I Congresso Geral de Energia Nuclear

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I Congresso Geral de Energia Nuclear

Rio dt Jonoiro, 17 o 20 do Morco dt 1986

ANAIS - PROCEEDINGS

COMPARAÇÃO ENTRE ELEMENTOS DE PLACA TRIANGULARES BASEADOS NA TEORIA DE MINDLIN

Miguel Mattar Neto

Diretoria de Pesquisas de Reatores

COMISSÃO NACIONAL DE ENERGIA NUCLEAR - SP

—-

=

" Paulo de Mattos Pimenta

Departamento de Estruturas e Fundações EPUSP

Sumário

Neste trabalho são mostrados três elementos de placa triangula- res com 9 graus de liberdade. Eles são baseados na teoria das placas de Mindlin que requer somente continuidade C° para as funções de interpolação do campo de deslocamentos. São apresen- tadas suas formulações e os resultados das soluções de alguns problemas estáticos. Mostra-se que os elementos são bastante s£

meliantes, além de simples e eficientes, podendo ser utilizados economicamente na solução de problemas transitórios não linea- res da tecnologia de reatores nucleares.

Abstract

This paper presents three triangular plate elements with 9 degrees of freedom. They are based on Mindlin plate theory which requires only C° continuity for the interpolation functions of the displacement field. Their formulations and the results of some static problems are presented. It is shown that the elements are very similar, wh'ile. simple and efficient, and they can be used in the solution of non linear trasient problems of nuclear reactor technology economically.

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1. INTRODUÇÃO

Neste trabalho apresenta-se 3 elementos de pisca triangulares com 3 nós e 3 graus de liberdade por nó, como mostrado na Figura 1, com formulações desen - volvidas a partir do método dos deslocamentos utilizando a teoria das placas com deformações por cisalhawtnto (Teoria das Placas de Mindlin) /l/. Os elemen tos foram deduzidos coa esta teoria porque ela requer somente continuidade C7

para as funções de interpolação do campo de deslocamentos enquanto a teoria clássica de Kirchhoff requer continuidade C1. Assim é possível a formulação dos eleaentos de forma explícita com economia de tempo e memoria de coaputador que são fatores muito importantes em análises de problemas transitorios não linea- res. A aplicação destes eleaentos de placa pode ser ampliada para a montagem de elementos de casca facetados obtidos na superposição de um eleaento de placa com um eleaento ea estado pleno de tensão. Estes eleaentos siaples de placa/cas_

ca tea uaa aplicação muito grande no desenvolvimento da tecnologia de reatores nucleares desde que se mostrea eficientes.

A teoria das placas de Mindlin 111 tem como expressão para energia poten - ciai de um elemento

onde

* í

>x,x

x v ~

_*»y

+ Í _D (D

w , -t

Eh

3

; 5

^f

-

12(l-v

2

)

1 v 0 v 1 0 0 0 1-v

2 Eh» fl oi 2

^C

IfUvT [O l j ⁽²⁾

e com referência i Figura 1, B B sao as rotações das seções, v e o desloca -

mento transversal da superfície média da placa, p é pressão, h é a espessura e A é a área da superfície média da placa. E é ojnódulo de elasticidade, v é o coeficiente de Poisson e ty í o fator de correção da distribuição do cisalhatnen to ao longo da espessura (adotado como 5 / 6 ) . Os índices f e e são relativos ã flexão e cisalhamento.

Chamando u

^T

- {w, 6 , 6 . w . 6 _ 6 ,, w , 6 - 6 ,} os deslocamentos nodais 1 xl yl 2 x2 y 2 3 x 3 y 3

do elemento monta-se, conforme as hipóteses adotadas para ele, as relações d e - formações-deslocamentos:

S - 5

£

H ; I - »e 2 (3)

A matriz de rigidez do elemento é determinada a partir das equações (1) e (3):

2. OS ELEMENTOS ESTUDADOS

Mostra-se, a seguir, as hipóteses básicas para a formulação dos três ele - mantos estudados neste trabalho chamados 1\, T; <? T3. 0 elemento T^ foi desen - volvido em 121, e o Tj e Tj com procedimentos análogos aos descritos em /3/ e /4/, respectivamente, para elementos quadrangulares de 4 nós e 12 graus de li- berdade.

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i

I Para o elemento Tj as funções de interpolação são lineares de nodo que os **í deslocaaentos a* • { w 6 6 } no elemento são dados por :**

3 3 J

v « E L.w.; 6 - E L.6 .; 9 - E L. 6 . (5)

s . i i' x . 1 x i ' y . i yi í-i í-i ' í-i J

| onde L. são as coordenadas naturais do triangulo e w., 9 ., 6 ., i • 1,2,3, são I os deslocamentos nodais. E feita a decomposição dos deslocamentos nodais ia em

• um modo de flexío ju e um de cisalhamento ii

^c

, que contribuirão para a energia de deformação por flexão e por cisalhamento, respectivamente. Na separação ob-

tém dois operadores lineares P, e P tais que :

