Síntese de filtros de microondas utilizando o método TLM (Transmission Line Modeling)

Universidade de Brasília

Faculdade de Tecnologia

Departamento de Engenharia Elétrica

Monografia de Projeto Final

Síntese de Filtros de Microondas Síntese de Filtros de Microondas

Utilizando o Método TLM Utilizando o Método TLM ( ( Transmission Line Modeling) Transmission Line Modeling)

Renato de Pádua Moreira

Matrícula: 99/02686

Orientador: Prof. Leonardo R. A. X. Menezes

Brasília, Abril de 2002

Síntese de Filtros de Microondas Utilizando o Método TLM (Transmission Line Modeling)

Renato de Pádua Moreira

Banca Examinadora:

__________________________________________________

Leonardo R. A. X. Menezes Orientador

__________________________________________________

Paulo Henrique Portela de Carvalho

__________________________________________________

Agradecimentos

Agradeço a todos os professores que contribuíram para minha formação ao longo de todos esses anos. Ao meu orientador, Prof. Leonardo Menezes, agradeço ainda mais, por todo o investimento que fez em mim. A meus pais, serei sempre grato por toda o apoio que me deram ao longo de minha vida e, em especial, na conclusão deste projeto.

Sumário

Este trabalho propõe um novo procedimento de projeto para filtros de microondas planares, através da inversão do método TLM (Transmission Line Modeling) unidimensional. A técnica baseia-se na solução do problema do espalhamento inverso utilizando um algoritmo TLM, ao invés da utilização de circuitos elétricos equivalentes. O procedimento consiste em determinar a geometria do obstáculo que geraria o campo espalhado desejado. No caso de filtros de microondas, este campo pode ser visto como o coeficiente de reflexão no domínio do tempo e a geometria, o perfil de impedância do filtro.

O estudo proposto encontra-se na vanguarda da teoria de dispositivos de alta freqüência.

Abstract

This work proposes a new design procedure for planar microwave filters based on the inversion of the one-dimensional TLM (Transmission Line Matrix) method. The technique is based on the solution of the inverse scattering problem using a TLM based algorithm, instead of using equivalent circuits. The procedure consists of determining the geometry of the obstacle that generates the desired scattered field. In the case of filters, this field is the time-domain input reflection coefficient and the geometry is the impedance profile of the filter. The procedure was validated with the design of low pass and bandstop filters. It can be used to create filters with arbitrary characteristics.

ÍNDICE

Capítulo 1 – Introdução ___________________________________7 Capítulo 2 – O Método Transmission Line Modeling – TLM______9 2.1. O que é TLM?_____________________________________9 2.2. TLM-1D__________________________________________10 2.3. Simulando um perfil de impedância com o TLM-1D______________14

Capítulo 3 – TLMINV – TLM Inverso_________________________18 3.1. O algoritmo TLM Inverso (TLMINV)________________________18 3.2. Resultados do TLMINV _________________________________23 3.3. Otimização do TLMINV ________________________________26

Capítulo 4 – Filtros de Microondas_________________________29 4.1. Filtros Elétricos _____________________________________29 4.2. Obtenção da Função de Transferência_______________________31 4.2.1. Método de Aproximação Butterworth_____________________33 4.2.2. Método de Aproximação Chebyshev_____________________35 4.2.3. Transformações de Freqüência________________________37 4.2.3.1. Passa-Baixa para – Passa-Baixa__________________38 4.2.3.2. Passa-Baixa para – Passa-Passa-Alta_______________38 4.2.3.3. Passa-Baixa para – Passa-Passa-Faixa______________38 4.2.3.4. Passa-Baixa para – Passa-Rejeita-Faixa_____________39 4.3 Realização do Circuito Elétrico___________________________40 4.4. Filtros de Microondas__________________________________41 4.4.1. Implementação por Linhas de Transmissão_________________41 4.4.2. Tecnologias de Fabricação________________________44 4.4.2.1. Stripline ______________________________44 Capítulo 5 – Procedimento para Síntese de Filtros de

Microondas Utilizando o TLMINV ________________________________________

46

Capítulo 6 – Resultados Experimentais _____________________50

Capítulo 7 – Ferramenta Computacional___________________56

Capítulo 8 – Conclusão __________________________________65 Referências ____________________________________________66 ANEXO A – RESPIMP: Cálculo da Resposta Impulsional________68 ANEXO B – Artigo Publicado no IEEE Transactions on

Microwave Theory and Techniques _________________________________________

70

1. INTRODUÇÃO

Este trabalho vem propor um novo procedimento para síntese de filtros de microondas baseado em um algoritmo TLM (“Transmission Line Modeling”) unidimensional (TLM- 1D), modificado para reconstrução de obstáculos. A função deste algoritmo consiste em determinar o perfil de impedância do obstáculo que geraria um determinado campo espalhado. Por esta razão, este tipo de procedimento também é chamado de espalhamento inverso [1]. No caso de dispositivos de microondas, o campo espalhado pode ser visto como a resposta impulsional do dispositivo.

As aplicações deste tipo de solução para o problema do espalhamento inverso podem ser várias. Como síntese de todo tipo de dispositivo passivo de microondas (filtros, casadores de impedância, acopladores), além de técnicas de mapeamento de estruturas por ondas refletidas (tomografia, GPR, ...). Optou-se por explorar inicialmente a aplicação mais simples e direta deste algoritmo, que é a síntese de filtros de microondas.

Os problemas de espalhamento inverso são de grande interesse em eletromagnetismo atualmente. Diversos trabalhos foram publicados recentemente sobre síntese de filtros de microondas por técnicas de espalhamento inverso. Podemos citar [2], onde se utilizou uma solução analítica para a equação de espalhamento inverso de Schrödinger, no caso unidimensional. Em [3], usou-se outra solução analítica através da aplicação da teoria de pequenas reflexões na equação de Riccati. Além de soluções analíticas para o problema do espalhamento inverso, há trabalhos publicados em que soluções numéricas também são utilizadas para síntese de filtros, como [4], em que se implementou uma rotina de otimização para encontrar o perfil de impedância de uma linha de transmissão continuamente variante – CVTL (“Continuous Varing Transmission-Line”).

