de Gibbs-equilíbrio sobre shifts enumeráveis
à temperatura zero
Edgardo Enrique Pérez Reyes
Tese apresentada
ao
Instituto de Matemática e Estatística
da
Universidade de São Paulo
para
obtenção do título
de
Doutor em Ciências
Programa: Matemática Aplicada
Orientador: Prof. Dr. Rodrigo Bissacot
Co-orientador: Prof. Dr. Renaud Leplaideur
Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu auxílio nanceiro da CAPES/FAPESP São Paulo, março de 2015
Princípio dos grandes desvios para estados
de Gibbs-equilíbrio sobre shifts enumeráveis
à temperatura zero
Esta é a versão original da tese elaborada pelo candidato Edgardo Enrique Pérez Reyes, tal como submetida à Comissão Julgadora.
de Gibbs-equilíbrio sobre shifts enumeráveis
à temperatura zero
Esta versão da tese contém as correções e alterações sugeridas pela Comissão Julgadora durante a defesa da versão original do trabalho, realizada em 13/03/2015. Uma cópia da versão original está disponível no Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo.
Comissão Julgadora:
• Prof. Dr. Renaud Leplaideur (co-orientador) - Université de Brest • Prof. Dr. Artur Oscar Lopes - UFRGS
• Prof. Dr. Albert Fisher - IME-USP • Prof. Dr. Ali Messaoudi -UNESP
Dedicatória
Dedico este trabalho aos meus pais, Edgardo e Nicolasa, as minhas irmãs Maura e Odila e à minha noiva Diana.
Agradecimentos
Primeiramente, agradeço aos meus orientadores Rodrigo Bissacot e Renaud Leplaideur, por suas orientações, por seus ensinamentos e amizade. Ao Rodrigo, por sua dedicação e disponibilidade du-rante estes três anos, e a paciência para com a nalização desta tese. Ao Renaud, por me convidar à França e sua hospitalidade lá, onde parte desta tese foi desenvolvida.
Aos meus pais, Edgardo e Nicolasa, por seu apoio incondicional sempre e por motivar a seus lhos a realizar sonhos e conquistas, as minhas irmãs, Maura e Odila pelo carinho e incentivo ao longo de todos estes anos.
À minha noiva Diana, pelo seu amor, paciência, compreensão e encorajamento, durante todo este período.
Ao Professor Jairo Mengue, por importantes discussões e sugestões ao longo deste trabalho. Um agradecimento especial é devido também aos membros da banca examinadora pelas suges-tões e correção do texto.
Aos amigos de casa e o instituto, em especial gostaria de agradecer a Hugo, Roger, Rodrigo e Deissy, muito obrigado pelo apoio e amizade.
Ao Professor Dumar Villa, por me incentivar a continuar os estudos de pós-graduação em ma-temática.
Ao programa de intercâmbio europeu BREUDS, pelo suporte nanciero durante minha estadia na França.
A CAPES e a FAPESP pelo apoio nanciero.
Resumo
Seja ΣA(N) um shift enumerável topologicamente mixing com a propriedade BIP sobre o alfabeto
N, f : ΣA(N) → R um potencial com variação somável e pressão topológica nita. Sob hipóteses
adequadas provamos a existência de um princípio dos grandes desvios para a familia de estados de Gibbs (µβ)β>0, onde cada µβ é a medida de Gibbs associada ao potencial βf. Para fazer isso
generalizamos alguns teoremas de Otimização Ergódica para shifts de Markov enumeráveis. Esse resultado generaliza o mesmo princípio no caso de um subshift topologicamente mixing sobre um alfabeto nito, previamente provado por A. Baraviera, A. Lopes e P. Thieullen.
Palavras-chave: Medida de Equilíbrio, medida de Gibbs, sub-ação, medida maximizante, Forma-lismo Termodinâmico, grandes desvios.
Abstract
Let ΣA(N) be a topologically mixing countable Markov shift with the BIP property over the
alphabet N and a potential f : ΣA(N) → R with summable variation and nite pressure. Under
suitable hypotheses, we prove the existence of a large deviation principle for the family of Gibbs states (µβ)β>0 where each µβ is the Gibbs measure associated to the potential βf. For do this we
generalize some theorems from nite to countable Markov shifts in Ergodic Optimization. This result generalizes the same principle in the case of topologically mixing subshifts over a nite alphabet previously proved by A. Baraviera, A. Lopes and P. Thieullen.
Keywords: equilibrium measure, Gibbs measure, sub-action, maximizing measure, Thermodyna-mic Formalism, large deviations.
Sumário
Lista de Símbolos xi
Lista de Figuras xiii
1 Introdução 1
2 Preliminares 5
2.1 Shifts de Markov sobre alfabetos enumeráveis . . . 5
2.2 Formalismo Termodinâmico . . . 8
2.3 Temperatura Zero . . . 19
3 Otimização Ergódica 23
3.1 Existência de maximizantes e sub-ações . . . 24
3.2 Barreira de Peierls e Potencial de Mañé . . . 32
4 Princípio dos Grandes Desvios à Temperatura Zero 49
4.1 Princípio dos Grandes Desvios . . . 49
4.2 Unicidade da medida maximizante . . . 61
4.3 Pesquisas futuras . . . 64
A Espaços de Potenciais:caso não-compacto 65
B Grandes Desvios na Probabilidade 69
Referências Bibliográ cas 71
Lista de Símbolos
β Inverso da temperatura
µβ Medida de equilíbrio
f Potencial com variação somável [a0. . . an−1] Cilindro de tamanho n
A Matriz de transição
ΣA Espaço de sequências
ΣA(N) Espaço de seqüências permitidas
Hf Constante de Hölder
K0 Constante primitiva
P (f ) Pressão topológica
h(µ) Entropia métrica da medida µ
I Função taxa
C0 Espaço das funções contínuas assumindo valores reais Mσ(ΣA(N)) Conjunto de medidas Borel invariantes para o mapa shift
m(f ) Valor maximal
Snf n-ésima soma de Birkho
σ Dinâmica do shift Sf(x, y) Potencial de Mañé hf(x, y) Barreira de Peierls Ω(f, σ) Conjunto de Aubry Var(f ) Variação de f Varn(f ) n-variação de f Mfφ Operador de Lax-Oleinik
Lf(g) Operador de Ruelle-Perron-Frobenius sobre o espaço das funções
contínuas limitadas
Cb Espaço das funções contínuas e limitadas de valor real
Lista de Figuras
2.1 A sequência x e y coincidem do digito 0 até o digito n − 1, e depois se dividem. . . . 6
2.2 Exemplo de um shift com a propriedade BIP. . . 7
2.3 Exemplo de um Renewal shift. . . 8
3.1 Distancia de um ponto ao Aubry. . . 34
Capítulo 1
Introdução
O trabalho nesta tese refere-se à Teoria Ergódica para sistemas dinâmicos simbólicos. Teoria Ergódica é a area da matemática que estuda sistemas dinâmicos do ponto de vista do comporta-mento estatístico de órbitas de uma transformação.
Teoria Ergódica tem suas origens na Mecânica Estatística e no estudo do comportamento a longo prazo de sistemas com grande número de partículas. Em tais sistemas, a descrição exata do comportamento de cada partícula pode ser inviável, mas através dos teoremas ergódicos podemos ser capazes de entender o comportamento a longo prazo de pontos genéricos e conectar o compor-tamento macroscópico do sistema com leis microscópicas governando partículas individuais.
Depois dos livros fundamentais de R. Bowen [Bow08] e R. Ruelle [Rue78] uma boa quanti-dade de literatura foi produzida por dinamicistas, probabilistas e físico-matemáticos interessados em resultados rigorosos inspirados em modelos da Mecânica Estatística. Esta teoria é conhecida atualmente como Formalismo Termodinâmico. Um dos problemas centrais na Mecânica Estatística e no Formalismo Termodinâmico é descrever a familia de estados de Gibbs para um potencial xo. Muitos resultados desta área estão concentrados no caso unidimensional onde o espaço de estados é um conjunto nito S e Ω = SZ (ou SN) é o espaço de con gurações.
Nos últimos 15 anos houve intensa pesquisa na direção de estender a teoria unidimensional do caso compacto para o não compacto onde consideramos modelos com espaço de con gurações SZ
(ou SN) e S = N . Muitos dos resultados para modelos onde o espaço de estados é um conjunto
nito já possuem uma formulação equivalente no caso de um espaço não compacto. Estes resultados foram obtidos principalmente por R. D. Mauldin e M. Urba«ski [MU03] e também por O. Sarig [Sar99,Sar03]. Os avanços de Sarig foram recentemente catalogados num survey escrito por Y. Pesin [Pes14].
Diferentemente do caso multidimensional, o caso de shifts de Markov unidimensionais e transiti-vos tem no máximo um estado de equilíbrio [Sar09,BS03] quando o potencial tem variação somável (estendido ao caso de potenciais Walters recentemente [Dao12]). Isto signi ca que as únicas pos-síveis transições de fase em relação ao comportamento do conjunto de medidas de equilíbrio para esta classe de sistemas é a transição entre existência e ausência da medida de equilíbrio quando consideramos diferentes β's. O. Sarig provou que o conjunto de β's positivos em que temos transi-ção de fase pode ter medida de Lebesgue positiva [Sar01, Sar00], mesmo no caso onde o potencial depende de um número nito de coordenadas.
Otimização Ergódica é o estudo de medidas invariantes que maximizam ou minimizam a integral de uma função particular. Usando o Teorema Ergódico de Birkho este problema é equivalente a encontrar os pontos que maximizam o crescimento das somas ergódicas de f (veja [Jen06]). Usando resultados de O. Sarig [Sar01], G. Iommi encontrou uma conexão entre transição de fase e
zação Ergódica, provando que a ausência de transições de fase em Renewal shifts é equivalente a existência de medidas maximizantes [Iom07].
