Combinatória e teoria dos números

Prof. Santiago Valdés Ravelo santiago.ravelo@inf.ufrgs.br

Combinatória e teoria dos

números

Desafios de programação.

06

Outubro, 2020

requiring combinatorial thinking, react with one of two stock phrases: (a) “This is a purely combinatorial argument,” (b) “This is a difficult combinatorial argument.” Hypnotic repetition of either of these slogans is likely to have the same balming effect on the speaker: freed from all scruples, he will pass the buck and unload the work onto someone else’s shoulders.”

Gian-Carlo Rota

2 Recorrências

3 Divisibilidade e números primos

4 Congruências e aritmética modular

Combinações

Contando possibilidades

Dados dois conjuntos finitos de elementos𝐴e𝐵:

▶ Soma. Existem|𝐴| + |𝐵|possibilidades de selecionar um elemento de 𝐴ou de𝐵.

▶ Produto. Existem|𝐴| × |𝐵|possibilidades de selecionar um elemento de𝐴 e um elemento de𝐵.

Princípio de inclusão exclusão(generaliza a soma). Se𝐴e𝐵não são disjuntos, então existem|𝐴 ∪ 𝐵| = |𝐴| + |𝐵| − |𝐴 ∩ 𝐵|possibilidades de selecionar um elemento de𝐴ou de𝐵. Este princípio pode ser aplicado a mais conjuntos:

|𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶| = |𝐴| + |𝐵| + |𝐶| − |𝐴 ∩ 𝐵| − |𝐴 ∩ 𝐶| − |𝐵 ∩ 𝐶| + |𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶|

∣

𝑛

⋃

𝑖=1

𝐴_𝑖∣ = ∑

𝑖=1

|𝐴_𝑖| − ∑

1≤𝑖<𝑗≤𝑛

|𝐴_𝑖∩ 𝐴_𝑗| + ∑

1≤𝑖<𝑗<𝑘≤𝑛

|𝐴_𝑖∩ 𝐴_𝑗∩ 𝐴_𝑘| − …

Contando possibilidades

Dado um conjunto finitos de𝑛elementos𝐴:

▶ Permutações. Existem 𝑛! possíveis permutações dos

elementos de𝐴. Onde uma permutação é uma sequência em que cada elemento aparece exatamente uma vez.

▶ Sequências. Existem 𝑛^𝑚 possíveis sequências de tamanho𝑚 em que os elementos podem aparecer nenhuma ou mais de uma vez.

▶ Subconjuntos. Existem 2^𝑛 possíveis subconjuntos de 𝐴.

Contando possibilidades

Dado um conjunto finitos de𝑛elementos𝐴: Coeficiente binomial. Existem ( 𝑛

𝑚 ) = ^𝑛!

𝑚!×(𝑛−𝑚)! possíveis formas de selecionar𝑚elementos de 𝐴.

São os coeficientes que aparecem ao expandir(1 + 𝑥)^𝑛:

(1 + 𝑥)^𝑛= ( 𝑛

0 ) + ( 𝑛

1 ) × 𝑥 + ( 𝑛

2 ) × 𝑥²+ … + ( 𝑛

𝑖 ) × 𝑥^𝑖+ … + ( 𝑛 𝑛 ) × 𝑥^𝑛

De forma geral(𝑥 + 𝑦)^𝑛= ∑^𝑛_𝑖=0( 𝑛

𝑖 ) × 𝑥^𝑖× 𝑦^𝑛−𝑖.

Coeficientes binomiais e triângulo de Pascal

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1 → coeficientes para 𝑛 = 4

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

1 7 21 35 35 21 7 1

…

Propriedades dos coeficientes binomiais

▶ ( 𝑛

𝑖 ) = ( 𝑛 𝑛 − 𝑖 ).

▶ ( 𝑛

𝑖 ) + ( 𝑛

𝑖 + 1 ) = ( 𝑛 + 1 𝑖 + 1 ).

▶ 2^𝑛 = ∑^𝑛_𝑖=0( 𝑛 𝑖 ).

