... brincando com a Mecânica das estruturas de concreto...

•Entendimento dos mecanismos de resistência e fatores influentes

•Verificação da segurança estrutural

•Processos de execução

•Exemplos práticos de aplicação

•Atualização da NBR 6118/2003

UMA FILA DE LIVROS

• Elementos do “sistema estrutural”

• Materiais empregados

• Ações sobre o sistema

• “Caminho das cargas” e esforços solicitantes

• Processo de construção/montagem

“um artifício que consiste em introduzir numa estrutura um estado prévio

de tensões capaz de melhorar sua resistência ou seu comportamento,

sob diversas situações de carga”

Walter Pfeil

... brincando com a Mecânica

das estruturas de concreto ...

ep

P

ep

Construção de uma viga pela montagem de aduelas

L1 L2 L3

A Balanços progressivos B Balanços progressivos C D

Detalhe

Viaduto central de acesso (6,5 km) à

Ponte Vasco da Gama, Lisboa (18 km)

Ponte Vasco da Gama, Lisboa Trecho de 829m, vão

livre de 200m, altura de passagem

de 45m

Comprimento usual da pista entre 80 e 200 m

Grade de proteção Grade de proteção

CABECEIRA ATIVA CABECEIRA PASSIVA

pista de concretagem bloco, perfis

e chapas de reação

elementos pré-fabricados Cordoalhas ancoradas

individualmente nos perfis e chapas de

reação

Limpeza das fôrmas e/ou da pista

Posiciona- mento dos fios e/ou cordoalhas

e de iso- ladores

Pré-tração dos fios e/ou

cordoalhas e encunha- mento

Colocação da armadu- ra passiva e espaça- dores

Posiciona- mento das fôrmas ou do carro vibratório

Corte dos fios e/ou cordoalhas/

acabamento e transporte

Alívio da pré-tração

Retirada das fôrmas

Cura do concreto (a vapor)

Lançamento e adensa- mento do concreto

Bainhas

Operação de pós-tração Cordoalhas na região

de ancoragem

Vigas celulares de pontes com protensão sem aderência

Aplicação de cordoalhas engraxadas em estruturas diversas

Lajes protendidas com cordoalhas engraxadas

Perspectiva de um sistema de cabos de protensão

q g

7,00 m 0,75

AÇÕES:

Peso próprio (a calcular) Carga acidental: 15 kN/m Força de protensão: - 600 kN (excentricidade e = 12,5 cm) 37,5

12,5 25,0

75,0 cm

20

Recordando a velha Resistência dos Materiais

CG

N

–

A = N σ

CG

y>0 CG

y>0

N

e ≡

N

M = N . e

+ –

– –

+

+ ≡

W A . 1 e A N W

e . N A N W M A

σ N 



 

  +

= +

= +

=

CG

y>0

– +

e

N

borda inferior →índice 1

W e . N A N

2

+

= σ

W e . N A N

1

+

= σ

0) ( y I

1

>

1

=

W ( 0)

y I

2

<

2

= W

Determinação dos valores da excentricidade e para as quais as tensões nas bordas da seção são nulas:

W 0

A . 1 e A

N  = ⇒



 

  +

=

σ A

- W e W 0

A .

1 e  = ⇒ =



 

  +

K₁

y>0 K₂

e

e

Os pontos K1e K2constituem os extremos do núcleo central da seção, isto é, da região na qual uma força normal aplicada produz em toda a seção tensões de mesmo sinal.

Tensão nula na borda inferior:

( )

CG) do cima para ( 6 -h

bh 6 bh A -W

e_k1 ^{1 2}

=

=

−

=

=

Tensão nula na borda inferior:

( )

CG) do baixo para ( 6 h

bh 6 bh A -W

e_k2 ^{2 2}

+

=

− =

−

=

=

h/3

b/3

Pede-se: verificar as tensões normais na viga

1. Cálculo das características geométricas e mecânicas da seção transversal

2. Cálculo de esforços solicitantes (momento fletor) e de tensões normais na seção mais solicitada 3. Combinação de ações

4. Análise dos resultados 5. Reformulação do problema

Repetir toda a verificação com:

→excentricidade = 37,5 - 5 = 32,5 cm

→q = 34,6 kN/m

1. Cálculo das características geométricas e mecânicas da seção transversal

I = b.h³/12 = 7,03 . 10 m³ y1= - y2= 0,375 m

W1= - W2= I / y1 = 18,75 . 10 m³ A = b . h = 0,150 m²= 150 . 10^-3m²

ek1= - ek2 = h / 6 = 0,125 m (distancias das extremidades do núcleo central de seção ao centro de gravidade)

Índice 1 → borda inferior Índice 2 → borda superior

2. Cálculo de esforços solicitantes (momento fletor) e de tensões normais na seção mais solicitada

a) tensões devidas ao peso próprio Mg1 = 3,75 . 7²/ 8 = 22,97 kNm σ1g1= Mg1/ W1= + 1,23 MPa σ_2g1= Mg1/ W2= - 1,23 MPa b) tensões devidas à carga acidental

