Cap3 Sec2 2x4

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Capítulo 3

Regras de Derivação

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3.2

Regras do Produto e do Quociente

Nesta seção, nós aprenderemos sobre: Fórmulas que nos permitem derivar novas funções

formadas a partir das antigas funções por multiplicação ou divisão.

REGRAS DE DERIVAÇÃO

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Por analogia com as Regras da Soma e da Diferença, alguém poderia tentar

conjecturar, como Leibniz o fez três séculos atrás, que a derivada de um produto é o produto da derivada.

Contudo, podemos ver que esta conjectura está errada examinando um exemplo particular.

AS REGRAS DO PRODUTO

© 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. Seja f (x) = x e g(x) = x2_.

ƒ Então a Regra da Potência fornece f’ (x) = 1 e

g’(x) = 2x.

ƒ Mas (fg)(x) = x3_{, assim (fg)(x) = 3x}2_. ƒ Dessa forma, (fg)’  f’ g’.

A fórmula correta foi descoberta por Leibniz (logo depois de tentar a fórmula falsa) e é chamada Regra do Produto.

AS REGRAS DO PRODUTO

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Antes de enunciar a Regra do Produto, vamos ver como poderíamos descobri-la. No caso onde u = f (x) e v = g(x) são funções positivas, podemos

interpretar o produto uv como uma área de um retângulo

AS REGRAS DO PRODUTO

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Se x variar uma quantidade x, temos que as variações correspondentes em u e v são

u = f (x + x) - f (x)

v= g(x + x) - g(x)

AS REGRAS DO PRODUTO

Um novo valor do produto, (u + u)(v + v), pode ser interpretado como a área do retângulo maior da figura (desde que u e v sejam positivos).

AS REGRAS DO PRODUTO

A variação na área do retângulo é

= soma das três áreas sombreadas

Se dividirmos por x, obteremos

( ) (

uv

u

u v

)(

v

)

uv

u v

v u

u v

'

 '

 ' 

'  '  ' '

AS REGRAS DO PRODUTO Equação 1

( )

uv

v

u

v

u

v

u

x

x

x

x

'

'

_

'

_{ '}

'

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Se fizermos xo 0, obteremos a derivada de

uv: AS REGRAS DO PRODUTO





0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) lim lim

lim lim lim lim 0. x x x x x x d uv uv dx x v u v u v u x x x v u v u v u x x x dv du dv u v dx dx dx ' o ' o ' o ' o ' o ' o ' ' ' ' ' § _{  '} · ¨ _{' ' '} ¸ © ¹ ' _ ' _{ ' ¨}§ ' · ¸ ' ' © ' ¹  

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Observe que u o 0 quando x o 0, uma vez que f é derivável e, portanto, contínua.

AS REGRAS DO PRODUTO Equação 2

( )

d

dv

du

uv

u

v

dx

dx



dx

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Embora tenhamos inicialmente suposto (para a interpretação geométrica) que todas as quantidades são positivas, vemos que a Equação 1 é sempre verdadeira.

ƒ A álgebra é válida se u, v, u e v forem positivas ou negativas.

ƒ Assim, demonstramos a Equação 2, conhecida como a Regra do Produto, para todas as funções diferenciáveis de u e v.

AS REGRAS DO PRODUTO

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Se f e g forem diferenciáveis, então

Em outras palavras, a Regra do Produto diz: ƒ A derivada de um produto de duas funções é a

primeira função vezes a derivada da segunda função mais a segunda função vezes a derivada da primeira função. AS REGRAS DO PRODUTO

>

( ) ( )

@

( )

>

( )

@

( )

>

( )

@

d d d f x g x f x g x g x f x dx dx  dx

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a.Se f (x) = xex_{, encontre f’ (x).}

b.Encontre n-ésima derivada f(n)_(x).

AS REGRAS DO PRODUTO EXEMPLO 1

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a.Se f (x) = xex_{, encontre f’ (x).}

ƒ Pela Regra do Produto, temos

AS REGRAS DO PRODUTO EXEMPLO 1 a

'( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( 1) x x x x x x d f x xe dx d d x e e x dx dx xe e x e   ˜ 

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b. Encontre n-ésima derivada f(n)_(x).

ƒ Usando a Regra do Produto uma segunda vez, obtemos

AS REGRAS DO PRODUTO EXEMPLO 1 b

''( ) ( 1) ( 1) ( ) ( 1) ( 1) 1 ( 2) x x x x x x d f x x e dx d d x e e x dx dx x e e x e ª  º ¬ ¼      ˜ 

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Aplicações subsequentes da Regra do Produto nos dão

De fato, cada derivação sucessiva adiciona outro termo ex, de modo que

AS REGRAS DO PRODUTO EXEMPLO 1 b

( ) (

)

n x

f

x



x

n e

4

_{( ) (}

₄₎

x

f

x

x



e

'''( ) (

3)

x

f

x

x



e

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AS REGRAS DO PRODUTO EXEMPLO 2

( )

(

)

f t

t a bt



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ƒ Solução 1: Usando a Regra do Produto, temos

AS REGRAS DO PRODUTO EXEMPLO 2

( )

(

)

f t

t a bt



 

1 2 1 2 '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 3 ) 2 2 d d f t t a bt a bt t dt dt t b a bt t a bt a bt b t t t     ˜   ˜   

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ƒ Solução 2: Se primeiro usarmos as propriedades dos expoentes para reescrever f (t), então poderemos prosseguir diretamente sem usar a Regra do Produto.

que é igual à resposta dada na Solução 1.

