +  

Busca de direções especiais de integração (C+ e C-), ao invés das direções canônicas x e t, nas quais as EDPs se tornam EDOs nas variáveis de descrição do problema (pressão e velocidade). Por sua vez, estas EDOs podem ser resolvidas numericamente sobre uma partição do suporte.

o t k 0,x) {P } t t ( P = → o t k 0,x) {u } t t ( u = → 1 n n k t t k } {u } u { → ₊ 1 n n k t t k } {P } P { → ₊

Solução das equações pelo método das características... 0 x u a t P ₂ =    +   0 D 2 | u | u f sin g x P 1 t u =  +  +    +   x tempo P t n t k } P {

Solução das equações pelo método das características... 0 x u a t P ₂ =    +   0 D 2 | u | u f sin g x P 1 t u =  +  +    +   x tempo P t+dt t 1 n t k } P { ₊ n t k } P { P_P x

Solução das equações pelo método das características... 0 x u a t P ₂ =    +   0 D 2 | u | u f sin g x P 1 t u =  +  +    +   x tempo P t+dt t 1 n t k } P { ₊ n t k } P { C+ C-P_P a dt / dx = + a dt / dx = − x

Solução das equações pelo método das características... 0 x u a t P ₂ =    +   0 D 2 | u | u f sin g x P 1 t u =  +  +    +   x tempo P t+dt t 1 n t k } P { ₊ n t k } P { C+ C-P_P a dt / dx = + a dt / dx = − +dx -dx x

Solução das equações pelo método das características... 0 x u a t P ₂ =    +   0 D 2 | u | u f sin g x P 1 t u =  +  +    +   x tempo P t+dt t 1 n t k } P { ₊ n t k } P { C+ C-P_P PA PO PB a dt / dx = + a dt / dx = − dx 2 Z Z tg_{ =} B − A +dx -dx x P B A A B B B B A A A P _{2 a R(V V )} gZ ) V R a )( aV gZ P ( ) V R a )( aV gZ P ( P − + +  +   −  + + +   +  + =

Solução das equações pelo método das características... 0 x u a t P ₂ =    +   0 D 2 | u | u f sin g x P 1 t u =  +  +    +   x tempo u t+dt t 1 n t k } u { ₊ n t k } u { C+ C-u_P uA uO uB a dt / dx = + a dt / dx = − dx 2 Z Z tg_{ =} B − A +dx -dx x ) V V ( R a 2 ) V V ( a gZ P gZ P V B A B A B B A A P _{ + +} +  +  − −  + =

O cálculo de cada nó (P ou u) em t+dt depende

apenas dos valores nodais anteriores nas posições

x-dx, x e x+dx ...

... PARALELIZAÇÃO MASSIVA !

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 tempo (sec) pr es sa o (ba r) x1t x2t t 0.01 t 

Solução das equações em regime permanente... 0 x u a t P ₂ =    +   0 D 2 | u | u f sin g x P 1 t u =  +  +    +   cte u cte a =  = → x a a P cte  = ₀ + ₁ =  → D 2 | u | u f a₁ = −   0 0 P a = x P0 umed

A equação de Darcy e cálculo do fator de atrito...

A equação de Darcy e cálculo do fator de atrito...

Henry Darcy

A equação de Darcy e cálculo do fator de atrito... 2 V D L f P_visc =   2  visc H P P =   u (m/s) H P_{ma x}

f = f( Re , e/D )

fator de atrito

Henry Darcy

A equação de Darcy e cálculo do fator de atrito...

A equação de Darcy e cálculo do fator de atrito... Diagrama de Moody Re 64 f =       + − = f Re 51 . 2 D e 7 . 3 log 2 f 1 Laminar (Re < 2500) Turbulento (Re > 4000) Colebrook-White

A equação de Darcy e cálculo do fator de atrito... Stuart W. Churchill 12 / 1 5 , 1 12 ) B A ( Re 8 8 f         + +        = − 16 Re 37530 B       = D m 4 Re    = 16 1 9 , 0 D 27 , 0 Re 7 ln 457 , 2 A                           _  +       = − Diagrama de Moody Re 64 f =       + − = f Re 51 . 2 D e 7 . 3 log 2 f 1 Laminar (Re < 2500) Turbulento (Re > 4000) Colebrook-White

A equação de Darcy e cálculo do fator de atrito... Stuart W. Churchill Diagrama de Moody 12 / 1 5 , 1 12 ) B A ( Re 8 8 f         + +        = − 16 Re 37530 B       = D m 4 Re    = 16 1 9 , 0 D 27 , 0 Re 7 ln 457 , 2 A                           _  +       = −

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 0 50 100 150 200 V is c o s id a d e ( P a .s ) Temperatura (oC) D = 50 cm L = 50 km W

W _{D = 50 cm} 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 0 50 100 150 200 V is c o s id a d e ( P a .s ) Temperatura (oC) L = 50 km

