NH2802–Fundamentos da Eletrodinˆ amica
Prof. Jos´e Kenichi Mizukoshi Prova 2 (vers˜ao revisada)
30 de janeiro de 2014
1. (3 pts) Um fio circular, de raioa, conduz uma corrente constanteI, uniformemente distribu´ıda sobre a sua se¸c˜ao transversal. Uma fenda estreita no fio, de largura w a, forma um capacitor de placas paralelas, conforme mostra a figura abaixo.
(a) Encontre os campos el´etrico e magn´etico na fenda em fun¸c˜ao da distˆanciasdo eixo e do tempot. (Assuma que a carga ´e zero em t= 0.)
(b) Encontre a densidade de energiauem e o vetor de Poynting na fenda. Qual a dire¸c˜ao e sentido desse vetor?
Mostre que a equa¸c˜ao da continuidade
∂
∂t(umec+uem) =−∇·S
´
e satisfeita. Observe que neste caso, como n˜ao h´a carga na fenda, dW
dt = d dt
Z
V
umecdτ = 0
(c) Determine a energia total na fenda em fun¸c˜ao do tempo. Calcule a potˆencia total fluindo para a fenda, integrando o vetor de Poynting sobre uma superf´ıcie apropriada. Cheque que a potˆencia de entrada ´e igual a taxa de aumento da energia na fenda.
2. (4 pts) O objetivo principal desta quest˜ao ´e obter o campo magn´etico dentro e fora de uma esfera de ferro de raioRuniformemente magnetizada, com magnetiza¸c˜aoM=Mˆz, atrav´es do m´etodo da separa¸c˜ao de vari´aveis.
(a) Justifique que neste problema podemos escrever o campo auxiliar magn´etico como sendoH=−∇W, onde W ´e o potencial escalar magn´etico. Mostre que para uma magnetiza¸c˜ao qualquer, W obedece `a equa¸c˜ao de Poisson.
(b) No caso da magnetiza¸c˜ao uniforme,W obedece `a equa¸c˜ao de Laplace parar6=R, portanto a solu¸c˜ao geral pode ser obtida atrav´es do m´etodo da separa¸c˜ao de vari´aveis. Para encontrar a solu¸c˜ao espec´ıfica, ´e preciso impor as condi¸c˜oes de contorno. Mostre que (i) o potencial escalar magn´etico ´e cont´ınuo em todo o espa¸co e (ii) emr=R,
−∂W1
∂r +∂W2
∂r =Mr
ondeW1 eW2 s˜ao os potenciais, respectivamente, fora e dentro da esfera.
2 (c) Obtenha a solu¸c˜ao particularWem toda a regi˜ao do espa¸co e posteriormente mostre que o campo magn´etico
´
e dado por
B=
2
3µ0M(cosθˆr− senθθ),ˆ r < R µ0M
3 R
r 3
(2 cosθˆr+ senθθ),ˆ r > R
(d) Observe que o componente do campo na dire¸c˜ao radial ´e cont´ınuo em r=R, contudo o componente ˆθ ´e descont´ınuo. Evidentemente, este resultado ´e decorrente das condi¸c˜oes de contorno paraW aplicadas no item (b). Utilize as equa¸c˜oes de Maxwell escritas em termos deBe o resultado do item anterior e obtenha a densidade de correnteK respons´avel pela descontinuidade.
3. (3 pts) Considere a esfera da Quest˜ao 2. Suponha que al´em de estar uniformemente magnetizada, est´a carregada com uma cargaQe inicialmente em repouso.
(a) Utilize o tensor das tens˜oes para encontrar a for¸ca eletrost´atica sobre o hemisf´erio norte.
(b) Calcule o momento angular armazenado no campo eletromagn´etico.
(c) Suponha que a esfera seja gradualmente (e uniformemente) desmagnetizada (talvez aquecendo-a at´e passar do ponto de Curie). Use a lei de Faraday para determinar o campo el´etrico induzido, encontre o torque que este campo exerce sobre a esfera e calcule o momento angular total transmitido `a esfera no decurso da desmagnetiza¸c˜ao.
Formul´ario
• Teorema de Poynting dW
dt =−d dt
Z
V
1 2
0E2+ 1 µ0B2
dτ− 1
µ0 I
S
(E×B)·da
• For¸ca eletromagn´etica F=
I
S
←→
T ·da−0µ0
d dt
Z
V
Sdτ Tij ≡0
EiEj−1 2δijE2
+ 1 µ0
BiBj−1 2δijB2
• Densidade de momento e momento angular Pem=0(E×B)
`em=r×Pem
• Densidades de corrente K= dI
dl⊥; J= dI da⊥
• Solu¸c˜ao geral da Equa¸c˜ao de Laplace em coorde- nadas esf´ericas
W(r, θ) =
∞
X
l=0
Alrl+ Bl
rl+1
Pl(cosθ),
onde P0(x) = 1, P1(x) = x, P2(x) = (3x2−1)/2, etc.
