Estudo do risco de falha ambiental em rios sujeitos a concessão de outorga de lançamentos de efluentes, mediante o uso da equação de StreeterPhelps “fuzzificada"

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE TECNOLOGIA

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA HIDRÁULICA E AMBIENTAL PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL

KARLA DE CARVALHO VASCONCELLOS

ESTUDO DO RISCO DE FALHA AMBIENTAL EM RIOS SUJEITOS À CONCESSÃO DE OUTORGA DE LANÇAMENTO DE EFLUENTES MEDIANTE O USO DA

EQUAÇÃO DE STREETER-PHELPS “FUZZIFICADA”

KARLA DE CARVALHO VASCONCELLOS

ESTUDO DO RISCO DE FALHA AMBIENTAL EM RIOS SUJEITOS À CONCESSÃO DE OUTORGA DE LANÇAMENTO DE EFLUENTES MEDIANTE O USO DA

EQUAÇÃO DE STREETER-PHELPS “FUZZIFICADA”

Dissertação submetida à Coordenação do Curso de Pós-Graduação em Engenharia Civil, área de concentração em Recursos Hídricos, da Universidade Federal do Ceará, como requisito para obtenção do grau de mestre.

Orientador: Prof. Raimundo Oliveira de Souza, Dr.

Esta dissertação foi apresentada como parte integrante dos requisitos necessários à obtenção do Grau de Mestre em Engenharia Civil, na área de concentração de Recursos Hídricos, outorgado pela Universidade Federal do Ceará, a qual encontrar-se-á a disposição dos interessados na Biblioteca Central da referida Universidade. A citação de qualquer trecho desta tese é permitida desde que seja feita de conformidade com as normas da ética científica.

______________________________ Karla de Carvalho Vasconcellos

Examinadores:

___________________________________________________________________________ Professor Doutor Raimundo Oliveira de Souza

(orientador da dissertação)

___________________________________________________________________________ Professora Doutora Marisete Dantas de Aquino

(Universidade Federal do Ceará)

___________________________________________________________________________ Professor Doutor Antônio Clécio Fontelles Thomaz

AGRADECIMENTO ESPECIAL

AGRADECIMENTOS

Agradeço a Deus, que me concedeu forças, persistência e determinação para conquistar esse objetivo que tantas vezes pareceu impossível de ser alcançado.

Sou eternamente grata aos meus pais Tarcísio e Keila, e aos meus irmãos Karina e Tarcísio Neto, que, com tanto carinho e compreensão, me deram total apoio não só durante o período da realização deste trabalho, mas em todos os momentos de minha vida.

Ao meu noivo Paulo Felipe, que foi a peça fundamental para que eu conseguisse vencer todos os obstáculos que surgiram nesse período tão difícil de conclusão do meu mestrado; estando sempre ao meu lado com todo amor e dedicação, participando de todos os meus feitos e, principalmente, acreditando na minha capacidade.

Aos meus grandes amigos de curso, pela amizade e companheirismo; em especial as minhas eternas amigas Juliana Alencar e Raquel Jucá por todo o apoio e incentivo.

Agradeço, especialmente, ao professor doutor Raimundo Oliveira, pessoa por quem tenho grande admiração, não só como profissional, mas também como pessoa, e que tive o prazer de ter como orientador deste trabalho.

À banca examinadora formada pelos professores Raimundo Oliveira de Sousa, Marisete Dantas e Clécio Fontelles.

Ao CNPQ, que me concedeu a bolsa de mestrado para a realização deste trabalho.

A todos que contribuíram direta ou indiretamente para que eu chegasse até aqui.

RESUMO

Este trabalho propõe uma metodologia para estudar o comportamento das concentrações da Demanda Bioquímica de Oxigênio e do Oxigênio Dissolvido em um rio sujeito a lançamentos de efluentes. O estudo é baseado na transformação do Modelo Matemático de Streeter-Phelps em um modelo de natureza fuzzy, onde as concentrações de DBO e de OD são calculadas na forma de funções de pertinência. Desta forma, é possível incorporar incertezas no modelo, o que permite desenvolver uma metodologia para a determinação do risco de um corpo hídrico não atender as condições de uso previsto por norma, quando recebe uma carga poluente, proveniente de uma concessão de outorga de lançamento de efluentes. A pesquisa usa um programa computacional, desenvolvido para este trabalho, para calcular, a partir das equações do modelo, as concentrações de DBO e de OD nas suas formas fuzzy. Também foi desenvolvida uma sub-rotina que permite que sejam calculados o risco e a confiabilidade para o rio em questão que venha a receber lançamentos de efluentes. Os resultados mostraram que esta metodologia fuzzy é uma alternativa para ser considerada nas questões pertinentes à gestão integrada dos recursos hídricos.

ABSTRACT

This research proposes a methodology to study the behavior of the Biochemical Oxygen Demand and of the Dissolved Oxygen Concentrations, in a river, subject to effluent discharges. The study is based on the transformation of the Streeter-Phelps Mathematical Model to a Streeter-Phelps Fuzzy Model, where the concentrations of BDO and of DO are calculated as membership functions. In such way, it is possible to incorporate uncertainties in the model, so that it allows developing a methodology for the determination risk and the reliability of a body of water do not assist the use conditions established by norm, when it receives a load pollutant, originating from a concession of grants of effluent discharges. The research uses a computational program, developed for this research, to make calculations, starting from the model equations, the BOD and the DO concentrations, in the membership functions. It was also developed a subroutine that allows that the risk and the reliability could be calculated for the river, subject that receives effluents discharges. The results showed that this fuzzy methodology is an alternative to be considered in the questions related with Integrated Water Resources Management.

LISTA DE FIGURAS

Figura 1 - Representação de um Volume de Controle Infinitesimal ... 23

Figura 2 - Função triangular de pertinência para o t90 ... 33

Figura 3 - Número Fuzzy Convexo ... 34

Figura 4 - Representação de uma Função de Pertinência para a Função Marginal de Segurança ... 49

Figura 5 - Fluxograma ... 53

Figura 6 - Perfis de DBO ao longo do rio para diferentes vazões ... 54

Figura 7 - Perfis de Déficit de OD ao longo do rio para diferentes vazões ... 55

Figura 8 - Perfis de Oxigênio Dissolvido ao longo do rio para diferentes vazões ... 56

Figura 9 - Perfis de DBO ao longo do rio para diferentes concentrações de lançamento ... 57

Figura 10 - Perfis de Déficit de OD ao longo do rio para diferentes lançamentos ... 57

Figura 11 - Perfis de Oxigênio Dissolvido ao longo do rio para diferentes lançamentos ... 58

Figura 12 - Perfil de Concentração de DBO para um Número Fuzzy com 0,5 grau de Pertinência ... 59

Figura 13 - Funções de Pertinência para a Concentração de DBO em Diferentes Seções do Rio ... 60

Figura 14 - Funções de Pertinência da Concentração de OD em Diferentes Seções ... 60

Figura 15 - Função Marginal de Pertinência para Diferentes Seções do Rio ... 61

Figura 16 - Perfil do Campo de Risco de Poluição ao longo do rio ... 62

Figura 17 - Perfil do Campo de Confiabilidade ao longo do rio ... 63

Figura 18 - Perfis da Função Risco para diferentes lançamentos ... 64

Figura 19 - Perfis do Comportamento da Confiabilidade ao longo do rio ... 64

Figura 20 - Perfis do Comportamento do Risco para diferentes vazões ... 65

Figura 21 - Perfis do Comportamento da Confiabilidade para diferentes vazões ... 66

Figura 22 - Perfis da Função Risco para diferentes lançamentos em um cenário chuvoso ... 66

Figura 23 - Comportamento da Confiabilidade para diferentes lançamentos em um cenário chuvoso ... 67