Mq= 15 . 7²/ 8 = 91,88 kNm σ_1q= Mq/ W1= + 4,90 MPa σ_2q= Mq/ W2= - 4,90 MPa c) tensões devidas à força de protensão

P = - 600 kN ; Mp= P . ep

σ_1p= P / Ac+ P . ep/ W1= - 8,00 MPa σ2p= P / Ac+ P . ep/ W2= 0

3. Combinação de ações

4. Primeira análise dos resultados (discussão)

a) estado em vazio

- -

+ - 0

-8,00 -1,23

+1,23 -1,23 MPa

-6,77 MPa

(P) (g1) v = (P+g1 )

CG + =

b) estado em serviço

- -1,23 MPa

-6,77 MPa v = (P+g1 )

+ =

-

+ - -4,90

+4,90

-6,13 MPa

-1,87 MPa (q) s = P + g1 + q CG

5. Reformulação do problema Repetir toda a verificação com:

→ excentricidade = 37,5 - 5 = 32,5 cm

→ q = 34,6 kN/m

a) tensões devidas ao peso próprio São as mesmas já calculadas.

b) tensões devidas à carga acidental

MPa 11,30 M =

= ^q 1 q

1 W

σ

MPa 11,30 - M =

= ^q 2 q

2 W

σ

Mq= 34,6 . 7²/ 8 = 211,93 kNm (na borda inferior)

(na borda superior)

c) Tensões devidas à protensão P = -600 kN

Mp= P . e

MPa 14,40 - P.e = A

=P ^p

c 1

p

1 +W

σ

MPa ,40 P.e = A

=P ^p

c W2 6 p

2 + +

σ

a) estado em vazio

- -

+ - -1,23

+1,23

(P) (g1) v = (P+g1 )

CG + =

+ +6,40

-14,40

+5,17 MPa

-13,17 MPa

b) estado em serviço

-

v = (P+g1 )

+ =

-

+ -

(q) s = P + g1 + q CG

+5,17

-13,17 +

-13,07

+13,07

-7,90 MPa

-0,10 MPa

6. Nova combinação de ações

7. Segunda análise dos resultados

(discussão)

1. COMBINAÇÃO DE AÇÕES

→verificação de todas as fases da vida da peça

→situação mais desfavorável nem sempre ocorre com todas as cargas externas atuando

2. CONTROLE DOS EFEITOS DA PROTENSÃO

→intensidade

→excentricidade

3. SOLICITAÇÕES AO LONGO DO VÃO

→verificar várias seções ou aplicar processo contínuo 4. ESTADOS LIMITES ÚLTIMOS E DE UTILIZAÇÃO

→tensões de tração/fissuração

→deformação excessiva

→solicitações normais

→solicitações tangenciais

→outras verificações

•Elemento de concreto protendido

•Armadura de protensão (armadura ativa)

•Armadura passiva

•Concreto protendido com aderência inicial (armadura de protensão pré-tracionada)

•Concreto protendido com aderência posterior (armadura de protensão pós-tracionada)

•Concreto protendido sem aderência

A protensão aplicada às

estruturas de concreto possibilita:

• Melhor controle da fissuração, podendo até eliminá-la

• Melhor aproveitamento das características do concreto

• Uso de aços de alta resistência, sem os problemas de fissuração do concreto

• Execução de estruturas mais leves

• Redistribuição de esforços nas estruturas

• Montagem de elementos pré-moldados para constituir estruturas monolíticas

• Utilização mais eficiente de materiais de maior resistência

• Redução da incidência de fissuras, melhor proteção da armadura

• Melhor resistência aos esforços tangenciais

• Utilização plena do concreto na seção resistente

• Redução das quantidades de concreto e aço; redução do peso próprio

• Favorecimento da aplicação de técnicas de pré-moldagem

• Realização, em certos casos, de testes de resistência dos elementos estruturais

• Realização da união de elementos para compor estruturas monolíticas

• Melhor controle de qualidade dos materiais

• Cuidados especiais de proteção contra corrosão das armaduras

• Melhor controle de execução

• Equipamentos especiais e mão-de-obra especializada para execução da protensão

• Projeto mais elaborado e especializado

Tecnologia mais requintada, requer:

Custo mais elevado em obras de pequeno porte ou de baixa produção

Fatores Concreto

Armado Concreto

Protendido Relação CP/CA Resistência do

concreto (MPa)

~20 ~40 ~2

Lim.escoamento

do aço (MPa)

250~600 ~1.500 6~2,5

concreto

~1,3

Preço/kg de

aço colocado

2~3

Propriedades do concreto endurecido

Propriedades do concreto fresco

•Resistência aos 28 dias e na data de protensão

•Módulo de elasticidade

•Tipo de cimento

•Retração e fluência

•Durabilidade

•Consistência/trabalhabilidade

•Coesão

•Tempo de pega do cimento

NOTAS:

1.O concreto empregado na execução de estruturas deve cumprir com os requisitos estabelecidos na NBR 12655.

2.CA corresponde a componentes e elementos estruturais de concreto armado.

3.CP corresponde a componentes e elementos estruturais de concreto protendido.

