diag(λ 1,...,λ 1 ) diag(λ 2,...,λ 2 ) diag(λ k,...,λ k ) Ú µ p A (x) = (λ 1 x) n 1

a forma anóni a de jordan

Fernando Pestanada Costa

Departamento de Ciên iase Te nologia

Universidade Aberta

Lisboa,Portugal

(f ostauab.pt)

23de abril de 2012

Resumo

Estasnotasforamelaboradasparaapoioàle ionaçãodaforma anóni adeJordan

na unidade urri ular21003-Álgebra LinearII, doprimeiro ano da Li en iatura em

Matemáti aeApli açõesdaUniversidadeAberta.

A sua utilização pressupõe que os estudantes tenham tido onta to prévio om

os on eitos de Álgebra Linear usualmente ensinados num primeiro urso semestral

introdutório,in luindoasnoçõesde valorede vetorpróprioeoproblemada

diago-nalizaçãodeapli açõeslinearesedematrizes. NaUniversidadeAbertaestesassuntos

sãoabordadostendoporbaseostextos[2℄e[3,Capítulo1℄. Comestespressupostos,

aspresentes notas são essen ialmente auto- ontidas, sendo a ex eçãoo Teorema de

Sylvester(Lema20), ujademonstraçãoéremetidaparaareferên ia[7℄.

Diversosexemplosajudamamotivarosresultadoseilustramasuaapli ação.

Conteúdo

1 Dois exemplos de motivação 1

2 Denições e os resultados fundamentais 7

3 Uma apli ação do teorema da de omposição de Jordan 10

4 Demonstração do Teorema 8 14

5 Demonstração do teorema da de omposição de Jordan 18

6 Mais dois exemplos 27

1 Dois exemplos de motivação

Saber quando é que uma dada matriz

A

é, ou não, diagonalizável, é um problema que  a ompletamente resolvidopeloseguinteTeorema, ujoestudoéfeitoemqualquer urso

introdutório de Álgebra Linear ( f., e.g., [2 , 3 , 4, 6, 8℄). Este resultado também

es la-re e omo onstruir uma matriz diagonalizante de

A

. A proposição é, para além da sua importân iateóri a, defá il apli ação práti ae,porisso, extremamente útil.

Teorema 1. [3, Teorema 1.42℄. Seja

A ∈ M

n×n

(K)

.

(a) Se

A

tem exatamente

n

valores próprios distintos

λ

1

, . . . , λ

n

∈ K

, então

A

é semelhante à matriz

diag(λ

1

, . . . , λ

n

) ∈ M

n×n

(K)

.

(b) Se

A

tem

k ≥ 1

valores próprios distintos

λ

1

, . . . , λ

k

∈ K

,então são equivalentes as armações seguintes:

(i)

A

é diagonalizável.

(ii)

n = ma(λ

1

) + · · · + ma(λ

k

)

e

ma(λ

i

) = mg(λ

i

)

para todo

1 ≤ i ≤ k

. (iii)

n = mg(λ

1

) + · · · + mg(λ

k

)

. (iv)

E = E

λ

1

⊕ · · · ⊕ E

λ

_k

. (v)

A

semelhante











diag(λ

1

,..., λ

1

)

0

· · ·

0

0

diag(λ

2

,..., λ

2

) · · ·

0

. . . . . . . . .

0

0

· · ·

diag(λ

k

,..., λ

k

)











. (vi)

p

A

(x) = (λ

1

− x)

n

1

_(λ

2

− x)

n

2

· · · (λ

k

− x)

n

k

, onde

n

1

+ n

2

+ · · · + n

k

= n

e

n

i

= ma(λ

i

) = mg(λ

i

)

para

1 ≤ i ≤ k

.

Alémdisso,emqualquerdos asos(a)ou(b),amatriz

P

ujas olunassãopre isamente osvetorespróprios dasbasesde

M

λ

i

é umamatrizdiagonalizantede

A

,i.e.

P

−

1

AP

é diagonal.

É laro que nem todas as matrizes são diagonalizáveis. Nestas breves notas iremos

estudaralgumasdas oisasquepodemserarmadasquandoestamosperante asosemque

a matriz não é diagonalizável. Esta é a situaçãogenéri a e o resultado a que hegaremos

in luirá o aso diagonalizável omo situaçãoparti ular.

É onveniente omeçarmos por analizar alguns exemplos parti ulares, os quais nos

sugerirão o aminho a explorar no asogeral.

Exemplo2. Come emospor onsiderarumendomorsmo

f : R

3

_{→ R}

3

queérepresentado,

emrelaçãoa uma erta base

B

de

R

3

,pelamatriz

A = M(f ; B, B) =





2 −1

1

0

3

−1

2

1

3



 ∈ M

3×3

(R).

Como

p

A

(x) =













2 − x

−1

1

0

3 − x

−1

2

1

3 − x













L

1

=

+L

2













2 − x 2 − x

0

0

3 − x

−1

2

1

3 − x













= (2 − x)













1

1

0

0 3 − x

−1

2

1

3 − x













L

3

−

=

2L

1

(2 − x)













1

1

0

0 3 − x

−1

0

−1

3 − x













= (2 − x)(−1)

1+1









3 − x

₋₁

3 − x

−1







 = (2 − x)[(3 − x)

2

− 1]

= (2 − x)

2

(4 − x),

então

2, 4

sãoosvaloresprópriosde

f

(ede

A

). Além disso,

ma(2) = 2

e

ma(4) = 1,

e omotemos

mg(2) = 3 − rank (A − 2I

3

) = 3 − rank





0 −1

1

0

1

−1

2

1

1



 = 3 − 2 = 1,

on luímosque, neste exemplo,

mg(2) = 1 < 2 = ma(2)

e,aapli açãodo ritério(b)-(ii),ou(b)-(iii),doTeorema1,amatriz

A

nãoédiagonalizável. Não sendo

A

diagonalizável, ou seja, não existindo nenhuma matriz invertível

P

tal que

P

−

1

AP

seja uma matriz diagonal, ontinua a ser bastante importante saber se não haveráumamatrizinvertível

P

paraaqualestatransformaçãodesemelhançaresultenuma matriz bastante mais simplesdo que

A

e queatue sobre asmatrizes de

M

n×1

(R)

de um modomaistransparenteefá ildeentender. Nofundo,éesteoobjetivodadiagonalização:

simpli ar, quer on eptualmente, quer em termos de ál ulo, o efeito da ação de uma

apli açãolinearnumdeterminadoespaçovetorial, e,nãosendopossíveldiagonalizar,seria

interessante termosumpro esso sistemáti oquefosse, paraestesns,quase tãoe iente.

Não é laro, à partida, se algo poderá ser feito neste sentido, e, se sim, o quê, mas a

onsideração do Exemplo 3 seguinte irá forne er pistas importantes que apli aremos ao

asoda presente matrizno Exemplo 4.

Consideremos agoraumoutroexemplo.

