O estudo de inequações através do software GEOGEBRA

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O estudo de inequações através do software GEOGEBRA

Autor e Coautor(es)

Autor Nayara da Silva Castro

JARAGUARI - MS EE JOSE SERAFIM RIBEIRO Título da aula original:

O estudo de inequações no GeoGebra

Autor(es) Original(is):

ANIELLE GLORIA VAZ COELHO, Lara Martins Barbosa, Antomar Araújo Ferreira e Angela Cristina dos Santos

Coautor(es)

Lara Martins Barbosa, Antomar Araújo Ferreira e Angela Cristina dos Santos Estrutura Curricular

MODALIDADE / NÍVEL DE ENSINO COMPONENTE

CURRICULAR TEMA

Ensino Médio Matemática Análise de dados e

probabilidade

Ensino Médio Matemática Geometria

Ensino Médio Matemática Álgebra/Geometria

Dados da Aula

O que o aluno poderá aprender com esta aula

A fim de desenvolver as competências da área 5 da Matriz de Referência de Matemática e suas Tecnologias do ENEM, que é Modelar e resolver problemas que envolvem variáveis socioeconômicas ou técnico-científicas, usando representações algébricas, bem como interpretar gráfico cartesiano que represente relações entre grandezas (H20) e ainda a utilização de conhecimentos algébricos/geométricos como recursos para a construção de argumentação (H22) são propostos para esta aula os seguintes objetivos:

· Resolver graficamente inequações.

· Visualizar a solução de uma inequação de várias maneiras.

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Duração das atividades 2 horas/aula de 50 minutos

Conhecimentos prévios trabalhados pelo professor com o aluno

· Resolução de equações e inequações.

· Função afim.

· Função Quadrática

· Plano cartesiano e suas características: eixos, origem e quadrantes.

· Noções básicas da utilização do software GeoGebra.

Estratégias e recursos da aula

Nesta aula, é apresentada uma atividade investigativa, composta por situações-problemas em que os alunos terão que mobilizar conhecimentos já adquiridos e estratégias, encontrar a solução de inequações geometricamente.

Professor, para o desenvolvimento das atividades propostas nessa aula utiliza-se o Software GeoGebra para auxiliar a construção da figuras/desenhos e compreensão de conceitos geométricos. Além disso, deve-se dispor de um projetor multimídia conectado a um computador com o referido software citado.

Vale lembrar que o software GeoGebra é um programa gratuito e o professor poderá fazer o seu download através do site http://www.geogebra.org/cms/pt_BR Versão em Português.

Para funcionar é preciso fazer a instalação do Java (1.4.2 ou superior), obtida gratuitamente através do sítio: http://www.java.com/pt_BR

Comentário: Essa aula deve ser desenvolvida em um laboratório de informática com um computador por aluno ou em dupla, para possibilitar a interação e acompanhamento das atividades pelos alunos.

O software GeoGebra – Apresentação:

Segundo Humberto José Bortolossi (s.d.), Criado por Markus Hohenwarter, o GeoGebra é um software gratuito de matemática dinâmica que reúne recursos de geometria, álgebra e cálculo.O GeoGebra possui todas as ferramentas tradicionais de um software de geometria dinâmica: pontos, segmentos, retas e seções cônicas. E nele encontramos, também, equações

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e coordenadas que podem ser inseridas diretamente.O software, com relação à forma de abordagem, pode ser classificado como instrucionista ou contrucionista. Instrucionista quando o professor o utiliza como ferramenta de apoio na transmissão do conhecimento e construcionista quando o aluno pode manipular o software, internalizando alguns conhecimentos

Figura 1 – Apresentação do Software GeoGebra

Fonte: Arquivo da autora

A AULA

Professor (a), para essa aula, espera-se que os alunos já saibam resolver uma inequação com facilidade. Antes de iniciar, sugiro que acesse a aula Inequações do 1º grau com uma incógnita,disponível no Portal do Professor em <http://migre.me/jTGk8>. Acesso em 25 jun.

2014.

Para iniciar a aula, proponha uma discussão, sobre como seria a resolução gráfica de inequações. Ressalte que a visualização fornecida pelos gráficos facilita na observação da solução e, junto com a resolução algébrica, contribui para uma compreensão mais completa na resolução de inequações.

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Comentário: Nessa proposta de aula trabalharemos alguns exemplos específicos de inequações. Porém, o professor(a) pode adaptá-las de acordo com as inequações que deseja propor aos seus alunos.

1. RESOLVENDO A INEQUAÇÃO DO TIPO: 5 + 3x < 11

Professor (a), inicialmente, solicite aos alunos que resolvam algebricamente em uma folha de papel a inequação 5 + 3x < 11. Eles devem concluir que sua solução é um valor x pertencente aos reais tal que x < 2.

Logo após, solicite que digitem no campo entrada do software GeoGebra, a inequação 5 + 3x <

11. Automaticamente, o software trará a solução (figura 2).

Figura 2 – Solução da inequação 5 + 3x < 11

Arquivo da autora

Proponha as seguintes questões:

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· Qual o significado da região pintada de azul pelo GeoGebra?

