Metodos de detecção de alterações na distribuição de um processo : aplicação em dados de frequencia cardiaca

- - - -

~---R 145m

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS

UNICAMP

' • A

INSTITUTO DE MATEMATI,CA ESTATISTICA E CIENCIA DA COMPUTACÃO

"MÉTODOS DE DETEC<;ÃO DE ALTERAÇÕES NA DISTRIBUIÇÃO DE UM

PROCESSO, APLICAÇÃO EM DADOS DE FREQÜtNCIA CARD!ACA"

'RUTH MYRIAM RAMIREZ PONGO

CAMPINAS - (SP)

•

1989

TÍTULO DA TESE! "MITODOS DE DETECÇÃO DE ALTERAÇ0ES NA DISTRIBUIÇÃO DE UM PROCESSO' APLICAÇÃO EM DADOS DE FREQ0CNCIA CARDÍACA".

Este exemplar corresponde a redação

final da tese devidamente corrigida e defendida pela Srta. RUTH MYRIAM

RAMIREZ PONGO e aprovada pela Comissão Julgadora.

Campi~as,

22

de novembro de 1989.

Prof.

Dr.;?:(l/41f ... .

( 1

orientador

Dissertação apresentada ao Instituto de Matemática, Estatística e Ciência da Computação, UNICAMP, como requisito parcial para obtenção do Titulo de

•

_Orientador-:

Prof. Dr. Manuel Folledo

As

informações observacionais utilizadas

neste

trabalho

foram

coletadas através de um protocolo

experimental desenvolvido pelo ~Laboratório de Hemodinâmica e Função

Pulmonar do Hospital das Clinicas da Faculdade de Medicina de Ribeirão

]

•

AGRADECIMENTOS

Ao professor Manuel Folledo pela amizade e pela

orientação;

Aos amigos dq IMECC UNICAMP, em particular aos colegas do curso e aos professores que contribuiram para a minha

formação acadêmica;

A Júlla e

Alonso

pela amizade e apolo constante durante minha estada no pais;

A Luzia pela sua amizade e pela confiança que depositou

em mim;

Ao Heraldo pela amizade e companherismo brindado ao longo deste trabalho;

Aos amigos Dr. Gallo e Barreto pela colaboração e

incentivo;

Ao amigo Mário pela sua colaboração oportuna na digitação deste trabalho;

As instituições CNPQ, financeiro recebido;

FAPESP e CAPES pelo apoio

A todos os meus amigos, dentro e fora da universidade,

•

cujos nomes não menciono mas que deram mui ta :força para que eu chegasse até aqui.

INDICE

Pág.

Introdução . . . 1.

Capítulo 1. O Problema Biológico 1. 1.- O Limiar- de Anaerobiose . . . 7.

1.2.- Aplicações . . . 9.

1.3.- Determinação do LA . . . , . . . 10.

Capitulo 2. Análise Seqüencial 2. 1.- Teste de Hipóteses . . . 14.

2.2.- Testes Seqüenciais . . . 17.

2.3.- Função Característica de Operação ... 18.

2.4.- Função Número Amostrai Médio ... 19.

2.5.- Test~da Razão de Probabilidade Seqüencial.20. 2.6.- Teste de Hipótese para Médias ... 21.

!

Gapitulo 3.

Esquemas de Controle de Somas Acumuladas

3.1.- Detecção de Mudanças ·em um Processo ... 25.

3. 2.- Diagrama de Controle . . . 27.

3·. 3.- Esquemas CUSUM .••.••. ', ••.••••••••••.•••••.• 28. 3.4.- Esquemas CUSUM Unilaterais ... 29.

3.4.1.- Diagramas de Controle CUSUM ... 29.

-3. 4. 2.- Forma Computacional do Diagrama

de Controle CUSUM ... 34.

3.5.- Esquemas CUSUM Bilaterais ... 35.

3.5.1.- Diagrama de Controle CUSUM ... 35.

3.5.2.- Versão Computacional ... 38.

3.6.- Esquemas CUSUM para Médias Amostrais ... 39.

3.6.1.- Diagrama CUSUM para Testes Unilaterais . . . 39.

3.6.2.- Versão Computacionat do Diagrama CUSVM para Testes Unilaterais ... 41.

3. 6. 3.- Determinação dos Parâmetros h e k .. 41.

3.6.4.- Diagrama CUSUM para Testes Bilaterais . . . 42.

3.6,'5.- Parametrização da Máscara V ... 44.

3.6.6.- Relação entre os Parâmetros a "Máscara" V e os Parâmetros do Teste Uni lateral ... , 44.

3.6.'1'.- Dimensões da "Máscara" V . . . 47.

3. 6. B.- Forma Computacional da "Máscara"

• v ... ·-· ...

48.

J

3.7.- Tamanho Médio da Par'tida . . . 50.

3.7.1.- ARL para Esquemas CUSUM ... 51.

3.8.- Câlculo do ARL dos Esquemas CUSUM .•... 53.

3.8.1.- Esquemas Unilaterais ... 53.

3. 8. 2.- Esquemas Bilaterais . . . 58.

3.9.- Esquemas CUSUM FIR ... 58.

3.10.- Esquemas CUSUM Robustos ... 60.

3.11.- Efeito da Correlação Serial na Performance dos Esquemas CUSUM ... 61.

Capítulo 4.- Esquemas CUSUM Adaptativo 4.1.- Detecção de Mudanças em um Processo quando o Estado Inicial Evolui no Tempo .... , ... ,63.

4.2.- CUSUM Adaptativo para o Caso .Normal ... 64.

4.3.- Algoritmo do Procedimento Adaptativo ... 68.

4.4.- Ilustração: Um Estudo de Simulação para o Caso Normal ... 69.

4.4.1.- Aplicação dos Testes CUSUM Adaptativo e CUSUM Padrão ... 69.

4.4.2.- Cálculo do Tamanho Médio da Parti-P- da (ARL) ... 72.

Capitulo 5.- Aplicação 5.1.- O Delineamento Experimental ... 87. 5.1.1.- A Bicicleta Ergométrica ... 88. 5.1.2.- O Eletrocardiograma ...•... 88. 5.1.3.- A Freqüência Cardíaca ... 89. 5. 2.- Resul t_ados ...•...••.•...•... 97.

5.3.- Análise Comparativa com Resultados do Limiar de Anaerobiose a Partir de Dados de Ventilação ... 101.

5. 4.- Discussões . . . 102.

Bibliogra:fia. - ... 112 .

INTRODUCÃO

•

O problema a ser considerado neste trabalho é

concernente à detecção de mudanças no valor do parâmetro de uma distribuição.

Os campos de aplicação, onde possam surgir os problemas de detectar tais mudanças são diversos. Por exemplo, em um experimento de percepção extrasensorial, pode ser de interesse,

estimar a posição de alguma mudança na proporção de respostas

corretas dadas por um sujeito em uma sessão de perguntas. Também são amplamente conhecidos os problemas que ocorrem nas indústrias, situações em que interessa detectar mudanças na qualidade da sada de um processo de produção contínuo. A qualidade de uma saída pode ser I"'epresentada mediante alguma

característica mensurável; este número, simbolizado por 6, pode ser assumido como um parâmetro da distribuição, de modo que, há

interesse nas mudan9as deste parâmetro

e.

