C o n s i d e r a ç õ e s i n i c i a i s : D e ve r e m o s i n i c i a l m e n t e c o m p r e e n d e r q u e “ r e s o l v e r ” u m c i r c u i t o e l é t r i c o , s i g n i f i c a a d e t e r m i n a ç ã o d e t o d a s a s s u a s t e n s õ e s e t o d a s a s s u a s c o r r e n t e s ; p a r a t a n t o , q u a l q u e r q u e s e j a o m é t od o u t i l i za d o , t o r n a - s e f u n d a m e n t a l o d o m ín i o d a 10 L e i d e O h m e d a s L e i s d e K i r c h o f f . V e r e m o s a s e g u ir o s p r i n c i p a i s m é t o d o s d e r e s o l u ç ã o d e c i r c u i t o s e l é t r i c o s : 1 ) R e s o l u ç ã o p o r a s s o c i a ç ã o s é r i e p a r a l e l o : T a l p r o c e s s o , u t i l i z a a a p l i c a ç ã o d o s c o n c e i t o s d e r e s i s t o r e s e q u i va l e n t e s d e a s s o c i a ç õ e s s é r i e - p a r a l e l o , r e d u z i n d o - s e o c i r c u i t o p r o p o s t o a u m a ú n i c a m a l h a : g e r a d o r -r e s i s t o r , de t e r m i n a n d o a c o r r e n t e p r i n c i p a l d o c i r c u i t o e p o s t e r i o r m e n t e vo l t a n d o - s e a o c i r c u i t o o r i g i n a l . E m p r i n c i p i o s o m e n t e é p o s s íve l a u t i l i za ç ã o d i r e t a d e s t e p r o c e s s o e m c i r c u i t o s q u e p o s s u a m u m ú n i c o g e r a d o r d e t e n s ã o ; D a r e m o s a s e g u i r u m e xe m p l o p r á t i c o d a a p l i c a ç ã o d e s t e p r o c e s s o , a t r a vé s d a r e s o l u ç ã o d e u m c i r c u i t o : R e s o l ve r c o m p l e t a m e n t e o c i r c u i t o a b a i x o : C o m e c e m o s e n t ã o a r e s o l ve r a s a s s o c i a ç õ e s i m e d i a t a s e a r e d e s e n h a r o c i r c u i t o ; N o t e m o s q u e R1 e s t á e m s é r i e c o m R2; R8 e m s é r i e c o m R1 0 ; e a i n d a R5 e m s é r i e c o m R6 ; r e s o l ve n d o e s t a s p r i m e i r a s a s s o c i a ç õ e s , e r e d e s e n h a n d o o c i r c u i t o t e r e m o s : O b s e r va r e n t ã o q u e a g o r a RS 1 e s t á e m p a r a l e l o c o m R3 ; e q u e RS 2 e s t á e m p a r a l e l o c o m R9 ; p o r t a n t o t em - s e :
RP1 12 4 12 4 3 = × + = Ω ; RP2 20 5 20 5 4 = ×
+ = Ω : Redesenhando o circuito tem-se :
N o t e m o s q u e a g o r a t e m - s e a s é r i e d e Rp 1 c o m R4 e a i n d a a s é r i e d e Rp 2 c o m R7; r e s o l ve n d o e r e d e s e n h a n d o o b t e m - s e : V e r i f i c a m o s e n t ã o q u e RS 4 e s t á e m p a r a l e l o c o m RS 5 ( o b s e r ve q u e RS 4 e RS 5 e s t ã o c o n e c t a d o s e n t r e o s m e s m o s p o n t o s A e B ) p o r t a n t o , e n c o n t r a n d o o r e s i s t o r e q u i va l e n t e p a r a l e l o : RP = × + = 10 15
10 15 6Ω ; redesenhando o circuito tem-se:
