Espectro dos gases: emiss˜

Prof. Samuel Bueno Soltau

Departamento de F´ısica Instituto de Ciˆencias Exatas Universidade Federal de Alfenas

Espectro dos gases

◮ _{As linhas observadas tinham umλdescrito por}

1

λ =R

1

m2 −

1

n2

onde R = 1,097373×107 m−1_{, cque ´e a constante de} Rydbergdeterminada de modo emp´ırico,m e n s˜ao valores inteiros.

◮ _{Balmer (1885): vis´ıvel}

◮ _{Lyman (1906-1914): ultravioleta e infravermelho}

◮ _{Paschen (1908), Brackett (1922), Pfund (1924), entre outros.}

Nota: A constante de Rydberg ´e uma das constantes f´ısicas de maior precis˜ao: R∞= 1.0973731568525(73)×10

−₇

m−₁

Modelos da Mecˆanica Quˆantica Moderna

Evidˆencias emp´ıricas

◮ _{Por volta de 1910, ac´umulo de evidˆencias experimentais de}

que os ´atomos continham el´etrons (part´ıculas que

compunham os raios cat´odicos e conduziam a eletricidade).

◮ _{Mas sabia-se que os ´atomos eram neutros. Portanto, deviam}

Modelo Thomson (1910) Os ´atomos seriam compostos por el´etrons pontuais, distribu´ıdos numa massa de carga positiva uniforme. Previa uma deflex˜ao pequena das part´ıculasα.

Ernest Rutherford (1911) Descobriu a estrutura nuclear do ´atomo. Primeiro experimento de colis˜ao de part´ıculas

Modelo “planet´ario” de Rutherford (1911)

◮ _{Rutherford propˆos um modelo no qual toda a carga positiva}

dos ´atomos se concentra numa pequena regi˜ao do seu centro: o n´ucleo.

◮ _{Os el´etrons, orbitariam em torno do n´ucleo.}

◮ _{Entretanto, como os el´etrons em ´orbita estariam acelerados}

Motiva¸c˜ao experimental

Experimentos de espectroscopia com ´atomos de Hidrogˆenio apresentavam linhas (raias) espectrais discretas:

p. ex. S´erie de Balmer.

1

λ =RH

1

m2 −

1

n2

para;

m= 2,

n= 3,4,5, . . .

RH = 109737,3 cm−1

Postulados do Modelo de Bohr (1913)

1. O el´etron se move em ´orbita circular ao redor do n´ucleo sob a a¸c˜ao da atra¸c˜ao coulombiana do n´ucleo (mecˆanica cl´assica).

2. O el´etron s´o pode se mover em ´orbitas que apresentem momentos angulares L“quantizados” (L=n~_{,n= 1,2, . . .)} 3. O el´etron mant´em ´orbitas “estacion´arias” e n˜ao emite

radia¸c˜ao eletromagn´etica. Sua energia total ´e constante.

4. E emitida radia¸c˜ao quando o el´etron muda de uma ´´ orbita de energiaEa para outra de energia menor Eb. A frequˆenciaν da

radia¸c˜ao emitida ´e dada por:

ν = Ea−Eb

h

Dado n´ucleo em repouso, a for¸ca el´etrica que atua no el´etron ´e dada por

F = e

2

4πεo

1

r2

Para uma ´orbita circular

e2

4πεo

1

r2 =m

v2 r

Se L = rmv e L = m~_{, tem-se}

v = n~

rm.

rn= h2εo πme2n

2

obt´em-se a quantiza¸c˜ao das ´

O modelo atˆomico de Bohr (1913)

O Modelo de Bohr prevˆe que as ´orbitas tˆem raios

rn= h2εo πme2n

2 _{ou r}

n=ron2

onde

ro = h2εo πme2n

2 _{= 0,5291˚A}

´e o raio de Bohr. Como

E =K +U

E = 1 2mv

2₊

− e 2

4πεor

E =− e

2

8πεor

A energia total das diferentes ´orbitas ser´a dada por:

En=−

me4

8πεor

1

n2 =−

13,6

As frequˆencias emitidas nas transi¸c˜oes de fase s˜ao

νn→n′ =

En−En′ h

=− me 4

8πε2 oh3

1

n2 −

1

n′2

1

λn→n′

=− me 4

8πε2 oh3

1

c

1

n2 −

1

n′₂

=RH

1

n2 −

1

n′2

Assim, Bohr prevˆe que a constante de Rydberg ´e

RH =

me4

8πε2 oh3c

O modelo atˆomico de Bohr (1913)