Exemplo 3. Seja

B ∈ M

6×6

(K)

a matriz

B =

















λ

1

1

0

0

0

0

0

λ

1

1

0

0

0

0

0

λ

1

0

0

0

0

0

0

λ

2

1

0

0

0

0

0

λ

2

0

0

0

0

0

0

λ

3

















,

onde os

λ

j

∈ K

são es alaresarbitrários que, neste exemplo, suporemos serem diferentes entre si. Sendo

B

uma matriz triangular, os seus valores próprios são os elementos da diagonal prin ipal,ouseja,

λ

1

,

om

ma(λ

1

) = 3

,

λ

2

, om

ma(λ

2

) = 2,

e

λ

3

,

om

ma(λ

3

) =

1.

Éfá il on luirqueossubespaçosprópriosde

B

são

E

λ

1

= he

1

i

,

E

λ

2

= he

4

i

e

E

λ

3

= he

6

i

, Conrme! onde

e

1

, e

2

, . . . , e

6

éabase anóni ade

K

6

. Portanto,

E

λ

1

⊕E

λ

2

⊕E

λ

3

= he

1

, e

4

, e

6

i 6= K

6

e aTeorema 1(b)-(iv)permite on luir que

B

nãoé diagonalizável.

Observe-se que, se bem que a matriz

B

não seja diagonalizável, ela é, ainda assim, bastante próxima de serdiagonal, ouseja:

• B

éuma matrizdiagonal por blo os,

B = diag(B

1

, B

2

, B

3

)

,onde osblo osao longo da diagonal prin ipal são matrizesquadradas

B

1

∈ M

3×3

(K), B

2

∈ M

2×2

(K), B

3

∈

M

1×1

(K)

,

•

ada blo o

B

j

éumamatriz triangular superior om umaestruturaparti ularmente simples: os elementos na diagonal prin ipal são iguais ao valor próprio

λ

j

e, se a dimensãodoblo oforsuperiora

1

,todososelementosnadiagonala imadadiagonal prin ipal sãoiguaisa

1

,sendotodososrestanteselementos iguaisa zero.

Portanto, de erto modo, se bem que

B

não seja diagonalizável, a sua estrutura é quase tãosimples omo ade umamatriz diagonal. Por exemplo,a ação de

B

sobre osrestantes vetoresdabase anóni ade

K

6

quenãoosvetoresprópriosde

B, e

2

, e

3

, e

5

,énotavelmente simples:

Be

2

= λ

1

e

2

+ e

1

ouseja

(B − λ

1

I

6

)e

2

= e

1

Be

3

= λ

1

e

3

+ e

2

ouseja

(B − λ

1

I

6

)e

3

= e

2

Be

5

= λ

2

e

5

+ e

4

ouseja

(B − λ

2

I

6

)e

5

= e

4

,

ao passo queasua açãosobreosvetorespróprios é

Conrme!

Be

1

= λ

1

e

1

ouseja

(B − λ

1

I

6

)e

1

= 0

Be

4

= λ

2

e

4

ouseja

(B − λ

2

I

6

)e

4

= 0

Be

6

= λ

3

e

6

ouseja

(B − λ

3

I

6

)e

6

= 0.

Asigualdades anteriores permitem on luir que

e

2

∈ N (B − λ

1

I

6

)

2

porque

(B − λ

1

I

6

)

2

_e

2

=

(B − λ

1

I

6

)(B − λ

1

I

6

)e

2

=

(B − λ

1

I

6

)e

1

= 0

e

3

∈ N (B − λ

1

I

6

)

3

porque

(B − λ

1

I

6

)

3

_e

3

=

(B − λ

1

I

6

)

2

(B − λ

1

I

6

)e

3

=

(B − λ

1

I

6

)

2

e

2

= 0

e

5

∈ N (B − λ

2

I

6

)

2

porque

(B − λ

2

I

6

)

2

_e

5

=

(B − λ

2

I

6

)(B − λ

2

I

6

)e

5

=

(B − λ

2

I

6

)e

4

= 0.

Observe que estas igualdades permitem on luir que, se bem que o espaço

K

6

não seja

a soma direta dos subespaços próprios da matriz

B

, ou seja

E

λ

1

⊕E

λ

2

⊕E

λ

3

= N (B −

λ

1

I

6

)⊕ N (B − λ

2

I

6

)⊕ N (B − λ

3

I

6

) = he

1

, e

4

, e

6

i 6= K

6

, veri a-se que se pode es rever

N (B −λ

1

I

6

)+N (B −λ

1

I

6

)

2

+N (B −λ

1

I

6

)

3

+N (B −λ

2

I

6

)+N (B −λ

2

I

6

)

2

+N (B −λ

3

I

6

) =

he

1

, e

2

, e

3

, e

4

, e

5

, e

6

i = K

6

.

Melhor ainda, omo

v ∈ N (B − λI)

k

⇒ (B − λI)

k+1

v = (B − λI)(B − λI)

k

v = (B − λI)0 = 0

⇒ v ∈ N (B − λI)

k+1

,

ou seja,

N (B − λI)

k

_{⊂ N (B − λI)}

k+1

_,

podemos,apartir dos ál ulos anteriores, on luir

que

K

6

= N (B − λ

1

I

6

)

3

⊕ N (B − λ

2

I

6

)

2

⊕ N (B − λ

3

I

6

).

Ouseja,mesmo nãosendooespaço vetorial

K

6

_,

ondeatua a matriz

B,

obtido omo soma direta dos subespaços próprios de

B

( aso fosse,

B

seria diagonalizável, o que sabemos não ser o aso), ele pode ser obtido omo soma direta de subespaços que são nú leos de

matrizesobtidas por poten iaçãodaquelas utilizadasparadenir ossubespaçospróprios 1

.

Estessubespaçossão hamadossubespaçospróprios generalizados,eoselementosnão-nulos

destessubespaçossão hamados vetores próprios generalizados.

Con luindo: esteexemplo exibe umasituaçãoemque a matriznão é diagonalizável e,

portanto, não existe nenhuma base de

K

6

na qual

B

possa ser es rita omo uma matriz diagonal,mas existeumabasede

K

6

, onstituida porvetoresprópriosgeneralizados(que,

neste aso, são vetores da base anóni a de

K

6

), em relação à qual a apli ação linear é

representadapelamatriz

B

omaestrutura simplesapresentada. 1

Note que as potên ias em ausa são exatamente as multipli idades algébri as dos orrespondentes

matrizde

M

n×n

(K)

não-diagonalizável, tambémo orreráasituaçãoeviden iadano Exem-plo 3. Ou seja, será que, om base em subespaços al uláveis a partir da matriz dada, é

possível es olher uma base adequada de

K

n

, na qual a matriz possa ser expressa numa

forma quasediagonal. Tentemosapli ar à matrizdo Exemplo 2 aestratégia de es olher

umabaseutilizando ossubespaçospróprios generalizados.