▶ 𝑛 × 2^𝑛−1= ∑^𝑛_𝑖=0𝑖 × ( 𝑛 𝑖 ).

Recorrências

Contando com recorrências

Em alguns problemas é mais fácil contar as possibilidades usando recorrências.

Exemplo. Considere que desejamos cobrir uma área retangular de2 × 𝑛 𝑐𝑚² com peças de2 × 1 𝑐𝑚². De quantas formas pode ser coberta a mesa se as peças se podem rotar?

Há duas possibilidades para o começo:

⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟

subproblema com área2×(𝑛−1) 𝑐𝑚²

⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟

subproblema com área2×(𝑛−2) 𝑐𝑚² Se𝑇_𝑛denota o número de possibilidades, então:

𝑇_𝑛=

⎧{

⎨{

⎩

1, 𝑛 = 1 2, 𝑛 = 2

𝑇_𝑛−1+ 𝑇_𝑛−2, 𝑛 > 2

Recorrências lineares

Recorrências lineares são da forma:

𝑇_𝑛 = { 𝑏_𝑛, 𝑛 ≤ 𝑘

∑^𝑘_𝑖=1𝑎_𝑖× 𝑇_𝑛−𝑖, 𝑛 > 𝑘

Onde𝑘, cada 𝑎_𝑖 e cada 𝑏_𝑖, são constantes. Muitas destas recorrências podem ser solucionadas como séries geométricas:

𝑇_𝑛= 𝑐 × 𝑥^𝑛, onde:

𝑇_𝑛 = 𝑎₁× 𝑇_𝑛−1+ 𝑎₂× 𝑇_𝑛−2+ … + 𝑎_𝑘× 𝑇_𝑛−𝑘

⇒ 𝑐 × 𝑥^𝑛= 𝑎₁× 𝑐 × 𝑥^𝑛−1+ 𝑎₂× 𝑐 × 𝑥^𝑛−2+ … + 𝑎_𝑘× 𝑐 × 𝑥^𝑛−𝑘

⇒ 𝑥⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟^𝑘− 𝑎₁× 𝑥^𝑘−1− 𝑎₂× 𝑥^𝑘−2− … − 𝑎_𝑘

polinômio característico

= 0

Solucionando recorrências lineares

Dada a recorrência𝑇_𝑛= { 𝑏_𝑛, 𝑛 ≤ 𝑘

∑^𝑘_𝑖=1𝑎_𝑖× 𝑇_𝑛−𝑖, 𝑛 > 𝑘 .

▶ Obter o polinômio característico:

𝑝(𝑥) = 𝑥^𝑘− 𝑎₁× 𝑥^𝑘−1− 𝑎₂× 𝑥^𝑘−2− … − 𝑎_𝑘.

▶ Encontrar as raízes de𝑝(𝑥), isto é encontrar as soluções𝑥₁,𝑥₂,…𝑥_𝑚 para as quais𝑝(𝑥) = 0.

▶ Se não existem raízes múltiplas, então𝑚 = 𝑘e:

𝑇_𝑛= 𝑐₁× 𝑥^𝑛₁ + 𝑐₂× 𝑥^𝑛₂+ … + 𝑐_𝑘× 𝑥^𝑛_𝑘= ∑^𝑘_𝑖=1𝑐_𝑖× 𝑥^𝑛_𝑖.

▶ Caso contrário, se a multiplicidade da raiz𝑥_𝑖é𝑟_𝑖, então:

𝑇_𝑛= ∑^𝑚_𝑖=1∑^𝑟_𝑗=0^𝑖−1𝑐_𝑖𝑗× 𝑛^𝑗× 𝑥^𝑗_𝑖.

▶ Em qualquer caso, calcular os coeficientes𝑐, usando os𝑏_𝑖valores iniciais.

Recorrências lineares. Cobrindo área retangular

No exemplo a recorrência foi𝑇_𝑛=

⎧{

⎨{

⎩

1, 𝑛 = 1 2, 𝑛 = 2

𝑇_𝑛−1+ 𝑇_𝑛−2, 𝑛 > 2 .

