UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA LICENCIATURA EM MATEMÁTICA. Aritmética e Frações no Egito Antigo

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CENTRO DE CIˆ

ENCIAS EXATAS E DE TECNOLOGIA

LICENCIATURA EM MATEM ´

ATICA

Aritm´

etica e Fra¸

c˜

oes no Egito Antigo

Aluna: Tuanny Barbosa da Silva - R.A. 326968

Orientador: Prof. Jo˜

ao C. V. Sampaio

Disciplina: Trabalho de Conclus˜

ao de Curso

Curso: Licenciatura em Matem´

atica

Coordenadores: Prof

a

. Vera L´

ucia Carbone

Prof

a

. Karina Schiabel Silva

Prof. Sadao Massago

(2)

balho de Conclusão de Curso, coordenada pelos Professores do Departamento de Ma-temática: Vera Lúcia Carbone, Karina Schi-abel Silva e Sadao Massago.

Aluna: Tuanny Barbosa da Silva R.A. 326968

Orientador: Prof. Jo˜ao C. V. Sampaio

(3)

Dedico este trabalho à mulher que me inspiro todos os dias e que sempre acreditou em mim: minha mãe Márcia.

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`

As amigas Adriana, Gabriela, Kaline e Lais, agrade¸co pela amizade, pela paciência e a companhia diária nestes últimos anos.

Aos meus amigos de curso Ana Claudia e Paulo pelos momentos de estudo na BCo e pelo apoio ao longo do curso.

`

A amiga Jessica por me mostrar que trabalhar com dedica¸c˜ao e com amor aos alunos ´e o melhor caminho.

Agrade¸co tamb´em ao meu professor e orientador Jo˜ao Sampaio pela oportu-nidade deste trabalho.

Por fim, gostaria de deixar meus sinceros agradecimentos a todos que n˜ao tem seus nomes aqui, mas que fizeram parte da minha jornada.

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palpita dentro de n´os, glorificando a Terra que aguarda nosso concurso eficiente, pelo equil´ıbrio e compreens˜ao.”

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eg´ıpcia facilita o aprendizado da aritm´etica para alunos do ensino fundamental, bem como para o professor ao expor esse conte´udo em sala de aula.

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1 Introdu¸c˜ao 6

1.1 Matem´atica Eg´ıpcia . . . 6

1.2 Nota¸c˜ao Num´erica . . . 7

1.3 Opera¸c˜oes Aritm´eticas . . . 10

1.3.1 Adi¸c˜ao de inteiros . . . 10

1.3.2 Multiplica¸c˜ao de inteiros . . . 11

1.3.3 Divis˜oes de inteiros, de quocientes inteiros . . . 14

2 Fra¸cões 15 2.1 Fra¸cões eg´ıpcias ou unitárias . . . 15

2.2 O algoritmo de Sylvester . . . 16

2.3 A conjectura de Erd¨os-Straus . . . 18

2.4 Problemas de partilha no papiro Rhind . . . 19

2.5 N´umeros auxiliares vermelhos . . . 21

2.6 A tabela 2/n . . . 22

3 Problemas do Papiro Rhind 24

Referˆencias Bibliogr´aficas 38

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Constatamos ao longo do trabalho que as fontes para estudo da civiliza¸cão eg´ıpcia são escassas e fragmentadas. Mas são de grande importância para o apren-dizado do aluno e enriquecimento do repertório do professor.

Assim, de acordo com o PCN (1998, p. 42),

“A História da Matemática pode oferecer uma impor-tante contribui¸cão ao processo de ensino e aprendizagem dessa área do conhecimento. Ao revelar a Matemática como uma cria¸cão humana, ao mostrar necessidades e pre-ocupa¸cões de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, ao estabelecer compara¸cões entre os conceitos e processos matemáticos do passado e do presente, o profes-sor cria condi¸cões para que o aluno desenvolva atitudes e valores mais favoráveis diante desse conhecimento.”[7]

1.1 Matem´

atica Eg´ıpcia

Os primeiros números foram escritos em monumentos de pedra, argilas, calendários e pedras tumulares, porém a maioria do nosso conhecimento de matemática eg´ıpcia vem de escritos sobre papiros. Papiro é um material primitivo de escrita parecido com o papel, feito de um junco aquático chamado papu, que cresce ao longo do rio Nilo.

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Os textos matemáticos eg´ıpcios mais antigos contêm principalmente proble-mas de ordem prática, tais como calcular a capacidade de um celeiro, o número de blocos necessários para a constru¸cão de um armazém ou o estoque de grãos necessários para a prepara¸cão de certa quantidade de pão e de cerveja. Contudo, as sociedades encontravam-se muito avan¸cadas, fortemente urbanizadas e em plena expansão populacional, motivando assim o desenvolvimento das cidades e o aper-fei¸coamento das técnicas de administra¸cão da vida comum. Necessitavam também de meios para acompanhar o que era produzido, quanto era devido de impostos e assim por diante. Lidar com esses problemas de subsistência era tarefa espec´ıfica dos escribas. Eles eram, em geral, funcionários públicos profissionais que sabiam escrever e resolver problemas matemáticos simples.

