Introdução à interação uido-estrutura

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Eq. Navier-Stokes Interação líquido-sólido Exemplos

Introdução à interação uido-estrutura

Ana Leonor Silvestre

(2)

Eq. Navier-Stokes Interação líquido-sólido Exemplos

Resumo

Equações de Navier-Stokes e escoamento de Stokes

Equações de Navier-Stokes

Adimensionalização das equações de Navier-Stokes Equações de Navier-Stokes estacionárias

Equações de Stokes

Formulação do problema de interação líquido-corpo rígido

Formulação num referencial de inércia Formulação num referencial ligado ao sólido Aproximação de Stokes

Exemplos. Desacoplagem das equações do liquido e do sólido

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Eq. Navier-Stokes Interação líquido-sólido Exemplos Adimensionalização Caso estacionário Aprox. Stokes

Equações de Navier-Stokes (Claude-Louis Navier - 1822 e

George Gabriel Stokes - 1845)

I São equações com derivadas parciais que permitem determinar

os campos de velocidade e de pressão em escoamentos de uidos Newtonianos.

I Estabelecem que mudanças no momento e aceleração de uma

partícula são o resultado das mudanças na pressão e forças viscosas dissipativas que atuam dentro do uido.

I São usadas para modelar o uxo da água em oceanos e rios, o

movimento das estrelas dentro de galáxias, no projeto de aeronaves e carros, no estudo do uxo sanguíneo, na análise dos efeitos da poluição, etc.

I O problema de existência de soluções regulares para as

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Equações de NavierStokes para um uido incompressível

-problema clássico

Conhecendo o domínio (limitado e xo, por enquanto) Ω ⊂ Rn

(n ≥ 2), T > 0, a densidade ρ, a viscosidade µ, a força exterior F , v∗ e v0,determinaravelocidade v = v(t, x) = vi(t, x)ei e a

pressãop = p(t, x) do uido, denidas em [0, T ] × Ω, tais que ρ(∂_tv + (v · ∇_x)v) = µ∆_xv − ∇_xp + ρF

∇_x·v = 0

em (0, T ) × Ω v(t, x) = v∗(t, x) sobre (0, T ) × ∂Ω (condição de fronteira)

v(0, x) = v0(x), y ∈ Ω (condição inicial)

Observação: ((v · ∇x)v)_i =v_j∂vi ∂x_j

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Análise das equações de Navier-Stokes

I O caso mais relevante nas aplicações é Ω ⊂ Rn com n = 3. I Podemos considerar escoamentos mais especícos: em regime

estacionário, em regime periódico (no tempo ou no espaço); escoamentos bidimensionais (n = 2); escoamentos em domínios ilimitados (p. ex. domínios exteriores, tubos)...

I Podemos considerar diferentes denições de soluções,

consoante a classe de funções à qual é suposto pertencerem: soluções clássicas, soluções fortes, soluções fracas, soluções muito fracas, soluções estatísticas, ...

I o enquadramento funcional inclui: espaços de Sobolev, espaços

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Mudança de variáveis nas equações de Navier-Stokes

Introduzimos quantidades características τ, d, ϑ, ς de modo a obterquantidades adimensionais

t0₌ t τ, x 0 ₌ x l, f0(t0,x0) = f (τ t0_,_{l x}0₎ ς e v0₍_t0_,_x0_{) =} v(τ t0,l x0) ϑ p0₍_t0_,_x0_{) =} ρl p(τ t0,l x0) µ ϑ . Para a pressão, tem-se

(∇_x0p0)(t0,x0) = ρl 2

µ ϑ(∇xp)(τ t

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Mudança de variáveis nas equações de Navier-Stokes

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Adimensionalização das equações de Navier-Stokes.

Números de Reynolds e de Strouhal

Então (v0_,_p0₎ _satisfaz ρϑ τ ∂t0v 0₊ρϑ2 l (v0· ∇)v0= µ ϑ l2 (∆v0−∇p0)+ρςf0 ∇ ·v0 =0    em (0, T0_{) × Ω}0 onde T0 ₌ T τ, Ω 0 _{= {x}0 ₌ x l;x ∈ Ω}. Onúmero de Reynoldsé Re = ρl ϑ µ e onúmero de Strouhal é S = l τ ϑ.