Figura 24 - Comportamento da Função Risco para diferentes lançamentos em um cenário seco ... 67

LISTA DE TABELAS

LISTA DE SÍMBOLOS

A - Área de seção transversal - [L2]

a(h) - Nível de pertinência h para a representação de um número fuzzy A~ - Representação fuzzy para a área transversal – [L2]

b(h) - Nível de pertinência h para uma representação fuzzy

C(x,y,z,t) - Representação matemática de um campo de concentração -[M/L3]

C - Concentração de uma substância poluente - [M/L3]

c(h) - Nível de pertinência h para uma representação fuzzy

Cs - Concentração de saturação para o oxigênio dissolvido - [M/L3]

C~ - Representação fuzzy para a concentração da substância poluente - [M/L3] dt - Diferencial em relação ao tempo - [T]

dx - Diferencial em relação ao eixo dos x - [L]

dy - Diferencial em relação ao eixo dos y - [L]

dz - Diferencial em relação ao eixo dos z - [L]

D - Coeficiente de difusão molecular - [L2/T]

E - Coeficiente de dispersão longitudinal - [L2/T]

E~ - Representação fuzzy para o coeficiente de dispersão longitudinal - [L2/T]

g - Aceleração da gravidade - [L/T2]

K - Coeficiente de Decaimento para uma substância poluente - [T-1]

Ka -Coeficiente de reaeração para o oxigênio dissolvido - [T-1]

a

K~ - Representação fuzzy para o coeficiente de reaeração - [T-1] Kr - Coeficiente de reoxigenação - [T-1]

r

K~ - Representação fuzzy para o coeficiente de reoxigenação - [T-1]

L - Concentração de demanda bioquímica de oxigênio - [M/L3]

L~ - Representação fuzzy para a concentração de DBO - [M/L3]

M – Massa - [M]

M~ - Representação fuzzy para a margem de segurança em um sistema hídrico - [M]

Re - Função de Confiabilidade para um sistema qualquer

Rf - Função Risco de falha para um sistema qualquer

Q – Vazão - [L3/T]

Q~ - Função de pertinência para a vazão - [L3/T]

q - Fluxo de massa por unidade de área - [M/T/L2]

t – Tempo - [T]

T – Temperatura - [0K]

u - Componente da velocidade na direção x - [L/T]

U - Velocidade média do escoamento na direção longitudinal - [L/T]

v - Componente da velocidade na direção y - [L/T]

V - Vetor Velocidade de um fluido - [L/T]

V (x,y,z,t) - Representação matemática de um campo de velocidade - [L/T]

∀ - Volume de Controle - [L3]

w - Componente da velocidade na direção z - [L/T]

x - Distância longitudinal ao longo do canal - [L/T]

y - Profundidade de canal - [L]

z - Distância transversal do canal –[L]

t

∂ ∂

- Derivada parcial em relação a t - [T-1]

x

∂ ∂

y

∂ ∂

- Derivada parcial em relação a y - [L-1]

z

∂ ∂

- Derivada parcial com relação a z - [L-1]

∇- Operador Diferencial Vetorial - [L-1]

γ − Peso específico do fluido - [ML/T2/L3]

∆t - Incremento no tempo para a solução numérica - [T]

∆x - Incremento em no espaço para a solução numérica - [L]

x

µ

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ... 13

1.1 Objetivos ... 15

1.2 Organização do Trabalho ... 15

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA ... 17

2.1 Conceito de Outorga ... 17

2.2 Outorga para Lançamento de Efluentes ... 18

2.3 Teoria do Transporte de Massa ... 22

2.4 Equação da Difusão Advectiva ... 23

2.5 Modelos de DBO e de OD ... 27

2.5.1 Cinética da Desoxigenação ... 28

2.5.2 Cinética da Reaeração ... 28

2.6 Teoria Fuzzy ... 30

2.6.1 Conjuntos Fuzzy ... 32

2.6.2 Definição de número fuzzy ... 34

2.6.3 Operações com números fuzzy ... 35

2.6.4 Análise de Risco Fuzzy ... 40

3 METODOLOGIA ... 43

3.1 Modelo de Streeter-Phelps ... 43

3.2 ModeloFuzzy de Streeter-Phelps ... 47

3.3 Cálculo do Risco e da Confiabilidade Fuzzy ... 48

3.4 Programa Computacional ... 52

4 ANÁLISE DOS RESULTADOS ... 54

5 CONCLUSÕES E RECOMENDAÇÕES ... 70

5.1 Conclusões ... 70

5.2 Recomendações ... 72

1 INTRODUÇÃO

No fim do século passado, a demanda por água tornou-se um problema para engenheiros, cientistas e autoridades de governo devido ao desequilíbrio crescente entre essa demanda e a disponibilidade hídrica de cada região. Nesse contexto, as grandes cidades precisam de programas de gestão mais eficientes a fim de que sejam ajustadas as demandas econômicas, sociais e ambientais por água em níveis sustentáveis e, consequentemente, sejam supridas as necessidades da população sem gerar conflitos.

Outro problema que se intensificou, e que é muito preocupante nos dias presentes, é a busca de fontes que recebam os efluentes domésticos e industriais provenientes dos grandes centros urbanos. Esses efluentes tendem a ser lançados em rios e córregos que se encontram nos arredores das grandes cidades, causando prejuízos para a qualidade de suas águas e para a vida aquática dos corpos hídricos. Com isso, as questões referentes aos aspectos qualitativos dos recursos hídricos tornaram-se tão importantes quanto as referentes aos seus aspectos quantitativos.

Para resolver tais questões, programas de gestão integrada foram desenvolvidos de modo que as análises dos corpos hídricos fossem tratadas do ponto de vista quali-quantitativo, permitindo, assim, maior clareza nas questões do uso deste recurso natural.

Para tratar da qualidade de água, foram desenvolvidas várias metodologias que permitissem contribuir para um melhor entendimento desse processo. Hoje, problemas de eutrofização, contaminação de mananciais, autodepuração dos rios e canais são tratados de forma eficiente através de modelagem matemática, pesquisa de campo e análises laboratoriais.

fossem desenvolvidos. Atualmente, os modelos desempenham um importante papel no estudo da qualidade de água em rios, reservatórios e estuários.

Dentro da simulação hidrológica, uma das principais classificações divide os modelos em estocásticos e determinísticos. Segundo Chow (1964, citado por Tucci, 1998), se a chance de ocorrência das variáveis é levada em conta, e o conceito de probabilidade é introduzido na formulação do modelo, o processo e o modelo são ditos estocásticos. De outro lado, se a chance de ocorrência das variáveis envolvidas no processo é ignorada, e o modelo segue uma lei que não a lei das probabilidades, o modelo e o processo são ditos determinísticos.

Os modelos de natureza estocástica permitem fazer análise das incertezas das variáveis que governam os processos. Porém, esses modelos precisam de extensos bancos de dados, os quais não são facilmente disponíveis nas diferentes regiões onde os problemas são estudados. Para contornar tal inconveniente, foi desenvolvida a Teoria Fuzzy, uma importante teoria capaz de substituir a teoria das probabilidades, nas principais análises de incertezas.

A Teoria Fuzzy tem como base a representação das variáveis de controle na forma de funções de pertinência, onde cada valor desta variável tem um grau de pertinência com o problema em si. Atualmente, ela encontra aplicações nos mais variados campos da ciência e está sendo empregada, largamente, na análise de risco de degradação do meio ambiente.

Este trabalho propõe uma metodologia onde o Modelo Matemático de Streeter-Phelps é transformado em um Modelo Fuzzy de Streeter-Phelps para estudar o risco de contaminação em rios naturais sujeitos a lançamentos de efluentes e provenientes de concessão de outorgas.

