Matemática e
suas Tecnologias 3
Olá, amigos!
Começamos agora o nosso terceiro fascículo de
“Matemática e suas tecnologias”. Temos certeza que a cada novo grupo de questões vocês têm se sentido mais seguros e confiantes. Por isso, este novo fascículo vai enriquecer ainda mais o seu aprendizado.
Antes, porém, convém lembrá-los que, no fascículo anterior desta área de conhecimento, resolvemos as questões-desafio do primeiro fascículo e nos voltamos mais para questões em que a leitura, compreensão e interpretação de gráficos e figuras são essenciais.
Neste novo fascículo, nos voltaremos mais para a utilização de conhecimentos geométricos para solução de problemas, construção de argumentação e intervenções na realidade, sem esquecer a resolução dos desafios do segundo fascículo e de mais dois outros que lançaremos para vocês resolverem.
Bom, acreditamos que nossa ajuda tem feito vocês trilharem o caminho certo rumo a aprovação no ENEM. Esperamos que aproveitem cada vez mais e contem sempre com nossos fascículos para o esclarecimento de possíveis dúvidas.
O autor.
01) (ENEM 2007 – QUESTÃO 42)
O gráfico abaixo ilustra o resultado de um estudo sobre o aquecimento global. A curva mais escura e contínua representa o resultado de um cálculo em que se considerou a soma de cinco fatores que influenciaram a temperatura média global de 1900 a 1990, conforme mostrado na legenda do gráfico. A contribuição efetiva de cada um desses cinco fatores isoladamente é mostrada na parte inferior do gráfico.
Os dados apresentados revelam que, de 1960 a 1990, contribuíram de forma efetiva e positiva para aumentar a temperatura atmosférica:
A) aerossóis, atividade solar e atividade vulcânica.
B) atividade vulcânica, ozônio e gases estufa.
C) aerossóis, atividade solar e gases estufa.
D) aerossóis, atividade vulcânica e ozônio.
E) atividade solar, gases estufa e ozônio.
Comentário: Independente de que disciplina possa-se dizer a que esta questão pertença, nosso objetivo ao propor que vocês resolvessem esta questão era fazer com que vocês fizessem a leitura e interpretação correta de um gráfico.
Dica: Nesta questão deveremos analisar as informações contidas no gráfico para chegarmos à conclusão adequada, associando esse conhecimento à ideia de dados positivos e negativos em um gráfico.
Sabemos que, num gráfico, a análise da legenda é fundamental. No nosso exemplo, a legenda corresponde às seguintes informações:
O número (I) corresponde aos gases estufa.
O número (II) corresponde à atividade solar.
O número (III) corresponde ao ozônio.
O número (IV) corresponde à atividade vulcânica.
O número (V) corresponde aos aerossóis.
INTRODUÇÃO
RESOLUÇÃO DAS QUESTÕES-DESAFIO DO FASCÍCULO ANTERIOR
0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 -0,1 -0,2
variação total na temperatura (ºC)
calculado
contribuição efetiva (ºC)
0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 -0,1 -0,2 -0,3 (I)
(II) (III)
(IV) (V) 1900 1930 1960 1990 Legenda: (I) gases estufa (IV) atividade vulcânica
(II) atividade solar (V) aerosóis
(III) ozônio
Internet <solar-center.stanford.edu>
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Além disso, sabemos que em uma reta numérica em sentido vertical, os valores acima de zero são positivos e os valores abaixo de zero são negativos. Se a reta for horizontal, os valores à direita do zero são positivos e à esquerda são negativos. Observe abaixo:
Resolução: A questão pede que informemos “os dados apresentados que contribuíram de forma efetiva e positiva para aumentar a temperatura atmosférica”. Se analisarmos o gráfico, percebemos que acima da linha do zero ficaram os números I, II e III.
02) (ENEM 2007 – QUESTÃO 24)
O Aedes aegypti é vetor transmissor da dengue. Uma pesquisa feita em São Luís – MA, de 2000 a 2002, mapeou os tipos de reservatório onde esse mosquito era encontrado. A tabela abaixo mostra parte dos dados coletados nessa pesquisa.
