Método Kernel Polinomial aplicado a uma rede de spins em ambiente correlacionado

Texto

(1)UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE Núcleo de Pós-Graduação em Física. DISSERTAÇÃO DE MESTRADO. Método Kernel Polinomial aplicado a uma rede de spins em ambiente correlacionado. por Guilherme Martins Alves de Almeida. Cidade Universitária Prof. José Aloísio de Campos São Cristóvão - SE - Brasil 2012.

(2) UNIVERSIDADE FEDERAL DE SERGIPE Núcleo de Pós-Graduação em Física. Método Kernel Polinomial aplicado a uma rede de spins em ambiente correlacionado. por Guilherme Martins Alves de Almeida. Dissertação apresentada ao Núcleo de PósGraduação em Física da Universidade Federal de Sergipe como requisito parcial para a obtenção do título de Mestre em Física. Orientador: André Maurício Conceição de Souza. São Cristóvão 2012.

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(4) "I learned very early the difference between knowing the name of something and knowing something." Richard Feynman.

(5) Agradecimentos À minha família; À minha namorada Patricia; Ao meu orientador e grande amigo André Maurício; Ao Professor Eduardo Mucciolo da University of Central Florida (UCF) por tornar possível a minha visita aos Estados Unidos, pelo grande aprendizado e pelo apoio que recebi após a volta ao Brasil. Sou muito grato por essa experiência ímpar; Aos meus amigos Thiago Rocha do IFT-UNESP, Pejman Jouzdani e Javier Romero da UCF; À Sociedade Brasileira de Física; À CAPES e ao CNPq pelo apoio financeiro;. Muito obrigado..

(6) Resumo Os bits quânticos, ou qubits, são altamente sensíveis a interações com o ambiente. O estudo de protocolos visando proteger a informação quântica da descoerência é essencial para a implementação da computação quântica em larga escala. Boa parte dos modelos propostos para esta finalidade assume as correlações no ambiente como inexistentes. Estas podem induzir uma dependência temporal na probabilidade de erro, comprometendo efetivamente a confiabilidade da informação quântica ao longo do tempo, mesmo na presença de um código de correção. Sendo assim, devemos levar em consideração possíveis limitações físicas na computação quântica tolerante a falhas. Neste trabalho aplicamos o Método Kernel Polinomial (KPM) no cálculo da densidade de estados e do decaimento da fidelidade para o código tórico 𝐿 = 3 sem considerar a dinâmica entre os spins da rede. O modelo Hamiltoniano utilizado consiste em um ambiente bosônico livre e um acoplamento spin-bóson, com dois canais de descoerência, 𝑋 e 𝑍. Uma interação efetiva de longo alcance, anisotrópica, entre todos os pares de spins da rede é então proposta como um modelo correlacionado. A correlação está diretamente associada à amplitude e ao alcance da interação entre os spins. Mostramos que a escala de tempo do decaimento da fidelidade depende destes fatores. Palavras-chave: ambientes correlacionados, código tórico, método KPM.

(7) Abstract Quantum bits, or qubits, are highly fragile due to interactions with the environment. The search for good protocols for protecting quantum information from decoherence is mandatory in order to make large-scale quantum computation possible. Most of the models proposed for this assume that correlations in the environment do not exist. Correlations can induce a time dependent error probability thus seriously damaging the quantum information over the time even if a quantum correction code is avaliable. In this way, we must taking into consideration possible physical limitations to fault-tolerant quantum computing. In this work we apply the Kernel Polynomial Method (KPM) to evaluate the density of states and fidelity decay of a 𝐿 = 3 toric code without taking the lattice spin dynamics into account. The Hamiltonian model is based in a free bosonic environment and a spin-boson coupling, with two decoherence channels 𝑋 and 𝑍. A long-range, anisotropic interaction between spin pairs is then proposed as a correlated model. This correlation is directly related to the interaction strengh and range between spins. We show that the fidelity decay time scale depends on these parameters. Keywords: correlated environments, toric code, KPM method.

(8) Lista de Figuras 1.1. Rede de spins em um código tórico 𝐿 = 3. . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 1.2. Sítio (s) e plaqueta (p) no código tórico. . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 1.3. Corrente de operações 𝑍 nos spins da rede. . . . . . . . . . . . . . .. 5. 3.1. Alguns polinômios de Chebyshev de primeira ordem. . . . . . . . . .. 18. 4.1. DOS para diferentes valores de 𝑁𝑇 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29. 4.2. Curva do DOS comparando os kérneis de Dirichlet, Jackson e Lorentz. 30. 4.3. DOS para os casos onde só há interações em 𝑋 ou em 𝑍. . . . . . .. 31. 4.4. Estimando o DOS de acordo com Δ𝐸. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31. 4.5. Divergência dos coeficientes de expansão 𝜇𝑛 . . . . . . . . . . . . . . .. 32. 4.6. DOS considerando ambos os canais de interação para diferentes valores de 𝛽 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33. 4.7. DOS para diferentes valores de 𝐽. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33. 4.8. Decaimento da fidelidade do estado inicial |0⟩ para diferentes valores 35. 4.9. de 𝛽. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ Decaimento da fidelidade do estado inicial (|0⟩ + |262143⟩)/ 2 para. diferentes valores de 𝛽. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ 4.10 Decaimento da fidelidade do estado inicial (|0⟩+|1⟩+...+|262143⟩)/ 𝐷. 36. para diferentes valores de 𝛽. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √ 4.11 Decaimento da fidelidade do estado inicial (|0⟩ + |262143⟩)/ 2 para. 36. diferentes valores de 𝐽. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37. 4.12 Comparação entre o kérneis de Dirichlet, Jackson e Lorentz no decaimento da fidelidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 38.

(9) Lista de Tabelas 4.1. Parâmetros utilizados nas análises da densidade de estados e/ou da fidelidade quântica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28.

(10) Sumário 1 Introdução. 1. 1.1. O código tórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 1.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 2 O modelo de interação. 8. 2.1. Segunda quantização e o oscilador harmônico . . . . . . . . . . . . .. 8. 2.2. Acoplamento spin-bóson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 10. 2.2.1. Função de correlação: caso bidimensional . . . . . . . . . . .. 12. 2.2.2. Função de correlação: caso tridimensional . . . . . . . . . . .. 13. 2.2.3. Função espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13. 2.2.4. A interação efetiva entre os spins . . . . . . . . . . . . . . . .. 15. 3 O Método Kernel Polinomial. 16. 3.1. Polinômios de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 17. 3.2. O método KPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18. 3.3. Aplicações do método KPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20. 3.3.1. Densidade de estados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20. 3.3.2. Evolução temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23. 4 Resultados e discussão. 27. 4.1. Cálculo da densidade de estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28. 4.2. Análise da fidelidade quântica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34. 5 Conclusões. 39.

(11) Referências Bibliográficas. 40. A Programas em FORTRAN 90. 44. A.1 Programas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44. A.2 Sub-rotinas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44. A.3 Códigos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46. A.3.1 mu_coeff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46. A.3.2 dos_cheb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 50. A.3.3 fidelity_cheb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 52. A.3.4 TnH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 56.

(12) Capítulo 1. Introdução O estudo de sistemas quânticos visando o processamento de informações é um dos mais importantes campos de pesquisa da atualidade. O computador quântico poderia realizar certos protocolos significativamente mais rápido do que qualquer meio clássico, tal como a fatoração de números inteiros através do algoritmo quântico de Shor [1]. Este pode gerar sérias consequências aos campos da criptografia e da comunicação1 . Naturalmente, a simulação de sistemas quânticos de forma eficiente é outra grande motivação para a implementação da computação quântica [2]. A unidade de informação de um computador quântico é o chamado bit quântico, ou qubit, uma extensão do conceito de bit clássico. Os qubits podem assumir os valores 0 ou 1, como também qualquer combinação linear entre eles [3], |𝜓⟩ = 𝛼 |0⟩ + 𝛽 |1⟩ ,. (1.1). já que estados quânticos podem ser sobrepostos. Esta superposição é a fonte de todo o potencial da computação quântica. Em geral, um sistema com 𝑛 qubits pode estar em 2𝑛 diferentes estados simultaneamente. Dessa forma, ao aplicar uma porta lógica a um estado quântico, pode-se gerar um grande paralelismo computacional. O qubit pode ser representado por sistemas quânticos de dois níveis bem definidos. A fatoração de números inteiros grandes é computacionalmente inviável e nisso baseia-se a criptografia de chave pública RSA. Enquanto um algoritmo clássico levaria algo em torno de 104 anos para fatorar um número de 1024 bits, por exemplo, um computador quântico executando o algoritmo de Shor levaria poucos minutos. 1.

(13) 2. Capítulo 1. Introdução. tais como partículas de spin 1/2, o fóton2 , entre outros. Contudo, a informação quântica é bastante frágil. Processos dinâmicos envolvendo um grande número de graus de liberdade, nos quais qubits interagem com o ambiente, podem resultar em descoerência [4], fenômeno que gera o colapso da função de onda (o sistema passa a adquirir comportamento clássico). Este é um dos principais obstáculos na implementação da computação quântica em larga escala. Sistemas quânticos reais sofrem interações com o meio externo [5] e para realizar uma computação quântica confiável, devemos possuir controle sobre diversas formas de ruído. É nesse sentido que a teoria da correção quântica de erro (QEC) [6] se destaca entre as diversas áreas da informação quântica, buscando formas de proteger a informação durante armazenamento, computação e transmissão. Os métodos de QEC consistem, basicamente, em codificar a informação fazendo uso da redundância e então, após passar por um canal ruidoso, ela pode ser decodificada recuperando a informação [3]. O código de três qubits para inversão de bit3 , por exemplo, consiste em representar um estado como o da Eq. 1.1 como |𝜓⟩ = 𝛼 |000⟩ + 𝛽 |111⟩ ≡ 𝛼 |0⟩𝐿 + 𝛽 |1⟩𝐿 ,. (1.2). após a inclusão de dois qubits auxiliares e aplicar, duas vezes, a porta CNOT4 . O termo | ⟩𝐿 se refere ao qubit lógico, ou codificado. Dessa forma podemos proteger o estado contra inversões em apenas um qubit representando a síndrome de erro como ⟨𝜓| 𝑃𝑖 |𝜓⟩, 𝑖 = 0,1,2,3, onde 𝑃0 = |000⟩ ⟨000| + |111⟩ ⟨111| é o operador projeção no estado onde nenhuma inversão ocorreu, 𝑃1 = |100⟩ ⟨100| + |011⟩ ⟨011| no estado onde o 1º qubit foi invertido e assim por diante. Uma dada combinação dos valores da síndrome de erro indicam qual procedimento deve ser realizado para a recuperação do estado, isto é, informa qual qubit foi invertido. Nas técnicas de correção quântica de erro, um qubit lógico é codificado em um conjunto de qubits físicos, tal que os erros mais prováveis podem ser detectados e O fóton pode ser polarizado(︂horizontal e verticalmente. )︂ (︂ )︂ 0 1 1 0 3 Inversão de bit: 𝜎𝑥 = 𝑋 = ; inversão de fase: 𝜎𝑧 = 𝑍 = . 1 0 0 −1 4 A porta quântica CNOT (não-controlado), inverte o segundo qubit (alvo) se o primeiro (controle) for 1 2.