1.1 Objetivos

O presente trabalho tem como objetivo geral desenvolver uma metodologia que transforme a Equação de Streeter-Phelps, para o balanço de Oxigênio Dissolvido em rios, em um Modelo Fuzzy de Streeter-Phelps, de modo a estudar o risco de contaminação deste corpo hídrico que fica sujeito a lançamentos de efluentes provenientes de concessão de outorga.

Como objetivos específicos:

• Desenvolver a Equação de Streeter-Phelps na forma Fuzzy, através da aplicação da Teoria Fuzzy;

• Desenvolver um programa computacional, em linguagem FORTRAN, capaz de calcular os campos de concentração da Demanda Bioquímica de Oxigênio, do Oxigênio Dissolvido e do Déficit de Oxigênio no rio, na forma de funções de pertinência;

• Calcular o Risco Fuzzy e a Confiabilidade Fuzzy para diferentes cenários de lançamento de efluentes;

• Verificar de que forma os Campos de Risco e de Confiabilidade se comportam para diferentes condições hidrológicas;

• Verificar a aplicação desta metodologia para um cenário real de um rio da região nordeste do Brasil.

1.2 Organização do Trabalho

• O capítulo 1 faz uma apresentação do trabalho, bem como apresenta seus objetivos e mostra como o documento foi organizado;

• O capítulo 2 apresenta a fundamentação teórica do trabalho. Nele apresenta-se o conceito de outorga, dando ênfase de seu uso para o lançamento de efluentes, os principais princípios da modelagem de qualidade de água e seus avanços nas diversas aplicações da engenharia ambiental. Também está descrito neste capítulo as teorias do transporte de massa, fuzzy e de análise de risco, que são usadas para quantificar os riscos de impactos causados pelo lançamento de cargas poluentes;

• O capítulo 3 mostra as fases a serem seguidas no desenvolvimento do programa computacional, em linguagem Fortran, para solucionar o conjunto de equações diferenciais existente nas diversas etapas da pesquisa. Neste capítulo foram apresentados os passos necessários à quantificação do risco, bem como os diversos cenários de aplicação deste modelo, incluindo sua aplicação para um rio natural;

• O capítulo 4 apresenta uma análise dos resultados, estabelecendo uma rotina de apresentação para diferentes cenários de simulações, mostrando alguns campos de concentração e terminando nas questões pertinentes à Análise de Risco.

• O capítulo 5 apresenta as conclusões desta pesquisa e faz algumas recomendações sobre estudos futuros.

2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA

2.1 Conceito de Outorga

A água é um recurso que, por ser utilizado para os mais diversos fins (abastecimento humano, navegação, lazer, indústria, dessedentação animal, irrigação, geração de energia elétrica, entre outros), pode vir a causar certos transtornos e conflitos em relação aos seus usuários e ao meio ambiente. Desta forma, a gestão de recursos hídricos se faz extremamente necessária com o intuito de manter um equilíbrio sustentável das demandas econômicas, sociais e ambientais de uso da água, de modo a garantir a disponibilidade de tal recurso não só hoje, mas também futuramente.

Como as águas de lagos, rios e águas subterrâneas são consideradas bens da União ou dos Estados (Constituição Brasileira, 1988 – Art. 20, III e 26, I), é competência do Poder Público, estadual ou federal, administrar tais bens. Para se fazer qualquer alteração em um corpo de água, é necessário que o Poder Público responsável conceda uma autorização, a qual é conhecida como Outorga de Direito de Uso dos Recursos Hídricos.

Outorgar, no conceito jurídico, tem o significado de conceder. A Outorga de Direito de Uso da Água é, portanto, o instrumento legal que assegura ao usuário o direito de utilizar a água, não esquecendo que esse ato tem por objetivo garantir o controle qualitativo e quantitativo desse uso e permitir seu efetivo exercício de acesso.

Granziera (2001) define outorga como sendo o instrumento pelo qual o poder público atribui ao interessado, público ou privado, o direito de utilizar privativamente o recurso hídrico.

Lanna (1999) diz que a outorga é um instrumento fundamental nas políticas de gestão, em que o poder público, entendido como o órgão com competência legal, confere ao usuário a possibilidade de uso de uma quantidade de água por um determinado tempo.

Matos (apud SOUSA et. al, 2006) salienta a importância da outorga para a adequada gestão de recursos hídricos, considerando a aplicação da mesma como essencial, na medida que o poder público passa a exercer controle efetivo sobre as derivações, captações, extrações, lançamento de dejetos, e/ou o aproveitamento dos recursos hídricos de outras formas. Afirma ainda que, através da outorga, o Estado terá sob sua guarda o controle dos beneficiários, podendo, uma vez provados em processo administrativo, revogar motivadamente as outorgas.

2.2 Outorga para Lançamento de Efluentes

O controle da qualidade da água é um mecanismo de aumento da disponibilidade hídrica, sendo normalmente direcionado apenas ao controle das cargas poluidoras e, usualmente, é visto como uma tarefa separada da gestão da quantidade de água. Contudo, a Lei nº 9.433/97 contempla a gestão de águas sem a dissociação dos termos de qualidade e quantidade, ou seja, o gerenciamento de recursos hídricos não pode ser realizado sem que esses dois aspectos estejam integrados, pois um depende do outro.

Situações em que a qualidade da água está comprometida, por exemplo, o problema da escassez é agravado, problema este que é comumente relacionado apenas em termos quantitativos dos recursos hídricos.

Nesse contexto surge um entrave: enquanto os órgãos gestores ambientais estão bem mais preocupados com os padrões de emissão dos efluentes do que com a qualidade dos corpos hídricos receptores, a capacidade de suporte de resíduos desses corpos acaba sendo deixada de lado. Assim, na análise qualitativa de efluentes, o lançamento é autorizado em padrões considerados satisfatórios em termos de efluente, mas não em termos de classe a ser atingida no corpo receptor.

Para que tal situação não aconteça, os órgãos de recursos hídricos, nas análises qualitativas para fins de outorga de uso da água, geralmente, avaliam a vazão necessária para diluir os efluentes que serão lançados, mantendo a qualidade do corpo hídrico prevista no enquadramento e preservando os usos da água a jusante do ponto a ser outorgado, considerando, assim, a capacidade de autodepuração dos corpos de água.

Enquadramento de corpos de água em classes, segundo os usos preponderantes, é o estabelecimento do nível de qualidade (classe) a ser alcançado e/ou mantido em um dado segmento do corpo de água ao longo do tempo para garantir aos usuários a qualidade necessária ao atendimento de seus usos.

A Resolução do CONAMA, nº 357, de 17 de março de 2005, estabelece um sistema de classificação das águas e enquadramento dos corpos hídricos relativos às águas doces, salobras e salinas. Assim, essa resolução determina os padrões de qualidade de água dos corpos receptores e de lançamentos de efluentes.

Um dos principais instrumentos de gestão para redução e controle da poluição desses recursos é a outorga para diluição de efluentes que, apesar de estar legalmente instituída, ainda não está devidamente implantada em nível nacional. Para isso, será necessário definir critérios de outorga, organizar e manter uma base de dados de qualidade da água e desenvolver ferramentas adequadas para análise integrada dos aspectos de quantidade e qualidade da água. Essa é uma área ainda pouco explorada cuja discussão e investigação devem ser incentivadas (AZEVEDO et al., 2003).

todos os processos de dispersão, a qualidade da água neste manancial permaneça satisfatória, conforme seus objetivos de qualidade estabelecidos pela classe de uso (CRUZ, 2001).