T e n d o - s e r e d u zi d o f i n a l m e n t e o c i r c u i t o a u m a ú n i c a m a l h a , c a l c u l a - s e a c o r r e n t e , d e t e r m i n a n d o - s e o s e n t i d o d a m e s m a ( l e m b r a m o s q u e r e s i s t o r e s s ã o b i p o l o s p a s s i vo s , p o r t a n t o c o m t e n s ã o e c o r r e n te a o c o n t r á r i o ) :
V o l t a m o s a g o r a p as s o a p a s s o p a r a o c i r c u i t o o r i g i n a l , d o f i m p a r a o c ome ç o : L e m b r a n d o q u e o r e s i s t o r e q u i va l e n t e d e 1 0Ω , veio da série de 4Ω com 6Ω , e l e m b r a n d o q u e e m re s i s t o r e s e m s é r i e te m - s e a m e sm a c o r re n t e i r e m o s t e r :
A p l i c a n d o - s e a L e i d e O h m , i n d i v i d u a l m e n t e p a r a c a d a r e s i s t o r , e m a i s u m a ve z, l e m b r a n d o q u e e m re s i s t o r e s t e n s ã o e c o r r e n t e s ã o a o c o n t rá r i o t e r e m o s :
V o l t e m o s a g o r a m a i s u m p a s s o , o b s e r v a n d o q u e o r e s i s t o r d e 6Ω foi gerado pela a s s o c i a ç ã o e m p a r a l e l o d e 1 0Ω com 15Ω e lembrando que numa associação em p a r a l e l o t e m o s a m e s m a t e n s ã o ; s e l e m b r a r m o s q u e a t e n s ã o n o r e s i s t o r d e 6Ω é d e 6 0 V s e n t i d o d e A → B, então concluiremos que seja no resistor de 10Ω , seja n o r e s i s t o r d e 1 5Ω a tensão também será de 60V sentido de A → B, no esquema q u e e r a a n t e r i o r a es s e . N o r e s i s t o r d e 4Ω tudo continua igual por não ter havido m u d a n ç a s :
A s c o r r e n t e s I1 e I2 s ã o f a c i l m e n t e d e te r m i n á ve i s p e l a a p l i c a ç ã o d i r e t a d a L e i d e
O h m n o s r e s i s t o r e s d e 1 5Ω e 10Ω, uma vez conhecida a tensão de 60V; voltando-s e m a i voltando-s u m p a voltando-s voltando-s o , o u voltando-s e j a : m a n t e n d o - voltando-s e a voltando-s c o n d i ç õ e voltando-s voltando-s o b r e o r e voltando-s i voltando-s t o r d e 4Ω, e n o t a n d o q u e o r e s i s t o r d e 1 5Ω veio da série de 3Ω com 12Ω (Portanto a mesma c o r r e n t e d e 4 A ) e a i n d a q u e o r e s i s t o r d e 1 0Ω veio da série de 4Ω com 6Ω ( p o r t a n t o a m e s m a c o r r e n t e d e 6 A ) , e a i n d a c o m a a p l i c a ç ã o c o n s e q ü e n t e d a L e i d e O h m s o b r e o s r es i s t o r e s d a s s é r i e s o b t e r e m o s :
V o l t e m o s m a i s u m p a s s o m a n t e n d o a s c o n d i ç õ e s s o b r e o s r e s i s t o r e s q u e nã o s o f r e r a m m u d a n ç a s e n o t a n d o q u e o r e s i s t o r d e 3Ω foi originado pela associação e m p a r a l e l o d e 1 2Ω com 4Ω (portanto, a tensão sobre estes resistores será de 1 2 V ) e a i n d a n o t a n d o q u e o r e s i s t o r d e 4Ω foi originado pela associação em p a r a l e l o d o r e s i s t o r d e 5Ω com o resistor de 20Ω (portanto sendo a tensão sobre e s t e s r e s i s t o r e s d e 2 4 V ) C o m a s t e n s õ e s c o n h e c i d a s f a c i l m e n t e d e t e r m i n a m o s a s c o r r e n t e s I3, I4, I5, I6 s o b r e o s r e s i s t o r e s a t r a vé s d a L e i d e O h m :