Todos os trabalhos citados utilizam um grau considerável de aproximações em suas soluções para o problema do espalhamento inverso. A grande vantagem do método proposto é que o algoritmo TLM em sua versão unidimensional não utiliza qualquer aproximação em seus cálculos. Assim, desconsiderando os erros de amostragem, a solução seria exata. A inovação e as possibilidades do método proposto o colocam em alto patamar

em relação às pesquisas conduzidas internacionalmente sobre soluções para o espalhamento inverso e síntese direta de estruturas de microondas.

Neste trabalho foi desenvolvido um algoritmo TLM-1D inverso (TLMINV), que, inversamente ao algoritmo direto, retorna o perfil de impedância que geraria um determinado campo espalhado. E, para a aplicação deste algoritmo à síntese de filtros, todo um procedimento foi criado.

Um programa de auxílio a projeto e simulação de filtros de microondas a partir desta técnica foi construído de modo a facilitar a implementação de protótipos de forma fácil e rápida.

Esta monografia apresenta, de forma sucinta, o trabalho desenvolvido em sua totalidade, sendo dividida em oito capítulos e dois anexos.

No capítulo 2, o método TLM é introduzido e a forma como ele pode ser usado para a simulação de estruturas unidimensionais é mostrada.

O algoritmo TLM inverso (TLMINV) é apresentado no capítulo 3, desde sua concepção até detalhes de sua operação, incluindo testes de precisão e tempo de processamento, e as otimizações feitas para deixá-lo mais veloz.

O capítulo 4 descreve, de forma resumida, a técnica clássica para síntese de filtros de microondas. Embora se esteja propondo uma alternativa à técnica clássica, alguns conceitos desta técnica são aproveitados.

O procedimento desenvolvido para a aplicação do algoritmo TLMINV à síntese de filtros de microondas é apresentado no capítulo 5. Nesse capítulo são descritas todas as etapas do projeto de filtros que utilizam a técnica proposta.

No capítulo 6, são mostrados os resultados empíricos do método. Apresentam-se os resultados de quatro protótipos que foram projetados e construídos.

O capítulo 7 serve de tutorial ao programa para auxílio a projeto de filtros, que utilizou o procedimento criado.

A conclusão sobre a validade e as possibilidades do método proposto, bem como seus

2. O Método Transmission Line Modeling – TLM

2.1. O que é TLM?

O TLM (Transmission Line Modeling Method, [5]) é um poderoso método numérico que atua no domínio do tempo, bastante utilizado em eletromagnetismo nos últimos anos.

Criado no início dos anos 70 por P.B. Johns, o TLM teve um rápido desenvolvimento ao longo das últimas três décadas, devido a tendência pela utilização de simulação numérica aliada às técnicas convencionais e características próprias, que tornam este método aplicável a um grande número de problemas.

As aplicações do TLM em eletromagnetismo podem ser várias, como: estudo de compatibilidade eletromagnética (EMC) e interferência eletromagnética (EMI) de dispositivos; simulação eletromagnética de estruturas de microondas; estudo e projeto de radares; modelamento de antenas; aquecimento eletromagnético; entre outras.

Além das aplicações em eletromagnetismo, o método TLM também pode ser usado em outras áreas do conhecimento como acústica, vibrações mecânicas e difusão térmica.

Fundamentalmente, o TLM consiste no modelamento de estruturas por linhas de transmissão uniformes. A estrutura é discretizada em várias células, que são tratadas como segmentos de uma linha de transmissão, nos quais, para cada passo de tempo, as ondas incidentes e refletidas são calculadas. Em geral, para a simulação são utilizadas as versões bi (2D) e tridimensionais (3D) do método. No entanto, este trabalho foi construído inteiramente sobre a versão unidimensional do TLM (TLM-1D).

2.2. TLM-1D

Consideremos que uma linha de transmissão sem perdas possua o valor da impedância em cada posição do comprimento descrita pela função de impedância Z(x), figura 1.

Assumindo que Z(x) é uma função não nula, iniciada com o valor Z0 e finalizada em ZL, que varia continuamente ao longo do comprimento x, podemos discretizá-la em N elementos, como mostra a figura 2.

Fig. 1 – Função de impedância Z(x), de uma linha de transmissão continuamente variante

Fig. 2 – Discretização de Z(x) em N elementos

Z0

ZL

Z(x)

x

[Z]

∆x

...

Z_L Z₂

Z₃

ZN

Z1

Z0

x

Desta forma, para cada intervalo de comprimento ∆x, teríamos um valor de impedância Zn, onde n representa o índice do vetor perfil de impedância [Z], de N elementos. Podemos assim representar a linha de transmissão discretizada como na figura 3.

Fig. 3 – Representação de uma Linha de Transmissão Continuamente Variante discretizada em N elementos

Consideremos agora apenas os elementos Zn-1 e Zn do perfil de impedância.

Convencionando-se o sentido positivo de propagação da esquerda para direita (ou de Zn-1

para Zn), se uma onda Vipn incidir na interface entre Zn-1 e Zn no sentido positivo e outra onda Vinn

incidir no sentido negativo, obteríamos ondas refletidas no sentido positivo (Vrnn

) e negativo (Vrpn), como representado na figura 4.

Fig. 4 – Ondas incidentes e refletidas na interface n

As ondas refletidas podem ser calculadas por:



 







 



 Γ

= Γ



 





n in n ip n n

n n n

rn n rp

V V T T V

V

'

' (1)

onde Tn é o coeficiente de transmissão de Zn-1 para Zn, Γn é o coeficiente de reflexão da interface entre Zn-1 e Zn no sentido positivo, Tn’ é o coeficiente de transmissão de Zn para Zn-

Sentido Positivo

Zn-1 Z

n

V_ipⁿ

Vrp n

V_inⁿ

Vrn n

x

. . . . . .

