AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS Capacidade e volume

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GEOMETRIA ESPACIAL

CONTEÚDOS

 Capacidade e volume  Poliedros

 Pirâmides  Cilindros  Cone  Esfera

AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS

Capacidade e volume

Na receita de bolo estava indicado 500 mL de leite ou 500 cm³?

É muito comum que as receitas apresentem, para as quantidades referentes aos líquidos, unidades de medida que representam múltiplos ou submúltiplos do litro (L, mL, dL,...). Porém, se na receita a quantidade estivesse informada utilizando os centímetros cúbicos, seria possível compreendê-la, ao identificar que as duas unidades de medida ( cm³ e mL) podem ser relacionadas.

Quando falamos em litros (ou seus múltiplos e submúltiplos) estamos nos referindo a capacidade de um determinado recipiente. No caso da receita, se fosse utilizado, para medir a quantidade de leite, um recipiente de volume igual 500 cm³, a quantidade em mL seria de 500 mL.

Por exemplo, uma caixa de leite, que apresenta o formato de um paralelepípedo, e tem volume igual a 1.000 cm³ pode conter a quantidade máxima de 1.000 mL ou 1 litro de leite. Isso porque essas unidades estão relacionadas da seguinte forma:

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Medida em litros Medida em metros cúbicos

1 L 1.000 cm³

Ou seja, 1L corresponde a exatamente a 1.000 cm³.

Veja outras relações entre essas unidades de medida.

1 cm³ 1 mL

1 m³ 1.000 L

1 dm³ 1 L

Relembrar essas unidades e a relação entre elas trará contribuições para os estudos a seguir. Isso porque vamos falar das formas geométricas espaciais. E, elas estão relacionadas as medidas de capacidade e volume.

FORMAS GEOMÉTRICAS

A geometria espacial trata do estudo de formas: como o cubo, a pirâmide, a esfera, ou seja, formas geométricas que possuem mais de duas dimensões. Essas formas são chamadas de sólidos geométricos, e estes são divididos em dois grupos, os corpos redondos e os poliedros.

Acompanhe alguns exemplos:

Corpos redondos: são sólidos delimitados por alguma superfície arredondada.

Poliedros: são sólidos que apresentam suas superfícies delimitadas por figuras geométricas planas.

Cilindro

Cone Esfera

Prisma

Pirâmide

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Conhecendo os poliedros

Alguns exemplos de poliedros:

Esse poliedros são conhecidos como poliedros regulares. Eles, recebem tal classificação por apresentarem as seguintes características:

 Suas faces são polígonos regulares congruentes

 De cada vértice do poliedro sai o mesmo número de arestas.

Tetraedro Cubo ou hexaedro Octaedro

As superfícies planas de um poliedro são chamadas de faces.

Os lados dos polígonos que delimitam as superfícies de um poliedro são chamados de aresta.

O encontro de três ou mais arestas é chamado de vértice.

(4)

Além do tetraedro, hexaedro e octaedro, há outros dois sólidos que também são conhecidos como poliedros regulares, são eles:

Icosaedro Dodecaedro

Esses cinco poliedros também são convexos. E, por serem convexos e regulares, também são conhecidos como poliedros de Platão.

Os poliedros de Plantão possuem as seguintes caracteristicas:  As faces apresentam o mesmo número de lados.

 De cada vértice do poliedro sai o mesmo número de arestas.

Um poliedro é identificado como convexo quando fixada uma face, as demais encontram-se no mesmo semiespaço (em relação à fixada). Pode-se ainda afirmar que, considerando que todo poliedro limita uma região do espaço chamada de interior desse poliedro, este é classificado como convexo se o seu interior for convexo. Ou seja, se qualquer segmento que liga dois pontos desse interior estiver totalmente contido neste interior.

Veja exemplos de poliedros convexos e não convexos:

(5)

DICA:

Para saber mais sobre os poliedros de Platão, você pode consultar o seguinte material: Os Sólidos de Platão

Disponível em:

http://www.dominiopublico.gov.br/pesquisa/DetalheObraForm.do?select_action=&co_o bra=20831.