Démarche: gastar Q para

economizar W (exergia) Q

condensado

vapor saturado

W _{D = 50 cm} 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 0 50 100 150 200 V is c o s id a d e ( P a .s ) Temperatura (oC) L = 50 km vapor saturado @ 100°C m_{ól eo} T = 20 °C C_p= 3,9 kJ/kg/K  = 850 kg/m3 Tsf Tq P₁ P₀ P₁ P₀ líquido saturado @ 100°C Q Tef Tef Tsf ... T . T . ) T ( =   −   +  −6 4 −3 3 10 9844 2 10 7109 6   Pa s, T C . T . T . ...+  −1 2−  +1 +  +3  =  = 10 6546 1 10 0864 4 10 0341 5 m_{va por} Tq

Solução de Equações Não Lineares

Solução pelo método de Newton-Raphson: 1D

x0

f(x₀)

x1

Solução pelo método de Newton-Raphson: 1D x0 f(x₀) x1 f(x₁) x2 f(x)

Solução pelo método de Newton-Raphson: 1D x0 f(x₀) x1 f(x₁) x2 f(x) b x a y =  +

Equação da reta tangente:

) x (' f a = ₀ b x ) x (' f ) x ( f ₀ = ₀  ₀ + 0 0 0) f ('x ) x x ( f b = − 

Solução pelo método de Newton-Raphson: 1D x0 f(x₀) x1 f(x₁) x2 f(x) b x a y =  +

Equação da reta tangente:

) x (' f a = ₀ b x ) x (' f ) x ( f ₀ = ₀  ₀ + 0 0 0) f ('x ) x x ( f b = − 

Raiz da reta tangente:

a / b x −= ) x (' f ) x ( f x x 0 0 0 1 = −

Solução pelo método de Newton-Raphson: 1D x0 f(x₀) x1 f(x₁) x2 f(x) b x a y =  +

Equação da reta tangente:

) x (' f a = ₀ b x ) x (' f ) x ( f ₀ = ₀  ₀ + 0 0 0) f ('x ) x x ( f b = − 

Raiz da reta tangente:

a / b x −= ) x (' f ) x ( f x x 0 0 0 1 = − Fórmula de recorrência

)

x

(

f

)

x

(

'f

1

x

x

_k k k 1 k+

=

−



Solução pelo método de Newton-Raphson: 1D x0 f(x₀) x1 f(x₁) x2 f(x) b x a y =  +

Equação da reta tangente:

) x (' f a = ₀ b x ) x (' f ) x ( f ₀ = ₀  ₀ + 0 0 0) f ('x ) x x ( f b = − 

Raiz da reta tangente:

a / b x −= ) x (' f ) x ( f x x 0 0 0 1 = − Fórmula de recorrência NN ) x ( f Jac x x_k+1 = _k − _k−1   _k

Exemplo de aplicação...

0

=

−

=

cos(

x

)

x

)

x

(

f

Fórmula de recorrência

)

x

(

f

)

x

(

'f

1

x

x

_k k k 1 k+

=

−



1

−

−

=

sin(

x

)

)

x

(

'

f

1

1

−

−

−

−

=

+

)

x

sin(

x

)

x

cos(

x

x

k k k k k xk f(xk) f'(xk) xk+1 1 -0,4597 -1,84147 0,750364 0,750364 -0,01892 -1,6819 0,739113 0,739113 -4,6E-05 -1,67363 0,739085 0,739085 -2,8E-10 -1,67361 0,739085 0,739085 0 -1,67361 0,739085 0,739085 0 -1,67361 0,739085 0,739085 0 -1,67361 0,739085

Tq liq vap vapor (h h ) m Q =  − ) Tef Tsf ( Cp m Q = _{óleo óleo}  −       − − − − −  = Tef Tq Tsf Tq ln )] Tef Tq ( ) Tsf Tq [( UA Q       ₋  − = − óleo óleoCp m UA exp ) Tef Tq ( ) Tsf Tq (

) Tef Tsf ( Cp m Q = _{óleo óleo}  −       − − − − −  = Tef Tq Tsf Tq ln )] Tef Tq ( ) Tsf Tq [( UA Q       ₋  − = − óleo óleoCp m UA exp ) Tef Tq ( ) Tsf Tq ( Tq liq vap vapor (h h ) m Q =  −       −  − − − = óleo óleoCp m UA exp ) Tef Tq ( ) Tsf Tq ( f₁

visc bba P P =                 −  =  n max óleo max bba _m m 1 P P m_{ól eo} P m_{ma x} P_{ma x}

Os parâmetros Pmax, mmaxe n

podem ser obtidos das curvas fornecidas pelo fabricante...

2 5 2

1

0

8106

m

D

L

,

(Re)

f

m

m

P

f

n max óleo max

−



































−



=

D m Re óleo    = 4 ... T . T . ) T ( =   −   +  −6 4 −3 3 10 9844 2 10 7109 6 3 1 2 1

10

6546

1

10

0864

4

10

0341

5



−



−



+



+



+

+

.

T

.

T

.

...

T = Tsf

      ₋  − − − = óleo óleo óleo Cp m UA exp ) Tef Tq ( ) Tsf Tq ( ) Tsf , m ( f₁ 2 5 2 1 0 8106 óleo n max óleo max óleo m D L , (Re) f m m P ) Tsf , m ( f    −               −  =

 

k k k óleo k óleo f f Jac Tsf m Tsf m        −       =       ₋ + 2 1 1 1