Notas em Percola¸c˜ao

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Notas em Percola¸c˜ ao

Luiz Renato G. Fontes

Instituto de Matem´atica e Estat´ıstica — USP

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Pref´ acio

Dos modelos da f´ısica estat´ıstica na rede a exibir transi¸cão de fase, o modelo de Percola¸cão é possivelmente o mais simples e um dos que mais bem exem- plificam a rica e frut´ıfera interrela¸cão que há na área entre métodos da f´ısica matemática, probabilidade e combinatória.

Formulado em fins da década de 50 por Broadbent e Hammersley [1] como um modelo de transporte de fluido em meio poroso, ele teve seus primeiros resultados não-triviais (sobre a existência de transi¸cão de fase) provados por estes autores. Harris [2] obteve resultados parciais sobre o ponto cr´ıtico em duas dimensões no in´ıcio dos anos 60. Mais tarde, já em fins dos anos 70 e in´ıcio dos 80, Kesten [3] estabeleceu seu valor exato. Diversos outros resultados importantes foram obtidos neste último per´ıodo, como os argumentos independentes de Menshikov [4] e Aizenman e Barsky [5] para estabelecer a unicidade do ponto cr´ıtico e o resultado de Aizenman, Kesten e Newman sobre a unicidade do aglomerado infinito [6].

Os fins dos anos 80 e in´ıcio dos 90 marcam o ataque a um dos problemas mais elusivos do modelo, a continuidade da densidade do aglomerado infinito no ponto cr´ıtico em mais do que duas dimensões. Idéias de renormaliza¸cão de Barsky, Grimmett e Newman [7] produziram os resultados mais importantes a respeito, ainda que incompletos (o problema original permanece em aberto!).

Estas notas representam tópicos apresentados pelo autor em cursos sobre Percola¸cão na USP de São Carlos e São Paulo, na UFMG e no IMPA entre janeiro de 1993 e fevereiro de 1994. Os pontos abordados são basicamente os delineados acima. As fontes são o livro já bastante aclamado Percolation de

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G.R. Grimmett [8], que serve de referência para tudo aqui e muito mais, e também notas de aulas tomadas de C.M. Newman na NYU em 1990. Supõe- se um conhecimento de teoria da probabilidade a n´ıvel de gradua¸cão. Alguns resultados mais avan¸cados (mas clássicos) desta teoria são citados, para os quais indicamos, por exemplo, Breiman [9] como referência.

Agrade¸co o coleguismo e amizade dos mentores dos cursos que mencionei, Cláudio Paiva, Gastão Braga e Maria Eulália Vares. Agradecimentos especi- ais a esta última pela iniciativa de sugerir e organizar a edi¸cão destas notas junto ao IMPA/CNPq.

julho de 1996

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Sum´ ario

1 Introdu¸c˜ao 1

1.1 O Modelo . . . 1 1.2 Primeiros Resultados . . . 3

2 Ferramentas ´uteis 13

2.1 Desigualdade de FKG . . . 13 2.2 Desigualdade de BK . . . 16 2.3 Fórmula de Russo . . . 17 3 Fase Subcr´ıtica: Decaimento Exponencial 21 4 Fase Supercr´ıtica: Unicidade do Aglomerado Infinito 35 5 O Modelo em 2 Dimensões: Dualidade 45 6 Continuidade no Ponto Cr´ıtico: Renormaliza¸cão 55