Identificando o número de vértices, arestas e faces de um poliedro

Antes de iniciarmos as discussões sobre faces, arestas e vértices, vamos analisar alguns polígonos e identificar o número de vértices e de lados de cada um.

Quadrado Pentágono Triângulo

4 lados 5 lados 3 lados

4 vértices 5 vértices 3 vértices

É possvel que você tenha observado que em cada um desses polígonos o números de vértices é igual ao número de lados. Essa relação entre vértices e lados é observada em qualquer polígono convexo. Agora, cabe a seguinte pergunta:

Será que também podemos observar essa relação nos poliedros?

(6)

Para responder essa pergunta, observe na tabela, a relação entre o número de arestas, vértices e faces para cada um dos sólidos apresentados.

Em análise a tabela, talvez você tenha observado que existe um relação entre vértices (V), arestas (A) e faces (F).

V - A + F = 2

( Vértices – Arestas + Face = 2)

Essa relação é identificada como Relação de Euler, e é válida para todo poliedro convexo. Poliedro convexo Número

de vértices

Número de arestas

Número de faces

Poliedro

Tetradedro regular

4 6 4

Octaedro regular 6 12 8

Hexaedro regular 8 12 6

Pirâmide quadrangular

5 8 5

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Prisma

São chamados de prismas os poliedros que apresentam bases congruentes e paralelas, essas bases são poligonais. Além dessas características, os prismas também são identificados por apresentarem arestas laterais que ligam as bases

O prisma apresentado é identificado como prisma triangular. Essa classificação ocorre a partir do número de arestas de sua base.

Veja outros exemplos de prismas:

Base do prisma

Prisma Pentagonal Prisma Hexagonal Prisma Quadrangular

(8)

Prisma reto, oblíquo e seus elementos

A altura de um prisma representa a distância entre os planos que suas bases estão contidas.

Observe que os dois prismas apresentados foram identificados de diferentes maneiras. Um deles foi denominado prisma reto e o outro prisma oblíquo. Veja as características que permitem esse tipo de identificação.

Prisma reto: um prisma é identificado como reto, quando suas arestas laterais são perpendiculares aos planos que contém suas bases.

Prisma oblíquo: em um prisma oblíquo, as retas laterais não são perpendiculares aos planos que contêm suas bases.

Além de reto, um prisma também pode ser identificado como regular, veja as características de um prisma regular.

Um prisma é identificado como regular se este for reto e suas bases polígonos regulares.

Prisma reto Prisma oblíquo Altura do prisma

(9)

Diagonal de um prisma: observe que o segmento

BD

tem suas extremidades não pertencentes a mesma face. Esse segmento é identificado como diagonal do prisma. Outro exemplo de diagonal do prisma, poderia ser o segmento traçado do vértice A até o vértice E.

Já o segmento

BF

não é identificado como diagonal do prisma, pois suas extremidades pertencem a uma mesma face.

Comprimento da diagonal de um paralelepípedo

Observe que a diagonal desse paralelepípedo reto retângulo tem medida igual D.

As medidas de comprimento, largura e altura desse sólido são a, b e c. Para calcular sua diagonal utiliza-se a seguinte expressão:

D = a²b²c²

Considerando que as dimensões desse sólido são representadas pelos seguintes valores:

a = 10 b = 4 c = 4 Temos a seguinte medida de diagonal:

D = 10²4²4²

D = 100 1616

(10)

D = 2

33

Denomina-se paralelepípedo, o prisma que têm suas bases representadas por paralelogramos.

Um paralelepípedo reto retângulo é o prisma que tem suas bases representadas por retângulos.

Área das superfícies de um prisma

Para calcular a área de um prisma, vamos retomar o cálculo da área de alguns polígonos.

A área total de prisma é representada pela soma das áreas laterais com as áreas das superfícies das bases.

Vamos considerar por exemplo, que um prisma de base quadrangular tem 8 cm de aresta da base e 12 cm de aresta lateral, qual será a área total desse prisma?