87654321-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -80
valores positivos valores negativos
1 2 3 4 5 6 7 8 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0
valores positivos valores negativos
0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 -0,1 -0,2
variação total na temperatura (ºC)
calculado
contribuição efetiva (ºC)
0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 -0,1 -0,2 -0,3 (I)
(II) (III)
(IV) (V) 1900 1930 1960 1990 Legenda: (I) gases estufa (IV) atividade vulcânica
(II) atividade solar (V) aerosóis
(III) ozônio
PositivoNegativo
Na legenda, estes números correspondem respectivamente a gases estufa, atividade solar e ozônio.
Portanto, o item correto é o item “E”.
tipos de reservatórios população de A. aegypti
2000 2001 2002
pneu 895 1.658 974
tambor/tanque/depósito de barro 6.855 46.444 32.787 vaso de planta 456 3.191 1.399 material de construção/peça de carro 271 436 276 garrafa/lata/plástico 675 2.100 1.059
poço/cisterna 44 428 275
caixa d’água 248 1.689 1.014 recipiente natural, armadilha, piscina e outros 615 2.658 1.178 total 10.059 58.604 38.962 Caderno Saúde Pública, vol. 20, n.º 5, Rio de Janeiro, out/2004 (com adaptações).
Se mantido o percentual de redução da população total de A. aegypti observada de 2001 para 2002, teria sido encontrado, em 2003, um número total de mosquitos A) menor que 5.000.
B) maior que 5.000 e menor que 10.000.
C) maior que 10.000 e menor que 15.000.
D) maior que 15.000 e menor que 20.000.
E) maior que 20.000.
Comentário: Para resolvermos esta questão, ao analisar a tabela, precisaremos nos concentrar apenas nos totais de 2001 e 2002, o que não quer dizer que sempre que vocês se depararem com uma questão que tenha tabela, deixarão de analisá-la por completo. Esta análise mais restrita depende muito do que a questão está pedindo.
Dica: Desta vez, usaremos o conhecimento numérico, utilizando dados apresentados em tabela, para solução de situação-problema.
Precisamos saber que, para descobrirmos um percentual de redução ou aumento, devemos:
i) Calcular a diferença entre o ano de referência e o ano a que se quer saber.
ii) Estabelecer e calcular a seguinte igualdade: x% do valor do ano de referência = diferença citada no item anterior. Definido esse valor de “x”, teremos definido o percentual de redução.
iii) O ano de referência agora passa a ser outro, então calculamos o percentual encontrado no item anterior do valor do novo ano de referência.
iv) Calculamos a diferença entre o valor do novo ano de referência e o valor encontrado no item anterior.
Resolução: Usaremos os dados da tabela e os substituiremos no passo a passo citado acima. Devemos considerar para isso que o ano de referência inicial é 2001.
i) 58.604 – 38.962 = 19.642 ii) x% de 58.604 = 19.642
Logo, o percentual de redução é 33,5%.
iii) Para sabermos o valor de 2003, o ano de referência passa a ser agora 2002.
33, 5% de 38962 =
iv) 38.962 – 13052 = 25.910 Portanto, o item correto é o “E”.
01) (ENEM 2009 – QUESTÃO 140)
O governo cedeu terrenos para que famílias construíssem suas residências com a condição de que no mínimo 94% da área do terreno fosse mantida como área de preservação ambiental. Ao receber o terreno retangular ABCD, em que AB = , Antônio demarcou uma área quadrada no vértice A, para a construção de sua residência, de acordo com o desenho, no qual AE = é lado do quadrado.
Nesse caso, a área definida por Antônio atingiria exatamente o limite determinado pela condição se ele A) duplicasse a medida do lado do quadrado.
B) triplicasse a medida do lado do quadrado.
C) triplicasse a área do quadrado.
D) ampliasse a medida do lado do quadrado em 4%.
E) ampliasse a área do quadrado em 4%.
Comentário: Interpretar uma questão que envolve figura geométrica requer muita atenção. O aconselhável é que numa segunda leitura já coloquemos na figura os dados que a questão vem informando.
Dica: Deveremos utilizar conhecimentos numéricos e geométricos na seleção de argumentos propostos como solução de problema do cotidiano.
