4 Ondas electromagnéticas
4.1 Onda electromagnética no vazio
As equações dos campos eléctrico e magnético no vazio, como visto anteriormente, são dadas por
2 0
2 2 =
∂
⋅ ∂
−
∇ t
E E G G
µ ε
2 0
2
2 =
∂
⋅ ∂
−
∇ t
B B G G
µ ε
Atendendo à definição de laplaciano de um vector, vê-se que estas duas equações vectoriais se transformam em seis equações escalares:
0 0 0
2 2 2
2 2 2
2 2 2
∂ =
⋅ ∂
−
∇
∂ =
⋅ ∂
−
∇
∂ =
⋅ ∂
−
∇
t E E
t E E
t E E
z z
y y
x x
µ ε
µ ε
µ ε
e
0 0 0
2 2 2
2 2 2
2 2 2
∂ =
⋅ ∂
−
∇
∂ =
⋅ ∂
−
∇
∂ =
⋅ ∂
−
∇
t B B
t B B
t B B
z z
y y
x x
µ ε
µ ε
µ ε
Desenvolvendo os laplacianos, as equações escrevem-se
0 0 0
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
∂ =
⋅ ∂
∂ − +∂
∂ +∂
∂
∂
∂ =
⋅ ∂
∂ − +∂
∂ +∂
∂
∂
∂ =
⋅ ∂
∂ − +∂
∂ +∂
∂
∂
t E z
E y
E x
E
t E z
E y
E x
E
t E z
E y
E x
E
z z
z z
y y
y y
x x
x x
µ ε
µ ε
µ ε
e
0 0 0
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
∂ =
⋅ ∂
∂ − +∂
∂ +∂
∂
∂
∂ =
⋅ ∂
∂ − +∂
∂ +∂
∂
∂
∂ =
⋅ ∂
∂ − +∂
∂ +∂
∂
∂
t B z
B y
B x
B
t B z
B y
B x
B
t B z
B y
B x
B
z z
z z
y y
y y
x x
x x
µ ε
µ ε
µ ε
São seis equações de onda semelhantes à equação que se viu, a uma variável, para uma corda vibrante:
2 0
2
2
2 =
∂
− ∂
∂
∂
t y F x
y µ
Agora, cada uma das equações é a três variáveis. Viu-se que, no caso de uma variável, a solução pode ser expressa como um integral duplo de soluções elementares, chamada onda harmónica do tipo
) cos(ω ± +δ
=A t kx
y
Agora pode-se dizer que qualquer solução de cada uma das seis soluções escalares pode ser expressa como um integral quádruplo (em kx, ky, kz e t) de soluções elementares do tipo, por exemplo, para a componente Ex
)
cos( x y z X
X
x E t k x k y k z
E = ω ± ± ± +δ
Chama-se a esta solução, uma onda plana monocromática, OPM.
Definindo um vector KG
, vector de onda k
k j k i k
KG = xˆ+ yˆ+ zˆ
e sendo o vector de posição do ponto dado por k
z j y i x
rG= ˆ+ ˆ+ ˆ
pode-se escrever a OPM na forma
)
| cos(
)
| cos(
)
| cos(
Z Z
z
Y Y
y
X X
x
r K t E
E
r K t E
E
r K t E
E
δ ω
δ ω
δ ω
+
±
=
+
±
=
+
±
=
G G G G G G
e
)
| cos(
)
| cos(
)
| cos(
Z Z
z
Y Y
y
X X
x
r K t B
B
r K t B
B
r K t B
B
ψ ω
ψ ω
ψ ω
+
±
=
+
±
=
+
±
=
G G G G G G
.
Primeiro vai-se confirmar que a OPM é solução e quais as condições a impor a ω e a KG . Tal vai ser feito para a componente Ex, sendo as conclusões válidas para as outras componentes.