Polígono Cálculo da área

Quadrado lado x lado

Retângulo Base x altura Triângulo qualquer Base x altura

Triângulo equilátero





4 3 lado 2

Hexágono regular

_

_

2 3 lado 3 2 2 8 cm 8 cm 12 cm

A base do prisma é um quadrado de lado igual a 8 cm. Temos então o cálculo da base da seguinte forma:

Abase = 8² Abase = 64cm²

As laterais são retângulos, e portanto temos:

(11)

Neste prisma, temos:

4 faces laterais, e portanto, a área lateral total é: 96.4 = 384 cm² 2 bases, e portanto, a área total das bases é: 64.2 = 128 cm² A área total do prisma é: 384 cm² + 128 cm² = 512 cm²

Volume de um prisma

O volume de um prisma é obtido ao multiplicar a área de sua base por sua altura.

Acompanhe o cálculo do volume de um prisma quadrangular.

O hexaedro, mais conhecido como cubo, é um prisma que apresenta arestas com medidas iguais. Para calcular o volume desse prisma, utiliza-se a seguinte expressão: Volume = a³ (a variável a representa a medida da aresta)

4 cm

8 cm

2 cm

Para que seja calculado o volume desse prisma, deve-se observar quais são suas dimensões.

Altura = 8 cm Largura = 2 cm Comprimento = 4 cm Observe que o prisma é quadrangular, e para calcular a área de sua base realiza-se o seguinte cálculo:

Área da base: comprimento x largura

Área da base = 4 x 2 Área da base = 8 cm² Conforme já comentado, o volume do prisma é igual ao produto da área da base por sua altura.

Tem-se então:

(12)

Observe um exemplo:

Pirâmide

Observe que diferente dos prismas, a figura a seguir, apresenta apenas uma base. Além disso, suas faces laterais são triangulares e possuem um vértice em comum. Essa figura é chamada de pirâmide.

A pirâmide apresentada é identificada como pirâmide quadrangular. Essa classificação é realizada a partir do número de arestas de sua base.

Face lateral

Base

Vértice comum

Volume do cubo:

Volume = área da base . altura Volume = a².a a².a = a³ Volume = a³

(13)

Veja outros exemplos de pirâmides:

Pirâmide regular

A pirâmide ao lado é identificada como pirâmide regular, por ter em sua base um polígono regular e altura representada pela distância entre o centro desse polígono e o vértice V, é perpendicular a base.

Apótema e as relações entre os elementos

Pirâmide triangular Pirâmide pentagonal

Identificamos como apótema da base de uma pirâmide regular, o segmento que tem uma de suas extremidades no centro da pirâmide e a outra no ponto médio de qualquer um dos lados da base dessa pirâmide. No caso apresentado, o apótema da base está representado pelo segmento

OM

.

(14)

Observe que os pontos V, M e O, formam um triângulo retângulo. Sendo assim, para calcular as medidas dos apótemas da pirâmide, pode-se aplicar o teorema de Pitágoras.

Temos então:

     

VM

2



VO

2



OM

2

Além dos apótemas, na pirâmide quadrangular regular apresentada, visualiza-se uma medida R. Esta representa o raio da circunferência circunscrita à base. E, entre o raio R, a altura da pirâmide e a aresta lateral, também pode-se observar a existência de um triângulo retângulo, sendo portanto estabelecida a relação:

L² = H² + R² ( sendo L a medida da aresta lateral da pirâmide) Área de uma pirâmide

Para determinar a área total de uma pirâmide, basta somar a área de suas faces com a área de sua base.

Vejamos por exemplo o cálculo da área de uma pirâmide de base quadrangular regular

Área da base = 6² Área da base = 36

Para calcular a área lateral, vamos lembrar que cada face lateral da pirâmide regular é um triângulo isósceles. E, a altura desse triângulo coincide com o apótema da pirâmide, sendo assim, vamos calcular a medida do apótema, e em seguida calcular a área das faces laterais.