· O que você observou em relação a solução algébrica que você encontrou, com a solução apresentada pelo GeoGebra?

Padrão de resposta esperado:

“A região pintada em azul pelo GeoGebra é a solução da inequação 5 + 3x < 11. Nessa inequação, x pertence aos reais tal que x < 2, que é a mesma solução encontrada quando resolvemos o problema algebricamente”.

2. RESOLVENDO A INEQUAÇÃO DO TIPO: 5 < 2x + 7 < 13

Neste exemplo, deve-se ressaltar que são inequações simultâneas, neste caso a solução deve atender as duas ao mesmo tempo.

Solicite aos alunos que encontrem a solução algébrica dessa inequação em uma folha de papel e posteriormente a encontre no GeoGebra.

“Nesse caso, teremos que dividir a inequação simultânea em duas novas inequações/situações, quando 5 < 2x +7 e quando 2x + 7 < 13. Algebricamente, deve-se resolver as duas inequações separadamente e encontrar o valor de x que as satisfaça simultaneamente. Assim, temos que, x > -1 e x < 3. Já no GeoGebra, deve-se desenhar graficamente essas duas situações (figura 3 e 4) e encontrar a interseção das soluções, (figura 5). Assim, a solução será -1 < x < 3”.

Figura 3 – Solução da inequação 5 < 2x + 7

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Figura 4 – Solução da inequação 2x + 7 < 13

Figura 5 – Solução da inequação 5 < 2x + 7 < 13

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Comentário: O GeoGebra resolve a inequação sem precisar dividi-la em dois casos, pode-se utilizar o conectivo ∧(e) da seguinte forma: 5 < 2x + 7 ∧ 2x + 7 < 13 (figura 6) ou simplesmente digitar no campo entrada a inequação completa 5 < 2x + 7 < 13.

Figura 6 – Solução direta da inequação 5 < 2x + 7 < 13

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3. RESOLVENDO A INEQUAÇÃO DO TIPO: 2x + 1 < 3 - x < 3x + 5

Novamente, solicite aos alunos que encontrem a solução algébrica dessa inequação em uma folha de papel e posteriormente a encontre no GeoGebra.

“Nesse caso, também teremos que dividir a inequação simultânea em duas novas inequações/situações, quando 2x + 1 < 3 – x, e quando 3 - x < 3x + 5. Algebricamente encontramos que x < 2/3 e x > -1/2. No GeoGebra, pode-se desenhar o gráfico dessas duas situações e encontrar a solução na interseção. Porém, é mais simples digitar a inequação completa no campo de entrada, que o software automaticamente utilizará o conectivo ∧ e apresentará a solução graficamente (Figura 7)”.

Figura 7 – Solução direta da inequação 2x + 1 < 3 - x < 3x + 5

4. RESOLVENDO A INEQUAÇÃO DO TIPO: x² < 5x - 6

Esse exemplo pode ser resolvido como o anterior. Porém, proponha aos alunos que façam o processo inverso, isto é, que primeiro encontrem a solução direta no GeoGebra e depois a

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solução algébrica, no caderno. Além disso, ao usar o GeoGebra, peça-lhes que utilizem a entrada x² - 5x + 6 < 0 (Figura 8) para desenhar a função f(x) = x² – 5x + 6 e destacar suas raízes (Figura 9) e, em seguida, que desenhem os gráficos das funções x² e 5x - 6, separadamente, encontrando a interseção entre elas (figura 10).

Figura 8 – Solução da inequação x² - 5x + 6 < 0

Figura 9 – Raízes da função f(x) = x² – 5x + 6

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Figura 10 – Solução da inequação x² < 5x – 6 separadamente

Promova uma conversa entre os alunos analisando qual seria a relação entre essas quatro formas de encontrar a solução de inequações desse tipo.

“Tem-se que, quando desenhamos os gráficos de cada lado da inequação e encontramos suas interseções, estamos resolvendo a inequação geometricamente, já nos outros casos, estamos indiretamente/diretamente resolvendo algebricamente, uma vez que manipulamos a inequação. O software GeoGebra pode ser utilizado sempre que desejarmos conferir os resultados ”.

5. RESOLVENDO A INEQUAÇÃO DO TIPO: x² + 1 < 3x - 1

Como nos exemplos anteriores, proponha que os alunos encontrem a solução dessa inequação no GeoGebra e algebricamente em uma folha de papel.

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“Nesse caso, teremos apenas uma situação, x² + 1 < 3x – 1. Como trata de uma função do 2º grau sendo comparada com uma função do 1º grau, devemos encontrar o gráfico de ambas e analisar suas interseções. Assim, a solução será 1 < x < 2 (figura 11). Sobre a solução algébrica, devemos encontra um x que satisfaça a inequação do 2º grau x² - 3x + 2 < 0, que pode ser resolvida encontrando as raízes da equação x² - 3x + 2 = 0”.

