Eletrônica Digital

(1)

U E M /D IN – P ro f. Flá v io U b e r

UEM/CTC – Departamento de Informática Curso: Ciência da Computação

Professor: Flávio Rogério Uber

Eletrônica Digital

Mapa de Karnaugh

Obs.: a elaboração deste material foi baseada no material do prof. Dr. João Angelo Martini (UEM/DIN) e maioria das

figuras é de sua autoria.

(2)

U E M /D IN – P ro f. Flá v io U b e r

Mapa de Karnaugh Mapa de Karnaugh

-Representação gráfica (visual) da tabela verdade

-Usado para simplificar expressões ou circuitos

lógicos

(3)

U E M /D IN – P ro f. Flá v io U b e r

Mapa de Karnaugh Mapa de Karnaugh

(4 variáveis) (4 variáveis)

TV para 4 variáveis

Mapa de Karnaugh para 4 variáveis

S₁ S₂ S₄ S₃ S₅ S₆ S₈ S₇ S₁₃ S₁₄ S₁₆ S₁₅

S₉ S₁₀ S₁₂ S₁₁

B A

A

B C

C

A B C D S

0 0 0 0 S₁

0 0 0 1 S₂

0 0 1 0 S₃

0 0 1 1 S₄

0 1 0 0 S₅

0 1 0 1 S₆

0 1 1 0 S₇

0 1 1 1 S₈

1 0 0 0 S₉

1 0 0 1 S₁₀

1 0 1 0 S₁₁

1 0 1 1 S₁₂

1 1 0 0 S₁₃

1 1 0 1 S₁₄

1 1 1 0 S₁₅

1 1 1 1 S₁₆

B

D D D

(4)

U E M /D IN – P ro f. Flá v io U b e r

Mapa de Karnaugh Mapa de Karnaugh

Exemplos de Agrupamentos

Hexa

1 1 1 1

B A

A

B C

C

B

D D D

H₁=1

(5)

U E M /D IN – P ro f. Flá v io U b e r

Mapa de Karnaugh Mapa de Karnaugh

Exemplos de Agrupamentos

Octeto

1 0 0 1

B A

A

B C

C

B

D D D

O₁=D

(6)

U E M /D IN – P ro f. Flá v io U b e r

Mapa de Karnaugh Mapa de Karnaugh

Exemplos de Agrupamentos

Octeto

1 1 1 1

0 0 0 0

1 1 1 1

B A

A

B C

C

B

D D D

O₁=B

(7)

U E M /D IN – P ro f. Flá v io U b e r

Mapa de Karnaugh Mapa de Karnaugh

Exemplos de Agrupamentos

Octeto

0 1 1 0

B A

A

B C

C

B

D D D

O₁=D

(8)

U E M /D IN – P ro f. Flá v io U b e r

Mapa de Karnaugh Mapa de Karnaugh

Exemplos de Agrupamentos

Octeto

0 0 0 0

1 1 1 1

0 0 0 0

B A

A

B C

C

B

D D D

O₁=B

(9)

U E M /D IN – P ro f. Flá v io U b e r

Mapa de Karnaugh Mapa de Karnaugh

Exemplos de Agrupamentos

Quadra

1 0 0 1

0 0 0 0

1 0 0 1

B A

A

B C

C

B

D D D

Q₁=BD

(10)

U E M /D IN – P ro f. Flá v io U b e r

Mapa de Karnaugh Mapa de Karnaugh

Exemplos de Agrupamentos

Quadra

0 1 1 0

1 0 0 1

0 1 1 0

B A

A

B C

C

B

D D D

Q₂=BD Q₁=BD

S=BD+BD

(11)

U E M /D IN – P ro f. Flá v io U b e r

Mapa de Karnaugh Mapa de Karnaugh

Exemplos de Agrupamentos

Pares

0 1 0 0

1 0 0 1

0 0 0 0

0 1 0 0

B A

A

B C

C

B

D D D

P₁=BCD

P₂=ABD

S=ABD+BCD

(12)

12

Exercício Exercício

Determine a expressão da TV e simplifique o circuito por meio de Mapa de Karnaugh