Z₁ Z₂ Z_n Z_N

Z₀ Z₃ Z

L

1 e Γn’ é o coeficiente de reflexão da interface no sentido negativo. Estes coeficientes podem ser calculados por:

n n

n

n Z Z

T Z

= +

−1

2 (2)

n n

n

n Z Z

T Z

= +

−

− 1

2 1

' (3)

n n

n n

n Z Z

Z Z

+

= − Γ

−

− 1

1 (4)

n n

n n

n Z Z

Z Z

+

= − Γ

−

− 1

' 1 (5)

O algoritmo TLM-1D é construído então da seguinte forma: dadas as condições iniciais Vipn

e Vinn

em todas as interfaces, para cada passo de tempo k são calculadas as ondas refletidas Vrpn

e Vrnn

através das equações (1) a (5). Em seguida faz-se a conexão entre ondas refletidas e incidentes para o próximo passo de tempo:

1 1

+ _ipⁿ=_{k rp}ⁿ−

k V V (6)

1 1

+ _inⁿ=_{k rn}ⁿ+

k V V (7)

No fim da linha, parte da onda que ZN entrega a carga é refletida pelo coeficiente de reflexão ΓL e, no próximo passo de tempo, volta a incidir sobre ZN. Isto é:

A rotina do algoritmo pode ser representada pelo fluxograma da figura 5.

Fig. 5 – Fluxograma do algoritmo TLM-1D Condições Iniciais

0V

ip n,

0V

in n , Γ

L

Espalhamento (cálculo das ondas

refletidas) Eq. (1) – (5)

Conexão (cálculo das novas

ondas incidentes) Eq. (6), (7) e (8)

k < num. de passos de tempo

Fim

3.2. Simulando um perfil de impedância com o TLM-1D

Podemos simular a resposta impulsional de um determinado perfil de impedância utilizando o algoritmo TLM-1D. Para tanto, devemos assumir que a carga está casada com ZN e fazer com que um impulso unitário seja aplicado na entrada do perfil em t = 0.

Isso implica nas seguintes condições iniciais para o algoritmo:

ΓL = 0

0Vip1

= 1

0Vipn = 0 , para 1 < n ≤ N

0Vinn = 0 , para 1 ≤ n ≤ N

Podemos visualizar melhor como se processa o algoritmo através de um diagrama espaço-tempo (figura 6) similar ao utilizado por Collin em [6].

No primeiro passo de tempo (k = 0), a onda incidente na interface entre Z0 e Z1 gera uma onda refletida de volta a Z0 e uma onda transmitida para Z1. No segundo passo de tempo (k

= 1), a onda que fora transmitida encontra a interface entre Z1 e Z2 e, novamente, parte dela reflete para Z1 e parte é transmitida para Z2. No terceiro passo de tempo a onda que havia sido refletida para Z1 encontra a interface entre Z1 e Z0 e parte reflete e parte é transmitida a Z0. Enquanto isso, a onda que em k = 1 foi transmitida para Z2 encontra a interface com Z3 e é também partida em duas. E assim sucessivamente.

Fig. 6 – Diagrama espaço-tempo das ondas incidentes e refletidas em um perfil de impedância

As ondas que partem da primeira interface no sentido negativo constituem as parcelas discretas do coeficiente de reflexão do perfil no domínio do tempo γ(t) , que pode ser expresso analiticamente da seguinte forma:

∑

=

∆

−

= ^nt

k

k t k t

t

0

) 2 ( )

( γ δ

γ (9)

onde nt é o número de passos de tempo, γ^k representa o valor de cada kVrn1 e ∆t é o tempo necessário para a onda eletromagnética percorrer a distância ∆x do perfil de impedância, podendo ser calculado por:

vp

t= ∆x

∆ (10)

onde v é a velocidade de propagação da onda eletromagnética no material, dada por:

Z

Z

Z

Z

Z

1

Z

5

Z

k

0 2 4 6 8

t

. . .

N

.. .

µε

= 1

vp (11)

Assumindo µ ⁼ µ^{0 :}

r p

v c

= ε (12)

onde c é a velocidade da luz no espaço livre (c ≅ 3x10⁸ m/s) e ε^r é a permissividade relativa do material.

Da mesma forma, o coeficiente de transmissão do perfil pode ser expresso por:

∑

=

∆

−

= ^nt

N k

k t k t

h t

h( ) δ( 2 ) (13)

onde hk corresponde ao valor de kVrpN

.

Na equação (13), o primeiro elemento do somatório ocorre apenas no N-ésimo passo de tempo devido ao fato de que são necessários N passos de tempo para que exista um valor não nulo de VrpN

. O mesmo não ocorre em (9), onde Vrn1

é não nulo desde k = 0.

A resposta em freqüência do perfil de impedância é calculada com o uso da transformada de Fourier de γ(t) e h(t), ou

H(jω^{) =}

F

Assim, utilizando o algoritmo TLM-1D, podemos simular a resposta impulsional e em freqüência de qualquer perfil de impedância unidimensional que possa ser discretizado. O número de passos de tempo necessários para se obter uma boa resposta varia de perfil para perfil. Em geral, nt é escolhido como sendo o suficiente para que γ(t) (ou h(t)) possa ser truncado.

3. TLMINV – TLM Inverso

3.1. O Algoritmo TLM Inverso (TLMINV)

O algoritmo TLM unidimensional apresentado no capítulo anterior tem sua aplicação estritamente voltada à análise, ou seja, a partir de uma estrutura conhecida deseja-se encontrar a resposta de tal estrutura no domínio do tempo ou da freqüência, como mostra a fig. 7.

Fig. 7 – Funcionamento do algoritmo TLM

Este é o caso de um problema direto, onde campo espalhado é obtido a partir de informações a respeito da estrutura. Para fazer a síntese de estruturas ou a reconstrução de obstáculos é necessário que se processe o inverso, ou seja, que se descubra que tipo de estrutura realizaria um determinado campo espalhado conhecido. Neste caso, trata-se de um problema inverso.