Além de transição de fase, temos outras conexões entre Otimização Ergódica e Formalismo Termodinâmico. Os pontos de acumulação na topologia fraca* à temperatura zero de estados de equilíbrios são medidas maximizantes [BLL13,CLT01,Jen06,JMU05], sub-ações (um objeto usado para descrever o suporte de medidas maximizantes) podem ser construídas através de pontos de acumulação de 1
β log hβ quando β vai para o in nito, aqui hβ é autofunção do operador de Ruelle
[CLT01].
O Jenkinson, R.D Mauldin e M. Urba«ski mostraram em [JMU06] que para um potencial f com variação somável, sobre um shift nitamente primitivo, a familia de estados Gibbs (µβ)β tem
pelo menos um ponto de acumulação na topologia fraca* quando β → ∞ e qualquer ponto de acu-mulação µ é uma medida maximizante; mais do que isso, I. Morris provou em [Mor] que qualquer ponto de acumulação de (µβ)β tem entropia maximal entre as medidas maximizantes.
O principal resultado desta tese é mostrar que a familia de estados de equilíbrio-Gibbs (µβf)β
satisfaz um princípio dos grandes desvios. Este resultado generaliza o trabalho de A. Baraviera, A. Lopes e P. Thieullen [BLT06] de shifts nitos para shifts enumeráveis. Para atingir dito objetivo, vamos assumir algumas hipóteses sobre o potencial e sobre nosso espaço shift. De fato, a prova apresentada utiliza o fato da medida de equilíbrio ser Gibbs, o que nos obriga a assumir que o shift tem a propriedade BIP (ver [Sar03]). É consenso entre especialistas em Formalismo Termodinâmico que o comportamento de shifts BIP é similar ao de shifts compactos [IJ13]. Nosso trabalho é mais um resultado que con rma esta expectativa.
Além disso, assumiremos que existe uma única medida maximizante para o potencial f. Essa condição é genérica no caso compacto em diversos espaços de potenciais, [Bou01,CLT01,BLL13,
Jen06,QS12] e densa no caso não compacto [DUZ07]. Dita suposição sobre a medida maximizante nos permitirá garantir, por exemplo, que o limite quando β → ∞ de µβf existe e, ademais,
garan-timos também que duas sub-ações calibradas são iguais módulo uma constante. Esse fato é usado para de nir a função taxa do princípio dos grandes desvios.
O principal resultado desta tese é o seguinte teorema:
Teorema 1. Sejam (ΣA(N), σ) um shift nitamente primitivo e f : ΣA(N) → R com variação
somável e satisfazendo P (f) < ∞, além disso assuma que f admite uma única medida maximizante µ. Para cada β, denotamos µβ, a única medida de equilíbrio associada a βf. Então (µβ)β satisfaz
um Princípio dos Grandes Desvios em cilindros, isto é, para qualquer cilindro C = [x0. . . xn−1],
lim
β→∞
1
βlog µβ(C) = − infx∈CI(x) (1.1)
onde I(x) = ∞ X j=0 (V ◦ σ − V − f + m(f )) ◦ σj(x), m(f ) = Z f dµ (1.2)
onde V é uma sub-ação calibrada para f.
Nosso trabalho está organizado da seguinte maneira:
O capítulo 1 introduz conceitos básicos de Dinâmica Simbólica, Otimização Ergódica e Forma-lismo Termodinâmico, conceitos usados ao longo de nosso estudo.
No capítulo 2 estendemos para o caso de shifts enumeráveis as principais propriedades do Poten-cial de Mañé e da Barreira de Peierls já conhecidas para o caso de um shift compacto. Mostramos a
1.0 3 existência de uma sub-ação calibrada limitada para o caso de um shift enumerável. Apresentamos uma nova prova da existência de medidas maximizantes para shifts nitamente primitivos
O capítulo 3 mostramos que a família de estados Gibbs (µβ)β satisfaz um princípio dos grandes
desvios. Além disso, expõe-se no apêndice um compêndio de teoremas com alguns resultados sobre espaços de potenciais para shifts não compactos.
Capítulo 2
Preliminares
Nesse capítulo revisitamos de nições e resultados do Formalismo Termodinâmico em shifts com um número enumerável de símbolos que serão usados em toda tese.
2.1 Shifts de Markov sobre alfabetos enumeráveis
Seja N o conjunto de inteiros não negativos, o qual consideraremos como nosso alfabeto no decorrer deste trabalho, Σ(N) o conjunto de sequências de elementos em N. Dada uma matriz in nita A : N × N → {0, 1}, denotamos por ΣA(N) o conjunto Σ(N) de sequências permitidas, isto
é:
ΣA(N) := {x ∈ Σ(N) : A(xi, xi+1) = 1, ∀i ≥ 0}.
Dado um inteiro não negativo I, denote por
ΣA(I) = {x = (x0, x1, . . .) ∈ {0, . . . , I}N: A(xj, xj+1) = 1}.
Se w = (w0, . . . , wk), com wi ∈ N para 1 ≤ i ≤ k, de nimos em ΣA(N) o cilindro de comprimento
kpelo conjunto
[w] := {x ∈ ΣA(N) : xi= wi para 0 ≤ i ≤ k}.
Uma palavra x é uma concatenação de símbolos de N. Uma palavra chama-se A-permitida ou simplesmente permitida se o cilindro [x] é não vazio. A dinâmica está dada por o mapa shift σ : ΣA(N) → ΣA(N), de nido por σ(x0, x1, x2, . . .) = (x1, x2, . . .). Denotamos por Mσ(ΣA(N)) o
conjunto de medidas de probabilidade, invariantes para σ, de nidas sobre os Borelianos de ΣA(N).
Colocamos t(x, y) = inf({k : xk 6= yk}∪{∞}). Fixado r ∈ (0, 1) e colocando d(x, y) = dr(x, y) =
rt(x,y). Esta é uma métrica sobre ΣA(N) e a topologia gerada por esta métrica tem os cilindros
como base. O mapa σ é contínuo com respeito a esta topologia. Podemos representar esta distancia gra camente como aparece na gura2.1.
Equipamos Mσ(ΣA(N)) com a seguinte topologia: dizemos que (µn)n≥1 converge na
topolo-gia fraca* para alguma µ se, somente se, R fdµn → R f dµ para cada função contínua e limitada
f : ΣA(N) → R. Em nosso caso, uma condição equivalente é que µn(C) → µ(C) para todos os
cilindros C. C0(Σ
A(N)) indica o espaço de funções contínuas assumindo valores reais sobre ΣA(N),
equipada com a topologia de convergência uniforme sobre conjuntos compactos. (veja o apêndice para mais detalhes sobre esta convergência) Dada f ∈ C0(Σ
A(N)), de nimos Snf =Pn−1j=0 f ◦ σj e
S0f = 0.
Fixada uma função f : ΣA(N) → R, de nimos a n-variação de f como
Varnf := sup{|f (x) − f (y)|; x0 = y0, . . . , xn−1= yn−1}.
De nição 1. O potencial f : ΣA(N) → R chama-se localmente Hölder contínuo quando existe uma
x0= y0 @ @ n − 1 xn−1= yn−1 y x
Figura 2.1: A sequência x e y coincidem do digito 0 até o digito n − 1, e depois se dividem.
constate Hf > 0 tal que, para todo inteiro k ≥ 1, temos que
Vark(f ) := sup x,y∈ΣA(N),d(x,y)≤rk
[f (x) − f (y)] ≤ Hfrk. (2.1)
Dita condição de regularidade signi ca que a k-ésima variação Vark(f )decai exponencialmente
a zero quando k → ∞. Dizemos que f : ΣA(N) → R tem variação somável se
Var(f ) :=
∞
X
k=1
Vark(f ) < ∞. (2.2)
Claramente a condição de f ser localmente Hölder contínua é mais forte que variação somável. Cada uma destas condições implicam que f é uniformemente contínua. No entanto elas não implicam que f seja limitada, pois Var0(f ) = sup
x,y∈ΣA(N)
|f (x) − f (y)|não está incluída em (2.1) ou em (2.2). De nição 2. A função f : ΣA(N) → R satisfaz a condição de Walters se
lim
k→∞supn≥1Varn+kSnf = 0 e para cada k ≥ 1, supn≥1Varn+kSn(f ) < ∞.
A condição acima de regularidade foi introduzida por P. Walters em 1978 [Wal78] no contexto do Formalismo Termodinâmico. A de nição original foi feita para shifts compactos, e não incluia a condição Varn+kSnf < ∞ ∀k ≥ 1, n ≥ 1. No caso compacto a nitude de Varn+kSnf ∀ k ≥ 1, n ≥ 1
segue da condição lim
k→∞supn≥1Varn+kSnf = 0, pois esta condição implica que f é contínua e
portanto limitada.
O seguinte lema mostra que a condição de Walters é mais fraca que a condição de variação somável ou localmente Hölder contínuo.
Lema 1. Seja f : ΣA(N) → R com variação somável. Para todo n ≥ 1 e qualquer palavra admissível
a = (a0, . . . , an−1) de comprimento n, se x, y ∈ σ[an−1] e x0 = y0, . . . , xm−1 = ym−1, então
|Snf (ax) − Snf (ay)| ≤ ∞ P k=m+1 Vark(f ). Demonstração.
|Snf (ax) − Snf (ay)| ≤ Varn+m(f ) + Varn+m−1(f ) + · · · + Varm+1(f )
≤
∞
X
k=m+1
Vark(f ).
De nição 3. Dizemos que (ΣA(N), σ) é primitivo quando, existe K0 ∈ N e um sub-alfabeto F ⊆ N
tal que qualquer par de símbolos permitidos do alfabeto N podem ser conectados por uma palavra com exatamente K0 símbolos em F. Diremos que (ΣA(N), σ) é nitamente primitivo quando F é
nito.
Quando (ΣA(N), σ) é nitamente primitivo, de nimos
2.1 SHIFTS DE MARKOV SOBRE ALFABETOS ENUMERÁVEIS 7 0 1 2 3 0 0 1 2 3 . . . . . .
Figura 2.2: Exemplo de um shift com a propriedade BIP.
