Revisão de Pré-Cálculo

Revisão de Pré-Cálculo

EQUAÇÕES E POLINÔMIOS

Prof. Dr. José Ricardo de Rezende Zeni

Departamento de Matemática, FEG, UNESP Lc. Ismael Soares Madureira Júnior

OBJETIVOS

●

Relembrar técnicas elementares para

resolução de equações polinomiais.

●

Relembrar alguns conceitos básicos de

polinômios, fatorações e também a

igualdade entre dois polinômios.

●

Conhecer as possíveis fatorações de um

IGUALDADE - PROPRIEDADES

1. Reflexiva u = u.

2. Simétrica u = v se e somente se v = u.

3. Transitiva se u = v e v = w então u = w.

4 e 5. Igualdade é preservada pela adição ou multiplicação

u = v se e somente se u + z = v + z (qualquer que seja z) u = v se e somente se u.z = v.z (z <>0)

ALGUMAS IDENTIDADES

Se o produto de dois números é igual a zero então um deles deve ser zero.

a. b = 0 <=> a = 0 ou b = 0

Se o quociente de dois números é nulo então o numerador deve se anular.

a/b = 0 <=> a = 0

Se uma potência de um número é igual a zero então o número deve ser zero.

EQUAÇÕES

Uma equação é uma igualdade entre duas expressões.

O que difere uma igualdade de uma equação é a presença de uma incógnita (na equação).

A(s) solução(ões) da equação são os valores da incógnita que satisfazem a igualdade.

EQUAÇÕES EQUIVALENTES

Duas equações são equivalentes se elas têm a mesma solução. A equação u = v é equivalente

1) a equação u + z = v + z

EQUAÇÕES - EXERCÍCIOS

1) Mostre que se a = b e u = v então deve valer u.a = b.v. Determine se as equações abaixo são equivalentes ou não. 2) 2.x - 3 = 7 e x = 5 3) e x = 2 4) e x = 3. 5) e x2 = 2x x2 = 9 x4 = x2 x2 = x

EQUAÇÃO LINEAR

Dados a (a ≠ 0) e b números reais, resolva para x

a.x + b = 0

Resolução passo a passo

1. Some - b a igualdade: a.x = - b

2. Divida por a a igualdade: x = - b/a

Obs: efetuar uma operação com uma igualdade significa efetuar a operação com as expressões em cada lado da igualdade.

Equação Quadrática (ou 2

o

grau)

Uma equação quadrática em x é aquela que pode ser escrita na forma

a.x² + b.x + c = 0 (a ≠ 0)

onde a, b e c são números reais.

Soluções (raízes) da equação quadrática

Discriminante da equação

x =

−

b ±

√

Δ

2a

Equação Quadrática - Classificação das Raízes

Discriminante

Sinal do Δ Classificação das Raízes Fatoração da Expressão

Δ > 0 reais e distintas, r1 e r2 Δ = 0 reais e iguais, r

Δ < 0 complexas conjugadas

a.x² + b.x + c

Observação: quando Δ < 0 dizemos que a expressão quadrática não fatora nos reais.

Δ = b2 − 4.a. c

a.(x−r₁).(x−r₂)

Equação Quadrática - Resolução

Por simplicidade, consideramos a equação com a = 1

x² + b.x + c = 0

<=>

x² + b.x = - c

Complete o quadrado em x, isto é, some e simplifique

Resolva para x + b/2 (extraia as raízes quadrada)

Some – b/2 para obter a solução para x

(b/2)2 (x + b/2)2 = b 2 −4.c 4 x + b/2 = ±

√

b 2 − 4.c 2 x2 + b.x + (b/2)2 = (b/2)2 − c

EQUAÇÃO x^n = a

Sejam a um número real e n um número inteiro positivo A equação tem por solução real

● Se n é ímpar então (solução única)

● Se n é par e a > 0 então (2 soluções)

● Se n é par e a < 0 então não existe solução real.

Se a = 0 então solução trivial x = 0

Na lousa, colocar a resolução gráfica (interseção de y = x^n com a reta horizontal y = a)

xn = a

x =

_√

n a

POLINÔMIOS

Toda expressão p(x) que pode ser escrita como a soma de potências

são os coeficientes de p(x)

Grau de um polinômio: grau(p) = n, considerando

A soma ou o produto de dois polinômios também é um polinômio. grau(p + q) = max{grau(p), grau(q)}

grau(p.q) = grau(p) + grau(q)

Dois polinômios são iguais se os coeficientes das mesmas potências são iguais.

p (x) = a_n xn + a_n−1 xn−1 + ... + a₁x1 + a₀ x0

a_n, a_n−1, ... , a_1, a₀

Equações Polinomiais

Teorema 1 (Teorema Fundamental da Álgebra)

Se grau(p) = n então a equação p(x) = 0 tem n raízes (reais ou complexas).

Teorema 2 (Fatoração devido a uma raiz real)

Se r é uma raiz real de p(x) então existe um polinômio g(x) tal que p(x) = (x – r).g(x) (grau(g) = grau(p) - 1)

Teorema 3:

as raízes complexas aparecem em par de raízes conjugadas (associadas a um fator quadrático )

Teorema 4:

todo polinômio de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real.

Fatoração de Polinômios

Seja p(x) um polinômio com coeficientes reais.

Teorema: todo polinômio pode ser fatorado no produto de fatores lineares (associados com as raízes reais) e fatores quadráticos

(associados aos pares de raízes complexas conjugadas). Seja r uma raiz real de p(x).

Definição: a multiplicidade da raiz real r é o número de vezes que o fator (x – r) aparece na fatoração de p(x).

Equação Cúbica - Raízes e Fatoração

Classificação das Raízes Fatoração da Expressão

3 raízes reais e distintas 2 raízes reais e distintas (1 raiz dupla e 1 simples)

1 raiz real tripla

1 raiz real simples e

2 raízes complexas conjugadas

a x3 + b x2 + c x + d = 0

a.(x−r₁).(x−r₂).(x−r₃)

a.(x−r₁)2.(x−r₂)

a.(x−r)3

EXERCÍCIOS

1) Determine os coeficientes do polinômio

2) Determine os números reais b e c sabendo que

3 e 4) Determine todas as raízes reais da equação 3) (determine duas raízes por inspeção e a terceira por fatoração)

4)

5) (substitua y = x^2)

6) Fatore os polinômios correspondentes ao lado esquerdo das igualdades no exercícios 3 a 5. p( x) = ( x−2).( x2−x+3) x3 − 3 x2 + 20 = (x + 2).(x2 + b x + c) x3−x2−x + 1 = 0 x3−x2−2 x = 0 x4−5 x2 + 4 = 0

Mais Comandos do Wolfram Alpha

Comando para resolver equações

Solve x^3 – x² – x + 1 = 0

Lembrando... alguns comandos

Factor x^4 – 5 x^2 + 4