Exemplo 4. Consideremos novamente amatriz doExemplo 2

A =





2 −1

1

0

3

−1

2

1

3





e al ulemos ossubespaçospróprios, asso iados aosseusvalorespróprios:

•

Oespaçopróprio asso iadoao valorpróprio

λ

1

= 4

éo nú leo de

A − 4I

3

,ouseja, é onstituido pelos elementos

v = [v

1

v

2

v

3

]

T

_{∈ M}

3×1

(R)

quesatisfazem

(A − 4I

3

)v =

0

. Como





−2 −1

1

0

−1 −1

2

1

−1



 −→

−

_L

2

L

3

+L

1





−2 −1 1

0

1

1

0

0

0



 −→

L

1

+L

2





−2 0 2

0

1 1

0

0 0



 −→

−

1/2L

1





1 0 −1

0 1

1

0 0

0



 ,

podemos on luirque

(A − 4I

3

)v = 0 ⇔



v

1

− v

3

= 0

v

2

+ v

3

= 0

⇔



v

3

= v

1

v

2

= −v

3

⇔ v = v

1

[1 − 1 1]

T

_,

qualquer que seja

v

1

∈ R.

Con lui-se daqui que

N (A − 4I

3

) = h[1 − 1 1]

T

_i,

e

dim N (A − 4I

3

) = 1

•

O espaço próprio asso iado ao valor próprio

λ

2

= 2

é o nú leo de

A − 2I

3

, ou seja, são as matrizes

u = [u

1

u

2

u

3

]

T

_{∈ M}

3×1

(R)

que satisfazem

(A − 2I

3

)u = 0

. Analogamente ao aso anterior, omo





0 −1

1

0

1

−1

2

1

1



 −→

L

3

↔

L

1





2

1

1

0

1

−1

0 −1

1



 −→

L

3

+L

2

L

1

−

L

1





2 0

2

0 1 −1

0 0

0



 −→

1/2L

1





1 0

1

0 1 −1

0 0

0



 ,

podemos on luirque

(A − 2I

3

)u = 0 ⇔



u

1

+ u

3

= 0

u

2

+ u

3

= 0

⇔



u

3

= −u

1

u

2

= u

3

⇔ u = u

1

[1 − 1 − 1]

T

_,

qualquer que seja

u

1

∈ R.

Con lui-se daqui que

N (A − 2I

3

) = h[1 − 1 − 1]

T

_i,

e

dim N (A − 2I

3

) = 1

Como vimos anteriormente, tem-se

ma(2) = 2

( f. pág. 2 ). Seguindo o pro esso que explorámos no Exemplo 3, al ulemos

N (A − 2I

3

)

2

. Um elemento

w = [w

1

w

2

w

3

]

T

_∈

M

3×1

(R)

está em

N (A − 2I

3

)

2

seesóse

(A − 2I

3

)

2

_{w = 0}

. Como

(A − 2I

3

)

2

=





2

0

2

−2 0 −2

2

0

2



 −→

L

2

+L

1

L

3

−

L

1





2 0 2

0 0 0

0 0 0



 −→

1/2L

1





1 0 1

0 0 0

0 0 0



 ,

(A − 2I

3

)

2

w = 0 ⇔ w

1

+ w

3

= 0 ⇔ w = [w

1

w

2

− w

1

]

T

,

para quaisquer

w

1

, w

2

∈ R.

Portanto,

N (A − 2I

3

)

2

₌



_[w

1

w

2

− w

1

]

T

: w

1

, w

2

∈ R

e on luimos que

dim N (A − 2I

3

)

2

_{= 2.}

Observamos sem di uldade (basta tomar a ima

w

1

= 1, w

2

= −1

)que

N (A − 2I

3

) = h[1 − 1 − 1]

T

i ⊂ N (A − 2I

3

)

2

.

Assim, tomemos para base de

N (A − 2I

3

)

2

o onjunto onstituido pelo vetor próprio

[1 − 1 − 1]

T

e por um vetor próprio generalizado

w = [w

1

w

2

− w

1

]

T

que satisfaça

(A − 2I

3

)w = [1 − 1 − 1]

T

. Os vetoresquesatisfazem esta ondição sãoosseguintes





0 −1

1

0

1

−1

2

1

1









w

1

w

2

w

3



 =





1

−1

−1



 ⇔



w

2

− w

3

= −1

2w

1

+ w

2

+ w

3

= −1

⇔ w = [w

1

w

1

− 1 − w

1

]

T

_,

onde

w

1

é um real arbitrário. Se es olhermos

w

1

= 0

temos o vetor próprio generali-zado

[0 − 1 0]

T

_.

Construamos agorauma matriz

P

ujas olunas são osvetores próprios e o vetor próprio generalizado usando primeiro o orrespondente a

λ

1

= 4

e depois os orrespondentes a

λ

2

= 2

,ouseja,

P =





1

1

0

−1 −1 −1

1

−1

0



 .

Con lui-se semdi uldade queainversa desta matrizé

P

−

₁

=





1

2

0

1

2

1

2

0

−

1

2

−1 −1

0



 .

Portanto,

A

é semelhante àmatriz

J

denidapor

J = P

−

1

AP =





1

2

0

1

2

1

2

0

−

1

2

−1 −1

0









2 −1

1

0

3

−1

2

1

3









1

1

0

−1 −1 −1

1

−1

0



 =





4 0 0

0 2 1

0 0 2



 ,

ou seja, se onsiderarmos a base de

R

3

onstituida pelas olunas de

P

a apli ação linear queerarepresentadapela matriz

A

passaa serrepresentada pela matriz

J

.

Antes de terminar o nossotrabalho sobre a matriz

A

, onvémobservar que, tal omo no asodasmatrizes diagonalizáveis, emque existem, emgeral, várias matrizes diagonais

semelhantes à matriz dada, diferindo entre si apenas na ordem pela qual são es ritos os

elementosdadiagonalprin ipal,tambémno asodasmatrizesnãodiagonalizáveisaordem

dosblo osao longoda diagonal prin ipal vem alteradasetomarmos osvetorespróprios e

osvetoresprópriosgeneralizados por ordemdistinta. Veriqueestaarmação para o aso

dopresenteexemplorefazendoos ál ulosa ima,agorausando, para onstruiramatriz

P

, primeiro osvetores própriose vetorespróprios generalizadosasso iados a

λ

2

= 2

e depois ovetorpróprio asso iadoa

λ

1

= 4

.

Exer í io 5. Considere a matriz

A =



i

1

1 −i



∈ M

2×2

(C).

Verique que

A

não é

diago-nalizável. ApliqueoargumentoutilizadonoExemplo4paraprovarque

P

−

1

AP =



0 1

0 0



,

identi ando a matriz

P

.

dada uma matriz não diagonalizável, poderáser possível, por uma es olha uidadosa dos

vetoresprópriosgeneralizados,obterumabasedoespaçoemrelaçãoàqualatransformação

linear seja representada por uma matriz por blo os parti ularmente simples, do tipo da

matriz

B

do Exemplo 3 . Estas matrizes por blo os designam-se por matrizes de Jordan ou formas anóni as de Jordan

2

, e a demonstração de que qualquer matriz quadrada

A

é semelhante a uma erta matriz de Jordan

J

, bem omo o es lare imento do modo de onstruir a matriz

P

dasemelhança,

P

−

1

AP = J

,seráo objetivo da restanteparte deste apítulo.

2 Denições e os resultados fundamentais

A partir desta altura trabalharemos ex lusivamente om o orpo de es alares omplexos

K

= C

etodososespaçosvetoriais que onsideraremos serão sobre

C.