Segundo Santos (2012), quando um usuário lança um efluente num curso d’água, na realidade, está se “apropriando” de certa vazão de água para diluir (ou transportar) os poluentes contidos nesse efluente. Obviamente, alguns poluentes não poderão ser lançados nos cursos d’água, pois o próprio enquadramento previsto o proíbe. O valor dessa “quantidade a ser apropriada” é função de fatores tais como:

• Vazão de lançamento dos efluentes;

• Concentração de cada um dos poluentes presentes na vazão de lançamento;

• Vazão crítica do curso receptor (definida pelo órgão gestor pertinente);

• Concentração existente do poluente no curso d’água;

• Concentração máxima permissível do poluente no curso d’água, definido pela classe adotada para o corpo hídrico;

• Características conservativas ou não conservativas do poluente.

Para que os processos de outorga e cobrança pelo uso da água sejam geridos em quantidade e qualidade, existe a necessidade de se considerar de forma articulada o enquadramento em classes de uso preponderante, o regime de vazões e a capacidade de autodepuração do corpo hídrico, tudo isto diante do cenário real da bacia hidrográfica (SANTOS, 2012).

Com relação aos parâmetros que devem ser analisados na avaliação da outorga para lançamento de efluentes, Porto (2002) apud Neves (2005) estabelece que devam ser considerados os poluentes que representem impactos mais significativos na bacia, ou seja, aqueles que utilizam maior quantidade de água para o decaimento ou a diluição.

Portanto, para a análise de outorga de lançamento de efluentes, é importante a estimativa da concentração máxima para cada poluente que pode ser lançada no corpo de água, de forma que esse continue, após o lançamento, respeitando o limite de enquadramento. No entanto, poderá a concentração do poluente reduzir-se ao longo do trecho a jusante do lançamento, segundo a capacidade de autodepuração de cada poluente no corpo receptor.

Dentre os principais parâmetros utilizados em estudos relacionados com a qualidade de água, estão a Demanda Bioquímica de Oxigênio (DBO) e o Oxigênio Dissolvido (OD), que inclusive serão trabalhados nesta dissertação.

A DBO é um parâmetro utilizado para a medida do consumo de oxigênio na água para que haja estabilização bioquímica da matéria orgânica. De acordo com von Sperling (1996), a matéria orgânica presente nos corpos de água é uma característica de primordial importância, pois é a causadora do principal problema decorrente de poluição das águas: o consumo de oxigênio dissolvido pelos micro-organismos responsáveis pela estabilização da matéria orgânica. Assim, a DBO é um dos principais parâmetros utilizados para avaliar o efeito produzido pelo impacto de despejos domésticos ou industriais sobre corpos receptores.

Embora o conceito de DBO não sirva como única medida para avaliar o impacto em um rio através do despejo de poluentes, possibilita uma avaliação bem significativa do estado da qualidade da água de um determinado meio, pois é uma medida direta do potencial consumo de oxigênio dissolvido (OD) neste meio (SANTOS, 2012).

Os padrões de qualidade de água de corpos receptores e de lançamentos de efluentes são apresentados pela resolução CONAMA 357/2005. Os valores permissíveis da classe no corpo receptor, enfatizando os parâmetros de DBO e OD, são destacados na Tabela 1, que será mostrada mais adiante, no item 3.3, onde é discutida a metodologia para o cálculo do Risco e da Confiabilidade Fuzzy.

2.3 Teoria do Transporte de Massa

No que diz respeito ao transporte de poluente, é de fundamental importância que se tenha conhecimento dos elementos básicos que governam este processo. Nesse contexto, a dispersão de um poluente em um corpo hídrico qualquer se desenvolve segundo os fundamentos da teoria do Transporte de Massa. Sua estrutura matemática é baseada no Princípio de Conservação de Massa e na Lei de Fick.

O Princípio de Conservação das Massas estabelece que o fluxo de massa que atravessa uma superfície de controle qualquer é igual à variação temporal da massa no interior do volume de controle.

A Lei de Fick estabelece que o fluxo de massa entre duas seções quaisquer de um domínio é igual ao gradiente de concentração entre essas duas seções. A formulação e o desenvolvimento matemático dessas teorias permitiram que o Modelo de Transporte de Poluente fosse formulado.

Tecnicamente, pode-se dizer que quatro etapas individuais compõem o processo de dispersão de uma substância em um corpo hídrico qualquer. A primeira trata do movimento molecular do fluido sobre as partículas da substância (difusão molecular). Por apresentar um coeficiente de difusão molecular muito pequeno, parâmetro este que controla esse processo, seus efeitos são pouco significativos para o desenvolvimento da dispersão.

determinada direção. Dessa forma, a nuvem poluente passa a se deslocar de um ponto para outro, o que provoca inconveniências temporais em certas seções do corpo hídrico.

A terceira etapa, agora de maior importância, diz respeito ao processo de difusão turbulenta, que é causado pelo movimento aleatório, de pequena escala, no fluido. O coeficiente de difusão turbulenta, que é algumas dezenas de vezes maior que o coeficiente de difusão molecular, tem importante contribuição no processo de dispersão.

Por fim, a última etapa está relacionada com as reações físico-químicas das substâncias, processo conhecido como decaimento, que pode ser resumido como o resultado de uma reação cinética de primeira ordem, representado pelo coeficiente de decaimento. O processo final dessa fase é proporcional ao valor da concentração da substância em questão.

2.4 Equação da Difusão Advectiva

Seja um volume de controle ∀, definido como mostrado na figura 1, e considerando

um vetor fluxo, por unidade de área, definido através de suas componentes ortogonais, o Princípio da Conservação de Massa pode ser aplicado e formulado como sendo:

• Na direção X: dxdydz t C dydz dx x uC uC uC ∂ ∂ − = ∂ ∂ + +

− ( ) (2.1)

• Na direção Y:

dxdydz t C dxdz dy y vC vC vC ∂ ∂ − = ∂ ∂ + +

− ( ) (2.2)

• Na direção Z:

dxdydz t C dxdy dz z wC wC wC ∂ ∂ − = ∂ ∂ + +

− ( ) _(2.3)

Somando essas três equações, efetuando as simplificações e igualando à variação temporal da massa dentro do volume de controle, tem-se a equação diferencial da continuidade:

(2.4)

Onde:

C = concentração da substância em análise ₃

L M _;

u,v,w = componentes da velocidade do escoamento nas direções x, y e z, respectivamente [L/T];

t = tempo

[ ]

x, y,z representam as coordenadas do sistema de referência [L]

( )

V =ui vj wk+ + (2.7)

Dessa forma, a equação (2.5) representa o Princípio da Conservação de Massa na sua forma diferencial, podendo também ser representada na forma:

( )

Sendo q um vetor que representa o fluxo de massa por unidade de área.

Pela Lei de Fick, a taxa de transporte de massa na direção x é:

x C D q ∂ ∂ − = (2.9) Onde:

q= fluxo de massa por unidade de área [MT-1/L2];

D = coeficiente de difusão molecular [L2/T]; C = concentração da amostra [M/L3].

Na forma tridimensional, a equação (2.11) poderá ser apresentada na forma:

C D

q =− ∇ (2.10)

[

]

V

q = + − ∇ (2.11)

Substituindo a equação (2.11) na equação (2.5) e efetuando as devidas simplificações, tem-se:

2

( )

C

VC D C t

∂

+ ∇ = ∇

∂

(2.12)

Para fluidos incompressíveis, onde a massa específica do fluido permanece constante no espaço e no tempo, a equação da continuidade ficará:

C D C V t C ₂ ∇ = ∇ + ∂ ∂ _(2.13) Ou ainda: ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ 2 2 2 2 2 2 z C y C x C D z C w y C v x C u t C _(2.14)

A equação (2.14) é conhecida como Equação da Difusão Advectiva e é uma equação diferencial linear de segunda ordem. No entanto, esta equação só se aplica em sistemas bem comportados, onde não há fluxo turbulento e para substâncias conservativas. Para sistemas de rios, onde pode haver fluxo turbulento, a equação acima sofre algumas transformações. Por exemplo, o campo de velocidade em um rio tem uma componente dominante com relação ás outras. Logo, somente u é diferente de zero. Se for aplicado o conceito de turbulência e determinar a média da velocidade em cada seção do rio, tem-se, para substâncias não conservativas a seguinte equação:

1

C C C

U A E KC L

t x A x x

∂ ∂ ∂ ∂

+ = ⋅ − ±

∂ ∂ ∂ ∂ (2.15)

Onde:

U = velocidade média do fluido em uma seção transversal do rio; A = área da seção transversal;

K = coeficiente de decaimento da substância [T-1]; L = é uma fonte ou um sumidouro ao longo do rio.