(14) Capítulo 1. Introdução. 3. corrigidos periodicamente. Aplicando-se recursivamente estas codificações, procedimento denominado concatenação, é possível atenuar os erros arbitrariamente ou, equivalentemente, proteger a informação quântica de maneira robusta [3]. É importante destacar que as portas lógicas utilizadas para codificar e decodificar também podem ser ruidosas. Entretanto, o teorema do limiar [7] estabelece que se o ruído em um computador quântico estiver abaixo de um certo valor limite, digamos, se a probabilidade de erro 𝑝 em qualquer componente deste for menor do que um 𝑝𝑙𝑖𝑚𝑖𝑎𝑟 , é possível implementar computação quântica em larga escala de forma eficiente. Este teorema, no entanto, foi satisfatoriamente provado para modelos de erros estocásticos ideais, sem considerar a origem física do fenômeno. Erros que surgem de processos dinâmicos na interação de qubits com o ambiente possuem uma escala de tempo característica, assim como o potencial que induz correlações temporais e espaciais na evolução dos qubits no tempo. A diferença chave entre um modelo de erro correlacionado e um estocástico é que no primeiro a probabilidade de erro possui dependência temporal e/ou local [8]. Quando a taxa de erro não é constante, torna-se mais difícil demonstrar se existe um limiar. Na estimativa do valor do limiar em [7], o ruído foi assumido como Markoviano, onde cada porta quântica no circuito é um mapeamento completamente positivo que preserva o traço se aproximando então de uma porta quântica ideal. Também foram assumidos modelos de erros nos quais as correlações espaciais e temporais decaem exponencialmente. Estes modelos, portanto, não se relacionam diretamente com modelos físicos descrevendo a descoerência de maneira mais detalhada. Neste sentido, muito têm sido investigado a respeito de modelos realísticos de erros em sistemas de qubits e suas implicações na computação quântica tolerante a falhas [8, 9, 10, 11, 12].. 1.1. O código tórico. Um estudo promissor se refere a como ambientes correlacionados afetam as chamadas memórias quânticas que se auto-corrigem [13]. Nestes sistemas, a geometria e as.

(15) 4. Capítulo 1. Introdução. interações são dispostas de modo que um gap não-trivial separa o estado fundamental (que engloba a base lógica) dos estados excitados. Esta proteção é topológica, portanto, leva um tempo exponencialmente grande ou uma perturbação altamente não-local para induzir um erro lógico. O exemplo mais conhecido de memória quântica topológica é o código tórico introduzido por Kitaev [14]. Neste código, dispomos de partículas de spin 1/2 situadas nas arestas de uma rede bidimensional 𝐿x𝐿 com periodicidade, formando um toróide. Para uma rede de tamanho 𝐿, há 2𝐿2 spins (Fig. 1.1). Os operadores responsáveis pela síndrome de erro atuam em quatro spins contidos em um sitio ou plaqueta na rede definida no toróide (Fig. 1.2). São eles os operadores sítio, 𝐴𝑠 =. ∏︁. 𝑋𝑗 ,. (1.3). 𝑍𝑗 .. (1.4). 𝑗∈𝑠. e plaqueta, 𝐵𝑝 =. ∏︁ 𝑗∈𝑝. Estes possuem autovalores 1 e −1. O subespaço protegido do código5 é formado por todos os estados |𝜓⟩ de 2𝐿2 spins que satisfazem 𝐴𝑠 |𝜓⟩ = |𝜓⟩ e 𝐵𝑝 |𝜓⟩ = |𝜓⟩ para todo sítio e plaqueta. É fácil observar que 2𝐿2 − 2 geradores do código são. Figura 1.1: Rede de spins em um código tórico 𝐿 = 3. Os spins estão situados nas arestas das plaquetas. Os marcadores sem preenchimento correspondem aos spins do respectivo lado oposto (a rede é periódica). O código tórico é um código estabilizador, e por subespaço protegido nos referimos ao conjunto dos estados invariantes sob aplicação dos operadores que definem o código, denominados geradores do código. Portanto, este espaço é uma interseção dos subespaços definidos por cada gerador com autovalores iguais a 1. Para mais detalhes consultar a Ref. [3], Cap. 10. 5.

(16) 5. Capítulo 1. Introdução. s p. Figura 1.2: Sítio (s) e plaqueta (p) no código tórico. Os operadores correspondentes, 𝐴𝑠 e 𝐵𝑝 , envolvem a interação entre quatro spins da rede. Um código tórico de tamanho 𝐿 possui 𝐿2 sítios e plaquetas.. independentes. Desta maneira, este subespaço possui quatro dimensões, ou seja, o código tórico protege dois qubits lógicos [13, 14]. Erros são causados por correntes de inversão de bit (𝑋) ou de fase (𝑍). Assumindo que estas correntes não circulem ao redor do toróide (Fig. 1.3), nenhuma operação lógica indesejada pode ocorrer, já que a corrente é um produto dos operadores 𝐴𝑠 ou 𝐵𝑝 (o produto também está contido no subespaço protegido). O código tórico nos permite realizar correções de erro a nível físico. Definimos a Hamiltoniana [14] 𝐻tor = −. ∑︁. 𝐴𝑠 −. 𝑠. ∑︁. 𝐵𝑝 ,. (1.5). 𝑝. onde o estado fundamental é quatro vezes degenerado e os estados são os mesmos. C C*. Figura 1.3: Corrente de operações 𝑍 nos spins da rede. O ciclo C é equivalente a um produto de operadores plaqueta e portanto não altera o estado codificado. Quando o ciclo contorna o toróide (C*), o subespaço dos estados protegidos (o espaço estabilizador) é preservado mas ocorre uma operação lógica [13]. Para correntes de inversão bit, valem as mesmas propriedades. Isto se torna evidente quando representamos o código pela rede dual, onde os operadores sítio passam a ser plaqueta, mas envolvendo interações 𝑋 entre quatro spins..

(17) Capítulo 1. Introdução. 6. dos contidos no subespaço protegido do código. Ao acoplar esta Hamiltoniana a um banho térmico em baixa temperatura, erros podem ser removidos automaticamente por processos de dissipação. Neste trabalho não vamos incluir a proteção topológica. Não haverá, portanto, dinâmica entre os spins da rede. Dito isso, é natural pensar sobre qual seria a relevância em estudar o código tórico sem considerar a auto-correção. A vantagem deste código está não só na maneira de codificar a informação, mas também no modo como se extrai essa informação. Ao invés de ler spins individuais, as síndromes de erro são feitas pelos operadores plaquetas e sítios, ou seja, em conjunto de spins. Isso possibilita a correção de erros em ordens muito altas. Uma desvantagem é que usa-se um grande numero de spins para codificar apenas dois qubits lógicos. A geometria toroidal não é a única existente para formar este tipo de código quântico de correção de erro. Na prática, ela se torna inconveniente se nos depararmos com situações onde é necessário que qubits residindo em diferentes toróides interajam no curso da computação quântica [13]. Outras superfícies podem ser utilizadas, com propriedades topológicas que determinam a degenerescência do estado fundamental. Códigos de correção definidos em redes bidimensionais de spins são conhecidos como códigos de superfície. Em um protótipo experimental com doze qubits físicos feitos de junções de Josephson em nanoescala, foi observado que o qubit lógico é protegido contra variações de fluxo magnético [15]. Também foi demonstrado experimentalmente, utilizando um estado de oito fótons, que correlações permanecem invioladas ao ocorrer um único erro em qualquer qubit [16]. Estes resultados sugerem que códigos topológicos de correção quântica de erro são viáveis.. 1.2. Objetivos. Considerando um código tórico 𝐿 = 3 em um ambiente bosônico, vamos calcular a densidade de estados (DOS) e a evolução temporal do sistema para análise da fidelidade quântica. Esta é uma das grandezas que consegue qualificar a informação.

(18) Capítulo 1. Introdução. 7. quântica após processos envolvendo descoerência e/ou erros unitários. O modelo Hamiltoniano consistirá num conjunto infinito de osciladores harmônicos, ou banho bosônico, e uma interação spin-bóson. A interação induz uma interação efetiva de longo alcance entre todos os pares de spins. Há um parâmetro associado ao alcance e outro associado à intensidade da interação. Estes parâmetros estão diretamente ligados à correlação do sistema. Partindo desse modelo, vamos utilizar o Método Kernel Polinomial (KPM), baseado na expansão de funções por polinômios de Chebyshev, para calcular as grandezas mencionadas acima. Esta dissertação esta organizada da seguinte forma: no Cap. 2 introduzimos o modelo Hamiltoniano; no Cap. 3 discutimos aspectos gerais sobre do método KPM, suficientes para a finalidade deste trabalho; no Cap. 4 apresentamos os resultados obtidos para o DOS e para o decaimento da fidelidade no tempo; no Cap. 5 fazemos as devidas considerações finais acerca dos resultados. O Apêndice A disponibiliza alguns dos programas e sub-rotinas em FORTRAN 90 utilizados para obtenção dos dados numéricos..

(19) Capítulo 2. O modelo de interação Neste capítulo vamos descrever a dinâmica de spins 1/2 sujeitos a interações com os graus de liberdade externos. Uma maneira frequentemente empregada para descrever o ambiente é considerá-lo como um um conjunto infinito de osciladores harmônicos, ou um campo bosônico [17]. Nestes sistemas quânticos abertos, a Hamiltoniana pode ser expressa da forma 𝐻(𝑡) = 𝐻𝑆 + 𝐻𝐵 + 𝑉 (𝑡),. (2.1). onde 𝐻𝑆 descreve a dinâmica dos spins somente, 𝐻𝐵 o banho bosônico e 𝑉 (𝑡) é a interação sistema-banho. Em geral, considera-se todo o sistema 𝑆 + 𝐵 como isolado. Nas próximas seções, discutiremos o modelo Hamiltoniano levado em consideração neste trabalho.. 2.1. Segunda quantização e o oscilador harmônico. Sistemas envolvendo muitas partículas idênticas são frequentemente descritos pelo formalismo de segunda quantização [18]. Seja um estado de 𝑁 bósons expresso por1 |𝑛1 , 𝑛2 , ...⟩ onde ∑︁. 𝑛𝑖 = 𝑁,. (2.2). 𝑖. Bósons não obedecem o princípio de exclusão de Pauli e portanto podem ocupar um mesmo estado quântico. 1.

