17 a 21 de Mayo de 2004
Facultad de Ingeniería. Universidad Nacional de Cuyo. Mendoza. Argentina.
Jornadas Sud-Americanas de Ingeniería Estructural
DETERMINAÇÃO DA GEOMETRIA E DA CONFIGURAÇÃO ÓTIMAS EM TRELIÇAS METÁLICAS DE BANZOS PARALELOS
Moacir Kripka e Gilnei A. Drehmer
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Universidade de Passo Fundo
Campus Bairro São Jose, 99001-970 Passo Fundo, RS - Brasil
mkripka@upf.br
RESUMO
A aplicação da otimização à resolução de problemas práticos de engenharia estrutural tem sido pouco verificada na literatura, apesar do grande desenvolvimento das técnicas. Uma das principais razões normalmente apontadas consiste na complexidade do modelo gerado, descrito por funções de comportamento não-linear e gerando um espaço de soluções não-convexo, sendo ainda comum que as variáveis de projeto possam assumir apenas valores discretos. Para a resolução de problemas com estas características, os métodos tradicionais de programação matemática têm se mostrado pouco eficientes, razão pela qual as heurísticas vêm conquistando um crescente espaço, uma vez que envolvem apenas valores das funções no processo, não importando se existe unimodalidade ou mesmo continuidade nas derivadas das funções envolvidas. O presente trabalho apresenta a aplicação de um método heurístico, o Método do Recozimento Simulado (Simulated Annealing) à otimização de treliças metálicas compostas por perfís laminados, dimensionados segundo a Norma Brasileira NBR-8800/86. Inicialmente foram analisadas diversas configurações usuais de treliças planas de banzos paralelos, buscando-se identificar a que conduzisse ao menor peso. Na seqüência, as coordenadas do banzo superior foram também incluídas como variáveis de projeto, com o objetivo de verificar as relações entre vão e altura normalmente indicadas na literatura como as mais econômicas. Diversas estruturas analisadas são apresentadas, bem como resultados obtidos a partir das análises efetuadas.
1. INTRODUÇÃO
A análise e o dimensionamento de estruturas constituem-se essencialmente em procedimentos iterativos. Devido a essa característica, os valores inicialmente adotados para as variáveis de projeto dependem fundamentalmente da sensibilidade e da experiência anterior do calculista. Ainda assim, quando se trabalha com um número grande de variáveis, o número de combinações cresce de forma exponencial quando se deseja obter os valores que resultem no melhor projeto dentre todas as alternativas, segundo critérios de desempenho ou custo. Descrevendo, no entanto, o problema físico através de funções matemáticas, tem-se nas técnicas de otimização uma poderosa ferramenta na busca de valores extremos para estas funções.
De forma geral, um problema de otimização pode ser formulado como:
minimizar f ( x i ) i = 1, n (1)
sujeito a g j ( x i ) ≤ 0 j = 1, m (2)
h k ( x i ) = 0 k = 1, l (3)
x il ≤ x i ≤ x iu (4)
onde f designa a função objetivo e X = ( x1 , x2 , ... xn ) T consiste no vetor das variáveis de projeto. As demais funções são as chamada restrições do problema (respectivamente, restrições de desigualdade g, de igualdade h e restrições laterais, ou canalizadas, com limite inferior l e limite superior u). As funções envolvidas no problema podem conter as variáveis de projeto de forma implícita ou explícita, com as variáveis podendo assumir valores discretos ou contínuos. Além disso, tanto a função objetivo como as restrições podem ser lineares ou não-lineares.
O principal motivo normalmente atribuído à pouca aplicação das técnicas de otimização a problemas práticos de engenharia estrutural consiste na complexidade dos modelos gerados, descritos por funções não-lineares e gerando com freqüência um espaço de soluções não-convexo (vários pontos de ótimo), problemas para os quais as técnicas de programação matemática têm se mostrado pouco eficientes. Como forma de contornar estas dificuldades, é comum a introdução de uma série de simplificações na formulação do problema. No caso específico da otimização de treliças, tema abordado no presente trabalho, encontram-se como simplificações comuns na literatura técnica: o tratamento das seções transversais dos elementos como variáveis contínuas; a não consideração da flambagem dos elementos comprimidos; a não inclusão de vários casos de carregamento, bem como suas combinações; a inexistência de limites para os deslocamentos, ou a verificação dos elementos com base em tensões admissíveis. Observa-se, no entanto, que a introdução de uma ou mais destas simplificações pode conduzir a valores pouco realistas, os quais necessitarão de uma série de verificações adicionais por parte do usuário, dificultando ou até mesmo inviabilizando a aplicação prática dos resultados obtidos.