A equação (2.15) é uma equação diferencial parcial linear de segunda ordem. Sua solução analítica só pode ser obtida em casos especiais com significativas simplificações. Ainda assim essas soluções dependem da natureza das condições de contorno e das condições iniciais.

Para situações mais complexas, onde o estudo exige uma descrição mais precisa do processo físico, há a necessidade de se usar, no processo de solução, métodos aproximados. Esses métodos têm sido usados nos modelos matemáticos com resultados muito próximos das soluções analíticas. Dessa forma, pode-se dizer que, com o auxílio das ferramentas computacionais e com a disponibilidade dos esquemas numéricos, a aplicação de modelos mais sofisticados tem se tornado uma realidade em todos os campos da ciência. Atualmente muitos são os métodos numéricos que têm sido testados na busca de uma solução para a equação (2.12) (CHAGAS, 2005).

2.5 Modelos de DBO e de OD

Os aspectos de potabilidade e qualidade da água estão diretamente ligados à oxigenação do corpo hídrico. O oxigênio supre demandas biológicas e químicas, oxidando compostos tóxicos e desta forma diminuindo a toxicidade dos mesmos (SANDERS, 2009).

2.5.1 Cinética da Desoxigenação

Segundo Sanders (2009), o déficit nos teores de oxigênio dissolvido é diretamente proporcional à Demanda Bioquímica de Oxigênio (DBO), que é o parâmetro indicativo da quantidade de matéria orgânica presente no lançamento. Vale ressaltar que a DBO não é quantidade de matéria orgânica e sim a concentração de oxigênio consumida, ou seja, a quantidade necessária para a biodegradação dos compostos orgânicos presentes.

A cinética da DBO remanescente, matéria orgânica remanescente na massa líquida, é caracterizada pela reação de primeira ordem. E pode ser expressa como:

[ ]

d

dOD

K DBO

dt = − (2.16)

Onde:

DBO = concentração de DBO remanescente [M/L3] t = tempo [T]

Kd= coeficiente de desoxigenação [T-1]

Pode-se observar na equação (2.16), que quanto maior a concentração de DBO, mais rapidamente se processará a desoxigenação. O coeficiente de desoxigenação (Kd) é importante

para a avaliação da oxidação da matéria orgânica e depende de algumas características como substâncias inibidoras, matéria orgânica e temperatura.

2.5.2 Cinética da Reaeração

ocorre até o equilíbrio dinâmico ser atingindo, ou seja, concentração de saturação (CS) ser

atingida.

Segundo a lei de Henry, a concentração de saturação está relacionada com a pressão parcial do oxigênio na fase gasosa.

S

P H C

P = × (2.17)

Onde:

PP = pressão parcial do oxigênio [ML-1T-2]

H = constante de Henry

CS = concentração de saturação do oxigênio dissolvido [M/L3]

Quando ocorre o consumo de oxigênio dissolvido, na estabilização da matéria orgânica, há um déficit na concentração do meio líquido resultando uma baixa saturação, e consequentemente um maior transporte de oxigênio atmosférico para a massa líquida.

O processo de cinética de reaeração também é caracterizado por uma reação de primeira ordem, e poderá ser escrita como:

]

[C C

Ka dt dc

s−

= (2.18)

Onde:

CS = concentração de saturação do oxigênio dissolvido; [M/L3]

C = concentração do oxigênio dissolvido [M/L3] t = tempo [T]

Ka = coeficiente de reaeração [T-1]

Desta forma, a taxa de absorção do oxigênio é diretamente proporcional ao déficit, ou seja, maior será a atração da massa líquida pelo oxigênio. Outra conclusão que se pode retirar dessa equação é que o coeficiente de reaeração (Ka) varia de um rio para o outro, pois

Outra forma escrita da equação de reaeração é utilizada por Streeter e Phelps que expressa o oxigênio dissolvido (OD) em termos de déficit (D), como:

[ ] [ ]

d a

dD

K DBO K D

dt = − (2.19)

2.6 Teoria Fuzzy

A Teoria Fuzzy tem sido usada como ferramenta para a determinação do risco de falha em um sistema hídrico qualquer (SERGUIEVA e HUNTER, 2003).A aplicação dessa teoria tem se apresentado com uma alternativa para solução de problemas convencionais, com alto grau de incertezas. Nesse caso, a teoria em questão desenvolve um papel importante, principalmente, por sua aplicação não exigir um rigoroso banco de dados (CHAGAS, 2005).

A característica especial da lógica fuzzy é a forma inovadora de manuseio de informações imprecisas, diferentemente da forma distinta de manuseio da teoria das probabilidades. A lógica fuzzy possui uma interessante maneira de compreensão de expressões verbais, ações cotidianas de funcionamento racional, vagas ou imprecisas.

Segundo Saavedra (2003), a lógica fuzzy estabelece que muitas experiências do mundo real não podem ser exclusivamente classificadas como verdadeiras ou falsas. Por exemplo, a informação simples de que uma pessoa seja baixa ou alta traz consigo informações vagas. Uma resposta sim ou não para estes questionamentos é, na maioria das vezes, pouco consistente. Na verdade, nesta Lógica existe entre a certeza de ser e a certeza de não ser, infinitos graus de incertezas. Como, em muitos casos, os dados existentes para caracterizar as incertezas, como variáveis estatísticas, são insuficientes, evidencia-se a necessidade da aplicação da teoria fuzzy.

suporta os modos de raciocínio que são aproximados, ao invés de exatos, como estamos naturalmente acostumados. Devido a esta propriedade, a teoria fuzzy tem encontrado grandes aplicações nas seguintes áreas: Sistemas Especialistas, Linguagem natural, Controle de Processos, Processos de Tomada de Decisão, Raciocínio Aproximado, Reconhecimento de padrões (SAAVEDRA, 2003).

No campo de recursos hídricos, em especial nas questões de qualidade de água, a aplicação da teoria fuzzy, como uma ferramenta de análise de incertezas, tem mostrado um grande potencial na solução de problemas. Trabalhos recentes mostram que através da modelagem fuzzy é possível introduzir nos modelos de recursos hídricos informações imprecisas e, assim, quantificar o risco de falha desses sistemas (GANOULIS et al., 1994). A aplicação da teoria fuzzy nas questões de poluição hídrica também pode ajudar no desenvolvimento de programas de gestão ambiental.

Dou, Woldt, Bogardi e Dahab (1997) apresentaram importante estudo, onde o uso desta teoria foi utilizada para simular o transporte de poluentes em escoamentos subterrâneos. Os autores usaram soluções analíticas e numéricas para comparar a capacidade de operação desta teoria nos modelos de transporte.

Mohamed e Côté (1999) desenvolveram um programa computacional de transporte de massa que avalia o risco da exposição humana a substâncias tóxicas, através do cálculo das concentrações de poluentes com modelagem fuzzy. Os resultados mostraram que as concentrações calculadas não representam um potencial risco para a saúde da população.

2.6.1 Conjuntos Fuzzy

Segundo Chagas, 2005, a teoria dos conjuntos fuzzy é uma metodologia matemática usada para caracterizar e quantificar incertezas e imprecisão em dados. A grande diferença entre a teoria dos conjuntos difusos e as outras teorias existentes encontra-se na possibilidade da primeira permitir a passagem de uma classe para outra de forma suave ou contínua, sem variações abruptas.