A equação é
2 0
2 2
2 2 2 2
2 =
∂
⋅ ∂
∂ − +∂
∂ +∂
∂
∂
t E z
E y
E x
Ex x x ε µ x
e
) cos(
)
|
cos( X X x y z X
X
x E t K r E t k x k y k z
E = ω ± G G+δ = ω ± ± ± +δ
Tome-se, por exemplo, a solução com o sinal negativo. Então,
x x X
X x x
X X
x x X X
x
E k r
K t E
x k E
r K t E
k k r
K t x E
E
⋅
−
= +
−
⋅
−
∂ =
∂
+
−
⋅
=
−
⋅ +
−
−
∂ =
∂
2 2
2 2
)
| cos(
)
| sin(
) ( )
| sin(
δ ω
δ ω
δ ω
G G
G G G G
Da mesma forma, concluir-se-ia que
x
x ky E
y
E =− ⋅
∂
∂ 2
2 2
x
x kz E
z
E =− ⋅
∂
∂ 2
2 2
Por outro lado
x X
x X
X X
X x X
E r
K t t E
E
r K t E
r K t t E
E
⋅
−
= +
−
⋅
−
∂ =
∂
+
−
⋅
−
=
⋅ +
−
−
∂ =
∂
2 2
2 2
)
| cos(
)
| sin(
) ( )
| sin(
ω δ
ω ω
δ ω
ω ω δ ω
G G
G G G G
Substituindo na equação, vem
2 0
2 2
2 − − + ⋅ ⋅ ⋅ =
−kx Ex ky Ex kz Ex ε µ ω Ex
Dividindo por Ex, a equação é satisfeita pela OPM se
2 2 2 2
z y
x k k
k + +
=
⋅
⋅µ ω ε
µ ε ω
= 1⋅ K
onde K é chamado de número de onda, o módulo do vector de onda KG
, e ω a frequência angular.
2 2 2
z y
x k k
k
K = + +
A onda plana monocromática pode ser representada, tal como foi feito com a onda harmónica a uma dimensão na corda, na forma complexa1, vindo
1 Ver secção 2.1.4.
)
| (
)
| (
)
| (
Z Y X
r K t j Z z
r K t j Y y
r K t j X x
e E E
e E E
e E E
δ ω
δ ω
δ ω
+
− +
− +
−
⋅
=
⋅
=
⋅
=
GG GG G
e
)
| (
)
| (
)
| (
Z Y X
r K t j Z z
r K t j Y y
r K t j X x
e B B
e B B
e B B
ψ ω
ψ ω
ψ ω
+
− +
− +
−
⋅
=
⋅
=
⋅
=
GG GG GG
Sabe-se, já, que para encontrar os campos reais tem que se projectar os complexos no eixo real, isto é, tomar os co-senos dos argumentos das exponenciais.
Inclusive, pode representar-se a solução fasorialmente
)
| (
)
| (
)
| (
Z Y X
r K j z Z
r K j Y y
r K j x X
e E E
e E E
e E E
δ δ δ
+
− +
− +
−
⋅
=
⋅
=
⋅
=
GG GG GG
e
)
| (
)
| (
)
| (
Z Y X
r K j z Z
r K j Y y
r K j x X
e B B
e B B
e B B
ψ ψ ψ
+
− +
− +
−
⋅
=
⋅
=
⋅
=
GG GG GG
Sabe-se, agora, que para calcular o campo real, num certo instante, é preciso multiplicar o fasor por ejωt, rodando de um ângulo ωt e achar os co-senos.
Note-se, também, que fasorialmente é possível simplificar a notação. De facto, em todos aqueles fasores há uma parcela comum, e−jKG|rG. Então, para o campo eléctrico, se se definir um fasor vectorial
k e E j e E i e E
EG0 = X ⋅ jδXˆ+ Y ⋅ jδY ˆ+ Z⋅ jδZ ˆ pode escrever-se, para o campo todo,
r K
e j
E
EG G G|G
0⋅ −
=
Da mesma forma, fazendo
k e B j e B i e B
B X j Xˆ Y j Y ˆ Z j Z ˆ
0
ψ ψ
ψ + ⋅ + ⋅
⋅ G =
resulta
r K
e j
B
BG G G|G
0⋅ −
= .