≥C40

≥C35

≥C30

≥C25 CP

≥C40

≥C30

≥C25

≥C20 CA

Classe de concreto (NBR 8953)

≤0,45

≤0,50

≤0,55

≤0,60 CP

≤0,45

≤0,55

≤0,60

≤0,65 CA

Relação água/cimento

em massa

IV III

II I

Classe de agressividade (Tabela 6.1 da NBR 6118) Tipo

Concreto

Tabela 2.1- Correspondência entre classe de agressividade e qualidade do concreto

(Tabela 7.1 da NBR 6118)

2 5 13 15

t _Tmax = 8 horas Tmax= 75

T = 23 0 T (ºC)

tciclo= 13 horas

Horas

2 5 13 15

t _Tmax = 8 horas Tmax= 75

T = 23 0 T (ºC)

tciclo= 13 horas

Horas

0 2 max 3 Tmax c

10) + (T

10) + .(T 2 t +

=t M

Fórmula da Maturidade, para cura a vapor:

M.E. Velasco, apudA.C. Vasconcelos ("Manual Prático para a Correta Utilização dos Aços no Concreto Protendido", LTC, 1980),

•em geral, são aços de elevada resistência, sem patamar de escoamento

Tipos e apresentação

•Fios trefilados de aço carbono, diâmetro de 3 - 8 mm, fornecido em rolos ou bobinas

•Cordoalhas: fios enrolados em forma de hélice, com 2, 3 ou 7 fios

•Barras de aço-liga de alta resistência, laminadas a quente, diâmetro maior que 12mm, comprimento limitado

(ex. sistema Dywidag)

•Cordoalhas engraxadas:

com camada de graxa e revestimento de polietileno de alta densidade extrudado

Modalidades de tratamento

•Aços aliviados ou de relaxação normal (RN)

•Aços estabilizados ou de relaxação baixa (RB)

Designação dos aços de protensão Exemplo:

concreto protendido

resistência à ruptura

tipo de relaxação

Propriedades mecânicas

•f

= resistência à ruptura característica

•f

= resistência de escoamento característica

(corresponde a deformação residual de 0,2% após descarga) Para fios trefilados e cordoalhas,

o limite de escoamento convencional é aproximadamente igual à tensão correspondente à deformação de 1%.

E

= valor médio do módulo de elasticidade

Para fios: 210.000 MPa Para cordoalhas: 195.000 MPa

fptk

f_pyk fpel≅0,7fpyk

0,2% ~1%

Características do cabo Freyssinet de 12φ12,5

Ancoragem do cabo Freyssinet de 12φ12,5

Equipamento de tração e operação de protensão

Sistema de monocordoalhas engraxadas

Cordoalhas dispostas na obra Elementos da ancoragem

Cordoalha ancorada Equipamento de tração

Dimensionamento de um elemento pré-fabricado de concreto protendido

Roteiro para elaboração do trabalho prático 1. Descrição do elemento estrutural

1.1. Nome do elemento

1.2. Função e relação com outros elementos do sistema construtivo 1.3. Dados da seção transversal e seção longitudinal

1.4. Ações sobre o elemento 1.5. Outros dados relevantes

2. Descrição do processo de fabricação e montagem 2.1. Sistema de protensão

2.2. Pista de fabricação/fôrmas

2.3. Posicionamento da armadura/pré-tração 2.4. Lançamento e adensamento do concreto

2.5. Cura

2.6. Transporte interno à fábrica 2.7. Estocagem

2.8. Transporte externo à fábrica 2.9. Montagem e fixação dos elementos 2.10. Principais equipamentos 2.11. Outros dados relevantes 3. Materiais empregados 3.1- Concreto

a) Características gerais de qualidade do concreto: durabilidade, resistência, deformabilidade, etc.

b) Resistência característica à compressão aos 28 dias e na data de protensão

c) Resistência característica à tração aos 28 dias e na data de protensão

d) Módulo de deformação longitudinal

e) Outros dados: relação água/cimento máxima, tipo de cimento, tipos de agregados, aditivos, adições minerais, etc.

f) Controle de qualidade

3.2- Aço de protensão a) Características gerais

b) Resistências características à ruptura e ao escoamento c) Módulo de elasticidade real ou aparente

d) Tipo de relaxação e) Forma de apresentação f) Cuidados no armazenamento g) Controle de qualidade 3.3- Aço comum (fios, barras e telas) a) Características gerais

b) Resistência característica ao escoamento c) Módulo de elasticidade

d) Forma de apresentação e) Cuidados no armazenamento f) Controle de qualidade

4. Características geométricas e mecânicas da seção transversal 4.1- Características da seção bruta de concreto

4.2- Características da seção homogeneizada A ser atualizada após o cálculo da armadura

5. Cálculo de esforços e tensões de referência (Estádio I) Determinação de esforços e tensões para todas as ações previstas em

projeto, separadamente.

6. Cálculo da força de protensão e da armadura ativa a) Estimativa da força de protensão

b) Cálculo da seção transversal da armadura ativa

c) Recálculo da força inicial Pi, da força ancorada Pa e da força instalada no concreto P0, com a armadura efetivamente empregada.

d) Cálculo das perdas progressivas e da força de protensão P 7.Verificação de tensões na seção mais solicitada

(Estados Limites de Serviço)

a) Consideração de todas as fases de fabricação e da vida útil do elemento, e estabelecer as combinações possíveis de ações.

b) Verificação dos estados limites de utilização.