Para a resolução de problemas de formulação complexa, os métodos heurísticos vêm desempenhando papel de crescente importância, uma vez que envolvem apenas os valores das funções na análise, não necessitando que estas apresentem certas características como unimodalidade ou mesmo continuidade de suas derivadas. Por outro lado, os métodos heurísticos apresentam como desvantagem a necessidade de um grande número de cálculos da função, além da falta de garantia, para a maioria destes métodos, de que a solução convirja efetivamente para um ponto de ótimo. Dentre os principais métodos heurísticos, vêm sendo verificada a crescente aplicação do método do Recozimento Simulado, ou Simulated Annealing, o qual consiste em um procedimento de busca global desenvolvido em analogia ao processo de recozimento de metais. Dentre as vantagens do método do Recozimento Simulado destaca-se a fácil implementação computacional e o reduzido número de parâmetros de controle, comparativamente aos Algoritmos Genéticos.
O presente trabalho apresenta a aplicação do Método do Recozimento Simulado à minimização do peso de treliças metálicas de banzos paralelos, compostas por perfis laminados. Com esta
finalidade, as seções transversais dos elementos são tratadas como variáveis discretas, e dimensionadas segundo a norma brasileira NBR8800/86 [1]. Em um primeiro momento, algumas configurações usuais são analisadas, buscando-se identificar a que conduz ao menor peso total para um dado carregamento. Na seqüência, as coordenadas do banzo superior foram também incluídas como variáveis de projeto, estudando-se sua influência na redução do peso da estrutura bem como as relações econômicas entre a altura e o vão da treliça.
2. MÉTODO DO RECOZIMENTO SIMULADO (SIMULATED ANNEALING)
As técnicas de otimização normalmente empregadas são baseadas em estratégias descendentes. Nestas, partindo de uma solução inicial, uma nova solução é gerada e seu valor comparado ao valor inicial. Caso se verifique uma redução no valor da função, a solução correspondente a este novo valor é adotada como a solução atual, e o procedimento repetido até que nenhum melhoramento significativo possa ser obtido. A solução final, dependendo das características das funções envolvidas, pode corresponder à melhor solução nas vizinhanças, mas não necessariamente no espaço de busca. Uma estratégia usual para tentar melhorar a solução obtida consiste em se efetuar a análise de um mesmo problema a partir de diversas soluções iniciais, supondo-se que, caso a mesma solução seja obtida a partir destes pontos, esta corresponderá ao mínimo global.
O Método do Recozimento Simulado emprega uma estratégia diferente, ao tentar evitar a convergência para um ponto de mínimo local aceitando também, segundo um critério específico, soluções que acarretem em aumento no valor da função. Este método é reconhecido como um procedimento para a obtenção de boas soluções para problemas de otimização de difícil resolução, desenvolvido em analogia ao processo de recozimento de um sólido, quando se busca a obtenção de um estado que apresente mínima energia. O termo recozimento é dado ao processo de aquecimento de um sólido até seu ponto de fusão, seguido de um resfriamento lento. Neste processo, o resfriamento lento é essencial para a manutenção do equilíbrio térmico no qual os átomos possam se reorganizar em uma estrutura de mínima energia. Caso o sólido seja resfriado de forma abrupta, seus átomos formarão uma estrutura irregular, e portanto fraca. Computacionalmente, o recozimento pode ser visto como um processo estocástico de determinação da organização dos átomos com mínima energia. A altas temperaturas os átomos movem-se livremente podendo, com grande probabilidade, atingir posições que acarretem em aumento na energia do sistema. A redução gradual da temperatura possibilita aos átomos a gradual movimentação no sentido de formarem uma estrutura regular, e a probabilidade de aumento na energia é reduzida.
De acordo com Metropolis et al. [2], a probabilidade de mudança na energia de um sistema é dada por ∆− = ∆ T K . E exp ) E ( p (5)
onde T representa a temperatura do corpo e K a constante de Boltzmann.
