O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOS
DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE
2009
Versão Online ISBN 978-85-8015-054-4
Cadernos PDE
VO
ASPECTOS EMOCIONAIS NA APRENDIZAGEM DA GEOMETRIA NÃO EUCLIDIANA
Autora: Maria Aparecida S. Carvalho1
Orientadora: Ana Márcia F.Tucci de Carvalho2
RESUMO
Este trabalho tece reflexões acerca do (não) ensino das Geometrias não Euclidianas na Educação Básica. A pesquisa, realizada durante o Programa de Desenvolvimento Educacional do Estado do Paraná – PDE 2009/2010, abordou aspectos afetivos no ensino e aprendizagem desta geometria, em especial, o conceito de ansiedade, e como suas manifestações podem, ou não, interferir no ensino e na aprendizagem deste tópico nas aulas de matemática. Entre os subsídios teóricos para a implementação da investigação, há a contribuição de Vygotsky, por meio dos conceitos ‘colaboração entre pares’ e ‘formação de conceitos’. Nossa sondagem apontou que um dos fatores relevantes para justificar a ausência do ensino da geometria nas salas de aulas e, mais precisamente, o ensino das geometrias não-euclidianas, é a ansiedade que é gerada no trato com este assunto. Nesta produção consta a descrição dos resultados da implementação de estudos desenvolvida com alunos da Educação Básica do Colégio Estadual Vicente Rijo no município de Londrina – PR.
Palavras-chave: Geometria Esférica; Educação Matemática; Ansiedade; Ensino de
Geometria.
I. INTRODUÇÃO
Uma das principais preocupações da grande maioria dos professores de matemática é identificar e atenuar os fatores que interferem e acentuam o fracasso escolar. Durante muito tempo a aprendizagem escolar era medida apenas pelos resultados de aspectos cognitivos (CHACON, 2000).
1 Professora da Rede Pública de Ensino do Estado do Paraná.
E-mail: marryyaa@seed.pr.gov.br
2 Professora Adjunta do Departamento de Matemática da Universidade Estadual de Londrina – UEL.
No âmbito da Educação Matemática, pesquisadores como Bortoloti (2009), Carvalho (2004, 2009), Falcão (2003), Gómes – Chacon (2000), cientes de que as relações afetivas interferem na aprendizagem, tendo em comum o pressuposto de que os elementos afetivos estão associados aos sociais e cognitivos, incluem em suas pesquisas sobre o ensino e aprendizagem aspectos de natureza e metodológica, tanto em psicologia da educação quanto em outras ciências humanas, buscando romper a tradição que considera os aspectos racionais e cognitivos dissociados dos processos afetivos (FALCAO,2003).
Para CARVALHO (2009),
No âmbito da psicologia da educação, Piaget e Vygotsky falam em relações afetivas e na importância de se criarem ambientes propícios à aprendizagem que valorizem essas ligações afetivas ou afinidades. Entretanto, mesmo diante do fato de que a afetividade, quando considerada procedente da metacognição e como dimensão afetiva entre alunos e professores, interfere e pode determinar a qualidade da aprendizagem de matemática, por muito tempo esses fatores foram ignorados ou tomados como secundários (CARVALHO, 2009, p.129, grifos do autor).
Na Educação Matemática, pesquisadores também apresentam esforços para que sejam exploradas emoções relacionadas à aprendizagem escolar e alguns trabalhos têm ganhado fôlego (BORTOLOTI, 2009; CARVALHO, 2004, 2009).
Como aponta Chacon (2000),
A importância e a insistência dada ao tema dos afetos é hoje assumida e aceita pelos professores, cada dia mais dispostos a reconhecê-las como elementos de valor e interesse indiscutível no acompanhamento e na avaliação do processo de ensino- aprendizagem.(CHACON,2000, p.26).
Por muito tempo, pesquisas sobre afetividade na aprendizagem de matemática, centraram-se apenas no estudo de atitudes, que são estáveis e podem ser medidos por meio de questionário (MCLEOD, 1990, p.21 apud CHACON). Segundo Chacon, embora estudos sobre a dimensão afetiva e a aprendizagem da matemática despontem no cenário da psicologia da educação, pesquisas sobre as relações entre as emoções e a aprendizagem raramente são encontradas.
Neste trabalho, dentre os afetos/emoções, investigamos especificamente os efeitos da ansiedade no ensino e aprendizagem do conteúdo matemático geometria não-euclidiana.