8. Verificação de tensões ao longo do vão

Consideração de duas combinações extremas, mais desfavoráveis de ações e verificação das tensões de referência por meio de processo gráfico.

9. Estado Limite Último - Solicitações Normais a) Verificação da segurança.

b) Disposição da armadura passiva complementar.

10. Estado Limite Último - Solicitações Tangenciais a) Verificação da segurança.

b) Disposição da armadura passiva complementar.

11. Especificações e detalhes construtivos

Desenhos esquemáticos da armadura, outras especificações de produção, transporte e montagem.

Bloco de fundação, vigas-baldrame

Viga-calha, telha W, vigas intermediárias de pórtico

Telhas W Detalhes de montagem e forro

suspenso

R = 0

R = 0

R ≠0

R ≠0 R ≠0

R ≠0

- sistema autoequilibrado - não há “forças de coação”

- sistema estaticamente indeterminado - reações de apoio são

“forças de coação”

Um elemento é dito de concreto protendido quando está submetida a um sistema de forças especial

e permanentemente aplicadas, chamadas de forças de protensão ...

Entretanto, as forças de protensão, conquanto devam ser permanentes, elas estão sujeitas a

variações de intensidade para maiores ou menores valores.

Perda de protensão: diminuição da intensidade da força de protensão ao longo da armadura

e ao longo do tempo.

Como a retração e a fluência do concreto podem causar perda de protensão?

•O que é a retração do concreto?

•O que é a fluência do concreto?

•Quais são os principais fatores influentes nesses fenômenos?

Perdas por retração e fluência do concreto

Efeito da retração e da fluência do concreto

εc

tempo

t₀ t

0

εc,s+c(∞,t0)

εe(elástica imediata) εcs(retração)

CARREGAMENTO

εccd(fluência) εc

tempo

t₀ t

0

εc,s+c(∞,t0)

εe(elástica imediata) εcs(retração)

CARREGAMENTO

εccd(fluência)

∆L(t,t0)

∆P(t,t₀)

∆L(t,t0)

∆P(t,t₀)

Resiliência da força de protensão

(“efeito de mola”)

Ap (aço de alta resistência)

As (aço de baixa resistência) Ap (aço de alta

resistência)

As (aço de baixa resistência) As (aço de baixa resistência)

σp

εp 0

arc tg E_p σs,lim

σp,lim

εp,lim

εs,lim

∆L_s/L

∆Lp/L

~∆ε_c

~∆ε_c σ_s,∞

σ_p,∞

σp

εp 0

arc tg E_p σs,lim

σp,lim

εp,lim

εs,lim

∆L_s/L

∆Lp/L

~∆ε_c

~∆ε_c σ_s,∞

σ_p,∞

Relaxação e fluência do aço de protensão

σp

t 0

σpi

σp∞

L = constante σ= variável RELAXAÇÃO

σp

t 0

σpi

σp∞

L = constante σ= variável RELAXAÇÃO

εp

t 0

ε_p0 εp∞

L = variável

σ= constante FLUÊNCIA

∆L εp

t 0

ε_p0 εp∞

L = variável

σ= constante FLUÊNCIA

∆L

Deformação imediata do concreto

Acomodação das ancoragens

Atrito nos cabos

Método semi-probabilístico de Estados Limites, conforme NBR-8681 e NBR-6118 (NB-1)

Estados limites últimos

Principais estados limites últimos:

•Ruptura

•Deformação plástica excessiva

•Instabilidade elástica

•Outros estados limites últimos

"Estados a partir dos quais a estrutura apresenta desempenho inadequado às finalidades da construção".

Estados limites de uma estrutura

"Estados que, pela sua simples ocorrência determinam a paralisação, no todo ou em parte, do uso da construção".

"Estados que, por sua ocorrência, repetição ou duração, causam efeitos estruturais que não respeitam as condições especificadas para o uso normal da construção, ou que são indícios de comprometimento da durabilidade da estrutura".

Estados limites de serviço

Principais estados limites de serviço:

“Estado no qual em um ou mais pontos da seção transversal a tensão normal é nula, não havendo tração no restante da seção.”

•Descompressão

+

- M_ext e_p

P

+

0 +

- = -

(P) (M_ext)

•Abertura das fissuras

•Formação de fissuras

“Estado em que se inicia a formação de fissuras. Admite-se que este estado limite é atingido quando a tensão de tração máxima na seção transversal for igual a fct,f.”

•fct,f= 1,2 fctkpara elementos estruturais de seção T ou duplo T;

•fct,f = 1,5 fctkpara elementos estruturais de seção retangular.

“Estado em que as fissuras se apresentam com aberturas iguais aos máximos especificados na seção 13 (ver 13.4.2 e 17.3.2).”

•Deformação excessiva

•Compressão excessiva

“Estado em que as deformações atingem os limites estabelecidos para a utilização normal dados na seção 13 (ver 13.4.2 e 17.3.2).”