(20) 9. Capítulo 2. O modelo de interação. definimos o operador número 𝑛 ^ 𝑗 como 𝑛 ^ 𝑗 |𝑛𝑗 ⟩ = 𝑛𝑗 |𝑛𝑗 ⟩ ,. (2.3). onde 𝑛𝑗 é o número de bósons no estado 𝑗. Vamos agora introduzir os operadores de criação e aniquilação, 𝑏†𝑗 |𝑛1 , 𝑛2 , ..., 𝑛𝑗 , ...⟩ =. √︁. (2.4). 𝑏𝑗 |𝑛1 , 𝑛2 , ..., 𝑛𝑗 , ...⟩ =. √ 𝑛𝑗 |𝑛1 , 𝑛2 , ..., 𝑛𝑗 − 1, ...⟩ ,. (2.5). 𝑛𝑗 + 1 |𝑛1 , 𝑛2 , ..., 𝑛𝑗 + 1, ...⟩ ,. respectivamente, que aumenta ou diminui o número de ocupação 𝑛𝑗 do estado |𝑛𝑗 ⟩. Caso um estado possua 𝑛𝑗 = 0, obteremos 𝑏𝑗 |𝑛1 , ..., 𝑛𝑗 , ...⟩ = 0. O comutador [𝐴, 𝐵] entre dois operadores 𝐴 e 𝐵 é definido por [𝐴, 𝐵] = 𝐴𝐵 − 𝐵𝐴.. (2.6). Dessa forma, os operadores 𝑏†𝑗 e 𝑏𝑗 satisfazem as seguintes relações de comutação: [𝑏†𝑗 , 𝑏†𝑘 ] = 0;. (2.7). [𝑏𝑗 , 𝑏𝑘 ] = 0;. (2.8). [𝑏𝑗 , 𝑏†𝑘 ] = 𝛿𝑗𝑘 .. (2.9). 𝛿𝑗𝑘 é o Delta de Kronecker. Tendo introduzido as principais relações da segunda quantização para bósons, podemos agora mostrar como o oscilador harmônico pode ser formulado por este método. Em uma dimensão, sua Hamiltoniana é dada por 𝐻=. 1 𝑝2 + 𝑚𝜔 2 𝑥2 . 2𝑚 2. (2.10). Definimos os operadores de criação e destruição como 𝑚𝜔 𝑖𝑝 𝑥+ , 2~ 𝑚𝜔 (︂ )︂ 𝑚𝜔 𝑖𝑝 𝑥− , 2~ 𝑚𝜔 (︂. 𝑎 ≡ 𝑎† ≡. )︂. (2.11) (2.12). respectivamente. Sendo a relação de comutação entre 𝑥 e 𝑝 dada por [𝑝, 𝑥] = ~/𝑖. (2.13).

(21) 10. Capítulo 2. O modelo de interação. é fácil verificar que 𝑎 e 𝑎† satisfazem as Eqs. (2.7) a (2.9). O operador número é definido por 𝑁 = 𝑎† 𝑎 =. 𝐻 1 − , ~𝜔 2. (2.14). e assim obtemos o Hamiltoniano para o oscilador harmônico em segunda quantização, 1 𝐻 = ~𝜔 𝑎 𝑎 + . 2 (︂. )︂. †. (2.15). Os auto-estados do operador 𝐻 são os mesmos de 𝑁 já que [𝑁, 𝐻] = 0 e então eles podem ser simultaneamente diagonalizáveis2 [19]. Os auto-estados de energia são escritos como (𝑎† )𝑛 |𝑛⟩ = √ |0⟩ , 𝑛!. (2.16). 1 |𝑛⟩ = 𝐸𝑛 |𝑛⟩ . 𝐻 |𝑛⟩ = ~𝜔 𝑛 + 2. (2.17). e portanto )︂. (︂. Podemos interpretar este resultado como a energia de 𝑛 bósons. Desta forma a Hamiltoniana que descreve o ambiente bosônico considerado neste trabalho é dada por (~ = 1) 𝐻𝐵 =. ∑︁. (︂. 𝜔k 𝑎†k 𝑎k +. k̸=0. 1 , 2 )︂. (2.18). onde 𝜔k = 𝑣|k|, ou seja, estamos considerando bósons acústicos sem massa.. 2.2. Acoplamento spin-bóson. Diversos sistemas físicos ruidosos podem ser formalizados pelo modelo spin-bóson [17]. Este modelo têm sido frequentemente utilizado no contexto de mecânica quântica dissipativa. A interação entre bósons e os spins de uma rede pode ser descrita. 2. Neste caso, isto é óbvio já que 𝐻 é uma função linear de 𝑁 ..

(22) 11. Capítulo 2. O modelo de interação. pela Hamiltoniana [12] 𝑉 =. (︁ )︁ 𝜆 ∑︁ ∑︁ 𝑐|k|𝑠 𝑒𝑖k·x𝑗 𝑎†k + 𝑒−𝑖k·x𝑗 𝑎k 𝜎𝑗𝑧 , 2 𝑗 k̸=0. (2.19). onde 𝜆 é a intensidade da interação, 𝑠 um expoente dinâmico e 𝑐 um ajuste dimensional. Sem considerar a dinâmica entre os spins (𝐻𝑆 = 0), vamos reescrever a Eq. (2.19) na representação da interação como 𝑉 (𝑡) = 𝑒𝑖𝐻𝐵 𝑡 𝑉 𝑒−𝑖𝐻𝐵 𝑡 =. (︁ )︁ 𝜆 ∑︁ ∑︁ 𝑐|k𝑠 | 𝑒𝑖k·x𝑗 𝑒𝑖𝜔k 𝑡 𝑎†k + 𝑒−𝑖k·x𝑗 𝑒−𝑖𝜔k 𝑡 𝑎k 𝜎𝑗𝑧 . (2.20) 2 𝑗 k̸=0. Definimos o campo bosônico como 𝜃(x, 𝑡) = −𝑖𝑐. ∑︁ (︁. 𝑒𝑖k·x𝑗 𝑒𝑖𝜔k 𝑡 𝑎†k − 𝑒−𝑖k·x𝑗 𝑒−𝑖𝜔k 𝑡 𝑎k. )︁ |k|𝑠. 𝜔k. k̸=0. ,. (2.21). de modo que 𝜕𝑡 𝜃(x, 𝑡) = 𝑐. ∑︁ (︁. )︁. 𝑒𝑖k·x𝑗 𝑒𝑖𝜔k 𝑡 𝑎†k + 𝑒−𝑖k·x𝑗 𝑒−𝑖𝜔k 𝑡 𝑎k |k|𝑠. (2.22). k̸=0. e reescrevemos a Eq. (2.23) como 𝑉 (𝑡) =. 𝜆 ∑︁ 𝜕𝑡 𝜃(x𝑗 , 𝑡)𝜎𝑗𝑧 . 2 𝑗. (2.23). O termo de interação spin-bóson induz uma interação efetiva entre os pares de spins. Para encontrar sua forma, vamos calcular a função de correlação, ⟨𝑉 (𝑡)𝑉 (𝑡′ )⟩ =. 𝜆2 ∑︁ ⟨𝜕𝑡 𝜃(x𝑗 , 𝑡)𝜕𝑡 𝜃(x𝑙 , 𝑡′ )⟩𝜎𝑗𝑧 𝜎𝑙𝑧 . 4 𝑗,𝑙. (2.24). Como os campos bosônicos são gaussianos, a Hamiltoniana efetiva quadrática é a única que devemos levar em conta já que todos os termos de acoplamento de ordem alta se anulam. Calculamos então o correlator bosônico como 𝐹 (x𝑗 − x𝑙 , 𝑡 − 𝑡′ ) = ⟨𝜕𝑡 𝜃(x𝑗 , 𝑡)𝜕𝑡 𝜃(x𝑙 , 𝑡′ )⟩ = 𝑐2. ∑︁ k̸=0. ′. |k|2𝑠 𝑒−𝑖k·(x𝑗 −x𝑙 ) 𝑒−𝑖𝜔k (𝑡−𝑡 ) ,. (2.25).

(23) 12. Capítulo 2. O modelo de interação. onde os valores esperados são calculados no vácuo dos campos bosônicos, isto é, nos quais ⟨𝑎†k 𝑎k ⟩ = 0,. (2.26). ⟨𝑎k 𝑎†k ⟩ = 0.. (2.27). Reescrevendo a soma da Eq. (2.25) como contínua temos 𝐹 (x, 𝑡) = 𝑐 𝐿. 2 𝑑. ∫︁. d𝑑 𝑘 |k|2𝑠 𝑒−𝑖k·x 𝑒−𝑖𝜔k 𝑡 . (2𝜋)𝑑. (2.28). A partir daqui devemos especificar a dimensão espacial 𝑑.. 2.2.1. Função de correlação: caso bidimensional. Para 𝑑 = 2 temos, ∫︁ ∫︁ Λ d𝑘 𝑘 2𝑠+1 −𝑖𝜔𝑘 𝑡 2𝜋 d𝜑 𝑒𝑖𝑘𝑥cos𝜑 𝑒 𝑐 𝐿 2. 𝐹 (x, 𝑡) =. 2 2. 0. (2𝜋). 0. ∫︁ Λ d𝑘 𝑘 2𝑠+1 −𝑖𝜔𝑘 𝑡 𝑐2 𝐿2 𝑒 𝐽0 (𝑘𝑥), 2. =. 0. (2.29). (2𝜋). onde Λ é um corte ultravioleta3 e 𝐽0 (𝑘𝑥) é a função de Bessel de primeira espécie de ordem 0. Esta integral pode ser calculada exatamente se considerarmos interação instantânea, isto é, 𝑡 = 0. Obtemos então, 𝐹 (x, 0) =. 𝑐2 𝐿2 2𝜋𝑥2𝑠+2. ∫︁ Λ𝑥 0. d𝑞 𝑞 2𝑠+1 𝐽0 (𝑞).. (2.30). Consultando a Ref. [21], Eq. 6.561.14, 1 1 ∫︁ ∞ + 𝜈+ Γ 2 2 d𝑥 𝑥𝜇 𝐽𝜈 (𝑎𝑥) = 2𝜇 𝑎−𝜇−1 (︂ 1 1 0 Γ + 𝜈− 2 2 (︂. 1 𝜇 2 )︂ 1 𝜇 2. )︂. (2.31). e fazendo Λ𝑥 → ∞, obtemos ∫︁ ∞ 0. d𝑞 𝑞 2𝑠+1 𝐽0 (𝑞) = 22𝑠+1. Γ(1 + 𝑠) , Γ(−𝑠). (2.32). Em Teoria Quântica de Campos, este termo se refere a um parâmetro introduzido para evitar divergências nas funções de correlação. O corte ultravioleta é então um corte nas altas energias. Mais detalhes podem ser encontrados na Ref. [20]. 3.