Quando em um p1_;ocesso ocorrem mudanças, o resultado pode ser uma mudança na locação da distribuição (posição da média), na variância ou na média e variância da variável observada. Os parâmetros são medidos para prover informações

sobre o desenvolvimento de um processo. Esta informação resulta em uma decisão: ou que o processo é essencialmente o mesmo, ou que alguma mudança tenha ocorrido. Para se decidir entre estas alternativas ê necessário alguma forma de aval i ação estat ist ica.

Os métodos estatisticos para resolver o problema de detectar uma mÚdança no parâmetro 9 são diversos, entre outros, destacam-se os Diagramas de Controle de Shewhart e os Diagramas de Somas Acumuladas, comumente denominados Diagramas CUSUM

(Cumulati ve Sum).

O

trabalho concentra-se nos esquemas de Controle CUSUM, cujas regras foram desenvolvidas, inicialmente pelo estatístico britânico Page (1954). Estes esquemas caracterizam-se por usarem

a informação de todas as observações que foram obtidas até a hora

de aplicar o teste1 o que aumenta a sensibilidade do diagrama

para a detecção de pequenas mudanças.

Embora os procedimentos CUS UM sejam amplamente aplicados no controle de qualidade dos processos industrlais, não estão restritos a esta área de aplicação, pois existem outros campos em que a performance dos esquemas CUSUM é tão eficiente como no mencionado anteriormente. Por exemplo, Mahon (1977) destaca o uso dos diagramas CUSUM em estudos de confiabilidade de equipamentos, ou em estudos de padrões de perda. Também, Chen

(lfl78) aplica as técnicas CUSUM no controle do índice de uma determinada má formação congênita.

Na medicina clinica, a utilização de testes de

exercício fisico é

•

de grande utilidade em avaliações cardiorespiratórias, como forma diagnóstica auxiliar em urna série de patologias (que afetam de alguma maneira a cadeia de processos fisiológicos do exercicio) ou na avaliação da ação dos

medicamentos (Martins, 1986).

Um dos grandes obJetivos de interesse ao se estudar a execução do trabal.ho muscular é o conhecimento do Limiar de Anaeroblose, termo que é aplicado para denominar o ponto a partir

do qual a concentração de lactato no plasma aumenta acima de

determinados .valores e / ou o volume corrente aumenta

desproporcionalmente à captação de oxigênio.

A proposta deste trabalho refere-se à aplicação de métodos de controle estatístico de processos para a determinação

do Limiar de Anaerobiose, a partir de dados de freqüência

cardíaca de indivíduos su~metidos a testes de exercício físico de intensidade progressiva.

O CAPÍTULO 1, aborda o problema biológico envolvido, visando uma compreensão do fenômeno fisiológico conseqliente. Nesfe capitulo, define-se o Limiar de Anaerobiose e faz-se uma revisão suscinta sobre as formas como é determinado seu valor, sem deixar de destacar que o conhecimento deste é importante em múltiplas aplicações.

Uma forma de esclarecer a teoria dos esquemas CUSUM é considerando-os como um procedimento de amostragem seqüencial. Por isso, no CAPÍTULO 2, é apresentada uma sintese da teoPia clássica de testes de hipóteses, e também uma revisão rápida sobre análise seqüencial, dando ênfase nos testes da razão de probabilidade seqliencial e, dentro destes, o caso de testes para médias amostrais de uma distPib:uição Normal. Também, definem-se os elementos que permit~ avaliar as conseqüências da escolha de um determinado teste, isto é, as funções NÚmero Amostral Médio e CaracterÍstica de Opera;ão. Isto ajudará a notar porque os diagramas CUSUM podem ser mais efetivos em reduzir o Tamanho

Médio da Partida que é anâlogo ao NÚmero Amostral Médio da teoria de análise seqüencial.

No

CAPÍTULO 3

são

apresentados os esquemas CUSUM. Estes

esquemas são amplamente utilizados na indústria, devido a isto, é

usual encontrar na teoria termos relacionados a esta área de aplicação. En-tretanto, é realizado um es.forço na tentativa de utilizar termos que se adequam às situações gerais.

No estudo de dados de um processo duas propriedades são de grande importância: o ponto onde ocorre uma mudança e a

magnitude desta mudança. A primeira corresponde a um problema de teste de hipótese e a segunda a um procedimento de estimação. Os

esquemas CUSUM podem ser aplicados como procedimentos de testes de hipóteses e como procedimentos de estimação. O presente trabalho estuda e apresenta a teoria dos esquemas CUSUM dando ênf~se à performance destes como procedimentos de testes de hipóteses. Ao longo do estudo, considera-se as medidas de uma única variável aleatória X.

A caracteristica principal das técn.icas CUSUM é que valores sucessivos de uma variável são comparadas com um alvo pré-determinado ou valor referência fixado, e a soma acumulada dos desvios são apresentadas em um diagrama ou registrada em forma tabular. Por isso, em cada caso, são consideradas as duas versões do teste CUSUM: gráfica e computacional (ou numérica).

Na prática, muitos processos observados podem ser caracterizados pelo seu nivel médio e, ainda mais, as observações podem ser representada~ por variáveis aleatórias que podem ser assumidas como tendo distribuição No•mal. Esta distribuição pode surgir do erro instrumental ao observar o processo, da variabilidade inerente ao processo, ou de ambas as fontes. Os

testes CUSUM para médias amostrais de observações que provêm de

uma população Normal, de variància constante, são apresentados em

detalhe.

Com a finalidade de descrever os riscos estatisticos de

um esquema é costumeiro estabelecer dois niveis de qualidade, o Nivel de Qualidáde Aceitável e o Nivel de' Qualidade Rejeltável, e

um par de valores de tamanho médio da partida (L

.

e L )

'

associados a estes niveis de qualidade. Estes conceitos também são definidos aqui, pois constituem-se dos elementos da avaliação da performance do esquema escolhido. Os Tamanhos médios da partida correspondem aos riscos do erro Tipo I ou erro tipo 11 em

testes de significància, ·ou à caracterÍstica de operagão dos esquemas amostrais de aceitação.

Por último, neste capítulo, apresenta-se também algumas modificações que podem ser feitas ao se implementar os esquemas CUSUM com a finalidade de melhorar a performance destes, sob os titulas de Esquemas CUSUM FIR (Fast Inicial Response) e Esquemas CUSUM Robustos.

A suposição geral para a implementação dos procedimentos de controle CUSUM é de que o parâmetro da distribuição é fixo e constante ao longo do tempo em que o estado do processo é considerado satisfatório. Neste trabalho é abordada uma nova técnica, baseada na suposição de que o parâmetro varia lentamente ao longo do tempo, mas que em um instante desconhecido sofre uma alteração. Nesta situação, o esquema CUSUM adaptativo é o teste adequado para a detecção, de tais mudanças. A teoria desta

•

técnica acompanhada de um estudo de simulação são apresentadas no

CAPITULO 4.

Finalmente, a aplicação do presente trabalho é

apresentada no CAPÍTULO 5. A mesma foi realizada com dados

fornecidos pelo Laboratório de Hemodinâmica e Função Pulmonar da

FMRP - USP que correspondem à freqüência cardíaca registrada em indivíduos. submetidos a um teste de exercícios físicos de intensidade progressiva. Foram aplicados a esses conjuntos de dados os dois esquemas citados nos capitulas 3 e 4, para a

determinação do Limiar de Anaerobiose d7 cada indivíduo .