“Estado em que as tensões de compressão atingem o limite convencional estabelecido. Usual no caso do concreto protendido

na ocasião da aplicação da protensão.”

(o limite de compressão excessiva é estabelecido para evitar microfissuração por compressão)

Combinação quase-permanente de utilização

Combinação freqüente de utilização

Combinação rara de utilização F

F

F

1 j 2,j Qj,k m

1 i Gi,k uti

,

d

= ∑ + ∑ ψ

=

=

F

F F

F

2

j 2,j Qj,k k

Q1, 1 m

1 i Gi,k uti

,

d

= ∑ + ψ + ∑ ψ

=

=

F

F F

F

2 j 1j, Qj,k k

Q1, m

1 i Gi,k uti

,

d

= ∑ + + ∑ ψ

=

=

Protensão completa

•Comb. freqüente: E.L. Descompressão

•Comb. rara: E.L. Formação de Fissuras Protensão limitada

•Comb. quase-permanente: E.L. Descompressão

•Comb. freqüente : E.L. Formação de Fissuras Protensão parcial

•Comb. freqüente : E.L. de Abertura de Fissuras De modo geral:

NOTAS:

1. As definições de ELS-W, ELS-F e ELS-D encontram-se no item 3.2 (da NBR 6118).

2. Para as classes de agressividade ambiental CAA-III e IV exige-se que as cordoalhas não aderentes tenham proteção especial na região de suas ancoragens.

1)A critério do projetista, o ELS-D pode ser substituído pelo ELS-DP com ap= 25 mm (figura 3.1 da NBR 6118).

Combinação freqüente ELS-D¹⁾

Combinação rara ELS-F

Verificar as duas condições abaixo Pré tração com CAA III e IV

Concreto protendido nível 3 (protensão completa)

Combinação quase permanente ELS-D¹⁾

Combinação freqüente ELS-F

Verificar as duas condições abaixo Pré tração com CAA II

ou Pós tração com CAA III e IV Concreto protendido nível

2 (protensão limitada)

Combinação freqüente ELS-W wk ≤0,2 mm

Pré tração com CAA I ou Pós tração com CAA I e II Concreto protendido nível

1 (protensão parcial)

ELS-W w_k ≤0,2 mm CAA IV

ELS-W wk ≤0,3 mm CAA II a CAA III

Combinação freqüente ELS-W wk ≤0,4 mm

CAA I Concreto armado

-- Não há

CAA I a CAA IV Concreto simples

Combinação de ações em serviço a utilizar Exigências relativas à

fissuração Classe de agressividade

ambiental (CAA) e tipo de proteção Tipo de concreto

estrutural

Tabela 4.4– Exigências de durabilidade relacionadas à fissuração e à proteção da armadura, em função das classes de agressividade ambiental (Tabela 13.3 da NBR 6118)

Escolha do nível de protensão pelo critério da durabilidade

Classes de agressividade ambiental

Estimativa da força de protensão P

EXEMPLO DE PROTENSÃO LIMITADA

p 0 1 q 1 2 2 g 1 1 g

1 +σ +ψσ +σ =

σ _∞

- -

-_{1g1 1g2 2 1q} p

1 = σ σ ψσ

σ

⇒ _∞

W e . P A P

1 p est , c est p ,

1 ∞ ∞

∞= +

σ

⇒

P

(valor A)

y1 y2 ep

-

+ + +

+

- -

-

-

σ_1g1 σ_1g2 σ_1q σ_1p∞,est

σ_2p∞,est

σ_1s σ_2s 0,7 f_ck

0 σ_2q

σ_2g2 σ_2g1

Ψ2

+ + + =

a) Combinação quase-permanente

Na borda inferior:

) f 1,2 (ou f

1,5_{tk tk}

p 1 q 1 1 2 g 1 1 g

1 +σ +ψσ +σ =

σ _∞

- - - f

1,5_{tk 1g1 1g2 11q} p

1 = σ σ ψσ

σ

⇒ _∞

W e . P A P

1 p est , c est p ,

1 ∞ ∞

∞= +

σ

⇒

P

(valor B)

b) Combinação freqüente

Na borda inferior:

y1 y2 ep

-

+ + +

+

- -

-

-

σ_1g1 σ_1g2 σ_1q σ_1p∞,est

σ_2p∞,est

σ_1s σ_2s 0,7 f_ck σ_2q

σ_2g2 σ_2g1

Ψ1

+ + + =

+

1,5 f_tk(seção retangular) ou 1,2 f_tk(seção T ou similar)

(ou 1,2 ftk)

Estimativa da força de pré-tração P

a) dos valores A e B de P

, escolhe-se o de

maior valor absoluto;

b) arbitra-se um valor de perda de protensão total

∆P

entre 20% e 30%;

c) calcula-se P

em função de P

.

arb est est ,

,i 1 - P

P P

= ^∞ ∆

Por ocasião da aplicação da força de pré-tração P

:

σ

≤

σ

≤

0,77 f

0,90 f

0,77 f

0,85 f

(para aços da classe RN)

(para aços da classe RB)