Um estado de agitação motivado por uma situação problemática, para a qual, ao mesmo tempo, se deseja a melhor solução e se teme que o pior vai acontecer. Em geral, deixa os envolvidos desanimados e incapazes de encontrar prazer nas atividades supostamente agradáveis […] (De Botton, 2000, p. 110, apud, Bortoloni, 2009, p. 149).
Como podemos constatar, diante de nossa experiência em sala de aula e do convívio com colegas professores, um dos fatores geradores de ansiedade na sala de aula de matemática é o ensino das Geometrias (Euclidiana e Não-Euclidiana). Durante a pesquisa, verificamos que essa emoção afeta mais aos professores do que aos alunos. Apesar de ser um dos ramos da matemática que mais permite a aproximação com o mundo real, na Educação Básica, especificamente no Ensino Fundamental, o ensino de geometria ainda continua consideravelmente reduzido. Pavanelo (1993) e Lorenzato (1995) apontavam essa ausência, ou quase ausência, neste nível de ensino, como consequência do despreparo da grande maioria dos professores, que geralmente dão preferência pelos conteúdos da Álgebra ou da Aritmética, evidenciando a formação deficiente em conteúdo e metodologia para desenvolver e efetivar o ensino de Geometrias.
Além destes aspectos de natureza racional-cognitiva, estão a eles intrinsecamente aliados os fatores emotivos aos quais nos referimos, ou seja, um fator relevante para justificar a quase totalidade da ausência do ensino da geometria nas salas de aulas, e particularmente, o ensino das geometrias não-euclidianas, é a correlação existente entre ansiedade que é gerada nos professores, diante do não domínio absoluto do conteúdo matemático específico e o ensino do mesmo.
A investigação sobre esta correlação constituiu o objeto principal de investigação que norteou o projeto, realizado para o Programa de Desenvolvimento Educacional do Estado do Paraná (PDE- PR).
II. ASPECTOS AFETIVOS E A APRENDIZAGEM DE MATEMÁTICA
Diferentes suportes teóricos e epistemológicos fornecem diferentes conceitos do que é a afetividade e/ou quais são as emoções do campo afetivo.
Houaiss & Villar (2004) definem ansiedade como:
1. grande mal-estar físico e psíquico; aflição, agonia; 2. desejo veemente e impaciente; 3. falta de tranquilidade; receio; 4. estado afetivo penoso, caracterizado pela expectativa de algum perigo que se revela indeterminado e impreciso, e diante do qual o indivíduo se julga indefeso. (Houaiss & Villar, 2004, p. 228)
No âmbito da psicologia geral, Davidoff (1983) define a ansiedade como “uma emoção caracterizada por sentimentos de previsão de perigo, tensão, aflição e pela vigilância do sistema nervoso simpático” (DAVIDOFF, 1983, P.440).
Segundo esta autora, há pelo menos dois pontos principais de distinção entre os conceitos de ansiedade e o medo:
o objeto do medo é fácil de identificar, ao passo que o objeto da ansiedade raramente é claro; a intensidade do medo é proporcional à magnitude do perigo, enquanto que a intensidade de uma ansiedade tem a probabilidade de ser maior do que o medo objetivo (DAVIDOFF, 1983, P.441).
Ao tratar das relações entre a aprendizagem e a ansiedade, Davidoff (1983) afirma que a ansiedade afeta a aprendizagem de diversos modos, como por exemplo influenciando a codificação, armazenamento e recuperação da aprendizagem.
Os efeitos negativos da ansiedade e suas relações com a aprendizagem podem ser verificados nos alunos em todos os níveis de ensino.
Dentre os sintomas físicos mais comuns pode-se destacar a dor de barriga (muito comum entre alunos), psoríase, queda de cabelo, placas vermelhas pelo corpo, vômitos, dor de cabeça na parte superior do crânio, sudorese e tremor nas extremidades. Em relação aos sintomas comportamentais, destacam-se: preocupação excessiva, medo de ficar doente, temor de que algo ruim aconteça, medo de ficar sozinho, solidão dentre outros.