A maior fonte de informa¸cão sobre a matemática eg´ıpcia é o papiro Rhind, datado de cerca de 1 650 a.C. O nome é uma homenagem ao arqueólogo escocês A. Henry Rhind, que o comprou, por volta de 1 858, em Luxor, no Egito. Este documento também é chamado de papiro de Ahmes, por causa do escriba eg´ıpcio que o copiou, e encontra-se no Museu Britânico. O papiro contém, de um lado, ex-tensas tabelas que eram usadas como ajuda para cálculos e, do outro, uma cole¸cão de problemas práticos, provavelmente usados para o treinamento de escribas, onde descrevem os métodos de multiplica¸cão e divisão dos eg´ıpcios; o uso que faziam das fra¸cões unitárias; seu emprego da regra de falsa posi¸cão; sua solu¸cão para o problema da determina¸cão da área do c´ırculo e muitas aplica¸cões da matemática. Ao todo são trabalhados 87 problemas, em escrita hierática.

Existem outros quatro escritos eg´ıpcios menores, de alguma importância: o papiro de Moscou, o papiro de Kahun, o papiro de Berlim e o rolo de couro. Há muitos pequenos fragmentos e papiros comerciais espalhados pelo mundo, mas eles fornecem apenas uma ligeira informa¸cão sobre a matemática eg´ıpcia. Porém, estudaremos somente o Papiro Rhind e seus problemas relacionados a aritmética e a fra¸cões.

1.2 Nota¸

c˜

ao Num´

erica

Os eg´ıpcios desenvolveram uma escrita e um sistema de numera¸c˜ao por volta de 3 400 a.C. Os antigos eg´ıpcios empregavam um sistema decimal. Diferente do nosso sistema, o sistema eg´ıpcio era aditivo, n˜ao posicional. Os numerais eg´ıpcios, em escrita hierogl´ıfica, eram:

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Figura 1.1. Fragmento do papiro Rhind. Depositado no Museu Britˆanico Londres. Fonte: http://www.lessing-photo.com/p3/030102/03010244.jpg

| (um), 2 (dez), W (cem), 4 (mil), 5 (dez mil), 6 (cem mil), 7 (milh˜ao)

“O número 1 era representado por uma barra vertical e os números consecutivos de 2 a 9 eram obtidos pela soma de um número correspondente de barras. Os próximos números são múltiplos de dez e, por esta razão, dizemos que o sistema é decimal. O número dez é uma al¸ca; cem, uma espiral; mil, a flor de lótus; dez mil, um dedo, cem mil, um sapo e um milhão, um deus com as mãos levantadas.”[8]

No sistema aditivo eg´ıpcio, os números maiores exigiam cadeias de s´ımbolos bastante longas, observe a Figura 1.2, à página 9. Por exemplo, o número que escrever´ıamos como 4 536 428, os eg´ıpcios escreveriam, em numerais hierogl´ıficos, do seguinte modo:

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777766666555444444WWWW22||||||||

A inven¸cão dos hieróglifos durou muitos anos e quase todos foram tirados da fauna e da flora do Nilo. Os instrumentos e utens´ılios que utilizavam para a escrita eram usados no Egito pelo menos desde o in´ıcio do quarto milênio a.C. Os pictogramas e as formas de desenhos variam consideravelmente de um sistema para outro.

Os eg´ıpcios desenvolveram três formas de escrita, exemplificadas na Figura 1.3. A mais antiga era conhecida como hierogl´ıfica usada pelos sacerdotes em mo-numentos, murais e tumbas. Desta, deriva uma forma cursiva de hieróglifos, usada nos papiros, chamada hierática, forma de escrita encontrada no papiro Rhind. Era uma maneira mais rápida e mais conveniente de transmitir uma mensagem, gravar um acordo, ou fazer um cálculo com números do que usando o desenho detalhado de hieróglifos pictográficos. Da hierática, mais tarde, resultou a escrita demótica, que foi adotada para usos gerais.

Figura 1.2. Inscri¸c˜ao em mural eg´ıpcio, contendo numerais hierogl´ıficos. Fonte: http://cuip.uchicago.edu/wit/99/teams/egyptmath/carv.Egy.num.jpg

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Figura 1.3. Exemplo da evolu¸c˜ao da escrita eg´ıpcia antiga ao longo dos s´eculos. Fonte: http://hieroglifos.com.sapo.pt/evolucao.png

1.3 Opera¸

c˜

oes Aritm´

eticas

1.3.1 Adi¸

c˜

ao de inteiros

A opera¸cão aritmética fundamental do Egito Antigo era a adi¸cão, e as opera-¸cões de multiplica¸cão e divisão eram efetuadas no tempo de Ahmes por sucessivas duplica¸cões.