A Prova a um lema do Cap´ıtulo 3 59

Referˆencias Bibliogr´aficas 63

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iv SUM ´ARIO

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Cap´ıtulo 1 Introdu¸c˜ ao

Percola¸cão é o fenômeno de transporte de um fluido através de um meio poroso. Por exemplo, óleo ou gás através da rocha ou água através de pó de café. O meio é constituido de poros e canais microscópicos por onde passaria o fluido. Numa situa¸cão simples, cada canal pode estar aberto ou fechado à passagem do fluido, dependendo de diversas caracter´ısticas que poderiam ser resumidas num parâmetro. A distribui¸cão de canais abertos e fechados po- deria ser descrita probabilisticamente. No caso mais simples, cada canal, independentemente dos demais, está aberto com probabilidade p, o parâmetro do modelo, e fechado com a probabilidade complementar. Vamos modelar o meio microscopicamente pelo reticulado hipercúbico d-dimensional, os s´ıtios do reticulado representando os poros e os elos representando os canais. Este, o que chamaremos de modelo de percola¸cão de elos independentes (em ZZ^d), será o objeto do nosso estudo. A questão básica é a ocorrência ou não de percola¸cão, isto é, a existência de um caminho infinito de elos abertos atra- vessando o meio. A seguir, introduziremos o modelo em detalhe (na próxima se¸cão) e mostraremos (na se¸cão seguinte) seu primeiro resultado não-trivial, aquele que estabelece a transi¸cão de fase em duas ou mais dimensões, isto

é, a existência de um valor cr´ıtico não-trivial para o parâmetro p, abaixo do qual o modelo não exibe percola¸cão e acima do qual esta passa a ocorrer.

1.1 O Modelo

Considere a rede hipercúbica em d dimensões (ZZ^d, IE^d) (denotada por um abuso de linguagem costumeiro por ZZ^d), onde ZZ^dé o conjunto de s´ıtios da

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2 CAPÍTULO 1. INTRODUÇ ÃO rede eIE^d={(x, y)∈ZZ^d:||x−y||1 = 1}é o seu conjunto de elos (vizinhos mais próximos).

A cada elo deIE^dserá atribuido aleatoriamente o statusabertooufechado da seguinte maneira. Seja X := {Xe, e ∈ IE^d} uma fam´ılia de variáveis aleatórias (v.a.’s) independentes e identicamente distribuidas (i.i.d.) com distribui¸cão comumde Bernoulli com parâmetro p, isto é,

Pp(Xe= 1) = 1−Pp(Xe= 0) =p

para todoe∈IE^d, ondepé um número real entre 0 e 1 ePpé a probabilidade associada a X (algumas vezes denotada P_p,d). A esperan¸ca com respeito a esta probabilidade será denotado porEp.

Mais formalmente, o espa¸co amostral do modelo será dado por Ω = {0,1}ÎE^d. A σ-álgebra é a usual, denotada por E, gerada pelos eventos cil´ındricos, isto é, aqueles que dependem de elos em subconjuntos finitos de IE^d apenas. A probabilidade Pp é a probabilidade produto em Ω atri- buindo peso p a 1’s e 1 −p a 0’s. Xe é a proje¸cão na coordenada e, isto

´e,

Xe(ω) =ωe

para todoω ∈Ω.

Xe= 1 indica que o elo e est´a aberto e Xe = 0 indica que eest´a fechado.

Um conjunto de elos de IE^d, {e1, e2, . . . , en}, n ≥ 1, onde ei = (xi, yi), i= 1,2, . . . , n, será dito um caminho se x1, x2, . . . , xn forem distintos e yi = xi+1, i = 1,2, . . . , n− 1 (não há loops). Um caminho será dito aberto se todos os seus elos estiverem abertos (isto é, se Xei = 1, i = 1,2, . . . , n).

Diremos que dois s´ıtios da rede, xe y, estão conectados (nota¸cão: x↔y) se existir um caminho aberto{e₁, e2, . . . , en}com x1 =xe yn =y. Vê-se que a conectividade é uma rela¸cão de equivalência e às classes de equivalência em que se dividem os s´ıtios chamaremos aglomerados(ou a expressão em inglês clusters). Denotaremos porC_xo aglomerado do s´ıtioxe porC o aglomerado da origem, objeto básico de nosso estudo.

Estaremos interessados inicialmente em |C|, o volume (ou cardinalidade) do aglomerado da origem, mais precisamente em sua distribui¸cão (que, note- se, é a mesma que a de|Cx|para todo s´ıtiox, pela invariância por transla¸cão de Pp). Especificamente, queremos saber se aglomerados infinitos podem ocorrer (com probabilidade positiva).