A OPM propaga-se no espaço; interessa saber qual a superfície cujos pontos têm, no mesmo instante, os mesmos valores do campo. Basta considerar as seis equações escalares como se escreveram ao princípio para entender que essas superfícies de igual valor do campo, chamadas frentes de onda, são dadas por
ωt - KG rG
| = constante ou, para o mesmo instante,
r KG G
| = constante
Esta situação corresponde à que se verifica na figura seguinte:
Atendendo à figura, vê-se que para que KG rG
| seja constante, então a projecção de rG em KG
tem de ocorrer no mesmo ponto; tal só é possível para todos os pontos pertencentes a rG
kG
um plano normal a KG
, isto é, a frente de onda é plana. A onda plana monocromática diz- se plana justamente por isso. Diz-se monocromática porque envolve uma única frequência (uma única cor no espectro visível, como se verá a seguir).
A onda propaga-se, portanto, na direcção definida por KG
e as frentes de onda, em que os campos EG
e BG
da onda têm, em cada instante, o mesmo valor, são planas perpendiculares a KG
.
Há, também, relações entre os vectores do campo eléctrico EG
, do campo magnético BG e do vector de onda KG
, que serão vistas adiante.
Mais uma vez, tal como na onda harmónica da corda vibrante, é possível definir o comprimento de onda, λ, com marcação segundo o eixo segundo o qual a onda se propaga, através de
k λ= 2π
Da mesma forma o período é
T 1f
=
e a velocidade da onda é
k v=Tλ =ω
Atendendo ao resultado encontrado atrás
µ ε ω
= 1⋅ k
vê-se que a velocidade de onda é
µ ε⋅
= 1
v
Para os ε e µ correspondentes ao vazio, nomeadamente ε0 e µ0, constata-se que a velocidade é de 300 000 km·s-1, a velocidade da luz, designada por c, que é uma onda electromagnética, isto é,
1 8 0
0
10
1 =3× ⋅ −
= ⋅ m s
c ε µ .
As OPMs podem ser expressas na forma complexa como
k e
E j e
E i e
E
EG= X ⋅ j(ωt−kxx−kyy−kzz+δX)ˆ+ Y⋅ j(ωt−kxx−kyy−kzz+δY)ˆ+ Z ⋅ j(ωt−kxx−kyy−kzz+δZ)ˆ k e
B j e
B i e
B
BG = X ⋅ j(ωt−kxx−kyy−kzz+ψX)ˆ+ Y⋅ j(ωt−kxx−kyy−kzz+ψY)ˆ+ Z ⋅ j(ωt−kxx−kyy−kzz+ψZ)ˆ As equações de Maxwell são
ε
= ρ E div G
=0 B div G
t E B
rot ∂
−∂
= G G
t
J E B
rot ∂
⋅ ∂ +
⋅
= G G
G µ ε µ
Substituindo, por exemplo, a OPM na equação do rotacional de EG
, fica, por um lado
z y
x E E
E
z y
x
k j
i E E
rot ∂
∂
∂
∂
∂
= ∂
×
∇
=
ˆ ˆ ˆ
G G
em que
) (
) (
) (
Z z y x
Y z y x
X z y x
z k y k x k t j Z z
z k y k x k t j Y y
z k y k x k t j X x
e E E
e E E
e E E
δ ω
δ ω
δ ω
+
−
−
−
+
−
−
−
+
−
−
−
⋅
=
⋅
=
⋅
=
Como a operação de derivar, para Ex, corresponde a multiplicar por –jkx, vem
z y
x
z y
x
E E
E
k j k
j k j
k j
i E E
rot =∇× = − − −
ˆ ˆ G ˆ
G
A operação de derivar para Ey corresponde a multiplicar por –jky e para Ez corresponde a multiplicar por –jkz.