O polinômio característico é𝑝(𝑥) = 𝑥²− 𝑥 − 1. As raízes do polinômio são𝑥_1,2= ^1±

√5 2 . Logo,𝑇_𝑛= 𝑐₁× (¹⁺

√5

2 )^𝑛+ 𝑐₂× (¹⁻

√5 2 )^𝑛e:

𝑇₁= 1 = 𝑐₁× (1 +√ 5

2 )

1

+ 𝑐₂× (1 −√ 5

2 )

1

𝑇₂= 2 = 𝑐₁× (1 +√ 5

2 )

2

+ 𝑐₂× (1 −√ 5

2 )

2

Solucionando o sistema: 𝑐₁= ³⁺

√5 5+√

5 e𝑐₂= ³⁻

√5 5−√

5.

Recorrências lineares. Fibonacci

A sequência de Fibonacci é𝐹_𝑛=

⎧{

⎨{

⎩

1, 𝑛 = 1 1, 𝑛 = 2

𝐹_𝑛−1+ 𝐹_𝑛−2, 𝑛 > 2 .

Semelhante à anterior, logo:𝐹_𝑛= 𝑐₁× (¹⁺

√5

2 )^𝑛+ 𝑐₂× (¹⁻

√5 2 )^𝑛e:

𝑇₁= 1 = 𝑐₁× (1 +√ 5

2 )

1

+ 𝑐₂× (1 −√ 5

2 )

1

𝑇₂= 1 = 𝑐₁× (1 +√ 5

2 )

2

+ 𝑐₂× (1 −√ 5

2 )

2

Resultando em: 𝑐₁= √¹

5,𝑐₂= −√¹

5 e𝐹_𝑛= √¹

5× ((¹⁺

√5

2 )^𝑛− (¹⁻

√5 2 )^𝑛). Como0 < ∣¹⁻

√5

2 ∣ < 1e decresce rapidamente quando𝑛 → ∞, temos que𝐹_𝑛 pode ser estimada usando somente𝜙 = ¹⁺

√5

2 (𝐹_𝑛≈ [^𝜙√𝑛

5]).

Contando com recorrências

Exemplo. Considere que desejamos escrever uma expressão com parêntesis abertos e fechados. Este tipo de expressão é válida se cada parêntese aberto tem um que fecha depois e se para cada fechado tem um aberto antes.

De quantas formas podemos escrever expressões válidas com𝑛pares de parêntesis?

Para o primeiro parêntese aberto, temo a seguintes opções

▶ Fechamos imediatamente depois (sem abrir mais parêntesis aninhados), resultando no subproblema com 𝑛 − 1pares de parêntesis.

▶ Permitimos abrir um parêntese aninhado e fechamos depois, resultando nos subproblemas com1par de parêntesis e com𝑛 − 2pares de parêntesis.

▶ …

▶ Permitimos abrir𝑖parêntesis antes de fechar o primeiro, resultando nos subproblemas com𝑖pares de parêntesis e com𝑛 − 𝑖 − 1pares de parêntesis. Observar que por cada possibilidade do primeiro subproblema temos uma do segundo.

▶ …

▶ Permitimos abrir todos os parêntesis antes de fechar o primeiro, resultando no subproblema com𝑛 − 1 pares de parêntesis.

Se𝑇𝑛denota o número de possibilidades, então considerando𝑇0= 1:

𝑇𝑛= 𝑇0× 𝑇𝑛−1+ 𝑇1× 𝑇𝑛−2+ … + 𝑇𝑛−1× 𝑇0= ∑^𝑛−1_𝑖=0𝑇𝑖× 𝑇𝑛−𝑖−1

Números de Catalan

Números de Catalansão definidos pela seguinte recorrência:

𝐶_𝑛 = 𝐶₀× 𝐶_𝑛−1+ 𝐶₁× 𝐶_𝑛−2+ … + 𝐶_𝑛−1× 𝐶₀=

𝑛−1

∑

𝑖=0

𝐶_𝑖× 𝐶_{𝑛−𝑖−1}

Onde,𝐶₀= 1.