Para esta questão, precisaremos saber que:
i) Área de um retângulo = (base) x (altura) ii) Área de um quadrado = (lado)2
iii) x% de um número Y =
iv) Um número inteiro multiplicado por uma fração deve ser este número multiplicado apenas pelo numerador e o denominador repetido.
v) Para calcular potência de fração, tanto o numerador quanto o denominador são elevados a esta potência:
Resolução: Inicialmente, devemos refazer a figura, determinando a área total (retângulo) e área pertencente a Antônio (quadrado menor).
BC = x AB = AE =
(repete a primeira e multiplica pelo inverso da segunda) =
QUESTÕES
A B
D C
E
A B
D C
E
x x
2 x 10
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Área do retângulo = Área do quadrado =
Se a condição é que no mínimo 94% da área do terreno seja mantida como área de preservação ambiental, o limite permitido
é de 6% da área total: 6% de
Com base nisso, vamos analisar cada um dos itens para saber em qual Antônio atenderia a condição. Para isso, a área a ser determinada em cada opção deverá ser igual a
A) Se duplicasse a medida do lado do quadrado:
l = 2 . , logo a área seria (simplificando por 4) =
B) Se triplicasse a medida do lado do quadrado:
l = 3 . , logo a área seria C) Se triplicasse a área do quadrado:
3.
D) Se ampliasse a medida do lado do quadrado em 4%:
4% de (simplificando por 4) =
Ampliando o lado = (simplificando por 2) = E) Se ampliasse a área do quadrado em 4%:
4% de (simplificando por 4) =
Portanto, o item correto é o “C” . 02) (ENEM 2009 – QUESTÃO 157)
Uma empresa que fabrica esferas de aço, de 6 cm de raio, utiliza caixas de madeira, na forma de um cubo, para transportá-las.
Sabendo que a capacidade da caixa é de 13.824 cm3, então o número máximo de esferas que podem ser transportadas em uma caixa é igual a
A) 4 B) 8 C) 16 D) 24 E) 32
Comentário: Um dos conhecimentos básicos que precisamos ter de geometria é a diferença entre geometria plana e geometria espacial. A saber, a primeira constitui-se apenas de duas dimensões: base e altura (ou largura). A segunda constitui-se por três dimensões: base, largura e altura. No caso dessa questão, como tratamos de um cubo e este possui três dimensões, o assunto é geometria espacial.
Dica: Para resolver essa situação-problema, deveremos utilizar nosso conhecimento sobre características de figuras planas e espaciais, como espaço e forma.
Os conhecimentos necessários para resolvermos essa questão são os seguintes:
Capacidade é o volume interno de um recipiente. O volume de um cubo é dado por V = a3, onde “a” representa a aresta da figura.
Precisamos ter também a ideia de que um raio corresponde à metade de um diâmetro, ou se preferir que o diâmetro é o dobro do raio: d= 2r
Resolução: Se sabemos o volume da caixa que corresponde a um cubo, podemos descobrir o valor de sua aresta:
V = a3 → 13824 = a3 → a = = 24 cm
Também sabemos que se o raio da circunferência é 6 cm e o diâmetro de uma circunferência é o dobro do raio, teremos d= 12 cm.
Logo, cada aresta corresponde a duas esferas de 12 cm de diâmetro. Porém, como a caixa possui o formato de um cubo, que por sua vez é uma figura tridimensional, devemos elevar este valor ao cubo. Ou seja, 23 = 8.
Portanto, o item correto é o “B”.
a
a a
r r r
d
03) (ENEM 2009 – QUESTÃO 158)
A figura a seguir mostra as medidas reais de uma aeronave que será fabricada para utilização por companhias de transporte aéreo. Um engenheiro precisa fazer o desenho desse avião em escala de 1:150.
Para o engenheiro fazer esse desenho em uma folha de papel, deixando uma margem de 1 cm em relação às bordas da folha, quais as dimensões mínimas, em centímetros, que essa folha deverá ter?
A) 2,9 cm × 3,4 cm.
B) 3,9 cm × 4,4 cm.
C) 20 cm × 25 cm.
D) 21 cm × 26 cm.
E) 192 cm × 242 cm.
Comentário: Analisando a figura, percebemos que os dados estão em metros. Porém, a leitura minuciosa que insistimos em sugerir que você faça, nos faz perceber que a resposta pedida na questão é em centímetros.