6 4

3 3 

3

Apótema

(15)

Temos então:

Área da face lateral =

2 5 . 6

Área da face lateral = 15

A área de todas as faces laterais é 4. 15 = 60 unidades ao quadrado Área total = Área da base + Área lateral

Área total = 36 + 60

Área total = 96 unidades ao quadrado

Volume de uma pirâmide

O volume de uma pirâmide é calculado por meio da seguinte expressão:

Volume = A .h 3 1

b ( Ab é a área da base e h, representa a altura do sólido) Vamos acompanhar um exemplo:

Para calcular o volume desse sólido, vamos identificar suas medidas:

Altura = 9 cm

Área da base = 5 x 5 ( cálculo da área de uma quadrado, já que é informado que essa pirâmide tem base quadrada) Área da base = 25 cm²

Volume = A .h 3 1

b

Volume = .25.9 3 1

Volume = 75 cm³ 

9 cm

5 cm

(16)

Cilindro

São chamados de cilindros os sólidos que apresentam bases congruentes e paralelas. Além dessa característica, os cilindros também são identificados por apresentarem linhas laterais que ligam os pontos correspondentes dessas bases.

Área do cilindro

Volume do cilindro

Vejamos um exemplo do cálculo do volume de um cilindro:

10 cm 3 cm

Volume = Ab.h Neste caso, temos: Raio = 3 cm

Altura = 10 cm

Vamos considerar



= 3,14 Área da base =



r² Área da base = 3,14.3² Área da base = 28,26 Volume =



r².h

Volume = 28,26.10 Volume = 282,6 cm³ O volume de um cilindro é calculado por meio da seguinte expressão:

Volume = Ab.h (área da base x altura)

(18)

Cones

Área do cone

Assim como os prismas e as pirâmides, a área total do cone é representada pela soma da área da base com a área lateral. A base é um círculo, sendo sua área obtida por meio da expressão



r

²

. Já a área lateral é obtida ao calcular a área de um setor circular. O raio do setor é identificado pela geratriz do cone. O arco desse setor tem comprimento igual a

2 

r

.

Imagine um ponto A que não está sobre essa região circular. Imagine sobre um plano uma circunferência

Ao traçar linhas retas que liguem os pontos que se encontram no perímetro dessa circunferência ao ponto A, forma-se um Cone.

A

(19)

Vamos trabalhar um exemplo do cálculo da área de um cone. Para tanto, observe as medidas desse cone.

Para saber a medida da geratriz, vamos aplicar o teorema de Pitágoras. Onde g é a hipotenusa.

g² = (2,5)² + 6² g² = 6,25 + 36 g² = 42,25 g =

42 ,

25

g = 6,5 cm

Para calcular a área desse setor, podemos lembrar que para calcular a área de um setor circular, fazemos uso da seguinte relação:

A

setor =

(20)

Para não confundir as medidas, neste caso, r é substituído por g (medida da geratriz), isso porque já teremos o r que está relacionado ao comprimento do arco,

l

é o

comprimento do arco representado por

2 

r

.

No caso da área lateral do cone, tem-se: Asetor =

Volume do Cone

O volume de um cone é calculado por meio da seguinte expressão:

Volume = A .H 3 1

b (área da base x altura) Área da base =



r² e Altura = H

Vejamos um exemplo do cálculo do volume de um cone:

Volume = A .H 3 1

b

Neste caso, temos: raio = 2 cm Altura = 6 cm Vamos considerar



= 3,14

Área da base =



r

²

Área da base = 3,14.2² Área da base = 12,56

Volume = 12,56.6 3

1

Volume = 25,15 cm³

2 cm

(21)

Esfera

Denomina-se esfera de centro A e raio R, o conjunto de pontos do espaço que apresentam uma distância, até o ponto A, menor ou igual ao raio R.

Volume da esfera

Volume de uma esfera é calculado por meio da seguinte expressão:

Volume =

3 R³ 4



Vejamos um exemplo do cálculo do volume de uma esfera:

3 cm Volume = 3 R³ 4



Neste caso, temos: Raio = 3 cm e vamos considerar



= 3,14

Volume = 3 3³ . 14 , 3 . 4 Volume = 3 27 . 14 , 3 . 4

Volume = 4.3,17.9 Volume = 113,04cm³

(22)

ATIVIDADES

1. Classifique cada um dos sólidos como prisma ou pirâmide.

(23)

3. Identifique os poliedros, destacando aqueles que são prismas. Para os sólidos identificados como prismas, destaque qual é a forma de sua base e se o prisma é reto ou oblíquo.