Iremos também identi ar sempre a matriz

x = [x

1

x

2

· · · x

n

]

T

_{∈ M}

n×1

(C)

om o vetor

x = (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) ∈ C

n

.

Para xar ideias quanto ao problema que estamos a tentar resolver, ne essitamos de

introduzir alguns on eitos e notações, parte dos quais já foi informalmente referida nos

exemplosda se ção anterior.

Denição 6. Seja

A ∈ M

n×n

(C)

. Seja

λ ∈ C

umvalor próprio de

A

.

•

Diremosqueumvetornão-nulo

v ∈ C

n

éumvetorprópriogeneralizado damatriz

A

,asso iadoao valorpróprio

λ

,se

v ∈ N (A − λI

n

)

n

_,

ouseja

(A − λI

n

)

n

_{v = 0.}

•

Diremos que um vetor

v ∈ C

n

é um vetor próprio generalizado de ordem

k

da matriz

A

,asso iadoaovalorpróprio

λ

,se

(A−λI

n

)

k

_{v = 0}

mas

(A−λI

n

)

k−1

_{v 6= 0.}

•

Sendo

v

um vetor próprio generalizado de ordem

k

da matriz

A

, asso iado ao valor próprio

λ

, o onjunto de vetores

u

j

= (A − λI

n

)

k−j

_v,

om

j = 1, . . . , k

diz-seuma adeia de Jordande omprimento

k

.

Note-se queosvetorespróprios generalizadosde ordem

1

sãoosvetores próprios. Observação. Seja

v

um vetor próprio generalizado de ordem

k

asso iado a um valor próprio

λ

. Consideremos os vetores da adeia de Jordan

u

j

= (A − λI

n

)

k−j

_v,

om

j =

1, . . . , k.

Éimportante reparar nosseguintesfa tos simples:

(a) o vetor

u

k

da adeia de Jordan de omprimento

k

é umvetor próprio generalizado de ordem

k

,pois

u

k

= (A − λI

n

)

0

_{v = I}

n

v = v.

(b) o vetor

u

1

de qualquer adeia de Jordané umvetor próprio: de fa to, omo

v

é um vetor próprio generalizado de ordem

k

, tem-se

u

1

= (A − λI

n

)

k−1

_{v 6= 0}

e também

(A − λI

n

)u

1

= (A − λI

n

)

k

v = 0

. 2

Marie Ennemond Camille Jordan (18381922), matemáti o fran ês atualmente relembrado

fun-damentalmente pelo teorema da urva de Jordan (em Topologia) e pelas formas anóni as de

Jor-dan (em Álgebra Linear). É urioso observar que o Jordan do método de eliminação de

Gauss-Jordan [2 , pág. 106℄ refere-se a um outro matemáti o, o alemão Wilhelm Jordan (18421899).

Uma breve biograa de Camille Jordan (e de muitos outros matemáti os) pode ser onsultada em

( ) generalizando assituações anteriores: o vetor

u

j

de uma adeira de Jordan de om-primento

k

éumvetorprópriogeneralizadodeordem

j

: defa to, omo

v

éumvetor próprio generalizado de ordem

k

, tem-se

0 6= (A − λI

n

)

k−1

_{v = (A − λI}

n

)

j−1

(A −

λI

n

)

k−j

v = (A−λI

n

)

j−1

u

j

,e

(A−λI

n

)

j

_u

j

= (A−λI

n

)

j

(A−λI

n

)

k−j

v = (A−λI

n

)

k

v =

0

.

(d) osvetoresda adeiade Jordan satisfazemasigualdades seguintes

(A − λI

n

)u

1

= 0

(A − λI

n

)u

2

= u

1

. . .

(A − λI

n

)u

k

= u

k−1

,

ou,esquemati amente,

u

k

−−−−→

A−λI

n

u

k−1

−−−−→

A−λI

n

· · · −−−−→

A−λI

n

u

2

−−−−→

A−λI

n

u

1

−−−−→

A−λI

n

0.

(e) As igualdades do ponto anterior, rela ionando entre si os diversos vetores de uma

adeia de Jordan, podemser es ritas de um modo equivalentee maisabreviado do

seguintemodo: onstruindoamatrizde

M

n×k

(C)

ujas olunas sãoosvetores

u

j

da adeia deJordan, es ritospor ordem res entede

j

,tem-se,para

k > 1,

(A − λI

n

)[u

1

| . . . |u

k

] = [u

1

| . . . |u

k

]

k−1

X

j=1

e

j

e

T

j+1

,

(1)

onde

e

j

sãoosvetoresdabase anóni ade

C

n

_.

Maisexpli itamente,podemosobservar

que a matriz

P

k−1

j=1

e

j

e

T

j+1

é do seguinte tipo (o aso exempli ado pressupõe que

k > 5

)

k−1

X

j=1

e

j

e

T

j+1

=



















0 1 0 . . . 0

0 0 1 . . . 0

0 0 0 . . . 0

. . . . . . . . . . . . . . .

0 0 0 . . . 1

0 0 0 . . . 0



















.

Para simpli ar a es rita usaremos a seguinte notação: para

k > 2

es reveremos

J

k

=

P

k−1

j=1

e

j

e

T

j+1

.

(f) Se

v

for umvetorprópriogeneralizado deordem

n

(amesmaordem queadimensão do espaço

C

n

onde

A

atua), e se os vetores da orrespondente adeia de Jordan forem linearmente independentes, então a matriz

P = [u

1

| . . . |u

n

]

é invertível e a equação(1 ),

(A − λI

n

)P = P J

n

,

podeseres rita omo

P

−

1

(A − λI

n

)P = J

n

,

ouseja

P

−

1

AP − λP

−

1

I

n

P = J

n

⇔ P

−

1

AP = λI

n

+ J

n

. Observe que

λI

n

+ J

n

=



















λ 1 0 . . . 0 0

0 λ 1 . . . 0 0

0 0 λ . . . 0 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 0 0 . . . λ 1

0 0 0 . . . 0 λ



















.

tipo desempenharão umpapelimportanteno quesesegue, peloque onvéma ordar

na nomen latura enotação ausar.

Denição 7.

•

Umblo oelementardeJordan,ouuma élulaelementardeJordan é umamatriz

k × k

da forma

J

k

= [0]

,se

k = 1

,ou,se

k > 2,

J

k

=

k−1

X

j=1

e

j

e

T

j+1

=



















0 1 0 . . . 0 0

0 0 1 . . . 0 0

0 0 0 . . . 0 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

0 0 0 . . . 0 1

0 0 0 . . . 0 0



















.

•

Um blo o de Jordan , ou uma élula de Jordan é uma matriz

k × k

da forma

J

k

(λ) = λI

k

+ J

k

.

•

Umamatriz

J

hama-seumaforma anóni a deJordan seforumamatriz diago-nalpor blo os

J = diag(J

(1)

_{, J}

(2)

_{, . . . , J}

(p)

₎

onde asmatrizesquadradas

J

(j)

são

blo os deJordan.

O nossoprimeiro teorema fundamental éo seguinte:

Teorema 8. Seja

A ∈ M

n×n

(C)

e suponha que

A

tem exatamente

k

valores próprios distintos,

λ

1

, . . . , λ

k

∈ C

. Então:

C

n

=

k

M

j=1

N (A − λ

j

I

n

)

n

.