•

CAPITULO 1

•

O PROBLEMA BIOLOGICO

1.1.- O LIMIAR DE ANAEROBIOSE

Na execução de trabalho muscular, as atividades cardiovascular e respiratória estão envolvidas de :forma aumentada. O aumento da atividade cardiorespiratória está

relacionada com a magnitude e forma de trabalho executado, e é o

resultado de uma cadeia de processos envolvendo basicamente os

sistemas respiratório, cardiovascular e neural. (Martins, 1986).

A produção do trabalho externo é o resultado da transformação da energia ingerida no alimento em energia mecânica

da contração muscular. Neste processo, o intermediário energético obrigatório ~é o trifosfato de adenosina (ATP); portanto, durante o exercício físico, será necessário que a concentração intramuscular de ATP seja mantida. A geração continuada deste composto de fosfato pode ser realizada por

metabolismo aerÓbico

ou por

metabolismo anaerÓbico.

·:O suprimento adequado de 0

2 molecular às unidades geradoras

da ~orça muscular durante o exercicio fisico é a chave para saber

se v'' ATP é produzido por processo parcialmente aerÓbico e anaerÓbico.

totalmente aerÓbico ou

O processo aerÓb i co

caracteriza-s~ . fundamentalmente pela presença de oxigênio nas reações, enquanto que a geração anaerÓbica é caracterizada pela

ausença de 0

2 molecular e porque o produto final é o ácido láctico, causando a acldose metabÓlica que por sua vez manifesta-se em fadiga. A quantidade de oxigênio c_onsumida em

que i ocorre esta mudança de processo é definida como Limiar de

Anaerobiose (LA).

Outrossim, quando um individuo é submetido a exercícios fisicos de intensidade progressiva, registra-se a existência de um nivel de esforço (ou trabalho}, além do qual observa-se uma elevação abrupta na taxa de ácido láctico sangüineo (Wasserman et

ai, 1964). Este valor de esforço fÍsico registrado foi interpretado corno um indicador individual do início do metabolismo anaerÓbico molecular e recebeu· a denominação de Limiar de Anaerobiose (LA).

Resumindo, o termo Limiar de Anaerobiose é aplicado para denominar o ponto a partir do qual a concentração de lactato no plasma aumenta acima de determinados valores e o volume corrente au .. 1enta desproporcionalmente à captação de oxigênio. Costuma-se definir o LA como sendo o valor da carga e/ou o consumo de oxigênio a partir do qual o processo aerÓblco não consegue sustentar a produção ~necessária para manter a concentração

intramuscular de ATP.

1.2.- APLICAÇÕES

A aplicação inicial do conhecimento do LA Ioi para

estabelecer a resistência ao exer-ciclo físico de individuas com

doenças cardioresplratórias (Wasserman et al, 1964); entretanto,

nos últimos anos, as aplicações do LA têm-se diversificado.

Entre outras, Calozzo et al (1982) citam as seguintes:

1. na caracterização da resistência física dos atletas;

2. na prescrição de exercícios físicos;

3. na avaliação da evolução da capacidade fisica de atletas submetidos a treinamento;

4. no estudo do efel to de drogas na resistência ao exercicio fisico;

5. no estudo das propriedades bioquímicas dos músculos; 6. como ferramenta preditora da resistência física;

por exemplo, o LA constitui-se em um parâmetro chave

para definir a capacidade de sustentar exercícios

~1sicos de alta intensidade.

A aplicação do LA na medicina clínica depende, em grande parte, do conhecimento dos valores normais assumidos pela população saudável. Assim, por exemplo, em estudos comparativos de pacientes com doenças cardíacas foi encontrado que os valores de LA estão bem abaixo dos níveis obtidos em indivíduos sadios

(Wasserman et al, 1964).

Em geral, a utilização clínica de testes de exercício físico, há multo vem mostrando-se de grande utilidade em avaliações cardiorespira~órias como forma diagnóstica auxiliar em uma série de patologias (que afetam de alguma maneira a cadeia dos procsessos fisiológicos do exercício) ou na avaliação da ação de medicamentos (Martins, 1986).

1.3.- DETERMINAÇÃO DO LA

As formas de determinar o valor de LA são di versas e os

critérios utilizados na sua detecção têm gerado controvérsias.

A principio, o processo para a obtenção do valor do LA consiste na a~álise do comportamento das respostas hematoquímicas e cardiorespiratórias a um teste ergométrico tipo rampa ou escada (Martins, 1986).

As variáveis usualmente observadas para determinar o LA são a concentração de lactato no plasma e o volume corrente. A medida destas respostas durante o exercício físico, pode ser

realizada através de técnicas invasivas e nao invasivas.

Os métodos lnvasivos consistem, por exemplo, em medir a concentração de lactato no sangue por meio de amostras colhidas no tempO. A partir de curvas da concentração de lactato sangüíneo junto com critérios que estabelecem as modificações no comportamento gráfico, o

LA

é quantificado, Porém, estes métodos acarretam grandes alterações no sistema eferente simpático, ocasionando, também, alterações no sistema observado.

Muitos pesquisadores têm feito uso de

métodos não invasivos

na determinação do

LA

evitando, desta forma, a violação do organismo do indivíduo em estudo. Sob a hipótese de que a acidose metabÓlica, induzida pela formação de ácido láctico, provoca mudanças fisiológicas nas trocas gasosas respiratórias, .foram propostos vários indicadores cardiorespiratórios. Segundo Caoizzo et al ( 1982),. entre os Índices de troca de gases ou

ventilatÓrlos

mais comunmente usados encontram-se:

2.

a

Produ~ão de dioXido de carbono (

Vco ) ;

2

3. o Quociente respiratÓrio, isto é, a relação entre a eliminação de C0

2 e o consumo de oxigênio, ( R ) 4. o Equivalente ventilatÓrio para 0

2 isto é,

Ventilação Minuto /Consumo de 02 • (

VE /

vo2 ).

Os critérios para se determinar o LA, quantificando-o como o

nivel de esforço fisico, a partir destes índices, são:

!. quando observa-se o inicio de um incremento não

•

linear na

v

E ;

2. quando for observado o início de

um

incremento não •

linear na

v

co

2

3. quando observa-se o inicio de

um

incremento

substancial no R ;

4.

o ponto a partir do qual observa-se o início de um incremento sistemático no /

haja um incremento no equivalente veritilatÓrio para

v )

_co

2

Dos índices mencionados, o equivalente venlilatÓrio para 0

2 é

apresentado como o índice de troca de gás mais sensível e mais confiável, para detectar o LA não invasivamente. (Caiozzo et al,

1982).

Em testes de esforço físico no campo, o LA tem sido usualmente deduzido, determinando-se a relação entre o lactato sangüíneo e a vel•cidade de corrida, ou determinando-se alterações nos indices de troca de gases respiratórios.

Nos últimos anos, tem-se tornado de grande interesse o

desenvolvimento de testes que determinem uma avaliação rápida, confiável, reproduzivel e econômica desta taxa de trabalho além

da qual, existe uma acumulação de lactato no músculo e no sangue.

Neste sentido, Conconi et al (1982), desenvolveram um teste de

campo que determina o LA de forma indireta e não invasiva, medindo a freqliência cardíaca (FC) e a velocidade de corrida

(VC). O teste. é construido sob a hipótese de que acima do LA ,

um aumento na velocidade de corrida é independente da freqüência

cardíaca, isto é, a intensidade de trabalho aumenta mais do que a

freqüência cardíaca. Da relação VC-FC foi observado que, em

parte, esta é linear e em parte é não linear. A velocidade na

qual a relação linear VC-FC desaparece tem sido chamada velocidade de deflexão (

Vd }

e o ponto onde é constatada a perda de linearidade é denominado ponto de varia~ão da pendente (SVP, de "Slope Variation Point"). Por outro lado, Ioi determinada a velocidade no LA mediante amostras de lactato sangüineo. As duas velocidades leram identilicadas como sendo coincidentes. Logo,

V

conStitui-se em

d um sinal Iislológico e útil para a

determinação indireta e nao lnvasiva

-

do LA.