Neste trabalho é proposto um algoritmo que se baseia no TLM-1D para obter a solução do problema do espalhamento inverso. Pelo fato de o algoritmo realizar o inverso que o TLM faz, em termos de valores de entrada e saída, o chamamos de TLM Inverso, ou TLMINV. Assim,

Z(x)

TLM

TLMINV

Para compreender como a algoritmo TLMINV funciona, deve-se analisar primeiro o diagrama espaço-tempo da figura 6. Utilizando as equações (1) a (5), tabela 1 é construída.

As ondas refletidas para fora do perfil pela extremidade esquerda (Z0) definem os elementos do coeficiente de reflexão discreto no domínio do tempo (γ^k). Os valores de γ^{k são} calculados através dos coeficientes de transmissão e reflexão de cada interface.

Tabela 1 – Valores de γk

k γγγγ

0 ΓΓΓΓ

2 T

ΓΓΓΓ

T

’

4 T

T

ΓΓΓΓ

T

’T

’ + T

Γ

Γ

’Γ

T

’

⋮ ⋮

Analisando a figura 6 e a tabela 1, pode-se perceber que a informação referente à camada n (Γⁿ), chega a γ^k no passo de tempo

k = 2n – 2 (16)

Caso Γn seja conhecido, Zn pode ser calculado isolando-o em (4), ou

n n n

n Z

Z −Γ

Γ

= ₋ + 1 1

1 (17)

Além disso, a partir de k = 4, nota-se que γ^k é formado por duas parcelas características:

• Ak : contendo o coeficiente de reflexão da n-ésima interface Γn , multiplicado pelo produto dos coeficientes de transmissão, nos sentidos positivo e negativo, de todas as interfaces anteriores a n; e

• Bk : referente aos vários caminhos percorridos por reflexões internas no perfil de impedância;

Dessa forma, podemos expressar γ^{k como:}

γ^{k = Ak}Γn + Bk (18)

A expressão matemática para γ^k torna-se bastante complexa para k > 4. Para k = 6, por exemplo, teríamos:

γ^{6 = A6}Γ4 + B6 (19)

A6 = T1T2T3T3’T2’T1’ (20)

B6 = T1Γ2Γ1’Γ2Γ1’Γ2T1’ +

T1Γ2Γ1’T2Γ3T2’T1’ +

T1T2Γ3Γ2’Γ3T2’T1’ +

T1T2Γ3T2’Γ1’Γ2T1’ (21)

Bk tem a característica de ser uma soma de produtos onde cada produto representa um caminho existente entre 0Vip1

e γ^k, e 1 ≤ n < N, percorrido por reflexões internas. A quantidade de caminhos que são percorridos por reflexões internas aumenta consideravelmente com número de passos de tempo, o que torna inviável o cálculo de uma expressão fechada para γ^k. A partir deste ponto é que se propõe o uso do algoritmo TLM- 1D para a solução do problema.

A cada passo de tempo, são executadas duas simulações do TLM. A primeira, supõe a carga casada (ΓL = 0), de onde se obtém γ^kcasado. Na segunda simulação, assumimos a carga em aberto (ΓL = 1), obtendo γ^kaberto.

Como, no passo de tempo k = 2n – 2, Γn = ΓL, a equação (18) torna-se, em cada caso:

γ^{kcasado = Bk (22)}

γ^{kaberto = Ak + Bk (23)}

Isolando Γⁿ em (18) e substituindo (22) e (23), Γⁿ pode ser encontrado por:

casado k aberto k

casado k k

n γγ γγ

−

= −

Γ (24)

onde γ^k é o valor amostrado de γ(t) em t = k∆t, sendo ∆t o inverso da freqüência de amostragem.

O algoritmo TLMINV pode ser representado pelo seguinte fluxograma:

Fig. 9 – Fluxograma do algoritmo TLMINV Condições Iniciais

Z0 , N , [γ^]

2 Simulações TLM

Γ_L = 0 ⇒ γ_k^casado Γ_L = 1 ⇒ γ_k^aberto

Cálculo de ΓΓΓΓ_n Eq. (24)

n < N

Fim Cálculo de Z_n

Eq. (17)

3.2. Resultados do TLMINV

O algoritmo TLMINV, assim como descrito no item 3.1, foi criado como uma função matemática no MATLAB com o nome de TLMINV0, e a partir desta função foram feitos testes quanto à precisão dos resultados e tempo de processamento.

Para testar a precisão do algoritmo, simulamos o coeficiente de reflexão de um perfil de impedância arbitrário [Z]. Em seguida, reconstruímos o perfil através do TLMINV, obtendo [Z’]. O erro no método foi calculado como o maior valor absoluto da diferença entre os elementos Zn e Zn’. Este procedimento foi realizado várias vezes para vários valores de N (número de seções), e o resultado pode ser visto no gráfico da figura 10.

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

10^-15 10^-14 10^-13 10^-12 10^-11 10^-10 10^-9 10^-8 10^-7

Erro Médio do TLMINV0

Número de Seções (N)

Erro

Fig. 10 – Erro do TLMINV0 em função do número de seções (N)

O gráfico da figura 10 mostra que o erro do algoritmo cresce rapidamente com o número de passos de tempo. Porém, para N na faixa dos 100 pontos, o erro ainda é bastante aceitável.

Outro teste importante a ser feito é do tempo de processamento do algoritmo. Para tanto, o algoritmo TLMINV0 implementado no MATLAB foi testado para valores de N entre 10 e 100. Utilizou-se uma máquina Pentium 700 MHz, com 64 MB de memória RAM. O resultado está no gráfico da figura 11.

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 10 20 30 40 50 60 70 80

Tempo de Processamento

Número de Seções (N)

Tempo (segs.)

Fig. 11 – Gráfico linear relacionando o tempo de processamento com o número de seções

Como se vê, o tempo de processamento cresce consideravelmente com o número de seções.

Se traçarmos um gráfico log-log, como na figura 12, podemos ver que a relação entre o tempo de processamento e o número de seções é de ordem aproximadamente cúbica.

10¹ 10²

10^-2 10^-1 10⁰ 10¹ 10²

Tempo de Processamento

Número de Seções (N)

Tempo (segs.)

