GAL

(1)

Cap´ıtulo 1

Vetores

1.1 Segmentos

1.1.1 Segmento Orientado

O segmento orientado é formado por um conjunto de pontos que estão sobre a reta suporte r e entre os pontos A, denominado origem, e B denominado extremidade; Este segmento é representado por AB, sendo geometricamente indicado por:

1.1.2 Comprimento do Segmento

O comprimento de um segmento é a medida do segmento em rela¸cão a uma unidade de medida pré-fixada. AB = BA = 5u.c.

1.1.3 Dire¸

c˜

ao do Segmento

Dois segmentos orientados, não nulos, têm a mesma dire¸cão se as retas suporte são paralelas ou coincidentes.

1.1.4 Sentido do Segmento

Dois segmentos AB e CD, distintos e não nulos, têm mesmo sentido caso os segmentos AC e BD tenham interse¸cão vazia.

• Só se pode comparar os sentidos de dois segmentos orientados se eles tem a mesma dire¸cão. • Dois segmentos orientados opostos tem sentidos contrários.

1.1.5 Segmentos Equivalentes

Dois segmentos são equivalentes ou equipotentes quando têm a mesma dire¸cão, mesmo sentido e o mesmo comprimento.

1.2 Vetor

Vetor ´e o conjunto de todos os segmentos orientados equivalentes, sendo representado por letras min´usculas colocando no alto uma seta.

(2)

1.2.1 Vetor Oposto

Dado o vetorAB, o vetor oposto a→ BA ´→ e um vetor que possui sentido inverso aAB, ou seja:→

→

BA ou

-→

AB

1.2.2 M´

odulo de um Vetor

O m´odulo ou norma de um vetor ~v = (x, y) ´e o comprimento do segmento orientado, sendo representado por |~v| e definido por:

|~v| =

p

x

2

_{+ y}

2 seja ~v um vetor no R3 ent˜ao:

|~v| =

p

x

2

_{+ y}

2

_{+ z}

2

1.2.3 Vetor Unit´

ario

Vetor unit´ario ´e o vetor que possui |~v| = 1

1.2.4 Vetor Nulo

Os segmentos nulos, por serem equipolentes entre si, determinam um ´unico vetor, chamado vetor nulo ou vetor zero, e que ´e indicado por: ~0 = (0, 0, 0).

1.2.5 Vetor Colinear

~

u e ~v s˜ao colineares se tiverem a mesma dire¸c˜ao e se pertencerem a mesma reta ou retas paralelas.

1.2.6 Igualdade de Vetores

Dois vetores s˜ao iguais quando possuem todas as suas coordenadas correspondentes iguais.

1.2.7 Versor

O versor do vetor ~v(x, y, z) é um vetor ~w que possui mesma dire¸cão e sentido de ~v, porem de módulo 1, Podemos definir o versor do vetor ~v pela seguinte rela¸cão:

~

w =

_|~v|~v

=

x |~v|

,

y |~v|

,

z |~v|

1.3 Opera¸

c˜

oes com Vetores

1.3.1 Multiplica¸

c˜

ao de um Vetor por uma Constante

Seja o vetor ~v = (x, y) então a multiplica¸cão de ~v por uma constante k com a opera¸cão usual será dada por:

k.~v = k(x, y) = (kx, ky)

Se considerarmos ~w = k.~v ent˜ao:

• Se k > 0, ~w possui a mesma dire¸c˜ao e sentido de ~v, com m´odulo correspondente a k vezes o comprimento de ~v.

(3)

• Se k < 0, ~w possui a mesma dire¸c˜ao de ~v e o sentido oposto, com m´odulo correspondente a k vezes o comprimento de ~v.

• Se k = 0, w ser´a o vetor nulo.

Da mesma forma, se considerarmos o vetor ~v = (x, y, z) um vetor em R3 e k uma constante teremos: k.~v = k.(x, y, z) = (kx, ky, kz)

1.3.2 Adi¸

c˜

ao de dois vetores

Dados dois vetores ~v = (x1, y1) e ~u = (x2, y2), a soma ~v + ~u ´e definido com a opera¸c˜ao usual por:

~

u + ~v = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1+ x2, y1+ y2)

Geometricamente o vetor soma ´e representado pelo vetor diagonal do paralelogramo constru´ıdo a partir de ~v e ~u.

Se considerarmos dois vetores ~v = (x1, y1, z1) e ~u = (x2, y2, z2) pertencentes ao R3teremos:

~u + ~v = (x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1+ x2, y1+ y2, z1+ z2)

Propriedades

Consideremos os vetores ~v,~u e ~w ∈ <n e a, b ∈ <.

i) (u + v) + w=u + (v + w) ii) u + v = v + u

iii) u + 0 = u, com 0 sendo valor nulo.

iv) u + (−u) = 0, com (−u) sendo o vetor oposto. v) a.(u + v) = au + av

vi) (a + b)u = au + a.(b.v) vii) ab.v = a.(b.v)

viii) 1.u = u

Estas propriedades caracterizam certos conjuntos denominados espa¸cos vetoriais, que apesar de terem naturezas diferentes dos vetores no espa¸co, comportam-se como eles.

Nota: Alguns autores consideram a opera¸cão de subtra¸cão de vetores, que nada mais é que a soma de um vetor ~v ao vetor oposto de ~u, sendo a mesma definida por:

~

v − ~u = ~v + (−~u) = (x1, y1, z1) + (−x2, −y2, −z2) = (x1− x2, y1− y2, z1− z2).

Geometricamente temos:

1.4 Condi¸

c˜

ao de Paralelismo de Vetores

Dois vetores ~u = (x1, y1, z1) e ~v = (x2, y2, z2) s˜ao paralelos (ou colineares) se existe um n´umero k tal

que ~u = k.~v, logo:

(x1, y1, z1) = k.(x2, y2, z2)

Pela defini¸c˜ao de igualdade de vetores temos x1 x2

=

y1 y2

=

z1 z2

= k

Isto é, dois vetores são paralelos quando suas coordenadas são proporcionais, sendo que esta condi¸cão é representada por ~v//~u.

(4)

1.5 Ponto M´

edio

Dado o segmento AB, M ´e o ponto m´edio e M = x1+x2

2 , y1+y2

2 ´e a equa¸c˜ao, para: A (x1, y1),

B(x2, y2) e M (x, y). Tal que:

→

AM =

→

M B

1.6 Exerc´ıcios de Fixa¸

c˜

ao

1. Dados os pontos A(1, −3, 0), B(2, 1, 5) e C(−4, 2, 1) determinar os vetores (a) AB→ (b) CA→ (c) BC→ (d) → AC

2. Determinar o m´odulo do vetor resultante da soma do vetor ~v = (2, −6, 5) ao vetor oposto de ~

w = (1, −5, 3)

3. Dados os pontos A(3, 2) e B(−1, 5) determine o versor do vetor

→

AB.