De nição 4. (ΣA(N), σ) é dito topologicamente mixing quando
∀a, b ∈ N ∃Nab ∀n > Nab, [a] ∩ σ−n[b] 6= ∅.
De nição 5. Dizemos que (ΣA(N), σ) satisfaz a propriedade de "big image" e "preimage"(BIP) se,
e somente se, existe um conjunto nito B = {b1, . . . , bm} de elementos de N tal que para qualquer
a ∈ N, permitido, existem i, j ∈ {1, . . . , m} com A(bi, a) = A(a, bj) = 1.
Os seguintes dois lemas mostram que as condições nitamente primitivo e BIP são equivalentes em shifts topologicamente mixing:
Lema 2. Seja (ΣA(N), σ) um shift topologicamente mixing com a propriedade BIP, então ele é
nitamente primitivo.
Demonstração. Como (ΣA(N), σ) tem a propriedade BIP, então existe um conjunto nito, digamos
B = {b1, b2, . . . , bl}tal que para qualquer a ∈ N existem i, j ∈ {1, 2, . . . , l} tal que biabj é uma
pala-vra permitida. Como (ΣA(N), σ) é topologicamente mixing, então existem palavras de comprimento
nito, wbibj conectando bi e bj, para todo i, j ∈ {1, . . . , l}, isto é biwbibjbj são palavras permitidas
para todo i, j ∈ {1, . . . , l}.
Seja N0 := max{|wbibj| : 1 ≤ i, j ≤ l}, então por hipóteses sabemos que existem palavras w
0 bibj
com comprimento igual a N0 conectando bi e bj, para todo i, j ∈ {1, . . . , l}, isto é biw0bibjbj são
palavras permitidas para todo i, j ∈ {1, . . . , l}.
Concluímos a prova de nindo para i, j ∈ {1, . . . , l} o alfabeto nito F := {b1, b2, . . . , bl, w0bibj},
onde w0
bibj são todas as palavras de comprimento N0 conectando bi e bj, e seja K0 := N0+ 2. Desta
forma temos que para qualquer par x, y ∈ N, encontramos l1, l2, . . . , lK0 ∈ F cumprindo
A(x, l1)A(l1, l2) · · · A(lK0, y) = 1.
Lema 3. Seja (ΣA(N), σ) um shift nitamente primitivo, então ele tem a propriedade BIP.
Demonstração. Seja F ⊂ N nito e seja K0 ≥ 0um inteiro, tal que para qualquer par de símbolos
x, y, podemos achar l1, . . . , lK0 ∈ F tal que
A(x, l1) · · · A(lK0, y) = 1.
Agora de nimos B := {l1, . . . , lK0}, então para qualquer a ∈ N existem l1 e lK0 tais que
0 d1 2 d2 4 5 d3 . . .
Figura 2.3: Exemplo de um Renewal shift.
Um exemplo importante de um shift que não tem a propriedade BIP e que é topologicamente mixing é o Renewal shift (veja [Iom07]).
De nição 6 (Renewal Shift). Dizemos que (ΣA(N), σ) é um shift Renewal se para cada n existe
no máximo uma palavra permitida x0. . . xn de comprimento n + 1 tais que A(xn, 0) = 1 e xi = 0
se e somente se i = 0 (neste caso 0 é o renewal vértice). O seguinte shift é um exemplo de um Renewal shift:
Exemplo 1. Seja (di)i≥1 uma sequência crescente de inteiros positivos. Considere a matriz de
transição A = (aij)N×N com entradas a00, ai+1,i, a0,di equal a 1 e o resto de entradas igual a zero.
Usando os resultados de Sarig [Sar01], G. Iommi [Iom07] mostrou que no Renewal shift a existên-cia de medidas maximizantes para um potenexistên-cial localmente Hölder contínuo equivale à analiticidade da pressão para todo β > 0. Voltaremos neste exemplo no futuro.
2.2 Formalismo Termodinâmico
Fixado um potencial f : ΣA→ R com alguma regularidade (localmente Hölder contínuo,
varia-ção somável, Walters), alguns dos objetos de interesse quando fazemos Formalismo Termodinâmico são: existencia e número de medidas de Gibbs/equilíbrio para cada função βf da família a um parâ-metro (βf)β>0, diferenciabilidade ou não da pressão P (βf) e, a descrição das medidas de equilíbrio
(µβ)β (quando existem) e eventualmente estudar o comportamento destes objetos quando a
tempe-ratura vai à zero, ou seja, β → ∞. Uma das grandes diferenças entre o Formalismo Termodinâmico para shifts topologicamente mixing com um número nito de símbolos e o nosso contexto, é que a dinâmica do mapa shift de nida pela matriz A tem um papel fundamental no comportamento destes objetos. Atualmente sabemos que os shifts nitamente primitivos possuem muitas características em comum com os shifts compactos. Isso será fundamental em nossos principais resultados. A título de exemplo: se f tem variação somável então a pressão P (βf) é analítica em β e, para cada β > 0, a única medida de equilíbrio µβ é Gibbsiana. Como nosso enfoque é a ligação entre o Formalismo
Termodinâmico e Otimização Ergódica, vamos recordar rapidamente de nições e alguns resultados de maneira que possamos tomar o limite β → ∞.
Listaremos agora alguns dos principais resultados obtidos por O. Sarig e R. D. Mauldin e M. Urba«ski para o desenvolvimento do Formalismo Termodinâmico em shifts enumeráveis. Vários são generalizações de trabalhos de D. Vere-Jones [VJ67].
De nição 7. Seja (ΣA(N), σ) um shift topologicamente mixing. Seja g : ΣA(N) → R Walters. A
pressão de Gurevich de g é de nida por: P (g) := lim n→∞ 1 nlog X σn(x)=x exp(Sng(x))1[a](x)
2.2 FORMALISMO TERMODINÂMICO 9
Observe que P (g) pode ser in nita. Não é difícil mostrar que a de nição independe do símbolo a pois para qualquer dois símbolos a e b existem constantes C1, C2, k1, k2 (veja proposição 3.2 em
[Sar09]) tais que
C1Zn−k1(f, a) ≤ Zn(f, b) ≤ C2Zn+k2(f, a) ∀n (veja de nição (11)).
Assim como no caso compacto temos um princípio variacional para a pressão:
Teorema 2. Sejam (ΣA(N), σ) um shift topologicamente mixing e g uma função Walters tais que
sup g < ∞, então P (g) = sup{h(ν) + Z gdν | ν ∈ Mσ(ΣA(N), Z gdν > −∞}. Onde h(ν) é a entropia de Kolmogorov-Sinai de ν.
Este teorema foi provado inicialmente por O. Sarig (veja [Sar99]) para funções com variação somável sobre um shift de Markov topologicamente mixing, a prova para o caso de funções Walters é exatamente a mesma, os detalhes para o caso Walters foram escritos por Y. Daon em [Dao12]. Teorema 3 (O. Sarig, [Sar99]). Sejam ΣA(N) um shift topologicamente mixing e f Walters, então
P (φ) = sup{P (φ|Y) : Y é um shift compacto topologicamente mixing sub-sistema de ΣA(N)}.
Observação 1. Note que como corolário do Teorema 3, temos que P (βf) ≤ βP (f), ∀β ≥ 1, isso é
consequência direta do caso compacto, veja [Wal82].
De nição 8. Dado o shift (ΣA(N), σ) e uma função f : ΣA(N) → R, a medida µ ∈ Mσ(ΣA(N)) é
chamada de estado de equilíbrio se h(µ) + Z ΣA(N) f dµ = sup{h(ν) + Z ΣA(N) f dν | ν ∈ Mσ(ΣA(N)), Z ΣA(N) f dν > −∞}.
Sobre um shift (ΣA, σ)com um número nito de símbolos e topologicamente mixing existe uma
única medida de equilíbrio associada a cada função Hölder contínua f : ΣA→ R. Além disso, cada
uma destas medidas de equilíbrio são também estados de Gibbs para f ([Bow08,Rue78]).
De nição 9. Dizemos que uma medida de probabilidade invariante µ é uma medida de Gibbs (no sentido de Bowen) para a função g : ΣA(N) → R se existem constantes C1, C2> 0 tal que
C1 ≤
µ[x0. . . xn−1]
exp(Sng(x) − nP (g))
≤ C2 para cada x ∈ [x0. . . xn−1] e n > 0.
Sobre um alfabeto in nito, medidas de Gibbs e estados de equilíbrio poderiam não existir. É sabido que para escolhas particulares de ΣAe f existem (únicos) estados de equilíbrio µβf associados
à função βf.
Teorema 4 ([BS03, Dao12]). Seja (ΣA(N), σ) um shift topologicamente transitivo e suponha f :
ΣA(N) → R com sup f < ∞, P (f ) < ∞ e Walters. Então existe no máximo uma medida de
probabilidade invariante µ que é de equilíbrio. Além disso, a medida de equilíbrio quando existe pode ser obtida através do operador de Ruelle.
De nição 10. (Operador de Ruelle) Seja f : ΣA(N) → R uma função. De nimos o Operador
de Ruelle-Perron-Frobenius Lf : Cb(ΣA(N)) → Cb(ΣA(N)) por (Lfg)(x) =
P
i∈N
ef (ix)g(ix). Onde Cb(ΣA(N)) é o espaço das funções contínuas e limitadas de valor real em ΣA(N).
É claro que devemos impor restrições sobre a f para que o operador esteja bem de nido, uma condição usual é pedir que kLf1k∞< ∞. De fato essa hipótese nos fornece a nitude da pressão:
Teorema 5 (O. Sarig, [Sar09]). Seja ΣA(N) topologicamente mixing, e suponha f : ΣA(N) → R
Walters então se kLf1k∞< ∞temos que P (f) < ∞.
Daremos agora uma caracterização para a existência de medidas de equilíbrio via uma genera-lização do Teorema de Ruelle-Perron-Frobenius.
De nição 11. Fixe a ∈ N permitido. Seja f : ΣA(N) → R tal que P (f ) < ∞.