Cálculo da armadura ativa necessária Considerando o valor limite da tensão na armadura

de protensão σ

:

lim pi,

est est ,i ,

p P

A = σ

Consultando-se as tabelas disponíveis de aço para protensão, escolhe-se o número de fios ou cordoalhas:

A

= n (fios ou cordoalhas)/aço CP-XXX/RN ou RB P

≅ A

. σ

.0,97

Valor a ser adotado para os cálculos subseqüentes

Valores representativos da força de protensão (caso de pré-tração)

∆Ppr2= por relax. posterior/armadura

∆P_cs2= por retração posterior/concreto

∆P_cc = por fluência do concreto estiramento

da armadura

início da retração do concreto

aplicação da protensão ao concreto t0

t-1

t-2 Tempo t

P (força na armadura) Pi

P_a

P₀

P∞

∆P_anc= por acomodação da ancoragem

∆P_pr1= por relaxação inicial da armadura

∆P_cs1= por retração inicial do concreto

∆P_e= por deformação imediata do concreto

∆P_pr1 + ∆P_cs1

∆P_pr2+ ∆P_cs2+ ∆P_cc

Pt

Perdas de protensão a) perda por acomodação das ancoragens

•escorregamento dos fios ou cordoalhas:

caso de cunhas de aço: ~6 mm;

•acomodação da estrutura das cabeceiras:

depende de cada instalação;

•perda relativa: depende do alongamento da armadura de protensão/comprimento da pista b) perda por retração inicial do concreto

•depende das propriedades do concreto e das

condições de cura: em geral pode ser desprezada

nos casos usuais de produção em pistas.

c) perda por relaxação inicial e posterior da armadura de protensão

pi 0

0 pr

( ,t t )

) t

(t, σ

σ

= ∆ ψ

15 , 0 0 1000

0

1000

t - t

) t

(t, 



 

 ψ 

= ψ

d) perda por deformação imediata do concreto (caso de armadura concentrada em uma fibra)

y1 y2

ep

+

- σ_cp P_i

W e . P A

P

p2 i h

cp

=

+

σ

. A .

p

= σ + α σ

σ

P

= A

. σ

e) perdas progressivas (relaxação posterior do aço, retração posterior e fluência do concreto)

Cálculo simplificado (NBR 6118)/ver restrições

•para aços RN:

•para aços RB:

) - 3 ( ) t , 47 ( 18,1 100

.

0 p

r s c ,

p

α φ ∞ σ

+ σ =

σ

∆

) - 3 ( ) t , 18,7 ( 7,4 100

.

0 p

r s c ,

p

α φ ∞ σ

+ σ =

σ

∆

(para cálculo mais preciso, é preciso aplicar

o método geral conforme a NBR 6118)

Revisão do método de cálculo da protensão

Cálculo das tensões normais causadas pelas ações externas

Estimativa da força de protensão

P

Cálculo da força de pré-tração

P

Cálculo da armadura ativa

A

Cálculo de

P

Cálculo de

P

Cálculo de

P

Cálculo de

P

escolha do tipo de protensão

perda total de protensão arbitrada

tensões limites na armadura

∆Panc+ ∆Ppr1+ ∆Pcs1

∆Pe

∆P_pr2+ ∆P_cs2+ ∆P_cc

(considerar todas as combinações possíveis de ações)

Exemplos:

•g

+ P

: transferência da força de protensão

•g

+ 0,8 P

: transporte/redução do efeito do p.p.

•g

+ 1,3 P

: transporte/aumento do efeito do p.p.

•g

+ g2 + P

: montagem/utilização cedo

•g

+ g2 + P

: montagem/utilização tarde

•g + ψ

q + P

: combinação quase-permanente

•g + ψ

q + P

: combinação freqüente

•g + q + P

: combinação rara

•outras combinações, caso a caso.

Processo das curvas limites

Exemplo básico: viga simplesmente apoiada

a) estado em vazio: g1+ P0

Atuam peso próprio e protensão antes das perdas progressivas ("pouca" carga e "muita" protensão).

b) estado em serviço: g + q + P_∞

Atuam todas as cargas permanentes variáveis ("muita" carga e

"pouca" protensão).

Limitações às tensões provocadas

pela protensão

1. Limitações de tensões para o estado em vazio Numa seção qualquer ao longo da peça:

Na borda inferior: Na borda superior:

(I) -

= +

1g1 lim 1v,

lim 1v, 1v 1g1

σ σ

≥ σ

⇒

σ

≥ σ σ σ

0 p 1 0 p 1

(II) -

= +

2g1 lim 2v,

lim 2v, 2v 2g1

σ σ

≤ σ

⇒

σ

≤ σ σ σ

0 p 2 0 p 2

2. Limitações de tensões para o estado em serviço Também numa seção qualquer ao longo da peça:

Na borda inferior: Na borda superior:

(III) - -

= + +

1q 1g lim 1s,

lim 1s, 1s 1q 1g

σ σ σ

≤ σ

⇒

σ

≤ σ σ σ σ

∞

∞ p 1 p 1

(IV) - -

= + +

2q 2g lim 2s,

lim 2s, 2s 2q 2g

σ σ σ

≥ σ

⇒

σ

≥ σ σ σ σ

∞

∞ p 2 p 2

3. Curvas limites para as tensões devidas à protensão

(Ia)