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Equações de Navier-Stokes em regime estacionário

QuandoS ≈ 0 (p. ex. τ é muito grande) em Re S ∂tv + Re(v · ∇)v = ∆v − ∇p + ReF

∇ ·v = 0

em(0, T ) × Ω obtemos as equações de Navier-Stokes estacionárias

∆v − ∇p = Re (v · ∇)v − Re F ∇ ·v = 0

em Ω

que devem ser complementadas com uma condição de fronteira, p.ex.

v = v∗ sobre ∂Ω

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Equações de Stokes

QuandoRe ≈ 0(p.ex a viscosidade µ é muito grande) em Re S ∂tv + Re(v · ∇)v = ∆v − ∇p + ReF

∇ ·v = 0

em(0, T ) × Ω podemos usar a aproximação de Stokes

∆v − ∇p = 0 ∇ ·v = 0

em Ω

que tem a vantagem de ser um problema linear. Este sistema deve ser complementado com uma condição de fronteira, p.ex.

v = v∗ sobre ∂Ω

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Eq. Navier-Stokes Interação líquido-sólido Exemplos Formulação I Formulação II Aproximação de Stokes

Equações do movimento num referencial de inércia

Escoamento de umlíquido viscoso em torno de um corpo rígido ρ(∂_tu + (u · ∇)u) = µ∆u − ∇p + ρFL

∇ ·u = 0

em ∪t∈(0,T ){t} × Ω(t),

u(t, y) = u∗(t, y) + U(t, y) sobre ∪_{t∈(0,T )}{t} × ∂Ω(t),

lim

|_y|→∞u(t, y) = 0, t ∈ (0, T )

u(0, y) = u0(y), y ∈ Ω

Nestas equações

U(t, y) = η(t) + $(t) × (y − yC(t))

é avelocidade do corpo rígido, com

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Descrição do domínio Ω(t) em termos de η e $

No que se segue, Ω := Ω(0).

Relembramos que o sólido se move com velocidade U(t, y) = η(t) + $(t) × (y − yC(t))

Este campo de velocidades gera uma transformação χ(U) tal que o domínio ocupado pelo uido é dado por

Ω(t) = χ(U)(t, Ω) = {y ∈ R3 :y = χ(U)(t, x), x ∈ Ω} e    dχ(U) dt (t, x) = U(t, χ(U)(t, x)) χ(U)(0, x) = x

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A matriz de rotação (ou orientação) R(t). Descrição de

Ω(

t)

ProposiçãoTem-se χ(U)(t, x) = R(t)x + yC(t), com R(t) dada por

   dR dt =W ($)R R(0) = I , W ($) =   0 −$₃ $₂ $₃ 0 −$₁ −$₂ $₁ 0  . Observação: dR_dt R>_{a = $ × a, ∀a ∈ R}3

Assim,o domínio ocupado pelo líquido é dado por Ω(t) = {y ∈ R3: y = R(t)x + y_C(t), x ∈ Ω} SO(3) := {A ∈ R3×3_;_AT_{A = AA}T _{= I, det A = 1}}

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Equações do movimento num referencial de inércia (cont.)

Movimento de umcorpo rígido num líquido viscoso -Leis de Newton mdη dt =FS− Z Σ(t) [T (u, q)N − ρ(u∗+U)u∗·N, d(I$) dt =MS− Z

Σ(t)(y − yC) × [T (u, q)N −ρ(u∗+U)u∗·N], t ∈ (0, T )

η(0) = η₀, $(0) = $₀ Nestas equações

T (u, q) := µ(∇u + (∇u)T) −qI = 2µD(u) − qI Σ(t) := ∂Ω(t) = ∂Ωc(t) com Ωc(t) := R3\ Ω(t), m = Z Ωc %(y)dy = Z Ωc(t)

%(R>(t)(y − y_C(t)))dy é amassa do sólido I_ij(t) =

Z

Ωc(t)

%(R>(t)(y − y_C(t)))[δ_ij|y − y_C(t)|2

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Formulação do problema de interação uido-estrutura