(24) 13. Capítulo 2. O modelo de interação. desde que −1 < 𝑠 < −1/4. Para 𝑠 < −1, a integral possui uma divergência infravermelho, que leva em consideração o volume do sistema bosônico, e para 𝑠 > −1/4, o limite Λ𝑥 → ∞ não pode ser estabelecido, e a integral passa a depender do corte ultravioleta Λ.. 2.2.2. Função de correlação: caso tridimensional. Para 𝑑 = 3 temos, 𝐹 (x, 𝑡) = 𝑐2 𝐿3. ∫︁ Λ d𝑘 𝑘 2𝑠+2. 𝑒−𝑖𝜔𝑘 𝑡. ∫︁ 2𝜋. d𝜑. ∫︁ 𝜋. (2𝜋)3 0 0 0 ∫︁ 𝑐2 𝐿3 Λ d𝑘 𝑘 2𝑠+1 −𝑖𝜔𝑘 𝑡 = 2 𝑒 sin(𝑘𝑥). 𝑥 0 (2𝜋)2. d𝜃 sin𝜃𝑒𝑖𝑘𝑥cos𝜃 (2.33). Novamente, considerando 𝑡 = 0, obtemos 2𝑐2 𝐿3 𝐹 (x, 0) = (2𝜋)2 𝑥2𝑠+3. ∫︁ Λ𝑥 0. d𝑞 𝑞 2𝑠+1 sin(𝑞).. (2.34). Consultando a Ref. [21], Eq. 3.761.4, ∫︁ ∞ 0. d𝑥 𝑥. 𝜇−1. 𝜇𝜋 𝜋sec Γ(𝜇) 𝜇𝜋 2 sin(𝑎𝑥) = 𝜇 sin = 𝜇 , 𝑎 2 2𝑎 Γ(1 − 𝜇). (2.35). obtemos, com Λ𝑥 → ∞, ∫︁ ∞ 0. d𝑞 𝑞 2𝑠+1 sin(𝑞) = Γ(2𝑠 + 2)sin[(𝑠 + 1)𝜋],. (2.36). para o intervalo −1 < 𝑠 < −1/2. Observe que esta integral possui divergência infravermelha quando 𝑠 < −1 e uma dependência do corte ultravioleta quando 𝑠 > −1/2.. 2.2.3. Função espectral. Para fornecer uma boa descrição do mecanismo de dissipação, é conveniente calcular a função espectral do banho bosônico. Para um sistema interagente descrito por 𝐻𝑖𝑛𝑡 =. ∑︁ ∑︁ 𝑖. 𝑘. 𝑔𝑘 𝜎𝑖𝑧 𝐹𝑘 (𝑖),. (2.37).

(25) 14. Capítulo 2. O modelo de interação. e 𝐻𝐵 =. 𝜔𝑘 𝐹𝑘† (𝑖)𝐹𝑘 (𝑖),. (2.38). |𝑔𝑘 |2 𝛿(𝜔 − 𝜔𝑘 ),. (2.39). ∑︁ ∑︁ 𝑖. 𝑘. a função espectral é definida como 𝜌(𝜔) =. ∑︁ 𝑘. onde 𝛿(𝜔 −𝜔𝑘 ) é o delta de Dirac. Para o nosso modelo, portanto, a função espectral é dada por 𝜌(𝜔) =. 𝜆2 ∑︁ 2 2𝑠 𝑐 |k| 𝛿(𝜔 − 𝜔k ). 4 k̸=0. (2.40). Considerando o limite contínuo, temos 𝜆2 2 𝑑 𝑐 𝐿 𝜌(𝜔) = 4. ∫︁. d𝑑 𝑘 𝛿(𝜔 − 𝑣𝑘)𝑘 2𝑠 . (2𝜋)𝑑. (2.41). Se 𝑑 = 2, 𝜌(𝜔) = =. 𝜆2 2 2 Λ d𝑘 𝑘 2𝑠+1 𝛿(𝜔 − 𝑣𝑘) 𝑐 𝐿 8𝜋 0 𝜆2 2 2 𝜔 2𝑠+1 𝑐 𝐿 2𝑠+2 Θ(Λ𝑣 − 𝜔). 8𝜋 𝑣 ∫︁. (2.42). Dessa maneira, para baixas frequências, 𝜌(𝜔) ∼ 𝜔 2𝑠+1 , de acordo com a classificação padrão [17], podemos distinguir os regimes: a) 𝑠 > 0, super-ôhmico; b) 𝑠 = 0, ôhmico e c) 𝑠 < 0, sub-ôhmico. Para o regime ôhmico, a função de correlação, Eq. (2.30), decai como 1/𝑥2 . Ela decai mais rapidamente no caso super-ôhmico e mais devagar no caso sub-ôhmico. Para 𝑑 = 3, a função espectral é dada por 𝜌(𝜔) = =. 𝜆2 2 3 Λ 𝑐 𝐿 d𝑘 𝑘 2𝑠+2 𝛿(𝜔 − 𝑣𝑘) 8𝜋 2 0 𝜆2 2 3 𝜔 2𝑠+2 𝑐 𝐿 2𝑠+3 Θ(Λ𝑣 − 𝜔). 8𝜋 2 𝑣 ∫︁. (2.43). Para baixas frequências, notamos que 𝜌(𝜔) ∼ 𝜔 2𝑠+2 . Da mesma maneira, identificamos os três regimes: a) 𝑠 > −1/2, super-ôhmico; b) 𝑠 = −1/2, ôhmico e c) 𝑠 < −1/2, sub-ôhmico. Assim como no caso bidimensional para o caso ôhmico, a função de correlação, Eq. (2.34) também decai como 1/𝑥2 . O decaimento quadrático.

(26) 15. Capítulo 2. O modelo de interação. é então a principal característica do regime ôhmico em qualquer dimensão espacial se os bósons são acústicos e não possuem massa.. 2.2.4. A interação efetiva entre os spins. Sendo ⟨𝑉 (𝑡)𝑉 (𝑡′ )⟩ o único termo de correlação não nulo e 𝐹 (𝑥) ∼ 1/𝑥2𝑠+𝑑 com 𝐹 (𝑥) ∼ 1/𝑥2 quando o regime é ôhmico, redefinimos 2𝑠 + 𝑑 ≡ 2 + 𝛽 onde 𝛽 tornase o novo parâmetro que caracteriza o tipo de dissipação. Dessa forma, podemos modelar uma interação efetiva entre os pares de spins induzida pelo banho bosônico a 𝑇 = 0 de acordo com 𝑉𝑒𝑓 𝑓 =. 1 ∑︁ ∑︁ 𝐽𝛼 𝜎𝛼𝜎𝛼, 2 𝑗̸=𝑙 𝛼=𝑥,𝑦,𝑧 |x𝑗 − x𝑙 |2+𝛽 𝑗 𝑙. (2.44). onde os vetores posição são dados em unidades da constante de rede e 𝐽𝛼 > 0 para qualquer 𝛼. Foi acrescentado o canal de interação 𝑋. A Hamiltoniana descreve um acoplamento anisotrópico, anti-ferromagnético de longo alcance entre os pares de spins. O parâmetro 𝛽 está associado ao alcance da interação e identificamos os três regimes: a) 𝛽 > 0, super-ôhmico; b) 𝛽 = 0, ôhmico e c) 𝛽 < 0, sub-ôhmico. Vamos assumir essa interação efetiva como instantânea, desconsiderando, portanto, efeitos de retardação relacionados à velocidade finita dos bósons. Isto é válido no caso de fraco acoplamento e bósons com altas velocidades..

(27) Capítulo 3. O Método Kernel Polinomial A análise de sistemas cujas propriedades dependem da ação conjunta de inúmeros graus de liberdade ou várias interações atuando numa mesma escala energética, requer métodos numéricos eficientes e compatíveis com o poder computacional acessível. O cálculo das propriedades de diversos sistemas microscópicos está limitado aos recursos disponíveis para a diagonalização da Hamiltoniana, ou seja, à obtenção dos autovalores e autovetores. Este procedimento demanda uma memória computacional de 𝑂(𝐷2 ) e um tempo de processamento 𝑂(𝐷3 ), onde 𝐷 é a dimensão da matriz. Neste capítulo vamos brevemente descrever o Método Kernel Polinomial (KPM) [22, 23] baseado na expansão de funções através dos polinômios de Chebyshev de primeira ordem. Este método demanda recursos em 𝑂(𝐷) para matrizes esparsas possibilitando, então, a análise de sistemas com espaço de Hilbert de dimensões maiores [22]. Na Seção 3.1 introduziremos os polinômios de Chebyshev e em seguida, os fundamentos do método KPM na Seção 3.2. Por fim, na Seção 3.3 mostramos como aplicar o método no cálculo da densidade de estados e da evolução temporal de um sistema..

(28) 17. Capítulo 3. O Método Kernel Polinomial. 3.1. Polinômios de Chebyshev. Sejam 𝑓 (𝑥) e 𝑔(𝑥) funções contínuas 𝑓, 𝑔 : [𝑎, 𝑏] → R, onde, dado um conjunto completo de polinômios 𝑝𝑛 (𝑥), podem ser expandidas da seguinte maneira: 𝑓 (𝑥) =. ∞ ∑︁. 𝛼𝑛 𝑝𝑛 (𝑥),. (3.1). 𝛽𝑚 𝑝𝑚 (𝑥),. (3.2). 𝑛=0. 𝑔(𝑥) =. ∞ ∑︁ 𝑚=0. onde {𝛼𝑛 } e {𝛽𝑚 } são os coeficientes da expansão. Dada uma função peso 𝑊 (𝑥), 𝑊 : [𝑎, 𝑏] → R, podemos escrever o produto interno como ∫︁ 𝑏. ⟨𝑓 |𝑔⟩ =. 𝑎. d𝑥 𝑊 (𝑥)𝑓 (𝑥)𝑔(𝑥).. (3.3). A escolha do conjunto ortogonal {𝑝𝑛 } vai depender da finalidade em questão. Para diversas, uma boa opção são os polinômios de Chebyshev [22, 23, 24, 25, 26, 27], principalmente devido à rápida convergência de sua expansão, como veremos no Cap. 4. Vamos utilizar apenas os polinômios de primeira ordem 𝑇𝑛 (𝑥). Estes são soluções da equação diferencial de Chebyshev1 , (1 − 𝑥2 ). d2 𝑦 d𝑦 −𝑥 + 𝑝2 𝑦 = 0, 2 d𝑥 d𝑥. (3.4). onde 𝑝 é número real constante. Os polinômios de Chebyshev de primeira ordem obedecem a uma simples relação de recorrência, 𝑇𝑛+1 (𝑥) = 2𝑥𝑇𝑛 (𝑥) − 𝑇𝑛−1 (𝑥),. (3.5). 𝑛 > 0, com 𝑇0 (𝑥) = 1 e 𝑇1 (𝑥) = 𝑥. A Fig. 3.1 mostra os primeiros polinômios. Eles √ são definidos no intervalo [−1, 1], com função peso 𝑊 (𝑥) = (𝜋 1 − 𝑥2 )−1 de modo que reescrevemos a Eq. (3.3) como ⟨𝑓 |𝑔⟩ =. 𝑓 (𝑥)𝑔(𝑥) d𝑥 √ . 𝜋 1 − 𝑥2 −1. ∫︁ 1. A relação de ortogonalidade é então expressa por 1. As soluções são obtidas por série de potências 𝑦 =. ∑︀∞ 𝑗=0. 𝑎𝑗 𝑥𝑗 [28].. (3.6).