(IIa)

(IIIa)

(IVa)

Curva limite para a borda inferior, em vazio)

Curva limite para a borda superior, em vazio)

Curva limite para a borda inferior, em serviço)

Curva limite para a borda superior, em serviço) Dividindo ambos os membros das equações I, II, III e IV pela respectiva tensão devida à protensão no meio do vão (σ_1p0,mou σ_2p0,m, para a borda inferior ou superior em vazio, e σ1p∞,mou σ2p∞,m, para a borda inferior ou superior em serviço) :

1v m 1p0,

1g1 lim 1v, m , po 1

0 p

1 - C

σ ⇐ σ

≤σ σ

σ

2v m 2p0,

2g1 lim 2v, m , po 2

0 p

2 - C

σ ⇐ σ

≤σ σ

σ

1s m , 1p

1q 1g lim 1s, m , p 1 p

1 - - C

σ ⇐ σ σ

≥σ σ

σ

∞

∞

∞

2s m , 2p

2q 2g lim 2s, m , p 2

p

2 - - C

σ ⇐ σ σ

≥σ σ

σ

∞

∞

∞

0 1 2 3 4 5 6 cordoalhas

C_2s

C_1s

C2v

C_1v 1/6

1

σp σ_p,m

0 1 2 3 4 5

6 cordoalhas

C_2s

C_1s

C2v

C_1v 1/6

1

σp σ_p,m

4. Exemplo de aplicação do processo das curvas limites

A verificação do

Estado Limite de Serviço...

...não dispensa a verificação do Estado Limite Último.

1. Estado Convencional de Neutralização (NBR 6118)

Força de neutralização Pn= P + ∆P (na armadura ativa) Deformação na armadura ativa sujeita a Pn→ε_pn= pré-alongamento

Pré-alongamento é a deformação da armadura ativa quando o concreto está sem tensões, ou seja, neutralizado (conceito a ser ainda melhor explicitado) p

p

pn A nE

= P ε

P+∆P

P+∆P P

P σ_cp

σ_c = 0

daí:

Como se trata de verificação do Estado Limite Último, devemos trabalhar com os valores de cálculo, e portanto, introduzir os coeficientes de segurança:

Para anular as tensões no concreto, é preciso impor à armadura ativa uma deformação adicional igual à deformação do concreto correspondente a σ_cp, na altura do CG desta mesma armadura ativa:

cp p p cp p p c cp

p E

-1

= | E |

= 1 E

|

=|σ α σ α σ

ε

∆

cp p p cp p p

n=P+ A | |=P- A

P α σ α σ

p p pn A nE

= P ε

Portanto, com γ_p= 0,9:

P_d= 0,9 P∞ e

I e A P 1 0,9

c p2

c

cpd 











 +

=

σ _∞

cpd p p d nd = P - A

P α σ

Interpretação do física do pré-alongamento

Portanto, o pré-alongamento corresponde à deformação da armadura ativa quando o concreto, na altura do CG da armadura ativa, está com tensão nula.

Casos de deformação

Hipóteses de cálculo

Casos de protensão com aderência e sem aderência

Comportamento geral de uma viga protendida

1.Calcula-se o valor do pré-alongamento ε_pnd;

2. Arbitra-se um valor de tensão na armadura (σ_pd,arb), em geral entre fpyde fptdna primeira tentativa;

3. Determina-se a posição da linha neutra, com a condição de equilíbrio de forças (Rcc= Rpt);

4. Determina-se a deformação adicional (σ_p1d) na armadura, correspondente às deformações posteriores ao estado de neutralização, de acordo com o diagrama de deformações;

5. Determina-se a deformação total de cálculo, somando-se a calculada no item anterior com o pré-alongamento (ε_pd= ε_p1d+ ε_pnd); em seguida, determina-se, de acordo com o diagrama tensão-deformação do aço empregado, a tensão na armadura σ_pd,cal.

Roteiro de cálculo pelo processo das tentativas

6. Se o valor σ_pd,calfor suficientemente próximo ao valor adotado σ_pd,arb, então calcula-se o valor do momento resistente; caso contrário, arbitra-se um novo valor e repete-se o processo até se chegar a uma aproximação satisfatória;

7. Uma vez determinada a tensão na armadura, calcula-se o valor do momento resistente:

Mud= Rcc. z = Rpt. z

onde z é o braço de alavanca (distância entre o centro de pressão na zona comprimida e o centro de gravidade da armadura de tração).

8. A condição de segurança estará satisfeita se:

Mud ≥Md

Processo de tentativas com arbitragem da posição da linha neutra Ao invés de se arbitrar a tensão na armadura, pode-se arbitrar valores da posição da linha neutra, e calcular as resultantes de compressão no concreto e de tração na armadura, até que se atinja uma situação em que os valores obtidos sejam suficientemente próximos.

Arbitrar um valor de tensão na armadura

Equação de equi- líbrio: determinar a posição da linha neutra Equação de compati-

bilidade: determinar a deformação da

armadura ativa

Determinar a tensão na armadura ativa: diagrama real ou simplificado

Tensão calculada é próxima

da tensão arbitrada?