Estes números podem ser calculado como:

𝐶_𝑛= 1

𝑛 + 1( 2 × 𝑛

𝑛 )

Divisibilidade e

números primos

Divisibilidade

Definição. Dados dois inteiros 𝑚e 𝑛, é dito que𝑚 divide 𝑛se e somente se existe um inteiro𝑘tal que 𝑛 = 𝑚 × 𝑘. Nesses casos𝑛 émúltiplode 𝑚e que 𝑚 édivisor 𝑛.

Encontrando todos os divisores

Dado um inteiro𝑛 > 0como encontrar todos seus divisores?

Se𝑚 é divisor de 𝑛então1 ≤ 𝑚 ≤ 𝑛.

Todo divisor𝑚 ≥√

𝑛, deve ser multiplicado por𝑘 ≤√ 𝑛, para 𝑛 = 𝑚 × 𝑘.

É suficiente percorrer os números entre1e √ 𝑛!!

Encontrando todos os divisores

1 voiddivisores(intn) {

2 // verifica cada possível divisor

3 for(intk=1;k*k<=n;k++) {

4 // verifica se o número atual for divisor

5 ^if(n%k==0) {

6 cout<<"divisor: "<<k<<endl;

7 // se for menor que a raiz, então há outro divisor m = n / k

8 if(k*k<n)

9 cout<<"divisor: "<<n/k<<endl;

10 }

11 }

12 ^}

Máximo divisor comum (MDC)

Dados dois inteiros𝑚 e𝑛 como encontrar o máximo inteiro𝑑que é divisor de𝑚 e 𝑛?

Sempre existem dois inteiros𝑞 e0 ≤ 𝑟 < 𝑚 tais que 𝑛 = 𝑚 × 𝑞 + 𝑟 ⇒ 𝑟 = 𝑛 − 𝑚 × 𝑞.

Se𝑑é divisor de 𝑚 e 𝑛, então 𝑑é divisor de 𝑟.

Método de Euclides. O máximo divisor entre𝑚 e 𝑛é igual ao máximo divisor comum entre𝑚e 𝑟.

Máximo divisor comum (MDC)

1 intmdc(intm,intn) {

2 // se m for 0, n é divisor de m e dele mesmo

3 ^if(m==0)

4 returnn;

5 // caso contrário, método de Euclides

6 returnmdc(n%m,m);

7 }

Mínimo múltiplo comum (MMC)

Dados dois inteiros𝑚 e𝑛 como encontrar o mínimo inteiro𝑘 > 0 que é múltiplo de𝑚 e 𝑛?

Se𝑑é divisor de 𝑚 e 𝑛, então ^𝑚×𝑛_𝑑 é múltiplo de𝑚 e 𝑛.

O mínimo múltiplo comum de𝑚e 𝑛é igual a _{𝑚𝑑𝑐(𝑚,𝑛)}^𝑚×𝑛 !!

Números primos

Definição. Um número inteiro 𝑝 > 1 é primo se e somente se os únicos divisores de𝑝 são 1e ele próprio.

Teorema Fundamental da Aritmética. Todo inteiro𝑛 > 1 se pode expressar de forma única como produto de fatores primos:

𝑛 = 𝑝^𝑒₁¹× 𝑝₂^𝑒1× … × 𝑝_𝑘^𝑒𝑘

Teorema. Existem infinitos números primos.

Teste de primalidade

Dado um inteiro𝑛como saber se ele é um número primo?

Verificar que não possui divisores diferente de1 e ele próprio!!

É suficiente testar os números entre2 e√ 𝑛.

Teste de primalidade

1 boolprimo(intn) {

2 // verifica cada valor a partir de 2 até raiz de n

3 for(inti=2;i*i<=n;i++) {

4 // se o número atual for divisor, então n não é primo

5 if(n%i==0)

6 ^returnfalse;

7 }

8 // se passou o teste, n é primo se for maior que 1

9 returnn>1;

10 }

Decomposição em fatores primos

Dado um inteiro𝑛como obter a sua decomposição em fator primos?