De na fa(x) := 1[a](x) inf{n ≥ 1 : σn(x) ∈ [a]} (aqui inf ∅ := ∞ e 0 · ∞ = 0),
Zn(f, a) := P σnx=x x0=a eSnf (x) e Z∗ n(f, a) := P σnx=x eSnf (x)1 [fa=n](x). Seja λ = exp P (f). • f é recorrente se P n≥1 λ−nZn(f, a) = ∞.
• f é positivamente recorrente se é recorrente e P
n≥1
nλ−nZn∗(f, a) < ∞; • f é recorrentemente nula se é recorrente e P
n≥1
nλ−nZn∗(f, a) = ∞.
Sempre assumiremos que ΣA(N) é topologicamente mixing, neste caso, a de nição independe
do símbolo a.
Teorema 6 (O. Sarig, [Sar99]). Seja (ΣA(N), σ) um shift topologicamente mixing e f : ΣA(N) → R
Walters tais que P (f) < ∞. Então f é positivamente recorrente se, e somente se, existem λ > 0, uma função contínua e positiva h, e uma medida ν nita e positiva sobre os cilindros, tais que Lfh = λh,
L∗fν = λν e R hdν = 1. Neste caso λ = eP (f ) e m := hdν é uma medida de probabilidade invariante. Ademais, m é a medida de equilíbrio para f. Além disso, para cada função uniformemente contínua g tal que kgh−1k∞< ∞, λ−n(Lnfg)(x) → h(x)R gdν uniformemente sobre compactos.
Aqui o formalismo se distancia do caso compacto, note que a automedida a principio é nita somente em cilindros, podendo dar massa in nita ao espaço todo. De fato isso ocorrerá quando o shift não for nitamente primitivo. E ainda, sequer de nimos o operador dual. A partir de agora, a menos que se diga o contrário, nos concentraremos no caso BIP. Quando ΣA(N) é topologicamente mixing
e tem a propriedade BIP, qualquer potencial de variação somável e pressão nita é positivamente recorrente. Neste caso o operador dual é de nido de maneira usual:
L∗f : Cb∗(ΣA(N)) → Cb∗(ΣA(N))
µ → L∗f(µ) L∗f(µ)(g) := µ(Lf(g)) =
Z
Lf(g)dµ ∀g ∈ Cb(ΣA(N)).
Além da propriedade BIP em ΣA(N), assumiremos na maioria das vezes que o potencial
f : ΣA(N) → R tem variação somável e P (f ) < ∞. Neste contexto temos o seguinte lema:
Lema 4. Seja (ΣA(N), σ) um shift nitamente primitivo.
Seja f : ΣA(N) → R com Var(f ) < ∞ e P (f ) < ∞, então P i∈N
2.2 FORMALISMO TERMODINÂMICO 11
Demonstração. Para cada a ∈ N e n ≥ K0existem w1, w2, . . . , wn∈ F tais que a sequência periódica
aw1· · · wn é permitida. Para cada w1, . . . , wn ∈ F xos, denotamos por C(w1, . . . , wn) o conjunto
de símbolos a ∈ N tal que aw1· · · wn é permitida. Usando que P (f) é nita, temos
X
σn+1(x)=x
exp(Sn+1f (x))1[w1](x) < ∞.
Isto implica que
X a∈C(w1,...,wn) exp(Sn+1f (aw1· · · wn)) < ∞. Assim X a∈C(w1,...,wn) expf (aw1· · · wn) + f (w1· · · wna) + · · · + f (wnaw1· · · wn−1) < ∞. (2.4)
Note que w1, . . . , wn∈ F( nito) e Var(f) < ∞, então
f (w1...wna) + · · · + f (wnaw1· · · wn−1)
é limitado por uma constante que não depende de a, w1, . . . , wn.
Portanto da equação (2.4) segue que X
a∈C(w1,...,wn)
exp(f (aw1· · · wn)) < ∞,
e multiplicando por eVar1(f ) obtemos
X
a∈C(w1,...,wn)
exp(sup f |[a]) < ∞.
Cada a ∈ N pertence ao pelo menos um dos conjuntos C(w1, ..., wn), portanto somando sobre o
conjunto nito palavras w1. . . wn∈ Fn resulta
X
i∈N
exp(sup f |[i]) < ∞. (2.5)
Note que no caso BIP e topologicamente mixing vale a reciproca do lema acima (veja o Teorema
5). Portanto vale a equivalência, ou seja:
P (f ) < ∞ ⇔X
i∈N
exp(sup f |[i]) < ∞.
Observe que coercividade segue da condição (2.5). Mais precisamente:
De nição 12. Um potencial contínuo f : ΣA(N) → R é chamado coercivo quando
lim
i→+∞sup f |[i] = −∞.
Além disso, para potenciais Markov (que dependem de um número nito de coordenadas) com variação somável e pressão nita, a condição (2.5)implica a existência de medidas de equilíbrio em shifts topologicamente mixing (veja [VJ15]).
Com as mesmas hipóteses do lema anterior temos o seguinte teorema:
Teorema 7 (R.D. Mauldin e M. Urba«ski, [MU03,MU01]). Seja (ΣA(N), σ) um shift nitamente
equilíbrio µf. Esta medida é Gibbs e satisfaz
e−4 Var(f )≤ µf([x0. . . xn−1]) eSnf (x)−nP (f ) ≤ e
4 Var(f ) (2.6)
para cada x ∈ [x0. . . xn−1] e n > 0.
Talvez seja o momento de uma breve discussão sobre a hipótese do shift ser nitamente primi-tivo. Esta pode parecer restritiva, no entanto, se nos xamos na classe de potenciais de variação somável como pressão nita e shifts topologicamente mixing a existência de uma medida de Gibbs é equivalente a propriedade BIP. Ou seja vale o seguinte teorema provado por Sarig:
Teorema 8 (O. Sarig, [Sar03]). Seja (ΣA(N), σ) topologicamente mixing e f com variação somável,
então f tem uma medida de Gibbs invariante se e somente se A tem a propriedade BIP e P (f) < ∞. Corolário 1. Seja (ΣA(N), σ) topologicamente mixing, f com variação somável e P (f ) < ∞.
Suponha que ΣA não tenha a propriedade BIP. Então se µ é uma medida de equilíbrio para f, µ
não é Gibbs.
Shifts Renewal com potencial localmente Hölder contínuos satisfazem as hipóteses do corolário acima.
A teoria das medidas de Gibbs recebe diferentes enfoques das comunidades de Teoria Ergódica e Mecânica Estatística, enquanto na Teoria Ergódica é comum encontrarmos a de nição de medida de Gibbs no sentido de Bowen, na Mecânica Estatística é usual serem usadas equações de DLR e probabilidades condicionais para se de nir o que é uma medida de Gibbs. Neste sentido, o Forma-lismo Termodinâmico para shifts não compactos é descrito de uma maneira uni cada por Sarig em [Sar09]. Recentemente, A. Lopes e L. Cioletti [LC14] mostraram a equivalência das várias diferentes de nições usadas pelos autores das duas comunidades no contexto de shifts compactos e potenciais Walters.
Potenciais de variação somável e pressão nita de nidos em shifts topologicamente mixing com a propriedade BIP possuem medidas de equilíbrio que são Gibbs, tais medidas são da forma hdν onde ν é uma medida de probabilidade e h é a autofunção do operador de Ruelle associada ao autovalor λ = eP (f ), h é positiva e afastada uniformemente de zero e do in nito. Denotamos por
hβ a autofunção associada ao potencial βf.
Agora vamos explicitar cotas superiores e inferiores para a autofunção hβ, associada ao potencial
βf. Estas cotas serão usadas posteriormente quando zermos a temperatura ir para zero.
Proposição 1. Seja (ΣA(N), σ) um shift nitamente primitivo, f : ΣA(N) → R com variação
somável tal que P (f) < ∞. Então para qualquer x, y ∈ ΣA(N) tal que d(x, y) < 1 temos
hβ(x) ≤ hβ(y)eβ Var(f ),
onde hβ é a autofunção do operador de Ruelle associada a βf.
Demonstração. Provar que hβ(x) ≤ hβ(y)eβ Var(f ) é equivalente a provar que
hβ(x) − hβ(y)eβ Var(f )≤ 0.
Sabemos que lim
n→∞ 1 λn
βL
n
βf1(x) = hβ(x) uniformemente em compactos (veja [Sar99]), onde λβ é o
autovalor do operador de Ruelle associado à autofunção hβ.
Para cada x ∈ ΣA(N) de nimos
2.2 FORMALISMO TERMODINÂMICO 13
Por hipótese d(x, y) < 1 assim Pn(x) = Pn(y). Então
hβ(x) − hβ(y)eβ Var(f )= lim n→∞ 1 λn β Lnβf1(x) − lim n→∞ 1 λn β Lnβf1(y)eβ Var(f ) = lim n→∞ 1 λnβ L n βf1(x) − Lnβf1(y)eβ Var(f ) = lim n→∞ 1 λn β X p∈Pn(x) eβSnf (px)− eβSnf (py)+β Var(f ) = lim n→∞ 1 λn β X p∈Pn(x)
eβSnf (py)eβSnf (px)−βSnf (py)− eβ Var(f )
Note que
eβSnf (px)−βSnf (py)− eβ Var(f )≤ 0, (2.7)
pois
Snf (px) − Snf (py) = (f (px) − f (py)) + · · · + (f (pn−1x) − f (pn−1y))
≤ Varn+t(x,y)(f ) + · · · + Var1+t(x,y)(f ) (2.8)
≤ Var(f ). Assim concluímos que hβ(x) ≤ hβ(y)eβ Var(f ).
Usando um argumento similar à prova da proposição acima temos que, o resultado da proposição anterior também é verdadeiro para potenciais Walters com Var1(f ) < ∞, a saber:
Proposição 2. Seja (ΣA(N), σ) um shift nitamente primitivo, f : ΣA(N) → R Walters com
Var1(f ) < ∞tal que P (f) < ∞. Então para qualquer x, y ∈ ΣA(N) tal que d(x, y) < 1 temos
hβ(x) ≤ hβ(y)eβM0,
onde M0 := sup n≥1
Varn+1Snf e hβ é a autofunção do operador de Ruelle associada a βf.
A seguinte proposição mostra que hβ está afastada uniformemente de zero e do in nito:
Proposição 3. Seja (ΣA(N), σ) nitamente primitivo e f : ΣA(N) → R com variação somável e
P (f ) < ∞. Então existem constantes C1, C2 ∈ R tais que
eC1β ≤ h
β ≤ eC2β, ∀β ≥ 1. (2.9)
Demonstração. Fixe > 0. Seja x ∈ ΣA(N), comoR hβdνβ = 1, e νβ é uma medida de probabilidade
existe y = (y0, y1, . . .) ∈ ΣA(N) tal que hβ(y) > 1 − . Usando que ΣA(N) é nitamente primitivo
sabemos que existe uma palavra w := y0w0. . . wK0−1, com w0, . . . , wK0−1 ∈ F. De nimos z := wx,
assim d(y, z) < 1, portanto pela Proposição 1temos que
hβ(y)
hβ(z)
≤ eβ Var(f ). (2.10)
Assim usando (2.10)e P (βf) ≤ βP (f), ∀β ≥ 1 (veja teorema 3 e [Wal82]) segue que
hβ(x) = LK0+1 βf hβ(x) λK0+1 β ≥ eβSK0+1(f )(z)−(K0+1)P (βf )h β(z) ≥ eβSK0+1(f )(z)−(K0+1)βP (f )h β(y)e−β Var(f ).
Observe que como f tem variação somável podemos encontrar um x0 pertencendo ao compacto ΣA(F), tais que SK0+1(f )(z) = f (y0w0. . . wK0−1x) + f (w0. . . wK0−1x) + · · · + f (wK0−1x) > f (y0w0. . . wK0−1x 0) + · · · + f (w K0−1x 0) − Var(f ) > (K0+ 1)m − Var(f ), onde m := min{f (y0w0. . . wK0−1x 0), f (w 0. . . wK0−1x 0), f (w K0−1x 0); 1 ≤ w j ≤ N },
aqui N := IF (veja equação (2.3)). Deste modo obtemos que
hβ(x) ≥ eβ((K0+1)m−2 Var(f )−(K0+1)P (f ))hβ(y). (2.11)
Usando que hβ(y) > 1 − concluímos que
(1 − )eβC1 ≤ h
β(x),
onde C1:= (K0+ 1)m − 2 Var(f ) − (K0+ 1)P (f ). Fazendo → 0 concluímos que eC1β ≤ hβ(x), ∀x.
Agora provaremos a outra desigualdade. Fixemos a ∈ N. Provaremos primeiro que hβ(x) está
afastada de in nito para todo x ∈ [a]. Com efeito: como R hβdνβ = 1, existe y ∈ ΣA(N) tal
que hβ(y) < 1 + . Usando a hipóteses de nitamente primitivo sabemos que existe uma palavra
w := aw0. . . wK0−1, com w0, . . . , wK0−1 ∈ F. Seja z
0 := wy, assim d(z0, x) < 1 portanto pela
Proposição1 temos que
hβ(x)
hβ(z0)
≤ eβ Var(f ). (2.12)
Logo usando a equação (2.12) e P (βf) ≤ βP (f), ∀β ≥ 1 (veja teorema 3e [Wal82]) segue que
hβ(y) = LK0+1 βf hβ(y) λK0+1 β ≥ eβSK0+1(f )(z0)−(K0+1)P (βf )h β(z0) ≥ eβSK0+1(f )(z0)−(K0+1)βP (f )h β(x)e−β Var(f ). De nimos fn(d0. . . dn−1) := inf{Snf (x) : x ∈ [d0. . . dn−1]}.
A rmação: fn(d0. . . dn−1) > −∞. Com efeito
fn(d0. . . dn−1) ≥ inf x∈[d0...dn−1] f (x) + · · · + inf x∈[dn−1] f (x) ≥ n inf x∈[dn−1] f (x) ≥ n(f (dn−1. . .) − Var1(f )) > −∞.
Seja ¯C := min{ inf
x∈[aw0...wk0−1]
SK0+1f (x) : 1 ≤ wj ≤ N }. Note que SK0+1(f )(z
0) ≥ ¯C. Deste
modo obtemos que
hβ(x) ≤ (1 + )eβ ¯C2,
onde ¯C2:= − ¯C + (K0+ 1)P (f ) + Var(f ), observe que ¯C2 depende de a. Fazendo → 0 segue que
hβ(x) ≤ eβ ¯C2, para cada x ∈ [a].
2.2 FORMALISMO TERMODINÂMICO 15
Fixar algum zi ∈ [w
i] (0 ≤ i ≤ K0 − 1). Para cada ponto da forma (ξ0, . . . , ξn−1, x) podemos
encontrar 0 ≤ i ≤ K0 − 1 tais que (ξ0, . . . , ξn−1, zi) é uma sequência permitida. Já que f tem
variação somável temos que
Snf (ξ0, . . . , ξn−1, x) − Snf (ξ0, . . . , ξn−1, zi) ≤ Var(f ). Logo Snf (ξ0, . . . , ξn−1, x) ≤ Var(f ) + Snf (ξ0, . . . , ξn−1, zi), assim eβSnf (ξ0,...,ξn−1,x)≤ eβ Var(f )eβSnf (ξ0,...,ξn−1,zi), deste modo X ξ=(ξ0,...,ξn−1); ξx∈ΣA eβSnf (ξ0,...,ξn−1,x)≤ eβ Var(f ) X ξ=(ξ0,...,ξn−1); ξzi∈Σ A eβSnf (ξ0,...,ξn−1,zi),
assim temos que
λ−nβ (Lnβf1)(x) ≤ eβ Var(f )λ−nβ (Lnβf1)(zi). Logo tomando o limite quando n → ∞ obtemos
hβ(x) ≤ eβ Var(f )hβ(zi). (2.13)
Agora usando que hβ(zi) ≤ eβ ¯C2, para cada zi ∈ [wi]com ¯C2= ¯C2(zi). Concluímos que
hβ(x) ≤ eβC2.
Onde C2 := max{ ¯C2(zi); 0 ≤ i ≤ K0− 1} + Var(f ).
Além disso, neste caso onde f tem variação somável e P (f) < ∞ com ΣA(N) nitamente
primitivo, sempre podemos normalizar o operador para cada β > 0, ou seja:
De nição 13. Dizemos que o operador de Ruelle está normalizado quando existe uma função g tais que Lg1 = 1. Observe que a função gβ := βf + log hβ− log(hβ◦ σ) − P (βf ) satisfaz Lgβ1 = 1.
Com efeito
Lgβ1 =
∞
X
i=0
eβf (ix)elog hβ(ix)e− log hβ(σ(ix))e−P (βf )
= 1 hβ(x) ∞ X i=0 eβf (ix)hβ(ix) λβ = Lβfhβ λβhβ = 1.
Lema 5. Sob as hipóteses da Proposição 1 a função ϕβ := 1βlog hβ tem variação somável.
Demonstração. Sejam x, y ∈ ΣA(N) com d(x, y) ≤ rm, m ≥ 1, usando um argumento similar à
prova da Proposição1 (veja equação (2.8)) obtemos que, para todo n ≥ 1,
hβ(x) ≤ hβ(y)eβ[Varn+m(f )+···+Varm+1(f )],
assim
deste modo
Varm(ϕβ) ≤ Varn+m(f ) + · · · + Varm+1(f ).
Logo Var(ϕβ) = ∞ X m=1 Varm(ϕβ) ≤ ∞ X m=1 (Varn+m(f ) + · · · + Varm+1(f )),
e já que f tem variação somável temos que
∞ X m=1 Varm+n(f ) < ∞, . . . , ∞ X m=1 Varm+1(f ) < ∞, portanto Var(ϕβ) < ∞. (2.15)
Lema 6. Sob as hipóteses da Proposição 2 a função ϕβ := 1βlog hβ tem a propriedade Walters.
Demonstração. Sejam x, y ∈ ΣA(N) com d(x, y) ≤ rm+k, m, k ≥ 1 a rmamos que
hβ(x) ≤ hβ(y)eβ supl≥1Varm+k+lSlf. (2.16)
Observe que, provar (2.16)é equivalente a provar que, para todo n ≥ 1, a seguinte desigualdade: (veja Proposição1)
eβSnf (px)−βSnf (py)− eβ supl≥1Varm+k+lSlf ≤ 0.
e esta última desigualdade é verdadeira pois
Snf (px) − Snf (py) = [f (p0. . . pn−1x) − f (p0. . . pn−1y)] + · · · + [f (pn−1x) − f (pn−1y)]
≤ sup
l≥1
Varm+k+lSlf.
Similarmente a rmamos que se d(x, y) ≤ rm+k, m, k ≥ 1 então
hβ(σm−1(x)) ≤ hβ(σm−1(y))eβ supl≥1Vark+1+lSlf. (2.17)
Observe que provar (2.17) é equivalente a provar a seguinte desigualdade: (veja Proposição 1)
eβSnf (pσm−1(x))−βSnf (pσm−1(y))− eβ supl≥1Vark+1+lSlf ≤ 0.
e esta última desigualdade é verdadeira pois Snf (pσm−1(x)) − Snf (pσm−1(y))
= [f (p0. . . pn−1σm−1(x)) − f (p0. . . pn−1σm−1(y))] + · · · + [f (pn−1σm−1(x)) − f (pn−1σm−1(y))]
≤ sup
l≥1
Vark+1+lSlf.
Desta maneira usando (2.16) e (2.17) segue que Snϕβ(x) − Snϕβ(y) = 1 β log hβ(x) − 1 β log hβ(y) + · · · + 1 βlog hβ(σ n−1(x)) − 1 β log hβ(σ n−1(y)) ≤ sup l≥1 Vark+1+lSlf.
2.2 FORMALISMO TERMODINÂMICO 17 Portanto Varn+kSnϕβ ≤ sup l≥1 Vark+1+lSlf, (2.18) donde sup n≥1 Varn+kSnϕβ ≤ sup l≥1 Vark+1+lSlf < ∞. Ademais lim k→∞supn≥1 Varn+kSnϕβ ≤ lim
k→∞supl≥1Vark+1+lSlf = 0 (f é Walters).
Portanto concluímos que ϕβ tem a propriedade Walters.
Observação 2. Note que Var1(β1log hβ) < ∞. Com efeito
Se x0= y0 segue que (veja equação (2.8))
1
β log hβ(x) − 1
β log hβ(y) ≤ M0< ∞.
Lema 7. Sob as hipóteses da Proposição 1 a função φβ := gββ tem variação somável.
Demonstração. Sejam x, y ∈ ΣA(N) com d(x, y) ≤ rm, (m ≥ 1). Então
φβ(x) − φβ(y)
= (f (x) − f (y)) + 1
β(log hβ(x) − log hβ(y)) − 1
β(log hβ(σ(x)) − log hβ(σ(y))) ≤ Varm(f ) + Varm 1 β log hβ + Varm 1 βlog hβ ◦ σ . Assim
Varm(φβ) ≤ Varm(f ) + Varm
1 βlog hβ + Varm 1 β log hβ◦ σ , e usando que f e 1
β log hβ tem variação somável obtemos
∞ X m=1 Varm(φβ) ≤ ∞ X m=1 Varm(f ) + ∞ X m=1 Varm 1 βlog hβ + ∞ X m=1 Varm 1 β log hβ ◦ σ < ∞. Em consequência φβ tem variação somável.
Observe gβ tem variação somável e pressão nita, de fato P (gβ) = 0.
Desta forma, pelo exposto acima βf é cohomóloga (veja de nição16) a gβe portanto possuem as
mesmas medidas de equilíbrio. Note que neste ponto usamos de maneira fundamental a propriedade BIP de ΣA(N) pois na ausência desta a autofunção hβ pode se aproximar de zero. Em particular
temos o seguinte teorema:
Proposição 4. Seja (ΣA(N), σ) um shift topologicamente mixing satisfazendo a propriedade BIP.
Seja f : ΣA(N) → R uma função com variação somável e com P (f ) < ∞. Suponha ademais que o
operador de Ruelle está normalizado. Então para µ = L∗
f(µ) medida de equilíbrio, veri camos
µ([x1. . . xn]) =
Z
[x0...xn]
e−fdµ. Ademais temos a seguinte desigualdade:
e− Varn+1(f )≤ µ[x0. . . xn]
µ[x1. . . xn]
e−f (x) ≤ eVarn+1(f ), x ∈ [x
Em particular inf z∈[x0...xn] e−f (z) µ([x0. . . xn]) ≤ µ([x1. . . xn]) ≤ sup z∈[x0...xn] e−f (z) µ([x0. . . xn]). (2.19)
Demonstração. Note que
f (z) − f (x) ≤ Varn+1(f ), sempre que z, x ∈ [x0, . . . , xn],
então, xado z, temos que para todo x ∈ [x0, . . . , xn]:
−f (x) ≤ Varn+1(f ) − f (z), portanto
sup
x∈[x0,...,xn]
e−f (x) ≤ eVarn+1(f )−f (z)< ∞.
Observe que como µ é uma medida invariante temos µ([x1. . . xn]) = µ(σ−1[x1. . . xn]) = ∞ X i=0 µ[ix1. . . xn]. Assim µ([x1. . . xn]) = Z 1[x1...xn](z)dµ = Z ∞ X i=0 1[ix1...xn](z)dµ = Z ∞ X y∈σ−1(z) z∈[x1...xn] 1[x0...xn](y)dµ = Z X σy=z ef (y)1[x0...xn](y)e −f (y)dµ = Z Lf(1[x0...xn]e −f)(z)dµ = Z 1[x0...xn](z)e−f (z)dµ (aqui µ = L∗f(µ)) = Z [x0...xn] e−f (z)dµ.
Note que |f(z) − f(w)| ≤ Varn+1(f ), sempre que z, x ∈ [x0, . . . , xn],
portanto
e− Varn+1(f )≤ ef (z)−f (x)≤ eVarn+1(f ),
logo xando z e integrando em relação a x resulta Z [x0...xn] e− Varn+1(f )dµ ≤ Z [x0...xn] ef (z)−f (x)dµ ≤ Z [x0...xn] eVarn+1(f )dµ
2.3 TEMPERATURA ZERO 19
2.3 Temperatura Zero
Nesta seção discutimos rapidamente resultados sobre o comportamento dos objetos de interesse quando β vai para in nito, ou seja vamos estar interessados em descrever o que acontece com pressão, medidas de equilíbrio e autofunção quando a temperatura vai para zero.
Uma pergunta natural é saber o que acontece com as medidas µβf quando β tende a in nito.
Observe que no contexto não compacto se um potencial βf localmente Hölder contínuo de nido sobre um shift topologicamente mixing é positivamente recorrente, nada podemos dizer sobre ˜βf se
˜
β > β. De fato é o caso do Renewal shift, há potencias para os quais existe βc tal que para β < βc
βf é positivamente recorrente e portanto possui uma medida de equilíbrio, ao mesmo tempo que não existe medida de equilíbrio para qualquer β maior que βc, veja [Sar01].
O que ocorre no caso não compacto é que não somente a regularidade do potencial in uencia na termodinâmica, mas também seu comportamento no in nito, como coercividade, podem estar relacionados com o fenômeno de transição de fase.
Em nosso texto focamos no caso nitamente primitivo, assumindo que o potencial tem pressão nita e variação somável onde não ocorrem transições de fase e o problema de estudar a familia de medidas de equilíbrio µβf quando β → ∞ faz sentido.
A interpretação termodinâmica do parâmetro β é que este representa o inverso da temperatura de um sistema, enquanto as medidas µβf descrevem os equilíbrios do sistema à temperatura 1/β.
O limite quando β → ∞ é portanto o limite à temperatura zero.
Sabemos que no caso de uma única medida maximizante, µβf convergirá para essa medida.
No entanto, na situação quando existem várias medidas maximizantes só sabemos que µβf vai se
acumular em algum subconjunto não vazio de tais medidas.
Os resultados para temperatura zero concentram-se em entender a convergência ou não da sequência de medidas (µβf)β, propriedades das medidas limite e obtenção de princípios de grandes
desvios para esta família. Na questão de convergência os trabalhos de Brémont [Bré03] e Chazottes, Gambaudo e Ugalde [CGU11] mostram que tem convergência quando o potencial depende de um número nito de coordenadas. R. Leplaideur em [Lep05] mostra que µβf +g converge, donde f é
localmente constante e g é Hölder contínua. Todos esses resultados no contexto de shifts com um número nito de símbolos. Em [Kem11b] T. Kempton provou que para um potencial f dependendo de nitas coordenadas sobre um shift enumerável com a propriedade BIP, µβf converge quando
β → ∞. Recentemente esse resultado foi estendido para shifts topologicamente mixing satisfazendo a condição Pi∈Nesup f |[i] < ∞(veja [VJ15]).
Por outro lado, são conhecidos exemplos de potencias Hölder contínuos(necessariamente de-pendendo de in nitas coordenadas) para os quais µβf não converge quando β → ∞ ([CH10]). De
fato, Ruszel e van Enter em [vEW07] mostraram que no caso de spin compacto mas contínuo (S1)
a sequência pode divergir mesmo o potencial dependendo de um número nito de símbolos (veja [BCL+11] para um review sobre este teorema). Usando estas ideias recentemente [CR14]
construí-ram potenciais Lipschitz tais que (µβf) não converge quando β → ∞, em shifts com um número
nito de símbolos.
Em [JMU05] O. Jenkinson, R.D. Mauldin e M. Urba«ski provaram existência de pontos de acumulação da família de estados de equilíbrio (µβf)β associados ao potential f Hölder contínuo
sobre um shift de Markov enumerável com a propriedades BIP. Além disso, mostraram que cada ponto de acumulação é uma medida maximizante para o potencial f. Para de nirmos o que é uma medida maximizante precisamos do seguinte conceito:
De nição 14. Se o potencial f ∈ C0(Σ
A(N)) é limitado superiormente, de nimos o valor
maxi-mizante por
m(f ) = sup
µ∈Mσ(ΣA(N))
Z f dµ.
Qualquer probabilidade σ-invariante atingindo este supremo é chamada maximizante (ou f-maximizante). Denota-se o conjunto de todas as medidas f-maximizantes por Mmax(f ).
No caso de um shift compacto e topologicamente mixing e um um potencial f com variação somável, é sabido que qualquer ponto de acumulação (na topologia fraca*) da família de estados de equilíbrio (µβf)β quando β → ∞ é uma probabilidade f-maximizante.
Com efeito, seja ν ∈ Mσ(ΣA(n)) β Z f dν ≤ h(ν) + β Z f dν ≤ h(µβf) + β Z f dµβf ≤ htop(σ) + β Z f dµβf (2.20)
se µ é ponto de acumulação, então R fdν ≤ R fdµ ∀ν ∈ Mσ(ΣA(n)).
Note que a existência de medidas maximizantes para o caso de um shift com um número nito de símbolos é consequência da compacidade de Mσ(ΣA(n))e a continuidade do mapa ν → R fdν.
Observe também, que na equação (2.20) foi fundamental o fato que htop(σ) é nita. No caso não
compacto o argumento é mais elaborado, usa o Teorema de Prohorov, citamos aqui o resultado de O Jenkinson, R.D Mauldin e M. Urba«ski [JMU06]:
Teorema 9. Sejam (ΣA(N), σ) um shift nitamente primitivo e f um potencial com variação
somável e satisfazendo Pi∈Nexp(sup f |[i]) < ∞. Então a familia de estados Gibbs (µβf)β tem pelo
menos um ponto de acumulação na topologia fraca* quando β → ∞ e qualquer ponto de acumulação µ é uma medida maximizante.