Em dimensão 1, o problema é trivial, pois, denotando por C− e C+ os s´ıtios deC à esquerda e à direita da origem, respectivamente, temos que|C₋|

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1.2. PRIMEIROS RESULTADOS 3 e |C+| são v.a.’s i.i.d. com Pp(|C+| ≥ k) = p^k. Logo, não há aglomerados infinitos quase-certamente em dimensão 1 se p < 1. Restringiremo-nos pois a d≥2.

|C|´e uma v.a. que pode assumir os valores 1,2, . . . ,∞. Uma quantidade de interesse ser´a

θ(p) :=P_p(|C|=∞).

Podemos ent˜ao escrever

θ(p) = 1−

∞

X

k=1

Pp(|C|=k).

Expressões para Pp(|C| = k) são relativamente simples de calcular para k pequeno, mas se tornam combinatorialmente crescentemente complicadas para k crescente e não há uma forma expl´ıcita parak genérico. O estudo de θ(p) deve seguir uma outra abordagem.

Na próxima se¸cão, provaremos o resultado principal deste cap´ıtulo, o primeiro não-trivial da teoria, aquele que estabelece a existência de transi¸cão de fase no modelo de percola¸cão em 2 ou mais dimensões, como enunciado em seguida.

Teorema 1.1.1 Parad≥2, existe um valor cr´ıtico do parˆametrop, denomi- nado p_c, no intervalo aberto (0,1) tal que

θ(p) = 0, se p < pc

θ(p)>0, se p > pc.

Resultados subseq¨uentes, de que nos ocuparemos em cap´ıtulos seguintes, procuram caracterizar as diversas fases do modelo: afase subcr´ıtica(p < p_c), a fase supercr´ıtica (p > pc) e afase cr´ıtica (p=pc).

1.2 Primeiros Resultados

Em aux´ılio à prova do Teorema 1.1.1, vamos discutir propriedades de monotonicidade da fun¸cãoθ(p). Para isto, construiremos um modelo probabil´ıstico em que os modelos de percola¸cão com os diversos valores de pposs´ıveis estão

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4 CAPÍTULO 1. INTRODUÇ ÃO acoplados. Esta constru¸cão, a que chamaremos de modelo padrão, será útil também em outros casos.

Seja Z := {Z_e, e ∈ IE^d} uma fam´ılia de v.a.’s i.i.d. com distribui¸c˜ao comum uniforme em [0,1]. IP denotar´a a probabilidade neste modelo.

Um elo e da rede ser´a dito p-aberto se Ze< p

ep-fechadocaso contrário. Podemos então construir o modelo de percola¸cão com parâmetropusando elosp-abertos ep-fechados deste modelo, da mesma forma como na se¸cão anterior.

Lema 1.2.1 θ(p) ´e n˜ao-decrescente em p.

Prova

Seja Cp o aglomerado da origem no modelo acima (com a conectividade atrav´es de elos p-abertos). Temos que

θ(p) = IP(|Cp|=∞).

Por outro lado,

Cp ⊂Cp^′

quando p < p^′, pois neste caso um elo p-aberto est´a necessariamente p^′- aberto. Concluimos que

θ(p) = IP(|C_p|=∞)≤IP(|C_p^′|=∞) =θ(p^′). △

Para o próximo resultado, monotonicidade na dimensão, notemos que podemos construir o modelo de percola¸cão em d dimensões num hiperplano d-dimensional da rede d+ 1-dimensional contendo a origem, declarando fechados os elos ligando o hiperplano ao restante do espa¸co e usandoX para os demais elos. Denotando por ˜C o aglomerado da origem neste modelo, temos claramente que ˜C⊂C e logo

θ(p) := θ(p, d) =Pp,d+1(|C|˜ =∞)≤Pp,d+1(|C|=∞) = θ(p, d+ 1).