Apesar do caráter muito rudimentar de sua nota¸cão hierogl´ıfica, os eg´ıpcios aprenderam há muito tempo a fazer opera¸cões aritméticas por meio de seus al-garismos. A adi¸cão e a subtra¸cão não apresentam nenhuma dificuldade: para a primeira, por exemplo, basta justapor ou superpor as representa¸cões dos números a somar, em seguida reunir (mentalmente) os números idênticos, substituindo a cada vez dez signos de uma categoria pelo algoritmo da classe decimal imediatamente superior.

Para somar os números 1 729 e 1 696, por exemplo, superpõem-se inicialmente as representa¸cões dos números correspondentes. Agrupam-se em seguida as barras verticais, as al¸cas, as espiras e as folhas de lótus. Em seguida, substituem-se dez barras por uma al¸ca, dez al¸cas por uma espiral, e dez espirais por uma flor de lótus, chegando, após as redu¸cões, ao resultado da opera¸cão:

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1 729 ||||||||| 22 WWWW WWW 4 + 1 696 |||||| 22222 2222 WWW WWW 4 = 3 425 ||||| 22 WW WW 444

1.3.2 Multiplica¸

c˜

ao de inteiros

O método de multiplica¸cão eg´ıpcia era muito diferente da nossa. Os eg´ıpcios usavam duas opera¸cões para multiplicar: a duplica¸cão e a adi¸cão. Para calcular 6 × 8, por exemplo, eles fundamentavam o cálculo da seguinte forma:

2 × 8 = 16

4 × 8= 2 × (2 × 8) = 32

Adicionando à esquerda dá: (2 + 4) × 8 ou 6 × 8 e à direita: 16 + 32 = 48. Assim, 6 × 8 = 48

O problema 32 do Papiro Rhind mostra o procedimento real usado pelos eg´ıpcios para calcular 12 × 12. Vejamos (leitura da direita para a esquerda):

||2 | ||||22 || |||| |||| 22 22 |||| / ||| ||| 22222 2222 |||| |||| / |||| 22 22W

Esse hier´oglifo corresponde ao seguinte (leitura da esquerda para a direita):

1 12 2 24 /4 48 /8 96

144

De cima para baixo, vemos os resultados de 1 × 12, 2 × 12, 4 × 12 e 8 × 12, que foram obtidos atrav´es de duplica¸c˜oes. Os tra¸cos inclinados encontrados na terceira

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retamente por 10 em vez de adicionar o dobro do n´umero e oito vezes o n´umero. Isto foi feito facilmente em sua nota¸c˜_{ao, eles apenas substitu´ıam |por 2, 2por W, e} assim por diante.

Outras abordagens para a multiplica¸cão também foram usadas. Por exemplo, para multiplicar por 5, os eg´ıpcios ocasionalmente iniciavam pela multiplica¸cão por 10 e, em seguida, dividiam por 2. Vejamos o Problema 6 do Papiro Kahun, calcular 16 × 16: / 1 16 / 10 160 / 5 80 Assim, 16 × 16 = (1 + 10 + 5) × 16 = 16 + 160 + 80 = 256 Exemplo 1.1 Calcular 84 × 15 1 15 2 30 4 60 8 120 16 240 32 480 64 960

(15)

Na coluna da direita, os eg´ıpcios inscrevem o multiplicando 15 e na frente, na coluna da esquerda, o número 1. Depois dobram sucessivamente cada um dos números. Mas, como o multiplicador 84 não aparece desta vez na coluna da esquerda, ele prossegue a duplica¸cão até obter a maior potência de 2 contida neste multiplicador. Na coluna da esquerda, os eg´ıpcios parariam no número 64, pois a duplica¸cão seguinte daria 128, que seria superior ao multiplicador 84. Em seguida, nesta mesma coluna procura os números cuja soma seja igual a 84 e marca com um pequeno tra¸co inclinado esses números (isto é, 64, 16 e 4):

1 15 2 30 /4 60 8 120 /16 240 32 480 /64 960

Analisando a coluna da esquerda, constatamos que ela é composta por n´ u-meros que são potências de 2.

A pergunta que surge é: Será que o método de dobrar e adicionar sempre tem sucesso? A resposta é sim, somente se escrevermos sempre o multiplicador como uma soma de potências de 2. Contudo, sabemos que Todo número positivo pode ser escrito como soma de potências inteiras de 2, distintas entre si, de uma maneira ´_{unica. Ou seja, se n ∈ N, então existe k, número natural tal que,}

n =

k

X

i=0

ai2i = a020+ a121+ a222+ ... + ak2k

sendo cada um dos d´ıgitos a0, a1, . . . , ak igual a 0 ou 1.