A B C D S

0 0 0 0 0

0 0 0 1 1

0 0 1 0 1

0 0 1 1 1

0 1 0 0 0

0 1 0 1 1

0 1 1 0 0

0 1 1 1 1

1 0 0 0 1

1 0 0 1 1

1 0 1 0 0

1 0 1 1 1

1 1 0 0 1

1 1 0 1 1

1 1 1 0 0

1 1 1 1 1

1)

(13)

13

Solução Solução

A B C D S

0 0 0 0 0

0 0 0 1 1

0 0 1 0 1

0 0 1 1 1

0 1 0 0 0

0 1 0 1 1

0 1 1 0 0

0 1 1 1 1

1 0 0 0 1

1 0 0 1 1

1 0 1 0 0

1 0 1 1 1

1 1 0 0 1

1 1 0 1 1

1 1 1 0 0

1 1 1 1 1

1)

S=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD +ABCD+ABCD+ABCD

Expressão da TV

0 1 1 1

0 1 1 0

1 1 1 0

B A

A

B C

C

B

D D D

O₁=D

Q₁=AC

P₁=ABC

S=ABC+AC+D

(14)

14

Exercício Exercício

A B C D S

0 0 0 0 0

0 0 0 1 1

0 0 1 0 0

0 0 1 1 1

0 1 0 0 1

0 1 0 1 1

0 1 1 0 1

0 1 1 1 1

1 0 0 0 0

1 0 0 1 0

1 0 1 0 1

1 0 1 1 0

1 1 0 0 0

1 1 0 1 0

1 1 1 0 0

1 1 1 1 1

2)

(15)

15

Solução Solução

A B C D S

0 0 0 0 0

0 0 0 1 1

0 0 1 0 0

0 0 1 1 1

0 1 0 0 1

0 1 0 1 1

0 1 1 0 1

0 1 1 1 1

1 0 0 0 0

1 0 0 1 0

1 0 1 0 1

1 0 1 1 0

1 1 0 0 0

1 1 0 1 0

1 1 1 0 0

1 1 1 1 1

2)

S=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD Expressão da TV

0 1 1 0

1 1 1 1

0 0 1 0

0 0 0 1

B A

A

B C

C

B

D D D

Q₁=AD

P₁=BCD

Q₂=AB

S=AD+AB+BCD+ABCD I₁=ABCD

(16)

16

Exercício Exercício

A B C D S

0 0 0 0 1

0 0 0 1 0

0 0 1 0 1

0 0 1 1 0

0 1 0 0 1

0 1 0 1 1

0 1 1 0 1

0 1 1 1 1

1 0 0 0 1

1 0 0 1 0

1 0 1 0 1

1 0 1 1 0

1 1 0 0 1

1 1 0 1 0

1 1 1 0 1

1 1 1 1 1

3)

(17)

17

Solução Solução

A B C D S

0 0 0 0 1

0 0 0 1 0

0 0 1 0 1

0 0 1 1 0

0 1 0 0 1

0 1 0 1 1

0 1 1 0 1

0 1 1 1 1

1 0 0 0 1

1 0 0 1 0

1 0 1 0 1

1 0 1 1 0

1 1 0 0 1

1 1 0 1 0

1 1 1 0 1

1 1 1 1 1

3)

S=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD +ABCD+ABCD+ABCD

Expressão da TV

1 0 0 1

1 1 1 1

1 0 1 1

1 0 0 1

B A

A

B C

C

B

D D D

O₁=D

Q₂=BC

Q₁=AB

S=D+AB+BC

(18)

18

Exercícios Exercícios

Minimize as expressões usando Mapa de Karnaugh

1)

S=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABC D

Expressão

2)

S=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABC D

Expressão

(19)

19

Solução Solução

1)

S=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABC D

Expressão

1 1 1 0

1 0 0 1

0 0 1 0

0 0 1 1

B A

A

B C

C

B

D D D

P₁=ABC

P₅=ACD

P₂=ABD

S=ABC+ABD+ABC+ABD+ACD P₃=ABC

P₄=ABD

(20)

20

Solução Solução

2) Expressão

1 1 0 1

0 1 0 0

0 1 1 0

1 1 0 1

B A

A

B C

B

D D D

Q₁=CD

Q₂=BD

P₁=ABD

S=ABD+CD+BD C

S=ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABC D

(21)