Para Carvalho,
No campo emocional, a ansiedade pode aparecer sob a forma de medo, sensação de que algo ruim vai acontecer, irritabilidade, agressividade, inquietação, desencadeando dificuldades de concentração, e consequentemente, interferindo no desempenho escolar.(CARVALHO, 2010, X ENEM , Salvador – BA)
A ansiedade na Matemática tem origem em várias causas. Dentre elas, Dinis (2003) destaca o excesso de conteúdos apontados pelos programas curriculares e o tempo em abordá-los. Para este autor, nos professores, este excesso gera ansiedade ante a possibilidade de cumpri-los, e pressionados pelo fator tempo, passam a abordá-los de modo superficial, deixando lacunas entre um conteúdo e outro.
Consequentemente, se não forem adquiridas competências necessárias sobre os quais as novas serão construídas, as dificuldades dos alunos irão se agravando (DINIS,2003)
Os alunos que apresentam maiores dificuldades na aprendizagem, apresentam maiores níveis de ansiedade, revelam baixo nível de auto confiança, e consequentemente, baixo rendimento nas avaliações.
Ao tratar especificamente o contexto do ensino e aprendizagem em matemática, Carvalho (2009), considera que:
[...] as questões afetivas têm um papel crucial no ensino e na aprendizagem de matemática. Não há uma definição clara sobre o que é afeto ou domínio afetivo. De fato, definir claramente o afeto seria inserir neste contexto uma racionalidade no emocional. Para Chacón (2003), a definição mais utilizada é a que aceita como domínio afetivo tudo o que se refere ao âmbito da afetividade. Nesta definição estão incluídos as crenças, atitudes, considerações, gostos e preferências, emoções, sentimentos e valores. McLeod (1989) toma o termo ‘afeto’ de maneira geral e usa a expressão
“domínio afetivo” para se referir a um conjunto extenso e não bem
delimitado de sentimentos e de humor (estados de ânimo) que diferem da pura cognição (CARVALHO, 2009, p. 130, grifos da autora)
Para Bortoloti (2009),
[...] professores de matemática precisam estudar a influência das emoções e dos aspectos afetivos na aprendizagem matemática. A análise e o aprofundamento dos comportamentos que são desencadeados, gerando alteração nos sentimentos e emoções, permitem ampliar o campo de compreensão sobre o desempenho do indivíduo, podendo, assim, contribuir para o surgimento ou melhoria de atitudes positivas em relação à matemática e à sua própria capacidade de aprender matemática. (BORTOLOTI, 2009, p.165)
Detectar que a criança está ansiosa é muito difícil, por ser a ansiedade uma sensação vaga e imprecisa (DAVIDOFF, 1983).
Ao reconhecer os efeitos fisiológicos e emocionais da ansiedade em seu aluno, o professor poderá auxiliá-lo evitando que chegue ao stress extremo com sintomas como insônia, agitação, dificuldade de concentração e, consequentemente, baixo rendimento escolar.
De acordo com Leontiev (apud Moysés, 2007, p. 30), Vygotsky considera a dimensão afetiva quando trata do conceito de internalização, pois “por trás do processo de internalização, há um motivo que emana do campo afetivo” (MOYSÉS, 2007, P.30). Assim, entendemos que a psicologia sócio-histórica pode oferece contribuições relevantes para o nosso objeto de estudo, uma vez que para Vygotsky, “afetividade e cognição podem ser tratadas de forma processual e dialética” (FALCÃO, 2003, 43).
Nos anos de 1920, sob o regime da ex- União Soviética, nos países do leste europeu, nasce uma psicologia que buscava compreender o homem na sua totalidade, conhecida como teoria sócio - histórica. Fundamentada no marxismo, só ganhou importância no ocidente e no Brasil, na década de 80, tendo como principal representante o russo Lev Semyonovich Vygotsky. Nascido em Orsha no ano de 1896, seus pais eram de uma família judaica culta e com boas condições econômicas, o que permitiu a Vygotsky uma formação sólida desde criança. Embora tenha vivido apenas 38 anos, sua obra é vasta, graças a sua cultura enciclopédica, seu pensamento inovador e sua intensa atividade, tendo produzido mais de 200 trabalhos científicos, e permite aplicações e novas perspectivas para a Psicologia, Educação e Linguagem.
Assunção (2009) sintetiza a obra de Vygotsky,
Com uma capacidade crítica e rigor metodológico em suas pesquisas, orientado pela perspectiva do materialismo histórico - dialético, concebe o homem como sujeito da história e na história. Compreende o desenvolvimento humano e os processos psíquicos a partir de uma base cultural. Vê a construção do conhecimento como um processo compartilhado, situando a aprendizagem como promotora de desenvolvimento e redefinindo o assim o papel da escola e o fazer do professor. Discute a relação da linguagem como formadora do pensamento e apresenta a consciência como um produto das relações sociais entre as pessoas (ASSUNÇÃO, 2009, p.11).