Atendendo à definição de produto vectorial, pode escrever-se E
K j E
rot G G G
×
⋅
−
=
Por outro lado B t j
BG G
⋅
⋅
∂ =
∂ ω
Substituindo na equação de Maxwell
t E B
rot ∂
−∂
= G G
vem
B j E K
j G G G
⋅
⋅
−
=
×
⋅
− ω
ou
B E
KG G G
⋅
=
× ω
Fazendo o mesmo para as outras equações de Maxwell, resulta 0
|D= KG G
0
|B= KG G B
E KG G G
⋅
=
× ω KG HG DG
⋅
−
=
× ω
Destas equações, conclui-se que os vectores KG , EG
e BG
formam um triedo directo, ou seja, os campos EG
e BG
são perpendiculares a KG
, existem no plano que constitui a frente de onda e são tais que rodando EG
para BG
, um saca-rolhas dá a direcção de KG .
Faz, então, sentido fazer uma mudança de eixos das coordenadas. O eixo dos zz passa a coincidir em direcção e sentido com o vector de onda KG
. De notar que as frentes de onda são planos paralelos a KG
. Então,
k k KG = ˆ
isto é, o vector de onda só tem componente segundo o eixo dos zz. Por outro lado, os campos EG
e BG
só têm componentes segundo os eixos dos xx e dos yy (e essas componentes só variam com z).
Os campos reais têm, então, componentes
) cos(
) cos(
Y Y
y
X X
x
z k t E
E
z k t E
E
δ ω
δ ω
+
−
=
+
−
=
e
) cos(
) cos(
Y Y
y
X X
x
z k t B
B
z k t B
B
ψ ω
ψ ω
+
−
=
+
−
=
Na forma complexa
) (
) (
Y X
kz t j Y y
kz t j X x
e E E
e E E
δ ω
δ ω
+
− +
−
⋅
=
⋅
=
e
) (
) (
Y X
kz t j Y y
kz t j X x
e B B
e B B
ψ ω
ψ ω
+
− +
−
⋅
=
⋅
=
plano de onda
KG BG
EG
Finalmente
) (
) (
Y X
kz j Y y
kz j x X
e E E
e E E
δ δ +
− +
−
⋅
=
⋅
=
e
) (
) (
Y X
kz j y Y
kz j x X
e B B
e B B
ψ ψ +
− +
−
⋅
=
⋅
=
ou, definindo os fasores de vectores
j e B i e B B
j e E i e E E
Y X
Y X
j Y j
X
j Y j
X
ˆ ˆ
ˆ ˆ
0 0
ψ ψ
δ δ
⋅ +
⋅
=
⋅ +
⋅
= G G
vem
jkz jkz
e B B
e E E
−
−
⋅
=
⋅
=
0 0
G G
G G
4.2 Polarização de ondas electromagnéticas
A equação do campo eléctrico pode ser re-escrita da seguinte forma
z k j j j
X e i Ae j e
E
EG= ⋅ δX ⋅(ˆ+ φˆ) − ou ainda
z k j j j
X e i Ae j e
E z
EG( )= ⋅ δX ⋅(ˆ+ φˆ) − em que
X Y
E A=E
e
X
Y δ
δ φ = −
A polarização de uma onda EM é definida pelos valores de A e Φ descritos nesta equação. De seguida irão ser estudados vários tipos de polarização característicos. De notar que o produto EX ⋅ejδX é uma constante, pelo que, para efeitos de determinação da polarização da onda EM, se pode escrever
z k j j j e e A i z
EG( )=(ˆ+ φˆ) −
4.2.1 Polarização linear segundo o eixo dos xx Neste caso tem-se A = 0, ficando
i e z
EG( )= −jkz ˆ
{ }
cos( )Re ) ,
(z t e e t kz
Ex = −jkz⋅ jωt = ω −
Neste caso os campos eléctrico e magnético irão ter o seguinte comportamento:
Este tipo de polarização diz-se linear segundo os xx, pois só existe campo eléctrico segundo o eixo dos xx e comporta-se como uma linha nesse eixo, vista do eixo dos zz.
