N A = (36) mol 1. t ] = dl

Formul´ario de F´ısica

Licenciatura em Eng. Mecˆanica e Arquitectura Naval M´ario J. Pinheiro

Aconselha-se a utiliza¸c˜ao destas notas a par das sebentas de MO Constantes F´ısicas Fundamentais:

N´umero de Avogadro NA= 6.0221367(36) × 1023 mol−1 Constante de Boltzmann 1.380658 × 10−23 _J/K

Velocidade da luz, c 2.99792458 × 108 _m.s−1 Massa do electr˜ao: me (kg) 9.10939 × 10−31

Raio cl´assico do electr˜ao: re 2.81794092(38) × 10−15 m Constante da acelera¸c˜ao da gravidade, g 9.80665 m/s2

Constante da Gravita¸c˜ao G = 6.67259 × 10−11 _N.m2_/kg2

Permeabilidade magn´etica do v´acuo, µ0 4π × 10−7 T m/A

Constante dos gases perfeitos, R 8.314510 J.K−1_.mol−1 Constante dos gases perfeitos, R 0.0823 atm.l.K−1_.mol−1 Massa do electr˜ao, me 9.1093897(54) × 10−31 kg Massa do prot˜ao, mp 1.6726 × 10−27 kg Massa molar da atmosfera, Mµ(ar) 28.97 g.mol−1 Carga do electr˜ao, e (C) 1.60218 × 10−19 Constante de Planck, h (J.s) 6.626076 × 10−34 ~ = h 2π 1.05459 × 10−34 Permitividade do v´acuo²0(C2/N.m2) 8.85419 × 10−12 Constante de Rydberg, Ry (m−1_{) 1.097373 × 10}7

Unidade de massa at´omica unificada, u 1 u = 1.660540 × 10−27 _{kg= 931.494 MeV/c}2

Temperatura residual c´osmica 2.726 ± 0.005 K

Mecˆanica

rapidez m´edia = l

t

rapidez instantˆanea lim∆t→0[∆l_∆t] = dl_dt

velocidade m´edia ~v =~s

t

velocidade instantˆanea = lim∆t→0[∆s_∆t = d~_dts]

Movimento relativo dum objecto A dum ref. R → R0 _~v

AR= ~vAR0+ ~v_R0_R

Para qualquer vector ~A, ~B e ~C = ~A + ~B, verifica-se Ax = A sin θ Ay = A cos θ C = q C2 x+ Cy2 θ = arctanCy Cx

Movimento rectil´ıneo uniformemente acelerado v = v0+ at vav =1₂(v0+ v) s = 1 2(v0+ v)t s = vot + 1₂at2 v2_{= v}2 0+ 2as y(t) = yo+ vot + 1₂at2

Lei da in´ercia: Todos os corpos tendem a manter o seu estado de repouso ou em movimento uniformemente acelerado, excepto se estiverem submetidos `a ac¸c˜ao de for¸cas externas.

Acelera¸c˜ao m´edia ~amed= ~v_tf_f−~_−tv_ii

Acelera¸c˜ao instantˆanea ~a = lim∆t→0∆~_∆tv = d~_dtv

Quantidade de movimento, ~p ~p = m~v

1a _{Lei de Newton Lei da In´ercia}

2a _{Lei de Newton F =~} d~p dt 3a _{Lei de Newton F}~ 12= − ~F21 ~pf− ~pi= Rtf ti ~ F (t)dt Acelera¸c˜ao centr´ıpeta ac= v 2 r For¸ca m´axima de atrito est´atico Fmax

a = µsFN Superf´ıcies em movimento relativo Ff = µkFN

hline Momento externo τ = ~r × ~F

Trabalho realizado no deslocamento dum ponto material W =R −→F .d−→r

Ac¸c˜ao, S SRtf

ti L(r, ˙r, t)dt

Equa¸c˜oes de Euler-Lagrange ∂L

∂r −dtd ∂L∂ ˙r = 0 Movimento Relativo de Rota¸c˜ao uniforme:

Momento angular −→L = −→r × −→p Momento das foras externas −→τ = −→r ×−→F

Lei fundamental d→−L

dt = −→τ Momento angular em torno dum eixo fixo ~L = Iω

Energia cintica Ec=1₂Iω2=L

2

2I

Energia cintica no movimento plano dum slido Ec=Icω 2

2

~a = ~a0_{+ 2~ω × ~v}0_{+ ~ω × (~ω × ~r)}

Velocidade ~v = ~v0_{+ ~ω × ~r}

Acelera¸c˜ao efectiva da gravidade ~g = ~g0− ~ω × (~ω × ~r)

Movimento plano de um s´olido: Movimento de translao m~ac= ~Fext Movimento de rotao Icθ¨z= τcz Condio de no deslizamento acx= R¨θz

For¸cas centrais

Lei universal da gravita¸c˜ao FG= GmM_r2

Acelera¸c˜ao da gravidade na super´ıcie terrestre g0=GM

L RL

Energia potencial gravtica U = −Gmm0

r

Eq. da energia para um movimento 1-dim radial E =1

2µvr2+ L 2

2µr2+ U (r)

Energia gravitacional de uma esfera U = −3

5GM

2 R

Leis de Kepler:

1 Os planetas movem-se em ´orbitas el´ıpticas com o Sol num dos seus focos;

2 A linha que une o Sol a um planeta varre ´areas iguais em intervalos de tempo iguais;

3 O r´acio da distˆancia m´edia ao Sol ao cubo sobre o per´ıodo ao quadrado ´e constante para todos os planetas: r_TJ32 = CJ.