Dica: Nessa questão, deveremos usar a noção de escala e o conhecimento sobre transformação de unidades de medida, para solução da situação-problema.
Para isso, é importante saber que para fazermos um desenho dada uma escala, multiplicamos o valor real pela escala apresentada e que, para transformarmos metros em centímetros, devemos apenas multiplicar por “100”, já que 1m =100cm.
Resolução: Inicialmente, vamos descobrir o tamanho de cada lado do desenho a partir da escala 1:150.
i) 28,5 x = 0,19 m (multiplicamos por 100, para ficar em cm) = 19 cm
ii) 36 x = 0,24 m (multiplicamos por 100, para ficar em cm) = 24 cm
Porém, devemos lembrar as margens de 1 cm em cada borda que a questão cita. Ou seja, para cada lado são duas bordas, sendo então mais 2 cm para cada lado.
19 cm + 2 cm = 21 cm e 24 cm + 2 cm = 26 cm, originando assim as dimensões 21cm x 26 cm.
Portanto, o item correto é o “D”.
04) (ENEM 2009 – QUESTÃO 164)
Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou como herança um terreno retangular de 3 km x 2 km que contém uma área de extração de ouro delimitada por um quarto de círculo de raio 1 km a partir do canto inferior esquerdo da propriedade. Dado o maior valor da área de extração de ouro, os irmãos acordaram em repartir a propriedade de modo que cada um ficasse com a terça parte da área de extração, conforme mostra a figura.
Em relação à partilha proposta, constata-se que a porcentagem da área do terreno que coube a João corresponde, aproximadamente, a (considere = 0,58) A) 50%.
B) 43%.
C) 37%.
D) 33%.
E) 19%.
Comentário: Analisar uma figura e perceber quais outras se formam a partir dela é essencial para um bom desempenho em questões desse tipo. Além disso, é importante que se saiba que o cálculo da área de um triângulo retângulo, bem visível nesta questão, é diferente do cálculo da área de um triângulo qualquer.
Dica: Os conhecimentos geométricos que precisaremos utilizar para resolver essa situação estarão relacionados à área do triângulo retângulo, cálculo de catetos e ângulos notáveis. Além disso, precisaremos utilizar nossos conhecimentos de regra de três.
A área de um triângulo retângulo é dada pela metade do produto dos dois lados menores. Esses dois lados menores são chamados de catetos e formam o ângulo de 90°. O cateto oposto é o que fica de frente para o ângulo agudo, enquanto o adjacente fica junto a esse ângulo. A hipotenusa, por sua vez, é o lado maior e fica de frente para o ângulo de 90°
(ângulo reto).
3 Km
2 Km
1 Km 1 Km
João
Pedro José
28,5 metros
36 metros
Matemática e suas Tecnologias 3
Para descobrirmos o valor de um cateto devemos:
i) Usar o teorema de Pitágoras quando soubermos o valor da hipotenusa e do outro cateto:
(hipotenusa)2 = (cateto)2 + (cateto)2 cateto =
ii) Se soubermos o valor do outro cateto e um ângulo:
T gĮ =
Outro conhecimento muito importante que se tenha é da tabela das relações trigonométricas:
30º 45º 60º
Seno
Cosseno
Tangente 1
Resolução: Primeiro, é necessário que refaçamos a figura entendo melhor a parte que coube a João.
Observe que o desenho formado foi de um triângulo retângulo, portanto devemos calcular a área dessa figura, considerando que os catetos oposto e adjacente são respectivamente x e 2 km.
Como a área de um triângulo retângulo é dada pela metade do produto dos catetos, teremos:
Porém, como não sabemos o valor deste cateto, mas temos um ângulo e o outro cateto, podemos descobrir usando a fórmula: T gĮ =
T g 30º =
0,58 = → x = 1,16 Km2
Esse valor é o que corresponde ao terreno de João. A pergunta é: qual o percentual que lhe coube da área total?
A área total é dada por 3 Km x 2 Km = 6 Km2.
Sendo assim, se 6 Km2 corresponde a 100%, 1,16 Km2 corresponde a qual percentual?
6 ... 100
1,16... x 6x = 116 → x = = 19,33%
Portanto, o item correto é o “E”.