Esteresultadotemvárias onsequên iasimportantes,aprimeiradasquaiséquepermite

on luirquequalquermatrizquadrada

A,

omelementosem

C,

ésemelhanteaumamatriz diagonal por blo os

diag(A

(1)

_{, . . . A}

(k)

₎

,onde ada blo o

A

(j)

orresponde à açãode

A

no espaço

N (A − λ

j

I

n

)

n

(relembre [3,Teorema 1.29℄). Isto,sópor si,não seriaespe ialmente

relevante, uma vez que não nos forne e informações sobre a estrutura de ada um dos

blo os

A

(j)

_.

OquetornaoTeorema8importanteéofa tode,à ustadosvetorespróprios,

dosvetoresprópriosgeneralizados,edas adeiasdeJordande

A

,podermoses olherbases dosespaços

N (A − λ

j

I

n

)

n

taisque adablo o

A

(j)

sejaumaforma anóni a deJordan. É

exatamente isto que garanteo resultado seguinte, que, para osnossosobjetivos, onstitui

TeoremadaDe omposiçãodeJordan9. Seja

A ∈ M

n×n

(C)

esuponhaque

A

tem exatamente

k

valores próprios distintos,

λ

1

, . . . , λ

k

∈ C

, om multipli idadesalgébri as

α

j

= ma(λ

j

)

e multipli idades geométri as

mg(λ

j

) = γ

j

. Então, existe uma matriz invertível

P ∈ M

n×n

(C)

tal que

AP = P J,

onde

J = diag(J

(1)

_{, . . . , J}

(k)

₎

éumaforma anóni adeJordane adablo o

J

(j)

satisfaz

(a)

J

(j)

_{∈ M}

α

j

×

α

_j

(C)

temum úni o valor próprio

λ

j

om

ma(λ

j

) = α

j

; (b)

J

(j)

é uma matrizdiagonal por blo os, om o número deblo os igual a

γ

j

, sendo ada um desses blo os uma élula deJordan

J

q

(λ

j

);

( ) A dimensão da maior élula de Jordan

J

q

(λ

j

)

de

J

(j)

é igual a

q = ν

j

:=

min



ℓ ∈ N : dim N (A − λ

j

I

n

)

ℓ

= dim N (A − λ

j

I

n

)

ℓ+1

6

α

j

.

(d) Seja

n

p

o número de élulas de Jordan

J

p

(λ

j

)

om dimensão

p

, no blo o

J

(j)

. Então tem-se

dim N (A − λ

j

I

n

)

ℓ

− dim N (A − λ

j

I

n

)

ℓ−1

=

X

p>ℓ

n

p

,

ℓ = 2, . . . , α

j

;

(e) Sejam

r

1

, . . . , r

i

os índi es das olunas de

J

orrespondentes a uma das suas élulas deJordan

J

i

(λ

j

)

. Então,a oluna

p

r

1

de

P

é umvetor próprioasso iado aovalorpróprio

λ

j

e, se

i > 1,

as olunas

p

r

om

2 6 r 6 r

i

são vetores próprios generalizados que onstituem uma adeia de Jordan ontendo

p

r

1

,

es ritos pela ordem omquesurgemnessa adeia,quandoestaélidadadireitaparaaesquerda.

Os dois teoremas fundamentais que a abámos de enun iar têm grande importân ia

práti a mas as suas demonstrações sãoalgo elaboradas. Por isso, a demonstração destes

teoremas será feita om apre iável detalhe, através da identi ação prévia da linha geral

do argumento eda suade omposição numa sequên ia delemas maissimples. Isto resulta

numa exposição relativamente longa mas, espera-se, mais inteligível do que outras mais

brevesexistentesna literaturamatemáti a. Oque seapresenta nasduasse çõesseguintes

foifundamentalmente inspirado nasdemonstrações em[5, 7℄. Oleitor interessado poderá

onsultar também asdemonstraçõesexistentesemoutros textos defá il a esso, omo por

exemplo [4,6,8℄.

Antes mesmo de prosseguir om a demonstração destes resultados, é importante e

onvenienteverdequemodoopodemosutilizar paraaanálisedesituações on retas,algo

quefaremos deseguida, omumexemplo dedi uldade média.

3 Uma apli ação do teorema da de omposição de Jordan

Nesta se ção exempli aremos a apli ação do Teorema 9 à transformação de uma matriz

Exemplo 10. Seja

A ∈ M

7×7

(C)

amatriz

A =





















2 0 0 0 0 0 1

0 3 0 0 1 0 0

0 0 3 0 0 0 0

0 0 1 3 0 0 0

0 0 0 0 3 0 0

0 0 0 1 0 3 0

0 0 0 0 0 0 2





















.

Pretendemos determinar uma forma anóni a de Jordan

J

e umamatriz invertível

P

tal que

P

−

1

AP = J.

Apli andooteoremade Lagrangeao ál ulododeterminante

det(A − λI

7

)

on luimos queopolinómio ara terísti ode

A

é

P

A

(λ) = (2 − λ)

2

_{(3 − λ)}

5

,oquenospermitearmar

imediatamente oseguintequanto aos valores própriosde

A

:

λ

1

= 2 : α

1

= ma(2) = 2,

λ

2

= 3;

α

2

= ma(3) = 5.

Por outro lado, o ál ulo dos vetores próprios asso iados a estes valores próprios resulta

em

N (A − 2I

7

) = he

1

i,

e portanto

γ

1

= mg(2) = 1

N (A − 3I

7

) = he

2

, e

6

i,

e portanto

γ

2

= mg(3) = 2.

(2)

Daquipodemos estabele erasseguintes on lusões:

(a) A matriz

A

não é diagonalizável (porque tem pelo menos um valor próprio om a multipli idade geométri a diferente da algébri a, de fa to, isto até o orre nos dois

valorespróprios)

(b) OTeorema9 (a)permite on luirque

A

ésemelhanteaumaforma anóni adeJordan

J = diag(J

(1)

_{, J}

(2)

_),

onde

J

(1)

é umamatriz

2×2

om umsóvalor próprio

λ

1

= 2

e

J

(2)

é umamatriz

5×5

omumsóvalorpróprio

λ

2

= 3.

( ) OTeorema 9 (b) permite-nos armar que

J

(1)

é onstituida por umaúni a élula de

Jordane,sendo dedimensão

2

, on luimosque

J

(1)

=



2 1

0 2



.

(d) OTeorema9 (b)permite-nostambémarmarque

J

(2)

é onstituidaporduas élulas

de Jordan. No entanto, omo

J

(2)

é uma matriz quadrada de dimensão

5

, esta informação sobre o número de blo os não é su iente para distinguir entre as duas

possibilidades distintas













3 0 0 0 0

0 3 1 0 0

0 0 3 1 0

0 0 0 3 1

0 0 0 0 3













ou













3 1 0 0 0

0 3 0 0 0

0 0 3 1 0

0 0 0 3 1

0 0 0 0 3













(noteque, por exemplo,o asoemqueo primeiroblo o temdimensão4e osegundo

dimensão1éidenti oaodaprimeiramatriza imaportro adas olunasapropriadas

(e) Para o es lare imento da estrutura de blo os da matriz

J

(2)

re orremos à parte

(d) do Teorema 9, para o que ne essitamos de al ular as dimensões dos diversos

espaçosprópriosgeneralizados de

A

asso iados ao valor próprio

λ

2

= 3.