A simulação do recozimento como uma técnica de otimização foi originalmente proposta por Kirkpatrick et al. [3], na qual a função objetivo corresponde à energia do sólido. De forma análoga ao recozimento em termodinâmica, o processo inicia com um alto valor de T, para o qual uma nova solução é gerada. Esta nova solução será automaticamente aceita caso gere uma redução no valor da função. Sendo o novo valor maior que o anterior, o aceite se dará de acordo com um critério probabilístico, sendo a função de aceite:
∆− = T f exp p (6)
A nova solução será aceita se p for maior que um número entre zero e um, gerado randomicamente. Para valores altos de T, a maioria das soluções será aceita, sendo T gradualmente reduzido.
3. FORMULAÇÃO E IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL
O presente trabalho apresenta uma formulação para a otimização de treliças planas metálicas compostas por perfis laminados dimensionados segundo a norma brasileira NBR8800/86 [1], bem como alguns dos resultados obtidos a partir de sua implementação computacional. Destaca-se que não é efetuada qualquer verificação das ligações, supondo-se a área líquida de cada seção transversal igual a sua área bruta.
O objetivo da formulação desenvolvida consiste na determinação das seções transversais dos elementos e das coordenadas nodais que conduzam ao menor peso P para a estrutura, atendendo simultaneamente aos estados limites últimos e de utilização. A correspondente função objetivo f é descrita para uma estrutura composta por n elementos como:
min = = ∑ρ = n 1 i i i L A P ) x ( f (7)
sendo Ai e Li , respectivamente, a área da seção transversal e o comprimento do i-ésimo elemento,
sendo este comprimento função das coordenadas dos nós adjacentes ao elemento. O peso específico ρ de cada elemento foi considerado como constante e igual a 77 kN/m3.
Em função da limitação prática da adoção de um mesmo perfil para um conjunto de elementos, bem como pela imposição da manutenção de uma mesma ordenada para um conjunto de nós (por exemplo, no caso de banzos paralelos), o número de variáveis de projeto é drasticamente reduzido em relação ao número total de elementos e nós. Tem-se então que, para a otimização simultânea de geometria e de seções, o conjunto x das variáveis é constituído pelo somatório do número de grupos de elementos com o número de grupos de nós móveis. No caso do programa desenvolvido, os valores para as possíveis seções transversais de um grupo de elementos são escolhidos a partir de uma tabela de perfis previamente fornecida pelo usuário, constituindo portanto um conjunto de variáveis discretas. As coordenadas nodais também foram tratadas como discretas, podendo assumir valores múltiplos de 1 centímetro, dentro de um intervalo limitado pelo usuário.
O problema abordado está sujeito às seguintes restrições [1], expressas na forma normalizada como: g1 = 1 0 R S d d − ≤ (8) g2 = 1 0 lim ≤ − λ λ (9) g3 = 1 0 lim ≤ − δ δ (10)
sendo: Sd o máximo esforço de cálculo em cada grupo de elementos; Rd a máxima resistência de
cálculo da seção de cada grupo, considerada a menor entre as resistências ao escoamento da seção bruta e à ruptura da seção líquida, para elementos tracionados, e flambagem local e global para
elementos comprimidos; λ a esbeltez do elemento; λlim a esbeltez admissível do elemento
última restrição, relativa ao estado limite de utilização, como os deslocamentos em cada nó e seus correspondentes limites. Nos casos de mais de uma combinação de carregamentos, o número total de restrições do problema é multiplicado pelo número de combinações.
A formulação apresentada foi implementada pela associação do Método do Recozimento Simulado com o Método dos Deslocamentos para análise de estruturas reticuladas. A consideração das restrições na implementação computacional foi efetuada pela utilização de um fator de penalização dinâmica, mais exatamente a penalidade annealing [4]. De forma similar ao método do recozimento simulado, o fator de penalização possui alta temperatura inicial, e portanto a penalização é relativamente baixa. À medida em que a temperatura é reduzida, menores violações são permitidas, de forma que ao final do processo apenas soluções factíveis (que atendem às restrições) são aceitas. A função penalizada F(x) é escrita como:
F(x) = f(x)+φ(x) (11) onde φ g(x)2 T 2 1 ) x ( ∑ = (12)
Na expressão anterior, φ(x) é a função de penalização das restrições não atendidas para a solução atual. Segundo esta, ainda que o problema parta de soluções não factíveis, pequenas violações às restrições são aceitas. Desta forma, o problema torna-se pouco dependente da solução inicial (valores iniciais atribuídos às seções transversais e às coordenadas nodais dos nós móveis).