4. Considere os vetores ~v = (−2, 3), ~u = (0, 5) e ~w = (1, −4) efetue as seguintes opera¸c˜oes: (a) 2~v − ~w

(b) 1₅~u − 3~v (c) −5 ~w + 2~u − ~v

5. Mostre que os vetores ~v = (−1, 0, 8) e ~u = (3

(5)

Cap´ıtulo 2

Produto de Vetores

2.1 Produto Escalar

O produto escalar entre dois vetores v e w ´e representado por v · .w e ´e dado por:

hv, wi = v · w = x1.x2+ y1.y2+ z1.z2

Propriedades do Produto Escalar.

i) ~u · ~u ≥ 0 sendo ~u · ~u=0 somente se ~u=(0,0,0). ii) ~u · ~v = ~v · ~u

iii) ~u · (~v + ~w) = ~v · ~u + ~u · ~w

iv) ~u · (m. ~w) = m. (~u · ~w) = ~w · (m.~u) v) ~u · ~u = |~u|2

2.1.1 Demonstra¸

c˜

oes

1. Provar que ||~u + ~v||2= ||~u||2+ 2~u.~v + ||~v||2 Solu¸c˜ao: |~u + ~v|2= (~u + ~v).(~u + ~v) = ~u.(~u + ~v) + ~v.(~u + ~v) |~u + ~v|2= ~u.~u + ~u.~v + ~v.~u + ~v.~v |~u + ~v|2= |~u|2+ 2~u.~v + |~v|2 2. Provar que (~u + ~v).(~u − ~v) = |~u|2− |~v|2 solu¸c˜ao (~u + ~v).(~u − ~v) = ~u.(~u − ~v) + ~v.(~u − ~v) (~u + ~v).(~u − ~v) = ~u.~u − ~u.~v + ~v.~u − ~v.~v (~u + ~v).(~u − ~v) = |~u|2− |~v|2

2.1.2 Angulo entre dois vetores

ˆ

(6)

Estudo de Caso:

• Se ~u · ~v > 0, cos θ > 0, isso implica em 00_{≤ θ < 90}0_.

• Se ~u · ~v < 0, cos θ < 0, isso implica em 900_{< θ ≤ 180}0_.

• Se ~u · ~v = 0, cos θ = 0, logo θ = 900 _{e os seus vetores ~}_{u e ~}_{v s˜}_{ao ortogonais.}

2.1.3 Angulos diretores e cossenos diretores de um vetor

ˆ

Angulos diretores de ~v são os ângulos α, β e γ que ~v forma com os vetores ~i,~j e ~k respectivamente. Os cossenos diretores de ~v são os cossenos de seus ângulos diretores, isto é, cos α, cos β e cos γ. Para obtê-los usamos as seguintes formulas:

cos α =

x

1

|~v|

cos β =

y

₁

|~v|

cos γ =

z

₁

|~v|

2.2 Produto Vetorial

O produto vetorial entre dois vetores ~u e ~v ´e representado por ~u × ~v e ´e definido por:

~

u × ~

v =

~i ~j ~k

x

1

y

1

z

1

x

2

y

2

z

2

Se devolvermos a express˜ao teremos:

(~u × ~v) = (y1.z2− z1.y2)~i + (z1.x2− x1.z2)~j + (x1.y2− y1.x2) ~k

2.2.1 Propriedades do Produto Vetorial

As propriedades do produto vetorial est˜ao indiretamente relacionadas com propriedades dos determinantes.

i) ~u × ~u = 0

ii) ~u × ~v = −~v × ~u, este resultado ´e explicado pela propriedade dos determinantes iii) ~u × (~v + ~w) = ~u × ~v + ~u × ~w

iv) (m.~u) × ~v = m. (~u × ~v)

v) ~u × ~v=0, se e somente se, um dos vetores é nulo ou se ~u e ~v são colineares vi) ~u × ~v, é ortogonal simultaneamente aos vetores ~u e ~v

vii) |~u × ~v|2= |~u|2· |~v|2− (~u · ~v)2, chamada de Identidade de Lagrange viii) ~u × ~v = |~u| · |~v| .sen θ ´e ˆangulo formado entre os vetores ~u e ~v

(7)

2.2.2 Interpreta¸

c˜

ao geom´

etrica do m´

odulo do produto vetorial de dois

ve-tores

Geometricamente, o m´odulo do produto vetorial dos vetores ~u e ~v mede a ´area do paralelogramo ABCD determinado pelos vetores ~u = ~AB e ~v = ~AC.

Prova,´area ABCD = |~u| .h como h = |~v| .sen θ

e de acordo com a propriedade viii temos que |~v × ~u| = |~u| · |~v| sen θ logo, ´area ABCD=|~v × ~u| .

2.3 Produto Misto

O produto misto entre os vetores ~u, ~v e ~w ´e um n´umero real representado por (~u, ~v, ~w) e definido por:

(~

u, ~

v, ~

w) = ~

u · (~

u × ~

w) =

x

1

y

1

z

1

x

3

y

2

z

2

x

3

y

2

z

3

2.3.1 Propriedades do produto misto

i)(u, v, w) = 0

a) se um dos vetores é nulo, b) se dois deles são colineares, c) se os três são coplanares.

Prova, se ~u e ~v × ~w são ortogonais então u.(v × w)=(u, v, w) = 0. Devemos perceber que ~v e ~w é ortogonal ao plano ~v que contém, logo se ~u é ortogonal a (~v × ~w) então ~u também pertence a ~v, sendo assim: ~u, ~v e ~w são coplanares.

ii) (~u, ~v, ~w) = (~v, ~w, ~u) = ( ~w, ~u, ~v) iii)(~u, ~v, ~w + ~r) = (~u, ~v, ~w) + (~u, ~v, ~r) iv)(~u, ~v, m ~w)=(~u, m~v, ~w)-(m~u, ~v, ~w)

2.3.2 Interpreta¸

c˜

ao geom´

etrica do m´

odulo do produto misto

Geometricamente o m´odulo do produto misto ~u. (~v × ~w) ´e igual ao volume do paralelep´ıpedo de arestas determinadas pelos vetores ~u, ~v e ~w.

V=(´area base).h

Para base = |~v × ~w| o ângulo formado entre os vetores ~u e ~v × ~w, logo a altura = h é dada por h=|u| · |cos θ|, então:

(1) V=|~v × ~w| · |~u| . |cos θ|, Fazendo |~v × ~w| = |~a|, V=|a| · |~u| . |cos θ|, lembrando que |~u| · |~a| . cos θ = |~u.~a|;

Comparando (1) e (2) temos: V = |~u · ~a| = |~u. (~v × ~w)| Assim:

(8)

V = |~u · (~v × ~w)| = |(~u, ~v, ~w)|

Volume do paralelep´ıpedo V = |(~u, ~v, ~w)| Volume do tetraedro V = 1

6

|(~

u, ~

v, ~

w)|

2.4 Lista de Exerc´ıcios

1. Determinar a extremidade do segmento que representa o vetor ~v = (2, −5), sabendo que sua origem ´e o ponto A (−1, 3)

2. Dados os pontos A(−1, 3), B(2, 5) e C(3, −1), calcular

→ OA − → AB, → OC − → BC e 3 → BA −4 → CB. 3. Dados os vetores ~u = (3, −4) e ~v = (−9₄, 3), verificar se existem n´umeros a e b tais que ~u = a~v e

~ v = b~u.

4. Dados os pontos A(−1, 3), B(1, 0),C(2, −1), determinar D tal que

→

DC=

→

BA. 5. Dados os pontos A(−1, 2, 3) e B(4, −2, 0), determinar o ponto P tal que

→

AP = 3

→

AB. 6. Determinar o vetor ~v sabendo que (3, 7, 1) + 2~v = (6, 10, 4) − ~v.

7. Determinar a e b de modo que os vetores ~u = (4, 1, −3) e ~v = (6, a, b) sejam paralelos. 8. Verificar se s˜ao colineares os pontos:

(a) A(−1, −5, 0), B(2, 1, 3) e C(−2, −7, −1) (b) A(2, 1, −1), B(3, −1, 0) e C(1, 0, 4)

9. Determinar o sim´etrico do ponto P (3, 1, −2) em rela¸c˜ao ao ponto A(−1, 0, −3). 10. Dados ~u = ~i − 2~j + ~k e ~v = 2~i − 5~k, determine o vetor ~w tal que 2~u + 3 ~w = 1₂w − ~~ v.