21

Mapa de Karnaugh Mapa de Karnaugh

Mapa de Karnaugh para 5 variáveis

A B C D E S

0 0 0 0 0 S₁

0 0 0 0 1 S₂

0 0 0 1 0 S₃

0 0 0 1 1 S₄

0 0 1 0 0 S₅

0 0 1 0 1 S₆

1 1 0 1 1 S₂₈

1 1 1 0 0 S₂₉

1 1 1 0 1 S₃₀

1 1 1 1 0 S₃₁

1 1 1 1 1 S₃₂

... 2⁵=32 Combinações TV para 5 variáveis

(22)

22

Fundamentos de Fundamentos de

Lógica Lógica

Mapa de Karnaugh para 5 variáveis

S₁ S₂ S₄ S₃ S₅ S₆ S₈ S₇ S₁₃ S₁₄ S₁₆ S₁₅

S₉ S₁₀ S₁₂ S₁₁

C B

B

C D

D

C

E E E

S₁₇ S₁₈ S₂₀ S₁₉ S₂₁ S₂₂ S₂₄ S₂₃ S₂₉ S₃₀ S₃₂ S₃₁ S₂₅ S₂₆ S₂₈ S₂₇

C B

B

C D

D

C

E E E

A A

(23)

23

Mapa de Karnaugh Mapa de Karnaugh

Exemplos de Agrupamentos

0 0 0 0

1 1 1 1

0 0 0 0

C B

B

C D

D

C

E E E

0 0 0 0

1 1 1 1

0 0 0 0

C B

B

C D

D

C

E E E

A A Hexa

H₁=C

(24)

24

Mapa de Karnaugh Mapa de Karnaugh

Exemplos de Agrupamentos

0 0 0 1

0 1 1 1

0 1 1 0

1 0 0 0

C B

B

C D

D

C

E E E

0 0 0 1

0 1 1 1

0 1 1 0

1 0 0 0

C B

B

C D

D

C

E E E

A A Octeto

O₁=CE

Q₁=BDE

P₁=BCDE

S=CE+BDE+BCDE

(25)

25

Exercício Exercício

A B C D E S

0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 1 0

0 0 0 1 0 0

0 0 0 1 1 1

0 0 1 0 0 1

0 0 1 0 1 1

0 0 1 1 0 0

0 0 1 1 1 1

0 1 0 0 0 1

0 1 0 0 1 1

0 1 0 1 0 1

0 1 0 1 1 0

0 1 1 0 0 0

0 1 1 0 1 1

0 1 1 1 0 1

0 1 1 1 1 0

A B C D E S

1 0 0 0 0 0

1 0 0 0 1 0

1 0 0 1 0 0

1 0 0 1 1 0

1 0 1 0 0 0

1 0 1 0 1 1

1 0 1 1 0 1

1 0 1 1 1 0

1 1 0 0 0 0

1 1 0 0 1 0

1 1 0 1 0 0

1 1 0 1 1 0

1 1 1 0 0 1

1 1 1 0 1 1

1 1 1 1 0 1

1 1 1 1 1 1

ABCDE

ABCDE ABCDE ABCDE

ABCDE ABCDE ABCDE ABCDE

ABCDE ABCDE

ABCDE ABCDE ABCDE

ABCDE

1) Determine a expressão da TV e simplifique o circuito usando Mapa de Karnaugh

(26)

26

Solução Solução

1) Determine a expressão da TV e simplifique o circuito usando Mapa de Karnaugh

1 0 1 0

1 1 1 0

0 1 0 1

1 1 0 1

C B

B

C D

D

C

E E E

0 0 0 0

0 1 0 1

1 1 1 1

0 0 0 0

C B

B

C D

D

C

E E E

A A

Q₂=ABC Q₁=CDE

P₂=ABDE

S=CDE+ABC+ACDE+ABDE+ABCD+ABDE+ABDE P₁=ACDE

P₃=ABCD

P₄=ABDE P₅=ABDE

(27)

27

Exercício Exercício

2) Minimize a expressão booleana S usando Mapa de Karnaugh Expressão:

S=ABCDE+ABCDE+ABCDE+ABCDE+ABCDE+ABCDE+ABCDE+ABCDE+ABCDE+ABCD E

+ABCDE+ABCDE+ABCDE+ABCDE+ABCDE

(28)