05) (ENEM 2009 – QUESTÃO 169)
A vazão do rio Tietê, em São Paulo, constitui preocupação constante nos períodos chuvosos. Em alguns trechos, são construídas canaletas para controlar o fluxo de água. Uma dessas canaletas, cujo corte vertical determina a forma de um trapézio isóscele, tem as medidas especificadas na figura I. Neste caso, a vazão da água é de 1.050 m3/s.
O cálculo da vazão, Q em m3/s, envolve o produto da área A do setor transversal (por onde passa a água), em m2, pela velocidade da água no local, v, em m/s, ou seja, Q = Av.
Planeja-se uma reforma na canaleta, com as dimensões especificadas na figura II, para evitar a ocorrência de enchentes.
cateto adjacente hipotenusa
cateto oposto
ângulo agudo
ângulo reto
Į
3 Km
2 Km
1 Km 1 Km
João
Pedro José 30º
30º 30º x
2 Km
Figura I 30 m
20 m
2,5 m Figura II
49 m
41 m
2,0 m
Disponível em: http://www.2.uel.br/
Na suposição de que a velocidade da água não se alterará, qual a vazão esperada para depois da reforma na canaleta?
A) 90 m3/s B) 750 m3/s C) 1.050 m3/s D) 1.512 m3/s E) 2.009 m3/s
Comentário: Se identificarmos as características da figura plana em questão e fizermos uma correta interpretação dos dados informados no enunciado, conseguiremos resolver sem nenhuma dificuldade essa questão.
Dica: Deveremos utilizar conhecimento geométrico voltado para características de figuras planas para resolução de problemas do cotidiano.
Trapézios são quadriláteros com dois lados opostos paralelos, que no caso são as bases, sendo uma maior e outra menor e dois lados opostos não paralelos. Se os dois outros lados que não são paralelos forem iguais, teremos um trapézio isóscele. A área de um trapézio é dada por:
Além disso, para essa questão é importante sabermos interpretar os dados que ela fornece. No caso, ela quer saber a vazão esperada para depois da reforma na canaleta. Se na própria questão é dado que Q = Av, devemos saber que “Q”
representa a quantidade de água, “A” representa a área da figura e “v” a velocidade da água no local.
Resolução: Para iniciar, devemos através dos dados da figura 1, descobrir o valor de “v”.
A partir desse valor descoberto podemos definir o valor Q da figura 2, o que responde a questão:
Portanto, o item correto é o “D”.
A = Onde:
B = Medida da base maior b = Medida da base menor h = Altura
Q = A . v → Q = . v
1050 = . v
1050 = 62,5 v
v = =16,8 m/s
Q = A . v → Q = . v
Q = . 16,8
Q = 90 . 16,8 Q = 1512 m3/s
06) (ENEM 2009 – QUESTÃO 173) Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma altura
— 3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte
superior —, espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura. Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte superior, que tem 1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar uma vela?
A) 156 cm3 B) 189 cm3 C) 192 cm3 D) 216 cm3 E) 540 cm3
Comentário: O gasto que o dono da fábrica tem com parafina corresponde ao volume desse material que é utilizado. É importante que depois da leitura minuciosa, lembremos que a altura, então de 19 cm, cai para 16 cm já que existe 1 cm de espaço entre cada bloco.
Dica: Para esta questão, precisaremos utilizar nosso conhecimento sobre características das figuras espaciais para solução de problemas.
É importante que saibamos que a figura relaciona-se a uma pirâmide, cujo volume é dado pela fórmula:
. (área da figura que forma a base) . altura
b
B h
Figura I
30 m
20 m
2,5 m
Figura II
49 m
41 m
2,0 m
6 cm 6 cm
Matemática e suas Tecnologias 3
No caso dessa pirâmide, a base é quadrangular, portanto a área da base será l x l.
Resolução: Precisaremos fazer o cálculo do volume da vela originalmente e posteriormente, sem a parte superior.
O novo gasto será dado pela diferença entre o gasto original e o gasto sem a parte superior: 192 - 3 = 189 cm3
Portanto, o item correto é o “B”.
07) (ENEM 2009 – QUESTÃO 166)
Rotas aéreas são como pontes que ligam cidades, estados ou países. O mapa a seguir mostra os estados brasileiros e a localização de algumas capitais identificadas pelos números.