Isto prova o seguinte.

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1.2. PRIMEIROS RESULTADOS 5 Lema 1.2.2 θ(p, d)´e n˜ao-decrescente em d.

Pelos dois lemas acima, torna-se suficiente, para provarmos o Teorema 1.1.1, mostrarmos os seguintes resultados.

Proposi¸c˜ao 1.2.1 Para d≥2 e p suficientemente pr´oximo de 0 θ(p) = 0.

Proposi¸c˜ao 1.2.2 Para d= 2 e p suficientemente pr´oximo de1 θ(p)>0.

Como veremos nas demonstra¸c˜oes destes resultados, abaixo, ´e suficiente no primeiro tomarmos p < 1/(2d−1) e no segundo p >2/3.

Prova da Proposi¸c˜ao 1.2.1

E suficiente mostrar que´ χp :=Ep|C|<∞para p pr´oximo de 0.

Podemos escrever

|C|= ^X

x∈ZZ^d

I{0↔x}, onde I_{·} é a fun¸cão indicadora, isto é,

IA(ω) =

1, se ω∈A 0, caso contr´ario, e logo

χ_p = ^X

x∈ZZ^d

P_p(0↔x). (1.2.1)

Podemos reescrever a probabilidade acima comoPp(∪_γ{γ está aberto}),onde a união é sobre caminhos conectando 0 a x. Temos então de (1.2.1) e a subaditividade que

χ_p ≤ ^X

x∈ZZ^d

X

γ

P_p(γest´a aberto),

onde a segunda soma ´e sobre os caminhosγ conectando 0 ax. A dupla soma pode ser ent˜ao reordenada em

X

n≥0

X

|γ|=n

P_p(γest´a aberto),

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6 CAPÍTULO 1. INTRODUÇ ÃO onde a segunda soma é sobre os caminhosγ partindo da origem e de compri- menton (isto é, caminhos γ ={e₁, . . . , en}em quex1 = 0). A probabilidade acima valepⁿ independentemente de γ. Portanto temos que

χp = ^X

n≥0

σ(n)pⁿ, (1.2.2)

onde σ(n) denota o n´umero de caminhos partindo da origem e de comprimento n.

Um argumento combinat´orio simples revela que, para n≥1,

σ(n)≤2d(2d−1)ⁿ⁻¹.

De fato, o primeiro passo do caminho tem 2d poss´ıveis s´ıtios de destino, enquanto que a partir do segundo até o final, cada passo tem no máximo 2d−1 poss´ıveis s´ıtios de destino (devido à ausência de loops). Temos

χp ≤ ^X

n≥1

2dp[(2d−1)p]ⁿ⁻¹+ 1

e para a s´erie ser convergente, basta termosp <1/(2d−1). △

Prova da Proposi¸c˜ao 1.2.2 Consideremos a rede bidimensional dual de ZZ²,

ZZ²_∗ =ZZ²+ (1/2,1/2).

ZZ²_∗ ´e um deslocamento deZZ² por 1/2 unidade em cada dire¸c˜ao coordenada.

Volumes finitos superpostos de ZZ² eZZ²_∗ s˜ao ilustrados abaixo, o deZZ² em linhas cheias, linhas tracejadas paraZZ²_∗.

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1.2. PRIMEIROS RESULTADOS 7

•0

0∗

•

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Notemos que há uma rela¸cão 1 a 1 entre os s´ıtios e elos de ZZ² e aqueles de ZZ²_∗. Seja a rela¸cão (1 a 1) e → e∗ entre elos de ZZ² e ZZ²_∗ que associa a cada elo da primeira rede o elo secante da rede dual, como na figura a seguir.

e e∗

.

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Definiremos um modelo de percola¸c˜ao em ZZ²_∗ induzido pelo modelo em ZZ² declarando e_∗ aberto ou fechado conforme e esteja aberto ou fechado, respectivamente.