De acordo com Dubois e Prade (1998), os números fuzzy funcionam como uma ferramenta para representar, através de intervalos, valores não bem definidos ou flexíveis. Introduz-se nesse contexto a idéia de nível ou grau de pertinência associado aos elementos a serem estudados, possibilitando assim, a solução do problema.

O conceito central da teoria fuzzy é a definição das funções de pertinência, que representam, numericamente, o grau no qual um elemento pertence a um conjunto. No caso da teoria dos conjuntos clássicos, o valor da função de pertinência de cada elemento em um conjunto clássico é 1, quando o elemento pertence ao conjunto, ou 0 para os elementos que não pertencem ao conjunto. Por outro lado, na teoria fuzzy verifica-se que a função de pertinência, que representa o grau de um elemento pertencer a um conjunto, tem seu valor dentro do intervalo [0,1] (BOGARDI; DUCKSTEIN, 2002).

Do ponto de vista matemático, uma função de pertinência pode ser definida como

segue. Seja X~ um conjunto fuzzy; para cada elemento x, pertencente ao conjunto, existe uma função de pertinência associada e definida por:

} /

)) ( , {( ~

~ x x X

x

X =

µ

Essas funções de pertinência podem ser descritas por funções: trapezoidal, exponencial ou triangular. O tipo mais simples de função de pertinência é a triangular, ou seja, um que tenha função de pertinência linear em ambos os lados do pico.

Para mostrar a eficiência da Teoria Fuzzy no campo da qualidade de água, Ganoulis (1994) mostra um exemplo de aplicação desta teoria, onde os dados disponíveis não são suficientes para determinar uma função densidade de probabilidade. Nesse caso, onde os dados são escassos, o autor usou uma função de pertinência triangular para representar as incertezas no parâmetro t90.

O processo de decaimento de uma substância pode ser medido através de um parâmetro t90. Esse parâmetro mede o tempo necessário para que 90% das bactérias presentes

no ambiente aquático venham a ser destruídas. Verifica-se que t90 é maior que zero e menor

do que 25 horas. Observações mostram que para grandes números de substâncias o t90 está em

torno de 5 horas. Ganoulis sugere, então, uma relação que associe o número 5, que representa o valor mais provável de t90, dentre as substâncias observadas, ao valor 1. Para os números 0 e

25 associa-se o grau de pertinência zero. Nas fronteiras é muito raro encontrar uma substância com esse t90.

Figura 2 - Função triangular de pertinência para o t90

Como mostrado na Figura 2, t90 é considerado um número fuzzy composto pelo

intervalo de valores entre o mínimo de (0h) e o máximo de (25h). Cada ponto do intervalo

importante notar que é possível definir uma função de pertinência, mesmo sem um conjunto significativo de dados. Esta é a facilidade de se aplicar a Teoria Fuzzy para estudar o risco de falha em sistemas ambientais.

2.6.2 Definição de número fuzzy

Um número fuzzy X~é um caso especial de um conjunto fuzzy. Eleé representado pelo símbolo ~ sobre o número e pode ser formalmente definido por um conjunto de pares ordenados: ]} 1 , 0 [ ) ( ; : ) ( , {( ~ ~ ~ ∈ ∈

= x x x R x

X µ_X µ_X (2.21)

Onde x é um valor particular de X~, no conjunto dos números reais, e µ_X~

( )

representa a função de pertinência. Os valores da função de pertinência são localizados no intervalo fechado [0,1] e expressam o nível de pertinência de cada x dentro desse intervalo.

Segundo Chagas, 2005, um número fuzzy X~ é ao mesmo tempo normal e convexo, ou seja, a função de pertinência tem valor máximo igual a 1 e é sempre decrescente para a esquerda e direita do pico (Figura 3). O número fuzzy pode ser interpretado como uma generalização do intervalo de confiança. A cada nível de pertinência h corresponde um intervalo de confiança Xh=[x1,x2]. Existem dois valores da função de pertinência que são

iguais a zero, e no mínimo um que é igual a 1.

Figura 3 - Número Fuzzy Convexo

( )x X~ µ 1 5 . 0 = h

( )

0

convexo

x

1

x x₂

2.6.3 Operações com números fuzzy

As operações aritméticas com números fuzzy são definidas a seguir. Considere dois

números fuzzy triangulares A~ e B~. O nível h de um número fuzzy X~é um intervaloX(h),

definido como:

} ) ( : { )

(h x x h

X = µ_X ≥ (2.22)

Onde h representa o grau de pertinência dos valores dos números fuzzy. Neste caso,

sejam: A~=[a1(h), a2(h), a3(h)] e B~=[b1(h), b2(h), b3(h)].

A adição desses dois números fuzzy é definida da seguinte forma:

B

A~+ ~= [a1(h) + b1(h), a2(h) + b2(h), a3(h) + b3(h)] (2.23)

Assim:

B A

C~= ~⊕~=[c1(h), c2(h), c3(h)] (2.24)

Onde:

c1(h) = a1(h) + b1(h) (2.25)

c2(h) = a2(h) + b2(h) (2.26)

c3(h) = a3(h) + b3(h) (2.27)

Da mesma forma, a diferença entre dois números fuzzy é definida por:

B

A~−~= [a1(h) – b3(h), a2(h) - b2(h), a3(h) – b1(h)] (2.28)

Assim:

B A

Onde:

c1(h) = a1(h) – b3(h) (2.30)

c2(h) = a2(h) - b2(h) (2.31)

c3(h) = a3(h) - b1(h) (2.32)

Com relação à multiplicação, tem-se:

)] * , * , * , * max( , * ), * , * , * , * [min( ~ * ~ 3 3 1 3 3 1 1 1 2 2 3 3 1 3 3 1 1

1 b a b a b a b a b a b a b a b a b

a B

A = (2.33)

Desta forma:

[

]

1 h c h c h c

B A

C = = (2.34)

Onde:

c1(h) = a1(h).b1(h) (2.35)

c2(h) = a2(h).b2(h) (2.36)

c3(h) = a3(h).b3(h) (2.37)

Enquanto que a divisão é definida como sendo:

= 3 3 1 3 3 1 1 1 2 2 3 3 1 3 3 1 1

1_{, , , , ,max , , ,}

min ~ ~ b a b a b a b a b a b a b a b a b a B A (2.38) Assim: )] ( ), ( ), ( [ ~ ~ ~ 3 2

1 h c h c h

c B A

C = = (2.39)

) ( ) ( ) ( 3 1 1 h b h a h

c = (2.40)

) ( ) ( ) ( 2 2 2 h b h a h

c = (2.41)

) ( ) ( ) ( 1 3 3 h b h a h

c = (2.42)

O princípio da extensão é um método de computar funções de pertinência de conjuntos

fuzzy que são funções de outros conjuntos fuzzy. Usando esse princípio, a ferramenta básica da aritmética fuzzy é operar ponto a ponto nos conjuntos fuzzy. Sejam X e Y dois conjuntos ordinários e f um mapa ponto a ponto de X para Y:

y x

f = → ∀x∈X,y= f(x),y∈Y (2.43)

A função f é determinística e pode ser estendida pela situação seguinte: seja X~um

conjunto fuzzy em X com função de pertinência µ_X(x). A imagem deX~ em Y é o conjunto

fuzzy Y~com função de pertinência dada por (GANOULIS, 1994):

} , ), ( ); ( sup{ ) ( ~

~ y _X x y f x x X y Y

Y = µ = ∈ ∈

µ (2.44)

0 ) ( ~ y =

Y

µ para os demais casos (2.45)

Deve ficar claro que a aplicação desta teoria para os problemas de qualidade de água ainda precisa da realização de muitos estudos. Muitas questões ainda se encontram sem uma resposta definida. Entretanto, os novos estudos que estão sendo apresentados, mostram que esta teoria pode se tornar uma importante ferramenta na solução de questões relacionadas com problemas ambientais.

importantes objetivos da teoria dos conjuntos difusos é de apresentar um método de análise e medida de incerteza, como ocorre com a teoria probabilística.