Vamos ilustrar usando o exemplo anterior, multiplicar 15 por 84, sendo 84 o multiplicador. Este número, 84, será escrito como uma soma de potências de 2. As primeiras nove potências de 2 são:

20 = 1 23 _{= 8} ₂6 _{= 64}

21 = 2 24 = 16 27 = 128 22 = 4 25 _{= 32} ₂8 _{= 256}

(16)

84 × 15 = (2 + 2 + 2 ) × 15.

= (26× 15) + (24_{× 15) + (2}2_{× 15)}

= 960 + 240 + 60 = 1260

1.3.3 Divis˜

oes de inteiros, de quocientes inteiros

Vejamos agora como os eg´ıpcios efetuavam divisões de inteiros, quando os quoci-entes fossem inteiros. Eles transformavam o problema de dividir a por b em achar um número x tal que b vezes x é igual a a. Assim, dividir a por b significava, para eles, por quanto devo multiplicar b para obter a, ou ainda, quantos b’s cabem em a?

Exemplo 1.2 Calcular 45 ÷ 9

Para resolver esse problema pensaremos como os eg´ıpcios: “calcular 9 at´e obter 45”. Come¸camos multiplicando 9, como se segue:

/1 9

2 18 /4 36

total 45

Disto segue-se que (1 + 4) × 9 = 45 ou 45 ÷ 9 = 5.

Aqui, o escriba eg´ıpcio faria a seguinte pergunta: quantas vezes 9 cabe em 45, ou de quantos 9’s eu preciso para formar 45?

Portanto, para a multiplica¸cão e a divisão os eg´ıpcios geralmente faziam duplica¸cões sucessivas, ou seja, uma série de multiplica¸cões ou divisões por 2.

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Fra¸

c˜

oes

2.1 Fra¸

c˜

oes eg´

ıpcias ou unit´

arias

Para representar fra¸cões os eg´ıpcios usavam um conceito que, para nós equivale às fra¸cões unitárias, ou seja, fra¸cões da forma 1

n, com n ≥ 2.

Os eg´ıpcios representavam as fra¸c˜oes escrevendo os n´umeros inteiros com uma forma que nos lembra uma elipse, por cima do inteiro, significando “partes”. Por exemplo, 1₅ seria escrito com a elipse sobre cinco barras verticais: r|||

||

. A fra¸c˜ao ₂₄₃1 seria representada por r

W W

22 22|||

Eles criaram s´ımbolos especiais para algumas fra¸cões. A fra¸cão 1₂ _{era representada por M. A fra¸cão} 2₃ podia ser representada por r_{s ,} e também por r

| | .

Na elabora¸cão de problemas, os eg´ıpcios muitas vezes encontravam resultados que não eram expressos como fra¸cões unitárias. Nesse caso, escreviam-nas como uma soma de diferentes fra¸cões unitárias. Por exemplo, os eg´ıpcios não possu´ıam representa¸cão para 4₇. Então, eles procuravam decompô-la como soma de duas fra¸cões unitárias, escrevendo-a como 1₂ + ₁₄1. E para escrever as fra¸cões 1₂ e ₁₄1, os eg´ıpcios escreviam M e _{2 ||||}r. A fra¸cão 4₇ era ent˜_{ao representada na forma M} _{2 ||||}r, ou seja, por justaposi¸cão dos s´ımbolos representando as fra¸cões 1/2 e 1/14.

Podemos representar qualquer fra¸cão unitária como uma soma de duas fra¸cões unitárias distintas, isto é,

1 a = 1 a + 1+ 1 a(a + 1) (2.1)

sendo a um inteiro positivo. Se a ´e ´ımpar, a igualdade 2.1, nos fornece a importante decomposi¸c˜ao 2 a = 1 (a + 1)/2 + 1 a(a + 1)/2 (2.2) 15

(18)

Figura 2.1. Numerais hierogl´ıficos fracion´arios em parede de templo em Edfu, Egito. Fonte:

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Edfu Egyptian numerals 2.JPG

2.2 O algoritmo de Sylvester

Em 1 880, o matemático inglês J. J. Sylvester (1 814 − 1 897) demonstrou que toda fra¸cão ordinária a

b, isto é, com a e b inteiros positivos e a < b, pode ser escrita como soma de um número finito de fra¸cões unitárias distintas entre si.

O algoritmo consiste em, primeiramente, achar a maior fra¸cão unitária que seja menor que a fra¸cão dada; subtrair essa fra¸cão unitária da fra¸cão dada; e, em seguida, achar a maior fra¸cão unitária menor que a diferen¸ca obtida anteriormente. Por fim, deve-se subtrair de novo, e continuar o processo até chegar a uma fra¸cão unitária como resultado da subtra¸cão. Vejamos a demonstra¸cão do algoritmo.