(29) 18. Capítulo 3. O Método Kernel Polinomial. n=3. 1,0. n=4. 0,5. Tn(x). 0,0 n=1. -0,5. -1,0. n=2 -1,0. -0,5. 0,0. 0,5. 1,0. x Figura 3.1: Primeiros polinômios de Chebyshev 𝑇𝑛 (𝑥) para 𝑥 ∈ [−1, 1].. ⟨𝑇𝑛 |𝑇𝑚 ⟩ =. ∫︁ 1 −1. d𝑥. 𝑇𝑛 (𝑥)𝑇𝑚 (𝑥) √ . 𝜋 1 − 𝑥2. (3.7). Podemos resolver esta integral fazendo a transformação 𝑥 = cos(𝜃), 𝑇𝑛 (cos(𝜃)) = cos(𝑛𝜃), obtendo ⟨𝑇𝑛 |𝑇𝑚 ⟩ = =. ∫︁ 𝜋 0. d𝜃 𝜋 −1 cos(𝑛𝜃)cos(𝑚𝜃). 1 + 𝛿𝑛,0 𝛿𝑛, 𝑚 . 2. (3.8). Os aspectos gerais sobre os polinômios de Chebyshev descritos anteriormente são suficientes para a finalidade deste trabalho. Mais detalhes podem ser encontrados na Ref. [28].. 3.2. O método KPM. O método KPM aproxima funções definidas em um intervalo fechado por uma soma polinomial truncada. Seja 𝑓 (𝑥) uma função real definida no intervalo [−1, 1], podemos aproximá-la como [24] 𝑓 𝐾𝑃 𝑀 (𝑥) =. ∫︁ 1 −1. √︁. d𝑦 𝑓 (𝑦)𝜋 1 − 𝑦 2 𝐾𝑁𝑇 (𝑥, 𝑦),. (3.9).

(30) 19. Capítulo 3. O Método Kernel Polinomial. onde o kernel2 é definido por, para uma expansão de ordem 𝑁𝑇 , 𝐾𝑁𝑇 (𝑥, 𝑦) = 𝑔0 𝜑0 (𝑥)𝜑0 (𝑦) + 2. 𝑁∑︁ 𝑇 −1. 𝑔𝑛 𝜑𝑛 (𝑥)𝜑𝑛 (𝑦). (3.10). 𝑛=1. e 𝑇𝑛 (𝑥) 𝜑𝑛 (𝑥) = √ . 𝜋 1 − 𝑥2. (3.11). Diferentes coeficientes {𝑔𝑛 } definem um determinado kernel. Entre os mais utilizados, podemos citar [22]: 1. O kernel de Dirichlet, 𝑔𝑛 = 1.. (3.12). Esta é escolha mais simples. É geralmente utilizado em situações onde há rápida convergência da expansão de Chebyshev como veremos adiante para o operador evolução temporal (Sec. 3.3.2). Caso contrário, este fornece pouca precisão e flutuações relacionadas à descontinuidades em funções (caso haja). 2. O kernel de Jackson, 𝑔𝑛 =. 𝜋𝑛 1 (𝑁𝑇 − 𝑛 + 1) cos 𝑁𝑇 + 1 𝑁𝑇 + 1 (︂ )︂ (︂ )︂]︂ 𝜋𝑛 𝜋 cot . + sin 𝑁𝑇 + 1 𝑁𝑇 + 1 [︂. (︂. )︂. (3.13). Este é o mais conveniente para a maioria das aplicações, fornecendo resolução proporcional a 1/𝑁𝑇 para ordens mais altas. 3. O kernel de Lorentz, 𝑔𝑛 =. sinh[𝜆(1 − 𝑛/𝑁𝑇 )] , sinh(𝜆). (3.14). onde 𝜆 é um parâmetro real, é mais apropriado em situações envolvendo cálculo das funções de Green [25].. Na matemática, a palavra kernel possui diversos significados. ∫︀ 𝑦 Nesse contexto nos referimos à função kernel de uma transformação integral 𝑓 (𝑥) → (𝑇 𝑓 )(𝑥) = 𝑦 2 d𝑦 𝑘(𝑥, 𝑦)𝑓 (𝑦). 2. 1.

(31) 20. Capítulo 3. O Método Kernel Polinomial. Substituindo a Eq. (3.10) na Eq. (3.9) e utilizando a ortogonalidade dos polinômios de Chebyshev de primeira ordem, Eq. (3.8), obtemos ⎡. ⎤. 𝑁∑︁ 𝑇 −1 1 ⎣𝑔0 𝜇0 + 2 𝑔𝑛 𝜇𝑛 𝑇𝑛 (𝑥)⎦ , 𝑓 𝐾𝑃 𝑀 (𝑥) = √ 𝜋 1 − 𝑥2 𝑛=1. (3.15). onde os coeficientes da expansão são dados por 𝜇𝑛 =. ∫︁ 1 −1. d𝑥 𝑇𝑛 (𝑥)𝑓 (𝑥).. (3.16). Na análise de sistemas físicos, ao expandir uma função qualquer da energia em polinômios de Chebyshev, primeiramente devemos reescalonar a Hamiltoniana de modo a ajustar o espectro para o intervalo [−1, 1]. Caso contrário, a expansão não converge. Sejam {|𝜑𝑖 ⟩} os auto-estados de um Hamiltoniano, satisfazendo 𝐻 |𝜑𝑖 ⟩ = 𝐸𝑖 |𝜑𝑖 ⟩ com 𝐸𝑚𝑖𝑛 < 𝐸𝑖 < 𝐸𝑚𝑎𝑥 . Aplicando a transformação linear [22] ˜ = 2𝐻 − 𝑏 𝐼, ^ 𝐻 𝑎 𝑎 2𝐸𝑖 𝑏 𝐸˜𝑖 = − , 𝑎 𝑎. (3.17) (3.18). onde 𝑎 = 𝐸𝑚𝑎𝑥 − 𝐸𝑚𝑖𝑛 e 𝑏 = 𝐸𝑚𝑎𝑥 + 𝐸𝑚𝑖𝑛 , temos uma nova distribuição de au˜𝑖 < 1. O deslocamento −𝑏/𝑎 serve apenas para que o tovalores {𝐸˜𝑖 } onde −1 < 𝐸 meio da banda de autovalores passe a ser zero. Os limites 𝐸𝑚𝑎𝑥 e 𝐸𝑚𝑖𝑛 são definidos como 𝐸𝑚𝑎𝑥 = 𝑚𝑎𝑥{𝐸𝑖 } + 𝜖 e 𝐸𝑚𝑖𝑛 = 𝑚𝑖𝑛{𝐸𝑖 } − 𝜖, com 𝜖 > 0 de modo a garantir que o espectro não exceda o intervalo [−1, 1]. O parâmetro 𝜖 escala com a resolução da expansão, 𝜖 ∝ 1/𝑁𝑇 , quando conhecemos os extremos do espectro, 𝑚𝑎𝑥{𝐸𝑖 } e 𝑚𝑖𝑛{𝐸𝑖 }.. 3.3 3.3.1. Aplicações do método KPM Densidade de estados. A aplicação mais fundamental do método KPM é o cálculo da densidade de estados (DOS) [23, 29]. Esta é, inclusive, a forma mais conveniente de testar a eficiência do.

(32) 21. Capítulo 3. O Método Kernel Polinomial. método. A densidade de estados ^ 𝑁 (𝐸) = Tr[𝛿(𝐸 − 𝐻)]. (3.19). pode então ser aproximada da seguinte forma: ⎡. ⎤. 𝑁∑︁ 𝑇 −1 1 ⎣𝑔0 𝜇0 + 2 𝑔𝑛 𝜇𝑛 𝑇𝑛 (𝐸)⎦ , 𝑁 𝐾𝑃 𝑀 (𝐸) = √ 𝜋 1 − 𝐸2 𝑛=1. (3.20). após o reescalonamento dos autovalores (a partir daqui vamos omitir o sinal "∼"). Os coeficientes da expansão são dados por 𝜇𝑛 =. ∫︁ 1 −1. d𝐸 𝑁 (𝐸)𝑇𝑛 (𝐸) =. ∫︁ 1 −1. ^ 𝑛 (𝐸) = Tr[𝑇𝑛 (𝐻)]. ^ d𝐸 Tr[𝛿(𝐸 − 𝐻)]𝑇. (3.21). O cálculo do traço de matrizes de dimensões altas é um procedimento computacionalmente exigente. Existe, porém, uma forma bem simples e precisa de realizar tal tarefa. A aproximação estocástica do traço [22, 23] consiste, primeiramente, em definir uma base truncada {|𝑟⟩}, com 𝑟 = 0, 1, ..., 𝑅 − 1. Os vetores dessa base são expressos por combinações lineares aleatórias dos vetores de base do espaço de Hilbert do sistema, |𝑟⟩ =. 𝐷−1 ∑︁. 𝜉𝑟𝑘 |𝑘⟩ ,. (3.22). 𝑘=0. onde os coeficientes {𝜉𝑟𝑘 } são números aleatórios independentes e, em geral, 𝜉𝑟𝑘 ∈ C. Uma maneira conveniente de definir estes números aleatórios é considerar 𝜉𝑟𝑘 = 𝑒𝑖𝜑𝑟𝑘 onde as fases {𝜑𝑟𝑘 } são uma distribuição uniforme no intervalo [0, 2𝜋]. Outra opção é gerar distribuições gaussianas para as partes reais e imaginárias de 𝜉𝑟𝑘 . Podemos até considerar 𝜉𝑟𝑘 ∈ R em situações envolvendo matrizes simétricas reais. De uma forma ou de outra, o fundamental é que {𝜉𝑟𝑘 } satisfaça: 𝜉𝑟𝑘 = 0;. (3.23). * 𝜉 ′ ′ = 𝛿 ′𝛿 ′, 𝜉𝑟𝑘 𝑟𝑘 𝑟,𝑟 𝑘,𝑘. (3.24).