Fig. 12 – Gráfico log-log relacionando o tempo de processamento com o número de seções

3.3. Otimização do TLMINV

Foi feito um trabalho minucioso para reduzir os cálculos redundantes do TLMINV, uma vez que o tempo de processamento era demasiado longo para um número razoável de elementos em [Z] , como mostra a figura 11. O primeiro passo foi calcular a contribuição da resposta ao circuito aberto diretamente, subtraindo uma simulação do TLM. Isto foi feito em TLMINV1, o que reduziu o tempo de processamento para aproximadamente a metade do que o TLMINV0 dispendia.

Até o TLMINV1, para se encontrar cada elemento Zn de [Z], o algoritmo calculava 2n-1 passos de tempo do TLM. Isto é desnecessário, uma vez que, para o elemento anterior (Zn- 1), várias reflexões internas que entram no cálculo de Zn já foram encontradas. Isso pode ser visto na figura 13, que demonstra o que ocorre para n = 5, onde as setas de cor verde representam as reflexões já calculadas para n = 4. As setas em azul representam as reflexões que não precisariam ser calculadas, já que não entram no cálculo de Z5.

Z

Z

Z

Z

Z

1

Z

5

Z

k

0 2 4 6 8

t

. . .

O TLMINV2 armazena os valores das reflexões internas e os utiliza recursivamente de tal forma que no passo n as reflexões em verde, calculadas em n-1, sejam reaproveitadas.

Para tanto, foi necessário modificar o algoritmo TLM utilizado, tornando-o flexível suficiente para iniciar e terminar os cálculos a quaisquer passos de tempo, retornando todas as ondas (em ambos os sentidos). Isso reduziu o número de passos de tempo necessários para cada Zn pela metade do TLMINV1, acarretando no aumento da velocidade do algoritmo.

Por fim, a versão TLMINV3, excluiu os cálculos das reflexões que não são necessárias à Zn (setas azuis), de tal forma que o algoritmo só efetua os cálculos indispensáveis (setas vermelhas) para cada Zn, atingindo sua forma ótima.

Os resultados em termos de tempo de processamento e erro das diversas versões do TLMINV podem ser conferidos no gráfico da figura 14.

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Tempo de Processamento das versões do TLMINV

Número de Seções (N)

Tempo (seg.)

TLMINV0 TLMINV1 TLMINV2 TLMINV3

Fig. 14 – Gráfico comparativo da velocidade das diversas versões do TLMINV.

Outro teste efetuado foi referente ao erro das versões do TLMINV. Porém, como pode ser conferido na figura 15, não houve mudança significativa neste quesito.

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

10^-16 10^-15 10^-14 10^-13 10^-12 10^-11 10^-10 10^-9 10^-8

Erro Máximo entre as versões do TLMINV

Número de Seções (N) TLMINV0

TLMINV1 TLMINV2 TLMINV3

Fig. 15 – Erro máximo de cada versão do TLMINV.

4. Filtros de Microondas

Neste capítulo é apresentada, de forma bastante resumida, a teoria básica de filtros, assim como a técnica clássica de síntese de filtros de microondas. Este trabalho propõe um procedimento alternativo à essa técnica. Assim, apenas os conceitos utilizados serão suficientemente detalhados.

4.1. Filtros Elétricos

Filtros elétricos são dispositivos projetados para separar sinais desejados de não- desejados a um circuito ou sistema. Estão presentes em todas as aplicações de engenharia elétrica desde telecomunicações a sistemas de potência. É difícil imaginar algum equipamento de moderada complexidade que não utilize um filtro de uma forma ou de outra. A teoria de filtros elétricos vem sendo estudada há muito tempo, apresentando uma bibliografia bastante vasta. Pode-se citar, por exemplo, [7], [8] e [9].

Os filtros podem ser de amplitude ou de fase. Os filtros de amplitude selecionam os sinais dentro de uma banda passante, atenuando a amplitude dos sinais fora desta banda (na banda de rejeição). A potência do sinal contido na banda de rejeição é refletida ou dissipada no próprio filtro. Os filtros de fase, em geral, são poucos seletivos quanto a bandas passante e de rejeição. Por isso, são também chamados de filtros passa-tudo. Sua principal função é a compensação de fase, para corrigir dispersões. Neste trabalho, trataremos apenas de filtros de amplitude, por reflexão dos sinais rejeitados.

Os filtros de amplitude são definidos em quatro categorias básicas em relação à sua seletividade:

• Passa-Baixa: filtro em que a banda passante é situada entre 0 e a freqüência ωc

e a banda de rejeição vai de ωc a infinito.

• Passa-Alta: filtro em que a banda passante vai de ωc a infinito, enquanto a banda de rejeição está entre 0 e ωc.

• Passa-Faixa: filtro que seleciona a banda passante entre ωc1 e ωc2 e rejeita as freqüências entre 0 e ωc1 e maiores que ωc2.

• Rejeita-Faixa: filtro que rejeita a banda entre ωc1 e ωc2, deixando passar as freqüências fora deste intervalo.

A primeira etapa no projeto de filtros é encontrar uma função de transferência que realizaria o comportamento em freqüência especificado. Isso pode ser feito utilizando métodos de aproximação, como é descrito no item 4.2.

4.2. Obtenção da Função de Transferência

Qualquer que seja o tipo de filtro a ser projetado é necessário que se encontre um protótipo passa-baixa para este filtro, que conteria as especificações em relação à atenuação em freqüência. Depois, conforme o tipo, são aplicadas transformações de freqüência que deslocariam o comportamento em freqüência do filtro para seu lugar especificado no espectro. Trataremos inicialmente então apenas de filtros passa-baixa normalizados.

Um filtro ideal teria característica da figura 16.

Fig. 16 – Filtro passa-baixa ideal

No entanto, um filtro ideal é irrealizável. Não há uma fórmula fechada para H(s) que resulte na resposta em freqüência da figura 16.

Pode-se aproximar a característica de um filtro realizável a um filtro ideal introduzindo uma certa margem de tolerância. Assim,

AMÁX < |H(jω)| < 1 , para 0 < ω < ωc (25)

AMÁX < |H(jω)| < AMÍN , para ωc < ω < ωr (26)

|H(jω)| < AMÍN , para ω > ωr (27)

ωc

1

ω ^(rad/s)

|H(jω^)|

onde AMÁX é a atenuação máxima na banda passante, AMÍN é a atenuação mínima na banda de rejeição, ωc é a freqüência de corte e ωr é a freqüência de rejeição do filtro.