4. No prisma apresentado, identifique:

a) os vértices

b) as arestas das bases c) as arestas laterais

d) pelo menos duas de suas faces e) duas de suas diagonais

(24)

6. Se um cubo tem volume igual a 125 cm³, qual é a medida de sua aresta? Volume = a³

7. Com as informações do exercício anterior, calcule a área total do cubo de volume igual a 125 cm³.

8. Para embrulhar um presente que está em uma caixa que tem o formato de um prisma reto retângulo, Miriam comprou um papel de área igual a 2.000 cm². Se a caixa tem as seguintes dimensões: comprimento igual a 25 cm, altura igual a 10 cm e largura igual a 15 cm. O papel comprado será suficiente para embrulhar o presente?

9. (UFRN – 2011) Como parte da decoração de sua sala de trabalho, José colocou sobre uma mesa, um aquário de acrílico em forma de paralelepípedo retângulo, com dimensões medindo 20 cm x 30 cm x 40 cm. Com o aquário apoiado sobre a face de dimensões 40 cm x 20 cm, o nível da água ficou a 25 cm de altura.

Se o aquário fosse apoiado sobre a face de dimensões 20 cm x 30 cm, a altura da água, mantendo-se o mesmo volume, seria de, aproximadamente,

a) 16 cm b) 17 cm c) 33 cm d) 35 cm

5 cm

(25)

10. Complete a tabela.

Pirâmide Número de

arestas da

base

Número de

arestas laterais

Número de

faces Número vértices de

Quadrangular 4 4 5 5

Triangular Hexagonal Pentagonal

11.Considerando uma pirâmide regular de base quadrada, sendo a aresta da base igual a 10 cm e a altura dessa pirâmide igual a 12 cm, determine:

a) a área lateral

b) a área total.

12. (Unesp – 2002 - Adaptada) O prefeito de uma cidade pretende colocar em frente à prefeitura um mastro com uma bandeira, que será apoiado sobre uma pirâmide de base quadrada feita de concreto maciço, como mostra a figura.

Sabendo-se que a aresta da base da pirâmide terá 3 m e que a altura da pirâmide será de 4 m, o volume de concreto (em m3_{), necessário para a construção da pirâmide será} a) 36.

(26)

13. (ENEM – 2010 – Adaptada) Um porta-lápis de madeira foi construído no formato cúbico, seguindo o modelo ilustrado a seguir. O cubo de dentro é vazio. A aresta do cubo maior mede 12 cm e a do cubo menor, que é interno, mede 8 cm.

O volume de madeira utilizado na confecção desse objeto foi de a) 12 cm³

b) 64 cm³ c) 96 cm³ d) 1.216 cm³

(27)

15. (ENEM – 2010) Dona Maria, diarista na casa da família Teixeira, precisa fazer café para servir as vinte pessoas que se encontram numa reunião na sala. Para fazer o café, Dona Maria dispões de uma leiteira cilíndrica e copinhos plásticos também cilíndricos.

Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista deseja colocar a quantidade mínima de água na leiteira para encher os vinte copinhos pela metade. Para que isso ocorra, Dona Maria deverá

a) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo.

b) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo.

c) encher a leiteira toda de água, pois ela tem o volume 10 vezes maior que o volume de copo.

d) encher duas leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo.

(28)

16. (ENEM – 2010) Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm de comprimento e 4 cm de espessura.

Analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o formato de cubo é igual a

a) 5 cm. b) 6 cm. c) 12 cm. d) 24 cm. e) 25 cm.

17. (ENEM – 2010) Em um casamento, os donos da festa serviam champanhe aos seus convidados em taças com formato de um hemisfério (Figura 1), porém um acidente na cozinha culminou na quebra de grande parte desses recipientes. Para substituir as taças quebradas, utilizou-se um outro tipo com o formato de cone (Figura 2). No entanto, os noivos solicitaram que o volume do champanhe nos dois tipos de taça fosse igual.