Para Vygotsky, as escolas assim como outras situações educacionais de caráter informal, representam o melhor laboratório cultural disponível para o estudo do pensamento (MOLL,1996,p.3), por ser um local organizado para a produção do conhecimento e apropriado para a interação social.
Para este autor, as ações internas e externas são dois aspectos inter-relacionados do mesmo fenômeno, ou seja, a estrutura instrumental da ação humana incorpora-se ao sistema de inter - relacionamento com outras pessoas e só nessa neste contexto pode ser compreendido. Em sentido mais amplo, afirma que a atividade produtiva social se desenvolve por meio de artefatos, sob as condições de cooperação entre as pessoas e é transmitida por gerações (MOISÈS, 2007)
Fortemente influenciando pelas idéias filosóficas de Marx desde a época de acadêmico, Vygotsky inspirou-se no marxismo para conceber a idéia de mediação, segundo a qual o homem, por meio de instrumentos, modifica a natureza, e ao fazê-lo, acaba modificando a si mesmo (MOISÉS, 2007,p.23).
Ao estudar o processo de formação de conceitos, em suas várias fases evolutivas, Vygotsky investigou crianças, adolescentes e adultos, dentre estes, alguns apresentavam distúrbios patológicos.
As descobertas oriundas desta investigação são resumidas pelo autor:
O desenvolvimento dos processos que finalmente resultam na formação de conceitos começa na fase mais precoce da infância, mas as funções intelectuais que, numa combinação específica, formam a base psicológica do processo de formação de conceitos amadurecem, se configura e se desenvolve somente na puberdade (Vygotsky,2008, p.72).
Vygotsky menciona em suas citações o caráter transitório do pensamento do adolescente, reforçando que o indivíduo constrói e internaliza as significações do meio exterior para o interior, salientando que, embora aprenda a produzir conceitos, o adolescente não dispensa as formas mais elementares, continuando a operá-las por muito tempo, evidenciando a necessidade da utilização de materiais manipuláveis ao longo de todo o Ensino Fundamental.
De suas pesquisas sobre o processo de internalização, Vygotsky verificou a existência de dois tipos de conceitos: os espontâneos e os científicos. Como espontâneos, considera aqueles que a criança aprende no seu dia – a – dia, sendo que destes não tem consciência, e os científicos são aqueles sistematizados e transmitidos intencionalmente, seguindo uma metodologia específica, ou seja, os conceitos que se aprende na escola.
A tarefa do professor ao transmitir ou ajudar ao aluno a construir os conceitos científicos é a de levá-lo a estabelecer um enlace indireto com o objeto por meio das abstrações em torno de suas propriedades e da compreensão das relações que ele mantém com um conhecimento mais
amplo. (MOYSÉS, 2007, p. 35)
De acordo com esta autora, o conceito científico só se elabora intencionalmente, presumindo uma relação consciente e consentida entre o que aprende, o sujeito, e o que se vai aprender, o objeto.
Para Vygotsky,
Dirigida pelo uso da palavra a formação de conceito científico é uma operação mental que exige que se centre ativamente a atenção sobre o assunto, dele se abstraindo os aspectos que são fundamentais e inibindo os secundários, e que se chegue a generalizações mais amplas mediante uma síntese (VYGOTSKY, 1987, p.70)
O ambiente escolar é de fundamental importância na aquisição dos conceitos científicos. Sua apreensão exige uma interação entre professor e aluno, implicando na reconstrução do que o aluno já sabe, por meio de estratégias metodológicas adequadas, nas quais a mediação entre o aluno e o objeto de aprendizagem, é feita pelo professor.
Percebemos que os conceitos científicos são construídos gradativamente pelos alunos, com a ajuda do professor, evidenciando a importância do papel do professor na aprendizagem, como o afirma Moysés:
Vale salientar que em termos cognitivos o questionamento e a correção,por parte de quem ensina, desempenha um papel relevante na aprendizagem. Conhecendo a zona de desenvolvimento proximal do aluno, o professor bem preparado saberá fazer as perguntas que irão provocar o desequilíbrio na sua estrutura cognitiva fazendo-a avançar no sentido de uma nova e mais elaborada reestruturação (MOYSÉS, 2007, p. 37).