4. EXEMPLOS DE ANÁLISE 4.1. Dados Gerais
Apresenta-se na seqüência algumas análises efetuadas a partir da implementação da formulação desenvolvida. Apesar da generalidade da formulação, os exemplos foram desenvolvidos com o intuito de se estudar a configuração e a geometria ótimas de treliças planas de banzos paralelos. Inicialmente buscou-se identificar, dentre algumas configurações usuais, a que conduzisse ao menor peso total. Em seguida, foram incluídas também as coordenadas dos nós do banzo superior como variáveis de projeto. Por fim, para uma das configurações, é apresentada a relação obtida entre a altura e o comprimento do vão, de modo a ratificar as relações normalmente sugeridas como as mais econômicas.
Todas as estruturas analisadas possuem diversas características em comum. Os estudos partiram de treliças isostáticas com vão total de 9,00 metros e distância entre banzos de 1,00 metro. As cargas foram aplicadas nos nós superiores, distando de 1,50 metros entre si (Figura 1).
Para a composição do carregamento foram consideradas as ações concentradas nos nós com os seguintes valores: carga permanente G=1,2 kN, sobrecarga Q1=2,0 kN e vento Q2=-7,5 kN. Combinações consideradas:
Combinação C1: 1,3G+1,5Q1 ⇒ P=4,56 kN
Combinação C2: 0,9G+1,4Q2 ⇒ P=-9,42 kN
Os elementos foram dimensionados com perfis laminados em forma de dupla cantoneira de abas iguais e opostas. Estes perfis, listados na Tabela 1, compõem um total de 33 seções. As características a serem fornecidas ao programa também estão listadas na Tabela 1. São elas: altura da aba b, espessura t, área da seção transversal do perfil composto A, e momento de inércia em relação ao eixo principal Ix. Cabe ressaltar que foi considerado o travamento fora do plano em todos
os nós. Desta forma, apenas as propriedades em relação ao eixo principal horizontal x-x (Figura 2) são necessárias, não importando a distância a entre cantoneiras.
Tabela 1 - Características dos perfis empregados Número
do perfil Identificação (pol) b (mm) t (mm) A (cm
2) I x (cm4) 1 2L 5/8” x 1/8” 16 3,2 1,92 0,40 2 2L ¾” x 1/ 8” 19 3,2 2,32 0,74 3 2L 7/ 8” x 1/8” 22 3,2 2,70 1.16 4 2L 1” x 1/ 8” 25 3,2 2,96 1,66 5 2L 1.¼” x 1/ 8” 32 3,2 3,86 3,32 6 2L 1” x 3/ 16” 25 4,8 4,38 2,48 7 2L 1.½” x 1/ 8” 38 3,2 4,64 6,60 8 2L 1 ¾” x 1/ 8” 44 3,2 5,40 10,82 9 2L 1.¼” x 3/ 16” 32 4,8 5,54 4,98 10 2L 1” x ¼” 25 6,3 5,66 3,32 11 2L 2” x 1/8” 51 3,2 6,18 15,80 12 2L 1.½” x 3/ 16” 38 4,8 6,84 9,14 13 2L 1.¼” x ¼” 32 6,3 7,22 6,64 14 2L 1. ¾” x 3/ 16” 44 4,8 7,98 14,98 15 2L 1.½” x ¼” 38 6,3 8,90 11,64 16 2L 2” x 3/ 16” 51 4,8 9,16 22,46 17 2L 1. ¾” x ¼” 44 6,3 10,44 19,14 18 2L 2.½” x 3/ 16” 63 4,8 11,60 46,00 19 2L 2” x ¼” 51 6,3 12,12 29,12 20 2L 3” x 3/16” 76 4,8 14,06 80,00 21 2L 2” x 5/16” 51 8,0 14,82 34,96 22 2L 2.½” x ¼” 63 6,3 15,36 58,20 23 2L 3” x ¼” 76 6,3 18,58 100,00 24 2L 2.½” x 5/ 16” 63 8,0 18,96 70,80 25 2L 2” x 3/ 8” 51 9,5 22,32 81,60 26 2L 2.½” x 3/ 8” 63 9,5 22,32 81,60 27 2L 3” x 5/ 16” 76 8,0 22,96 124,00 28 2L 4” x ¼” 102 6,3 25,02 250,00 29 2L 3” x 3/ 8” 76 9,5 27,22 150,00 30 2L 4” x 5/ 16” 102 8,0 30,96 308,00 31 2L 3” x ½” 76 12,7 35,48 182,00 32 2L 4” x 3/8” 102 9,5 37,14 366,00 33 2L 4” x ½” 102 12,7 48,38 466,00
Figura 2 - Perfís utilizados nas análises
Foi empregado aço ASTM A36 (tensão de ruptura Fu = 400 MPa e tensão de escoamento Fy =
250 MPa). Com relação ao Método do Recozimento Simulado, empregou-se em todas as simulações temperatura inicial igual a 100 e fator de redução de temperatura de 0,95.
