PROBABILIDADE
Probabilidade condicional e a regra de adição
Aula 4
Leis de DeMorgan
Seja a união dos eventos Ei :
Significa que pelo menos um evento ocorre!
O complemento da união destes eventos é descrita como:
Suponha que x seja um resultado da união de eventos .
Então: - x não está em UEi , ou seja, x não está em nenhum evento Ei - x está em UEi’ para todo i = 1,2,...,n, ou seja, x está em ∩Ei’
e
Regra da adição
Exemplo: Você leva dois livros para ler durante as férias. A probabilidade de gostar do primeiro livro é de 0,5, de gostar do segundo livro é 0,4 e de gostar de ambos é de 0,3. Qual a probabilidade de que você não goste de nenhum dos livros?
Ai = gostar do livro i, i=1,2.
A1 U A2 = gostar de pelo menos um dos livros.
P(A1 U A2) = P(A1) + P(A2) – P(A1 ∩ A2) = 0,6
Não gostar de nenhum livro é complemento do evento gostar de pelo menos um deles!
P(A1’ ∩ A2’) = P(A1 U A2)’ = 1 – P(A1 U A2) = 0,4
Regra da adição
Para 3 eventos (E,F,G), a probabilidade de ocorrência de qualquer um dos 3 é
P(E U F U G) = P((E U F) U G)
= P(E) + P(F) + P(G) – P(EF) – P(EG) – P(FG) + P(EFG) Por indução matemática,
Esta é a regra de inclusão-exclusão!
No caso dos 3 eventos, a probabilidade de união de n eventos é igual à soma das probabilidades individuais desses eventos, menos a soma das probabilidades desses eventos tomados 2 a 2, mais a soma das probabilidades desses eventos tomados 3 a 3.
Regra da adição
Ex: Vamos supor n bolas diferentes distribuídas em r urnas distintas. Serão rn resultados possíveis.
Suponha que as bolas são indistinguíveis. Quantos resultados diferentes são possíveis?
Solução: Podemos descrever o resultado como um vetor (variável unidimensional que armazena várias variáveis do mesmo tipo) :
(x1+ x2 + ... + xr )= n,
onde xi indica o número de bolas depositadas na i-ésima urna.
O problema é encontrar o número de vetores com valores inteiro não negativos tais que :
x1+ x2 + ... + xn = n.
Soluções inteiras de equações
Considere-se a equação x1 + x2 + x3 + x4 = 7.
Cada uma de suas soluções é uma lista da forma (x1, x2, x3, x4), na qual as incógnitas x1, x2, x3 e x4 são números inteiros e positivos cuja soma vale 7. Para determinar o número de soluções inteiras e positivas dessa equação, pode-se empregar uma estratégia, parcelando o número 7 em unidades do seguinte modo:
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 7
Entre as 7 unidades, há 6 espaços que estão ocupados pelos sinais de adição. Cada solução dessa equação pode ser obtida separando as unidades com três vírgulas, já que se têm 4 incógnitas. Essas vírgulas devem ser colocadas em 3 dos 6 espaços, conforme sugere o exemplo seguinte:
1 + 1, 1, 1 + 1 + 1, 1
Esse exemplo corresponde à solução (2, 1, 3, 1). Assim, escolhem-se três desses espaços para determinar uma solução.
Soluções inteiras de equações
Para contar o número de soluções inteiras e positivas dessa equação, basta determinar, de quantos modos distintos 3 posições podem ser escolhidas dentre as 6 disponíveis. Como não há ordem nessas escolhas, o número de modos de escolher corresponde ao número de combinações simples de 6 posições tomadas 3 a 3, que pode ser calculado do seguinte modo:
A equação x1 + x2 + x3 + x4 = 7 tem 20 soluções.
Calcular o número de soluções inteiras e positivas da equação x1 + x2 + x3 + ... + xr = n,
corresponde a calcular o número de modos de arrumar n objetos iguais em r grupos distintos, de tal forma que cada grupo contenha pelo menos um objeto.
As n unidades, organizados lado a lado, geram n – 1 espaços. Para separar n grupos, colocam-se r – 1 vírgulas (ou r – 1 traços). Portanto, o número total de soluções pode ser representado por
Soluções inteiras de equações
Considere-se a equação x1 + x2 + x3 + x4 = 7.
Suas soluções são listas de números inteiros não negativos da forma (x1, x2, x3, x4).
Algumas soluções dessa são: (0, 0, 3, 4), (1, 0, 0, 6), (2, 0, 5, 0), (1, 2, 1, 3),...
Nessa equação xi ≥ 0 para todo i do conjunto {1, 2, 3, 4}.
Substituindo cada incógnita xi por yi – 1, temos yi ≥ 1 , isto é, yi é um número inteiro positivo,
y1 - 1 + y2 - 1 + y3 - 1 + y4 - 1 = 7 y1 + y2 + y3 + y4 = 11
O número de soluções inteiras e não negativas da equação de incógnitas xi é igual ao número de soluções inteiras e positivas da equação de incógnitas yi:
Soluções inteiras de equações
O número de soluções inteiras e não negativas de x1 + x2 + x3 + ... + xn = n, é igual ao número de soluções inteiras e positivas de
y1 - 1 + y2 - 1 + y3 - 1 + ...+ yr - 1 = n ou y1 + y2 + y3 +...+ yr = n+r
Ou seja, o número de modos de guardar n objetos iguais em r grupos (quando em cada uma delas pode conter até todos os objetos) e corresponde a:
Resumindo:
Há vetores distintos com valores inteiros positivos.
Há vetores distintos com valores inteiros não negativos.
Soluções inteiras de equações
Ex1: Quantas soluções com valores inteiros não negativos de x1+ x2 = 3 são possíveis?
Ex2: Um investidor tem 20 mil reais para aplicar entre 4 investimentos possíveis.
Cada aplicação deve ser feita em unidades de mil reais. Se o valor total de 20 mil for investido, quantas estratégias de aplicação diferentes são possíveis? E se nem todo o dinheiro for investido?
Soluções inteiras de equações
Ex: Temos cinco urnas, cada uma com 6 bolas. Duas dessas urnas (tipo C1), têm 3 bolas brancas, duas outras (tipo C2) têm bolas brancas, e a última urna (tipo C3 tem 6 bolas brancas. Escolhemos uma urna ao acaso e dela retiramos uma bola. Qual a probabilidade de a urna escolhida ser do tipo C3, sabendo-se que a bola sorteada é branca?)
Teorema de Bayes
Teorema de Bayes
Seja {C1, C2, ..., Cn} uma partição do espaço amostral S, isto é,
Ci ∩ Cj = , i j
C1 C2 ... Cn = S
A probabilidade de ocorrência do
evento Ci , supondo a ocorrência de A é