Sabendo que a taça com o formato de hemisfério é servida completamente cheia, a altura do volume de champanhe que deve ser colocado na outra taça, em centímetros, é de

(29)

INDICAÇÕES

Consulte os links indicados a seguir e estude um pouco mais sobre a geometria

espacial.

Geometria Espacial

Disponível em:

http://www.eja.educacao.org.br/bibliotecadigital/indicacoes/sites/Lists/Sites/DispForm.a spx?ID=412&Source=http%3A%2F%2Fwww%2Eeja%2Eeducacao%2Eorg%2Ebr%2F bibliotecadigital%2Findicacoes%2Fsites%2FLists%2Fsites%2Fmatematica%2Easpx

REFERÊNCIAS

Alfa Virtual School Matemática. Poliedro

GEO10.http://objetoseducacionais2.mec.gov.br/bitstream/handle/mec/10483/open/file/ geo1001.htm>. Acesso em: 23 mar. 2016.10h.

BARRETO FILHO, Benigno. BARRETO, Cláudio Xavier. Matemática aula por aula. São Paulo: FTD, 2000.

CECIERJ, Fundação. Matemática e suas Tecnologias – Módulo III/ Matemática. Rio de Janeiro, 2013. Disponível em: < http://projetoseeduc.cecierj.edu.br/eja/material-aluno/modulo-03/Miolo_Matematica_Nova_Eja_Aluno_Mod03.pdf>. Acesso em: 29 mar. 2016. 10h.

ENEM 2010 – Exame Nacional do Ensino Médio. INEP – Instituto Nacional de Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira. Ministério da Educação. Disponível em: <http://download.inep.gov.br/educacao_basica/enem/provas/2010/AZUL_Domingo_GA B.pdf>. Acesso em: 22 mar. 2016. 10h.

SMOLE, Kátia Stocco; DINIZ, Maria Ignez. Matemática Ensino Médio, v 2: livro do professor. 6ª ed. São Paulo: Saraiva, 2010. p. 222 - 260.

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE. Comperve _– Vestibular

2011. Disponível em:<http://www.comperve.ufrn.br/conteudo/provas/provas2011.php>.

Acesso em: 29 mar. 2016. 10h10min.

(30)

GABARITO 1.

Prisma Pirâmide

Pirâmide Prisma

Prisma Pirâmide

2. Aplicando o teorema de Euler, sabe-se que V – A + F= 2. Logo, tem-se: 10 - 20 + F = 2

(31)

3.a, b, c, e f são prismas. a) base hexagonal, prisma reto. b) base pentagonal, prima oblíquo. c) base quadrangular, prisma oblíquo. f) base pentagonal, prisma reto. 4.

a) A, B, C, D, E, F, G, H

d) Exemplos de faces laterais: os quadriláteros ABFE e BCGF

e)

AG

e

BH

5. V = 8³ V = 512 cm³

6. 125 = a³ 3 ₁₂₅_{= a} _{a = 5}

(32)

8. Sim, pois serão utilizados apenas 1.550 cm² de papel. Acompanhe o cálculo desenvolvido:

Se o presente está em uma caixa de formato igual a um prisma reto retângulo. É necessário determinar a área total desse prisma para saber se o material foi suficiente. Vamos utilizar um esboço do prisma mencionado, para que seja possível visualizar suas medidas.

Área da base = 15.25 Área da base = 375 cm² Área total da base = 2.375 cm² Área total da base = 750 cm²

Para calcular a área lateral, vamos dividir em lateral I e latera lI. Área lateral I = 15.10

Área lateral I = 150 cm²

São duas laterais que medem 15 x 10, logo tem-se 300 cm². Área lateral II = 25.10

Área lateral II = 250 cm²

São duas laterais que medem 25 x 10, logo tem-se 500 cm². Área total = área das bases + área lateral I + área lateral II Área total = 750 cm² + 300 cm² + 500 cm²

Área total = 1.550 cm².

25 cm

10 cm

(33)

9. Alternativa C.

Se o aquário tem o formato de um paralelepípedo retângulo, é ideal fazer o esboço desse aquário para que seja visualizado como ele foi disposto sobre a mesa. Neste esboço, a altura do aquário será considerada apenas com referência a medida que a água atingiu.