4.2. Otimização de seção transversal
Empregando as condições de geometria e carregamento descritos, foi aplicado o procedimento proposto para a otimização das seções transversais de treliças segundo as configurações indicadas na Figura 3.
Configuração A
Configuração B Configuração C
Configuração D Configuração E
Configuração F Configuração G
Figura 3 - Configurações analisadas
Num primeiro momento buscou-se identificar, dentre estas configurações, a que conduzisse ao menor peso, considerando o mesmo perfil para todos os elementos (um único grupo de elementos). Os resultados obtidos estão resumidos na Tabela 2, sendo A* a seção transversal ótima para cada configuração, segundo o número do perfil (de acordo com a primeira coluna da Tabela 1) com sua identificação entre parênteses, e P* o peso total correspondente ao perfil ótimo. Também na Tabela
2, o número total de elementos é indicado (n), bem como onde ocorreu o esforço máximo (BS indicando elemento do banzo superior e BI para elemento do banzo inferior).
Tabela 2 - Resultados para um único grupo de elementos
Configuração A* e perfil
correspondente P* (kN) n Máximo Esforço
A 11 (2L 2” x 1/ 8”) 1,7044 25 BS B 11 (2L 2” x 1/ 8”) 1,7044 25 BI C 11 (2L 2” x 1/ 8”) 1,7044 25 BI D 11 (2L 2” x 1/8”) 1,7044 25 BS E 7 (2L 1.½” x 1/ 8”) 1,4291 37 BI F 11 (2L 2” x 1/8”) 1,6655 27 BI G 11 (2L 2” x 1/ 8”) 1,9034 37 BS
Para todas as situações analisadas, os esforços decorrentes da segunda combinação de carregamento foram os determinantes para efeito de dimensionamento dos elementos. Observa-se que, apesar do maior número de elementos, a configuração E gerou o menor peso, devido ao menor comprimento dos elementos do banzo inferior (elementos comprimidos). Para as demais configurações, todas com a mesma seção ótima, o fator determinante para o maior ou menor peso foi apenas o comprimento total dos elementos.
Análise semelhante foi efetuada para as mesmas configurações variando-se o número de grupos de elementos de um até quatro grupos. Os pesos correspondentes são indicados na Tabela 3 da seguinte forma:
-P1*: uma mesma seção para todos os elementos (análises anteriores);
-P2*: uma mesma seção para os banzos e uma para os demais elementos (diagonais e
montantes);
-P3*: uma mesma seção para o banzo superior, uma para o banzo inferior e uma para os
demais elementos (diagonais e montantes);
-P4*: uma mesma seção para o banzo superior, uma para o banzo inferior, uma para os
montantes e uma para as diagonais.
Tabela 3 - Resultados para um a quatro grupos de elementos
Configuração P1* (kN) P2* (kN) P3* (kN) P4* (kN) P4* / P1* A 1,7044 1,5974 1,4906 1,3451 0,789 B 1,7044 1,4931 1,3864 1,2818 0,752 C 1,7044 1,4931 1,3864 1,2613 0,740 D 1,7044 1,5974 1,4906 1,3451 0,789 E 1,4291 1,4291 1,4291 1,3246 0,927 F 1,6655 1,4639 1,3572 1,3273 0,797 G 1,9034 1,6426 1,4194 1,2944 0,680
Os valores em negrito na Tabela 3 indicam a configuração de menor peso para cada situação analisada. A última coluna apresenta a relação entre os pesos ótimos das situações 4 e 1, para a qual se observou uma redução média no peso total de cerca de 22 por cento. Em nenhuma das análises a restrição ativa (determinante para que não haja maior redução no peso) foram os deslocamentos. Dentre todas as configurações analisadas a estrutura E apresentou maior regularidade. Observou-se que os montantes internos, ainda que submetidos a esforços nulos, foram decisivos para a redução
da esbeltez dos elementos do banzo inferior. Esta regularidade fica mais visível a partir da visualização da Figura 4.