Dubois e Prade, (1998), apresentam um trabalho onde uma introdução de notações de conjuntos fuzzys é discutida como uma ferramenta par modelar sistemas com contornos flexíveis. Os autores formalizam, à luz desta teoria, os conceitos de similaridade, preferência e incerteza, mostrando, assim, que cada uma destas semânticas conduz a uma classe de aplicações.

Mauris et. al., (2001), discutem o uso da teoria fuzzy como uma medida de incerteza. Os autores propõem uma metodologia, onde a teoria fuzzy consiste em uma representação de medidas através de uma família de intervalos de confidência empilhados um sobre o outro, em que de fato representa, segundo os autores, a fronteira superior de uma distribuição de probabilidades consistente com esses intervalos de confidência. Segundo os autores, para simplificar a propagação de incertezas fuzzys, uma distribuição de possibilidade parametrizada, que aproxime a distribuição original, é proposta e comparada com estudos probabilísticos.

Segundo Chagas, (2005), no Campo da Engenharia Ambiental, a aplicação desta teoria tem crescido os últimos anos, onde incertezas, presentes em parâmetros ambientais, têm sido analisadas. Nesta linha de investigação, Ganoulis et. al, (1995), apresentam um trabalho onde a teoria fuzzy é aplicada para avaliar incertezas no processo de modelagem de sistemas ecológicos. Neste trabalho os autores propõem uma metodologia, onde a solução da Equação da Difusão Advectiva é obtida na sua forma fuzzy. Os autores usam o Princípio da Extensão

Fuzzy para calcular os vários níveis de pertinência da concentração, ao longo de um sistema hídrico definido, desenvolvendo uma técnica com o intuito de determinar as funções de pertinência para a concentração em cada seção de um corpo hídrico. Essa metodologia foi aplicada com bastante sucesso nas áreas costeiras da Grécia.

foram considerados como parâmetros fuzzys. Os resultados mostram a capacidade da modelagem fuzzy na avaliação das incertezas presentes nos modelos de transporte de poluentes.

Changfu (1996) aplicou a Teoria Fuzzy para determinar o risco de perigos naturais urbanos nas cidades sujeitas a terremotos. O autor justifica essa escolha pelo fato de que o cálculo do risco pelo método probabilístico pode demandar um histórico de dados, poucas vezes disponibilizados para uma análise mais consistente. Nesse artigo, o autor mostra uma revisão sobre os métodos avançados para o cálculo do risco.

McAwoy (2003) et al. apresentaram um trabalho com uma nova metodologia para analisar risco ambiental na superfície da água que recebe águas tratadas. O estudo utiliza o modelo QUAL2E para simular a qualidade da água de superfície e estabelecer previsões sobre impactos causados por poluentes que são lançados em sistemas hidráulicos. O trabalho utiliza dados do Rio Balatuin localizado nas Filipinas. Os resultados mostraram que o uso do QUAL2E para estudos de risco é viável dentro de algumas condições apropriadas.

Sadiq e Rodrigues (2004) usaram uma avaliação sintética fuzzy para criar um sistema de indexação de risco para a “desinfecção” da água através da adição de produtos químicos. Os autores usaram cloro e reações de ozônio com matéria orgânica no processo de desinfecção. Nesse estudo, os autores desenvolveram esse índice para determinar o risco na saúde associado com os diferentes tipos de produtos. Inicialmente, funções de pertinência para risco de câncer e “não câncer” foram usados para desenvolver as matrizes de avaliação

fuzzy. Em seguida, uma matriz de avaliação ponderada para os dois tipos de risco foi estabelecida através do produto vetorial dos vetores ponderados. Os autores estabeleceram dois estudos de caso para demonstrar a aplicação dessa metodologia onde os resultados foram bastante satisfatórios.

são oriundas do rendimento de uma colheita relacionado com alguns fatores, como prática das fazendas e variáveis climáticas. Os autores aplicaram essa metodologia em um estudo de caso na Índia obtendo bons resultados.

Glosh e Mujumdar (2006) desenvolveram uma metodologia para minimizar o risco nos problemas de gestão de qualidade de água em rios. O modelo de minimização de risco consiste em três partes. A primeira parte consiste em um modelo de simulação de qualidade de água; a segunda em um modelo de avaliação de risco com análise de incertezas, juntamente, com um modelo de otimização; e a terceira em um modelo de análise de sensibilidade. Os resultados dos modelos são comparados com os resultados de um modelo

fuzzy de alocação de lançamento de efluentes, para estudar as condições de um processo de oxigênio dissolvido e demanda bioquímica de oxigênio no estado permanente. O resultado mostra que as frações de níveis de remoção, resultados do modelo de otimização, estão acima do esperado, mas em níveis tolerantes para os padrões do estudo.

2.6.4 Análise de Risco Fuzzy

Risco e confiabilidade são parâmetros que servem para avaliar incertezas em sistemas de engenharia de uma maneira geral. Segundo Chagas (2005), a avaliação do risco baseia-se na relação entre confiabilidade e criticidade de sistemas complexos, onde o comportamento dinâmico de inúmeras variáveis deve ser analisado dentro de um seleto conjunto de indicadores para se monitorar as interações que se processam ao longo do tempo. Em contrapartida, a análise dos eventos considerados benéficos ou desejáveis conduz a noção de confiabilidade.

Seja um sistema hídrico qualquer que recebe uma carga de poluente proveniente de uma fonte pontual ou difusa. Neste caso, duas funções fuzzys podem ser definidas. A primeira diz respeito ao lançamento. Como o lançamento é incerto, essa função pode ser representada em forma de função de pertinência. Assim, o número fuzzy que vai representar os lançamentos

é representado por L. Nesse caso, essa função representa a resposta do corpo hídrico ao lançamento. A maneira mais conveniente de apresentar essa função é determinando, em forma de funções de pertinência, a distribuição das concentrações no interior do sistema em questão.

Por outro lado, todo sistema hídrico tem uma resistência que nada mais é do que a capacidade do mesmo de receber poluente e ainda se encontrar em condições de uso. Esta

função de pertinência pode ser representada por R. A função Ré definida, normalmente, por órgãos governamentais que existem para estabelecer certa ordem nos critérios de qualidade ambiental de casa ecossistema.

Assim, seja M uma função marginal de segurança definida por:

M =R L− (2.46)

Onde M é a função marginal de segurança, que nada mais é do que um conjunto fuzzy

oriundo de uma diferença entre dois conjuntos fuzzys.