Não ofere e di uldade(emborapossaser umpou o demorado...) obterosseguintes resultados:

A − 3I

7

=





















−1 0 0 0 0 0

1

0 0 0 0 1 0

0

0 0 0 0 0 0

0

0 0 1 0 0 0

0

0 0 0 0 0 0

0

0 0 0 1 0 0

0

0 0 0 0 0 0 −1





















,

pelo que

N (A − 3I

7

) = he

2

, e

6

i,

e

dim N (A − 3I

7

) = 2;

(A − 3I

7

)

2

=





















1 0 0 0 0 0 −2

0 0 0 0 0 0

0

0 0 0 0 0 0

0

0 0 0 0 0 0

0

0 0 0 0 0 0

0

0 0 1 0 0 0

0

0 0 0 0 0 0

1





















,

peloque

N (A − 3I

7

)

2

_{= he}

2

, e

4

, e

5

, e

6

i,

e

dim N (A − 3I

7

)

2

_{= 4;}

(A − 3I

7

)

3

=





















−1 0 0 0 0 0

3

0 0 0 0 0 0

0

0 0 0 0 0 0

0

0 0 0 0 0 0

0

0 0 0 0 0 0

0

0 0 0 0 0 0

0

0 0 0 0 0 0 −1





















,

peloque

N (A − 3I

7

)

3

_{= he}

2

, e

3

, e

4

, e

5

, e

6

i,

e

dim N (A − 3I

7

)

3

_{= 5;}

(A − 3I

7

)

4

=





















1 0 0 0 0 0 −4

0 0 0 0 0 0

0

0 0 0 0 0 0

0

0 0 0 0 0 0

0

0 0 0 0 0 0

0

0 0 0 0 0 0

0

0 0 0 0 0 0

1





















,

peloque

N (A − 3I

7

)

4

_{= he}

2

, e

3

, e

4

, e

5

, e

6

i,

e

dim N (A − 3I

7

)

4

_{= 5.}

Assim, on luímos que

ν

2

= 3

e, pela alínea ( ) do Teorema 9, a maior élula de Jordan do blo o

J

(2)

tem dimensão

3

. Este mesmo resultado poderia ser obtido re orrendoàalínea (d)doTeorema 9: sedesignarmospor

n

p

onúmerode élulas de

J

(2)

om dimensão

p

, omosabemos, pela alínea anterior, quea dimensãodo maior blo o não podeser superior a4,podemos on luir de

0 = 5 − 5 = dim N (A − 3I

7

)

4

− dim N (A − 3I

7

)

3

=

X

p>4

n

p

= n

4

queomaiorblo oterádeterdimensão

3

ouinferior. Comosabemosdaalíneaanterior que

J

(2)

(quetemdimensão

5

)tem exatamente doisblo os, não restaalternativa do queser umdedimensão

2

e outrode dimensão

3.

Teorema 9(d) para on luirmos que o blo o

J

(2)

terá de ser o indi ado no segundo

asona alínea ( )a ima.

(f) Autilizaçãodasalíneas(a),(b)e(d)do Teorema 9permitiu-nos hegarà on lusão

de queumamatriz deJordan

J

semelhante a

A

é

J =





















2 1

0 2

3 1

0 3

3 1 0

0 3 1

0 0 3





















,

onde as posições não expli itamente indi adas na matriz são iguais a zero. Agora

utilizaremosaalínea(e)doTeorema9paradeterminar umamatriz

P

queestabele e a relaçãode semelhança

P

−

1

AP = J

entre

A

e

J

. Estepro esso de es olhada base apropriadadosespaçosprópriosgeneralizadospodeseralgoelaboradoeoTeorema 9

nãoéexplí itoquantoaomododeofazer. Deumpontodevistapráti o,éimportante

desenvolver um pro esso sistemáti o para a determinação destas bases, o que será

feito na Se ção 5 e apresentado no Algoritmo 1 , mas, no presente aso, em que as

dimensõesdosespaçosprópriosgeneralizadossãobaixas, onseguiremos( omalguma

sorte...) identi arasadequadas adeiasdeJordansemproblemas demaior,apenas

por tentativa-e-erro, omoveremosdeseguida. Para tornarmais laro oargumento,

designaremos por

p

r

,

om

1 6 r 6 7

,as olunas da matriz

P = [p

1

| . . . |p

7

].

A élula de Jordan

J

(1)

envolve apenas as olunas

p

1

e

p

2

. Pela alínea (e) do T eo-rema 9 sabemos que

p

1

é umvetor próprio de

A

asso iado ao valor próprio

λ

1

= 2.

Atendendoa(2), podemos tomar

p

1

= e

1

. Novamentepelaalínea (e)do Teorema 9, a oluna

p

2

é um vetor próprio generalizado perten ente a uma adeia de Jordan ontendo

p

1

, ou seja, atendendo ao que se es reveu na observação (d) na página 8,

(A − 2I

7

)p

2

= p

1

, e portanto, es revendo

p

2

= (u

1

, . . . , u

7

)

, e re ordando que já on luimosque

p

1

= e

1

,





















0 0 0 0 0 0 1

0 1 0 0 1 0 0

0 0 1 0 0 0 0

0 0 1 1 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 1 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0









































u

1

u

2

u

3

u

4

u

5

u

6

u

7





















=





















1

0

0

0

0

0

0





















⇒ p

2

=





















u

1

0

0

0

0

0

1





















, ∀u

1

∈ C.

Tomando

u

1

= 0

obtemos o vetor próprio generalizado

p

2

= e

7

.

Relembrando os resultados sobre os diversos espaçospróprios generalizados asso iados ao vetor

pró-prio

λ

2

= 3

que obtivemos a ima, na alínea (e), e re ordando as equações que os elementosde uma adeiade Jordantêmne essariamentedesatisfazer( f. página8)

é fá il on luir quesetem

e

3

−−−−→

A−3I

7

e

4

−−−−→

A−3I

7

e

6

−−−−→

A−3I

7

0,

e

5

−−−−→

A−3I

7

e

2

−−−−→

A−3I

7

0.

Reparando que a primeira élula de Jordan de

J

orrespondente a

λ

2

= 3

tem dimensão

2

, teremos de usar os vetores próprios generalizados da segunda adeia de Jordan(que também tem omprimento

2

)para obter as orrespondentes olunas de

P

: pela alínea (e) do Teorema 9 on luimos que

p

3

= e

2

e

p

4

= e

5

. O mesmo argumento apli adoà primeira adeiade Jordan es rita a ima permite on luir que

as orrespondentes olunasde

P

são

p

5

= e

6

,

p

6

= e

4

e

p

7

= e

3

. Portanto,amatriz

P

que orrespondeàforma anóni adeJordanes ritaa imaé

P = [e

1

|e

7

|e

2

|e

5

|e

6

|e

4

|e

3

].