Substituindo em (4) jJ,, e B de (6) por_B, e B , respectivamente,obtém-se a matriz de rigidez. Como | L

f

t B , D, e D sao matrizes com termos constantes a integração de K com um ponto ê°exata. ~°

No elemento T^, w inicialmente tem variação quadrática considerando os des_

locamentos nodais dos vértices e no meio dos lados para fazer a interpolação.As rotações 6 e 6 variam linearmente como em (5). Para se chegar ã configuração de 3 nós e 9 graus de liberdade é feita a hipótese que a deformação por cis£

lhamento ao longos dos lados é constante. A matriz B_, resultante, tem somente termos constantes e a matriz K, obtida com um ponto de integração é exata. A ma triz B , no entanto, tem termos lineares em L. e pode-se seguir dois caminhos

T

para a integração de K : (a) integração reduzida e seletiva /5/; (b) integração exata com o artifício ""descrito em /6/.

No elemento T., o campo de deslocamentos tem variação linear em (5) mas de- formações por cisalhamento nao sao dadas como em (2). Em cada lado do elemento, define-se uma deformação por cisalhamento localizada em seu ponto médio e com direção paralela a ele, que é função dos deslocamentos dos nós que o formam.Por meio de considerações geométricas determina-se, então, o vetor de deformações por cisalhamento em cada nó e também no elemento com um esquema de interpolação linear. Da mesma forma que para o elemento T~, J9

f

é uma matriz de termos cons- tantes e B tem termos lineares em L. sendo, portanto, validos os mesmos comen- tários feitos acima para a montagem àe K, e K .

3. RESULTADOS E CONCLUSÕES

Os elementos T.,T. e T, foram utilizados na análise de uma placa quadrada de espessura constante h«0,04m, de lado a«8m e de material com E-300000 KN/ra

2

e V'0,3, variando de condições de vinculação e de carregamento. Foram feitos «4 exemplos: (1) simplesmente apoiada nas bordas com carga concentrada no centro (P—0,4KN); (2) engastada nas bordas com carga concentrada no centro(P—0,4KN);

(3) simplesmente apoiada nas bordas com carga distribuída uniformemente ' (P—6,25 N / m

2

) ; (4) engastada com carga distribuída uniformemente (P--6,25N/m

2

).

Pela simetria modelou-se somente 1/4 da placa com malhas uniformes de 2Nx2N ele mentos sendo N o número de quadros em cada direção formados por 2 triângulos re tângulos com a diagonal indo da esquerda para a direita de modo ascendente. Os resultados obtidos com um computador Cyber 175/750 estão na Tabela 1.

Pelos resultados apresentados e pela comparação das matrizes de rigidez ob tidas com várias configurações de triângulos nota-se que os valores gerados com os elementos T, e T, sao idénticos^ e que eles, tendo a integração reduzida no cisalhamento com ponto de integração no centroide, geram valores idênticos aos de T.. A equivalência entre T, e T. se explica gela hipótese admitida, em am- bos, que a deformação por cisalhamento na direção dos lados do elemento é cons- tante. Como Tj tem deformação por cisalhamento constante e T- e T, distribuição

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linear desta deformação a outra equivalência ocorre porque a integração reduzi- da feita gera matrizes de rigidez, iguais.

Os resultados obtidos com T, e T_ com integração reduzida e T, são bons com as malhas mais refinadas sendo que a qualidade dos resultados e a simplici- dade destes elemementos com formulação explícita indicam que em análises de pro blemas transitórios não lineares eles podem levar vantagem sobre elementos dê ordem superior em termos de custos de computador e facilidade de aplicação.

4. BIBLIOGRAFIA

III MINDLIN,R.D.. Influence of rotatory inertia and shear in flexural mo- tions of isotropic, elastic plates. In: ASME J. Appl. Mech., 18;31- 38, 1951.

Ill BELYTSCHKO.T.; STOLARSKI ,H.; CABPENTER.N.. A C

0

triangular plate element with one point quadrature. In: Numerical Methods in Enginee ring, 20: 787-802, 1984.

Ill TESSLER.A- HUGUES.T.J.R.. An improved treatment of transverse shear in the Hindiin - type four - node quadrilateral element. In: Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 39: 311-335, 1983.

Ikl HUGUES.T.J.R.; TEZDUYAR.T E.. Finite elements based upon Hindiin plate theory with particular reference to the four-node bilinear isopa- rametric element. In: ASME J. Appl. Mech., 48: 587-596, 1981

151 HUGUES.T.J.R.; COHEN,M.; HAROUN.M.. Reduced and selective integration techniques in the finite element analysis of plates. In: Nuclear Engineering and Design, 46: 203-222, 1978.

/6/ JOSEPH,K.T.; RAO.K.S.. A fast algorithm for triangular plate bending element. In: Numerical Methods in Engineering, 14: 1100-1104, 1979.

Figura 1 Elemento Triangular de Placa com 3 nós e 9 graus de liberdade

ey2

Tabela 1 : Deslocamentos do centro da placa

U. I ^{>. >} ^{1. I} ^|^a^{. 4}

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