1.2ModelosProbabil´ısticos 1.1ModelosDetermin´ısticos CAUSA= ⇒ EFEITO 1ModelosMatem´aticos CAP´ITULO1:Introdu¸c˜ao`aEstat´ıstica

Centro Federal de Educa¸c˜ao Tecnol´ogica Celso Suckow da Fonseca – CEFET/RJ Disciplina: Estat´ıstica

Prof. Anna Regina Corbo

CAP´ITULO 1: Introdu¸c˜ao `a Estat´ıstica

1 Modelos Matem´ aticos

Para muitos fenˆomenos de interesse geral s˜ao constru´ıdos modelos matem´aticos, sempre com base na premissa:

CAUSA =⇒ EFEITO

Estes modelos podem ser divididos pelo seu tipo de natureza:

ˆ Determin´ıstica: sem incerteza.

ˆ Probabil´ıstica: com incerteza.

1.1 Modelos Determin´ısticos

Se o experimento ´e realizado sempre sob as mesmas condi¸c˜oes, os resultados ser˜ao sempre os mesmos.

Exemplo: Circuito El´etricoi= V R

1.2 Modelos Probabil´ısticos

As condi¸c˜oes do experimento definem o comportamento do resultado, isto ´e, mesmo reali- zando o experimento sob as mesmas condi¸c˜oes os resultados ser˜ao diferentes.

Exemplo 1: Tr´afego Telefˆonico

Quantos cabos s˜ao necess´arios para garantir que todas as liga¸c˜oes entre os terminais A e B sejam efetuadas?

ˆ Se n= 200⇒100% das liga¸c˜oes ser˜ao completadas;

ˆ Se n200⇒99% ou 95% das liga¸c˜oes ser˜ao completadas, o que ´e aceit´avel.

2 Estat´ıstica Descritiva

O objetivo ´e descrever dados atrav´es de gr´aficos, tabelas, medidas num´ericas etc.

2.1 Conceitos B´asicos

ˆ Popula¸c˜ao: cole¸c˜ao de todos os elementos cujas caracter´ısticas desejamos estudar.

ˆ Amostra: subconjunto de elementos cujas caracter´ısticas ser˜ao medidas.

Exemplo 2: ˆ Popula¸c˜ao: Eleitores do RJ

ˆ Amostra: 650 eleitores

ˆ Caracter´ıstica (ou Vari´avel): percentual que pretende votar no candidatoX.

2.2 Tipos de vari´aveis

As vari´aveis s˜ao as caracter´ısticas que podem ser observadas (ou medidas) em cada elemento da popula¸c˜ao, sob as mesmas condi¸c˜oes.

1. Vari´avel Quantitativa: quando os poss´ıveis resultados para a vari´avel s˜ao n´umeros, numa certa escala. Por exemplo: idade, tempo de servi¸co, altura, peso, comprimento etc.

2. Vari´avel Qualitativa: quando os poss´ıveis resultados para a vari´avel s˜ao atributos, qualidades ou uma certa categoria. Por exemplo: sexo, faixa et´aria, estado civil, escolaridade etc.

2.3 T´ecnicas de descri¸c˜ao gr´afica

Para descrever graficamente um conjunto de dados ´e necess´ario verificar a frequˆencia dos valores existentes na vari´avel.

Frequˆencia f_i ´e o n´umero de vezes que um valor i foi observado em uma vari´avel. ´E f´acil perceber que

k

X

i=1

f_i =n

onde k ´e o n´umero de diferentes valores existentes na vari´avel den amostras.

Frequˆencia relativa p_i ´e a propor¸c˜ao de um dado valori numa vari´avel, ou seja,

p_i = f_i

n =⇒

k

X

i=1

p_i =

k

X

i=1

f_i n = 1 Exemplo 3: Candidatos `a p´os-gradua¸c˜ao

Tabela de Frequˆencias

f_i p_i Engenheiros 38 0,281 Economistas 30 0,222 Administradores 35 0,259 Contadores 32 0,238

TOTAL 135 1,000

Histograma

Exemplo 4: Diˆametro de pe¸cas produzidas por uma m´aquina, em mil´ımetros.