Considere a maior fra¸c˜ao unit´aria _n1 tal que 1_n ≤ a

b. Isto ´e equivalente a dizer

que 1 n ≤ a b < 1 n−1

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Se a = 1, tomamos n = b, e nada mais temos a fazer. Se n˜ao, a b = 1 n + a b − 1 n = 1 n + an − b bn

Ocorre que, nas condi¸c˜oes anteriores temos an − b < a, pois 1 n ≤ a b < 1 n − 1 ⇒ a b − 1 n − 1 < 0 ⇒ a(n − 1) − b b(n − 1) < 0 ⇒ an − a − b < 0 Ent˜ao, an − b < a

Assim, percebemos que a nova fra¸cão ordinária obtida através do algoritmo tem numerador menor que a. Iteramos o algoritmo, agora aplicando-o à fra¸cão

an−b

bn , procurando então a maior fra¸cão unitária 1

m que “‘cabe” em an−b

bn , isto ´e, tal

que _m1 < an−b_bn .

Mas a pergunta que surge é: não podemos obter uma soma de fra¸cões unitárias iguais, isto é, obter 1

m = 1 n? A resposta ´e n˜ao. Pois,

an − b nb <

1 n

Sabemos que an − b < a e a < b. Ent˜ao, an − b < b. Logo, an − b nb < b nb = 1 n

Assim, conclui-se que o algoritmo de Sylvester sempre termina em um número finito de passos, pois a sequência de numeradores, dos varios passos iterativos, é decrescente, e que cada nova fra¸cão unitária obtida é menor que as anteriores, o que as torna distintas entre si.

Exemplo 2.1 Expressar 13₂₀ em fra¸c˜oes unit´arias.

Usando o Algoritmo de Sylvester, é necessário primeiramente encontrar a maior fra¸cão com numerador 1 menor que 13

(20)

2.3 A conjectura de Erd¨

os-Straus

Em 1 948, os matemáticos Paul Erdös e Ernst Straus conjecturaram que, qualquer que seja o número natural n > 5, existem números naturais a, b e c, distintos entre si, tais que

4 n = 1 a + 1 b + 1 c

Pela Teoria dos N´_{umeros, o conjunto N, dos n´umeros naturais, fica} subdi-vidido em quatro classes de naturais, cada uma das classes contendo todos os naturais que deixam um mesmo resto quando divididos por 4. S˜ao elas:

n =                  4m, 4m + 1, 4m + 2, 4m + 3.

Utilizaremos aqui as equa¸cões 2.1 e 2.2, que estão na página 15. Para n = 4m, podemos escrevê-la como

4 n = 4 4m = 1 m = 1 m + 1 + 1 m(m + 1) = 1 m + 2 + 1 (m + 1)(m + 2) + 1 m(m + 1) Para n = 4m + 2, temos 4 n = 4 4m + 2 = 2 2m + 1 = 1 m + 1 + 1 (m + 1)(2m + 1) = 1 m + 2 + 1 (m + 1)(m + 2) + 1 (m + 1)(2m + 1)

(21)

Agora se n = 4m + 3, podemos observar que 4 4m + 4 “cabe”em 4 4m + 3, isto ´e, 4 4m + 4 < 4

4m + 3. Assim, imitando o algoritmo de Sylvester, obtemos: 4 n = 4 4m + 3 = 1 m + 1+ 4 4m + 3− 1 m + 1 = 1 m + 1+ 4m + 4 − (4m + 3) (4m + 3)(m + 1) = 1 m + 1+ 1 (4m + 3)(m + 1) = 1 (m + 2) + 1 (m + 1)(m + 2) + 1 (4m + 3)(m + 1)

Mas, at´e o presente momento o caso n = 4m + 1 permanece sem resposta. Obtivemos assim apenas resultados parciais da Conjectura de Erd¨os-Straus.

Apenas para citar um exemplo, se m = 4, então _4m+14 = ₁₇4. O algoritmo de Sylvester nos dará ₁₇4 = 1₅+₂₉1 +₁₂₃₃1 +_30393451 . É um caso em que os denominado-res, das sucessivas fra¸cões que aparecem no algoritmo, sempre decrescem em uma unidade apenas.

Mas ₁₇4 = 1₆ +₁₅1 +₅₁₀1 , não se tratando de um contra-exemplo à conjectura. Notamos também que a fórmula para 2/a, da equa¸cão 2.2, nos dá outra decomposi¸cão de ₁₇4 como soma de quatro fra¸cões unitárias distintas: ₁₇4 = 2 ·₁₇2 = 2 · (1₉ + ₁₅₃1 ) = 2₉ +₁₅₃2 = 1₅ +₄₅1 +₇₇1 + ₁₁₇₈₁1 .

2.4 Problemas de partilha no papiro Rhind

Sabemos que no Papiro Rhind os primeiros problemas propostos e resolvidos eram de ordem prática. A maioria dos problemas se davam em dividir um certo número de pães por um certo número de pessoas e eles efetuavam essas divisões por meio de partilhas. O problema a seguir mostra como os eg´ıpcios realizavam essas partilhas.