Se pretendermos veri ar que a matriz

P

a que hegámos atua, de fa to, do modo indi ado,resta-nos al ular

3

P

−

1

e

P

−

1

AP

paraveri armosqueestaúltimamatriz é igualà forma deJordan

J

quees revemos no iní iodesta alínea.

4 Demonstração do Teorema 8

Oobjetivodestase çãoéapresentarademonstraçãodoTeorema8,oqual, omojáse

refe-riu, onstituiua ferramenta teóri afundamental paraprovar o Teorema daDe omposição

de Jordanqueestudaremos nase ção seguinte.

O Teorema 8 forne euma de omposição de

C

n

numa somadireta de espaçosnulos de

matrizes,peloqueé importante omeçarmos omumresultadoauxiliarsobreeste tipo de

subespaçosvetoriais de

C

n

.

Lema 11. Seja

B ∈ M

n×n

(C)

e suponha que

B

j

_{u = 0,}

para algum

j ∈ N

+

e algum vetor

u ∈ C

n

. Então

B

n

_{u = 0}

.

Demonstração. A armação é óbvia para

u = 0

, pelo que onsideraremos apenas o aso emqueovetor

u

énão-nulo. Étambémóbvioquese

B

j

1

_{u = 0}

então

B

j

2

_{u = 0}

,paratodos os

j

2

> j

1

,pois

B

j

2

_{u = B}

j

2

−

_j

1

_B

j

1

_{u = B}

j

2

−

_j

1

_{0 = 0.}

Em parti ular, isto provaa armação

do Lemaquando

j 6 n.

Seja

k

omenor inteiro positivo tal que

B

k

_{u = 0}

. Considere-se o onjunto onstituido

pelosvetores

u, Bu, B

2

u, . . . , B

k−1

u.

(3) Este onjunto é linearmenteindependente. Defa to, se

c

0

u + c

1

Bu + c

2

B

2

u + . . . c

k−1

B

k−1

u = 0,

(4) apli ando

B

k−1

aambososmembrosdesta igualdade e relembrando que

B

k

_{u = B}

k+1

_{u =}

B

k+2

_{u = . . . = 0}

( f. a ima), on lui-se que

c

0

B

k−1

_{u = 0}

. Como

k

é, por hipótese, o menor dos expoentes positivos

j

para os quais

B

j

_{u = 0}

, tem-se

B

k−1

_{u 6= 0}

e, portanto,

c

0

= 0

. Substituindoesteresultadoem(4),multipli andoambososmembrosdaigualdade por

B

k−2

eapli andoomesmoargumento, on lui-seque

c

1

= 0

. Éevidentequerepetindo este pro esso

k − 1

vezesobtém-se

c

m

= 0,

para todosos

m = 0, 1, . . . , k − 1.

Mas, então, os

k

vetoresem(3 )sãolinearmenteindependentes e,portanto,temde seter

k 6 n

,oque, peloqueseprovou no iní io,impli a que

B

n

_{u = 0}

.

Come emos, então, o estudo da de omposição de

C

n

em somasdiretas de subespaços

peloseguinte resultadogeral:

3

Paraabreviarotrabalhoenvolvido,eporqueo ál ulodematrizesinversasnãoéoque,nestaaltura,

nospreo upa, poderemosre orreraumdosvárioslo ais dainternetquepermitemefetuaresses ál ulos

Lema 12. Seja

B ∈ M

n×n

(C)

. Então

C

n

= N (B

n

)⊕ Im(B

n

).

(5)

Demonstração. Come emos por provar quea somaé umasomadireta, istoé,queo úni o

vetor omum a ambos os subespaços é o vetor nulo. Como

u ∈ N (B

n

_{) ⇒ B}

n

_{u = 0}

e omo

u ∈ Im(B

n

_{) ⇒ u = B}

n

_v,

para algum

v ∈ C

n

_,

se

u ∈ N (B

n

_{) ∩ Im(B}

n

₎

ter-se-á ne essariamente

0 = B

n

_{u = B}

n

_(B

n

_{v) = B}

2n

_v

, para algum vetor

v

. Mas o Lema 11 apli ado à igualdade

B

2n

_{v = 0}

permite on luir que

B

n

_{v = 0}

, ou seja, que

u = 0

e, portanto, a soma no enun iado é uma soma direta. Que a soma é todo o

C

n

é uma

onsequên ia lara do Teorema da Dimensão apli ado à matriz

B

n

( f., por exemplo, [2,

Proposição 4.73℄).

Interessa-nos onsiderar

B = A − λ

1

I

n

no Lema 12e irsubstituindo o espaço

Im(A −

λ

1

I

n

)

n

por (somasdiretasde)espaçosnulos

N (A − λ

k

I

n

)

n

,amde obteroresultado

ex-pressonoenun iadodoTeorema8. Paraesteobjetivoénaturalmenteimportanterela ionar

osespaços

Im(A − λ

1

I

n

)

n

e

N (A − λ

2

I

n

)

n

,o quefaremosno Lema14. Aí ne essitaremos

do seguinte resultadoauxiliar

Lema 13 (BinómiodeNewton). Seduas matrizes

A, B ∈ M

n×n

(C)

omutam, então, para qualquer

m ∈ N,

(A + B)

m

=

m

X

j=0



m

j



A

j

B

m−j

.

Demonstração. A demonstração utiliza a indução. Para

m = 1

nada há a provar. Se

m = 2

tem-se

(A + B)(A + B) = A

2

+ AB + BA + B

2

= A

2

+ 2AB + B

2

=

2

X

j=0



2

j



AB

2−j

,

onde a segunda igualdade vem da hipótese da omutatividade:

BA = AB

. A veri a-ção da propriedade da hereditariedade envolve apenas um ál ulo algébri o simples om

somatórios, para o qual é apenas pre iso re ordar a lei de Pas al

m−1

j−1

+

m−1

_j

=

m

_j

[1, pág. 41℄ (ou re ordara expressão

n

k

=

_k!(n−k)!

n!

para os oe ientes binomiais, aqual permitededuzir fa ilmente estalei). Deixamosesta parte omoexer í io.

Lema 14. Seja

A ∈ M

n×n

(C)

, sejam

λ

1

, λ

2

∈ C

e onsidere

λ

1

6= λ

2

. Então

N (A − λ

2

I

n

)

n

⊆ Im(A − λ

1

I

n

)

n

.

Demonstração. Provaremos que qualquer

u ∈ N (A − λ

2

I

n

)

n

também está em

Im(A −

λ

1

I

n

)

n

. Tome-se um

u ∈ N (A − λ

2

I

n

)

n

arbitrário. Então,

0 = (A − λ

2

I

n

)

n

u

= (A − λ

1

I

n

+ (λ

1

− λ

2

)I

n

)

n

u

=

n

X

j=0



n

j



(A − λ

1

I

n

)

j

(λ

1

− λ

2

)

n−j

u

= (λ

1

− λ

2

)

n

u + (A − λ

1

I

n

)

n

X

j=1



n

j



(A − λ

1

I

n

)

j−1

(λ

1

− λ

2

)

n−j

u.