Corolário 2. Seja ΣA(N) nitamente primitivo, f com variação somável e P (f ) < ∞. Suponha
ademais que existe uma única medida maximizante µ. Então µβ → µ na topologia fraca*.
Demonstração. Suponha que µβ não converge para µ. Então existe 0> 0 tais que
d(µβ, µ)1≥ 0 ∀β > 0. (2.21)
Agora, usando que a sequência (µβf)β>0 é rígida (teorema acima) existe uma subsequência (µβj)j
convergente, pelo teorema acima teríamos que µβj → µo qual contradiz (2.21).
I. Morris provou em [Mor] que qualquer ponto de acumulação de (µβf)β tem entropia maximal
entre as medidas maximizantes. Mais precisamente:
Teorema 10. Assuma (ΣA(N), σ) nitamente primitivo e seja f : ΣA(N) → R com variação
somável e P (f) < ∞. Para cada β > 1 seja µβf ó único estado Gibbs-equilíbrio associado a βf, e
seja µ qualquer ponto de acumulação de µβf. Então
1. h(µ) = lim
β→∞P (βf − βm(f )) = limβ→∞h(µβf) =ν∈Msupmax(f )h(ν).
2. lim
β→∞ 1
βP (βf ) = m(f ).
Além disso, Morris provou que existe um alfabeto A ⊂ N nito tal que para qualquer ponto de acumulação µ de (µβf)β temos que supp(µ) ⊂ ΣA(A). Ademais, esse mesmo resultado foi obtido
para medidas maximizantes para potenciais coercivos para shifts BIP e transitivos respectivamente em [RG10,RJ14]. Ou seja, se o potencial é coercivo eles provaram a existência da medida maximi-zante e também que o suporte de qualquer maximimaximi-zante está contido em um subshift compacto.
Sendo assim é natural investigar o comportamento de µβ[x0. . . xn−1]quando β → ∞.
Pelos resultados acima, sabemos que se x0, . . . , xn−1 foram grandes o su ciente e o potencial f
for coercivo então lim
β→∞µβ[x0. . . xn−1] = 0.
1Como Σ
A(N) é separável, de nimos a seguinte métrica d(µ, ν) := inf{α > 0 : µ(A) ≤ ν(Aα) + α e ν(A) ≤
µ(Aα) + α ∀A ∈ B(ΣA(N))} (métrica de Levy-Prohorov). A topologia induzida por esta métrica coincide com a
2.3 TEMPERATURA ZERO 21
Queremos estudar: o possível limite lim
β→∞
1
β log µβ[x0. . . xn−1].
Ou seja, gostaríamos de descrever o comportamento da forma µβ[x0. . . xn−1] ∼= e−βI, onde a função
I seria a velocidade na qual a sequência de medidas está convergindo. Uma das di culdades em geral é achar a função taxa I. Neste trabalho usaremos argumentos de Otimização Ergódica para achar a função I, estendendo o resultado de A. Baraviera, A. Lopes e P. Thieullen [BLT06] que determinaram a função taxa no caso de um shift com um alfabeto nito .
Capítulo 3
Otimização Ergódica
O problema principal em Otimização Ergódica é garantir a existência e descrever as medidas maximizantes do sistema. Depois das notas de Oliver Jenkinson (veja [Jen06]) o estudo de medidas maximizantes se tornou conhecido como Otimização Ergódica. Para uma referência mais recente veja [BLL13].
A principal conjectura da área até pouco tempo atrás era que para uma dinâmica espansora, genericamente no espaço de potenciais Lipschitz a medida maximizante é única e suportada numa órbita periódica. Depois de resultados preliminares [CLT01, QS12], a conjectura recentemente foi provada por G. Contreras em [Con14].
No contexto compacto, como já foi visto no capítulo anterior, a existência de medidas maxi-mizantes é imediata. Sendo assim, o que se desenvolveu na área até então foram ferramentas para o estudo do suporte desta medidas e propriedades do conjunto das medidas maximizantes. Cabe destacar funções chamadas sub-ações, usadas para estudar o suporte de medidas maximizantes (ver [CLT01]). No contexto não compacto a existência de tais objetos mostrou-se ser equivalente a existência de medidas maximizantes [JMU06]. Além disso, o fato de existir uma sub-ação limitada implica que o suporte da medida maximizante, caso exista, está contido num subshift compacto (ver [RG10]).
Neste capítulo provaremos um resultado fundamental para o resto da tese, a existência de uma sub-ação calibrada limitada para o caso de um shift enumerável. Esta sub-ação calibrada é construída como ponto limite da sequência (1
βlog hβ). Como corolário deste resultado obtemos uma
nova prova para a existência de medidas maximizantes para o caso não compacto e BIP. Para shifts sem a propriedade BIP a única prova existente na atualidade é feita via aproximação por órbitas periódicas no caso de potencias de variação somável e coercivos [RJ14]. Nesse contexto de shifts transitivos sem a propriedade BIP, ainda não se sabe se existem sub-ações ou não mesmo na presença de medidas maximizantes. O resto do capítulo esta dedicado a estender para o caso de shifts enumeráveis as principais propriedades do Potencial de Mañé e da Barreira de Peierls. Estes objetos estão relacionados com o conjunto de Aubry. O conjunto de Aubry, como veremos a seguir, é o conjunto maximizante:
De nição 15. Dizemos que Ω ⊆ ΣA(N) é um conjunto maximizante para f quando:
µ ∈ Mσ(ΣA(N)) é f -maximizante se, e somente se, supp(µ) ⊆ Ω.
De fato, já existe uma construção do conjunto de Aubry para potencias localmente Hölder em shifts nitamente primitivos feita em [RG10]. No entanto, a construção neste artigo é feita via aproximação por compactos. Aqui apresentamos uma abordagem alternativa onde todos os objetos, sub-ações, Potencial de Mañé e a Barreira de Peierls estão de nidas em todo o shift.
Antes de abordarmos provas da existência de medidas maximizantes, o seguinte exemplo mostra que Mmax(f )poder ser vazio no caso de um shift enumerável [JMU07] e potencial limitado. Esse
exemplo em particular ilustra a importânça da coercividade do potencial se quisermos garantir a existência de maximizantes.
Exemplo 2. Seja ΣA(N) = NN. De na f : ΣA(N) → R constante sobre 2-cilindros por: f [m, n] = − 1 n(n+1), se m = n + 1 −1, se m 6= n + 1 Seja µn:= n1 n−1 P j=0
δσj(x(n)) a medida invariante suportada na órbita periódica gerada por
x(n)= (n, n − 1, . . . , 1). Z ΣA(N) f dµn= 1 n n−1 X j=0 f (σj(x(n))) = −1 n n−2 X j=0 1 (n − j − 1)(n − j) − 1 n = −1 n n−2 X j=0 1 n − j − 1− 1 n − j − 1 n = 1 − 2n n2 . m(f ) = sup ν∈Mσ Z ΣA(N) f dν ≥ sup n≥1 Z ΣA(N) f dµn= 0.
Como f < 0 então RΣA(N)f dν < 0 para toda ν ∈ Mσ(ΣA(N)), implicando que f não tem medida
maximizante.
3.1 Existência de maximizantes e sub-ações
No caso de um shift compacto e uma função f contínua a existência das medidas maximizantes é uma consequência imediata da compacidade de Mσ na topologia fraca*. No entanto, no caso não
compacto ainda a existência de dita medida é um problema não trivial.
Nesta seção listaremos alguns trabalhos da área que garantem a existência de medidas maxi-mizantes no caso de um shift enumerável. Destacamos também que nesta tese conseguimos (veja Teorema15) garantir, de forma independente, que Mmax(f ) 6= ∅no caso de potenciais de variação
somável e pressão nita de nidos em shifts nitamente primitivos. Nossa prova é consequência de termos construído uma sub-ação calibrada limitada.
O Jenkinson, R.D Mauldin e M. Urba«ski mostraram em [JMU06] que para um potencial f com variação somável, de nidos sobre um shift nitamente primitivo, existe uma medida maximizante. A prova segue os seguintes passos:
De nição 16. Para uma função contínua T : ΣA(N) → ΣA(N), uma função da forma φ − φ ◦ T ,
onde φ ∈ Cb(ΣA(N), é chamada função cobordo. Duas funções f, g são chamadas cohomólogas se a
diferença entre elas é dada por uma função cobordo. Denotamos por f ∼ g.
Note que se f e g são cohomólogas então para qualquer medida invariante µ temos que R f dµ = R gdµ.
De nição 17. Uma função contínua ˜f ∼ f é chamada uma forma normal para f se ˜
3.1 EXISTÊNCIA DE MAXIMIZANTES E SUB-AÇÕES 25
Teorema 11 (O Jenkinson, R.D Mauldin e M. Urba«ski, [JMU06]). Suponha T : X → X uma função contínua no espaço topológico X. Assuma que a função contínua f : X → R tem uma forma normal ˜f. Então
Mmax(f ) = {ν ∈ Mσ : supp(ν) ⊂ ˜f−1(sup ˜f )} 6= ∅.
Teorema 12 (O Jenkinson, R.D Mauldin e M. Urba«ski, [JMU06]). Seja (ΣA(N), σ) nitamente
primitivo. Seja f como variação somável, satisfazendo Pi∈Nesup f |[i] < ∞. Então f tem uma forma
normal.
Ainda no contexto BIP R. Bissacot e E. Garibaldi provaram em [RG10] que, para um potencial f localmente Hölder contínuo sobre um shift nitamente primitivo existe uma medida maximizante quando f é coercivo, além disso, mostraram que o suporte de dita medida está contido em um subshift nito. No mesmo artigo introduziram pela primeira vez o conjunto de Aubry no contexto de shifts não compactos. Mais recentemente, R. Bissacot e R. Freire em [RJ14] provaram que para um potencial f com variação somável e coercivo de nido sobre um shift topologicamente transitivo (o qual é equivalente a dizer que A é irredutível) existe uma medida maximizante suportada em um subshift nito. Mais precisamente:
De nição 18. Dizemos que A é irredutível se, para quaisquer i, j ∈ N permitidos, existe uma palavra w = (w1, . . . , wk) tal que iwj é uma palavra permitida, ou seja, A(i, w1) = 1, A(wi, wi+1) = 1 para
i = 1, . . . , k e A(wk, j) = 1.