11. Sejam ~u = 1₄~i − ~j +1₂~k e ~v = n~i + m2_{~j − m~k. Determine m e n de modo que ~v tenha sentido}

contr´ario a ~u e seja 4 vezes maior do que ~u. 12. Sejam A(1, 2, 4), B(2, 3, 2) e C(2, 1, −1).

(a) Os pontos A,B e C são vértices de um triângulo?

(b) Determine D de modo que ABCD seja um paralelogramo

13. Dê exemplo de dois vetores unitários que tenham a mesma dire¸cão que ~v = −3~i + ~j − 4~k. 14. Mostre que para quaisquer vetores ~a,~b e ~c, os vetores ~a + ~b, ~a + ~c e ~c − ~a são coplanares. 15. Dados os vetores ~u = (1, a, −2a − 1), ~v = (a, a − 1, 1) e ~w = (a, −1, 1), determinar a de modo

que ~u · ~v = (~u + ~v) · ~w.

16. Dados os pontos A(1, 2, 3), B(−6, −2, 3) e C(1, 2, 1), determinar o versor do vetor 3

→

BA −2

→

BC. 17. Verificar se s˜ao unit´arios os seguintes vetores: ~u(1, 1, 1) e ~v =_√1

6, − 2 √ 6, 1 √ 6 18. Seja o vetor ~v = (m + 7)~i + (m + 2)~j + 5~k. Calcular m para que |~v| =√38.

19. Dados os ponto A(1, 0, −1), B(4, 2, 1) e C(1, 2, 0), determinar o valor de m para que |~v| = 7, sendo ~v = m

→

AC +

→

(9)

20. Dados os pontos A(3, m − 1, −4) e B(8, 2m − 1, m), determinar m de modo que → AB =√35. 21. Obter um ponto P do eixo das abscissas equidistante dos pontos A(2, −3, 1) e B(−2, 1, −1). 22. Seja o triângulo de vértices A(−1, −2, 4), B(−4, −2, 0) e C(3, −2, 1). Determinar o ângulo

interno ao v´ertice B.

23. Sabendo que o ˆangulo entre os vetores ~u = (2, 1, −1), e ~v = (1, −1, m + 2) ´e π

3, determinar m.

24. Calcular n para que seja de 30o _{o ˆ}_{angulo entre os vetores ~}_{u = (1, n, 2) e ~j.}

25. Determinar o vetor ~v, paralelo ao vetor ~u = (1, −1, 2), tal que ~v · ~u = −18.

26. Determinar o veter ~v, ortogonal ao vetor ~u = (2, −3, −12) e colinear ao vetor ~w = (−6, 4, −2). 27. Determinar o vetor ~v, colinear ao vetor ~u = (−4, 2, 6), tal que ~v · ~w = −12, sendo ~w = (−1, 4, 2). 28. Provar que os pontos A(5, 1, 5), B(4, 3, 2) e C(−3, −2, 1) são vértices de um triângulo retângulo. 29. Qual o valor de α para que os vetores ~a = α~i + 5~j − 4~k e ~b = (α + 1)~i + 2~j + 4~k sejam ortogonais? 30. Os ângulos diretores de um vetor podem ser de 45o_{, 60}o_{e 90}o_{? Justificar.}

31. Determinar o vetor ~v, sabendo que |~v| = 5, ~v ´e ortogonal ao eixo Oz, ~v · ~w = 6 e ~w = 2~j + 3~k. 32. Determinar um vetor unit´ario ortogonal ao vetor ~v = (2, −1, 1).

33. Determinar um vetor de m´odulo 5 paralelo ao vetor ~v = (1, −1, 2).

34. Determinar o vetor ~v, ortogonal ao exo Oz, que satisfaz as condi¸co˜oes ~v · ~v1= 10 e ~v · ~v2= −5,

sendo ~v1= (2, 3, −1) e ~v2= (1, −1, 2).

35. Qual o comprimento do vetor proje¸c˜ao de ~u = (3, 5, 2), sobre o eixo dos x?

36. Mostrar que, se ~u e ~v são vetores, tal que ~u + ~v é ortogonal a ~u − ~v, então |~u| = |~v|.

37. Calcular o m´odulo dos vetores ~u + ~v e ~u − ~v , sabendo que |~u| = 4, |v| = 3 e o ˆangulo entre ~u e ~v ´

e de 60o

38. Dados os vetores ~u = (2, −1, 1), ~v = (1, −1, 0) e ~w = (−1, 2, 2), calcular: (a) ~v × ( ~w − ~u).

(b) (~u + ~v) × (~u − ~v). (c) (2~u) × (3~v). (d) (~u × ~v) · (~u × ~v).

39. Determinar um vetor simultaneamente ortogonal aos vetores 2~a + ~b e ~b − ~a, sendo ~a = (3, −1, −2) e ~b = (1, 0, −3).

40. Determinar o valor de m para que o vetor ~w = (1, 2, m) seja simultaneamente ortogonal aos vetores ~v1= (2, −1, 0) e ~v2= (1, −3, −1).

41. Se |~u × ~v| = 3√3, |~u| = 3 e 60o_´_{e o ˆ}_{angulo entre ~}_{u e ~}_{v, determinar |~}_v|.

42. Calcular, a área do paralelogramo definido pelos vetores ~u = (3, 1, 2) e ~v = (4, −1, 0). 43. Calcular a ára do triângulo de vértices

(a) A(−1, 0, 2), B(−4, 1, 1) e C(0, 1, 3). (b) A(2, 3, −1), B(3, 1, −2) e C(−1, 0, 2).

44. Dados os vetores ~u = (0, 1, −1), ~v = (2, −2, −2) e ~w = (1, −1, 2), determinar o vetor ~x paralelo a ~

(10)

45. Verificar se s˜ao coplanares os seguintes vetores: (a) ~u = (3, −1, 2), ~v = (1, 2, 1) e ~w = (−2, 3, 4). (b) ~u = (2, −1, 0), ~v = (3, 1, 2) e ~w = (7, −1, 2). 46. Verificar se s˜ao coplanares os pontos:

(a) A(1, 0, 2), B(−1, 0, 3), C(2, 4, 1) e D(−1, −2, 2) (b) A(2, 1, 3), B(3, 2, 4), C(−1, −1, −1) e D(0, 1, −1)

47. Determinar o valor de k para que os seguintes vetores sejam coplanares: ~a = (2, −1, k), ~b = (1, 0, 2) e ~c = (k, 3, k).

48. Calcular o valor de m para que o volume do paralelep´ıpedo determinado pelos vetores ~

v1= 2~i − ~j, ~v2= 6~i + m~j − 2~k e ~v3= −4~i + ~k seja igual a 10.

49. Os vetores ~a = (2, −1, −3), ~b = (−1, 1, −4) e ~c = (m + 1, m, −1) determinam um paralelep´ıpedo de volume 42. calcular m.

50. Sejam ~u e ~v vetores tais que ~u.~v = 4, ||~u|| = 3√3 e o ˆangulo agudo entre (~u, ~v) = π₆. Calcule ||~u|| e ||~u + ~v||

51. Determine x ∈ < de modo que os vetores ~u = x~i + 2~j − ~k e ~v = 3~i + x~j + 10~k sejam ortogonais. 52. Calcule (~a,~b), onde ~a = 2~i + 2~j + ~k e ~b = 3~i + 4~j.