Maf'Iulli et al (1987). realizaram um estudo mais critico sobre a relação entre o LA e o SVP sob condições de laboratório bem controladas, conlirmando que a partir de uma velocidade de corrida individual, determinada e lixada, existe uma perda de linearidade na resposta linear da FC a um exercício de carga aumentada, e que existe uma alta correlação entre a velocidade de corrida no SVP e o limiar de anaerobiose determinado pela concentração de -lactato. Corrobora-se, mais uma vez, que estes testes são Iacilmente reproduzíveis e são úteis para a determinação rápida e ~o invasiva do LA.

No Laboratório de Hemodinâmica e Função Pulmonar da FMRP -USP Ioi realizado um protocolo experimental, utilizando métodos

não invasivos na observação das respostas cardiorespiratórias ao exercício fisico; as variáveis medidas foram a freqüência cardíaca e o volume corrente. Entre os resultados obtidos estão a detecção visual do

LA

a partir da curva de ventilação (um dos índices usuais) e da curva de intervalos RR. Neste trabalho, o

limiar de anaerobiose foi definido como o valor de carga

correspondente ao "ponto de inflexão': das curvas de volume corrente

e

intervalo RR , entendendo-se por "ponto de inflexão" o ponto em que a observação do grá.fico sugere uma mudança no comportamento da variável (Martins, 1986).

Pode-se notar que os critérios utilizados na determinação do

LA

são de carater subjetivo, o que dá uma idéia da imprecisão envolvida nas medidas obtidas. Assim, a utilização do computador com o auxilio de critérios matemáticos e estatísticos tornam-se necessários para eliminar o carater subjetivo presente na detecção

visual do LA.

Um

procedi~ento deste tipo é implementado em Sole r ( 1988).

Tendo em vista a importância do assunto e a necessidade de contar com métodos que eliminem a subjetividade na detecção do LA, propõe-se, neste trabalho, utilizar métOdos de controle estatístico de processos para se detectar mudanças no processo observado. Para tanto, contou-se com a colaboração do Laboratório de Hemodinâmica e Função Pulmonar da Faculdade de Medicina de Ribeirão Preto USP que proporcionou os dados experimentais a serem analisados no presente trabalho.

CAPITULO 2

ANÁLISE SEQÜENCIAL

2.1.- TESTE DE HIPÓTESES

Seja X uma variável aleatória. Em geral, ocorre que a distribuição de X não é completamente conhecida, ou mesmo, dispõe-se, a prior!, de algum conhecimento parcial sobre ela. Nestas condições, surge um pr-oblema estatístico quando se quer

tirar alguma inferência em relação à distribuição de X com base em um número limitado de observações.

Suponha que deseja-se testar uma hipótese relativa aos

parâmetros desconhecidos da distribuição de X . A decisão de

aceitar ou rejeitar a hipótese em questão é sempre feita com base

em uma amostra, isto é, um conjunto finito de observações da variável aleatória X.

•

Considere o caso em que as observações sucessivas de X são independentes no sentido probabilistlco. As observações x

...• x

da variável X são independentes se a distribuição de

n

proba:bllidade condicional da 1-ésima observação x

1 (t= 1, 2,

...

n) • quando os valores das observações precedentes x

1, . . . ,

x

1-1 são conhecidos, não é afetada por estes valores, isto é: Pr (x

1 I (x1, ••••• , x1_1 ))

=

Pr (x1 ). Esta condição não

pode ser estrl tamente satisfel ta se as observações sucessivas provêm de umá população finita. Entretanto, se o número de elementos na população finita for suficientemente grande, a dependência seria mui to pequena e, portanto,

desprezada.

poderia ser

Na teoria clássica de teste de hipóteses, um procedimeneto

de teste que conduz à aceitação ou rejeição da hipótese em

questão

(denotada por H )

o é simplesmente_ uma regra que especifica, para cada amostra possível de tamanho n, se a hipótese deve ser rejeitada ou aceita com base naquela amostra, ou seja, escolher um procedimento é equivalente a determinar uma região critica.

Em geral, existem muitas possibilidades de se escolher uma região critica, sendo que nem todas podem ser consideradas ótimas. Neyman e Pearson rormularam os princípios para a escolha apropriada de uma região critica, Como uma base para a escolha da melhor região critica, eles desenvolveram as seguintes considerações: ao aceitar ou rejeitar H

0 podem ser cometidos dois tipos de erro. Comete-se um erro do tipo I se H for

o rejeitada quando esta é verdadeira; comete-se um

erro do tipo

li se H

0 for aceita quando H1 (hipótese alternativa) é verdadeira.

As

situações "consideradas são resumidas na tabela abaixo.

DECISÃO

HIPÓTESE

H

H

o 1

H

é verdadeira ERRO TIPO I

o

H,

é

verdadeira

ERRO TIPO I I

TABELA 2.1

Com a escolha de uma particular região crítica, V, a

probabilidade de cometer-se um erro do tipo I, denotada por a 0, é igual à probabilidade da amostra, efetivamente observada, pertencer à região critica W dado que a hipótese H

0 é verdadeira. A probabilidade de um erro do tipo II, denotado por « , é igual à

1

probabilidade da amostra não pertencer à região crítica V sob a

suposição

dé

H ser verdadeira.

1

A região critica ideal seria aquela em que os valores de a o

e a sejam mínimos, o que não é possi vel para valores f'ixados de

1

n, isto é, para tamanhos amostrais fixos.

O principio de Neyman e Pearson diz o seguinte: às regiões ll para

aquela com o valor

as quais a

o

de a

1 mínimo.

tem um valor fixado,

restritos escolhe-se

e a

Cabe lembrar que a

0 é chamada de tamanho da região crÍtica

quantidade 1-a de poder do teste.

1

2.2.- TESTES SEQÜENCIAIS

Foi dito anteriormente que na teoria clássica de teste de

hipóteses o tamanho da amostra é tratado como uma quantidade

'

fixa !)ara qualquer pr-oblema. Uma caracteristica essencial do

teste seqüencial é que o nómero de observações requerido pelo teste depende do resultado das observações e é, portanto, não predeterminado; ·mas sim, uma variável aleatória.

Em um método seqliencial, a regra para o teste de uma hipótese H

0, em qualquer estágio do experimento, refere-se à

esco~ha de uma das seguintes decisões:

1. Aceitar a hipótese H 0.

2. Aceitar a hipótese H.

1

3. Continuar-o experimento fazendo uma observação

adi-cional.

O processo só vai parar quando a primeira ou a segunda decisão

for tomada. Assim, um teste seqüencial está Completamente especif'icado def'inindo-se as regiões R0 (onde H é aceita), R1

m O m

(onde H é aceita), e R (região de continuação), para todo m

1 m

inteiro positivo.

Os conjuntos ) que definem

um teste seqüencial podem ser escolhidos de muitas formas. Um prql)lema fundamental na teoria de testes seqüenciais é o da escolha apropriada destes conjuntos, e para formular os princípios é necessário estudar as conseqüências de uma escolha em particular.