Utilizando experimentos científicos, Vygotsky concluiu que o aluno ao elevar o domínio dos conceitos científicos, conseqüentemente elevará os conceitos espontâneos. Desta forma, o modo como os conceitos científicos são abordados nas escolas, poderão proporcionar uma melhor compreensão dos conceitos espontaneos que o aluno traz consigo.
Ao destacar o papel da interação social no desenvolvimento e formação de conceitos científicos, Vygotsky evidenciou a importância da atividade compartilhada. Em seus estudos, essa interação se traduzia nas relações entre crianças e adultos. Suas pesquisas sugerem fortemente que as crianças aprendem significados e
comportamentos em um processo de colaboração. A colaboração com uma outra pessoa, seja adulto ou um colega mais competente, na zona de desenvolvimento proximal, conduz ao desenvolvimento de formas culturalmente apropriadas. A interação com parceiros mais competentes tem se mostrado muito eficiente no desenvolvimento cognitivo.
A interação entre alunos desempenha papel fundamental no desenvolvimento das capacidades cognitivas, afetivas e de inserção social. Em geral, explora-se mais o aspecto afetivo dessas interações e menos sua potencialidades em termos de construção do conhecimento. Ao tentar compreender outras formas de resolver uma situação, o aluno poderá ampliar o grau de compreensão das noções matemáticas nela envolvidas (BRASIL,1998, p.38).
Ao trabalhar com atividades compartilhadas na 5ª série, o professor deve considerar que nessa faixa etária os alunos atuam mais em grupos do que individualmente.
lII. O ENSINO DAS GEOMETRIAS EUCLIDIANAS
Ao longo dos anos, o trabalho com o espaço e as figuras geométricas vem sendo negligenciado no ensino fundamental e pouco explorado no ensino médio. Ele pode e deveria ser iniciado nos primeiros anos do ensino fundamental, com exploração de macro espaços e figuras tridimensionais. Deve ser continuamente desenvolvido e ampliado com o estudo de propriedades de figuras geométricas e pequenos estudos axiomáticos.
Entretanto, o que se vê atualmente é que o ensino da geometria e suas múltiplas abordagens, tem sido pouco ou quase nada abordado nas escolas.
No entanto, a Geometria tem tido pouco destaque nas aulas de Matemática e, muitas vezes, confunde-se seu ensino com o das medidas. Em que pese seu abandono, ela desempenha um papel fundamental no currículo, na medida em que possibilita ao aluno desenvolver um tipo de pensamento particular para compreender, descrever e representar de forma organizada, o mundo em que vive.(BRASIL, 1998, p.122)
ministrar conteúdos de Geometria para os alunos do Ensino Fundamental e Médio (PAVANELO 93; LORENZATO, 95; ALMOULOUD, 2004.).
O ensino de matemática, e particularmente o da geometria, vem sofrendo modificações ao longo dos anos, levando professores e alunos a perceberem a existência de outras geometrias, além das euclidianas. Segundo as Diretrizes Curriculares da Rede Pública do Estado do Paraná (2008), as discussões entre educadores matemáticos do início do século XX procuravam trazer para a educação escolar um ensino da Matemática diferente daquele proveniente das engenharias que prescrevia métodos puramente sintéticos, pautados no rigor das demonstrações.
Ao analisarmos os conteúdos desenvolvidos nas aulas de Geometria no Estado do Paraná, verificamos que ao elaborar seus planejamentos, grande parte dos professores desconsidera as indicações curriculares oficiais que apontam para o Ensino Fundamental e Médio a importância de se trabalhar noções básicas de Geometrias não – Euclidianas (Paraná, 2009).
IV. O Ensino das Geometrias não Euclidianas
A ideia de pesquisar sobre Geometrias não Euclidianas surgiu da necessidade de trabalhar o tema em sala de aula, pois apesar de constar como componente específico dos conteúdos estruturantes das Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná desde 2008, percebeu-se que temas relacionados a essas geometrias são ainda desconhecidos pelos professores, uma vez que não foram vistos durante a sua formação acadêmica e os livros didáticos não contemplam tópicos a elas relacionados.