Verificar cada primo menor que ele e se for divisor do número imprimir o primo e a potência (número de vezes que o número pode ser divido pelo primo)!!

Para evitar testar se cada divisor é primo, assim que encontrado um divisor, atualizar o número dividindo-o pelo divisor tantas vezes quanto possível!

Decomposição em fatores primos

1 voidfatoracao(intn) {

2 // verifica cada possível fator

3 for(inti=2;i*i<=n;i++) {

4 // se o número atual for divisor, então é um fator primo

5 if(n%i==0) {

6 // inicializa a potencia desse fator

7 inte=0;

8 while(n%i== 0) {

9 e++;//incrementa a potência

10 n/=i;// divide o número pelo fator

11 ^}

12 cout<<"fator: "<<i<<" potencia: "<<e<<endl;

13 }

14 }

15 // verifica se o número é maior que 1, caso seja ele próprio é um fator primo

16 if(n>1)

17 cout<< "fator: "<<n<<" potencia: "<<1<< endl;

18 ^}

Encontrando o 𝑛-ésimo primo

Dado um inteiro𝑛como obter o 𝑛-ésimo primo?

Gerar todos os primos anteriores!!

Se um número é composto ele tem fatores primos menores, logo só é necessário testar os primos encontrados previamente.

Encontrando o 𝑛-ésimo primo

1 #define MAX 1000

23 intprimos[1000];

45 intn_primo(intn) {

6 //O primeiro número primo é o 2 e também é o único primo par

7 primos[0]=2;

8 // verifica cada possível número primo p, e posição i até n

9 // como os primos maiores que 2, são impares o incremento pode ser de 2 em 2

10 for(inti=1,p=3;i<n;p+=2) {

11 // verifica se o p atual é primo

12 boolprimo=true;

13 // analisa os primos anteriores

14 for(intj=0;j<i&&primos[j]*primos[j]<=p;j++) {

15 // se o p é dividido por algum primo, então não é primo

16 ^{if(p%primos[j]== 0) {}

17 primo=false;

18 break;

19 }

20 }

21 // se for primo o coloca no vetor

22 if(primo) {

23 ^primos[i]=p;

24 i++;

25 }

26 }

27 // retorna o ultimo primo encontrado

28 ^{returnprimos[n-1];}

29 }

Congruências e

aritmética modular

think of it as clock arithmetic. Temporarily replace the 12 on a clock face with 0. The 12 hours of the clock now read 0, 1, 2, 3, … up to 11. If the time is eight o’clock, and you add 9 hours, what do you get? Well, you get five o’clock. So in this arithmetic, 8 + 9

= 5; or, as mathematicians say, 8 + 9≡ 5 (mod 12), pronounced

’eight plus nine is congruent to five, modulo twelve’.”

John Derbyshire

Congruências

Dados os inteiros𝑛 > 0,𝑎e𝑏, dizemos que𝑎é congruente com 𝑏 modulo𝑛(𝑎 ≡ 𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑛)) se𝑛é divisor de𝑎 − 𝑏.

A relação de congruência𝑎 ≡ 𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑛) pode ser vista como uma igualdade no resto da divisão de𝑎por𝑛com o resto da divisão de𝑏por𝑛 Relações de congruência são equivalências. Para quaisquer inteiros 𝑛 > 0,𝑎,𝑏e𝑐:

▶ Reflexiva. 𝑎 ≡ 𝑎 (𝑚𝑜𝑑 𝑛).

▶ Simétrica. 𝑎 ≡ 𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑛) ⇔ 𝑏 ≡ 𝑎 (𝑚𝑜𝑑 𝑛).

▶ Transitiva. 𝑎 ≡ 𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑛), 𝑏 ≡ 𝑐 (𝑚𝑜𝑑 𝑛) ⇒ 𝑎 ≡ 𝑐 (𝑚𝑜𝑑 𝑛).