No que se segue, um circuito ser´a um caminho {e₁, e2, . . . , en} tal que y_n=x₁, isto ´e, um caminho que se fecha sobre si mesmo.

A ocorrˆencia de um aglomerado da origem finito em ZZ² est´a associada

à existência de um circuito fechado (isto é, um circuito de elos fechados) na rede dual ao redor da origem. Isto se deve ao fato de que se o aglomerado da origem for finito, os elos da fronteira do aglomerado (isto é, elos ligando s´ıtios do aglomerado a s´ıtios fora do aglomerado), obviamente fechados, estão sempre dispostos de tal forma que os elos correspondentes do dual formam um circuito, que será então fechado. A figura a seguir ilustra este

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8 CAPÍTULO 1. INTRODUÇ ÃO fato geométrico elementar, bastante intuitivo (o aglomerado da origem apa- rece em linhas cheias, sua fronteira em linhas pontilhadas e o circuito no dual em linhas tracejadas) e, como a prova é longa e tediosa (vide [10] página 386 e a Proposi¸cão 5.1 na página 45 destas notas), não a apresentaremos neste texto.

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0

Seguimos com a demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 1.2.2.

Vamos mostrar que a probabilidade de o aglomerado da origem ser finito

é estritamente menor do que 1 para p suficientemente próximo de 1. Para isto, em vista do fato geométrico acima, bastará argumentar que a probabilidade de haver algum circuito fechado na rede dual ao redor da origem é estritamente menor do que 1 parap suficientemente próximo de 1. O argumento é semelhante ao argumento de Peierls para demonstrar a ocorrência de magnetiza¸cão no modelo de Ising.

Pp(h´a um circuito fechado na rede dual ao redor da origem)

≤^X

γ

Pp(γest´a fechado),

onde a soma ´e sobre todos os circuitos γ ao redor da origem. Ela pode ser reordenada da seguinte maneira

X

n≥4

X

|γ|=n

P_p(γest´a fechado),

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1.2. PRIMEIROS RESULTADOS 9 onde a segunda soma ´e sobre circuitos γ ao redor da origem de comprimento n.

Est´a claro que a probabilidade no interior das somas depende apenas de n e vale (1−p)ⁿ. Portanto, a express˜ao acima fica

X

n≥4

λ(n)(1−p)ⁿ,

onde λ(n) denota o n´umero de circuitos na rede dual ao redor da origem de comprimento n.

O seguinte argumento produz uma cota superior ´util paraλ(n). Qualquer circuito de comprimentonda rede dual ao redor da origem deve cruzar um elo da rede original da forma ((0, k),(0, k+ 1)), para algum −n/2 ≤ k ≤ n/2.

A partir deste elo secante, cada um dos n−1 elos subseq¨uentes pode ser colocado de no m´aximo 3 maneiras diferentes. Por isto

λ(n)≤n3ⁿ⁻¹. Substituindo na soma acima, temos

X

n≥4

n

3[3(1−p)]ⁿ,

que é uma fun¸cão cont´ınua e decrescente em p quando p > 2/3, anulando- se quando p = 1. Segue-se que existe p₀ < 1 tal que a expressão acima é estritamente menor do que 1 para p > p0. △

Uma melhoria do argumento acima que mostra que a probabilidade de o aglomerado da origem ser infinito (θ(p)) ´e estritamente positiva parap >2/3

´e o seguinte.

Denotemos por QM o quadrado centrado na origem e de lado 2M + 1.

Seja AM o evento que todos os elos de QM estejam abertos e BM o evento de haver um circuito fechado na rede dual completamente fora de Q_M.

Repetindo o argumento da demonstra¸c˜ao acima, temos Pp(BM)≤ ^X

n≥8M+4

n

3[3(1−p)]ⁿ.

Dado p >2/3, esta express˜ao pode ser tornada estritamente menor do que 1 escolhendo-se M suficientemente grande, digamosM0. Portanto

Pp(B^c_M₀)>0. (1.2.3)