As primeiras sistematizações realizadas por gregos como Platão e Eudoxo, muito contribuíram para que a geometria ocupasse lugar de destaque como ramo da matemática, mas foi com Euclides, por volta de 300 A.C, que esse conhecimento foi sistematizado. Com o texto de matemática mais bem sucedido de todos os tempos –
Os Elementos, Euclides deu a geometria, forma, coesão e lógica, formalizando o
conhecimento geométrico da época e dando-lhe cientificidade. “A geometria de Euclides foi a primeira teoria matemática a ser axiomatizada, sendo por cerca de
dois mil anos considerada como a única geometria possível.” (COUTINHO 2001, p.35).
No famoso livro Os Elementos, Euclides enumerou um conjunto de cinco axiomas e cinco postulados. Em Coutinho (2001) encontramos:
1. Axiomas
1. Coisas iguais a uma terceira são iguais entre si.
2. Se quantidades iguais são adicionadas a iguais, os totais são iguais. 3.Se quantidades iguais são subtraídas de iguais, os restos são iguais.
4. Coisas que coincidem uma com a outra são iguais.
5. O todo é maior do que qualquer de suas partes.
2. Postulados
1. Uma linha reta pode ser traçada de um ponto a outro, escolhidos à vontade.
2. Uma linha reta pode ser prolongada indefinidamente.
3. Um círculo pode ser traçado com centro e raios arbitrários. 4. Todos os ângulos retos são iguais.
5. Se uma reta secante a duas outras forma ângulos, de um mesmo lado dessa secante, cuja soma é menor que dois ângulos retos, então essas retas se prolongadas suficientemente encontrar-se-ão em um ponto desse mesmo lado.
No final do século XVIII e inicio do século XIX, os matemáticos, estimulados pelas afirmações de alguns filósofos, dentre eles Kant, argumentaram a seguinte idéia: “ se há a possibilidade apenas de uma única geometria, certos postulados ou noções comuns seriam teoremas, isto é, seriam uma conseqüência lógica de proposições primeiras.” Dentro desse raciocínio, das tentativas de provar o 5º Postulado de Euclides, criaram-se novas geometrias, tão boas e consistentes quanto a Euclidiana. (COUTINHO, 2001, p.36)
O quinto postulado do livro I ( a relação entre “axiomas e postulados “ não é muito clara em Euclides) é equivalente ao chamado “ axioma das paralelas”, de acordo com o qual , por um ponto passa uma recta dada e uma só. As tentativas de reduzir esse axioma a um teorema conduziram, no século XIX, a uma apreciação completa da sensatez do ponto de vista de Euclides ao adaptá-lo como um axioma e levaram à descoberta das chamadas geometrias não euclidianas. (STRUIK,1989, p.92)
Segundo Boyer (1974), até o século XIX, a Geometria Plana descrevia o mundo com aproximação. Martos afirma que,
A partir das grandes descobertas e invenções o homem tem buscado nos meios científicos, respostas para problemas concernentes às medidas geométricas. A partir dessa busca, tem constatado que, para algumas medidas, os conceitos da Geometria Euclidiana respondem satisfatoriamente, para os problemas que envolvam as pequenas medidas, mas para as medidas de grande escala, são necessários os conceitos de Geometrias não - Euclidianas.(MARTOS, 2002)
De uma forma mais ampla, Coutinho (2001) escreve que de acordo com a substituição que se faz do postulado das paralelas surgem dois tipos clássicos de geometria não - euclidianas: a Geometria Hiperbólica e a Geometria Elíptica.
Na Geometria Hiperbólica, o Postulado de Euclides é substituído pelo que afirma que, por um ponto dado P, fora de uma reta r, existe mais de uma paralela a esta reta r, enquanto que na Geometria Elíptica, postula-se que não existe nenhuma paralela.(COUTINHO, 2001, p.36)
Essas geometrias começaram a serem estudas por Girolamo Sacchei (1667- 1733) com a publicação de teoremas concluindo que havia chegado a uma contradição do quinto postulado de Euclides.
O húngaro János Bolyai (1802 - 1860) e o russo Nicolai Ivanovich Lobachevsky (1792 – 1856), publicaram a construção de uma nova geometria que negava o postulado das paralelas proposto por Euclides. Essa nova geometria recebeu o nome de Geometria Hiperbólica. Esta Geometria admite todos os postulados de Euclides, exceto o 5º, ou o das paralelas, que é substituído pelo que segue:
Por um ponto P fora de uma reta r passa mais de uma reta paralela à reta r. Em uma conferência sobre Fundamentos de Geometria, Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826- 1866) mudou radicalmente o conceito de espaço, objeto de estudo da geometria. Nesta ocasião, Riemann apontou as possibilidades de novas geometrias, e consequentemente, novo espaços. Na Geometria de Riemann,a reta não é mais infinita, como na Geometria Euclidiana, e sim ilimitada. Para ele, as retas seriam geodésicas (curvas que determinam em uma superfície, a menor distância entre dois pontos dados sobre a superfície) enquanto os planos
deveriam ser de dimensão 2. A Geometria Eliptica (ou riemaniana) tem como um de seus axiomas o que estabelece, que não existem paralelas a uma reta dada, contrapondo-se ao 5º postulado de Euclides.