2.3.- FUNÇÃO CARACTER!STICA DE OPERAÇÃO

Depois de ter sido adotado um teste seqüencial, a

pro~bil idade de que o processo terminará com a aceitação da

hipót ~.se H

0 depende unicamente da dfstribulção da variável aleatória em consideração.

Como antes, supõe-se que a distribuição de X seja conhecida exceto para os valores de um número finito de parâmetros, a

1, 92, ... , ak. Assim, a distribuição de probabilidade da variável

aleatória X é dada pela função f(X,S), onde 8 representa o conjunto

enquanto

dos que k

parâmetros e

1,

e

2, a forma funcional f ... , ek não ·conhecidos, é conhecida. Como a

distribuição de X é parametrizada pelo vetor 9, a probabilidade

de aceitar H é uma função de e.' o.

A

funç;ão

característica de

opera~ão (OC, de "Operating

Characteristic"), representada por P(e), é definida como a probabilidade de que o processo seqüencial terminará com a aceitação de H quando

e

for o verdadeiro valor do parâmetro.

o

Esta função está estreitamente relacionada à noção de função potência na teoria clássica de testes de hipótese. Para qualquer ponto paramétrica

e

que não seja consistente com a hipótese nula

H

0, a potência do teste é definida como a probabilidade de rejeitar H, quando _{. o}

e

é o verdadeiro ponto

pe·~amétrico. Logo, para qualquer e não consistente

potência do teste seqüencial é igual a 1-P(e).

com H a

o

A função OC descreve o que o procedimento do teste

•

seqüencial realiza. Para qualquer ponto paramétrica 8, a probabilidade de tomar uma decisão correta pode ser obtida diretamente a partir da função OC. Se

e

for consistente com a

hipótese H

0 a ser testada, então a probabilidade de tomar uma decisão correta é igual a p(a). Se o verdadeiro vetor 9 não for consistente com a hipótese H , a probabilidade de se fazer uma

o

decis~o correta é igual a 1-P(B). É evidente que uma função maior for o valor de P(B)

oc

é

consi lerada mais favorável quanto para

9

consistente com

H

0

e menor valor de

P(a)

para

a

não consistente com H

0•

2.4.- FUNÇÃO NÚMERO AMOSTRAL MÉDIO

Foi visto que o número de observações requerido por um teste seqliencial é uma variável aleatória, pois em qualquer estágio do experimento a decisão para terminar. o processo depende dos resultados das observações realizadas até esse momento.

Denote-se por n o número de observações requerido pelo teste seqüencial. Se o mesmo procedimento do teste seqüencial for realizado repetidamente, obter-se-á, em geral •. diferentes valores de n. É de particular interesse o valor esperat:lo de n,

isto é, o valor médio de n em uma longa partida de observações quando o mesmo teste é aplicado repetidamente. Para um dado procedimento o valor esperado de n dependerá unicamente da distribuição de X Como esta distribuição é determinada pelo parâmetro G, o valor esperado de n também dependerá de

a,

por isso a notação

E

8

(n).

A;

fun9ão

nÚmero amostral médio

E

6

{n) será refrrida abreviadamente como a função ASN {de "Average Sample Number").

As funções OC e ASW estão associadas a cada teste. Estas duas funções são, talvez, as conseqüências mais importantes de um teste. A f'unção OC descreve o quanto o teste alcança seu objetivo de tomar decisões corretas, e a função ASN representa o

"preço" que deve ser pago, em termos do número de observações requerido pelo teste. Assim, para julgar os méritos relativos de dois procedimentos di~erentes, comparar-se-á as ~unções OC e ASN destes dois testes.

2.5.- TESTE DA RAZÃO DE PROBABILIDADE SEQÜENCIAL

O procedimento Teste da Razão de Probabilidade Seqüencial (TRPS) é um teste seqüencial desenvolvido por Wald (1947) e tem sido aplicado em muitos problemas estatísticos. O esquema CUSUM

é uma das aplicações do TRPS e por essa razão abordar-se-á a teoria do procedimento.

Suponha uma amostra de n observações independentes na ordem em que ~oram obtidas x

1, x2, ••. , xn. Considere o problema de discriminar entre duas hipóteses sobre

a

distribuição da variável

X, s~ndo a hipótese nula (H

0) dé que todas as observações provêm de uma mesma população com distribuição ~(X;9) contra a alternativa (H ) de que as primeiras m (O ~ m < n),

1

X

m vêm de ~(X;B) e x m.t.l , x m+2 , ... , x , x v ê m d e n-1 n

....

com

8 =F 8' • onde m é não conheci do. A discriminação destas duas

hipóteses é a ~ormalização matemática de um problema de detecção de uma mudança na distribuição da variável aleatória

X.

O método de discriminação especi~icado pelo Teste da Razão de Probabilidade Seqüencial é definido como segue: são escolhidas duas constantes positivas A e B (B

<

A); em cada estágio do experimento (no mrésimo ensaio para qualquer valor inteiro de m}, calcula-se a probabilidades respectivamente. razão de verossimilhança

•

de observar

x

1,

x

2, ••• , Se esta razão ~or

(razão

x

·sob m grande, 1 /1 ) das 1m Om H 1 e H0 a hipótese alternativa é aceita; se a razão for pequena, a hipótese nula é

aceita, e em terceiro a decisão lugar, não é se 1 . /1 tiver um valor liQ OIQ

intermediário, tomada até que observações

adicionais levem a razão a um valor maior ou menor.

Deseja-se que os limites desta razão sejam escolhidos de tal forma que as probabilidades de cometer as duas possíveis decisões errad~s sejam pequenas, ou seja,«

0 e a1 pequenos. Estas

probabilidades serão obtidas de forma aproximada se as constantes A e B forem substituidas pelos valores indicados nas seguintes regras: i.)Sel / 1 :sA= liQ OIQ 11) Se I

••

I I o • ~ B = a, I 111) Se

<

1 -a o I

mais uma observação, 1 - a o 1 - a 1 a o lm

<

Om

x

,

e mH , aceita-se H 0. aceita-se

H.

•

1 1 -a 1 é realizada a o calcula-se:

O processo é repetido até chegar-se a uma decisão.

2.6.- TESTE DE HIPÓTESE PARA MÉDIAS

•

O caso especial em que aplica-se diretamente aos esquemas CUSUH para médias amostrais é aquele em que cada x distribui- se normalmente ao redor de uma média Jl com desvio padrão conhecido

~. e os x's mutuamente independentes. Se a hipótese nula especi~icar

_H

0: ~ = ~o , e a hipótese alte~nativa õ~ (onde õ > 0),

então

H : I'

=

1 _{" +} o 1 1m

ç-=

=

Logo:

•

exp ( - E ( 1=1

•

exp (• - E ( 1=1 exp 1 ( 2<T2

•

I) Se 1 O' E 1=1 X 2 2 v 2 i -m I - "o - a~ J

I

2~

J (

2x ~

J

X - " J2

I

2~2

J

( v'2ii .,. ) - •

I o

•

{ 2M E ( x 1 - ~

0

) - mõ 2 2 tT } ) •••.• (2. 1) I =1 1

:sT

ln "I 1 _ « o 1 +

2

mõ , a-cE!i ta-se _{~ = ~o .} . . . (2.2) 11) Se 1 O'

•

₁ 1 - " _{1 1}

T

ln --,:;-.:. + ~ mõ

"o

a-celta-se 11.

=

11. 0 + õcr. ... (2. 3)

De U), obtém-se o limite superior (acima do qual H 0 é rejeitada) do TRPS comparando H 0 e H1 ecom probabilidades de erro aproximadas a: 0 1 O'

•

E 1 = 1 e , fazendo: = ... (2. 4)

Se os pontos

•

, I L

(!' 1=1

( x, -

~'o

) )

forem apresentados em um gráfico, a "região de contlnuacâo" fica entre duas retas paralelas, cada uma delas com .um ângulo de inclinação

t/J ;.

tan-1( õ/2 ) em relação ao eixo das m e com interceptas dados por:

I

T

ln 1 - IX

",

o

respectivamente no eixo das somas:

I rr

•

L 1=1

( x,

I

T

I - " In -:c--'-1

"o

- 11 ) • o Para discriminar especificando H : J.L = -1 entre H

0, H1 e uma terceira hipótese

J.L. - õu ( ô > O), segue-se a proposta de

o

Armitage (1950}. Neste simultânea de dois TRPS's, o anteriormente descrito),

artigo, o autor propõe a aplicação um discsriminando entre H

0 e H1 (como

e outro discriminando entre H e H .

o -1

Os limites gr-áficos para os testes combinados são mostrados na Fig.2.1, onde o limite inferior (abaixo do qual H é rejeitada)

o

do TRPS comparando H e H _o e considerando os mesmos erros de

-1 probabilidades aproximadas o: 0 e o:1 , é obtido da equação: I rr

=

•

I

T

~n I -

a

1

"o

8

ym

.•... (2.5)

•

1 - I (X -J.L l O" 1=1 1 o A 1 aceita H 1 (Jl + llo-)

-o

A

-o

c A A- aceltl!l I u o E TIH ··.,

R:

D H ~

.,,

c

o

··

... '·, p _~ D •'

...

~

/

/ B aceita -1 <-d

_,

aceita H -1 (Jl - M) A -1

FIG.2.1.- Diagrama do Teste Razao de Probabilidade

Sequenc i a 1 .

•

I

_j

H

o

>

•

H

o

..

•

CAPITULO 3

ESQUEMAS DE CONTROLE DE SOMAS ACUMULADAS

3.1.- DETECÇÃO DE MUDANÇAS EM

uM

PROCESSO

Suponha um processo submetido a inspecção produzindo observações de

ordem.

Estes

forma numérica x

1, x2, x3, • • . , geradas nesta

valores representam observações de alguma caracteristica relevante ao estado do processo a ser controlado, como por exemplo os diâmetros dos paraf'usos produzidos

sucessivamente por um torno automático, ou o número de pacotes de sabonetes vendidos por semana numa área determinada, ou o número

de acidentes que ocbrrem durante 10 anos numa planta

manufatureira, ou o número de recém nascidos tendo uma má f' armação congênita especifica dentro de grupos de igual trunanho

de nascimentos consecutivos; enfim, qualquer quantidade que preçisa de controle em ~u nível. Logo, esta informação resulta em uma decisão de se o processo é essencialmente o mesmo ou se

alguma mudança

tem

ocorrido. Se o estado inicial do

processo for indicado como Estado O e o estado alterado como o

Estado 1, o problema a ser tratado é esquematizado na Flg. 3.1:

estado 1

. • . . • . . . . • • . . . • . . . • . . . • . . . . • . . . • . . k

e~;:tado O

tempo

-FIG.3.1.- Esquema das alterayoes no estado do processo

Quando as observaç~es são realizadas na ordem em que ocorrem, o conjunto total de observações pode ser di vldido em subconjuntos, cada um dos quais pode ser considerado como uma amostra aleatória que provém de uma certa distribuição, sendo que, por hipótese, o parâmetro respectivo pode sofrer alterações. Segundo os objetivos de controle, este parâmetro pode ser por

exemplo a média ou a variãncia ou a proporção de uma determinada

distribuição: em algumas situações pode ser que interesse considerar conjuntamente a média e a variância da distribuição.

Associado com o processo, existe o que é chamado de valor alvo, termo que se refere ao parâmetro da distribuição a ser testado. A maioria dos processos exibem uma certa quantidade de variabi 1 idade inerente e sempre ocorrerão diferenças entre as observações e o valor alvo. Por causa desta variabilidade inerente do processo são necessários métodos de controle mais ou menos sofisticados, pois uma pequena diferença entre o valor x e

. I

o valor alvo indicaria~ue o processo mudou. É muito importante, a distinção entre variações aleatórias e desvios sistemáticos devido ao processo estar afastando-se do valor alvo. Na prática, o processo é considerado como satisfatório (não ocorrem mudanças)

I

se o vicio for menor que uma porcentagem especificada, do desvio padrão dos x 's.

I O vicio é definido como a diferença entre o

valor esperado da estatística a ser usada (ou se a amostra for de tamanho um; das observações individuais) e o valor alvo.

O vicio sistemático está embutido no "ruido" (termo que descreve as flutuações aleatórias) e para distingUir as mudanças reais do processo faz-se necessário o uso de técnicas estatísticas refinadas. Esta avaliação estatística pode ser realizada de forma gráfica, que é conhecida com o nome de diagrama de controle estat' slico, e também de :forma tabular ou computacional.

3.2.-D!AGRAMA DE CONTROLE

Os diagramas de controle têm sido utilizados com multo sucesso no estudo e controle de processos industriais, embora existam outras áreas de aplicação.

Os classicamente chamados Diagramas de "Shewhart" foram os primeiros a serem usados em controle gráfico, e a regra básica de tais diagramas é que quando um ponto cair fora dos limites de controle, usualmente limites de 3~ (onde ~ é desvio padrão amostrai), será indicada uma alteração do processo.

Ao longo dos anos, várias modificações do método clássico

têm sido propostas na procura de refi~ar as técnicas de controle estatístico. Em 1954 apareceu uma nova técnica denominada Diagrama de Controle f'"Estatstico de Somas Acumuladas, ou abreviadamente, esquemas CUSUM (de "Cumulative Sum"). Este procedimento está baseado nas idéias colocadas por Page (1954).

3. 3. -ESQUEMAS CUSUM

Os esquemas CUSUM constituem uma ferramenta estatística para

áreas' definidas de aplicação onde a per:-formance destes é mais

eficiente do que os esquemas clássicos, no sentido de que detecta mais rapidamente as verdadeiras mudanças que ocorrem nos

processos observados.

Truax (1961) mostra que em processos com alta variabilidade

e freqüentes alterações, os esquemas CUSUM permitem melhores soluções que os esquemas clássicos. Os testes CUSUM são mais eficientes do que os testes clássicos, detectando mudanças

pequenas que o processo possa apresentar, principalmente na região de O.Su a 2.0u (Ewan, 1983}.

Page ( 1954) apresenta as regr-as gerais para a construção e aplicação de procedimentos de detecção de mudanças em uma única direção. Seu conceito está baseado no uso de partidas de observações em lugar de observações individuais.

A

vantagem disto

é que, partidas de observações acima do nlvel alvo, por· exemplo, são interpretadas como evidência de que o n1vel do processo tem-se afastado positivamente do valor alvo.

A

idéia que está por trás do uso de partidas é, justamente, aumentar a sensibilidade do esquema, combinando a informação da amostra presente com a

informação das amostras anteriores. Por isso, ~m esquema baseado em somas acumuladas tOrna-se mais sensível às mudanças de um processo.