4.2.2 Polarização linear fazendo um ângulo de 45º com o eixo dos xx Agora, tem-se A = 1 e Φ = 0 rad, vindo
z k
e j
j i z
EG( )=(ˆ+ ˆ) −
{ }
cos( )Re ) ,
(z t e e t kz
Ex = −jkz⋅ jωt = ω −
{ }
cos( )Re ) ,
(z t e e t kz
Ey = −jkz⋅ jωt = ω − O vector campo eléctrico, EG(rG,t)
, forma 45º com o eixo dos xx e dos yy e tem por módulo e argumento
y
x
z kG )
, (r t EG G
) , (r t HG G
º 45 ) 1 ( arctg )
, ( arg
) cos(
2 ) (
cos ) (
cos2 2
=
=
−
⋅
=
− +
− t r E
z k t z
k t z
k t G G
ω ω
ω
O comportamento dos campo eléctrico e magnético está representado na figura seguinte:
Visto do eixo dos zz, o campo eléctrico tem o seguinte comportamento:
Como se pode observar, o campo eléctrico descreve uma recta que faz um ângulo de 45º quer com o eixo dos xx, quer com o eixo dos yy. Com Φ = 0, tem-se Φx = Φy.
4.2.3 Polarização circular à esquerda
Nesta situação, tem-se A = 1 e Φ = π/2 rad, vindo o campo eléctrico
z k j j
e e j i z
E ⎟⎟⎠ −
⎞
⎜⎜⎝
⎛ + ⋅
= ˆ ˆ 2 )
( G π
Ficando
x
y 1 EG 1
) (
2 sen cos
) cos(
z k t z
k t E
z k t E
y x
−
−
⎟=
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ − +
=
−
=
π ω ω
ω
1 ) (
sen ) (
cos )
,
(r t = 2 t−kz + 2 t−kz =
E G ω ω
O módulo do campo eléctrico é constante. O argumento é
[
t kz]
kz tt r
E( , )=−arctg tg(ω − ) = −ω arg G G
Visto segundo o eixo dos zz, na posição inicial, isto é, para z = 0, ou para posições em que kz seja múltiplo de 2π, o campo eléctrico terá o seguinte comportamento:
Como se pode constatar, o campo eléctrico descreve uma circunferência no sentido dos ponteiros dos relógios; está-se na presença de uma polarização circular à esquerda.
Visto a três dimensões, o seu comportamento é o seguinte:
x
y
ω t = π ω t = 3 π/2
ω t = π/2 ω t = 0
4.2.4 Polarização circular à direita
Esta situação é em tudo idêntica à anterior, só que agora o desfasamento entre a componente segundo o eixo dos xx e dos yy é de -90º, ou seja, A = 1 e Φ = -π/2 rad.
Nesta situação a expressão do campo eléctrico fica
z k j j
e e j i z
E − ⎟⎟⎠ −
⎞
⎜⎜⎝
⎛ + ⋅
= ˆ ˆ 2 )
( G π
Ficando
) (
2 sen cos
) cos(
z k t z
k t E
z k t E
y x
−
⎟=
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ − −
=
−
=
π ω ω
ω
1 ) (
sen ) (
cos )
,
(r t = 2 t−kz + 2 t−kz =
E G ω ω
O módulo do campo eléctrico é constante. O argumento é z
k t t r
E( , )=ω − arg G G
Visto segundo o eixo dos zz, o campo eléctrico terá o seguinte comportamento:
Como se pode constatar, o campo eléctrico descreve uma circunferência no sentido contrário ao dos ponteiros dos relógios; está-se na presença de uma polarização circular à direita.
4.2.5 Polarização elíptica à esquerda
Considere-se o caso em que A = 2 e Φ = π/2 rad. O campo eléctrico virá, então, x
y
ω t = π ω t = π/2
ω t = 3π/2 ω t = 0
z k j j
e e j i z
E ⎟⎟ −
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ + ⋅
= ˆ ˆ 2 2 )
( G π
Ficando
) (
sen 2 2
cos 2
) cos(
z k t z
k t E
z k t E
y x
−
−
⎟=
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ − +
=
−
=
π ω ω
ω
) (
sen 4 ) (
cos )
,
(r t 2 t kz 2 t kz
E G = ω − + ω −
Visto segundo o eixo dos zz, o campo eléctrico terá o seguinte comportamento:
Como se pode verificar, a campo eléctrico descreve uma elipse no plano xy rodando no sentido dos ponteiros do relógio. Está-se na presença de uma polarização elíptica à esquerda.