53. Sejam ~a = ~i + ~j, ~b = 2~i − 3~j + ~k e ~c = 4~j − 3~k. Mostre que ~a × (~b × ~c) 6= (~a × ~b) × ~c.

54. Calcule a área (usando produto vetorial) e a medida do ângulo interno oposto ao maior lado do triângulo P QR onde P = (0, 0, 0), Q = (6, 0, 0) e R = (3, 4, 0).

55. Calcule a área do triângulo cujos vértices são os pontos A = (1, 0, 1), B = (3, 2, −1) e C = (6, −1, 5). Mostre que esse triângulo é retângulo.

56. Mostre que se ~u for ortogonal a ~v − ~w e ~v for ortogonal a ~u − ~w, ent˜ao ~w ´e ortogonal a ~u − ~v. 57. Determine x de modo que o volume do paralelep´ıpedo com arestas definidas pelos vetores

~a = −2~i + x~j, ~b = x~i − ~j + ~k, ~c = ~i + ~k, seja igual a 2 unidades de volume.

58. Ache ~u ortogonal a ~v = 4~i − ~j + 5~k e a ~w = ~i − 2~j + 3~k, que satisfa¸ca ~u.(~i + ~j + ~k) = 2. 59. Considerando um triˆangulo com lados definidos por ~a,~b e ~c = ~a − ~b, mostre o resultado

conhecido como Lei dos Cossenos:

|~c|2= |~a|2+ ~b 2 − 2 |~a| ~b cos(~a,~b) (2.1) (Sujest˜ao: ~c · ~c = (~a − ~b) · (~a − ~b))

60. Um vetor ~v de comprimento 5 tem dois de seus cossenos diretores dados por cos α = 1 3 e

(11)

2.4.1 Gabarito

1. (1, −2) 2. (−4, 1), (2, 5), (−5, −30) 3. (a) −4 3 (b) −3₄ 4. D(4, −4) 5. (14, −10, −6) 6. ~v = (1, 1, 1) 7. (a) 3₂ (b) −9₂ 8. (a) Sim (b) N˜ao 9. (−5, −1, −4) 10. −8₅~i + 8₅~j +6₅~k. 11. m=2, n=-1 12. (a) → AB e →

AC, não são colineares, os pontos formam um triângulo (b) D = (3, 2, −3) 13. Demonstra¸cão 14. Demonstra¸cão 15. a = 2 16. (7₉,4₉,4₉) 17. ~v é unitário 18. −4 ou −5 19. 3 ou −13 5 20. −3 ou −1 21. P (1, 0, 0) 22. 45o 23. m = −4 24. +√15 ou −√15 25. (−3, 3, −6) 26. ~v = t(3, −2, 1)t ∈ < 27. (2, −1, −3) 28. BA .→ BC = 0→ 29. −3 ou 2

(12)

31. (4, 3, 0) ou (−4, 3, 0) 32. Um deles é (0,√1 2, − 1 √ 2) 33. (±√5 6, ± 5 √ 6, ± 10 √ 6) 34. (−1, 4, 0) 35. 3 36. Demonstra¸cão 37. √37 e√13 38. (a) (−1, −1, 0) (b) (−2, −2, 2) (c) (6, 6, −6) (d) 3 39. x(3, 7, 1), x ∈ < 40. −5 41. 2 42. √117 43. (a) √6 (b) 9 √ 2 2 44. (−2, 2, −4) 45. (a) Não (b) Sim 46. (a) Não (b) Sim 47. 6 48. 6 ou −4 49. 2 ou −8 3 50. |~u + ~v| =q2899 81 , |~v| = 8 9 51. x = 2 52. Arco cos θ = 14₁₅ 53. Demonstra¸cão 54. 12u.a., arco cos θ = 7

25 55. 3√14u.a 56. Demonstra¸cão 57. x = 1 58. ~u = (−2, 2, 2) 59. Demonstra¸cão 60. Demonstra¸cão

(13)

Cap´ıtulo 3

Espa¸

cos Vetorias

3.1 Espa¸

cos Vetoriais

3.1.1 Defini¸

c˜

ao 01

Um espa¸co vetorial real é um conjunto w não vazio, com duas opera¸cões: adi¸cão e multiplica¸cão por escalar, isto é:

∀ u e v ∈ W , u + v ∈ W ∀ a ∈ < e ∀u ∈ W , a.u ∈ W

Tais que para qualquer u, v e w ∈ W e a, b ∈ < as propriedades i), ii). . . vii) e viii) sejam satisfeitas. Axiomas

Em Rela¸cão à adi¸cão:

i) (u + v) + w = u + (v + w), ∀u, v, w ∈ V ii) u + v = v + u, ∀u, v ∈ V

iii) ∃0 ∈ V, ∀u ∈ V, u + 0 = u iv) ∀u ∈ V, ∃(−u) ∈ V, u + (−u) = 0 Em rela¸cão à multiplica¸cão por escalar: v) (αβ)u = α(βu)

vi) (α + β)u = αu + βu vii) α(u + v) = αu + αv viii) 1u = u

Para ∀u, v ∈ V e ∀α, β ∈ < Exemplo 01

O conjunto V = <2_{= (x, y)/x, y ∈ < ´}_{e um espa¸}_{co vetorial com as opera¸}_c˜_{oes de adi¸}_c˜_{ao e multiplica¸}_c˜_ao

por um n´umero real assim definidas: (x1, y1) + (x2, y2) = (x1+ x2, y1+ y2)

α(x, y) = (αx, αy) Exemplo 02

O conjunto C2 ´e um espa¸co vetorial sobre <. Basta definirmos as opera¸c˜oes: (A) (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) ∈ C2_{, ∀(a, b), (c, d) ∈ C}2

(14)

Exemplo 03

O conjunto M (m, n) das matrizes m × n com as opera¸cões adi¸cão e multiplica¸cão por escalar usuais. Em particular, o conjunto M (m, n) das matrizes quadradas, de ordem n, é um espa¸co vetorial relativamente às mesmas opera¸cões.

Exemplo 04

v = P n, o conjunto dos polinômios com coeficientes reais, de grau menor ou igual a n (incluindo o zero). As opera¸cões são soma de polinômios e multiplica¸cão deles por números reais são espa¸cos vetoriais.

Exemplo 05

Seja o conjunto S = {(x, y, z)/y = x + 2 e z = 0} n˜ao ´e um espa¸co vetorial. Dados os vetores v1= (1, 0, 3) e v2= (−1, 1, 0) ∈ S observe que v1+ v2∈ S pois:/

(1, 3, 0) + (−1, 1, 0) = (0, 4, 0) que n˜ao obedece a rela¸c˜ao y = x + 2.

3.2 Subespa¸

cos Vetoriais

3.2.1 Defini¸

c˜

ao 02

Dado um espa¸co vetorial V , um subconjunto W , n˜ao vazio, ser´a um subespa¸co vetorial de V se: i) Para todo e qualquer u + v ∈ W , tivermos u + v ∈ W

ii) a ∈ < e u ∈ W , tivermos a.u ∈ W Observe que:

• Para termos um subespa¸co vetorial precisamos verificar que ao operarmos em W (adi¸cão e multiplica¸cão por escalar) não obteremos um vetor fora de W . Não sendo necessário a verifica¸cão das propriedades, já que V contém W .

• Qualquer subespa¸co W deve conter o vetor nulo.