Considerando essas medidas para o aquário, tem-se volume igual a: V = 40 cm x 20 cm x 25 cm

Volume = 20.000 cm³

Conhecendo o volume, considerando as medidas de 40 cm x 20 cm x 25 cm, vamos fazer um novo esboço para interpretar as medidas do aquário se a face de apoio apresentasse dimensões 20 cm x 30 cm.

Volume = 20.30.y

20.000 = 20.30.y

y =

600 20.000

y = 33,33 ( aproximadamente) 40 cm

20 cm 25 cm

30 cm

20 cm

(34)

10.

Pirâmide Número de

arestas da

base

Número de

arestas laterais

Número de

faces Número vértices de

Quadrangular 4 4 5 5

Triangular 3 3 4 4

Hexagonal 6 6 7 7

Pentagonal 5 5 6 6

11. a) a área lateral

Sendo a altura de uma pirâmide regular, a distância entre o vértice da pirâmide e o centro desse polígono, entre a altura da pirâmide, o apótema da base e o apótema da pirâmide, temos o seguinte triângulo retângulo:

(apótema)² = 12² + 5² (apótema)² = 144 + 25 (apótema)² = 169

apótema = 169

apótema = 13

Área de uma face lateral = 65 2

13 . 10

 cm²

Área lateral total = 4.65 Área lateral total = 260 cm² b) A área total.

Área total = área da base + área lateral Área total = 10.10 + 260

Área total = 100 + 260 Área total = 360 cm²

(35)

12. Alternativa D.

Para encontrar a medida procurada é necessário calcular o volume de uma pirâmide. Considerando que essa pirâmide tem base quadrada, sabe-se que a área de sua base é igual a 9 m².

Volume =

3 1

Ab. h Volume =

3 1

9. 4 Volume = 12 m³

13. Alternativa D.

Para saber a quantidade de madeira, deve-se calcular o volume dos dois cubos. Após obter essas medidas, subtrairemos da medida do cubo maior o volume do cubo menor, isto é, a quantidade de material que foi retirado. Assim, encontraremos a quantidade de madeira utilizada.

V = 12³ V = 1.728 cm³ V = 8³

V = 512

1.728 cm³ - 512 cm³ = 1.216 cm³

14. Para saber em quantos litros essa nova lata excede a capacidade lata que era classificada como a maior, é necessário calcular a capacidade volumétrica da lata que apresenta diâmetro igual a 30 cm e altura igual a 30 cm. ( Considere



= 3,14)

Inicialmente será calculado a área da base. Área =



r

²

Área = 3,14.15² Área = 3,14.225 Área = 706,5 cm² Volume = Ab.h Volume = 706,5.30 Volume = 21.195 cm³

(36)

Se 1.000 mL equivalem a 1 L, para saber quantos litros tem-se em 21.195 mL, basta dividir por 1.000.

21.195 ml : 1.000 = 21,195 L.

Neste caso, a nova lata excede a quantidade da antiga lata em 3,195 L.

15. Alternativa A.

Para saber a quantidade de água de café que Dona Maria deverá fazer, é necessário calcular o volume do copinho e o volume da leiteira.

Volume da leiteira:

Volume = Ab.h

Volume =



.4².20

Volume =



.16.20

Volume = 320



cm³

Volume do copo:

Volume = Ab.h

Volume =



.2².4

Volume =



.4.4

Volume = 16



cm³

Volume da leiteira : volume do copo

320



: 16



= 20

(37)

16. A alternativa correta é a letra B.

Para saber a medida das arestas do chocolate no formato cúbico, é necessário primeiro calcular o volume do chocolate no formato de paralelepípedo.

Volume = 3 x 18 x 4 Volume = 216 cm³

A aresta do chocolate no formato cúbico, será a raiz cúbica de 216. Pois, os dois formatos de chocolate têm o mesmo volume e o volume de um cubo é igual a aresta elevada ao cubo. Logo, tem-se:

Volume do cubo = a³ 216 = a³

3

216

