Estabilidade no Domínio da Freqüência

(1)

Estabilidade no Dom´ınio da Freq¨

uˆ

encia

1. Estabilidade relativa e o crit´erio de Nyquist: margens de ganho e fase

2. Critérios de desempenho especificados no dom´ınio da freqüência – Resposta em freqüência em malha fechada

2.1 Carta de Nichols

c

(2)

Estabilidade Relativa e o Crit´

erio de Nyquist

Por que estabilidade relativa? Imprecis˜ao no modelo ou no sistema de

controle... Um modelo pode indicar que um sistema é estável, enquanto de fato o sistema f´ısico é instável...

O que fazer? Pode-se exigir não apenas estabilidade do sistema mas também que seja estável dentro de alguma margem de seguran¸ca...

(3)

Estabilidade Relativa e o Crit´

erio de Nyquist

Margens? Considere um tra¸cado para o diagrama de Nyquist ilustrado abaixo

G(jω1) = −m

G(jω2)

−1

φ

c

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Estabilidade Relativa e o Crit´

erio de Nyquist

Margem de Ganho é o fator pelo qual o ganho em malha-aberta de um sistema estável deve ser alterado de modo a tornar o sistema marginalmente estável

• Do diagrama de Nyquist (anterior), veja que em ₋₁₈₀0 obt´em-se o valor de −m. Cabe a pergunta: de quanto pode-se multiplicar _{−m para cruzar o ponto} −1, tal que o sistema em malha fechada seja marginalmente est´avel?

• Multiplicando pelo ganho

K = 1

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Estabilidade Relativa e o Crit´

erio de Nyquist

Margem de Ganho – MG m

´e o incremento rec´ıproco, 1/m,

no ganho do sistema quando a fase ´e ₋₁₈₀0,

que resultar´a em um sistema marginalmente est´avel

com a intersec¸c˜ao do ponto (_{−1, 0) no diagram de Nyquist}

c

(6)

Estabilidade Relativa e o Crit´

erio de Nyquist

Margem de Fase – MF m

´e a magnitude do ˆangulo m´ınimo pelo qual o diagrama

de Nyquist deve ser rotacionado a fim de interceptar o ponto −1 que resultar´a em um sistema marginalmente est´avel

B _{Na freq¨uˆencia onde ocorre a margem de fase a magnitude do diagrama de}

(7)

Margens de Ganho e Fase

Plano -1 1/MG MF c

(8)

Margens de Ganho e Fase

Rela¸cão com diagrama de Bode? As margens são obtidas diretamente do diagrama de Nyquist, porém podem ser lidas também no diagrama de Bode ?

B _{Claro, já que um diagrama de Bode é também o tra¸cado da mesma fun¸cão}

(ganho de malha) com coordenadas diferentes...

Como lˆe-las em Bode?

Veja que MG ocorre na freq¨uˆencia, ω1 tal que ∠G(jω1) = −1800. De Bode

pode-se ler, ω₁ no diagrama de fase. Como o ganho ´e a rec´ıproca da magnitude de G(jω), por´em em escala logar´ıtmica:

20 log 1

m = −20 log m = −20 log

1

(9)

Margens de Ganho e Fase

B _{A margem de fase, MF, ocorre na freq¨uˆencia, ω}₂_{, na qual a magnitude do}

ganho de malha ´e unit´ario, ou 0dB. Portanto MF pode ser lida do diagrama de Bode como sendo a diferen¸ca entre a fase de G(ω2) e −1800

B _{Na pr´atica, utiliza-se mais o diagrama de Bode}

B _{MATLAB: margim}

c

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Margens de Ganho e Fase

Frequency (rad/sec)

Phase (deg); Magnitude (dB)

Bode Diagrams −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20

Gm=4.4812 dB (at 0.91266 rad/sec), Pm=17.504 deg. (at 0.682 rad/sec)

10−1 100 −250 −200 −150 −100 1 MG = 10 “_−|G| 20 ” = 10 −4.48 20 = 0.59, logo MG = 1.7

(11)

Margens de Ganho e Fase

Sistemas de 2a. ordem – A margem de fase pode ser aproximada, para ζ < 0.7, como

M F _{≈ 100ζ}

c

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08 108 208 308 408 508 608 708 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

Phase margin, degrees

Damping ratio,

z

Linear approximation

5 0.01 pm

z f

(13)

Crit´

erio de Desempenho no Dom´ınio da Freq¨

uˆ

encia

Resposta transitória _{× resposta em freqüência –} A malha aberta é aplicado` Nyquist e Bode obtendo-se, eg, margem de fase _{⇒ ζ e caracter´ıstica de resposta} temporal. Seria poss´ıvel analisar resposta em freqüência em malha fechada?