Assim, segundo Ganoullis (1994), se α representa o nível de corte de um conjunto fuzzy, tem-se:

[

]

( ) ( ), ( )

R

α

α

α

[

]

( ) ( ), ( )

L

α

α

α

[

]

( ) ( ), ( )

M

α

α

α

Desta forma, a Função Marginal de Segurança pode ser escrita como:

( ) ( ) ( )

Com isso, duas situações podem ser definidas:

( ) 0 ( ) 0

M o sistema falha M o sistema é confiável

α α

< →

> →

(2.51)

Do ponto de vista fuzzy, o risco fuzzy e a confiabilidade podem ser avaliados tomando-se a integral relativa à função marginal de segurança na sua forma de função de

pertinência, definida em M. Com isso, o risco pode ser calculado por:

0 0 ( ) ( ) m z m m dm R m dm µ µ < ∞ −∞ = (2.52)

E a confiabilidade pode ser calculada por:

0 0 ( ) ( ) m z m m dm G m dm µ µ > ∞ −∞ = (2.53)

Vale ressaltar que Rf e Re são parâmetros que dependem de várias funções como

variável independente. Assim, o comportamento dos mesmos está absolutamente ligado ao comportamento destas funções independentes. Matematicamente, pode-se dizer que o índice de risco e o índice de confiabilidade podem ser formulados por:

,...) , ), , ( ), , ( ), , ( , , ( ₀

, f x t C x t Q x t E x t n S

Rf e = (2.54)

3 METODOLOGIA

A metodologia desenvolvida para esta pesquisa considera a transformação do Modelo Clássico de Streeter-Phelps em um Modelo Fuzzy de Streeter-Phelps para determinar o risco de falha e a confiabilidade na concessão de outorga de lançamento em rios naturais, considerando diferentes cenários. Assim, considerando que este estudo limita seu campo de aplicação a um rio natural, alguns parâmetros hidráulicos, que atuam diretamente na capacidade de transporte e de diluição do referido corpo hídrico, serão discutidos.

Um programa computacional, em linguagem Fortran, foi desenvolvido para calcular o comportamento do campo de concentração, juntamente com os campos de risco e da confiabilidade fuzzy. Com isso, a metodologia proposta é composta de um modelo matemático, com base na aplicação da Teoria Fuzzy nos Modelos de Transporte de Poluentes para determinar o comportamento de funções de pertinência para a concentração em função dos parâmetros hidráulicos do referido corpo hídrico. Para tal, serão apresentadas neste capítulo as bases do modelo em desenvolvimento.

3.1 Modelo de Streeter-Phelps

Para desenvolver o modelo de Streeter-Phelps, deve-se partir da equação desenvolvida no capítulo anterior e apresentada em seguida:

1

C C C

U A E KC L

t x A x x

∂ ∂ ∂ ∂

+ = ⋅ − ±

∂ ∂ ∂ ∂ (3.1)

• Sistema estacionário – nesse caso, considera-se que não há variação das

variáveis de controle com relação ao tempo;

• Sistema bem misturado em cada seção do rio – isso quer dizer que as variáveis

de controle calculadasrepresentam as médias em cada seção do rio. Nesse caso, a difusão, que é representada na equação pelo termo que contém E, ocorre a instantaneamente, o que faz com que esse termo seja zero;

• A equação (3.1) deve ser aplicada simultaneamente para as substâncias DBO e

OD respectivamente.

Assim, usando essas simplificações na citada equação, tem-se:

C

U KC L

x

∂

= − ±

∂ (3.2)

A equação (3.2) representa um modelo de Fluxo Tubular Ideal ou Fluxo em Pistão. Seu comportamento é muito próximo ao comportamento do fluxo em rios naturais, o que justifica a escolha para esta pesquisa. Aplicando a equação (3.2) para a Demanda Bioquímica de Oxigênio – DBO, em um rio natural, tem-se:

d

L

U K L

x

∂ = −

∂ (3.3)

Onde:

U é a velocidade média na seção [L/T]; L é a concentração de DBO no rio [M/L3]; Kd é o coeficiente de desoxigenação [T-1].

0

( )

( )

r r w w

r w

Q L Q L L

Q Q

+ =

+ (3.4)

Onde:

Qr é a vazão do rio em questão [L3/T];

Lr é a concentração de DBO no rio [M/L3];

Qw é a vazão do efluente [M/L3];

Lwé a concentração de DBO no efluente [M/L3]

Aplicando novamente a equação (3.2) para a substância de Oxigênio Dissolvido no rio, tem-se:

( )

a r

dC

U K Cs C K L

dt = + − − (3.5)

Onde:

C é a concentração de OD no rio em estudo [M/L3]; Cs é a concentração de OD saturado no rio [M/L3];

Ka é o coeficiente de reaeração [T-1].

Como anteriormente, a condição de contorno para o OD é dadapor: em x=0, C = C0,

onde C0 é dado por:

0

( )

( )

r r w w

r w

Q C Q C C

Q Q

+ =

+ (3.6)

Onde:

Cw é a concentração de OD no efluente [M/L3];

Para a solução das equações (3.3) e (3.5), define-se o Déficit de OD no rio como sendo a seguinte relação:

s

D C= −C (3.7)

Onde:

D é o déficit de OD no rio [M/L3].

Desta forma, as equações diferenciais (3.3) e (3.7) podem ser resolvidas, dando como resultado o famoso Modelo de Streeter-Phelps, definido pelo seguinte par de equações:

• Demanda Bioquímica de Oxigênio

( ) 0

r

K x U

L L e= − (3.8)

• Déficit de Oxigênio Dissolvido

( ) ( ) ( )

0

0 ( )

a r a

K K K

x x x

d

U U U

a r

K L

D D e e e

K K

− − −

= + −

−

(3.9)

Onde:

Kr= Kd+Ks, sendo Ks o coeficiente de sedimentação;

D0 é o déficit inicial no ponto de lançamento.

3.2 ModeloFuzzy de Streeter-Phelps

Para o estudo em desenvolvimento, as equações (3.8) e (3.9) não são adequadas, tendo em vista que as mesmas não estão levando em conta as incertezas presentes nos vários processos que envolvem os modelos de qualidade de água. Em outras palavras, como a Análise de Risco é um processo que mede a incerteza, não é possível o uso destas equações. Para resolver este problema, o uso da TeoriaFuzzy se torna fundamental. Isso é feito transformando o par de equações acima em novas equações com natureza fuzzy.

Para transformar as equações de Streeter-Phelps em equações fuzzy basta transformar todos os parâmetros presentes nas equações (3.8) e (3.9) em parâmetros “fuzzys”, o que consiste em transformar os vários parâmetros em funções de pertinência. Dessa forma, as equações diferenciais que compõem o modelo se transformam em:

• Equação Diferencial Fuzzy para a DBO

d

L

U K L

x

∂ = −

∂ (3.10)

Com solução analítica expressa por:

( ) 0 r K x U

L L e= − (3.11)

• Equação Diferencial Fuzzy para Oxigênio Dissolvido

( )

a r

dC

U K Cs C K L

dt = + − − (3.12)

Com solução analítica expressa por:

( ) ( ) ( )

0

0 ( )

a r a

K K K

x x x

d

U U U

a r

K L

D D e e e

K K

− − −

= + −

−

Onde:

C~ = função de pertinência para a concentração

U~ = função de pertinência para o campo velocidade longitudinal

Lé a função de pertinência para a concentração de DBO;

0

L é a função de pertinência para a concentração inicial de DBO;

i

K é a função de pertinência para os diferentes parâmetros de decaimentos;

0

D é a função de pertinência para o déficit de oxigênio inicial;

Dé a função de pertinência para o déficit de oxigênio no tempo t.

3.3 Cálculo do Risco e da Confiabilidade Fuzzy

De acordo com Ganoulis (1994), se um evento, ou realização de um processo, é descrito por meio da lógica fuzzy, então a confiabilidade desse evento pode ser calculada

como um número fuzzy. Considera-se que o sistema tem uma resistência Re uma carga L, ambas representadas por números fuzzy. Uma medida de confiabilidade, ou uma margem de segurança que também caracteriza o desempenho do sistema, como foi dito no capítulo anterior, pode ser definida pela diferença entre a carga e a resistência. Essa diferença também é um número fuzzy. Deve ficar claro que, nesse caso, a carga usada não é a concentração lançada, mas o resultado da concentração obtido com a solução computacional do modelo. Esta concentração é que deve ser usada para o cálculo da função marginal de segurança. Assim, segundo Santos, 2011:

M =R L− (3.14)

Tem-se para cada função um intervalo de nível h:

( )

( )

( )

M h =R h −L h (3.15)