• Todo espa¸co vetorial admite pelo menos dois subespa¸cos (espa¸cos triviais), s˜ao eles: o conjunto formado somente pelo vetor nulo e o pr´oprio espa¸co vetorial.

Obs:

Os s´ımbolos ⊕ e são utilizados para indicar que a adi¸cão e a multiplica¸cão por escalar não são as usuais.

Teorema 01

Sejam W1 e W2subespa¸cos de um espa¸co vetorial V , ent˜ao o conjunto

W = W1+ W2= {v ∈ V, v = w1+ w2, w1∈ W1e w2∈ W2} ´e subespa¸co de V .

Teorema 02

Se V ´e a soma direta de S1 e S2, todo vetor v ∈ V se escreve de modo ´unico, na forma: v = u + w

onde u ∈ S1 e w ∈ S2.

3.2.2 Defini¸

c˜

ao 03

Sejam W1 e W2dois subespa¸cos vetoriais de um espa¸co vetorial V . Diremos que a soma W1+ W2 ´e

(15)

3.3 Combina¸

c˜

ao Linear

3.3.1 Defini¸

c˜

ao 04

Sejam V um espa¸co vetorial real v1, v2, v3. . . vn∈ V e a1, a2. . . an ∈ <. Ent˜ao, o vetor

V = a1v1+ a2v2. . . anvn´e um vetor de V , ao que chamamos combina¸c˜ao linear de v1, v2. . . vn.

3.4 Subespa¸

cos Gerados

Seja V um espa¸co vetrial real, cosideremos um subconjunto A{v1, v2. . . vn} ⊂ V , com A 6= . O

conjunto S formado de todos os vetores de V que são combina¸cões lineares dos vetores de A é um subespa¸co vetorial de V e é chamado de subespa¸co gerado pelos vetores v1, v2. . . vn.

3.5 Linearmente Dependentes e Linearmente Independentes

Sejam V um espa¸co vetorial e A = {v1, v2. . . vn} ⊂ V dizemos que o conjunto A ´e linearmente

independente se a equa¸c˜ao.

a1v1+ a2v2. . . anvn= 0 admite um unica solu¸c˜ao a1= a2= . . . an= 0, chamada de trivial se

existirem solu¸c˜oes a16= 0, diz-se que o conjunto A ´e linearmente dependente

Teorema 03

Um conjunto A = {v1, v2. . . vn} ´e Linearmente Dependente se, e somente se, pelo menos um desses

vetores ´e combina¸c˜ao linear dos outros.

3.5.1 Propriedades

i) se A = {v} ⊂ v e v 6= 0, ent˜ao A ´e LI.

ii) Se um conjunto A ⊂ V contém o vetor nulo, então A é LD.

iii) Se uma parte de um conjunto A ⊂ V é LD, então A é também LD. iv) Se o conjunto A ⊂ V é LI, qualquer parte A1de A é também LI.

3.6 Base e Dimens˜

ao

Um conjunto B = {v1, v2. . . vn} ⊂ V ´e uma base do espa¸co vetorial V se:

i) B ´e LI ii) B gera V Exemplo 01 As matrizes M1 1 0 0 0 e M2   0 1 0 0   Exemplo 02

O conjunto formado pelos vetores e1(1, 0, 0), e2(0, 0, 1) e e3(1, 0, 0) ´e chamado base canˆonica de <3,

(16)

Teorema 04

Se B = {v1, v2, . . . vn} for base de um espa¸co vetorial V , ent˜ao todo conjunto com mais de n vetores

ser´a linearmente dependente.

3.6.1 Dimens˜

ao de um espa¸

co Vetorial

Qualquer base de um espa¸co vetorial V tem o mesmo número de vetores, se V possui um base com n vetores, então V tem dimensão n e anota-se dim V = n

• Se V n˜ao possui base, dim V = 0.

• Se V tem uma base com infinitos vetores, então a dimensão de V é infinita e anota-se dim V = ∞

Teorema 05

Se V é um espa¸co vetorial de dimensão n, então, qualquer conjunto de vetores LI em V é parte de uma base, isto é, pode ser completado até formar uma base de V .

Teorema 06

Seja B = {v1, v2. . . vn} uma base de um espa¸co vetorial V . Ent˜ao todo vetor v ∈ V se exprime de

maneira ´unica como combina¸c˜ao linear dos vetores de B.

3.6.2 Espa¸

cos Vetoriais Isomorfos

Se V é um espa¸co vetorial sobre < e dim V = n, então V e <n são isomorfos.

3.7 Lista de Exerc´ıcios

Nos problemas 1 a 5 apresenta-se um conjunto com as opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão por escalar nele definidas. Verificar quais deles são espa¸cos vetoriais. Para aqueles que não são espa¸cos vetoriais, citar os axiomas que não se verificam.

1. <3, (x, y, z) + (x0, y0, z0) = (x + x0, y + y0, z + z0) k(x, y, z) = (0, 0, 0)

2. {(x, 2x, 3x); x ∈ <} com as opera¸c˜oes usuais 3. <2_{, (a, b) + (c, d) = (a, b) e α(a, b) = (αa, αb)}

4. <2_{, (x, y) + (x}0_{, y}0_{) = (x + x}0_{, y + y}0_{) e α(x, y) = (α}2_{x, α}2_y)

5. A = {(x, y) ∈ <2_{/y = 5x} com as opera¸}_c˜_{oes usuais.}

Nos problemas 6, 7 e 8 s˜ao apresentados subconjuntos de <2_{. Verificar quais deles s˜}_ao

subespa¸cos vetoriais do <2_{relativamente `}_{as opera¸}_c˜_{oes de adi¸}_c˜_{ao e multiplica¸}_c˜_{ao por escalar}

usuais.

6. S = {(x, y)/y = −x} 7. S = {(x, y)}/x + 3y = 0} 8. S = {(x, y)/y = x + 1}

(17)

Nos problemas 9 a 14 s˜ao apresentados subconjuntos de <3_{. Verificar quais s˜}_{ao seus subespa¸}_cos

em rela¸cão às opera¸cões de adi¸cão e multiplica¸cão por escalar usuais. Para os que são subespa¸cos, mostrar que as duas condi¸cões estão satisfeitas. Caso contrário, citar um contra-exemplo. 9. S = {(x, y, z)/x = 4y e z = 0} 10. S = {(x, y, z)/z = 2x − y} 11. S = {(x, y, z)/x = z2_} 12. S = {(x, y, z)/y = x + 2 e z = 0} 13. S = {(x, −3x, 4x); x ∈ <} 14. S = {(x, y, z)/x + y + z = 0} 15. Sejam os vetores u = (2, −3, 2) e v = (−1, 2, 4) em <3.

(a) Escrever o vetor w = (7, −11, 2) como combina¸cão linear de u e v. (b) Para que valor de k o vetor (−8, 14, k) é combina¸cão linear de u e v?

(c) Determinar uma condi¸c˜ao entre a, b e c para que o vetor (a, b, c) seja uma combina¸c˜ao linear de u e v.

16. Escrever o vetor 0 ∈ Re2 _{como combina¸}_c˜_{ao linear dos vetores}

(a) v1= (1, 3) e v2= (2, 6)

(b) v1= (1, 3) e v2= (2, 5)

17. Sejam os vetores v1= (−1, 2, 1) e v2= (1, 0, 2) e v3= (−2, −1, 0). Expressar cada um dos vetores

u = (−8, 4, 1), v = (0, 2, 3) e w = (0, 0, 0), como combina¸c˜ao linear de v1, v2 e v3.