Considere que a direção seguida por um avião AI que partiu de Brasília – DF, sem escalas, para Belém, no Pará, seja um segmento de reta com extremidades em DF e em 4.
SIQUEIRA, S. Brasil Regiões.
Disponível em: www.santiagosiqueira.pro.br.
Acesso em: 28 jul. 2009 (adaptado).
Suponha que um passageiro de nome Carlos pegou um avião AII, que seguiu a direção que forma um ângulo de 135° graus no sentido horário com a rota Brasília – Belém e pousou em alguma das capitais brasileiras. Ao desembarcar, Carlos fez uma conexão e embarcou em um avião AIII, que seguiu a direção que forma um ângulo reto, no sentido anti-horário, com a direção seguida pelo avião AII ao partir de Brasília-DF. Considerando que a direção seguida por um avião é sempre dada pela semirreta com origem na cidade de partida e que passa pela cidade destino do avião, pela descrição dada, o passageiro Carlos fez uma conexão em
A) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Curitiba.
B) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Salvador.
C) Boa Vista, e em seguida embarcou para Porto Velho.
D) Goiânia, e em seguida embarcou para o Rio de Janeiro.
E) Goiânia, e em seguida embarcou para Manaus.
Comentário: Esta é uma questão bastante simples, desde que você tenha noção de medidas de ângulos. Tenha sempre em mente um ângulo reto (de 90°) para ser a referência de medida de outros ângulos.
Dica: Para essa questão deveremos reconhecer, construir e explorar visualmente uma situação que será construída a partir do conhecimento geométrico, voltado para medida dos ângulos.
Originalmente, os dados são:
Área da Base = l x l = 6 x 6 = 36 cm (a aresta corresponde ao lado) Altura = 19 - 3 = 16 cm
V = . 36 . 16 = = 192 cm3
Calculando apenas a área da base superior:
Área da Base = l x l = 1,5 x 1,5 = 2,25 cm (a aresta corresponde ao lado)
Altura= 16 : 4 (blocos) = 4 cm
V = . 2,25 . 4 = = 3 cm3
1 Manaus 2 Boa Vista 3 Macapá 4 Belém 5 São Luís 6 Teresina 7 Fortaleza 8 Natal 9 Salvador
10 Rio de Janeiro 11 São Paulo 12 Curitiba 13 Belo Horizonte 14 Goiânia 15 Cuiabá 16 Campo Grande 17 Porto Velho 18 Rio Branco
Mapa do Brasil e algumas Capitais
1 2
3
4 5
18 17
6
15 14
DF
7
13 9
8
16 11 10 12
6 cm 6 cm
1,5 cm
Relembre como podemos identificar visualmente, sem o uso de compasso e/ou transferidor algumas medidas de ângulos:
Convém lembrar ainda que:
Sentido horário – da esquerda para a direita.
Sentido anti-horário - da direita para a esquerda.
Resolução: Analisemos o que foi feito sobre a figura. A partir da rota Brasília-Belém, formamos oito ângulos de 45° cada.
Formar um ângulo de 135° graus no sentido horário com a rota Brasília – Belém equivale a três das oito partes que esboçamos na figura. Neste caso ele partiu para o 13 que corresponde, segundo a legenda, a Belo Horizonte.
Feita a conexão em 13, ele embarca formando 90°.
Construindo esse segmento, o mesmo partirá para o número 9, que corresponde, segundo a legenda, a Salvador.
a seguir. Como resultado do experimento, concluiu-se que o nível da água é função do número de bolas de vidro que são colocadas dentro do copo.
O quadro a seguir mostra alguns resultados do experimento realizado.
número de bolas (x) nível da água (y)
5 6,35 cm
10 6,70 cm
15 7,05 cm
Disponível em: www.penta.ufrgs.br. Acesso em: 13 jan. 2009 (adaptado).
Qual a expressão algébrica que permite calcular o nível da água (y) em função do número de bolas (x)?
A) y = 30x.
B) y = 25x + 20,2.
C) y = 1,27x.
D) y = 0,7x.
E) y = 0,07x + 6.
Comentário: Muitas das questões do ENEM nos induzem, já nas opções de respostas, a deduzir a que assunto se referem. Nesta, por exemplo, sabemos que se trata de função de 1º grau. No entanto, não será preciso resolver uma função do 1º grau, já que pela tabela sabemos o valor de x e de y. Precisaremos apenas saber com qual das fórmulas chegaremos a esses valores.