Durante a implementação, as atividades propostas abordavam a Geometria Esférica, pois essa tem sido recomendada para a prática educacional por pesquisadores como Lénart (1996), Coutinho (2001) e Martos (2002), entre outros.
Modelo mais simples da Geometria Elíptica, a Geometria Esférica tem importantes aplicações na navegação e na astronomia. O estudo da esfera e seus elementos e suas associações com a superfície terrestre, abordando conceitos geográficos como paralelos, meridianos, latitudes, longitudes e fusos horários, baseados em importantes idéias geométricas, permitem ao aluno uma melhor compreensão e aprendizagem do tema, permitindo interdisciplinaridade com a Geografia. A Geometria Esférica tem sido muito utilizada nas rotas aéreas e marítmica.
2.1 Postulados De Riemann
• Quaisquer duas retas em um plano têm um ponto de encontro.
• Na superfície esférica a reta é ilimitada.
• Não existem paralelas nem retas não secantes.
• As retas são finitas.
• As somas dos ângulos internos de um triângulo são maior que 180º e menor que 540º.
• A soma das medidas dos ângulos de qualquer quadrilátero é maior do que 360º.
2.2 Curvatura do Espaço
Para COUTINHO (2001), uma outra maneira de conhecer a natureza do espaço em que vivemos, e conseqüentemente com que Geometria estamos lidando, é determinar sua curvatura.
Se a curvatura é constante e igual a zero, o espaço é euclidiano. Quando a curvatura for negativa, o espaço é lobachevskiano. Se for positiva, o espaço é riemaniano.
Como salientamos anteriormente, o pouco uso desta perspectiva nas salas de aula contribui para que fatores relacionados à ansiedade apresentem-se como,
por exemplo, insegurança e medo em professores e alunos. Durante a implementação do projeto foram aplicadas atividades que exploravam os conceitos de Geometria Não-Euclidiana, particularmente da Geometria Esférica junto a alunos e professores. Estes exercícios, além de desenvolverem habilidades e competências neste tópico, exploraram a manipulação tátil e a percepção do espaço, direcionando a visão do aluno para a Geometria Esférica nas aulas de Matemática, buscavam detectar possíveis sintomas de ansiedade durante sua resolução.
V. DESENVOLVIMENTO
O projeto teve início investigando o conhecimento dos alunos sobre o tópico geometria (Euclidiana). Falaram em triângulos, quadrados, “dados”, figura plana e espacial, que são exemplos de alguns polígonos e poliedros ( os alunos referiam-se ao cubo, que é um poliedro), demonstrando um conhecimento elementar de geometria. Quando indagados sobre qual era esse tipo de conteúdo, notamos que os alunos, em geral, não separavam conteúdos de geometria dos outros ramos da matemática. Para eles, tudo era matemática. Não foi apresentado a eles nessa aula o tema da pesquisa.
Dentre as dez atividades constantes do Caderno Pedagógico elaborado durante a terceira etapa do Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE)/2009, selecionamos comentar aqui apenas três. Essa escolha seguiu a ordem em que os conceitos que desejávamos explorar eram construídos por meio da experimentação.
A primeira atividade desenvolvida com os alunos foi a intitulada “Qual a cor do urso?”, utilizada por “Lenart (1996) e por Martos (2002), cujo objetivo era comprovar a não existência de retas paralelas na superfície esférica. Como modelo de superfície esférica, utilizamos uma bexiga branca, dada a facilidade de se desenhar em sua superfície e para a superfície plana, adotamos a folha de papel sulfite. Ao receber a bexiga, os alunos ficaram eufóricos e começaram a jogar a bexiga, mas foram acalmados e estimulados a desenhar na folha de sulfite e na bexiga, comparando nas duas superfícies a trajetória do urso.