Como, por hipótese,

λ

1

6= λ

2

,

podemos dividir esta expressão por

(λ

1

− λ

2

)

n

e es rever a igualdade omo

u = (A − λ

1

I

n

) q(A)u

| {z }

=v

,

(6)

onde

q

é afunção polinomialde grau

n − 1

denidapor

q(A) = −

n

X

j=1



n

j



(A − λ

1

I

n

)

j−1

(λ

1

− λ

2

)

−

j

.

Agora repare-se que o que (6) arma é que

u ∈ Im(A − λ

1

I

n

)

, pois existe um

v

tal que

u = (A − λ

1

I

n

)v

. Masentão,substituindoestaexpressãopara

u

nomembro direitode (6), e tendoematenção que

q(A)(A − λ

1

I

n

) = (A − λ

1

I

n

)q(A),

obtém-se

Porquê?

u = (A − λ

1

I

n

)

2

q(A)v.

Substituindo de novo esta expressão para

u

no membro direito de (6) e repetindo este pro edimentoumnúmerosu ientementegrandedevezes(

n − 1

vezes,nototal),obtém-se

u = (A − λ

1

I

n

)

n

q(A)

n−1

v

|

{z

}

=w

,

oquemostraque

u

éaimagem,por

(A−λ

1

I

n

)

n

_,

deumvetor

w

,ouseja

u ∈ Im(A−λ

1

I

n

)

n

,

o que on luia demonstração.

Portanto, tendo estabele ido que

N (A − λ

2

I

n

)

n

é um subespaço de

Im(A − λ

1

I

n

)

n

,

podemos es rever

Im(A − λ

1

I

n

)

n

_{= N (A − λ}

2

I

n

)

n

⊕F,

paraalgumsubespaço

F ⊂ Im(A −

λ

1

I

n

)

n

apropriado. Este éo temado próximolema.

Lema 15. Nas ondições doLema 14,tem-se

Im(A − λ

1

I

n

)

n

= N (A − λ

2

I

n

)

n

⊕ Im(A − λ

1

I

n

)

n

∩ Im(A − λ

2

I

n

)

n

.

Demonstração. Come emos por observar queo Lema12 permite es rever

C

n

= N (A − λ

2

I

n

)

n

⊕ Im(A − λ

2

I

n

)

n

.

Portanto, omo

Im(A − λ

1

I

n

)

n

_{= C}

n

_{∩ Im(A − λ}

1

I

n

)

n

,

temos

Im(A − λ

1

I

n

)

n

= N (A − λ

2

I

n

)

n

⊕ Im(A − λ

2

I

n

)

n

∩ Im(A − λ

1

I

n

)

n

,

e,devidoàin lusãoprovadanoLema14, on lui-se 4

queaigualdadea imapodeseres rita

omo

Im(A − λ

1

I

n

)

n

= N (A − λ

2

I

n

)

n

⊕ Im(A − λ

2

I

n

)

n

∩ Im(A − λ

1

I

n

)

n

,

omopretendiamos provar.

4

Prove quese

U, V, W

são subespaços deum espaçovetorial

X

tais que

X

= U ⊕V

e

U ⊆ W

,então

W

= W ∩ X = W ∩ (U ⊕V ) = (W ∩ U )⊕(W ∩ V ).

Exibaum ontra-exemploquemostraquea ondição

de

W

onterumdossubespaçosnãopodesereliminada( onsidere asosem

X

= R

2

C

n

= N (A − λ

1

I

n

)

n

⊕ N (A − λ

2

I

n

)

n

⊕ Im(A − λ

2

I

n

)

n

∩ Im(A − λ

1

I

n

)

n

.

Isto sugere imediatamente que, ontinuando a apli ar su essivamente o Lema 15

obtere-mossomasdiretasdosespaçosprópriosgeneralizados orrespondentesaosdiversosvalores

própriosedeumespaçoqueéainterseção dosespaçosdasimagens orrespondentes.

Por-tanto, se provarmos que

k

\

j=1

Im(A − λ

j

I

n

)

n

= {0},

onde

λ

1

, . . . , λ

k

são todos os valores própriosdistintosde

A

,entãoaapli ação su essiva doLema 15resultará no Teorema 8.

Lema 16. Seja

A ∈ M

n×n

(C)

, sejam

λ

1

, . . . , λ

k

∈ C

todos os seus valores próprios distintos. Então

k

\

j=1

Im(A − λ

j

I

n

)

n

= {0}.

Demonstração. Seja

M =

k

\

j=1

Im(A − λ

j

I

n

)

n

.

É laro que

0 ∈ M

pois

0

é sempre um

elementodequalquersubespaçovetorialetodosos

Im(A − λ

j

I

n

)

n

sãosubespaçosvetoriais

de

C

n

. Queremos provar que

M

não ontém maisnenhumvetorparaalém de

0

. Paratal provaremosprimeiro que

M

é invariantepara

A

,ou seja,se

u ∈ M

,então também

Au ∈

M :

onsidere

u ∈ M

,portanto,paratodosos

j = 1, . . . , k,

tem-se

u ∈ Im(A − λ

j

I

n

)

n

,ou

seja,existem

v

j

taisque

u = (A−λ

j

I

n

)

n

_v

j

;masentão,para ada

j

,

Au = A(A−λ

j

I

n

)

n

_v

j

=

(A − λ

j

I

n

)

n

Av

j

,

ouseja

Au ∈ Im(A − λ

j

I

n

)

n

_,

paratodosos

j

e,portanto,

Au ∈ M

. Tendo

Porquê?

provadoque

M

éinvariantepara

A

,entãoé laroque

u ∈ M ⇒ Au ∈ M ⇒ A

2

_{u ∈ M ⇒}

. . .

Assuma-seagoraqueexisteumvetor

u ∈ M \ {0}

e onsidere-seo onjunto onstituido pelos

n + 1

vetoresde

C

n

u, Au, A

2

u, . . . , A

n

u.

(7) Como temos

n + 1

vetoresde umespaço vetorial de dimensão

n

,sabemos que o onjunto onstituido pelos vetores em (7)é linearmentedependente. Portanto, existem onstantes

c

j

∈ C

,não todasnulas,tais que

c

0

u + c

1

Au + c

2

A

2

u + · · · + c

n

A

n

u = 0.

(8) Seja

p

o maiorinteiro parao qual

c

p

6= 0

. Então, (8)pode seres rito omo

c

0

u + c

1

Au + c

2

A

2

u + · · · + c

p

A

p

u = 0.

Portanto, esta igualdade é da forma

P (A)u = 0

, onde

P (x) = a

0

+ c

1

x + · · · + c

p

x

p

.

Usando o Teorema Fundamental da Álgebra sabe-se que existe uma fatorização

P (x) =

c

p

(x − µ

p

) · · · (x − µ

1

)

, para

p

onstantes omplexas

µ

p

(não ne essariamente distintas). Utilizando esta fatorizaçãopode-se es rever(8 ) omo

c

p

(A − µ

p

I

n

) · · · (A − µ

2

I

n

)(A − µ

1

I

n

)u = 0.

(9) Temos, portanto, asseguintes

p

possibilidades: