RESTO POR CRIANÇAS DE 2a E 3a SÉRIES
Ana Coelho Vieira Selva – UFPE anaselva@globo.com
Rute Elisabete de Sousa Borba – UFPE rborba@ce.ufpe.br
Lígia Helena S. Steedman – UFPE ligiasteedman@bol.com.br
Introdução
Problemas de divisão têm sido apontados pela literatura (Selva, 1998; Kouba, 1989; entre outros) como tendo dois diferentes significados: Partição e Quotição. Partição envolve a distribuição de um total em partes, tendo se como resultado o valor de cada uma das partes e Quotição envolve um total que deve ser dividido em quotas estabelecidas obtendo-se a quantidade de quotas. O objetivo da pesquisa foi investigar o efeito dos significados dados à divisão e de representações simbólicas na resolução de problemas de divisão com o resto no intuito de observar até que ponto eles afetam o desempenho das crianças.
Segundo Vergnaud (1982, 1997) todo conceito e composto por três dimensões: 1) Situações que dão significado ao conceito, 2) As propriedades invariantes do conceito e 3) Os sistemas simbólicos utilizados na representação do conceito. É possível experimentalmente manipular estas três dimensões e observar os efeitos isolados de cada uma e se há interação entre as mesmas na resoluções de problemas.
O presente projeto utilizou o mesmo referencial teórico e metodológico que Borba (2002) utilizou quando pesquisou o efeito das das três dimensões sugeridas por Vergnaud na compreensão de problemas aditivos co números inteiros relativos. Borba entrevistou 120 crianças de sete e oito anos de idade sobre problemas que resultavam em números positivos ou negativos. Nos Problemas variavam-se os significados dados ao conceito de numero relativo (medidas e relações) bem como as formas de representações utilizadas (implícitas ou explícitas) e as propriedades invariantes (de problemas diretos- final desconhecido- e inversos –início desconhecido).
Os efeitos isolados das dimensões do conceito de divisão – significados da divisa , propriedades invariantes dessa operação e possíveis representações- foram investigados e estudos anteriores e a proposta do presente estudo é observar o que destes estudos é ou não reaplicável. Nas investigações sobre a operação de divisão tem se observado que são dois os principais significados dados a esta operação: Partição e Quotição. Dentre as propriedades invariantes da divisão destacam-se: a) Numa partição as partes distribuídas entre pessoas e recipientes devem ser iguais b) numa quotição a quota dada não pode ser alterada; c) há uma relação direta entre dividendo e quociente; d) há uma relação inversa entre divisor e quociente; e) o quociente é sempre menor que o dividendo; f) o resto é sempre menor que o divisor; g) o dividendo é o equivalente da soma da multiplicação do quociente pelo divisor com o resto.
As ações de distribuir e de separar grupos podem ser representadas de diferentes formas tais como oralmente, por uso de material manipulativo e por escrito. Essas diferentes formas de representar problemas podem afetar a compreensão da operação de divisão. O presente projeto buscou analisar as estratégias usadas por crianças quando resolvem problemas de divisão inexata com manipulativos e verificar se valores grandes e pequenos do resto, ou seja, valores mais próximos ao divisor ou não, influenciavam as formas de resolução das crianças.
Estudos anteriores sobre divisão
Diversos estudos têm investigado o tratamento dado ao resto em divisões com resto diferente de zero.
Desforges e Desforges (1980) investigaram como trinta crianças resolviam problemas de divisão com resto igual e diferente de zero. As crianças pertenciam a três faixas etárias: a) três anos e seis meses a quatro anos e seis meses; b) quatro anos e seis meses a cinco anos e seis meses e c) cinco anos e seis meses a seis anos e seis meses. Os problemas apresentados eram todos de partição nos quais 5 a 30 bombons eram divididos entre duas, três ou cinco bonecas. As principais estratégias observadas foram: a)utilização de correspondências um-a-um; b) formação de grupos em função do número de bonecas; e c) distribuição de grupos de dois ou três entre as bonecas. Nos casos em que a divisão era de resto diferente de zero, outras estratégias foram observadas: a) solicitação de maior quantidade de bombons; b) remoção do resto; c) subdivisão do resto; d) movimentação do que sobrou entre alguns grupos e e) colocação de todo o resto em um dos grupos.
Kouba (1986, 1989) investigou as estratégias utilizadas por crianças de primeira, segunda e terceira séries para resolver problemas de divisão de dois tipos: de partição e de quotição. As crianças de primeira série tenderam a resolver os problemas por representação direta. As de segunda série utilizavam a representação direta, da adição e subtração repetidas, de múltiplos e alguns fatos memorizados.
Selva (1993, 1998) analisou a influência de diferentes representações na resolução de problemas de divisão por crianças de alfabetização, primeira e segunda séries. As crianças foram distribuídas em grupos com diferentes materiais (fichas, papel/ lápis, sem material) . Foi verificado que o desempenho das crianças era favorecido tanto no grupo que utilizava fichas, quanto no grupo com papel e lápis. Entretanto constatou-se que o grupo de crianças que utilizou o papel e o lápis apreconstatou-sentou estratégias mais sofisticadas.
Silver, Mukhopadhyay & Gabriele (1992) analisaram o desempenho de 545 alunos de 6o, to,e 8o ano na resolução de problemas de quotição. Foram perguntados às crianças problemas somente do resto, problemas somente do quociente e problemas de quociente aumentado. Os resultados indicaram que problemas de quociente aumentado foram mais difíceis em todas as séries, seguidos de problemas de quociente somente e de resto somente. Também foram observados melhores desempenhos em função do aumento na série.
Li e Silver (2000) observaram a resolução de 14 crianças de 3a série de um problema de quotição com resto diferente de zero. No problema apresentado, 22 fitas deveriam ser distribuídas em caixas nas quais cabiam cinco fitas. Apesar de não conhecerem o procedimento formal para a solução de um problema de divisão, 13 crianças foram bem sucedidas na resolução do problema. Estas crianças apresentaram respostas corretas ao problema por apresentarem o quociente aumentado de uma unidade (5) ou por apresentarem justificativas plausíveis de tratamento do resto.
O estudo de Li e Silver (2000) evidencia que crianças antes do ensino do algoritimo da divisão podem se utilizar de outras estratégias para resolverem problemas de quotição com resto diferente de zero. Porém, torna-se necessário ainda a investigação de como as crianças tratarão o resto em problemas de quotição nos quais os objetos podem ser subdivididos
Lautert e Spinillo (2001) investigaram as relações entre o significado que as crianças atribuem à divisão e o desempenho delas em problemas de divisão. Os participantes foram divididos em dois grupos: sem instrução sobre a divisão ( 40
crianças de Jardim à Alfabetização, 5-7 anos de idade) e com instrução sobre a divisão ( 40 crianças de 1ª e 2ª séries, 7-9 anos de idade). As crianças respondiam a 2 questões de divisão com resto, sendo um problema de partição e outro de quotição e no segundo momento entrevistava-se as crianças e perguntava-se ‘O que é dividir?’.
As respostas das crianças foram classificadas em 4 tipos: 1) a criança não sabe definir divisão; 2) a decisão está associada `a idéia de compartilhar algo, separa sílabas ou algarismos; 3) a criança apresenta um significado matemático associados a outras operações que não são de divisão e 4) criança apresenta um significado matemático associado exclusivamente à divisão no qual as crianças tendiam a não atribuir um significado matemático à divisão ou quando o faziam, este era de natureza geral. Este conjunto de estudos anteriores ainda deixa algumas questões relativas à divisão a serem investigadas.
Objetivos
Em alguns estudos anteriores observou-se que crianças tendem a ignorar o resto de uma divisão e na presente pesquisa investigou-se se esta tendência era mantida para restos pequenos (igual a 1 ou 2) e grandes (uma ou duas unidades a menos que o divisor).
Investigou-se também a influência do significado dado à divisão, ou seja, se o resto de uma divisão era tratado diferentemente por crianças, dependendo do significado que é dado à divisão, já que num problema de partição o resto é uma parte de um todo que ainda poderá ser subdividido, enquanto que num problema de quotição as quotas são fixas e torna-se necessário dar como resposta final o quociente acrescido de uma unidade se deseja esgotar o todo.
Metodologia: Participantes
32 crianças, sendo 16 de segunda série e 16 de terceira série, de uma escola municipal do Recife.
Procedimento
A escola foi contatada pela equipe de pesquisa que explicou os objetivos da mesma à coordenação e aos professores.
O horário das entrevistas foi estabelecido de acordo com a professora da sala de modo a não haver prejuízos escolares para as crianças. Também se evitou trabalhar com
as crianças durante aulas bastante esperadas pelas mesmas, tal como “artes” e “educação física”. As entrevistas foram individuais e duraram em torno de 30 minutos.
Cada criança resolveu individualmente 16 problemas de divisão inexata usando fichas como apoio para suas estratégias. Os problemas variavam em relação ao tipo (Partição e Quotição) e em relação ao resto (resto pequeno e resto grande). Foram dois encontros com cada criança. Em cada encontro, a criança resolveu oito problemas. Alguns exemplos dos problemas utilizados encontram-se no Quadro 1, a seguir.
Os problemas foram lidos pelo experimentador e ficaram disponíveis para que as crianças pudessem ler quando quisessem. Depois que a criança resolvia cada problema é que o experimentador passava à leitura do problema seguinte. Como já foi mencionado, as crianças tinham material manipulativo (fichas) à disposição para auxiliá-las na resolução dos problemas. O experimentador estimulava o uso do material, solicitando que a criança utilizasse o material disponível na resolução dos problemas apresentados. Quadro 1: Exemplos dos problemas utilizados
Partição:
1. Maria foi na feira e comprou 25 maçãs para dar aos seus 4 sobrinhos. Ela quer que cada sobrinho receba a mesma quantidade de maçãs. Quantas maçãs cada sobrinho vai receber? (25/4) (r=1) 2. Augusto foi passar a tarde no zoológico e levou 22 bananas para dar aos 8 macacos que ele visitou.
Ele quer que cada macaco receba a mesma quantidade de bananas. Quantas bananas cada macaco vai receber? (22/8) (R=6)
3. Em uma festa de aniversário, a mãe de João tinha 26 chicletes para serem dados a 8 crianças. Ela quer que cada criança receba a mesma quantidade de chicletes. Quantos chicletes cada criança vai receber? (26/8) (r= 2)
Quotição:
1. Na organização de uma festa, Tânia preparou 34 sanduíches. Cada bandeja cabe 8 sanduíches. Quantas bandejas ela vai usar? (34/8) (r=2)
2. Marcos tinha 23 laranjas em seu pomar. Cada cestinha cabe 4 laranjas. Quantas cestinhas ela vai
precisar? (23/4) (R=3)
3. Dona Lúcia comprou 46 morangos para servir em tacinhas na hora da sobremesa. Cada tacinha cabe
8 morangos. Quantas tacinhas ela vai precisar? (46/8) (R=6)
A ordem de apresentação dos problemas também foi controlada. Metade das crianças iniciou por um problema de partição e metade por um problema de quotição, sendo que cada um desses tipos de problemas podia envolver resto pequeno ou resto grande. A partir do cruzamento entre “tipo de problema” e “tamanho do resto” foram obtidas quatro ordens de apresentação dos problemas.
Resultados:
Os dados foram analisados considerando-se a influência do valor do resto (grande ou pequeno) e do tipo de problema (partição e quotição).
Em relação ao uso de estratégias usadas no tratamento do resto, não observamos diferenças nos tipos de estratégias em função do valor do resto nas séries investigadas. O fato do resto ser um número mais próximo ao divisor ou ser um número menor não parece ter influenciado a escolha de estratégias de tratamento do resto pelas crianças. Assim, passamos a tratar tais problemas conjuntamente.
Considerando o tipo de problema observamos diferenças nos tipos de estratégias usadas pelas crianças. As principais estratégias usadas pelas duas séries investigadas foram:
Subdividir o resto em partes suficientes para a nova redistribuição – Essa
estratégia foi típica dos problemas de partição. Ex. Após sobrar dois chicletes, a criança diz: “ah, dá pra dividir em pedacinhos. P: Quantos pedacinhos? C: Oito.Dá três e um pedacinho para cada.”
Acrescentar ao quociente – Essa estratégia foi típica dos problemas de quotição.
Ao sobrar algum resto a criança acrescentava um ao quociente. Ex. C: Sobrou dois sanduíches, precisa de mais uma bandeja para botar esses dois. P: Quantas bandejas então? C: Quatro com quatro mais uma com dois sanduíches, dá cinco bandejas.”
Dar um novo fim ao resto - Ex. “vou guardar o resto na geladeira para comer
depois”.
Ignorar o resto - Ex. Ao encontrar como resposta 6 e sobrar um resto “um”, a
criança diz “dá seis para cada um”. P: “E o que sobrou?” C: “Só dá seis para cada um. Deixa esse”.
O percentual de uso dessas estratégias por tipo de problema e série pode ser visto na tabela 1, abaixo.
Tabela 1: Percentual do uso de estratégias de tratamento do resto em função da série e do tipo de problema Tipo de Problema Série Subdividir o resto Acrescentar um ao quociente Dar um novo fim Ignorar o resto 2ª 59,38 5,47 25 4,69 Partição 3ª 62,5 3,13 26,56 7,03 2ª 4,69 74,23 14,06 1,56 Quotição 3ª 7,81 69,53 17,19 1,56
Podemos observar que os maiores percentuais em problemas de partição foram para o uso da estratégia de subdividir o resto em partes menores e redistribuir tais partes entre os grupos formados e em dar um novo fim para o resto. No caso dos problemas de quotição, a estratégia mais utilizada foi acrescentar um ao quociente de modo a incluir o resto no problema e também dar um novo fim ao resto.
Também é interessante notar que algumas crianças usaram procedimentos de subdividir o resto em problemas de quotição, onde tal tratamento não é adequado para tratar o resto, como também usaram a estratégia de acrescentar ao quociente nos problemas de partição, o que também não é adequado. O uso dessas estratégias pode indicar dois aspectos: dificuldade em analisar os dados do problema após tê-lo resolvido ou uma influência da própria atividade realizada. Assim, a criança depois de resolver um problema de quotição, generaliza seu procedimento para os outros problemas sem analisar as diferenças entre os enunciados dos mesmos. O mesmo seria para as crianças que resolveram problemas de partição inicialmente e generalizam a estratégia de subdividir o resto para os demais problemas, independente do que está sendo solicitado pelos dados.
Conclusão
A forma de tratamento dada ao resto foi influenciada apenas pelo tipo de problema (partição ou quotição). Não se observaram diferenças em função do tamanho do resto.
Os percentuais mais altos de uso da estratégia de subdividir o resto nos problemas de partição e de acrescentar ao quociente nos problemas de quotição parecem sugerir que quando as crianças são estimuladas a analisar o significado dos dados obtidos (proposta desse estudo), há maior freqüência no uso de estratégias para lidar com o resto que consideram as diferenças de significados entre os diferentes tipos de problemas de divisão.
Neste sentido, este estudo parece reforçar a importância de intervenções do professor com objetivo de favorecer a análise por parte das crianças das diferenças entre os tipos de situações-problema apresentados, oportunizando que as diferentes formas de lidar com tais situações sejam discutidas em sala de aula.
Palavras-Chaves: resolução de problemas, representação, divisão inexata Referências bibliográficas:
BORBA, R. The effect of number meanings, conceptual invariants and symbolic
representations of children’s reasoning about directed numbers. Tese de Doutorado.
Oxford Brooks University. 2002.
DESFORGES, A. E DESFORGES, C. Number-based strategies of sharing in young children. Educational Studies, 6, 97-109. 1980.
KOUBA, V. How young children solve multiplication and division word problems.
Paper present at National Council Teachers of Mathematics Research Pre-session,
Washington, D. C. 1986.
KOUBA, V. Children’s solution strategies for equivalent set multiplication and division word problems. Journal forResearch in Mathematics Education, 20, 2, 147-158. 1989.
LAUTERT, S. E SPINILLO, A. Definindo a divisão e resolvendo problemas de divisão: as múltiplas facetas do conhecimento matemático. In anais do I Simpósio
Brasileiro de Psicologia da Educação Matemática. Universidade Católica do
Paraná: 61-79. 2001
LI, Y. & SILVER, E. Can younger students succeed were older students fail? An examination of third graders’ solutions of a division-with-remainder (DWR) problem. Journal of Mathematical Behavior, 19, 233-246. 2000.
SELVA, A.C.V. A influência de diferentes tipos de representação na resolução de
problemas de divisa. Dissertação de Mestrado. UFPE, Mestrado em Psicologia.
1993.
SELVA, A. C. V. Discutindo o uso de materiais concretos na resolução de problemas de divisão. In Schliemann, A. & Carraher, D. (orgs.) , A compreesão de conceitos
aritméticos. Ensino e Pesquisa. São Paulo, Papirus editora: 95-119. 1998.
SILVER, E., MUKHOPHADYAY, S. & GABRIELE, A. Referential mappings and the solution of division story problems involving remainders. Focus on Learning
Problems in Mathematics, 14 (3), 29-39. 1992.
VERNAUG, G. A classification of cognitive tasks and operations of thought involved in addition and and subtraction problems. In t. Carpenter, J. Moser & T. Romberg ( Eds.), Adition and subtraction: a cognitive perspective (pp. 39-59; 141-161. Hillsdale, N.J.: Lawrence Erlbaum. 1982.
VERNAUG, G. The nature of mathematical concepts. In T.Nunes & P. Bryant. (Eds.),
Leaning and teaching mathematics. An international perspective (pp. 5-28):