Abaixo as produções escritas de dois grupos. Salientamos que as atividades foram resolvidas em grupo por corroborar com Vygotsky que “a atividade que um
aluno não é capaz de fazer individualmente, consegue fazer com ajuda de colegas, enriquecendo sua aprendizagem”.(VYGOTSKY, 1984, p.53).
Como dissemos anteriormente, o objetivo da atividade era verificar a existência de retas paralelas na superfície plana e a não existência na superfície esférica. Ao traçar a trajetória do urso na superfície esférica, verifica-se que as retas
interceptam-se em dois pontos, provando que na superfície esférica todas as retas são secantes. Ao analisar as respostas do grupo, verificamos que o grupo concluiu que desenhando a trajetória do urso na folha sulfite (tomada como superfície plana) o urso não voltaria a sua posição inicial, pois faltaria ainda 100 km para completar o caminho até sua casa. Percebemos que intuitivamente, os alunos notaram que na superfície plana, a trajetória do urso formaria os três lados de um quadrado de lado 100 km, evidenciado pela resposta da questão 1. Em relação à mesma trajetória desenhada sobre a bexiga, fica explícito nas respostas do grupo, o que Vygotsky estabelece como conceito espontâneo. O grupo não concluiu, se ao desenhar a trajetória do urso na superfície esférica, o urso retornaria a sua casa, mas concluiu que “as linhas ficaram curvas por causa da bexiga”, ou seja ao desenhar retas em uma superfície esférica, as retas tornam-se curvas, finitas e concorrentes.
A mesma atividade foi aplicada a um segundo grupo que demonstrou não ter a preocupação com os conceitos de geometria. Durante a realização da atividade, o grupo preocupou-se apenas em criar uma floresta (casa natural do urso conforme palavras dos componentes).
A segunda atividade selecionada para análise foi a atividade 3, intitulada “ A gota d’agua” cujo objetivo era perceber as relações entre ângulos dos triângulos nas superfícies planas e esféricas.
Entregamos para os alunos bexigas, transferidores flexíveis, réguas, tesouras e canetas hidrocor, ficha de trabalho 3 e três tipos de triângulos para serem recortados, sendo um escaleno, um isósceles e um equilátero.
Solicitamos que os alunos recortassem e medissem os ângulos internos e os lados dos triângulos planos. A seguir, pedimos que os alunos somassem as medidas dos ângulos internos dos triângulos e todos concluíram da totalizavam 180º.
Ao preencher a ficha de trabalho 3, os alunos usaram palavras como “entortou”, “curvaram”, para descrever a transformação dos lados inicialmente retos, traçados com réguas, em curvas.
Abaixo, fichas preenchidas por dois grupos de alunos da 5ª série.
A terceira e ultima atividade selecionada foi a atividade da ficha de trabalho 5: “É possível construir um polígono de dois lados?”. Com essa atividade pretendíamos construir os conceitos de grandes círculos, ângulos e triângulos esféricos e comparar o conceito de polígono nas duas superfícies. Os grupos não conseguiram concluir a atividade, porém perceberam que na superfície esférica, ao prolongar as retas, obtiveram a figura de “um olho”; o que, de acordo com Lenart, seria um polígono de dois lados denominado bi ângulo. Por meio dessa atividade conceituamos polígono e ângulo nas duas superfícies: a plana e a esférica.
Vl. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Foi interessante perceber o crescimento do interesse dos alunos durante a realização das atividades propostas. Embora problemas disciplinares tenham prejudicado a fixação dos conceitos, acreditamos que o projeto cumpriu um de seus objetivos, o de implementar a proposta da SEED de inserir tópicos das Geometrias não Euclidianas nas aulas de matemática.Com este mesmo grupo de alunos estaremos aprofundando o estudo da Geometria Esférica, retomando os conceitos de grandes e pequenos círculos e relacionando-os aos conceitos de paralelos e meridianos e fuso horário.
Quando questionados sobre o que mais gostaram nas atividades propostas na implementação do trabalho, alguns alunos apontaram a oportunidade de trabalhar em grupos. Segundo esses alunos, quem sabe mais ajuda quem não sabe. Com relação à ansiedade, durante a realização das atividades, não verificamos a sua interferência na aprendizagem dos alunos.
Acreditamos que esse trabalho realizado durante o Programa de Desenvolvimento Educacional contribuiu para a introdução e implementação de tópicos relacionados às Geometrias não Euclidianas nas aulas de Matemática do Estado do Paraná, particularmente da Geometria Esférica.
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