Exemplo 2.2 Repartir 4 p˜aes para 5 pessoas.

Chama a aten¸cão, nos primeiros problemas propostos e resolvidos do papiro, o modo como os eg´ıpcios resolviam problemas de dividir um certo número de pães por um certo número de pessoas.

Por exemplo, para dividir 4 pães para 5 pessoas, nós diremos que cabe, a cada uma, 4/5 de um pão, e isto poderia implicar, de certa forma, em “cortar”

(22)

a cada pessoa (2o diagrama). Finalmente, o quarto de p˜ao restante seria dividido em 5 fatias, cabendo portanto mais 1/20 de p˜ao a cada pessoa (3o diagrama).

Isso nos d´a finalmente 4₅ = 1₂+1₄+₂₀1_{, ou seja, a cada uma caberia M}r ||||

r 22

de p˜ao.

Figura 2.2. Diagramas da partilha de 4 p˜aes para 5 homens, segundo procedimento eg´ıpcio.

O resultado deste problema de partilha nos dá a decomposi¸cão da fra¸cão 4/5 em fra¸cões unitárias, a mesma que obter´ıamos se aplicássemos o algoritmo de Sylvester. Mas a coincidência de resultados nem sempre ocorre. Podemos verificar que, por exemplo, na partilha de 5 pães para 7 homens, segundo o método de “divisão solidária” eg´ıpcio, caberia a cada um 1₂ +1₆+₂₄1 +₁₆₈1 , um resultado bem desajeitado, que os eg´ıpcios contornavam com o uso da fra¸cão 2/3 pois 5₇ = 2₃+₂₁1. Se aplicarmos o algoritmo de Sylvester, obteremos a decomposi¸cão 5₇ = 1₂ + 1₅ +

1

70. Ainda temos a decomposi¸c˜ao 5 7 = 1 2 + 1 7 + 1

14, n˜ao prevista por nenhum dos

algoritmos.

A fim de acompanhar os antigos processos eg´ıpcios com mais facilidade, va-mos usar uma nova nota¸cão para fra¸cões unitárias. A fra¸cão ₁₂1 , por exemplo, será representada por 12, e, em geral, 1_n para n. A fra¸cão 2₃ será escrita por 3. Observe que 42 × 3 = 3 e que 3 dividido por 2 é igual a 3.

(23)

2.5 N´

umeros auxiliares vermelhos

Para os eg´ıpcios a subtra¸cão se dava de forma diferente. Quando os escribas queriam calcular 1 − (15 3 5) eles pensavam: “O que será necessário para (15 3 5) completar 1 unidade”? Os problemas 21, 22 e 23 do Papiro Rhind são dessa natureza. O escriba mostra como usar um número auxiliar vermelho para lidar com várias fra¸cões, que equivale ao nosso m´ınimo denominador comum. Esses números foram escritos em vermelho para torná-los imediatamente vis´ıveis, por isso foram assim denominados. Vejamos o exemplo 2.3.

Exemplo 2.3 Como 15 5 3 completa 1

Escolhemos o 15 como o n´umero auxiliar vermelho e procurando simplificar, aplicamos:

15 de 15 é igual a 1, 5 de 15 é igual a 3, 3 de 15 é igual a 5.

Então, temos que (15 de 15) + (5 de 15) + (3 de 15) é 9. Como 15, o número vermelho, supera 9 em 6 unidade, temos que calcular o número de partes de 15 que dá um total de 6, isto é, dividir 6 por 15:

1 15 3 10 / 3 5 / 15 1 soma 6. A resposta ´e 15 3.

Portanto, (15 5 3) + (15 3) = 1. À primeira vista, este método é comple-tamente inintelig´ıvel. Para sabermos o que realmente aconteceu, vamos resolver este problema usando a nossa aritmética moderna. Afirmamos o problema como completar a soma 1

15 + 1 5 +

1

3 para 1 unidade, podemos, ent˜ao, alterar as fra¸c˜oes ao mesmo denominador: 1 15+ 1 5+ 1 3 = 1 15+ 3 15 + 5 15 = 9 15

(24)

tados que já conheciam, por serem frequentemente utilizados em problemas. No papiro Rhind encontramos uma tabela de decomposi¸cão de fra¸cões do tipo _n2 em fra¸cões unitárias, com n ´ımpar de 3 a 101. O equivalente a 2₅ é dado como 1₃+₁₅1 ; e

2

11 ´e escrito como 1 6 +

1

66. Sugeriu-se que alguns dos itens na tabela para 2/n eram

obtidos usando o equivalente da f´ormula

2 n = 1 (n + 1)/2 + 1 n(n + 1)/2 ou da f´ormula 2 pq = 1 p(p + q)/2 + 1 q(p + q)/2

tendo em vista que se n é ´ımpar, ou se p e q são ´ımpares distintos, teremos fra¸cões unitárias distintas no segundo membro de ambas as igualdades.