18. Expresar o vetor u = (−1, 4, −4, 6) ∈ <4 _{como combina¸}_c˜_{ao linear dos vetores v}

1 = (3, −3, 1, 0),

v2= (0, 1, −1, 2) e v3= (1, −1, 0, 0).

19. Seja S o subespa¸co do <4definido por: S = {x, y, z, t) ∈ <4/x + 2y − z = 0 e t = 0}, Pergunta-se:

(a) (−1, 2, 3, 0) ∈ S? (b) (3, 1, 4, 0) ∈ S? (c) (−1, 1, 1, 1) ∈ S?

20. Determinar os subespa¸cos do <3_{gerados pelos seguintes conjuntos:}

(a) A = ({(2, −1, 3)}

(b) A = {(−1, 3, 2), (2, −2, 1)} (c) A = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (−1, 1, 0)} (d) A = {(−1, 1, 0), (0, 1, −2), (−2, 3, 1)}

21. Sejam os vetores v1 = (1, 1, 1), v2 = (1, 2, 0) e v3 = (1, 3, −1). Se (3, −1, k) ∈ [v1, v2, v3, ], qual o

valor de k?

22. Mostrar que os vetores v1= (1, 1, 1), v2= (0, 1, 1) e v3= (0, 0, 1) geram o <3.

23. Verificar se o vetor v = (−1, −3, 2, 0) pertence ao subespa¸co do <4 _{gerado pelos vetores v} 1 =

(2, −1, 3, 0), v2= (1, 0, 1, 0) e v3= (0, 1, −1, 0).

24. Classificar os seguintes subconjuntos do <3 _{em LI ou LD:}

(a) {(2, −1, 3)}

(b) {(1, −1, 1), (−1, 1, 1)}

(18)

(d) {(2, 1, 3), (0, 0, 0), (1, 5, 2)} (e) {(1, 2, −1), (2, 4, −2), (1, 3, 0)} (f) {(1, −1, −2), (2, 1, 1), (−1, 0, 3)} (g) {(1, 2, −1), (1, 0, 0), (0, 1, 2), (3, −1, 2)}

25. Sendo v1= (1, 2) ∈ <2, determinar v2∈ <2 tal que {v1, v2} seja base de <2.

26. Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam base do <2_:

(a) {(1, 2), (−1, 3)} (b) {(3, −6), (−4, 8)} (c) {(0, 0), (2, 3)} (d) {(3, −1), (2, 3)}

27. Quais dos seguintes conjuntos de vetores formam uma base do <3? (a) (1, 1, −1), (2, −1, 0), (3, 2, 0)

(b) (1, 0, 1), (0, −1, 2), (−2, 1, −4) (c) (2, 1, −1), (−1, 0, 1), (0, 0, 1) (d) (1, 2, 3), (4, 1, 2)

(e) (0, −1, 2), (2, 1, 3), (−1, 0, 1), (4, −1, −2)

28. Mostrar que o conjunto: {(1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 1), (1, 0, 0, 3), (0, 0, 0, 5)}, ´e base do <4 29. Seja V = <3 _{e o conjunto: B = {(0, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 2, 1)} ⊂ <}3

(a) Mostrar que B n˜ao ´e base do <3_.

(b) Determinar uma base do <3 que possua dois elementos de B.

3.7.1 Gabarito

1. Não é espa¸co vetorial. Falha o axioma Viii 2. O conjunto é um espa¸co vetorial

3. Não é espa¸co vetorial. Falham os axiomas i, iii, iv 4. Não é espa¸co vetorial. Falha o axioma ii

5. O conjunto é um espa¸co vetorial 6. S é subespa¸co 7. É 8. Não é 9. É 10. É 11. Não é 12. Não é 13. É 14. É 15. (a) w = 3u − v (b) k = 12

(19)

(c) 16a + 10b − c = 0 16. (a) 0 = −2v1+ v2 (b) 0 = 0v1+ 0v2 17. u = 3v1− v2+ 2v3, v = v1+ v2 e w = 0v1+ 0v2+ 0v3 18. v = −v1+ 3v2+ 2v3 19. (a) Sim (b) N˜ao (c) N˜ao

20. (a) {(x, y, z) ∈ <3_{/x = −2y e z = −3y}}

(b) {(x, y, z) ∈ <3_{/7x + 5y − 4z = 0}} (c) {(x, y, z) ∈ <3_{/x + y − z = 0}} (d) <3 21. k = 7 22. (x, y, z) = xv1+ (y − x)v2+ (z − y)v3 23. Pertence 24. (a) LI (b) LI (c) LD (d) LD (e) LD (f) LI (g) LD 25. v26= kv1, ∀k ∈ < 26. a), d) 27. a), c) 28. Desmostra¸c˜ao 29. Uma base {(0, 1, 1), (1, 1, 0), (0, 0, 1)}

(20)

Cap´ıtulo 4

Transforma¸

c˜

oes Lineares

4.1 Introdu¸

c˜

ao

Transforma¸cões lineares são um tipo especial de fun¸cão, onde o dom´ınio e a imagem são espa¸cos vetoriais reais. São chamadas de fun¸cões vetoriais porque tanto a variável independente como a variável dependente são vetores. Ainda, pelo fato de serem fun¸cões lineares descrevem o tipo mais simples de dependência entre variáveis.

Observe o expemplo

Se 1kg de milho custa R$1, 20, ent˜ao qkg de milho custar˜ao q1, 20 reais, ou seja: C(q) = 1, 20.q onde:

C ´e o custo do milho e q ´e a quantidade de milho. Observe que:

i) Para calcular o custo de (q1+ q2)kg de milho podemos tanto multiplicar (q1+ q2) pelo custo de 1kg

de milho= 1, 20, como calcular o custo de cada uma das quantidades de q1 e q2 e som´a-las, isto ´e:

C (q1+ q2) = 1, 20. (q1+ q2) = 1, 20q1+ 1, 20q2= C (q1) + C (q2)

ii) Se a quantidade de milho for multiplicada por um fator k, o custo ser´a multiplicado por este mesmo fator, isto ´e:

C (k.q1) = 1, 20 (k.q1) = k. (1, 20.q1) = k.C (q1)

Estas duas propriedades s˜ao fundamentais para caracterizar uma transforma¸c˜ao linear.

4.2 Transforma¸

c˜

oes Lineares

4.2.1 Defini¸

c˜

ao 01

Sejam V e W espa¸cos vetoriais. Uma transforma¸cão linear é uma fun¸cão de V em W , F : V → W , que satisfaz as seguintes condi¸cões:

i) T (u + v) = T (u) + T (v) ii) T (k.u) = k.T (u)

Para quaiquer u e v ∈ V e k ∈ < Exemplo

T : <2_{→ <}3_{, T (x, y) = (2x, −y, x + 3y) ´}_{e uma transforma¸}_c˜_{ao linear?}

(21)

T (u + v) = T (x1+ x2, y1+ y2)

= (2. (x1+ x2) , − (y1+ y2) , (x1+ x2) + 3. (y1+ y2))

= (2x1+ 2x2, −y1− y2, x1+ x2+ 3y1+ 3y2)

= (2x1, −y1, x1+ 3y1) + (2x2, −y2, x2+ 3y2)

= T (u) + T (v)

ii) Para todo k ∈ < e para qualquer u = (x1, y1) ∈ <2, temos:

T (k.u) = T (kx1, ky1)

= (2kx1, −ky1, kx1+ 3ky1)

= k. (2x1, −y1, x1+ 3y1)

= kT (u)

Portanto: A opera¸cão linear é uma transforma¸cão linear.