Conhecendo ρ, µ, FL, u∗, FS, MS e as condições iniciais,

determinar u, q, η e $tais que

ρ(∂_tu + (u · ∇)u) = µ∆u − ∇q + ρFL

∇ ·u = 0

em ∪t∈(0,T ){t} × Ω(t),

u(t, y) = u∗(t, y) + U(t, y) sobre ∪_{t∈(0,T )}{t} × ∂Ω(t),

lim |_y|→∞u(t, y) = 0, t ∈ (0, T ) mdη_dt =FS− Z Σ(t) [T (u, q)N − ρ(u∗+U)u∗·N], d(I$) dt =MS− Z Σ(t)

(y −y_C) × [T (u, q)N −ρ(u∗+U)u∗·N], t ∈ (0, T )

u(0, y) = u0(y), y ∈ Ω; η(0) = η0, $(0) = $0

onde Ω(t) = {y ∈ R3_: _{y = R(t)x + y}

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Mudança de variáveis nas equações do movimento

Recordemos que

Ω(t) = χ(U)(t, Ω) = {y ∈ R3 _:_{y = y}

C(t) + R(t)x, x ∈ Ω}

Como, para cada t ∈ [0, T ], χ(U)t:= χ(U)(t, ·) é um

difeomorsmo entre Ω e Ω(t), consideremos as mudanças de variáveis

1. x = χ(U)−1

t (y) = R>(t)(y − yC(t))

Vantagem: χ(U)−₁

t (Ω(t)) = Ω, ∀t ∈ [0, T ] e a região

ocupada pelo líquido ca: [0, T ] × Ω

2. v(x, t) = J_χ(_U)−1

t (χ(U)(t, x))u(t, χ(U)(t, x))

(17)

Mudança de variáveis nas equações do movimento

(18)

Mudança de variáveis nas equações do movimento

(19)

Mudança de variáveis nas equações do movimento

Note-se que a normal a Σ é dada por n(x) = R>_(t)N

t, R(t)x +Z t

0 R(s) · ξ(s)ds

e que a matriz de inércia é transformada na matriz I com Iij = (R(t)>I(t)R(t))ij =

Z

Ωc

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Equações do movimento num referencial ligado a S

Para o líquido ρ∂_tv =µ∆v −∇p+ρ[((V − v) · ∇)v −ω × v +R>FL] ∇ ·v = 0 emΩ × (0, T ) v = V + v∗ sobre Σ × (0, T ) lim |x|→∞v(x, t) = 0, t ∈ (0, T ) v(0, x) = u0(x), y ∈ Ω

Para o corpo rígido

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Movimento do sistema no referencial ligado ao sólido

(22)

Quando apenas a gravidade atua sobre o sistema corpo

rígido-líquido

Com G := R>_{g, as equações do líquido cam}

ρ∂_tv =∆v −∇p+ρ[(V − v) · ∇v − ω × v]+ρG ∇ ·v = 0 em (0, T ) × Ω v = v∗+V sobre (0, T ) × Σ lim |_x|→∞v(t, x) = 0, x ∈ Ω dG dt = G × ω, t ∈ (0, T ) v(0, x) = v0, G(0) = g

(23)

Quando apenas a gravidade atua sobre o sistema corpo

rígido-líquido

Notando que

G = ∇(x · G)

(24)

Quando apenas a gravidade atua sobre o sistema corpo

rígido-líquido

Nas equações do corpo rígido, tem-se R>_F

S =mG e R>MS =0.

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Quando apenas a gravidade atua sobre o sistema corpo

rígido-líquido

As equações do sólido cam mdξ_dt +mω × ξ = m_eG − Z Σ [T (v, ˜p)n − ρ(v∗+V )v∗·n] Idω_dt + ω × (I · ω) = CS× G − Z Σ x × [T (v, ˜p)n − ρ(v∗+V )v∗·n], dG dt = ω × G, t ∈ (0, T ), ξ(0) = ξ₀, ω(0) = ω₀, G(0) = g

Sabemos que quando um corpo está submerso num líquido é atuado por duas forças: o peso do corpo, mg e o peso do líquido deslocado, −ρ|Ωc_|_{g. Se a densidade do corpo e do uido são}

diferentes, existe uma força resultante meg = mg − ρ|Ωc|g. A me

chama-semassa efetiva. Recordamos que CS = ρ

R

Ωcx e que

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Adimensionalização das equações

Introduzimos onúmero de Froude Fr = _|ϑ_g|l2 e adimensionalizamos a massa e a matriz de inércia. Obtemos para o sólido