Calcular momento fletor resistente e comparar mo- mento de cálculo Segurança

é satisfatória?

Início Dados: esforços,

geometria, armadura

NÃO NÃO

SIM

SIM

Deformação totaL da armadura ativa:

somar pré- alongamento

FIM Calcular arma-

dura passiva ou modificar a seção

Calcular pré-alongamentoo

A protensão melhora também a resistência às solicitações

tangenciais,

em particular

a resistência

à força

cortante.

Influência da fissuração do banzo tracionado

Inclinação do cabo resultante junto aos apoios de uma viga

Efeito de cabos inclinados

Bainhas na alma

Quando houver bainhas com diâmetro maior que bw/8:

bw,ef= bw-Σφ₀/2

onde φ₀= diâmetro das bainhas alinhadas na alma

Devem ser verificadas simultaneamente as seguintes condições:

VSd< VRd2

VSd< VRd3= Vc+ Vsw

onde:

VSdé a força cortante solicitante de cálculo, na seção;

VRd2é a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais comprimidas de concreto, conforme 17.4.2.2 ou 17.4.2.3;

VRd3= Vc+ Vsw, é a força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína por tração diagonal;

Vcé a parcela de força cortante absorvida por mecanismos complementares ao de treliça;

Vswa parcela absorvida pela armadura transversal, conforme 17.4.2.2 ou 17.4.2.3.

(conforme 17.4.2.1/NBR 6118)

17.4.2.2 Modelo de cálculo I

Diagonais de compressão inclinadas de θ=45° e Vc constante, independente de VSd.

a) verificação da compressão diagonal do concreto VRd2= 0,27 av2fcdbwd

sendo: av2= (1 - fck/250) b) cálculo da armadura transversal Vsw= (Asw/s) 0,9 d fywd(senα+ cosα) sendo:

Vc= 0 nos elementos estruturais tracionados quando a linha neutra se situa fora da seção;

Vc= Vc0na flexão simples e na flexo-tração com a linha neutra cortando a seção;

Vc= Vc0(1+ Mo/MSd,máx) ≤2Vc0 na flexo-compressão Vc0= 0,6 fctdbwd

fctd= fctk,inf/γ_c

onde:

b_w= menor largura da seção, ao longo da altura útil d; no caso de elementos estruturais protendidos, quando existirem bainhas injetadas com diâmetroΦ>

b_w/8, a largura resistente a considerar deve ser (b_w- 1/2ΣΦ);

d = altura útil da seção; no caso de elementos estruturais protendidos com cabos distribuídos ao longo da altura, d não precisa ser tomado com valor menor que 0,8h;

s = espaçamento entre elementos da armadura transversal A_sw,;

f_ywd= tensão na armadura transversal passiva, limitada ao valor f_ydno caso de estribos e a 70% desse valor no caso de barras dobradas, não se tomando, para ambos os casos, valores superiores a 435 MPa;

α= ângulo de inclinação da armadura transversal em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural, podendo-se tomar 45°≤ α ≤90°;

M₀= momento fletor que anula a tensão normal de compressão na borda da seção (tracionada por M_d,max), provocada pelas forças normais de diversas origens concomitantes com V_Sd, sendo essa tensão calculada com valores de γ_fe γ_piguais a 0,9;

M_Sd,max= momento fletor de cálculo, máximo no trecho em análise, que pode ser tomado como o de maior valor no semitramo considerado.

17.4.2.3 Modelo de cálculo II

Diagonais de compressão inclinadas de θ, com θvariável livremente entre 30°e 45°. Admite ainda que a parcela complementar V_csofra redução com o aumento de V_Sd.

a) verificação da compressão diagonal do concreto V_Rd2= 0,54 a_vf_cdb_wd sen²θ(cotgα+ cotgθ) com: α_v = (1- f_ck/250) e f_ckem megapascal.

b) cálculo da armadura transversal V_sw= (A_sw/ s)0,9 d f_ywd(cotgα+ cotgθ) senα sendo:

V_c= 0, em elementos estruturais tracionados quando a linha neutra se situa fora da seção;

V_c= V_c1, na flexão simples e na flexo-tração com a linha neutra cortando a seção;

V_c= V_c1(1+ M₀/ M_Sd,máx) < 2V_c1na flexo-compressão , com:

V_c1= V_c0quando V_Sd≤V_c0

V_c1 = 0, quando V_Sd=V_Rd2, interpolando-se linearmente para valores intermediários.

Armadura mínima

17.4.1.1.1 Todos os elementos lineares submetidos a força cortante, à exceção dos casos indicados em 17.4.1.1.2, devem conter armadura transversal mínima constituída por estribos, com taxa geométrica:

onde:

Aswé a área da seção transversal dos estribos;

s é o espaçamento dos estribos, medido segundo o eixo longitudinal do elemento estrutural;

αé a inclinação dos estribos em relação ao eixo longitudinal do elemento estrutural;

bwé a largura média da alma, medida ao longo da altura útil da seção, respeitada a restrição indicada em (17.4.1.1.2).

ywk ctm w

sw sw

f 2f , sen 0 . s . b

A ≥

= α ρ