O comportamento em freqüência do filtro seria como o da figura 17.

Fig. 17 – Resposta em freqüência de um filtro realizável

Deve-se então encontrar uma função de transferência estável e realizável que se aproxime da característica ideal dentro dos níveis de tolerância especificados em (25), (26) e (27).

A função de transferência de um filtro é obtida da forma zeros, pólos e ganho, ou seja,

) ( ) )(

(

) ( ) )(

) ( (

2 1

2 1

n m

p s p s p s

z s z s z s s k

H − − −

−

−

= −

⋯

⋯

, (28)

onde o número de zeros (m) é sempre menor ou igual o número de pólos (n), também chamado de ordem do filtro.

Dois dos métodos de aproximação mais conhecidos são o Butterworth e o Chebyshev.

Os filtros passa-baixa correspondentes são também chamados de filtros “all-pole”, pois AMÍN

AMÁX

1

ω_r ω_c

|H(jω^)|

ω ^(rad/s)

4.2.1. Método de Aproximação Butterworth

O método Butterworth caracteriza-se por ser extremamente plano na origem. Por isso também é chamado de máxima planura.

A resposta em freqüência (amplitude) de um filtro passa-baixa normalizado Butterworth é:

j n

H 2

1 ) 1

( ω ω

= + , (29)

onde n é a ordem do filtro.

Um exemplo da resposta em freqüência de um filtro passa-baixa normalizado Butterworth de ordem 5 é mostrado na figura 18.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

w (rad/s)

|H(jw)|

Fig. 18 – Resposta em freqüência de um filtro Butterworth, ordem 5

Os pólos de (28), para o filtro passa-baixa Butterworth podem ser calculados por:

n j i

n jb i

a

p_{i i i}

2 ) 1 2 cos( 2

) 1 2

sen( − π + − π

−

= +

= , (30)

onde i = 1, 2, ..., n.

A figura 19 mostra a distribuição no plano complexo dos pólos do filtro passa-baixa normalizado Butterworth de ordem 5.

-1 -0.5 0 0.5 1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Real Part

Imaginary Part

Fig. 19 – Distribuição de pólos no plano complexo de um filtro Butterworth, ordem 5.

4.2.2. Método de Aproximação Chebyshev

A resposta em freqüência de um filtro Chebyshev tem como característica apresentar ondulações (ripple) de mesma amplitude na banda passante. Além disso um filtro Chebyschev é mais seletivo que um filtro Butterworth de mesma ordem.

A resposta em freqüência de um filtro Chebyshev passa-baixa normalizado é dada por:

) ( 1

) 1

( ω ε2 2 ω

Cn

j

H = + , (31)

onde ε é uma constante que pode ser calculada a partir do ripple em banda passante Rp, em dB, por:

1 10 ^/10 −

= ^Rp

ε ⁽³²⁾

e Cn(ω) é uma função polinomial Chebyshev do tipo 1 e ordem n:

)) ( cos cos(

)

(ω = n ⁻¹ ω

C_n (33)

Um exemplo da resposta em freqüência de um filtro passa-baixa normalizado Chebyshev de ordem 5 e ripple 0,5 dB é mostrado na figura 20.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

w (rad/s)

|H(jw)|

Fig. 20 – Resposta em freqüência de um filtro Chebyshev, ordem 5, ripple 0,5 dB

Os pólos de (28) do filtro passa-baixa Chebyshev tipo 1, podem ser calculados por:

) cosh(

2 ) 1 2 cos( )

senh(

2 ) 1 2

sen( v

n j i

n v jb i

a

p_i = _i + _i =− − π + − π (34)

para i = 1, 2, ..., n , onde

A figura 21 mostra a distribuição no plano complexo dos pólos do filtro passa-baixa normalizado Chebyshev de ordem 5, ripple 0,5 dB.

-1 -0.5 0 0.5 1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Real Part

Imaginary Part

Fig. 21 – Distribuição no plano complexo dos pólos de um filtro Chebyshev, ordem 5, ripple 0,5 dB

O filtro Chebyshev tem também a característica de seus pólos se situarem em uma semi-elípse centrada na origem do plano complexo.

4.2.3. Transformações de Freqüência

Até agora tem-se lidado apenas com filtros passa-baixa normalizados. No entanto estes não são o tipo mais comum de filtros. Neste item são apresentadas as transformações de freqüência que convertem os protótipos passa-baixa em passa-alta, passa-faixa e rejeita- faixa.

4.2.3.1. Transformação Passa-Baixa para Passa-Baixa

Esta transformação é usada para desnormalizar a função de transferência do filtro. Para tanto, a função de transferência do filtro desnormalizado é obtida por:

( )







= 

c N PB

H s s

H ω ⁽³⁶⁾

onde HN é a função de transferência do protótipo passa-baixa, HPB é a função de transferência do filtro passa-baixa desnormalizado e ωc é a freqüência de corte do filtro.

4.2.3.2. Transformação Passa-Baixa para Passa-Alta

Reciprocamente a transformação passa-baixa para passa-baixa, a transformação da função de transferência de um protótipo passa-baixa para um filtro passa-alta, para uma freqüência de corte ωc é:

( )



 



=  H s s

H_{PA N} ω^c

(37)

onde HPA é a função de transferência do filtro passa-alta.

4.2.3.3. Transformação Passa-Baixa para Passa-Faixa

A transformação passa-baixa para passa-faixa, diferentemente das anteriores, transforma a banda passante (centrada em ω = 0) em duas, centradas em ω^{0 e -}ω^{0, ambas}

onde a freqüência central ω⁰ e a largura de banda B podem ser calculadas através das freqüências de corte inferior e superior, ω^{A e} ω^B, respectivamente, por:

B

B =ωA−ω (39)

B Aω ω

ω₀ = (40)

4.2.3.4. Transformação Passa-Baixa para Rejeita-Faixa

Da mesma forma que o passa-alta é recíproco ao passa-baixa, também o é o rejeita- faixa em relação ao passa-faixa. Logo, a transformação que resulta em sua função de transferência é a inversa do passa-faixa, ou

( )









= + ₂

0

2 ω

s H Bs s

H_{RF N} (41)

onde ω⁰ e B podem ser calculados pelas equações (39) e (40).