C o m o ú l t i m o p a s s o , f i n a l m e n t e vo l t e m o s a o c i r c u i t o o r i g i n a l m a n t e n d o a s c o n d i ç õ e s s o b r e o s r e s i s t o r e s q u e n ã o m u d a r a m e o b s e r v a n d o q u e o r e s i s t o r d e
s e r á d e 1 , 0 A ) q u e o r e s i s t o r d e 2 0Ω foi originado pela série de 12Ω com 8Ω ( p o r t a n t o , s e n d o a co r r e n t e n e s t e s r e s i st o r e s d e 1 , 2 A ) , e f i n a l m e n t e n o t a n d o q u e o r e s i s t o r d e 4 , 0Ω (que está em série com o gerador) foi originado pela associação e m s é r i e d e 3Ω com 1Ω (sendo portanto a corrente nestes resistores de 10A). A s u b s e q u e n t e a p l i c a ç ã o d a L e i d e O h m fo r n e c e : V E R I F I C A Ç Ã O P O S S Í V E I S : a ) P o d e m o s i n i c i a l m e n t e ve r i f i c a r a L e i d o s N ó s p a r a c a d a N ó ; o u s e j a : N ó A : E n t r a m 1 0 A ; s a e m 1 A , 3 A , 4 , 8 A e 1 , 2 A . O b s e r v e q u e 1 + 3 + 4 , 8 + 1 , 2 = 1 0 A ( s o m a d a s q u e e n t r a m = s o m a d a s q u e s a e m ) N ó C : E n t r a m 3 A e 1A ; s a e m 4 A ( ve r i f i c a d o ) N ó D : E n t r a m 4 A e 6A ; s a e m 1 0 A ( ve r i f i c a d o ) N ó E : E n t r a m 4 , 8 A e 1 , 2 A ; s a e m 6 A ( ve r i f i c a d o ) b ) P o d e m o s t a m b é m ve r i f i c a r a L e i d a s Ma l h a s p a r a c a d a m a l h a , e f e t u a n d o a c i r c u i t a ç ã o d a s m e s m a s : - Ma l h a C B A C : + 4 + 8 - 1 2 = 0 ( ve r i f i c a da ) - Ma l h a C A D C : + 1 2 + 3 0 - 1 0 0 + 1 0 + 4 8 = 0 ( ve r i f i c a d a ) - Ma l h a D A E D : - 1 0 + 1 0 0 - 3 0 - 2 4 - 3 6 = 0 ( ve r i f i c a d a ) - Ma l h a A F E A : - 1 4 ,4 - 9 , 6 + 2 4 = 0 ( ve r i f i c a d a ) - Ma l h a B A F E D C B ( m a l h a e xt e r n a ) + 8 - 1 4 , 4 - 9, 6 - 3 6 + 4 8 + 4 = 0 ( ve r i f i c a d a )
2 - GERA DORE S R EAIS E EQUIV AL ÊN CIAS: (Eq u i va lên ci a Northon- T he ven ìm) Uma outra f erramenta pod erosa ut il i zada na re so luçã o d e circu itos e létr icos , é basea da no pr inc íp i o da eq ui va lên ci a d e g eradores, ou na Eq ui va lênc ia N orth on-T heve n ìm, q ue con siste em subst itu ir a asso ci ação em s érie de um g erad or de tensão c om um resi stor, pela assoc ia çã o em para le lo de u m g erador de corre nte com o mesmo r esistor. Demon stre mos então a eq ui val ênc ia, imag ina ndo in ic ia lmente um g erador de tensã o de valor E (Qua lq uer), assoc iado em sér ie c om um resistor d e va lo r R e determ ina ndo a cur va car acter ís tica ( i x v) d o b ipo lo
eq ui va lent e. A na log amente imag in emos um g erador de c orrente de val or I , assoc iad o em para le lo com um res istor de va lor r e também determinemo s a cur va caracter ístic a (i x v) do bi po lo eq u i va lent e; teremos:
a) - Gerador de tensão ; b) - Gerador de corre nte em série com um resistor R : em parale lo com um resistor r : v = E - R . i ∴ ; r v i I = + ∴ = ⇒ = = ⇒ = ∴ R E i 0 v : se E v 0 i : se ; = ⇒ = ⋅ = ⇒ = ∴ I i 0 v : se I r v 0 i : se
De pos se das eq ua ções cara cter íst ica s de cada b ip ol o eq ui val ente determ ine mos então as c ur vas car acter íst ica s dos me smos. Observand o- s e q ue as eq uações são li near es, as c ur vas poderã o ser obti das a partir de d ois pont os para cad a eq ua ção (V. Acima) :
a) - Curva Caract erísti ca de b) - Curva Caracter íst ica d e um Gerador de tensão um Gerador de corre nte em série com um resistor R em paralel o com um resistor r
ii ii Iv Iv E E R R.I I + -E R R.i Ii Ii iv iv iv ir I ir A A B B
Para q ue e xi sta eq ui val ênc ia entre os doi s bip o los em q ualq uer circ unstâ nci a , é necess ári o q ue as d uas cur va s caracter ísticas s ej am abso lut amente ig ua is. Ne stas cond içõ es , como es tamos l id ando com r etas, bast ará impor q ue doi s po ntos de u ma cur va caract er íst ica sej am idê ntic os a do is po ntos da o utra ;o u sej a:
I
RE = ; e ainda : E = r.I
dond e, combi nan do as eq uaçõe s obtemo s: R = r ; e ainda: E = R . I
Portanto, se e ntre doi s ponto s “A” e “B” de um circ uito, t i vermos um g erador de tensão em sér ie co m um resistor, p ode remos subst itu ir est a asso ci ação, entre os mesmos po ntos p or um g erador d e cor rente as soc iad o em para le lo com o me smo resistor, da f orma co mo se seg ue:
De mane ira an ál og a, se entre dois p ont os “A” e “B” de um circu ito, ti vermos u m g erador de corrent e em paral el o co m um resistor, pod eremos subst itu ir e sta assoc iaç ão, e ntre os mesmos po ntos p or um g erador de te ns ão ass oc iad o em sér ie com o mesmo resist or, da f orma como se seg ue:
E xerc íc io de A p lic a ção: Para o c ircu ito a seg uir, pede- se determin ar a tensão V ind ic ada entre o s p ontos “A” e “B” pe lo util i za ção d o proce sso de eq ui val ênc ia de g eradores: + -E R R A A B B E R + - Ir . I Ir ir A A B B I
Cons id eran do- se q u e entre o s po ntos A e B temos um g erad or de ten são de 1 2V em série com um res isto r de 6Ω ; ainda que temos um gerador de 9V em série com um resistor de 3Ω, e finalmente também temos um gerador de 8V em série com um resistor d e 2Ω, poderemos entender o circuito equivalente com sendo:
A
B
2A 6Ω 3A V 3Ω 2Ω 4A
Determi nan do o resi stor eq ui va lente em para le l o da assoc ia ção, e ain da sub stitu in do os três g eradores de corre n te por um únic o eq ui va l ente, f acilmente determ i na- se a tensã o e ntre os pontos “A” e “ B” :
A
B
9A 1Ω V = 9V
Ao vo ltarmos para o circu ito or ig in al, c om o con hec imento da t ensão entre o s po ntos “A” e “B”, f acilmente determinamo s todas as tensõe s e corren tes restantes; de f ato:
A B + + + -12V 9V 8V 6Ω 3Ω 2Ω V A B + + + -12V 9V 0V 9V 9V 3V 1V 9V 8V 6Ω 3Ω 2Ω 0,5A 0,5A 0A