Em toda transforma¸cão linear T : V → W , a imagem do vetor nulo ∈ V é o vetor nulo ∈ W , isto é: T (0) = 0.

Exemplo: T : < → <, T (x) = 3x + 1, logo T (0) = 3.0 + 1 = 1, portanto T n˜ao ´e linear.

4.2.2 Propriedade Importante

Se T : V → W for uma transforma¸c˜ao linear, ent˜ao: T (a1v1+ a2v2) = a1.T (v1) + a2.T (v2) para todo

e qualquer v1, v2∈ V e para todo e qualquer a1e a2∈ < Isto significa que uma transforma¸c˜ao linear

T : V → W pode ser definida quando se conhecem as imagens dos vetores de uma base de V .

Exemplo

Sabendo que T : <2_{→ <}3 _´_{e uma transforma¸}_c˜_{ao linear e que T (−1, 1) = (3, 2, −2) e}

T (−1, 2) = (1, −1, 3) determinar T (x, y)

Vamos expressar o vetor (x, y) ∈ <2_{como combina¸}_c˜_{ao linear dos vetores dessa base:}

(x, y) = a (1, −1) + b (−1, 2) logo a −b = x −a +2b = y Assim Portanto T (x, y) = a.T (−1, 1) + b.T (−1, 2) = (2x + y) . (3, 2, −2) + (x + y) . (1, −1, 3)

= (6x + 3y, 4x + 2y, −4x − 2y) + (x + y, −x − y, 3x + 3y) T (x, y) = (7x + 4y, 3x + y, −x + y)

4.3 N´

ucleo de uma Transforma¸

c˜

ao Linear

4.3.1 Defini¸

c˜

ao 02

Seja T : V → W uma transforma¸cão linear. O conjunto de todos os vetores v ∈ V tais que T (v) = 0 é chamado núcleo de T, isto é:

N (T ) = {v ∈ V /T (v) = 0}

(22)

Exemplo

Seja T : <3→ <2_{a transforma¸}_c˜_{ao linear dada por:}

T (x, y, z) = (x − y + 4z, 3x + y + 8z) N (T ) = {(x, y, z) ∈ <3_{/T (x, y, z) = (0, 0)}}

isto ´e, um vetor (x, y, z) ∈ N (T ) se, e somente se: (x − y + 4z, 3x + y + 8z) = (0, 0)

ou

x −y +4z = 0 3x +4y 8z = 0

O sistema acima possui infinitas solu¸c˜oes de acordo com as seguintes rela¸c˜oes: x = −3z e y = z logo

N (T ) = {(−3z, z, z) /z ∈ <}

4.3.2 Propriedades do N´

ucleo

i) O núcleo de uma transforma¸cão linear T : V → W é um subespa¸co vetorial de V . ii) Uma transforma¸cão linear T : V → W é injetora se, e somente se, N (T ) = {0}.

4.4 Imagem de uma Transforma¸

c˜

ao Linear

4.4.1 Defini¸

c˜

ao 03

Seja T : V → W uma transforma¸c˜ao linear. A imagem de T ´e o conjunto dos vetores w ∈ W tais que existe um vetor v ∈ V , que satisfaz T (v) = W ou seja:

Im (T ) = {w ∈ W/T (v) = w para algum v ∈ V } A imagem de uma T : V → W ´e um subespa¸co vetorial de W .

4.4.2 Defini¸

c˜

ao 04

Dada uma transforma¸cão T : V → W , dizemos que T é injetora se dados u e v ∈ V com u 6= v, então T (u) 6= T (v)

4.4.3 Defini¸

c˜

ao 05

Uma transforma¸c˜ao T : V → W ser´a sobrejetora se a imagem de T coincidir com W , ou seja T (v) = w.

4.5 Matriz de uma Transforma¸

c˜

ao Linear

Sejam T : V → W uma transforma¸c˜ao linear. Na forma matricial [T (v)]B= [T ]AB[v]Asendo a matriz

[T ]A_B denominada matriz de T em rela¸c˜ao as bases A e B. Sejam A = {v1, v2} uma base de V e

B = {w1, w2, w3} uma base de W , ent˜ao um vetor v ∈ V pode ser expresso por:

v = x1v1+ x2v2e a imagem T (v)

T (v) = y1w1+ y2w2+ y3w3ou T [v]B = (y1, y2, y3). (1)

Por outro lado, T (v) = T (x1.v1+ x2v2) = x1T (v1) + x2T (v2) (2)

sendo T (v1) e T (v2) vetores de W , eles s˜ao combina¸c˜oes lineares dos vetores de B.

T (v1) = a11.w1+ a21w2+ a31w3 (3)

(23)

Substituindo estes vetores em (2) temos:

T (v) = x1(a11w11+ a21w2+ a31w3) + x2(a12w1+ a22w2+ a32w3)

ou

T (v) = (a11x1+ a12x2) w1+ (a21x1+ a22x2) w2+ (a31x1+ a32x2) w3

Comparando esta igualdade com (1), conclui-se y1= a11x1+ a12x2 y2= a21x1+ a22x2 y3= a31x1+ a32x2 na forma matricial   y1 y2 y3  =     a11 a12 a21 a22 a32 a33         x1 x2 x3     ou simbolicamente [T (v)]B= [T ] A BvA

4.6 Teorema da dimens˜

ao

Seja uma transforma¸c˜ao T : V → W ent˜ao: dim N (T ) + dim Im (T ) =dim(V )

4.6.1 Isomorfismo

Quando uma transforma¸c˜ao linear T : V → W for injetora e sobrejetora (bijetora) ao mesmo tempo, d´a-se o nome de isomorfismo.

4.7 Transforma¸

c˜

oes Lineares no Plano

S˜ao transforma¸c˜oes do <2 em <2.

4.7.1 Reflex˜

oes

1.1) Reflexão em torno do eixo dos x: T (x, y) → (x, −y) 1.2) Reflexão em torno do eixo dos y: T (x, y) → (−x, y) 1.3) Reflexão na origem: T (x, y) → (−x, −y)

1.4) Reflex˜ao em torno da retay = x TT (x, y) → (x, y)

4.7.2 Dilata¸

c˜

ao e Contra¸

c˜

ao

Dilata¸cão e Contra¸cão na dire¸cão do vetor T (x, y) = α(x, y), α ∈ <

Se |α| > 1, T Dilata o vetor Se |α| < 1, T Contrai o vetor

Se |α| < 0, T Troca o sentido do vetor

Dilata¸cão e contra¸cão na dire¸cão do eixo do x T (x, y) = (αx, y), α > 0

Se x > 1, T dilata o vetor Se x < 1, T contrai o vetor

Dilata¸cão e contra¸cão na Dire¸cão do Eixo y T (x, y) = (x, αy), α > 0

Nesse caso, se assumirmos α = 0 teremos T (x, y) = (x, 0) e T ser´a a proje¸c˜ao ortogonal do vetor sobre o eixo dos x.