28

Solução Solução

2) Minimize a expressão booleana S usando Mapa de Karnaugh

S=ABCDE+ABCDE+ABCDE+ABCDE+ABCDE+ABCDE+ABCDE+ABCDE+ABCDE+ABCD E

+ABCDE+ABCDE+ABCDE+ABCDE+ABCDE

1 1 0 0

0 0 0 0

1 0 0 0

C B

B

C D

D

C

E E E

1 1 0 0

1 1 0 1

0 0 1 1

1 0 1 1

C B

B

C D

D

C

E E E

A A

Q₁=ABD O₁=BD

S=BD+ABD+ACDE+CDE P₁=ACDE

Q₂=CDE

(29)

29

Mapa de Karnaugh Mapa de Karnaugh

Mapa de Karnaugh com condições irrelevantes

• Condição Irrelevante: para determinadas combinações de

entradas, a saída pode assumir o valor 0 ou 1 indiferentemente

• Para se utilizar a condição irrelevante no mapa de Karnaugh, deve-se adotar o valor que possibilite o maior agrupamento

A B C S

0 0 0 X

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 0

X 1 1 1

0 0 0 0

B

A A

B

C

C C

Q₁=A

Expressão Simplificada a partir do MKS=A

Se escolhermos X=1 ⇒ obtemos um agrupamento maior

(30)

30

Mapa de Karnaugh Mapa de Karnaugh

Mapa de Karnaugh com condições irrelevantes

• Condição Irrelevante: para determinadas combinações de

entradas, a saída pode assumir o valor 0 ou 1 indiferentemente

• Para se utilizar a condição irrelevante no mapa de Karnaugh, deve-se adotar o valor que possibilite o maior agrupamento

A B C S

0 0 0 X

0 0 1 1

0 1 0 1

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 0

X 1 1 1

0 0 0 0

B

A A

B

C

C C

P₁=AB

S=AB+AC Expressão Simplificada a partir do MK

Se escolhermos X=0, obtemos um agrupamento menor P₂=AC

(31)

31

Exercício Exercício

Mapa de Karnaugh com condições irrelevantes

Simplifique as expressões das TVs usando Mapa de Karnaugh

A B C S

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 X

1 0 0 X

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

1)

(32)

32

Solução Solução

Mapa de Karnaugh com condições irrelevantes

A B C S

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 X

1 0 0 X

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 1

0 0 X₁ 0

X₂ 1 1 1

B

A A

B

C

C C

Q₁=A

Expressão Simplificada a partir do MK S=A

Se escolhermos X₁=0 e X₂=1, obtemos uma expressão mais simplificada

1)

(33)

33

Exercício Exercício

Mapa de Karnaugh com condições irrelevantes

A B C S

0 0 0 1

0 0 1 X

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 X

1 0 1 1

1 1 0 X

1 1 1 X

2)

(34)

34

Soluçõe Soluçõe

s s

Mapa de Karnaugh com condições irrelevantes

A B C S

0 0 0 1

0 0 1 X

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 X

1 0 1 1

1 1 0 X

1 1 1 X

1 X 1 0

X 1 X X

B

A A

B

C

C C

Q₂=C

S=B+C Expressão Simplificada a partir do MK

Q₁=B

2)

(35)

35

Exercício Exercício

Mapa de Karnaugh com condições irrelevantes

3) ^A ^B ^C ^D ^S

0 0 0 0 X

0 0 0 1 0

0 0 1 0 1

0 0 1 1 X

0 1 0 0 1

0 1 0 1 0

0 1 1 0 1

0 1 1 1 1

1 0 0 0 0

1 0 0 1 1

1 0 1 0 X

1 0 1 1 0

1 1 0 0 0

1 1 0 1 X

1 1 1 0 0

1 1 1 1 X

(36)

36

Soluçõe Soluçõe

s s

Mapa de Karnaugh com condições irrelevantes

3) ^A ^B ^C ^D ^S

0 0 0 0 X

0 0 0 1 0

0 0 1 0 1

0 0 1 1 X

0 1 0 0 1

0 1 0 1 0

0 1 1 0 1

0 1 1 1 1

1 0 0 0 0

1 0 0 1 1

1 0 1 0 X

1 0 1 1 0

1 1 0 0 0

1 1 0 1 X

1 1 1 0 0

1 1 1 1 X

X 0 X 1

1 0 1 1

0 X X 0

0 1 0 X

B A

A

B C

C

B

D D D

Q₁=AD

Q₂=AC P₁=ACD

S=AD+AC+ACD