Aritmética modular. Adição / subtração

Para quaisquer inteiros𝑛 > 0,𝑎,𝑏,𝑐 e 𝑑:

Se𝑎 ≡ 𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑛) e𝑐 ≡ 𝑑 (𝑚𝑜𝑑 𝑛), então𝑎 + 𝑐 ≡ 𝑏 + 𝑑 (𝑚𝑜𝑑 𝑛).

Algumas propriedades interessantes são:

▶ Se 𝑎 + 𝑏 = 𝑐, então𝑎 (𝑚𝑜𝑑 𝑛) + 𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑛) ≡ 𝑐 (𝑚𝑜𝑑 𝑛).

▶ Se 𝑎 ≡ 𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑛), então𝑎 + 𝑐 ≡ 𝑏 + 𝑐 (𝑚𝑜𝑑 𝑛).

Aritmética modular. Multiplicação

Para quaisquer inteiros𝑛 > 0,𝑎,𝑏,𝑐 e 𝑑:

Se𝑎 ≡ 𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑛) e𝑐 ≡ 𝑑 (𝑚𝑜𝑑 𝑛), então𝑎 × 𝑐 ≡ 𝑏 × 𝑑 (𝑚𝑜𝑑 𝑛).

Algumas propriedades interessantes são:

▶ Se 𝑎 × 𝑏 = 𝑐, então𝑎 (𝑚𝑜𝑑 𝑛) × 𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑛) ≡ 𝑐 (𝑚𝑜𝑑 𝑛).

▶ Se 𝑎 ≡ 𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑛), então𝑎 × 𝑐 ≡ 𝑏 × 𝑐 (𝑚𝑜𝑑 𝑛).

▶ Se 𝑎 ≡ 𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑛), então−𝑎 ≡ −𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑛).

Aritmética modular. Multiplicação

Exemplo. Encontrar o resto da divisão de

102004 × 13000 × 5003 × 4208 × 532 × 13por 3.

102004×13000×5003×4208×532×13 ≡ 1×1×2×2×1×1 (𝑚𝑜𝑑 3).

1 × 1 × 2 × 2 × 1 × 1 = 4 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 3).

Aritmética modular. Potenciação

Para quaisquer inteiros𝑘 > 0,𝑛 > 0,𝑎e𝑏:

Se𝑎 ≡ 𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑛), então𝑎^𝑘≡ 𝑏^𝑘 (𝑚𝑜𝑑 𝑛).

Aritmética modular. Potenciação

Exemplo. Encontrar o resto da divisão de 3¹⁰²⁴ por 4.

3²= 9 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 4).

3¹⁰²⁴= (3²)⁵¹²≡ 1⁵¹²(𝑚𝑜𝑑 4) ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 4).

Aritmética modular. Divisão

Em geral não é certo que se𝑎 ≡ 𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑛) e𝑐 é divisor comum de 𝑎e𝑏 então ^𝑎_𝑐 ≡ ^𝑏

𝑐 (𝑚𝑜𝑑 𝑛).

Exemplo. 9 ≡ 27 (𝑚𝑜𝑑 9) mas3 ≢ 9 (𝑚𝑜𝑑 9).

Para quaisquer inteiros𝑛 > 0,𝑎,𝑏 e 𝑐:

Se𝑎 × 𝑐 ≡ 𝑏 × 𝑐 (𝑚𝑜𝑑 𝑛) e𝑚𝑑𝑐(𝑐, 𝑛) = 1, então𝑎 ≡ 𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑛).

Inverso multiplicativo

Para quaisquer inteiros𝑛 > 0e 𝑎:

Se𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑛) = 1, então existe um inteiro𝑥 tal que 𝑎 × 𝑥 ≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 𝑛).

Nesses casos𝑥 é oinverso multiplicativo de 𝑎 modulo 𝑛e se denota por𝑎⁻¹.