(33) 22. Capítulo 3. O Método Kernel Polinomial. para coeficientes complexos ou 𝜉𝑟𝑘 = 0;. (3.25). 𝜉𝑟𝑘 𝜉𝑟′ 𝑘′ = 𝛿𝑟,𝑟′ 𝛿𝑘,𝑘′ ,. (3.26). para coeficientes reais. O traço da Eq. (3.21) é então aproximado por 𝑅−1 ∑︁ ^ ≈ 1 ^ |𝑟⟩ . Tr[𝑇𝑛 (𝐻)] ⟨𝑟| 𝑇𝑛 (𝐻) 𝑅 𝑟=0. (3.27). ^ |𝑟⟩, reescrevemos os coeficientes da expansão de Chebyshev Definindo |𝑟⟩𝑛 = 𝑇𝑛 (𝐻) como 𝜇𝑛 ≈. ∑︁ 1 𝑅−1 ⟨𝑟|𝑟⟩𝑛 , 𝑅 𝑟=0. (3.28). onde, de acordo com a relação de recorrência, Eq. (3.5), ^ |𝑟⟩ − |𝑟⟩ |𝑟⟩𝑛+1 = 2𝐻 𝑛 𝑛−1 ,. (3.29). ^ |𝑟⟩. Para determinar um número de estados 𝑛 > 0, com |𝑟⟩0 = |𝑟⟩ e |𝑟⟩1 = 𝐻 aleatórios, 𝑅, que forneça um resultado com boa precisão, vamos calcular a flutuação da estimativa do traço, (3.30). (𝛿𝜇𝑛 )2 = 𝜇2𝑛 − 𝜇𝑛 2 . Podemos considerar 𝜇1 ≈ (1/𝑅). ∑︀𝑅−1 𝑟=0. ^ |𝑟⟩ sem perda de generalidade. Seja ⟨𝑟| 𝐻. ^ |𝑗⟩ os elementos de matriz da Hamiltoniana, temos [22] 𝐻𝑖,𝑗 = ⟨𝑖| 𝐻 𝜇21 ≈ =. ∑︁ 1 𝑅−1 ^ |𝑟⟩ ⟨𝑟′ | 𝐻 ^ |𝑟′ ⟩ ⟨𝑟| 𝐻 𝑅2 𝑟,𝑟′ =0 ∑︁ 1 𝑅−1 2 𝑅 𝑟,𝑟′ =0. 𝐷−1 ∑︁. * 𝜉 𝜉* 𝜉 ′ ′ 𝐻 𝐻 ′ ′ 𝜉𝑟𝑖 𝑟𝑗 𝑟′ 𝑖′ 𝑟 𝑗 𝑖,𝑗 𝑖 ,𝑗. 𝑖,𝑗,𝑖′ ,𝑗 ′ =0. ⎡. ⎤. (︁ )︁ 𝐷−1 ∑︁ 2⎦ ^ 2 + 1 ⎣Tr(𝐻 ^ 2 ) + |𝜉𝑟𝑖 |4 − 2 = (Tr 𝐻) 𝐻𝑗𝑗 , 𝑅 𝑗=0. (3.31). e ⎛. 𝜇1. 2. ⎞2. ∑︁ 𝐷−1 ∑︁ 1 𝑅−1 ≈⎝ 𝜉 * 𝜉𝑟𝑗 𝐻𝑖,𝑗 ⎠ = 𝑅 𝑟=0 𝑖,𝑗=0 𝑟𝑖. (︃𝐷−1 ∑︁ 𝑖=0. )︃2. 𝐻𝑖𝑖. ^ 2, = (Tr 𝐻). (3.32).

(34) 23. Capítulo 3. O Método Kernel Polinomial. onde utilizamos a Eqs. (3.23) e (3.24), e. 𝑖 |𝑖⟩ ⟨𝑖|. ∑︀. =. ∑︀. 𝑗. ^ A Eq. (3.30) é |𝑗⟩ ⟨𝑗| = 𝐼.. então reescrita como ⎡. ⎤. (︁ )︁ 𝐷−1 ∑︁ 1 2⎦ ^ 2 ) + |𝜉𝑟𝑖 |4 − 2 𝐻𝑗𝑗 . (𝛿𝜇1 )2 ≈ ⎣Tr(𝐻 𝑅 𝑗=0. (3.33). √ ^ 2 ) de ordem 𝑂(𝐷), o erro relativo 𝛿𝜇1 /𝜇1 é da ordem de 𝑂(1/ 𝑅𝐷). Sendo Tr(𝐻 Consequentemente, manter 𝑅 ≪ 𝐷 garante uma boa aproximação desde que, evidentemente, estejamos tratando de sistemas com muitas dimensões 𝐷. Inclusive, este deve ser o caso para a distribuição {𝜉𝑟𝑘 } satisfazer as Eqs. (3.23) à (3.26) da melhor forma possível. Veremos no Cap. 4 que 𝑅 < 10 já fornece bons resultados para um sistema da ordem de 105 dimensões.. 3.3.2. Evolução temporal. Nesta seção vamos mostrar como os polinômios de Chebyshev podem ser utilizados para tratar da evolução dinâmica de sistemas envolvendo inúmeros graus de liberdade [27, 30, 31, 32, 33]. Seja 𝑓 (𝐸) uma função já reescalonada para o intervalo [−1, 1]. Como anteriormente, podemos a expandir como ⎤. ⎡. 𝑓. 𝐾𝑃 𝑀. 𝑁∑︁ 𝑇 −1 1 ⎣ √ 𝑔𝑛 𝜇𝑛 𝑇𝑛 (𝐸)⎦ , 𝑔 0 𝜇0 + 2 (𝐸) = 𝜋 1 − 𝐸2 𝑛=1. (3.34). onde os coeficientes {𝜇𝑛 } são fornecidos por 𝜇𝑛 =. ∫︁ 1 −1. d𝐸 𝑓 (𝐸)𝑇𝑛 (𝐸).. (3.35). Vamos reescrever a expansão de outra forma fazendo a transformação [24] √︀. 𝑓 (𝐸) → 𝑓 (𝐸)/(𝜋 1 − 𝐸 2 ),. (3.36). e então a Eq. (3.34) se torna 𝑓 𝐾𝑃 𝑀 (𝐸) = 𝑔0 𝛾0 + 2. 𝑁∑︁ 𝑇 −1. 𝑔𝑛 𝛾𝑛 𝑇𝑛 (𝐸),. (3.37). 𝑛=1. onde os novos coeficientes são dados por 𝛾𝑛 =. ∫︁ 1 −1. d𝐸. 𝑓 (𝐸)𝑇𝑛 (𝐸) √ . 𝜋 1 − 𝐸2. (3.38).

(35) 24. Capítulo 3. O Método Kernel Polinomial. Esta é apenas uma forma equivalente de escrever a expansão, mais conveniente para tratar da evolução temporal como veremos adiante. Antes, vejamos um pouco de mecânica quântica. A equação de Schrödinger para o operador evolução temporal 𝑈 (𝑡, 𝑡0 ) é dada por (} = 1) 𝑖. 𝜕 𝑈 (𝑡, 𝑡0 ) = 𝐻𝑈 (𝑡, 𝑡0 ). 𝜕𝑡. (3.39). Seja |𝜓(𝑡0 )⟩ o estado num instante inicial 𝑡0 , se soubermos a maneira pela qual o operador 𝑈 (𝑡, 𝑡0 ) satisfaz 𝑈 (𝑡, 𝑡0 ) |𝜓(𝑡0 )⟩ = |𝜓(𝑡)⟩ ,. (3.40). podemos obter o auto-estado em qualquer instante 𝑡. Devemos então encontrar as soluções para a Eq. (3.39). Há três casos a serem considerados [19]. No primeiro, quando o operador Hamiltoniano é independente do tempo, a solução é simplesmente dada por 𝑈 (𝑡, 𝑡0 ) = 𝑒−𝑖𝐻(𝑡−𝑡0 ) .. (3.41). No segundo caso, o Hamiltoniano é dependente do tempo e [𝐻(𝑡1 ), 𝐻(𝑡2 )] = 0 para qualquer 𝑡1 ̸= 𝑡2 . A solução é então escrita como −𝑖. 𝑈 (𝑡, 𝑡0 ) = 𝑒. ∫︀ 𝑡 𝑡0. d𝑡′ 𝐻(𝑡′ ). (3.42). .. Quando [𝐻(𝑡1 ), 𝐻(𝑡2 )] ̸= 0, no terceiro caso, a solução é similar a Eq. (3.42), mas como nem todos os Hamiltonianos comutam, não podemos mais escrever a solução como uma exponencial apenas. Introduzimos então o chamado operador ordenamento temporal 𝑇 e a solução se torna −𝑖. 𝑈 (𝑡, 𝑡0 ) = 𝑇 𝑒. ∫︀ 𝑡 𝑡0. d𝑡′ 𝐻(𝑡′ ). ,. (3.43). que é uma expansão em séries de Dyson. Maiores detalhes não serão necessários já que o método KPM para a evolução temporal que será formulado a seguir acaba por utilizar um operador no formato da Eq. (3.41) mesmo quando a Hamiltoniana.

(36) 25. Capítulo 3. O Método Kernel Polinomial. possui dependência temporal. Vamos considerar que 𝑓 (𝐸) = 𝑒−𝑖𝐸𝜏 . Os coeficientes 𝛾𝑛 se tornam 𝛾𝑛 =. ∫︁ 1 −1. d𝐸. 𝑒−𝑖𝐸𝜏 𝑇𝑛 (𝐸) √ = (−𝑖)𝑛 𝐽𝑛 (𝜏 ), 𝜋 1 − 𝐸2. (3.44). 1 2𝜋. (3.45). onde 𝐽𝑛 (𝜏 ) =. ∫︁ 𝜋 −𝜋. d𝜃 𝑒−𝑖(𝑛𝜃−𝜏 cos𝜃). é a n-ésima função de Bessel de primeira espécie. Estas satisfazem a relação de recorrência 𝐽𝑛+1 (𝑥) =. 2𝑛 𝐽𝑛 (𝑥) − 𝐽𝑛−1 (𝑥). 𝑥. (3.46). Podemos agora calcular a evolução temporal de um estado inicial |𝜓(𝑡0 )⟩ para um instante 𝑡, 𝑡 − 𝑡0 = 𝜏 , de acordo com (após o reescalonamento da Hamiltoniana) |𝜓(𝑡)⟩ = 𝑈 (𝜏 ) |𝜓(𝑡0 )⟩ = 𝑒−𝑖𝐻𝜏 |𝜓(𝑡0 )⟩ = 𝑔0 𝛾0 (𝜏 ) |𝜓(𝑡0 )⟩ + 2. 𝑁∑︁ 𝑇 −1. = 𝑔0 𝐽0 (𝜏 ) |𝜓(𝑡0 )⟩0 + 2. ^ |𝜓(𝑡0 )⟩ 𝑔𝑛 𝛾𝑛 (𝜏 )𝑇𝑛 (𝐻). 𝑛=1 𝑁∑︁ 𝑇 −1. 𝑔𝑛 𝐽𝑛 (𝜏 ) |𝜓(𝑡0 )⟩𝑛 ,. (3.47). 𝑛=1. ^ |𝜓(𝑡0 )⟩ e onde |𝜓(𝑡0 )⟩𝑛 = 𝑇𝑛 (𝐻) |𝜓(𝑡0 )⟩𝑛+1 = 2𝐻 |𝜓(𝑡0 )⟩𝑛 − |𝜓(𝑡0 )⟩𝑛−1. (3.48). para 𝑛 > 1 com |𝜓(𝑡0 )⟩0 = |𝜓(𝑡0 )⟩ e |𝜓(𝑡0 )⟩1 = 𝐻 |𝜓(𝑡0 )⟩, de acordo com a relação de recorrência dos polinômios de Chebyshev, Eq. (3.5). A aproximação descrita anteriormente é válida para Hamiltonianas independentes do tempo. Se este não for o caso, podemos dividir o tempo em 𝐾 pequenas partes Δ𝑡 = 𝑡/𝐾 de maneira que 𝑈 (𝑡) =. 𝐾−1 ∏︁ 𝜆=0. 𝑆((𝜆 + 1)Δ𝑡, 𝜆Δ𝑡),. (3.49).