A Equa¸c˜ao de Schr¨odinger e o ´atomo de Hidrogˆenio

◮ _{O po¸co de potencial onde o el´etron}

est´a confinado (potencial coulombiano) tem a forma

U(r) =− e

2

4πεo

1 r

◮ _{A Equa¸c˜ao de Schr¨odinger para o}

el´etron para este potencial ´e

−~

2

2m∇

2_{ψ(r) +U(r)ψ(r) =Eψ(r)}

◮ _{A fun¸c˜ao desejada ´e}

Ψ(r, θ, φ,t) =ψ(r, θ, φ)e(−ıEt

∇2_{Ψ =} 1

r2 ∂ ∂r

r2∂Ψ

∂r

+ 1

r2_senθ ∂Ψ

∂θ

senθ∂Ψ ∂θ

+ 1

r2_sen2_θ ∂2Ψ

∂φ2

∇2_{Ψ =} 1

r2_senθ

senθ ∂ ∂r

r2∂Ψ

∂r

+ ∂

∂θ

senθ ∂ ∂θ

+ 1 senθ

∂2Ψ

∂φ2

∇2_{Ψ =} ∂

2_Ψ ∂r2 +

1

r2 ∂2Ψ

∂θ2 +

1

r2_sen2_θ ∂2Ψ

∂φ2 +

2

r

∂2Ψ

∂r +

cot_θ

r2 ∂2Ψ

A Equa¸c˜ao de Schr¨odinger e o ´atomo de Hidrogˆenio

◮ _{Como o potencial coulombianos´o depende der, a equa¸c˜ao de}

Schr¨odinger pode ser separada em trˆes equa¸c˜oes e a fun¸c˜ao de onda pode ser separada (em coordenadas esf´ericas).

◮ _{Esta caracter´ıstica produz trˆes equa¸c˜oes diferenciais}

separadas, uma em cada vari´avel (r, θ, φ). Ψ(r, θ, φ) =R(r)Θ(θ)Φ(φ)

R(r) → N´umero quˆantico principal n= 1,2, . . .

Θ(θ) → N´umero quˆantico orbital l = 0, . . . ,n−1

Ψ(r, θ, φ) =R(r)Θ(θ)Φ(φ)

N´umero quˆantico principal n Energia

N´umero quˆantico orbital l M´odulo do Momento Angular

N´umero quˆantico magn´etico m Orienta¸c˜ao do Momento Angular

◮ _{Para tais estados, as solu¸c˜oes da Equa¸c˜ao de Schr¨odinger s˜ao}

bem comportadas.

Etapas da solu¸c˜ao

∇2_{Ψ =} ∂

2_Ψ ∂r2 +

1

r2 ∂2Ψ

∂θ2 +

1

r2_sen2_θ ∂2Ψ

∂φ2 +

2

r

∂2Ψ

∂r +

cot_θ

r2 ∂2Ψ

∂θ

Separa¸c˜ao de vari´aveis

Ψ(r, θ, φ) =R(r) Θ(θ) Φ(φ)

Substitui¸c˜ao 1 r2 1 R d d_r

r2dR

d_r

+ 1

r2_senθ

1 Θ

d d_θ

senθdΘ d_θ

+

+ 1

r2_sen2_θ

1 Φ

d2_Φ dφ2 + 2

µ

1 r2

d

d_r

r2dR

d_r

+ 2µ

~2 [E−U(r)]R=l(l+ 1)

R

r2, U(r) =− e2 4πεo 1 r − 1 senθ d dθ

senθdΘ

dθ

+ m

2_Θ

sen2_θ =l(l+ 1)Θ

1 Φ

d2_Φ

A Equa¸c˜ao de Schr¨odinger e o ´atomo de Hidrogˆenio

O n´umero quˆantico orbital l corresponde aos estados:

l = 0,1,2, . . . (s,p,d,f,g)

En=−1

◮ _{Para o estado fundamental (n= 1, l = 0,m= 0) tem-se a}

equa¸c˜ao radial (sem dependˆencia emθ e φ)

~2

2m

_d2_R(r) d_r2 +

2

r

d_R(r) d_r

+U(r)R(r) =ER(r)

◮ _{A fun¸c˜ao de onda do Hidrogˆenio no estado fundamental}

(1,0,0)

ψ100 =

1

p πr3

o exp −r ro

Fun¸c˜oes de onda para outros estados do Hidrogˆenio

Note queao ´e o raio de Bohr e σ=

r ao

◮ _{Para a densidade de probabilidade em todo o espa¸co}

Z Z Z ψ∗

(r, θ, φ)ψ(r, θ, φ)d_V

◮ _{Para a densidade de probabilidade radial}

Z ∞

0

A Equa¸c˜ao de Schr¨odinger e o ´atomo de Hidrogˆenio

A densidade de probabilidade associada `a fun¸c˜ao de onda

P(r)d_{r =|ψ(r)|}2d_{V =|ψ(r)|}2_4πr2d_r

Logo

P(r) = 4

r3 o

ro2exp

−2r

ro

para o estado fundamental: (n,m,l) = (1,0,0).

Nota

A probabilidade de medir no volumed_{V `a distˆancia r ´e igual a}

Para o estado funda-mental:

(n,m,l) = (1,0,0).

P(r) = 4

r3 o

ro2exp

−2r

|ψ|2 =|R(r)|2|Θ(θ)|2|Φ(φ)|2 |Φ(φ)|2 =|eımlφ_|2 _{= 1}

Resumo politicamente

incorreto dos modelos