4.3. Realização do Circuito Elétrico

Após a obtenção da função de transferência do filtro desejado, a próxima etapa, segundo a técnica convencional, seria a realização do circuito elétrico que descreveria a função em termos de tensões e correntes.

Para isso existem alguns métodos que a partir dos parâmetros da função de transferência de circuito, calculam os elementos de uma rede LC. Não faz parte deste trabalho mostrar como funcionam estes métodos.

Apenas como ilustração, a função de transferência de um filtro Butterworth passa-baixa normalizado, de ordem 4 é

( )

2

2+ + + +

= s s s s

s

H (42)

Através dos métodos de obtenção dos parâmetros da rede LC, chega-se ao circuito da figura 22.

Fig. 22 – Circuito elétrico correspondente à função de transferência (42)

4.4. Filtros de Microondas

A teoria de filtros apresentada até o item anterior serve para a síntese de filtros elétricos operando em qualquer freqüência. Em microondas, no entanto, a implementação de circuitos com parâmetros concentrados é muito complicada, pois muitas vezes os elementos do circuito são do mesmo tamanho que o comprimento de onda dos sinais operados por este circuito.

Os circuitos de microondas são, na maioria das vezes, vistos como linhas de transmissão ou guias de onda. Neste trabalho trataremos somente de linhas de transmissão.

Portanto considera-se apenas a propagação de ondas eletromagnéticas transversais (TEM).

4.4.1. Implementação de Filtros de Microondas com Linhas de Transmissão

As técnicas clássicas de implementação de filtros de microondas se baseiam em aproximações entre os parâmetros concentrados de um circuito elétrico e linhas de transmissão equivalentes. Por exemplo, dado um circuito elétrico, executam-se transformações numéricas que convertem esse circuito em uma rede de estubes em série e em paralelo, como mostra a figura 23.

A partir dos parâmetros estubes da figura 23(b), o filtro poderia ser implementado fisicamente em diversas tecnologias de fabricação. Por exemplo, a figura 24 mostra a implementação deste filtro em microstrip.

Em todas as técnicas clássicas de implementação de filtros de microondas, aproxima-se parâmetros concentrados de um circuito elétrico a parâmetros distribuídos de linhas de transmissão. Esta aproximação muitas vezes gera um desvio na resposta em freqüência, o que caracteriza uma grande desvantagem dessas técnicas.

(a)

(b)

Fig. 23 – (a) Circuito elétrico; (b) Rede de estubes que realizam a função do circuito elétrico de (a);

A figura 25 mostra a resposta em freqüência do circuito de parâmetros concentrados e dos parâmetros distribuídos da figura 23.

Fig. 25 – Resposta em Freqüência do circuito 23(a) (Lumped Elements) e da rede 23(b) (Distributed Elements)

Além da estrutura de estubes para implementação do filtro, outras formas também poderiam ser usadas, como interdigital, Hairpin, SIR, entre outras. A escolha sobre qual a melhor forma e tecnologia para se projetar um filtro variam de caso para caso, conforme a relação custo-benefício. Mais informações sobre projeto e implementação de filtros de microondas podem ser encontradas nas referências [10-12].

4.4.2 Tecnologias de Fabricação

Uma das maneiras mais comuns de se implementar funções em microondas é utilizando linhas de transmissão planares. As três formas básicas de linha de transmissão planares são stripline, microstrip e slotline. Dentro dessas classes ainda existem variantes, como stripline suspensa, stripline com paredes laterais, sem paredes laterais, microstrip suspensa, microstrip invertida, microstrip invertida confinada, guia coplanar, strip coplanar, etc. Cada tipo de linha de transmissão tem suas características próprias que a torna mais ou menos aplicável, dependendo do caso. Alguns detalhes sobre cada tecnologia podem ser encontrados na referência [13].

Neste trabalho, devido à facilidade de fabricação e à disponibilidade de material em nosso laboratório, optou-se por utilizar somente a stripline para a implementação de protótipos.

4.4.2.1. Stripline

A stripline (traduzindo: “linha de fita”) é talvez a linha de transmissão mais fácil de ser implementada. A geometria da stripline é mostrada na figura 26. Caracteriza-se como uma fina tira de condutor de largura W, centrada entre dois largos planos condutores (planos terra) de separados por b. O volume entre estes condutores é preenchido com um dielétrico de permissividade relativa ε^r.

A solução exata da equação de Laplace para a stripline é bastante complexa e envolve muitos termos. Por isso, é utilizada uma aproximação numérica para que se possa calcular a relação entre a impedância característica e a razão largura/distância entre planos terra.

Assim, temos que:

onde

441 , 30 0

0

−

= Z

x εr

π (44)

Através das equações (43) e (44) são calculadas as larguras W correspondentes às impedâncias Z0, na stripline.

Fig. 26 – Geometria da Stripline

b

W

ε

5. Procedimento para Síntese de Filtros de Microondas utilizando o TLMINV

No capítulo anterior a técnica convencional de síntese de filtros de microondas foi apresentada. Neste capítulo é mostrado como foi desenvolvido o procedimento para síntese de filtros de microondas que utiliza o algoritmo TLMINV como núcleo. A técnica desenvolvida contém quatro etapas fundamentais. São elas:

Etapa 1 – Obtenção da Função de Transferência

Para a caracterização da resposta em freqüência do filtro utilizam-se os métodos de aproximação descritos no tópico 4.2. É obtida assim, a função de transferência para o coeficiente de reflexão do filtro. Os parâmetros de entrada desta etapa são:

• Tipo do Filtro (passa-baixa, passa-alta, passa-faixa, rejeita-faixa);

• Método de Aproximação (Butterworth, Chebyshev, ...);

• Freqüência(s) de Corte;

• Ordem da Função de Transferência

• Atenuação Máxima (na banda passante);

• Atenuação Mínima na Banda de Rejeição.