21,5 21,4 21,8 21,5 21,6 21,7 21,6 21,4 21,2 21,7 21,3 21,5 21,7 21,4 21,4 21,5 21,9 21,6 21,3 21,5 21,4 21,5 21,6 21,9 21,5

Exerc´ıcio: Construir a Tabela de frequˆencias com f_i, p_i e as frequˆencias acumuladas F_i, P_i e seu respectivo histograma.

Distribui¸c˜ao dos dados em Classes de Frequˆencia

O n´umero m´aximo para a quantidade de classes de frequˆencia ´e √

n. Deste modo, para o exemplo 2, podemos ter:

Logo, amplitude h do intervalo : 0,2.

2.4 Medidas Num´ericas

2.4.1 Medidas de Posi¸c˜ao

Servem para localizar a distribui¸c˜ao de frequˆencias de uma vari´avel.

a) M´edia x¯

Sejax_i, onde i= 1,2,3,· · · , n, o conjunto de dados. A m´edia aritm´etica ¯x´e dada por:

¯ x=

n

X

i=1

x_i n

Se os dados estiverem dispostos numa tabela de frequˆencias com k linhas, ent˜ao

¯ x=

k

X

i=1

x_i·f_i

n (1)

Se os dados estiverem distribu´ıdos em classes de frequˆencia, definimos a m´edia substi- tuindo x_i em (1) pelo ponto m´edio de cada classe.

A m´edia ´e uma medida pouco robusta com rela¸c˜ao a erros de media¸c˜ao, no entanto ´e muito pr´atica em sua utiliza¸c˜ao.

Exemplo 5: C´alculo da m´edia

Classes fi xi xifi Fi

39,5 ` 44,5 3 42 126 3 44,5 ` 49,5 8 47 376 11 49,5 ` 54,5 16 52 832 27 54,5 ` 59,5 12 57 689 39 59,5 ` 64,5 7 62 434 46 64,5 ` 69,5 3 67 201 49 69,5 ` 74,5 1 72 72 50

Total 50 2725

¯ x=

Pk

i=1xi·fi

n = 2725

50 = 54,5X

b) Mediana M_d

E uma estat´ıstica de ordem, que determina centralidade.´

Considere a amostra x₁, x₂,· · · , x_n. Ordenamos a amostra de tal modo que x(1) →menor elemento;

x(2) →segundo menor elemento;

...

x(n)→ maior elemento;

A mediana ´e a amostra do meio e ´e definida matematicamente por:

M_d=







x(ⁿ⁺¹₂ ) , se n ´e ´ımpar x(ⁿ₂) +x(ⁿ₂ + 1)

2 , se n ´e par Exemplo 6: x_i ={2,3,7,5,5,9,4}

x(1) = 2; x(2) = 3;x(3) = 4; x(4) = 5;x(5) = 5; x(6) = 7; x(7) = 9.

M_d=x(⁷⁺¹₂ ) =x(4) = 5X

A mediana caracteriza melhor que a m´edia o centro de um conjunto de dados pois n˜ao considera, em seu c´alculo, valores extremos.

c) Moda M_o

E a observa¸c˜´ ao mais frequente, indicando a regi˜ao das “m´aximas frequˆencias”.

2.4.2 Medidas de Dispers˜ao

Complemento das medidas de posi¸c˜ao: indicam o quanto os dados est˜ao espalhados em torno da regi˜ao central. Indica a varia¸c˜ao dos dados.

a) Variˆancia s²

s² = Pn

i=1(x_i−x)¯ ² n−1

Se os dados estiverem dispostos numa tabela de frequˆencias, ent˜ao:

s² = Pn

i=1(x_i−x)¯ ²·f_i n−1 Exemplo 7: x_i ={15,12,10,17,16}

xi xi−x¯ (xi−x)¯ ²

15 1 1

12 -2 4

10 -4 16

17 3 9

16 2 4

Total 34

¯

x= 14; n = 5.

s² = Pn

i=1(xi−x)¯ ² n−1 = 34

4 = 8,5X b) Desvio-padr˜ao s

s=√ s²

Ou seja, o desvio-padr˜ao ´e a raiz quadrada da variˆancia. Serve para expressar a varia¸c˜ao dos dados na mesma unidade da vari´avel em quest˜ao. Observe que o desvio-padr˜ao n˜ao ´e uma medida de erro e sim uma medida da dispers˜ao espacial dos dados ao redor da m´edia.

c) Coeficiente de Varia¸c˜ao C_v

E uma medida de varia¸c˜´ ao adimensional (percentual).