Figura 4 - Variação do peso em função do número de grupos de elementos
Verifica-se ainda, com auxílio da Tabela 3, que as configurações A e D resultaram sempre no mesmo peso ótimo, devido à disposição comum de algumas de suas diagonais. Já as configurações B e C apresentam pequena diferença, com vantagem para esta última, devido à redução do esforço nos montantes, com conseqüente redução de suas seções.
Como forma de validar a aplicação do Método do Recozimento Simulado ao problema específico, foi efetuada análise similar para maior número de grupos de elementos, chegando-se até o limite de um elemento em cada grupo (ou seja, número de variáveis igual ao número total de elementos de cada estrutura). A exemplo de estudos anteriores (Kripka, refs. [5] e [6]), observou-se que o número de cálculos do valor da função é bastante elevado, especialmente quando comparado ao obtido por técnicas baseadas em programação matemática. Cabe ressaltar, no entanto, que este número aumenta de forma aproximadamente linear em relação ao número de variáveis do problema. Uma vez que o número de combinações possíveis cresce de forma exponencial, os resultados obtidos sugerem que a eficiência relativa do método aumenta com a dimensão do problema.
4.3. Otimização simultânea de seção transversal e de geometria
O estudo apresentado foi complementado permitindo-se a variação na altura do banzo superior das treliças, pela inclusão de suas ordenadas no conjunto das variáveis de projeto. Partindo dos ótimos determinados para a altura inicial de 1,00 metro, observa-se na Tabela 4 as alturas ótimas obtidas (h*) para as situações 1 e 4, bem como os novos pesos ótimos e o conseqüente ganho relativo. Nesta tabela, o sub-índice m indica o peso obtido para a nova altura, e α o ângulo formado entre as diagonais e os elementos horizontais.
Tabela 4 -Resultados para otimização de seção e de geometria Configuração h1* (m) α1* (o) P1m* (kN) P1m*/ P1* h4* (m) α4* (o) P4m* (kN) P4m*/ P4* A 1,04 34,73 1,5065 0,884 1,04 34,73 1,3025 0,968 B 1,70 48,58 1,5543 0,912 0,92 31,52 1,2609 0,984 C 1,70 48,58 1,5543 0,912 0,92 31,52 1,2421 0,985 D 1,04 34,73 1,5065 0,884 1,04 34,73 1,3025 0,968 E 0,86 48,91 1,3474 0,943 0,86 48,91 1,1576 0,874 F 1,17 57,34 1,5392 0,924 0,92 50,81 1,2114 0,913 G 0,60 38,66 1,8270 0,960 1,03 53,94 1,2082 0,933
Da Tabela 4 observa-se que os pesos mínimos passam a ser os correspondentes à configuração E, para ambas as situações analisadas (valores ótimos em negrito). Cabe salientar que, embora as reduções no peso ótimo para a alteração na ordenada do banzo inferior tenha se mostrado pouco significativa em termos percentuais, estas reduções se devem, na maioria dos casos, a pequenas alterações nessa ordenada. Por exemplo, para as configurações A e D, um deslocamento de 4 centímetros no banzo superior, para cima, gera uma redução superior a 11 por cento no peso da estrutura.
A Figura 5 ilustra a variação no peso mínimo da treliça relativa à configuração E, para um único grupo de elementos, em função da variação na altura do banzo superior. No gráfico, as retas inclinadas indicam o aumento no peso total à medida em que a altura aumenta, resultado do aumento no comprimento dos elementos internos (diagonais e montantes). Já as descontinuidades apresentadas correspondem às alterações na seção transversal dos elementos. Para altura da treliça menor que 0,86 metros ocorre a necessidade de aumento da seção para os elementos centrais do banzo inferior, enquanto que para alturas pouco superiores a 1,75 metros o esforço resistente das diagonais extremas é ultrapassado.
Ainda com relação aos resultados listados na Tabela 4 observa-se que, na maioria dos casos, as alturas ótimas obtidas situaram-se dentro do intervalo sugerido na literatura técnica para o pré-dimensionamento da treliça, quais sejam, altura entre um quinto e um décimo do comprimento do vão (refs. [7], [8] e [9]). No caso, entre 0,90 e 1,80 metros. Já os ângulos das diagonais com os banzos, em todas as situações analisadas, mantiveram-se fora do intervalo sugerido nas mesmas referências (entre 40 e 45 graus) como sendo o mais econômico.