4.2.6 Polarização elíptica à direita
Considere-se o caso em que A = 2 e Φ = -π/2 rad. O campo eléctrico virá, então,
z k j j
e e j i z
E − ⎟⎟⎠ −
⎞
⎜⎜⎝
⎛ + ⋅
= ˆ ˆ 2 2 )
( G π
Ficando
x
y
ω t = π/2
ω t = 3π/2 ω t = 0
ω t = π
) (
sen 2 2
cos 2
) cos(
z k t z
k t E
z k t E
y x
−
⎟=
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ − −
=
−
=
π ω ω
ω
) (
sen 4 ) (
cos )
,
(r t 2 t kz 2 t kz
E G = ω − + ω −
Visto segundo o eixo dos zz, o campo eléctrico terá o seguinte comportamento:
Como se pode verificar, a campo eléctrico descreve uma elipse no plano xy rodando no sentido dos ponteiros do relógio. Está-se na presença de uma polarização elíptica à esquerda.
4.3 Energia e vector de Poynting
Considerem-se as seguintes duas das equações de Maxwell:
t E B
rot ∂
− ∂
= G G
µ
t J E H
rot ∂
+ ∂
= G G
G ε →
t H E rot
J ∂
− ∂
= G G
G ε
O produto interno EG JG
| representa a energia por unidade de volume.
Nos condutores, tem-se JGC EG
⋅
=σ , pelo que EG|σ⋅EG=σ⋅E2, o que dá a lei de Joule.
Desenvolvendo o produto interno,
t E E H rot E J
E ∂
⋅ ∂
−
=
G G G G G
G| | ε |
Por outro lado, tem-se
x
y
ω t = 3π/2
ω t = π/2 ω t = 0
ω t = π
H rot E E rot H H E div
b rot a a rot b b a div
G G G G G G
G G G G
G G
|
| ) (
|
| ) (
−
=
×
−
=
×
pelo que fica
) 2 (
2
) (
|
|
| )
(
|
|
2 2
H E t div
E t
H
H E t div E E t
H H
t E E H
E div E rot H J E
G G
G G G
G G G
G G G
G G
G G G
×
∂ −
⋅∂
∂ −
⋅∂
−
=
×
∂ −
⋅ ∂
∂ −
⋅ ∂
−
=
∂
⋅ ∂
−
×
−
=
ε µ
ε µ
ε
Aplicando um integral de volume a ambos os lados desta equação, vem
( ) ∫∫∫ ( )
∫∫∫
∫∫∫
⎜⎝⎛ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⎟⎠⎞ + × =−∂
∂
V V
V
dV J E dV
H E div dV
E t H
G G G
G ) |
2 ( 1 2
1 µ 2 ε 2
Aplicando o teorema de Green-Ostrogradsky, vem
∫∫∫ ( )
∫∫
∫∫∫
⎜⎝⎛ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⎟⎠⎞ + × =−∂
∂
V S
V
dV J E dS
n H E dV
E t H
G G G
G
G )| ) |
2 ((
1 2
1 µ 2 ε 2
ou
∫∫∫ ( )
∫∫∫
∫∫
× =−∂∂ ⎜⎝⎛ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⎟⎠⎞ −V V
S
dV J E dV
E t H
dS n H
EG G G G G
2 | 1 2
) 1
| )
(( µ 2 ε 2
em que o produto externo EG HG
× dá o vector de Poynting, SG
, isto é, H
E SG G G
×
=
Pode então escrever-se
∫∫∫ ( )
∫∫∫
∫∫
=−∂∂ ⎜⎝⎛ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⎟⎠⎞ −V V
S
dV J E dV
E t H
dS n
SG G G G
2 | 1 2
) 1
|
( µ 2 ε 2
O termo do lado esquerdo desta equação representa o fluxo de energia através da superfície fechada S que contorna o volume V, enquanto que o primeiro termo da direita da equação representa a taxa de variação da energia armazenada nos campos eléctrico e
magnético dentro do volume V. No caso de todas as fontes se encontrarem fora do volume V, o terceiro termo é uma perda óhmica. O termo da fonte é o vector de Poynting que compreende a fluxo de entrada da energia. Pode, então, escrever-se