Cálculo do inverso multiplicativo

Dados os inteiros𝑛 > 0 e𝑎 com𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑛) = 1, o inverso multiplicativo (𝑎⁻¹) de𝑎modulo𝑛 se obtém solucionando:

𝑎 × 𝑥 + 𝑛 × 𝑦 = 1

Onde𝑥 = 𝑎⁻¹ e𝑦 são inteiros. Essa equação é um caso particular de:

𝑎 × 𝑥 + 𝑏 × 𝑦 = 𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑏) Cuja solução pode ser escrita como𝑥 = 𝑦^′− ⌊^𝑏

𝑎⌋ × 𝑥^′ e 𝑦 = 𝑥^′, onde𝑥^′e 𝑦^′são solução de:

𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑎) × 𝑥^′+ 𝑎 × 𝑦^′= 𝑚𝑑𝑐(𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑎), 𝑎) = 𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑏)

Algoritmo de Euclides estendido (e-MDC)

1 inte_mdc(inta,intb,int*x,int*y) {

2 // se a=0, então o máximo divisor comum é b e: b=a(x=0)+b(y=1)

3 if(a==0) {

4 *x=0;

5 *y=1;

6 ^returnb;

7 }

8 // caso contrário, método de Euclides

9 intx1,y1;// valores para x' e y'

10 intd=e_mdc(b%a,a,&x1,&y1); // chama recursivamente

11 // calcula o novo valor de x, a divisão entre inteiros (b / a) já garante o piso

12 *x=y1-(b/a)*x1;

13 ^*y=x1;// calcula o novo valor de y

14 returnd;

15 }

Congruências lineares

Dados os inteiros𝑛 > 0,𝑎e𝑏, se deseja encontrar um inteiro𝑥tal que:

𝑎 × 𝑥 ≡ 𝑏 (𝑚𝑜𝑑 𝑛)

Equivalente a solucionar𝑎 × 𝑥 + 𝑛 × 𝑦 = 𝑏, com𝑥e𝑦inteiros.

Temos então as seguintes possibilidades:

▶ Se𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑛)não é divisor de𝑏, então a congruência não tem solução.

▶ Senão, a congruência tem solução onde:

▶ Se𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑛) = 1, então existe uma única solução(𝑚𝑜𝑑 𝑛) (𝑥 = 𝑎⁻¹× 𝑏).

▶ 𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑛) > 1, então se podem dividir𝑎,𝑏e𝑛por𝑚𝑑𝑐(𝑎, 𝑛) e solucionar o novo problema.

Sistemas de congruências lineares

Dados os inteiros𝑛₁, 𝑛₂, … , 𝑛_𝑚> 0e𝑎₁, 𝑎₂… , 𝑎_𝑚, se deseja encontrar um inteiros𝑥tal que:

𝑥 ≡ 𝑎₁ (𝑚𝑜𝑑 𝑛₁) 𝑥 ≡ 𝑎₂ (𝑚𝑜𝑑 𝑛₂)

…

𝑥 ≡ 𝑎_𝑚 (𝑚𝑜𝑑 𝑛_𝑚)

Teorema chinês do resto. Se𝑚𝑑𝑐(𝑛_𝑖, 𝑛_𝑗) = 1para todo1 ≤ 𝑖 < 𝑗 ≤ 𝑚, então𝑥se determina univocamente(𝑚𝑜𝑑

𝑚

∏

𝑖=1

𝑛_𝑖)pelo seguinte processo:

▶ Para cada1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚calcular𝑁_𝑖= ∏

𝑗≠𝑖

𝑛_𝑗.

▶ Para cada1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚solucionar𝑁_𝑖× 𝑦_𝑖≡ 1 (𝑚𝑜𝑑 𝑛_𝑖).

▶ Solucionar𝑥 ≡

𝑚

∑

𝑖=1

𝑎_𝑖× 𝑁_𝑖× 𝑦_𝑖(𝑚𝑜𝑑

𝑚

∏

𝑖=1

𝑛_𝑖).

Prof. Santiago Valdés Ravelo santiago.ravelo@inf.ufrgs.br

Combinatória e teoria dos

números

Desafios de programação.

06

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