Teoria da Relatividade Restrita Referencial acelerado −→aI =−→A + −→aA/I For¸cas fict´ıcias −→Ff ict= −m−→aA/I

Transforma¸c˜oes de Lorentz x= x0_{+V t}0 √ 1−(V c)2 y = y’ z= z’ t= t√0+(V /c2)x0 1−(V c)2

Contrac¸c˜ao dos comprimentos L = L0

q 1 − (V c)2 Dilata¸c˜ao do tempo ∆t = ∆t0 √ 1−(V c)2

Energia e momento relativista E2_{− (pc)}2_{= (mc}2₎2 E m0c2 √ 1−(V c)2 − →_{p √}m0−→v 1−(V c)2 Defeito de massa ∆M =P_imi− M Energia de liga¸c˜ao ∆E = −c2_∆M

Fen´omenos ondulat´orios Mov. oscilatrio amortecido md2_~r

dt2 + hd~_dtr+ k~r = 0

1-mov.aperidico ~r = ~A exp(α1t) + ~B exp(α2t)

2-mov. aperi´odico cr´ıtico ~r = ( ~At + ~B) exp(−λt)

3-mov.oscilatrio amortecido ~r = ( ~A cos(Ωt) + ~B sin(Ωt)) exp(−λt)

Decremento logar´ıtmico δ = λT

r(t+T )

r(t) = exp(−δ) M´etodo da energia (per´ıodo das oscila¸c˜oes) T =√2mR_a1a2 _√ dx

E−V (x)

Pˆendulo simples E = 1

2ml2˙[θ2+12mglθ2

Frequˆencia pˆendulo simples f0= _2π1

p_g l Frequˆencia aproximada no mov. n˜ao-linear ω ' (ω0(1 −₁₆1θ20)

En. cin´etica m´edia no MHS < Ec>= 1₄mω20A2

En. potencial m´edia no MHS < U >= 1₄mω2 0A2

Velocidade de fase, v v = λf

Equa¸c˜ao das ondas 1

c2 ∂2_φ ∂2_t2 = ∂2_φ ∂x2 c = q dp dρ Velocidade do som v=qγp_ρ

Velocidade de propaga¸c˜ao da onda numa corda vibrante v =qT µ Velocidade de grupo v = dω_dk Permitividade ² (C2_/N.m2_): V´acuo 8.85 × 10−12 _C2_/N.m2 ´ Agua (200_{C) 7.1 × 10}−10

TABLE I: Rela¸c˜ao entre diferentes unidades de press˜ao Unidades Pa bar kgf/cm2 _{mm Hg mm H2O} 1 Pa 1 10−_{5 1.05 × 10}−5 _{7.5024 × 10}−_{3 0.102} 1 bar 1o5 _{1 1.02 7.5024 ×10}2 _{1.02 × 10}4 1 kgf/cm2 _{9.8067 × 10}4 _{0.98607 1 735 10}4 1 mm Hg 133 1.33 × 10−3 _{1.36 × 10}3 _{1 13.6} 1 mm H2O 9.8067 9.8067 × 10−5 ₁₀−4 _{7.35 × 10}−2 ₁

TABLE II: Rela¸c˜ao entre diferentes escalas de temperatura

Nome Celsius t,0_{C Rankine T,}0_{Ra Fahrenheit t,}0 _{F R´eaumur t}0_R

0 _{C -} 5 9T ( 0_{Ra) − 273.15} t(0_{F )−32} 1.8 1.25t( 0_R) 0_{Ra 1.8(t(}0_{C) + 273.15 − t(}0_{F ) + 459.67 1.8(1.25t(}0_{R) + 273.15)} 0_{F 1.8t(}0_{C) + 32 t(}0_{Ra) − 459.67 -} 9 4t( 0_R) 0_{R 0.8t(}0_{C) 0.8(}5 9T ( 0_{Ra) − 273.15)} 4 9(t( 0_{F ) − 32)}

-Termodinˆamica Macrosc´opica

∆L = αLo∆T ∆V = βV0∆T G´as ideal P V = νRT P V = m MµRT P V = N KBT Primeiro Princ´ıpio da Termodinˆamica ∆U = Q + W Trabalho (revers´ıvel) W = −R pdV Trabalho numa transforma¸c˜ao isot´ermica W = νRT lnVf

Vi

Equa¸c˜ao da adiab´atica P Vγ _{= Const}

Ciclo de Carnot ηC =_QW_{F Q}

Energia cin´etica m´edia < E >= 3 2KBT

Velocidade quadr´atica m´edia vrms= q

3KBT m Teorema de Bernoulli p + ρv2

2 + ρφ = Constante

Lei de Fourier (condu¸c˜ao t´ermica) Q = −KA˙ dT_dx Coeficientes de expans˜ao linear

Alum´ınio 25 × 10−6

Coef. expans˜ao vol´umica (K−6₎ Alum´ınio 72 × 10−6 Constantes Cr´ıticas Material Tc(K) Pc (MPa) ρc (kg/m3) Amnia 405.5 11.28 235 Argon 150.7 4.68 531 ´ Agua 647.4 22.12 326

Dados F´ısicos ´uteis PTN 0o _{C = 273.15 K} 1 atm=101.325 kPa ´ Agua Densidade (kg/3 _{a 4}o _{C) 1.000 × 10}3 Lf us˜ao (kJ/kg) 333.7 Lvap(kJ/kg) 2259 Cp (kJ/kg.K 4.186 ´ındice refra¸c˜ao 1.33 Velocidade do som (20o _{C) 343 m/s} Densidade do ar (PTN) 1.29 kg/m3 Dados Astrof´ısicos:

Terra Lua Sol