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12+4x−12y2 >0 ⇒ x >3y2−3 ⇒ Df

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Academic year: 2022

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(1)

-B- Quest˜ao 2. Considere a func¸˜ao f

(

x,y

) =

p x

12

+

4x

12y2 e seja

C

a curva de n´ıvel de f que passa pelo ponto

(

6, 0

)

.

a) Usando o sistema de coordenadas abaixo:

i) (0,5) represente geometricamente o dom´ınio de f;

12

+

4x

12y2

>

0

x

>

3y2

3

Df

= { (

x,y

) ∈

R2 : x

>

3y2

3

}

Ou seja, o dom´ınio de f ´e a regi˜ao interna da par´abolax

=

3y2

3

ii) (1,0) fac¸a um esboc¸o da curva

C

. Sejak

Imf e considere x

p12

+

4x

12y2

=

k.

Como

(

6, 0

) ∈ C

, ent˜aok

=

f

(

6, 0

) =

6

36

=

1.

x

=

p12

+

4x

12y2(observe quex

>

0)

x2

=

12

+

4x

12y2

x2

4x

+

4

+

12y3

=

16

x422

+

y

2 3

2

=

1 Ou seja, a curva

C

´e parte da elipse x422

+

y

2 3

2

=

1, na qualx

>

0.

( ∗ )

C

Df 6

-3 x

y

b) (1,0) Determine uma parametrizac¸˜ao para a curva

C

, isto ´e, encontre um intervalo I e uma func¸˜aoγ: I

R2cont´ınua cuja imagem ´e

C

.

Utilizando a relac¸˜ao fundamental da trigonometria em

( ∗ )

, segue que uma parametrizac¸˜ao para a curva

C

´e dada por

γ

(

t

) = (

2

+

4 cost, 2

3 sen t

)

, com 2

+

4 cos t

>

0

Portanto, cost

> −

12, ou seja,t

I

=] −

3 , 3

[

.

(2)

-B- c) (0,5) Decida se existe lim

(x,y)(0,1) f

(

x,y

)

.

Considere a curvaγ1

(

t

) = (

t, 1

)

, comt

>

0, e a curva γcomo no item (b).

Temos que (a) lim

t0+ f

(

γ1

(

t

)) =

lim

t0+

t

12+4t12

=

0 (b) lim

t3 f

(

γ

(

t

)) =

lim

t3 1

=

1 (γ ´e a curva de n´ıvel 1 de f eγ

(

t

) → (

0, 1

)

, quandot

3 ) Portanto, N ˜AO existe lim

(x,y)(0,1) f

(

x,y

)

.

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