(37) 26. Capítulo 3. O Método Kernel Polinomial. onde 𝑆((𝜆 + 1)Δ𝑡, 𝜆Δ𝑡) = 𝑇 𝑒−𝑖. ∫︀ 𝑡+Δ𝑡 𝑡. d𝑡′ 𝐻(𝑡′ ). ≈ 𝑒−𝑖𝐻(𝑡)Δ𝑡 ,. (3.50). caso Δ𝑡 → 0. Evidentemente, a Hamiltoniana deve ser praticamente constante em escalas temporais da ordem Δ𝑡. Se deve, então, escolher o 𝐾 de maneira que 𝐾 ≫ 𝑡/𝜏 onde 𝜏 é a escala de tempo induzida por 𝐻(𝑡). Sendo assim, expandimos o operador evolução temporal em polinômios de Chebyshev para cada Δ𝑡 da forma [30, 32, 33] 𝑒−𝑖𝐻(𝑡)Δ𝑡 = 𝑔0 𝐽0 (Δ𝑡) + 2. 𝑁∑︁ 𝑇 −1. ^ (−𝑖)𝑛 𝑔𝑛 𝐽𝑛 (Δ𝑡)𝑇𝑛 (𝐻(𝑡)).. (3.51). 𝑛=1. Antes de prosseguir para o próximo capítulo, seria conveniente mostrar o efeito do reescalonamento da Hamiltoniana no operador evolução temporal. Seja 𝑈 (𝑡) = 𝑒−𝑖𝐻𝑡/~ .. (3.52). De acordo com a Eq. 3.17 reescrevemos a equação acima como ˜. 𝑈 (𝑡) = 𝑒−𝑖𝑡𝑎/2~ (𝐻+𝑏/𝑎) ˜. = 𝑒−𝑖𝐻𝑎𝑡/2~ 𝑒−𝑖𝑏𝑡/2~ ˜. = 𝑒−𝑖𝐻𝑡. ′. (3.53). onde consideramos 𝑒−𝑖𝑏𝑡/2~ = 1 e 𝑡′ = 𝑎𝑡/2~, lembrando que 𝑎 = 𝐸𝑚𝑎𝑥 − 𝐸𝑚𝑖𝑛 . Esta é, portanto, a forma do operador no qual aplicamos o método KPM..

(38) Capítulo 4. Resultados e discussão Neste capítulo mostramos os resultados obtidos aplicando o método KPM para o cálculo da densidade de estados (DOS) e do decaimento da fidelidade considerando o código tórico 𝐿 = 3, ou seja, uma rede bidimensional de 2𝐿2 = 18 spins com condições de contorno periódicas. Como já foi mencionado no Cap. 1, as propriedades topológicas de auto-correção do código não serão levadas em conta. Sendo assim, não há dinâmica entre os spins (𝐻𝑆 = 0), apenas uma interação efetiva entre os pares destes, 𝐽𝑥 𝐽𝑧 1 ∑︁ 𝑋𝑗 𝑋𝑙 + 𝑍𝑗 𝑍𝑙 , = 2+𝛽 2 𝑗̸=𝑙 |x𝑗 − x𝑙 | |x𝑗 − x𝑙 |2+𝛽 (︃. 𝑉𝑒𝑓 𝑓. )︃. (4.1). induzida pelo acoplamento spin-bóson. O operador 𝑍 está representado na base |0⟩ , |1⟩ de um spin 1/2 de modo que 𝑍 |0⟩ = |0⟩ e 𝑍 |1⟩ = − |1⟩ e então o operador 𝑋 satisfaz 𝑋 |0⟩ = |1⟩ e 𝑋 |1⟩ = |0⟩. O espaço de Hilbert do sistema possui 218 dimensões1 . Os estados da base {|𝑎1 ⟩ ⊗ |𝑎2 ⟩ ⊗ ... ⊗ |𝑎18 ⟩}, 𝑎𝑖 ∈ {0, 1}, serão representados por |𝑘⟩ onde 𝑘 = 𝑎1 20 + 𝑎2 21 + ..., + 𝑎18 217 ,. (4.2). e portanto os estados com todos os spins up ou down seriam |0⟩ ≡ |000...0⟩ e |262143⟩ ≡ |111...1⟩, respectivamente. Os spins da rede estão sujeitos a inversões de Os operadores serão produtos tensoriais dos operadores de um spin. Supondo que o spin 3 foi invertido. Este operador é dado por 𝐼1 ⊗ 𝐼2 ⊗ 𝑋3 ⊗ 𝐼4 ⊗ ... ⊗ 𝐼18 onde 𝐼𝑖 é o operador identidade no i-ésimo spin. 1.

(39) 28. Capítulo 4. Resultados e discussão. fase e de bit. Não há necessidade de considerar interações 𝑌𝑗 𝑌𝑙 já que 𝑌 = 𝑖𝑋𝑍. De acordo com a Eq. (4.1), é fácil verificar que o canal 𝑋 gera apenas elementos fora da diagonal da Hamiltoniana e 𝑍 gera os elementos da diagonal. Estaremos assumindo a constante de rede 𝑎 igual a 1. Os dados foram obtidos através de programas na linguagem FORTRAN 90 (Apêndice A) e os gráficos plotados utilizando o Origin 6.0 (OriginLab, Northampton, MA). Na tabela 4.1, estão descritos todos os parâmetros levados em consideração nas análises que serão apresentadas a seguir. Tabela 4.1: Parâmetros utilizados nas análises da densidade de estados e/ou da fidelidade quântica. Parâmetro. ordem da expansão de Chebyshev número de bases truncadas {|𝑟⟩} na estimativa de 𝜇𝑛 determina o alcance da interação intensidade da interação do canal 𝑋 intensidade da interação do canal 𝑍 largura (geralmente estimada) da banda energética estado inicial Dirichlet, Jackson ou Lorentz tempo (adimensional) = 2~𝑡/Δ𝐸 número de passos no tempo = 𝑡/𝐾. 𝑁𝑇 𝑅 𝛽 𝐽𝑥 𝐽𝑧 Δ𝐸 |𝜓(0)⟩ Kernel 𝑡 𝑡* 𝐾 Δ𝑡. 4.1. Descrição. Cálculo da densidade de estados. A densidade de estados é fornecida por ⎡. 𝑁. 𝐾𝑃 𝑀. onde 𝜇𝑛 ≈ (1/𝑅). ⎤. 𝑁∑︁ 𝑇 −1 1 ⎣ √ (𝐸) = 𝑔0 𝜇0 + 2 𝑔𝑛 𝜇𝑛 𝑇𝑛 (𝐸)⎦ 𝜋 1 − 𝐸2 𝑛=1. ∑︀𝑅−1 𝑟=0. (4.3). ⟨𝑟|𝑟⟩𝑛 (aproximação estocástica do traço) sendo |𝑟⟩ uma. combinação linear dos vetores de base |𝑘⟩ com coeficientes {𝜉𝑟𝑘 }. Inicialmente vamos supor que 𝐽𝑥 = 0, ou seja, a Hamiltoniana é diagonal. Dessa forma, já conhecemos o espectro e torna-se mais fácil selecionar os parâmetros 𝑁𝑇 e 𝑅.

(40) 29. Capítulo 4. Resultados e discussão. mais convenientes. A Fig. 4.1 mostra a densidade de estados (DOS) para diferentes valores de 𝑁𝑇 comparados com a curva exata2 . A curva está normalizada para área unitária (idem para todas as figuras envolvendo o DOS nesta seção). Nota-se que quanto maior a ordem 𝑁𝑇 , ocorrem pequenas oscilações. Este efeito é comum e ocorre porque para um sistema discreto e finito a densidade de estados é uma sequência de funções delta, Eq. (3.19). Basicamente, os polinômios de Chebyshev estão tentando resolver a estrutura de níveis do sistema. O fato de observarmos uma curva contínua para ordens mais baixas tem a ver com uma suavização inerente ao método KPM. O ganho varia inversamente com a maior ordem polinomial usada. Quando esta ordem é muito alta, portanto, a expansão passa a resolver a estrutura de níveis discretos do sistema e então surgem as oscilações. Podemos observá-las duma forma mais nítida na Fig. 4.2 onde empregamos o kernel de Dirichlet (𝑔𝑛 = 1). Em geral, esta é a razão pela qual a aplicação deste kernel é recomendável (as vezes necessária) apenas em expansões fortemente convergentes, como veremos na Sec. 4.2 para o operador evolução temporal. Note que até agora foi utilizado 𝑅 = 3 somente. Este valor é suficiente, tendo em. 0.16 curva exata NT = 50 NT = 100 NT = 200. 0.14 0.12. DOS. 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 -10. 0. 10. 20. E/Jz. Figura 4.1: Densidade de estados para diferentes valores de 𝑁𝑇 . A curva está normalizada para área unitária. Parâmetros: 𝑅 = 3, Δ𝐸/𝐽𝑧 = 44,21, 𝛽 = 0 e kernel de Jackson. A curva exata é, na verdade, uma curva ajustada ao histograma dos autovalores da Hamiltoniana. 2.

(41) 30. Capítulo 4. Resultados e discussão. 0.16 Dirichlet Jackson Lorentz. 0.14 0.12. DOS. 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 -10. 0. 10 E/Jz. 20. Figura 4.2: Curva da densidade de estados comparando os kérneis de Dirichlet, Jackson e Lorentz. Este último não apresenta boa convergência nos extremos do espectro e daqui em diante vamos utilizar o kernel de Jackson. Parâmetros: 𝑅 = 3, Δ𝐸/𝐽𝑧 = 44,21, 𝛽 = 0 e 𝑁𝑇 = 100.. √ vista que o erro relativo, 𝛿𝜇𝑛 /𝜇𝑛 é da ordem de 𝑂(1/ 𝑅𝐷) (Sec. 3.3.1). Poderíamos mostrar uma comparação de curvas com diferentes valores de 𝑅 mas as variações seriam imperceptíveis. Provavelmente, mesmo com 𝑅 ≫ 3 as mudanças seriam pouco significativas não compensando o custo computacional. Uma boa maneira de verificar a confiabilidade deste procedimento seria considerar apenas os elementos fora da diagonal da Hamiltoniana gerados pela interação 𝑋𝑗 𝑋𝑙 fazendo 𝐽𝑧 = 0. Os resultados devem corresponder aos anteriores com 𝐽𝑥 = 0, se mantermos a mesma escala de energia, evidentemente (Fig. 4.3). Isto ocorre devido à invariância rotacional [19] das propriedades deste sistema. Para melhor visualização, vamos considerar o estado de apenas um qubit. Transformar o operador 𝑍 para 𝑋 é equivalente a gerar uma rotação no sistema, |0⟩ → |1⟩ →. 1 √ (|0⟩ + |1⟩) ≡ |+⟩ , 2 1 √ (|0⟩ − |1⟩) ≡ |−⟩ , 2. (4.4) (4.5). onde, portanto, 𝑍 |+⟩ = |−⟩ e 𝑍 |−⟩ = |+⟩. É claro que, no caso da Fig. 4.3, tivemos a vantagem de já conhecer previamente o espectro. Se esta não fosse a.