Resposta em freq¨uˆencia em malha fechada

FT em malha fechada T (jω) = Y (jω) R(jω) = G(jω) 1 + G(jω) Resposta em freq¨uˆencia T (jω) = |G(jω)| e jφ |1 + G(jω)| ejη = M e jφ

sendo M a magnitude da resposta em freq¨uˆencia em malha fechada, e φ a fase

c

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Resposta em Freq¨

uˆ

encia em Malha Fechada

Pode-se obter a rela¸c˜ao entre T e G no plano G(jω) fazendo: G(jω) = u + jv

Veja que da resposta em malha fechada

M = G(jω) 1 + G(jω) = u + jv 1 + u + jv = √ u2 _{+ v}2 p(1 + u)2 _{+ v}2 ou, 1 _{− M}2 u2 + 1 _{− M}2 v2 _{− 2M}2u = M2 Veja que se M = 1 ent˜ao u = _−1/2...

(15)

Resposta em Freq¨

uˆ

encia em Malha Fechada

Para M _{6= 1, após dividir por (1 − M}2) e adi¸cão do termo M2/(1 _{− M}2)2 a ambos os lados obtém-se

u2 + v2 ₋ 2M 2_u 1 _{− M}2 + _M2 1 _{− M}2 2 = M 2 1 _{− M}2 + _M2 1 _{− M}2 2

que re-arranjado pode ser expresso na rela¸c˜ao abaixo u ₋ M 2 1 _{− M}2 2 + v2 = _M 1 _{− M}2 2

ie, um c´ırculo centrado em (M2/(1 _{− M}2), 0) e raio M/(1 _{− M}2)

Portanto se M < 1, geram-se c´ırculos `a direita de u = _{−1/2 e para M > 1,} geram-se c´ırculos `a esquerda de u = _−1/2

c

(16)

Resposta em Freq¨

uˆ

encia em Malha Fechada

−3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 0 dB −4 dB −2 dB −20 dB 20 dB 10 dB −10 dB 6 dB 4 dB −6 dB 2 dB Diagrama de Nyquist Eixo Real Eixo Imaginario

(17)

Resposta em Freq¨

uˆ

encia em Malha Fechada

De forma similar, c´ırculos de ˆangulos de fase constantes podem ser obtidos: φ = ∠ u + jv 1 + u + jv = tan −1 _v u − tan−1 _v (1 + u)

Usando a rela¸c˜ao, para N = tan φ

N = tan(θ _{− β) =} tan θ − tan β 1 + tan θ tan β ou N = v u − v 1+u 1 + _uv _1+uv = v u(1+u) 1 + _u(1+u)v2 = v u2 _{+ u + v}2 ou u2 + v2 + u ₋ v N = 0 c

(18)

Resposta em Freq¨

uˆ

encia em Malha Fechada

Adicionando-se o termo (1 + 1/N2)/4 a ambos os lados obt´em-se u + 1 2 2 + v ₋ 1 2N 2 = 1 4 1 + 1 N2

que ´e a equa¸c˜ao de um c´ırculo centrado em u _{− 1/2 e v = 1/2N, com raio de} (1/2)p1 + 1/N2

B _{Normalmente, estes c´ırculos podem ser representados sobre conjuntos}

diferentes de eixos chamado carta de Nichols

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Resposta em Freq¨

uˆ

encia em Malha Fechada

−270 −225 −180 −135 −90 −45 0 −25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 25 −12 dB −6 dB −1 dB 3 dB −20 dB 0.5 dB −3 dB 6 dB 1 dB Carta de Nichols

Fase em Malha Aberta (deg)

Ganho em Malha Aberta (dB)

c

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Nichols

Exemplo Considere o sistema realimentado como FT de malha

G(jω) = 1

jω(jω + 1)(0.2jω + 1)

B _{A carta de Nichols ´e tra¸cada na pr´oxima tela}

B _{Magnitude máxima, M}_p_ω_{? é de +2.5dB e ocorre na freqüência}

ωr = 0.8rad/s

B _{Angulo de fase em malha fechada em ω}ˆ _r_? _{≈ −72}0 B _{Largura de banda, ω}_B_{, em -3dB? ω}_B _{= 1.35rad/s} B _{Angulo de fase em malha fechada em ω}ˆ _B_? _{≈ −142}0

(21)

MASTER 126

0.5 0.8 1.35 2210 2180 2150 2120 290 260 224 218 212 26 0 6 12 18

Loop phase, ] (G), in degrees

Loop gain G , in decibels G 1 1 G Magnitude of 5 218 dB 1.0 dB 2 dB 3 dB 4 dB 5 dB 6 dB 9 dB 12 dB 58 28 228 258 2108 10 8 2208 2 308 08 _{20.5 dB} 21.0 dB 22 dB 23 dB 24 dB 25 dB 26 dB 2 180 8 2 120 8 2 150 8 2 90 8 2 60 8 2210 8