A Tabela 5 apresenta os pesos e as alturas ótimos para a configuração E, obtidos ao se variar o vão entre 9,00 e 45,00 metros. Em todas as estruturas geradas foi mantida a distância entre montantes igual a 1,50 metros, acrescentando-se portanto, entre duas análises subseqüentes, um total de 6 nós e 12 elementos. A última coluna dessa tabela indica a relação entre os pesos ótimos para quatro grupos de elementos e para um único grupo, observando-se reduções a partir de 14 por cento, para o menor vão, e chegando a valores superiores a 42 por cento, para o maior vão considerado.
Tabela 5 - Configuração E: pesos e alturas ótimas para vão variável Vão (m) h1* (m) P1m* (kN) h4* (m) P4m* (kN) P4m*/ P1m* 9,00 0,86 1,3474 0,86 1,1576 0,859 12,00 1,24 2,4261 1,09 2,0499 0,845 15,00 1,70 4,0858 1,29 3,2981 0,807 18,00 1,54 6,8508 1,22 4,9843 0,728 21,00 1,57 10,2065 1,18 7,2525 0,711 24,00 2,05 13,6394 1,75 10,2762 0,753 27,00 2,59 17,8891 1,55 13,3223 0,745 30,00 2,40 24,9528 1,66 17,4932 0,701 33,00 2,31 32,3319 1,87 21,4706 0,664 36,00 2,75 39,7110 1,66 25,9120 0,653 39,00 2,61 51,2135 1,71 30,8217 0,602 42,00 3,03 61,2886 2,14 38,1500 0,622 45,00 2,93 75,9355 2,04 43,7417 0,576
As relações entre comprimento do vão e altura ótima da treliça (l/h*) são apresentadas na Figura 6, destacando-se os limites do intervalo sugerido na literatura. Observa-se que o procedimento aplicado conduziu a alturas do banzo invariavelmente inferiores às do intervalo.
O peso por metro linear da treliça é ilustrado na Figura 7, no qual P1m e P4m foram obtidos
dividindo-se os pesos ótimos da Tabela 5 pelos vãos correspondentes. Estes pesos são comparados aos obtidos pela otimização de seção das mesmas treliças compostas por um único tipo de seção, porém com altura fixa e igual a um décimo do vão, situação designada na Figura como P1.
Observa-se uma acréscimo em peso para esta última situação, comparativamente a P4m, variando de 18 a 122
Figura 6 - Relação entre vão e altura ótima
5. CONCLUSÕES E CONSIDERAÇÕES FINAIS
O presente trabalho apresentou uma aplicação do Método do Recozimento Simulado para a determinação do peso mínimo em treliças metálicas compostas por perfis laminados, dimensionados segundo a Norma Brasileira NBR8800/86 [1]. Apesar da aplicação, no presente trabalho, especificamente à otimização de treliças de banzos paralelos, destaca-se que o programa desenvolvido pode ser empregado para a análise de diversas outras configurações, devido à generalidade da formulação.
Com relação aos exemplos apresentados, observou-se a grande variação no peso final da estrutura na medida em que se aumenta o número de grupos de elementos. Ao se incluir a altura da treliça no conjunto das variáveis de projeto, um decréscimo significativo no peso foi obtido. Para os carregamentos considerados, a sugestão encontrada na literatura técnica para a relação entre a altura do banzo e o comprimento do vão não se mostrou válida.
Para as estruturas analisadas considerou-se a existência de travamento fora do plano em todos os nós, não tendo sido levado em conta também o custo das uniões. Desta forma, maiores estudos deverão ser feitos para que se possa dar generalizar as conclusões obtidas no presente estudo.
Uma vez que a determinação da seção transversal e da geometria são efetuadas predominantemente em função da experiência do projetista, verifica-se que as técnicas de otimização podem constituir uma ferramenta auxiliar de grande utilidade. Dentre estas, destaca-se o Recozimento Simulado, ou Simulated Annealing, tanto pelo fácil tratamento de problemas que envolvam variáveis discretas e funções ou derivadas descontínuas como também devido à existência de poucos parâmetros de controle, relativamente a outras heurísticas consagradas.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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