(42) 31. Capítulo 4. Resultados e discussão. 0,16 curva exata Jx=0 Jz=0. 0,14 0,12. DOS. 0,10 0,08 0,06 0,04 0,02 0,00 -10. 0. 10. 20. E/Jα Figura 4.3: Densidade de estados para os casos onde só há interações em 𝑋 (𝐽𝑧 = 0) ou em 𝑍 (𝐽𝑥 = 0). A energia está expressa em unidades de 𝐽𝛼 onde 𝐽𝛼 = 𝐽𝑥 se 𝐽𝑧 = 0 e vice-e-versa. Parâmetros: 𝑅 = 3, Δ𝐸/𝐽𝛼 = 44,21, 𝛽 = 0, 𝑁𝑇 = 100 e kernel de Jackson.. situação poderíamos estimá-lo até o ponto onde a expansão de Chebyshev passa a divergir. A Fig. 4.4 mostra estas estimativas partindo de larguras de banda maiores até valores próximos de Δ𝐸 real. Na Fig. 4.5 podemos notar a divergência dos. 0.18 ∆E/Jx ∆E/Jx ∆E/Jx ∆E/Jx. 0.16 0.14. = 44,19 (valor exato) = 46,19 = 54,19 = 64,19. 0.12. DOS. 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0.00 -10. 0. 10. 20. E/Jx. Figura 4.4: Estimando a densidade de estados de acordo com Δ𝐸. Parâmetros: 𝑅 = 3, 𝛽 = 0, 𝑁𝑇 = 100 e kernel de Jackson..

(43) 32. Capítulo 4. Resultados e discussão. 5. 3x10. ∆E/Jx = 44,19 (valor exato) ∆E/Jx = 44,21 ∆E/Jx = 42,19. 5. 2x10. 5. µ(n). 1x10. 0 5. -1x10. 5. -2x10. 0. 10. 20. 30. 40. n Figura 4.5: Divergência dos coeficientes de expansão 𝜇𝑛 . Parâmetros: 𝑅 = 3, 𝐽𝑧 = 0, 𝛽 = 0 e 𝑁𝑇 = 40.. coeficientes da expansão 𝜇𝑛 para Δ𝐸 pouco menor do que valor exato. A divergência ocorre, evidentemente, quando alguns autovalores (reescalonados) são encontrados fora do intervalo [−1, 1]. Por fim, vamos considerar os dois canais de interação com 𝐽𝑥 = 𝐽𝑧 = 𝐽. Na Fig. 4.6 podemos ver que, ao aumentar o alcance da interação, ou seja, diminuindo 𝛽 (caso sub-ôhmico), o espectro tende para maiores valores de energia, como era de se esperar. A Fig. 4.7 mostra o comportamento da densidade de estados com a variação da intensidade da interação 𝐽. Este parâmetro define linearmente a escala energética. As curvas da densidade de estados do sistema obtidas nesta seção mostra que o método KPM é bastante conveniente para tratar deste aspecto. Em relação a métodos que envolvem a diagonalização direta da Hamiltoniana, o método KPM exige, significativamente, menos recursos computacionais..

(44) 33. Capítulo 4. Resultados e discussão. 0,10. β = -1 β=0 β=1. 0,08. DOS. 0,06 0,04 0,02 0,00 -10. 0. 10. 20. 30. E/J Figura 4.6: Densidade de estados, considerando ambos os canais de interação para diferentes valores de 𝛽. Parâmetros: 𝑅 = 3, 𝑁𝑇 = 100 e kernel de Jackson.. 0.10 J* = J J* = J / 1,25 J* = J / 1,50 J* = J / 1,75. 0.08. DOS. 0.06 0.04 0.02 0.00. -20. -10. 0. 10. 20. 30. E/J*. Figura 4.7: Densidade de estados para diferentes valores de 𝐽. Parâmetros: 𝑅 = 3, 𝛽 = 1, 𝑁𝑇 = 100 e kernel de Jackson..

(45) 34. Capítulo 4. Resultados e discussão. 4.2. Análise da fidelidade quântica. A aplicação do método KPM que vem a seguir é mais voltada para o contexto da Informação Quântica. Vamos calcular o decaimento da fidelidade do sistema. A fidelidade é uma medida que informa o quão sensível é a dinâmica de um sistema quântico sujeito a interações com o ambiente externo. Seria então uma medida de distância entre um estado quântico inicial e o estado após a evolução temporal. Ela é definida como [3] √︁. 1/2. 1/2. (4.6). 𝐹 (𝜌1 , 𝜌2 ) ≡ Tr 𝜌1 𝜌2 𝜌1 ,. onde 𝜌1 e 𝜌2 são dois estados arbitrários. No caso de dois estados puros, digamos, o estado inicial |𝜓(0)⟩ e o estado |𝜓(𝑡)⟩ após um certo instante 𝑡, teremos 𝐹 (|𝜓(0)⟩ , |𝜓(𝑡)⟩) = Tr =. √︁. [︂√︁. ]︂. ⟨𝜓(0)|𝜓(𝑡)⟩ ⟨𝜓(𝑡)|𝜓(0)⟩ |𝜓(0)⟩ ⟨𝜓(0)|. ⟨𝜓(0)|𝜓(𝑡)⟩ ⟨𝜓(𝑡)|𝜓(0)⟩. = |⟨𝜓(0)|𝜓(𝑡)⟩|.. (4.7). Portanto, a fidelidade nada mais é do que o valor absoluto do produto interno entre os dois estados. Seja |𝜓(𝑡)⟩ = 𝑈 (𝑡) |𝜓(0)⟩, o operador evolução temporal é expresso por, de acordo com o método KPM, 𝑈 (𝑡) = 𝑔0 𝐽0 (𝑡) + 2. 𝑁∑︁ 𝑇 −1. ^ (−𝑖)𝑛 𝑔𝑛 𝐽𝑛 (𝑡)𝑇𝑛 (𝐻).. (4.8). 𝑛=1. Para análise do decaimento, a fidelidade deve ser calculada em diversos instantes e portanto será mais conveniente dividir o tempo 𝑡 em 𝐾 partes de Δ𝑡. Note que este procedimento é similar ao o descrito para Hamiltonianas dependentes do tempo na Sec. 3.3.2. Mas como 𝑉𝑒𝑓 𝑓 é independente do tempo, torna-se desnecessário requerer que Δ𝑡 → 0. Considerando diversos intervalos de tempo 𝑡𝜆 = 𝜆Δ𝑡, onde 𝜆 = 0, 1, ..., 𝐾, temos que ^. ⟨𝜓(0)|𝜓(𝑡𝜆+1 )⟩ = ⟨𝜓(0)| 𝑒−𝑖𝐻Δ𝑡 |𝜓𝑡𝜆 ⟩ = 𝑔0 𝐽0 (Δ𝑡)𝛾𝜆0 + 2. 𝑁∑︁ 𝑇 −1. (−𝑖)𝑛 𝑔𝑛 𝐽𝑛 (Δ𝑡)𝛾𝜆𝑛 ,. 𝑛=1. (4.9).

(46) 35. Capítulo 4. Resultados e discussão. ^ |𝜓(𝑡𝜆 )⟩. Sendo assim, a fidelidade a cada passo no tempo é onde 𝛾𝜆𝑛 = ⟨𝜓(0)| 𝑇𝑛 (𝐻) obtida por 𝐹𝜆+1 = 𝐹 (|𝜓(0)⟩ , |𝜓(𝑡𝜆+1 )⟩) = | ⟨𝜓(0)|𝜓(𝑡𝜆+1 )⟩|.. (4.10). Considerando o estado inicial |𝜓(0)⟩ = |0⟩ e 𝐽𝑧 = 𝐽𝑥 = 𝐽 a Fig. 4.8 mostra o comportamento da fidelidade ao longo do tempo para diferentes valores de 𝛽. O tempo 𝑡 = 𝑡* Δ𝐸/2~ é adimensional. Torna-se claro, portanto, que a escala de tempo do decaimento da fidelidade depende da largura da banda Δ𝐸. Quanto menor for 𝛽, maior Δ𝐸 e mais rapidamente a fidelidade decai. Isso está associado à correlação do sistema, ou seja, ao alcance das interações entre os pares de spins. As Figs. 4.9 e √ 4.10 fornecem a mesma análise considerando os estados iniciais (|0⟩+|262143⟩)/ 2 e √ (|0⟩+|1⟩+...+|262143⟩)/ 𝐷, respectivamente. Outro parâmetro que tem influência na escala de tempo do decaimento, é a intensidade da interação 𝐽 como podemos observar na Fig. 4.11. Isso é evidente tendo em vista a dependência em Δ𝐸. A única razão pela qual há oscilações na fidelidade ao longo do tempo é que no modelo de interação o sistema mantem coerência quântica. Se levássemos em conta a. 1,0. 0,8. F(t). 0,6. 0,4. β = 0,5 β = 0,25 β=0 β = -0,25 β = -0,5. 0,2. 0,0. 0. 10. 20. 30. 40. 50. 60. t Figura 4.8: Decaimento da fidelidade para diferentes valores de 𝛽. Parâmetros: |𝜓(0)⟩ = |0⟩, Δ𝑡 = 3, 𝑁𝑇 = 15 e kernel de Dirichlet..

(47) 36. Capítulo 4. Resultados e discussão. 1,0 0,8. F(t). 0,6 0,4 β=1 β = 0,5 β=0 β = -0,5 β = -1. 0,2 0,0 0. 10. 20. 30. 40. 50. 60. t Figura 4.9: Decaimento da fidelidade para diferentes valores de 𝛽. Parâmetros: |𝜓(0)⟩ = √ (|0⟩ + |262143⟩)/ 2, Δ𝑡 = 3, 𝑁𝑇 = 15 e kernel de Dirichlet.. 1,0. 0,8. F(t). 0,6. 0,4. β=1 β = 0,5 β=0 β = -0,5 β = -1. 0,2. 0,0. 0. 10. 20. 30. 40. 50. 60. t Figura 4.10: Decaimento da √ fidelidade para diferentes valores de 𝛽. Parâmetros: |𝜓(0)⟩ = (|0⟩ + |1⟩ + ... + |262143⟩)/ 𝐷, Δ𝑡 = 3, 𝑁𝑇 = 15 e kernel de Dirichlet..