Dica: Para resolver essa situação-problema, precisaremos utilizar conhecimentos algébricos voltados à função do 1°
grau e a sistema de equações do 1º grau.
Como trata-se de uma função do 1º grau, e o nível de água (y) é em função da quantidade de bolas (x), deduzimos que a fórmula geral seria y = ax + b. Sabemos os valores de x e de y, mas não sabemos o de a e b. É aí que entra o conhecimento sobre sistema de equações, que é usado para determinar duas variáveis, estabelecendo uma relação entre pelo menos duas equações através de um dos métodos. Sugerimos como mais prático o método da adição.
360º
315º
270º
225º
180º
135º 90º 45º
y
1 2
3
4 5
18 17
6
15 14
DF
7
13 9
8
16 11 10 12
Portanto, o item correto é o “B”.
08) (ENEM 2009 – QUESTÃO 159)
Um experimento consiste em colocar certa quantidade de bolas de vidro idênticas em um copo com água até certo nível e medir o nível da água, conforme ilustrado na figura
Matemática e suas Tecnologias 3
No método da adição, devemos eliminar uma das incógnitas. Para isso elas precisam ser iguais com sinais diferentes. Se assim não estiverem devemos então transformá-las.
Resolução: Considerando a fórmula geral y = ax + b, teremos...
Para linha 1 da tabela, x = 5 e y = 6,35, logo a equação seria 6,35 = 5a + b
Para linha 2 da tabela, x = 10 e y = 6,70, logo a equação seria 6,70 = 10a + b
Duas equações são suficientes para formarmos o sistema:
Neste caso, precisaremos multiplicar todos os elementos da 1ª equação por (-2) para que possamos fazer um cancelamento:
Se 6,35 = 5a + b e b = 6, teremos que 6,35 = 5a + 6, logo 5a = 6,35 – 6, sendo 5a = 0,35
a= 0,07
Substituindo esses valores na fórmula y = ax + b, a expressão algébrica que permite calcular o nível da água (y) em função do número de bolas (x) é y = 0,07x + 6
Portanto, o item correto é o “E”.
Estas são questões para vocês tentarem resolver. As questões serão respondidas e comentadas nos próximos fascículos.
01) (ENEM 2006 – QUESTÃO 62)
Na figura acima, que representa o projeto de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão é igual a
A) 1,8 m.
B) 1,9 m.
C) 2,0 m.
D) 2,1 m.
E) 2,2 m.
02) (ENEM 2003 – QUESTÃO 15)
O tabagismo (vício do fumo) é responsável por uma grande quantidade de doenças e mortes prematuras na atualidade. O Instituto Nacional do Câncer divulgou que 90% dos casos diagnosticados de câncer de pulmão e 80%
dos casos diagnosticados de enfisema pulmonar estão associados ao consumo de tabaco. Paralelamente, foram mostrados os resultados de uma pesquisa realizada em um grupo de 2000 pessoas com doenças de pulmão, das quais 1500 são casos diagnosticados de câncer, e 500 são casos diagnosticados de enfisema. Com base nessas informações, pode-se estimar que o número de fumantes desse grupo de 2000 pessoas é, aproximadamente:
A) 740 B) 1100 C) 1310 D) 1620 E) 1750
PROJETO DESAFIO ENEM 2010 I Jornal Diário do Nordeste I COORDENAÇÃO PEDAGÓGICA: Prof.Francisco Sidney Nogueira Brito e Prof. Jackson José Nogueira de Brito I PROFESSORES AUTORES: Gustavo Maximino Lima, Luiza Alice Lopes Menezes, Ítalo Felipe Gomes e Patrícia Moreira Sampaio I EDITORA VERDES MARES LTDA (Praça da Impresa s/n - Fortaleza/CE - CEP:
60.135-690) I Diretoria Comercial: Antônio Vidal I Gerência Comercial: Alana Aguiar I Planejamento de Vendas: Camila Coutinho.
QUESTÕES-DESAFIO
90 cm
30 cm
24 cm 24 cm
24 cm 24 cm
24 cm 90 cm 30 cm corrimão