A

partir dai, vários trabalhos relacionados com esta técnica

têm sido desenvolvidos, ~entre outros, destacam-se os trabalhos de Johnson ( 1961) e Kemp ( 1971), que sugerem usar a analogia dos testes CUSUM e os testes da razao de probabilidade seqencial (TRPS' s), para estudar as propriedades ótimas dos procedimentos

CUSUM.

No estudo de dados de um processo, duas propriedades são

importantes: o ponto de mudança entre 2 estados, e a magnitude da

mudança entre os estados.

Os esquemas de controle baseados .nas técnicas CUSUM podem

ser apliCados como procedimentos de teste de hipóteses (detecção

de mudanças no processo observado) e como procedimentos de

estimação (estimação da magnitude das mudanças). Os esquemas

CUSUM são os únicos que possuem propriedades de estimação.

Neste trabalho, enfatizar-se-á os esquemas CUSUM como

procedimentos de teste de hip6teses.

3. 4.- ESQUEMAS CUSUM UNILATERAIS

Os esquemas de inspeção de processos desenhados para

detectar mudanças numa única direção são denominados esquemas

unilaterais. Os procedimentos CUS UM :foram primeiramente

visualizados para os esquemas unilaterais.

3.4.1.- DIAGRAMAS DE CONTROLE CUSUM

A característica dos gráficos CUSUM é o fato de que os pontos apresentados no diagrama não representam observações individuais, ou estatisticas de uma amostra isolada. Começando de um ponto determinado, todos os pontos subseqüentes contêm informação de todas a~ observações até, e incluindo o ponto atualmente apresentado.

200 100

o

-100

o

10 o -10 -20 -30 -40 -50 ~ -60 -70 ~ _-80 ~ -90 ~ -100 ~ -110 -120 -130 -140 -150 -160 -170 -180 -190 o

..

---~---...__

__ _

----

---

..

-

...

~.,."~~~

---

----·

10 10 20 30 40 50 6C 70 NUMERO DE OBSERV~CAO

FIG J 2o. DI~GR~~A 0( SO~AS ~CU~UlADAS COU U~A UUOAN(A ~0 S(~TIOO POSITIVO

20 30 40 50 6 ·: -:>o

NU~E~O DE OBSEP\~CAO

r IG J 21:>. 01~GRA~~ 0( SO ... ~S A(U~<tJLAt'AS CO"' U"'~ ... UOANCA

~0 SjfoJfl00 ll[CATI\0

- J

80 90 100

As F1g.3.2a e Flg.3.2b representam os diagramas das somas acumuladas correspondentes às simulações que serão

discutidas no capitulo 4.

A ordenada de qualquer ponto no diagrama, é igual à ordenada do ponto imediatamente anterior mais o valor de uma estatística r: obtida da última amostra. Assim:

Ordenada no ponto (n+l)

=

(Ordenada no ponto n) + T

n+l = (Ordenada no ponto (n-1) + T + T n n+l n

=

~r 1 =1 i

Logo, a ordenada é a soma dos valores calculados da estatística T, dai o nome de diagrama. de controle de somas acumuladas. A estatística T a ser utilizada corresponder-á ao parâmetro que irá ser testado.

Suponha que o objetivo do diagrama seja detectar um

afastamento acima do valor alvo do processo:

O procedimento original, proposto por Page {1954), apresenta graficamente as somas acumuladas de escores, as quais representam as medidas da característica do processo observado, A regra para se decidir quando ocorrer tal mudança é realizada através da comparação do último ponto com o menor ponto previamente apresentado. Se a diferença for superior ou igual a uma quantidade especif~cada, h, a conclusão é de que uma mudança ocorreu. Formalmente isto resume-se na seguinte regra: extraia amostras de tamanho N, a intervalos regulares, designe o escore

à k-ésima amostra e faça o gráfico do escore acumulado

n

S=

n k=l k

E

x no diagrama.

Será indicada uma mudança toda vez que

s -

_n >h (3. 1)

O sistema de atribuir pontuação

à

característica do

processo é escol-hido de tal forma que â trajetória do gráf'ico seja para baixo se o processo for satisfatório (o parâmetro é o

mesmo) e para cima quando não for satisfatório.

Neste tipo de diagrama o valor médio corr~spondente

à pendente zero é geralmente o valor referencia. Na prática, o

procedimento descrito acima é modificado pela adoção de um valor referencial k, para evitar captar pequenos afastamentos que podem

não ser de importê.nci~. Quando os gráficos CUSUM representam somas de desvios do processo em relação a um ponto de referência ou de controle pré-fixado, estes permitem visualizar a trajetória das mudanças do processo. Os gráficos CUSUM cortam o ruído aleatório (variabilidade inerente) no sistema e ao mesmo tempo magnificam as mudanças sistemáticas reais do sistema.

Sob o procedimento de subtrair k de cada valor amostrai, as quantidades apresentadas no diagrama serão as somas acumuladas dos desvios T -k,

I

acumulado inclinar-se-á para

isto é,

n

S = I: (T -k). O diagrama

n 1 =1 l

baixo se o valor alvo for menor que k, e em sentido contrário se este valor for maior que k, e assim, estes esquemas são sim i lares aos descri tos por Page. Uma elevação do menor ponto do diagrama, por mais de uma quantidade h, conhecida como intervalo de decisão, fornece um critério para

•

diagnosticar uma mudança no parâmetro e, isto é ilustrado na Flg.

Algebricamente, a decisão de que existe uma mudança é tomada quando:

s

min S 1 ~ h n O:Si<n n r

• <=>

l: (T -k)

-

l: (T "k) ~ h 1=1 i 1 = 1 1 n

<=>

l: l=m-r+l (T -k) I ~ h

onde r é qualquer inteiro s n.

o

-5

I

-10

-s

-is

-n n - - - - >

FIG.3.3.- RepresenlaTao da regra de declsao no esquema

A

CUS UM

•

• escala do importância, e o intervalo

diagrama é relativamente sem

de decisão fornece uma medida da variabilidade inerente do processo da mesma forma que a amplitude

dos limites de controle num diagrama de controle clássico.

3. 4. 2.- FORMA COMPUTACIONAL DO DIAGRAMA DE CONTROLE CUSUM

Os testes CUSUM podem ser implementados de forma tabular da seguinte maneira:

Se n

s

_n

=

~ (T -k) e h o intervalo de 1 = 1 1 define-se, S

=

max [S + T· - k, O] n n-1 1

de tal forma que

s

=

o

n toda vez que

max [a,b] é o maior valor do par ordenado.

(n ?:: 1)

s

< n mln

sl

Q:Si <n. decisão, (3.2)

••

onde

Logo, uma regra equivalente é: Será indicada uma

mudança toda vez que:

s

~h

n

Pode ser observado que esta regra determina que a seqliência de testes de Wald finalize nos limites (O, h) e o CUSUM inicial seja zero. O procedimento é reapl icado quando o teste prévio finaliza no limi~e inferior e é tomada uma ação quando o teste termina no limite superior. A vantagem desta é sua

conveniência gráfica e numérica, pois os valores acumulados são

limitados em um intervalo finito e só o último valor da soma tem

que ser considerado.

3.5.- ESQUEMAS CUSUM BILATERAIS

Os testes CUSUM expostos no item anterior resolvem o

problema de de.tectar as mudanças em uma ·só direção. Muitas vezes, é necessário controlar afastamentos sistemáticos do processo em ambas as direções, isto é, um acréscimo no valor do parâmetro a ou uma diminuição deste. Os esquemas que resolvem este problema denominam-se bilaterais.

