MÁXIMO DIVISOR COMUM

MÁXIMO DIVISOR COMUM

O maior dos divisores comuns de dois ou mais números chama-se máximo divisor comum (m.d.c.).

Exemplo:

Consideremos os conjuntos dos divisores de 12 e 18.

D₁₂=

{

} D

= { 1,2,3,6,9,18 }

Obtemos os divisores comuns fazendo a intersecção dos conjuntos.

D

∩ D

= { 1,2,3,6 }

O maior desses divisores comuns é 6.

Indicamos o máximo divisor comum de 12 e 18 assim:

m.d.c.(12,18) = 6

EXERCÍCIOS 1 – Escreva o conjunto dos divisores de 8, 9, 10, 12,15 e 20:

a) D

b) D

c) D

d) D

e) D

f) D

2 – Escreva os conjuntos dos divisores comuns abaixo:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

3 – Baseado nos resultados do exercício anterior, determine:

a) m.d.c.(9,12) b) m.d.c.(8,20) c) m.d.c.(10,15)

d) m.d.c.(8,12) e) m.d.c.(9,15) f) m.d.c.(10,20)

PROCESSO PRÁTICO PARA DETERMINAÇÃO DO m.d.c.

Determinamos o m.d.c. através da fatoração utilizando apenas números primos. Devemos analisar

os números que dividem todos os números em questão ao mesmo tempo e multiplicar os mesmos.

Exemplos: Determine o máximo divisor comum de 18 e 60.

18, 60 2 (*)

9, 30 2

9, 15 3 (*) 3, 5 3 1, 5 5

1, 1 resultado: multiplicamos os números com asteristico →2.3=6 Portanto o número 6 é o maior divisor comum de 18 e 60, ou seja, m.d.c.(18,60) = 6.

EXERCÍCIOS 1 – Determine:

a) m. d . c . (25,10 ) b)

(

) c) m. d . c . (30,18 ) d)

(

) e) m. d . c . (120,75 ) f)

(

) g) m. d . c . (77,280 ) h)

(

) i) m. d . c . (30,15 ) j)

(

)

k) m. d . c . (85,75 ) l)

(

) m) m. d . c . (3,15,12) n)

(

) o) m. d . c . (25,10,20) p)

(

) q) m. d . c . (4,8,9 ) r)

(

) s) m. d . c . (15,45,75 ) t)

(

)

2 – Pretende-se cortar três fios em pedaços do mesmo comprimento e de modo que este comprimento seja o maior possível. As medidas são 100 m, 108 m e 120 m. Pergunta-se:

a) Quanto medirá cada pedaço?

b) Quantos pedaços serão obtidos?

NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI

Quando o m.d.c. de dois números é igual a 1 (um), dizemos que eles são primos entre si.

Exemplos:

a) 4 e 9 são primos entre si, pois o m. d . c . (4,9 )=1.

b) 8 e 15 são primos entre si, pois o

(

)

EXERCÍCIOS 1 – Calcule:

a) m. d . c . (4,7 )

b)

(

)

c) m. d . c . (12,5 )

d)

(

)

e) m. d . c . (12,14 )

f)

(

)

2 – Quais os pares de números do primeiro exercício que são primos entre si?

EXERCÍCIOS EXTRAS 1 – Uma escola com mais de 500 alunos distribuirá:

 1800 folhas de papel azul

 1200 folhas de papel verde

 3000 folhas de papel amarelo

Cada aluno deverá receber o mesmo número de folhas de cada cor e não sobrará nenhuma.

Pergunta-se:

a) Quantos são os alunos?

b) Quantas folhas receberá cada aluno?

2 – O número 8 e o número 25 são primos? São primos entre si?