G G
calor por dissipada energia
2
volume no magnética
eincrementodeenergiaeléctrica de
taxa
2 2
a exterioresdevidoàsfontes energiatermofonte;entradade
) 2 (
1 2
) 1
|
(
∫∫∫ ∫∫∫
∫∫
=∂∂ ⎜⎝⎛ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⎟⎠⎞ + ⋅V V
V
V S
dV E dV
E t H
dS n
S µ ε σ
Quando as fontes se encontram dentro do volume V, o terceiro termo deve conter o termo da fonte. EG
e JG
, quando representam fontes estão em direcções opostas. Assumindo que não há perdas dentro do volume V, a equação do balanço energético vem
G G
G G
V V
V S
V
dV E t H
dS n S dV
J E
volume no
armazenadadeincrementodeenergia taxa
2 2
volume do energiafluxodesaídade fonte
termo
2 1 2
) 1
| ( )
|
(
∫∫ ∫∫∫
∫∫∫
= +∂∂ ⎜⎝⎛ ⋅µ⋅ + ⋅ε⋅ ⎟⎠⎞Por último, atendendo a que
C
S J
J JG G G
+
=
pode re-escrever-se
∫∫∫
∫∫∫
∫∫∫
= + ⋅V V
S V
dV E dV
J E dV
J
E| ) ( | ) ( )
(G G G G σ 2
4.4 Ondas em meios condutores
Recordem-se as equações de radiação e de propagação dos campos eléctrico e magnético:
t grad J
t E E
∂ + ∂
∂ =
⋅ ∂
−
∇
G G G
µ ε ρ
µ
ε 22 1
2
J t rot
B BG G
G =− ⋅
∂
⋅ ∂
−
∇2 ε µ 22 µ
Nos meios condutores, sem fontes de cargas, têm-se as seguintes relações:
E JG G
⋅
=
= σ ρ 0
pelo que se pode escrever
2 0
2 2
2 2 2
∂ =
⋅ ∂
∂ −
⋅ ∂
−
∇
∂
⋅ ∂
∂ =
⋅ ∂
−
∇
t E t
E E
t E t
E E
G G G
G G G
σ µ µ
ε
σ µ µ
ε
e
2 0
2 2
2 2 2
∂ =
⋅ ∂
∂ −
⋅ ∂
−
∇
∂
⋅ ∂
=
⋅
−
∂ =
⋅ ∂
−
∇
t B t
B B
t E B
t rot B B
G G G
G G G G
σ µ µ
ε
σ µ σ
µ µ
ε
O efeito dos termos de perda,
t E
∂
⋅ ∂ G σ
µ e
t B
∂
⋅ ∂ G σ
µ , nas equações anteriores é atenuar a onda em propagação, pois a energia é retirada da onda para fornecer as perdas por aquecimento óhmico no meio. Quando este termo é pequeno, por exemplo, num meio dieléctrico de baixas-perdas, em que σ ≈ 0, a onda sofrerá uma pequena atenuação do tipo exponencial à medida que se propaga no meio. Por outro lado, quando as perdas por condução são grandes, σ » 1, a atenuação exponencial será tão rápida que quase nem se pode falar em propagação: é mais uma difusão no meio. Quer se trate de difusão ou de propagação depende dos dois últimos termos da equação para o EG
, que pode ser identificado com a corrente de deslocamento e com a corrente de condução através de:
2 ⎟⎟=0
⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂ +∂
−
∇ t
J D E
G G G µ
em que JG
é a corrente de condução e t D
∂
∂ G
é a corrente de deslocamento.
Num meio em que a corrente de deslocamento predomine (e se possa desprezar a corrente de condução), então o campo magnético é produzido pela corrente de deslocamento, ficando
t H D
rot ∂
=∂ G G
e 2 2 2 =0
∂
⋅ ∂
−
∇ t
E E G G
ε µ