Re S mdξ_dt +Re mω × ξ = meRe Fr−1g −ˆ Z Σ [T (v, ˜p)n − Re(v∗+V )v∗·n], Re S Idω_dt +Re ω × (I · ω) = Re Fr−1_C S× ˆg − Z Σ x × [T (v, ˜p)n − Re(v∗+V )v∗·n], Sd ˆg_dt = ˆg × ω, t ∈ (0, T ), ξ(0) = ξ₀, ω(0) = ω₀, ˆg(0) = g |g|

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Aproximação de Stokes

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Eq. Navier-Stokes Interação líquido-sólido Exemplos Autopropulsão Sedimentação

Movimento por autopropulsão

No movimento por autopropulsão, tem-se meg = 0 e Cˆ S× ˆg = 0.

(29)

Escoamentos de Stokes auxilares

(30)

Escoamentos de Stokes auxilares (cont.)

(31)

O problema de Stokes exterior

TeoremaSeja Σ de classe C2 _{e u}_∗ _{um elemento do espaço de}

Sobolev H3/2_(Σ)_{. Então o problema}

∆v − ∇p = 0 ∇ ·v = 0 ) em Ω v = v∗ sobre Σ lim |_x|→∞v(x) = 0

tem uma e uma só solução (v, p) tal que v ∈ Ls_{(Ω) (s ∈ [6, ∞)) e}

(∇v, ∇p) ∈ H1(Ω)3×3×L2(Ω)3.

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Resolução do problema de autopropulsão

Neste caso, será possíveldesacoplar o movimento do sólido do movimento do uido.

Seja (v, p) = (ciHi + ϑ,ciPi+ π), com c ∈ R6 e (ϑ, π) solução do

(33)

Resolução do problema de autopropulsão

Começamos por observar que(v, p) = (c_iH_i+ ϑ,c_iP_i+ π), satisfaz ∆v − ∇p = 0 ∇ ·v = 0 ) em Ω v(x) = ci˜ei+v∗(x) sobre Σ lim |x|→∞v(x) = 0

para todo c ∈ R6_{. Agora mostramos que}

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Matriz de resistência (ou matriz de propulsão)

No que se segue, supomos que Σ é de classe C2_.

Amatriz de resistênciaR é denida por Rij =

Z

Σ

˜

ej ·T (Hi,Pi)n, i, j = 1, ..., 6,

Lema(i) A matriz de resistência pode ser calculada através de Rij =

Z

Ω

D(Hi) :D(Hj), i, j = 1, ..., 6 .

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Solução do problema de autopropulsão

LemaAforça de impulsãoe o correspondente momento de torsão

são dados por bi = − Z Σ ˜ ei ·T (ϑ, π)n = − Z Σ v∗·T (H_i,P_i)n, i = 1, ..., 6. Em resumo:

1. Resolvemos o sistema linear Rc = b

2. Fazemos (v, p) = (ciHi+ ϑ,ciPi + π), ξ = ciei e

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Sedimentação de um corpo rígido

Suponhamos que

I a superfície Σ é tal que v_∗=0,

I a força da gravidade é a única força exterior que actua no

sistema líquido-corpo rígido

I m_e >0

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Resolução do problema de sedimentação

Iremos procurar uma soluçao (v, p, ˆg) do problema em span{(Hi,Pi),i = 1, ..., 6} × S2.

Observamos que ˆ

g × ω = 0 ⇐⇒ ω = λˆg, para algum λ ∈ R

e que a matriz de resistência pode ser decomposta em termos de matrizes de translação, rotação e de acoplagem, denidas por

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Resolução do problema de sedimentação

Somos conduzidos à determinação de (λ, ξ, ˆg) ∈ R × R3_×_S2 _tais

Kξ + λCˆg = megˆ

C>ξ + λΘˆg = CS× ˆg

e depois obtemos ω através de ω = λˆg.

As matrizes K e Θ são simétricas e denidas positivas. Tem-se Kξ + λCˆg = meg ⇐⇒ ξ = mˆ eK−1g − λKˆ −1Cˆg Substituindo em C>_{ξ + λΘˆ}_{g = C} S× ˆg obtém-se o problema de valores próprios Aˆg = λˆg com A = (C> K−1C − Θ)−1(meC>K−1−W (CS)) ∈ R3×3.

Introdução à interação uido-estrutura