Figura 11 – Solução da inequação x² + 1 < 3x - 1

Comentário: O GeoGebra também resolve inequações desse tipo sem precisar encontrar o gráfico de ambas. Porém, mostra apenas a solução desejada, não a interpretando geometricamente (figura 12).

Figura 12 – Solução direta da inequação x² + 1 < 3x - 1

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Comentário: Professor (a), em inequações desse tipo discuta com seus alunos como seria a resolução algébrica dessa inequação. No caso, se deve resolver a inequação x² - 3x + 2 < 0, encontrando a mesma solução 1 < x < 2, veja o gráfico a seguir (figura 13):

Figura 13 – Solução da inequação x² - 3x + 2 < 0

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Comentário: Observe que o GeoGebra apresenta a solução da mesma forma como a apresentada na inequação x² + 1 < 3x – 1 (Figura 12).

DESAFIO:

Proponha aos alunos que encontrem as soluções geométricas da desigualdade ax² + bx - c < ax + b, em que os valores de a, b e c são controles deslizantes com intervalos de -3 a 3 e incremento 1. Nessas condições, deve-se alterar os valores de a, b e c e observar as diversas soluções apresentadas pelo GeoGebra. Um exemplo é apresentado na Figura 14, em que os valores de a, b e c são -1, 1 e 3, respectivamente.

Figura 14 – Solução da inequação (-x)² + x - 3 < -x + 1

Comentário: Professor (a), peça aos alunos que registrem essas soluções separadamente e salvem as imagens em um arquivo do Word.

Para finalizar a aula, promova uma conversa com os alunos sobre o uso de softwares no ensino da matemática. Vale ressaltar, que a inserção desses recursos tecnológicos durante as

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aulas permite visualizar as soluções de diferentes inequações e estabelecer a relação entre a álgebra e a geometria, que são campos tratados separadamente no ensino da matemática, mas que estão entrelaçadas e se complementam.Observa–se que as tecnologias estão cada vez mais presentes no cotidiano das pessoas, e como tal, não poderia ser diferente no ambiente escolar. Neste contexto enfatizamos a importância do uso de Informática no Ensino, em particular do software Geogebra no Ensino de Matemática, principalmente no ensino de Geometria Euclidiana Plana. E importante salientar que o uso do software em si, não prova nenhum dos teoremas, pois, a matemática, enquanto ciência utiliza–se do método dedutivo, no entanto tal prática é de grande valia, pois, quando bem utilizada, facilita a internalização do conhecimento exposto por parte do educando. Concluímos que a utilização da informática, em particular de softwares, não é a solução para o ensino de matemática, porém deve ser visto com bom olhos, pois de fato é uma importante ferramenta em oposição à prática da aula tradicional.

Recursos Complementares

Uma nova linha no ensino de geometria vem recebendo o nome de Geometria Dinâmica.

Trata-se da utilização de softwares de construções geométricas que permitem a transformação de figuras mantendo certo número de suas propriedades. Conheça o Software GeoGebra e explore suas inúmeras funções.

É possível encontrar diversas construções realizadas com Software GeoGebra no GeoGebraTube. Disponível em: <http://migre.me/jKufa>. Acesso em: 25 jun. 2014.

O GeoGebra também resolve inequações, que não foram exemplificadas nessa aula, com expoentes maiores, explore o GeoGebra e veja a facilidade de encontrar soluções de inequações com outras características.

Avaliação

Observe o envolvimento dos alunos, individual e coletivamente, na realização dos processos solicitados, sua motivação e empenho na execução das atividades e no desenvolvimento de atitudes na interação, cooperação e organização do trabalho em grupo. Aconselha-se, que o professor considere as hipóteses levantadas e os questionamentos dos alunos durante a aula.

É interessante que a atividade avaliativa seja aplicada na sala de informática. Além disso, as construções dos alunos podem ser salvas para serem avaliadas pelo professor, assim, o professor pode analisar as habilidades desenvolvidas, as estratégias e os cálculos efetuados pelos alunos, além de possíveis erros uma possível reelaboração de estratégias de intervenção didática para orientar os alunos a buscarem o caminho certo.

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Referências

BALDIN, Yuriko Yamamoto. Utilizações diferenciadas de recursos computacionais no ensino de matemática (CAS, DGS e Calculadoras Gráficas). In: CARVALHO, Luiz M.; GUIMARÃES, Luiz C.

(Org.). História e tecnologia no ensino de Matemática. Rio de Janeiro: IME-UERJ, 2003. p. 27- 36. v. 1.

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Ensino Fundamental. Referenciais para a formação de professores. Brasília: MEC/SEF, Brasília, 1997.

______. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática.

Brasília: MEC/SEF, Brasília, 1998.

ORIENTAÇÕES CURRICULARES PARA O ENSINO MÉDIO. Ciências da Natureza Matemática e suas Tecnologias. Disponível em: <http://migre.me/jBATt>. Acesso em 25 junho. 2014.

Contribuições do uso do Geogebra no estudo de funções disponivel no site http://www4.pucsp.br/geogebrala/submissao/pdfs/20LUISHAVELANGE_APRES.pdf acesso em 24/06/2014