A

aplicação dos testes

CUSUM

bilaterais é realizada mediante a aplicação simultânea de dois testes seqüenciais unilaterais: um para detectar os afastamentos positivos e outro para detectar os afastamentos negativos do processo.

3.5.1.- DIAGRAMA DE CONTROLE CUSUM

Para testar uma hipótese em ambas as direções, o procedimento consiste, basicamente, na aplicação de dois testes unilaterais, um para detectar afastamentos positivos, e outro para os afastamentos negativos. Os testes podem ser aplicados simultaneamente em diagramas separados, e as regras de decisão respectivas são dadas por:

e: • h 2) max 5 1 -

!in

"= h O:Si<n <=> 5 n - max 5 O:Si <n 1 s -h (3.3) (3.4) (3.5)

Barnard (1959) propõe uma forma mais simples de aplicar os esquemas CUSUM para testes bilaterais, recorrendo ao uso de "máscaras" junto com o gráfico de somas acumuladas.

A interpretação dos diagramas de controle CUSUM, como nos diagramas de controle convencionais, depende dos

resultados de éomparação com certos limites criticas que aparecem

como linhas no gráfico de controle e que usualmente são duas

retas fixadas e paralelas ao eixo das n (o número serial

amostra!). No caso do método CUS UM, estes limites variam de posição e podem ser aplicados colocando uma "máscara" de forma adequada sobre o gráfico de modo que a origem fixada O, coincida

com o último ponto apresentado.

O principio básico deste procedimento é equivalente

a aplicar um teste seqüencial à seqliêncla de observações (T -k),

n

(T -k),

n-1 (T · n-2 -k),

...

' começando com o último ponto e movendo

para trás, ou seja, o método gráfico é análogo à aplicação de um teste seqüencial invertido.

Johnson e Leone (1963) obtiveram as formas e dimensões para as "máscaras" a serem utilizadas nos esquemas CUSUM mediante a aplicação dos TRPS's, para diagramas de médias amostrais, de variabilidade (usando variância amostrai ou am~lltude), de variáveis Poisson e variáveis Binomial.

Discutir-se-á, mais adiante, o diagrama de controle CUSUM para testar as médias amostrais. A seguir, é mostrado alguns exemplos de "máscaras" que se utilizam nos Diagramas de

•

Controle CUSUM.

I

X=

•

•

0'-1

L

(x - ~) J =1 J FIG.3.4a.- FIG.3.4b.-X X 1

•

Mascara para Diagrama CUSUH

_••

testes bilaterais de media amostrai

X X X X Q' X X Q

•

Mascara para

<---<'---> ,_,

-~•---> P' p ,---x---~ X X X x Diagrama CUS UM

•

d

•

em testes bllalerals de varlancla ~:~mostrai

3.5.2.- VERSÃO COMPUTACIONAL

A versão computacional numérica dos testes

bilaterais se reduz às fórmulas dos dois testes unilaterais, os quais são aplicados em cada estágio de amostragem. Sendo

n

S = E (T - k).

n 1 =1 1

1. A regra Sn- min 5

1 ~ h é tabulada da seguinte forma:

max

O:Si:Sn

co, s•

+

n-1

h

1, é declarado um afastamento positivo.

(3.6)

Como foi visto na seção 3.5.1, o teste é reaplicado

quando o teste prévio termina no valor zero e é indicada um

af'astamento positivo quando finaliza em h 1. 2. E a regra expressão: S-maxS n 0:51 :Sn I s-= min (O, s- + T - k ) n n-1 i 2 ;!: -h é tabulada segundo a (3.7)

Se s:

:s

-h

2, é

declarado

~m

afastamento negativo.

O teste Reste caso, tem os limites (-h O)· _{2' •} é

reaplicado quando o teste prévio finaliza no limite superior e, quando termina no limite inferior é indicada urna mudança no processo. As cantantes k , h

1, k2 e h2 são todas positivas, e se

o esquema for simétrico, os parâmetros do teste negativo são os mesmos do teste positivo.

3. E." ESQUEMAS CUSUM PARA MÉDIAS AMOSTRAIS

Em

mui tas situações práti-cas, a resposta (ou

característica) de um processo a ser controlada pode ser representada pelo seu nível médio, isto é, o parâmetro submetido a teste será a média da distribuição das observações dessa característica.

Supõe-se que em qualquer instante dado, as observações estão representadas por variáveis aleatórias que assume-se serem distribuidas_Normalmente. Esta distribuição Normal pode surgir do erro instrumental ao observar o processo, da variabilidade inerente ao processo, ou de ·ambas as fontes. O interesse deste trabalho concentra-se na média desta distribuição Normal.

3.6.1.- DIAGRAMA CUSUM PARA TESTES UNILATERAIS

Seja a estatística T

1 a média da i-ésima amostra

(i

1), ou a i-ésima observação {se a amostra for de tamanho um), tirada de um processo com nível médio flo (o valor alvo), e o-X o desvio padrão, supostamente conhecido, da média amostra!

[o--x

-1/2

=

(desvio padrão populacional) x (tamanho amostra!) ]. Considere os pontos a serem apresentados no diagrama de controle, com coordenadas (n,S ), onde:

n

•

1 n

s

= ~ X n <T- 1=1 1 X

chamada

=

1 <1'-x [i+x+ ... + i ] 1 2 n

Se de cada termo for subtraído uma constante k,

1 n

valor de referência, e

s

₌

n

"'X

L

(i

-k) :for

1 =1 1

apresentado graficamente, o diagrama resultante chama-se diagrama

de somas acumuladas com

valor

de

referência

k.

Quando os dados estão sendo utilizados unicamente

com propósitos de controle, a forma de apresentar os pontos pode

ser modificada. Se por exemplo, houver interesse em detectar desvios positivos do valor médio de X

1 em relação a seu alvo M0, acumula-se os resultados s'ornente quando for obtido um valor de

x,

maior que o valor de referência k _(k1 >M ).

Os

valores

1 o

positivos e o primeiro valor negativo de tais somas são utilizados, e quando a

soma acumulada

de (ii -k )

I 1

exceder

o

intervalo de decisão h, decide-se que a média do processo afastou-se acima de k 1. Ver Fig.3.5. CUSUK h

- - - ' - · - t - . .

decls;;:o ~ f'avor de uma mudança no nt vel .:0dlo

.

-FIG.3.6.- Diagrama modificado das somas acumuladas de (x 1·k)

Quando este reultado modificado tiver que ser usado

para testar desvios negativos da média dos valores x

1 em relação

a 1.1, o valor de referência k (k < 11 ) é utilizado e uma decisão

o 2 2 o

é

tomada quando a soma acumulada chegar a ser menor que -h.

3. 6. 2.- VERSÃO COMPliTACIONAL

DO

DIAGRAMA CUSUM PARA

TESTES UNILATERAIS

A versão computacional é obtida em forma direta,

substituindo-se a estatistica T

1 pela média amostra! x1 nas

expressões (3.6) e (3.7) da seção anterior.

Para se detectar os afastamentos positivos em relação ao nível médio alvo, a regra é dada por:

SHCO)

=

0 (3.8)

Uma

regra equivalente à da expressão (3.7) é a seguinte:

max (0 - ( i i - k l + S )

' i ~ LCl-1)

SL(O) = 0 (3.9)

•

3.6.3.- DETERMINAÇÃO DOS PARÂMETROS h

e

k

Na determinação dos valores de h e k considera-se