(24)

4.7.3 Cisalhamento

Cisalhamento na Dire¸c˜ao do Eixo dos x T (x, y) = (x + αy), y)

Cisalhamento na Dire¸c˜ao do Eixo dos y T (x, y) = (x, y + αx)

4.7.4 Rota¸

c˜

ao

T (x, y) = (x. cos θ − y.sen θ, x.sen θ + y. cos θ) com 0 ≤ θ ≤ 2π Essa transforma¸c˜ao fica melhor representada pela matriz canˆonica:

[T θ] = cos θ −sen θ sen θ cos θ

4.8 Transforma¸

c˜

oes Lineares no Espa¸

co

S˜ao Transforma¸c˜oes de <2 em <3

4.8.1 Reflex˜

oes

Reflex˜oes em rela¸c˜ao aos planos coordenados

A reflexão em rela¸cão ao plano xoz é a transforma¸cão linear que leva cada ponto (x, y, z) na sua imagem (x, y, −z)

T (x, y, z) = (x, y, −z) sendo o mesmo que: Reflex˜oes em rela¸c˜ao aos eixos coordenados

A reflex˜ao em torno do eixo x ser´a:

T (x, y, z) = (x, −y, −z) ou De forma an´aloga temos

eixo y → T (x, y, z) = (−x, y, −z) eixo z → T (x, y, z) = (−x, −y, z) Reflex˜ao na origem

T (x, y, z) = (−x, −y, −z)

4.8.2 Rota¸

c˜

ao

Rota¸c˜ao em torno do eixo z, que faz cada ponto descrever um ˆangulo θ. T (x, y, z) = (x. cos θ − y. cos θ, x.sen θ + y. cos θ, z) ou

[T θ] =   cos θ −sen θ 0 sen θ cos θ 0 0 0 1  

(25)

4.9 Lista de Exerc´ıcios

1. Consideremos a transforma¸c˜ao linear T : <2 → <2 _{definida por T (x, y) = (2x − 2y, x + 4y).}

Utilizar os vetores u = (1, 2) e v = (3, −1) para mostrar que T (3u + 4v) = 3T (u) + 4T (v). 2. Dada a transforma¸c˜ao linear T : V → W , tal que T (u) = 3u e T (v) = u − v, calcular em fun¸c˜ao

de u e v: (a) T (u + v) (b) T (3v) (c) T (4u − 5v)

3. Dentre as transforma¸c˜oes T : <2_{→ <}2 _{definidas pelas seguintes leis, verificar quais s˜}_{ao lineares:}

(a) T (x, y) = (x − 3y, 2x + 5y) (b) T (x, y) = (y, x)

(c) T (x, y) = (x2_{, y}2₎

(d) T (x, y) = (x + 1, y) (e) T (x, y) = (y − x, 0)

4. Dentre as seguintes fun¸c˜oes, verificar quais s˜ao lineares: (a) T : <2_{→ <}3_{; T (x, y) =)(x − y, 3x, −2y)}

(b) T : <3_{→ <}3_{; T (x, y, z) =)(x + y, x − y, 0)}

(c) T : <2_{→ <}2_{; T (x, y) =)(x}2_{+ y}2_{, x)}

(d) T : < → <2_{; T (x) =)(x, 2)}

(e) T : <3_{→ <; T (x, y, z) = −3x + 2y − z}

5. Seja a aplica¸c˜ao T : <2_{→ <}3 _{(x, y) → (x + ky, x + k, y), verificar em que caso(s) T ´}_{e liner:}

(a) k = x (b) k = 1 (c) k = 0

6. (a) Determinar a transforma¸c˜ao linear: T : <2 _{→ <}3 _{tal que T (−1, 1) = (3, 2, 1) e T (0, 1) =}

(1, 1, 0).

(b) Encontrar v ∈ <2 _{tal que T (v) = (−2, 1, −3).}

7. (a) Determinar a transforma¸c˜ao linear T : <3 _{→ <}2 _{tal que T (1, −1, 0) = (1, 1)} _{T (0, 1, 1) =}

(2, 2) e T (0, 0, 1) = (3, 3). (b) Achar T (1, 0, 0) e T (0, 1, 0).

8. Seja T : <3→ <2 _{uma transforma¸}_c˜_{ao linear definida por T (1, 1, 1) = (1, 2), T (1, 1, 0) = (2, 3) e}

T (1, 0, 0) = (3, 4).

(a) Determinar T (x, y, z).

(b) v ∈ <3 tal que T (v) = (−3, −2).

(c) Determinar v ∈ <3 _{tal que T (v) = (0, 0).}

9. Seja o operador linear T : <2 → <2_{, T (x, y) = (2x + y, 4x + 2y). Quais dos seguintes vetores}

pertencem a N (T )? (a) (1, −2)

(b) (2, −3) (c) (−3, 6)

(26)

(a) (2, 4) (b) (−1₂, 1) (c) (−1, 3)

11. Seja T : <2→ <3 _{tal que T (−2, 3) = (−1, 0, 1) e T (1, −2) = (0, −1, 0).}

(a) Determinar T (x, y).

(b) Determinar N (T ) e Im(T ).

12. Consideremos a transforma¸c˜ao linear T : <3_{→ <}2 _{definidar por T (x, y, z) = (2x + y − z, x + 2y)}

e as bases A = {(1, 0, 0), (2, −1, 0), (0, 1, 1)} do <3 e B = {(−1, 1), (0, 1)} do <2_{. Determinar a}

matriz [T ]A B

13. Seja a transforma¸c˜ao linear T : <2 _{→ <}

3, T (x, y) = (2x − y, x + 3y, −2y) e as bases A =

{(−1, 1), (2, 1)} e B = {(0, 0, 1), (0, 1 − 1), (1, 1, 0)}. Determinar [T ]A

B. Qual a matriz [T ]AC, onde

C ´e a base canˆonica do <3_?

4.9.1 Gabarito

1. Demonstra¸cão 2. (a) 4u − v (b) 3u − 3v (c) 7u + 5v 3. a), b), e) são lineares 4. São lineares a), b), e) 5. c) é linear 6. (a) T (x, y) = (−2x + y, −x + y, −x) (b) v = (3, 4)

7. (a) T (x, y, z) = (−y + 3z, −y + 3z)

(b) T (1, 0, 0) = (0, 0) e T (0, 1, 0) = (−1, −1) 8. (a) T (x, y, z) = (3x − y − z, 4x − y − z) (b) v = (1, 6 − z, z) (c) v = (0, −z, z) 9. a), c) 10. a),b) 11. (a) T (x, y) = (2x + y, 3x + 2y, −2x − y) (b) N (T ) = {(0, 0)}, Im(T ) = {(x, y, −x)/x, y ∈ <} 12. −2 −3 0 3 3 2 13.   3 0 5 2 −3 3  e     −3 3 2 5 −2 −2    

GAL

Cap´ıtulo 1

Vetores

1.1

Segmentos

1.1.1

Segmento Orientado

1.1.2

Comprimento do Segmento

1.1.3

Dire¸

c˜

ao do Segmento

1.1.4

Sentido do Segmento

1.1.5

Segmentos Equivalentes

1.2

Vetor

1.2.1

Vetor Oposto

1.2.2

M´

odulo de um Vetor

|~v| =

p

x

+ y

|~v| =

p

x

+ y

+ z

1.2.3

Vetor Unit´

ario

1.2.4

Vetor Nulo

1.2.5

Vetor Colinear

1.2.6

Igualdade de Vetores

1.2.7

Versor

~

w =

=



,

,



1.3

Opera¸

c˜

oes com Vetores

1.3.1

Multiplica¸

c˜

ao de um Vetor por uma Constante

1.3.2

Adi¸

c˜

ao de dois vetores

1.4

Condi¸

c˜

ao de Paralelismo de Vetores

=

=

= k

1.5

Ponto M´

edio

1.6

Exerc´ıcios de Fixa¸

c˜

ao

Cap´ıtulo 2

Produto de Vetores

2.1

_{+ y}

_{+ y}

_{+ z}