AS REGRAS DO PRODUTO EXEMPLO 2

( )

(

)

f t

t a bt



1 2 3 2 1 2 3 1 2 1 2 2 ( ) '( ) f t a t bt t at bt f t at bt   

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O Exemplo 2 mostra que algumas vezes é mais fácil simplificar um produto de funções do que usar a Regra do Produto.

No Exemplo 1, entretanto, a Regra do Produto é o único método possível.

AS REGRAS DO PRODUTO

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Se

, onde g(4) = 2 e

g’(4) = 3, encontre f’ (4).

AS REGRAS DO PRODUTO EXEMPLO 3

( )

( )

f x

xg x

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Aplicando a Regra do Produto, obtemos

Consequentemente,

AS REGRAS DO PRODUTO EXEMPLO 3

>

@

1 2 1 2 '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '( ) ( ) '( ) 2 d d d f x x g x x g x g x x dx dx dx g x x g x g x x x g x x  ª º _ ª º ¬ ¼ ¬ ¼  ˜  (4) 2 '(4) 4 '(4) 2 3 6.5 2 2 2 4 g f g  ˜  ˜

Vamos determinar uma fórmula para derivar o quociente de duas funções diferenciáveis u = f (x) e v = g(x) do mesmo modo que obtivemos a Regra do Produto.

A REGRA DO QUOCIENTE

Se x, u e v têm variações x, u e v, respectivamente, então a correspondente variação no quociente u/v será

A REGRA DO QUOCIENTE

















u u u u v v v v u u v u v v v u u v v v v v v v  ' § · '_{¨ ¸}   ' © ¹  '   ' '  '  '  '

© 2010 Cengage Learning. Todos os direitos reservados. Logo, A REGRA DO QUOCIENTE

 





0 0

lim

lim

x x

u v

d

u

dx v

x

u

v

v

u

x

x

v v

v

' o ' o

'

§ ·

¨ ¸

_'

© ¹

'

_

'

'

'

 '

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Quando xo 0, v o 0 também, pois v = g(x) é derivável e, portanto, contínua.

Logo, usando Propriedades dos Limites, obtemos A REGRA DO QUOCIENTE





0 0 2 0 lim lim lim x x x u v du dv v u v u d u _{x x dx dx} dx v v v v v ' o ' o ' o ' _ ' _ § · _{' '} ¨ ¸ _{ '} © ¹

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Se ƒ e g forem deriváveis, então

Em palavras, a Regra do Quociente diz que: ƒ A derivada de um quociente é o denominador vezes

a derivada do numerador menos o numerador vezes a derivada do denominador, todos divididos pelo quadrado do denominador. A REGRA DO QUOCIENTE

>

@

>

@

2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d g x f x f x g x d f x _{dx dx} dx g x g x  ª º « » _{ª º} ¬ ¼ _{¬ ¼}

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A Regra do Quociente e as outras fórmulas de derivação nos permitem calcular a derivada de qualquer função racional, como ilustrado no exemplo a seguir.

Seja:

A REGRA DO QUOCIENTE EXEMPLO 4

2 3

2

6

x

x

y

x

 



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A REGRA DO QUOCIENTE EXEMPLO 4



 

 

 











 



 







 











3 2 2 3 2 3 3 2 2 2 3 4 3 4 3 2 2 3 4 3 2 2 3 6 2 2 6 ' 6 6 2 1 2 3 6 2 12 6 3 3 6 6 2 6 12 6 6 d d x x x x x x dx dx y x x x x x x x x x x x x x x x x x x x                           

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Encontre uma equação da reta tangente à curva y = ex_{/(1 + x²) no ponto (1, ½e).}

A REGRA DO QUOCIENTE EXEMPLO 5

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Encontre uma equação da reta tangente à curva y = ex_{/(1 + x²) no ponto (1, ½e).}

ƒ Segundo a Regra do Quociente, temos

A REGRA DO QUOCIENTE EXEMPLO 5



  













 













2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 x x x x x d d x e e x dy _{dx dx} dx _x x e e x e x x x         

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Logo, a inclinação da reta tangente em

(1, ½e) é:

ƒ Isso significa que a reta tangente em (1, ½e) é horizontal, e sua equação é

y = ½e.

ƒ Observe que a função está crescendo e cruza sua reta tangente em (1, ½e).

A REGRA DO QUOCIENTE EXEMPLO 5

1

0

x

dy dx

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Não use a Regra do Quociente toda vez que você vir um quociente.

Algumas vezes é mais fácil reescrever um quociente primeiro, colocando-o em uma forma que seja mais simples para derivar.

OBSERVAÇÃO

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Por exemplo, embora seja possível derivar a função

usando a Regra do Quociente, é muito mais fácil efetuar primeiro a divisão e escrever a

função como antes

de derivar. OBSERVAÇÃO 2 3 2 ( ) x x F x x  1 2 ( ) 3 2 F x x  x

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A seguir está um resumo das regras de derivação que aprendemos até agora:

TABELA DE REGRAS DE DERIVAÇÃO

 

 

 

        1 ' 2 0 ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' ' n n x x d d d c x nx e e dx dx dx cf cf f g f g f g f g f gf fg fg fg gf g g      § ·   _{¨ ¸} © ¹