Teorema 13 (R. Bissacot e R. Freire, [RJ14]). Sejam ΣA(N) um shift irredutível e f : ΣA(N) → R
uma função com variação somável e coerciva. Então existe um subconjunto nito A ⊂ N tais que A|A×A é irredutível e sup m∈Mσ(ΣA(N)) Z f dm = sup m∈Mσ(ΣA(A)) Z f dm. (3.1) Além do mais
supp(µmax) ⊂ ΣA(A).
Medidas maximizantes admitem objetos duais, conhecidos como sub-ações. Uma sub-ação, como veremos abaixo, fornece informação importante sobre o suporte das medidas de probabilidades maximizantes.
Existem varias formas de construir sub-ações, neste trabalho mostraremos, por exemplo, que qualquer ponto de acumulação de (1
βlog hβ)na topologia de convergência em compactos, é uma
sub-ação calibrada quando o potencial f for de varisub-ação somável, pressão nita e o shift for nitamente primitivo. Construída dita sub-ação nós provamos que existe uma medida f-maximizante para o caso de um shift enumerável, esta é uma nova prova para existência de medidas maximizantes, veja [RG10, RJ14, JMU07, JMU06, JMU05] onde aparecem outras provas conhecidas para o caso de um shift enumerável. É sabido também que para um potencial contínuo genérico (com respeito à topologia uniforme) sobre um shift nito, não há sub-ação contínua associada (veja [Mor07]). Para o leitor que deseje conhecer um pouco mais sobre sub-ações e como elas surgiram na Dinâmica Simbólica, aconselhamos ler a seção 1.4 de [Gar06].
De nição 19 (Sub-ação). Suponha f : ΣA(N) → R é contínua e limitada superiormente. Uma
sub-ação (para o potencial f) é uma função V ∈ C0(Σ
A(N)) que satisfaz
V (x) + f (x) − m(f ) ≤ V (σ(x)), ∀x ∈ ΣA(N). (3.2)
De nição 20. Uma função contínua V : ΣA(N) → R chama-se sub-ação calibrada para o potencial
f se satisfaz (3.2) e se para qualquer x ∈ ΣA(N) existe y ∈ ΣA(N) tal que σ(y) = x e
Uma das características mais importantes das sub-ações consiste na localização dos suportes das probabilidades maximizantes. Isto é, seja V : ΣA(N) → R uma sub-ação limitada, provaremos
que
Mmax(f ) = {µ ∈ Mσ(ΣA(N)) : supp(µ) ⊂ (f + V − V ◦ σ)−1(m(f ))}. (3.4)
Com efeito, de na g := f + V − V ◦ σ − m(f) e observe que g ≤ 0 e
Z
gdµ = 0 ∀µ ∈ Mmax(f ).
Assim, quando µ é uma medida f-maximizante, g ≡ 0 µ q.t.p, isto é supp(µ) ⊂ g−1(0) = (f + V − V ◦ σ)−1(m(f )).
Reciprocamente, cada medida µ σ-invariante tal que supp(µ) ⊂ (f + V − V ◦ σ)−1(m(f )) é uma
medida f-maximizante.
O seguinte operador foi introduzido por Bousch [Bou01] para estudar medidas maximizantes no caso de um shift compacto, posteriormente adaptado para shifts enumeráveis por O. Jenkinson, R. D. Mauldin e M. Urba«ski e utilizado na construção de uma sub-ação calibrada:
De nição 21 (Operador de Lax-Oleinik). Seja σ : ΣA(N) → ΣA(N) sobrejetora, e f : ΣA(N) → R
qualquer função. Se ϕ : ΣA(N) → R então para cada x ∈ ΣA(N), de ne Mfϕ(x) ∈ (−∞, ∞] por
Mfϕ(x) := sup y∈σ−1x
(f + ϕ)(y). (3.5)
Em [RG10] R. Bissacot e E. Garibaldi constroem uma sub-ação (não calibrada) limitada. Em ambos casos a existência de uma sub-ação foi fundamental para provar a existência de medidas maximizantes no caso de um shift enumerável. Na proposição 6(f) e o Teorema 14 apresentamos
novas construções de sub-ações calibradas para o caso de um shift enumerável.
O seguinte exemplo construído por O. Jenkinson, R. D. Mauldin e M. Urba«ski mostra que Mf,φ poder ser descontínuo mesmo quando f e φ contínuos.
Exemplo 3. Seja T o mapa contínuo linear por partes T : [0, 1] → [0, 1] determinado pelos pontos T (0) = 0, T (1/4) = 1/4, T (3/4) = 1/4, T (1) = 1. M0,φ(x) = max T y=xφ(y). M0,φ(0) = 0, M0,φ(1/4) = 1, M0,φ(1/2) = 1, M0,φ(1) = 1. 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 T x y
3.1 EXISTÊNCIA DE MAXIMIZANTES E SUB-AÇÕES 27 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 φ x y 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 M0,φ
O objetivo principal deste capítulo é provar que qualquer ponto limite da sequência (1
βlog hβ)
é uma sub-ação calibrada limitada com variação somável. Para atingir dito objetivo precisamos de alguns lemas técnicos:
Lema 8. A sequência ϕβ = β1log hβ é equicontínua e uniformemente limitada.
Demonstração. Sejam > 0 e x, y ∈ ΣA(N) tais que d(x, y) ≤ rm, m ≥ 1. Então usando um
argumento similar à prova da Proposição 1a rmamos que para todo n ≥ 1
hβ(x)
hβ(y)
≤ eβ(Varn+m(f )+···+Varm+1(f )), (3.6)
Observe que provar (3.6) é equivalente a provar a seguinte desigualdade (veja equação (2.7))
eβSnf (px)−βSnf (py)− eβ(Varn+m(f )+···+Varm+1(f ))≤ 0.
e esta última desigualdade é verdadeira pois
Snf (px) − Snf (py) = [f (p0. . . pn−1x) − f (p0. . . pn−1y)] + · · · + [f (pn−1x) − f (pn−1y)]
≤ Varn+m(f ) + · · · + Varm+1(f )).
Portanto, da equação (3.6) segue que: 1
β log hβ(x) − 1
βlog hβ(y) ≤ Varn+m(f ) + · · · + Varm+1(f ). Assim
ϕβ é uniformemente limitada, pois usando a Proposição 3 sabemos que para todo x ∈ ΣA(N),
eβC1 ≤ h
β(x) ≤ eβC2.
Observação 3. Como ΣA(N) é um espaço separável, existe X ⊂ ΣA(N) subconjunto denso e
enu-merável. Digamos X = {x1, x2, . . .}. A sequência (Vβn(x1))n∈N é equicontínua e uniformemente
limitada, assim usando a Proposição 15, possui uma subsequência convergente. Desta forma
obte-mos um subconjunto in nito N1 ⊂ N tal que o limite lim n∈N1
Vβn(x1) = a1 existe. Também a sequência
(Vβn(x2))n∈N1 é eqüicontínua e uniformemente limitada, assim podemos achar um conjunto in nito
N2 ⊂ N1 tal que o limite lim n∈N2
Vβn(x2) = a2 existe. Prosseguindo analogamente, conseguimos, para
cada i ∈ N, um subconjunto in nito Ni ⊂ N, tal que N1 ⊃ N2 ⊃ · · · ⊃ Ni ⊃ · · · e para cada i,
existe o limite lim
n∈Ni
Vβn(xi) = ai. De nimos então um subconjunto in nito N
∗ ⊂ N tomando como
i-ésimo elemento de N∗ o i-ésimo elemento de N
i. Desta maneira, para cada i ∈ N a sequência
(Vβn(xi))n∈N∗ é a partir do seu i-ésimo elemento, uma subsequência de (Vβn(xi))n∈Ni e, portanto,
converge. Isto prova que a subsequência (Vβn)n∈N∗ converge em cada ponto xi ∈ X.
Usando a observação acima e a Proposição 15 concluímos que existe uma subsequência (Vβn)
que converge uniformemente em qualquer subconjunto compacto K de ΣA(N).
Lema 9. Seja V : ΣA(N) → R de nida por V (x) := lim βi→∞
1
βilog hβi(x). Então V tem variação
somável.
Demonstração. Sejam x, y ∈ ΣA(N) com d(x, y) ≤ rm, m ≥ 1 a rmamos que para todo n ≥ 1
temos
hβi(x) ≤ hβi(y)e
βi(Varn+m(f )+···+Varm+1(f )). (3.7)
Observe que provar (3.7) é equivalente a provar a seguinte desigualdade (veja equação (2.7)) eβiSnf (px)−βiSnf (py)− eβi(Varn+m(f )+···+Varm+1(f )) ≤ 0.
e esta última desigualdade é verdadeira pois
Snf (px) − Snf (py) = [f (p0. . . pn−1x) − f (p0. . . pn−1y)] + · · · + [f (pn−1x) − f (pn−1y)]
≤ Varn+m(f ) + · · · + Varm+1(f )).
Deste modo, da equação (3.7)temos que: 1
βi
(log hβi(x) − log hβi(y)) ≤ Varn+m(f ) + · · · + Varm+1(f ),
fazendo βi → ∞ obtemos que
V (x) − V (y) ≤ Varn+m(f ) + · · · + Varm+1(f ),
assim
Varm(V ) ≤ Varn+m(f ) + · · · + Varm+1(f )
portanto Var(V ) = ∞ X m=1 Varm(V ) ≤ ∞ X m=1 (Varn+m(f ) + · · · + Varm+1(f )) < ∞.
Assim concluímos que V tem variação somável.