Cv = s

¯

x = desvio-padr˜ao m´edia Exemplo 8: No exemplo anterior

¯ x= 14

s² = 8,5→s≈2,91

C_v = s

¯

x = 2,91

14 = 0,208 = 20,8%X

2.5 Ramos-e-folhas

Quando a quantidade de dados n˜ao for muito grande (digamos at´e uma centena de ob- serva¸c˜oes), podemos construir, com relativa facilidade, um diagrama de ramos-e-folhas, o qual fornece a forma da distribui¸c˜ao de frequˆencias e ainda preserva a magnitude aproxi- mada dos valores.

Num ramos-e-folhas os dados ficam ordenados crescentemente, o que facilita a obten¸c˜ao de algumas medidas descritivas.

Exemplo 9: Idade dos alunos de uma turma de hidrogin´astica 57 76 92 89

72 66 90 87 54 67 69 95 59 68 73 95

Diagrama de Ramos-e-folhas correspondente:

Exemplo 10: Popula¸c˜ao residente no Norte Fluminense 6512 21083

3682 28339 18084 9612 13804 33245

2.6 Quartil

Tanto a m´edia como o desvio-padr˜ao podem n˜ao ser medidas adequadas para representar um conjunto de dados pois: 1) s˜ao afetados, de forma exagerada, por valores extremos; 2) apenas com estes dois valores n˜ao temos id´eia da simetria ou assimetria da distribui¸c˜ao dos dados.

Para contornar esses fatos, outras medidas tem de ser consideradas, como por exemplo, os quartis.

Na estat´ıstica descritiva, umquartil ´e qualquer um dos trˆes valores que divide o conjunto ordenado de dados em quatro partes iguais, e assim cada parte representa ¹₄ da amostra ou popula¸c˜ao.

Assim, no caso duma amostra ordenada, temos:

ˆ Primeiro quartil Q1 (quartil inferior): ´e o valor limita superiormente os 25% iniciais da amostra ordenada.

ˆ Segundo quartil Q2 (mediana): ´e o valor at´e ao qual se encontra 50% da amostra ordenada.

ˆ Terceiro quartil Q3 (quartil superior): valor a partir do qual se encontram 25% dos valores mais elevados.

A diferen¸ca entre os quartis superior e inferior chama-se amplitude inter-quartil.

2.7 Diagrama Box-Plot

O diagrama de caixa, ou Box-Plot, ´e uma ferramenta gr´afica para representar a varia¸c˜ao de dados observados de uma vari´avel num´erica por meio de quartis. De modo geral, o diagrama identifica onde est˜ao localizados 50% dos valores mais prov´aveis, a mediana e os valores extremos.

Os limites da caixa do diagrama s˜ao definidos atrav´es de limite inferior (LI) e limite superior (LS) de acordo com as seguintes representa¸c˜oes matem´aticas:

LI =Q1−c·AIQ LS =Q3 +c·AIQ onde AIQ=Q3−Q1 ´e a amplitude interquartil e c= 1,5.

Qualquer dado n˜ao incluso entre os limites da caixa deve ser plotado como um outlier com um ponto ou uma estrela.

2.8 Defini¸c˜ao de S´erie Temporal

E uma sequˆ´ encia de observa¸c˜oes feitas ao longo do tempo. A ordem estas observa¸c˜oes ´e fundamental e, em geral, as observa¸c˜oes vizinhas s˜ao dependentes. Apresentam uma s´erie de caracter´ısticas gr´aficas pr´oprias com tendencia, ciclo e sazonalidade.

Exemplo 11: Ind´ustria de cerveja