Etapa 2 – Cálculo da Resposta Impulsional e Amostragem

demonstração do algoritmo que calcula a resposta impulsional (RESPIMP) encontra-se no ANEXO A. Nesta etapa, os parâmetros de entrada são:

• Função de Transferência (Γ(s));

• Freqüência de Amostragem ( fS);

• Número de Pontos (N).

Etapa 3 – Obtenção do Perfil

Nesta etapa, o vetor perfil de impedância é calculado do coeficiente de reflexão amostrado no domínio do tempo pelo algoritmo TLMINV. As entradas desta etapa são:

• Coef. de Reflexão ([γ^]);

• Impedância da Linha (Z0).

Etapa 4 – Corte da Fita

A geometria da fita (stripline) tem a forma de uma cascata de N segmentos de largura Wn e comprimento ∆x. A largura de cada segmento Wn é determinada pelas equações (43) e (44), onde Z0 assume o valor de Zn. Ao substituirmos ∆t por 1/fS em (10), temos que o comprimento de cada segmento pode ser calculado por:

r

fS

x c

= ε

∆ (45)

Os parâmetros de entrada desta etapa devem ser:

• Perfil de Impedância ([Z]);

• Freqüência de Amostragem (fS);

• Permissividade do Dielétrico (ε^r);

• Distância entre os Planos Terra (b).

Finalmente, temos o layout de um filtro projetado para ser a ser fabricado em stripline, como ilustrado na figura 27.

Fig. 27 – “Layout” do corte da fita (stripline) de um filtro projetado através do procedimento desenvolvido

∆x

[W]

As etapas do procedimento para síntese de filtros de microondas através do TLMINV são mostradas no diagrama da figura 28.

Fig. 28 – Diagrama do procedimento desenvolvido para síntese de filtros de microondas

∆x [W]

Z0

Γ(s ) Obtenção da

Função de Transferência

RESPIMP (Resposta Impulsional e Amostragem)

[γ^]

TLMINV [Z]

STRIPLINE

Ripple

Método de Aproximação Tipo do Filtro

Freqüência(s) de corte Ordem

fS

N

fS

ε

6. Resultados Experimentais

Utilizando o procedimento desenvolvido, quatro protótipos foram projetados, construídos e testados. Suas fotografias estão nas figuras 29 a 32.

Fig. 29 – “Layout” do filtro passa-baixa interpolado

Fig. 31 – “Layout” do filtro bassa-baixa Chebyschev

Fig. 32 – “Layout” do filtro passa-baixa Butterworth

Os filtros foram construídos no LEMOM (Laboratório de Microondas e Ondas Milimétricas). O substrato usado possui constante dielétrica εr =2,17 e espessura de 1,524 mm. Os filtros foram medidos no analisador de espectro HP 8539, e os resultados são mostrados nas Figuras 33 (passa-baixa - interpolado), 34 (rejeita-faixa - interpolado), 35 (passa-baixa chebyschev) e 36 (passa-baixa Butterworth). Os resultados medidos e simulados são apresentados juntos para comparação. Pode-se constatar que há uma boa concordância entre os resultados simulados e medidos.

2 3 4 5 6 7 8 9 10

9

-50 -45 -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0

Frequency (GHz)

Magnitude

Low Pass filter – simulation and measurements

Fig. 33 – Resultados medido e simulado para o filtro passa-baixa interpolado.

Medido – linha contínua, simulado – linha pontilhada.

6 7 8 9 10 11 12 13 14 -25

-20 -15 -10 -5 0 5 10

Frequency (GhZ)

Magnitude (dB)

Band Reject Filter – simulation and measurement

Fig. 34 – Resultados medido e simulado para o filtro rejeita-faixa interpolado.

Medido – linha contínua, simulado – linha pontilhada.

3 4 5 6 7 8 9 10 -35

-30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5

Low pass Butterworth

Frequency (GHz)

Magnitude (dB)

Fig. 35 – Resultados medido e simulado para o filtro passa-baixa chebyschev.

Medido – linha contínua, simulado – linha pontilhada.

3 4 5 6 7 8 9 10 -60

-50 -40 -30 -20 -10 0 10

Low pass Chebyscheff

Frequency (GHz)

Magnitude (dB)

Fig. 36 – Resultados medido e simulado para o filtro passa-baixa Butterworth.

Medido – linha contínua, simulado – linha pontilhada.

6. Ferramenta Computacional

Um dos objetivos principais deste trabalho concentra-se na elaboração de uma ferramenta computacional integrada para auxílio ao projeto de filtros de microondas baseados na técnica desenvolvida, para a plataforma Windows 95 ou superior. A partir desta ferramenta, novos protótipos podem ser projetados e construídos e as possibilidades da técnica podem ser melhor exploradas.

Nas etapas iniciais do projeto, as funções matemáticas do algoritmo foram todas implementadas e testadas em ambiente MATLAB. Neste mesmo ambiente, foram projetados vários perfis e construídos os quatro protótipos. Com base nos resultados dos testes, todas as etapas do algoritmo foram aprimoradas, tornando-o mais preciso e veloz.

No entanto, para se construir uma ferramenta integrada é necessário que todas as funções sejam conectadas utilizando o mesmo compilador. Assim, todas as funções foram reescritas em linguagem C++ e o programa de auxílio a projeto de filtros foi desenvolvido através da ferramenta C++ Builder. Neste tópico é mostrado como funciona o programa desenvolvido.

O nome TLMINV foi usado anteriormente para chamarmos o algoritmo TLM inverso, que é apenas uma parte do programa. Mas, por ser também núcleo em que se baseia toda a técnica, denominamos o programa como TLMINV: Sintetizador de Filtros. Para que não haja confusão, até o final deste capítulo, sempre que se cite TLMINV se fará referência ao programa e não ao algoritmo TLM inverso. A figura 37 mostra o TLMINV assim que inicializado.