Porém, nenhum desses processos fornece a combina¸cão para 2/15 que apa-rece na tabela. Recentemente foi sugerido que a escolha na maior parte dos ca-sos era ditada pela preferência dos eg´ıpcios pelas fra¸cões derivadas das fra¸cões “naturais”1/2, 1/3 e 2/3 por sucessivas divisões ao meio.

Descrevemos a seguir o conte´udo da Tabela 2/n do papiro Rhind:

Tabela 2.1. Decomposi¸cões de 2/n em fra¸cões unitárias, do papiro Rhind.

2 ÷ 3 = 2 + 6 2 ÷ 53 = 30 + 318 + 795 2 ÷ 5 = 3 + 15 2 ÷ 55 = 30 + 330 2 ÷ 7 = 4 + 28 2 ÷ 57 = 38 + 144 2 ÷ 9 = 6 + 18 2 ÷ 59 = 36 + 236 + 531 2 ÷ 11 = 6 + 66 2 ÷ 61 = 40 + 244 + 488 + 610

(25)

2 ÷ 13 = 8 + 52 + 104 2 ÷ 63 = 42 + 126 2 ÷ 15 = 10 + 30 2 ÷ 65 = 39 + 195 2 ÷ 17 = 12 + 51 + 68 2 ÷ 67 = 40 + 335 + 536 2 ÷ 19 = 12 + 76 + 114 2 ÷ 69 = 46 + 138 2 ÷ 21 = 14 + 42 2 ÷ 71 = 40 + 568 + 710 2 ÷ 23 = 12 + 276 2 ÷ 73 = 60 + 219 + 292 + 365 2 ÷ 25 = 15 + 75 2 ÷ 75 = 50 + 150 2 ÷ 27 = 18 + 54 2 ÷ 77 = 44 + 308 2 ÷ 29 = 24 + 58 + 174 + 232 2 ÷ 79 = 60 + 237 + 316 + 790 2 ÷ 31 = 20 + 124 + 155 2 ÷ 81 = 54 + 162 2 ÷ 33 = 22 + 66 2 ÷ 83 = 60 + 332 + 415 + 498 2 ÷ 35 = 30 + 42 2 ÷ 85 = 51 + 255 2 ÷ 37 = 24 + 111 + 296 2 ÷ 87 = 58 + 174 2 ÷ 39 = 26 + 78 2 ÷ 89 = 60 + 356 + 534 + 890 2 ÷ 41 = 24 + 246 + 328 2 ÷ 91 = 70 + 130 2 ÷ 43 = 42 + 86 + 129 + 301 2 ÷ 93 = 62 + 186 2 ÷ 45 = 30 + 90 2 ÷ 95 = 60 + 380 + 570 2 ÷ 47 = 30 + 141 + 470 2 ÷ 97 = 56 + 679 + 776 2 ÷ 49 = 28 + 196 2 ÷ 99 = 66 + 198 2 ÷ 51 = 34 + 102 2 ÷ 101 = 101 + 202 + 303 + 606

(26)

ros problemas do papiro, que são aqueles que tratam da aritmética eg´ıpcia. Os outros 64 problemas tratam sobre geometria, equa¸cões elementares, matemática recreativa, dentre outras aplica¸cões matemáticas.

• Problemas 1 a 6 – Dividir 1, 2, 6, 7, 8 e 9 p˜aes entre 10 homens.

Para resolver esse problema o escriba possu´ıa duas formas. A primeira era realizando divisões simples e a outra era efetuando a decomposi¸cão do número de pães. Realizaremos os dois métodos. Abaixo descrevemos as divisões simples, dos problemas de divisões de 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 pães, para 10 homens.

(27)

1 ÷ 10: 1 10 / 10 / 1 10 1 3 ÷ 10: 1 10 / 10 / 1 / 5 / 2 5 10 3 5 ÷ 10: 1 10 / 2 / 5 2 5 7 ÷ 10: 1 10 / 3 / 6 3 / 30 / 3 3 30 7 9 ÷ 10: 1 10 / 3 / 6 3 / 5 / 2 / 30 / 3 3 5 30 9 2 ÷ 10: 1 10 10 1 / 5 / 2 5 2 4 ÷ 10: 1 10 3 6 3 / 3 / 3 3 / 15 / 3 3 15 4 6 ÷ 10: 1 10 / 2 / 5 / 10 /1 2 10 6 8 ÷ 10: 1 10 / 3 / 6 3 / 10 / 1 / 30 / 3 3 10 30 8

(28)

Mas esse resultado poderia ter sido constru´ıdo de outra forma. Considere a divis˜ao de 1, 2 e 5 por 10:

1 ÷ 10 = 10 2 ÷ 10 = 5 5 ÷ 10 = 2

A partir dessas entradas, o escriba poderia imediatamente obter 3÷10 a partir de (1 + 2) ÷ 10, adquirindo assim sua terceira entrada 5 10. De modo semelhante, uma vez que 6 ÷ 10 é (1 + 5) ÷ 10, a sexta entrada é 2 10. O escriba poderia também ter encontrado 6 ÷ 10 dobrando 3 ÷ 10, mas provavelmente o rejeitou por ser menos simples. No entanto, realizando a duplica¸cão temos a decomposi¸cão em fra¸cões unitárias:

2 × (3 ÷ 10) = 2 × (5 10)

= (2 ÷ 5) + (2 ÷ 10) = (3 15) 5

onde 3 15 vem a partir da tabela 2/n. Assim, o escriba teria obtido a útil igualdade 3 5 15 = 2 10. A quarta entrada poderia vir de 1 + 3 ou de 2 × 2, mas em cada caso o escriba teria 5 5, o que não é aceitável, pois possuiria duas fra¸cões iguais. Mas desde que dois quintos pode ser expresso como 2 ÷ 5, ele só tinha que olhar na tabela 2/n para encontrar o quociente 3 15.

O escriba tinha dispon´ıveis v´arias alternativas de obten¸c˜ao de quocientes de 7, 8 e 9. Assim, ele poderia ter encontrado 7 ÷ 10, considerando

(1 + 6) ÷ 10 = 10 (2 10) = 2 5 (2 + 5) ÷ 10 = 5 2

(29)

Mas o escriba não queria nenhum desses, pois agora ele poderia incluir a sua importante fra¸cão 3, o que não era poss´ıvel para os dividendos anteriores. O mesmo acontece para 8 ÷ 10:

(1 + 7) ÷ 10 = 10 ? =?

(2 + 6) ÷ 10 = 5 (2 10) = 2 5 10 (3 + 5) ÷ 10 = (5 10) 2 = 2 5 10

(4 + 4) ÷ 10 = (3 10) (3 10) = (3 3) (15 15) = 3 10 30

O escriba escolheu para 8÷10 o último valor, provavelmente devido à presen¸ca do 3. Falta agora a divisão de 7 e 9.

Nestes dois ´ultimos poderia ter sido facilmente encontrados a partir 9 ÷ 10 = (8 + 1) ÷ 10, adicionando 10 a (3 10 30) para dar 3 5 30. E a partir dai 7 ÷ 10 = (8 − 1) ÷ 10, subtraindo 10 de 3 10 30 para dar 3 30.

Portanto, obtemos assim a resposta do Problema 1. Assim, cada homem receber´a igualmente: 1 ÷ 10 = 10 2 ÷ 10 = 5 6 ÷ 10 = 2 10 7 ÷ 10 = 3 30 8 ÷ 10 = 3 10 30 9 ÷ 10 = 3 5 30

Podemos, tamb´em, retirar dessa solu¸c˜ao a tabela n/10, com n entre 1 e 9 do Papiro Rhind: 1 ÷ 10 = 10 6 ÷ 10 = 2 10 2 ÷ 10 = 5 7 ÷ 10 = 3 30 3 ÷ 10 = 5 10 8 ÷ 10 = 3 10 30 4 ÷ 10 = 3 15 9 ÷ 10 = 3 5 30 5 ÷ 10 = 2

(30)

1 2 4 vezes 7 (Problema 11) q 14 (Problema 12) q 28 (Problema 14) q 2 14 (Problema 9) q 4 28 (Problema 7, 10) q 16 112 (Problema 13) q 32 224 (Problema 15) 1 3 3 vezes 2 (Problema 16) q 3 (Problema 17) q 4 (Problema 8) q 6 (Problema 18) q 12 (Problema 19) q 24 (Problema 20)

Agora faremos as resolu¸c˜oes desses 14 problemas.

• Problema 7: (1 2 4) × (4 28).

Realizando a multiplica¸c˜ao simples, temos / 1 4 28 / 2 8 56 / 4 16 112

(31)

Assim,

(1 2 4) × (4 28) = 4 28 8 56 16 112

= 2 (3.1)

Para chegarmos a resposta (3.1) usamos o n´umero auxiliar 112 e achamos

4 28 de 112 = 28 + 4 8 56 de 112 = 14 + 2 16 112 de 112 = 7 + 1

Somando as quantidades correspondentes obtemos 56. Logo, 56 ÷ 112 = 2.

• Problema 8: (1 3 3) × 4.

Realizando direto a multiplica¸c˜ao simples temos:

(1 3 3) × 4 = 4 6 12

= 2 (3.2)

O resultado (3.2) foi obtido a partir da utiliza¸c˜ao do n´umero auxiliar 12 e calculando:

4 de 12 = 3 6 de 12 = 2 12 de 12 = 1

Seguindo o mesmo procedimento do Problema 7, somando as quantidades correspondentes obtemos 6. Ent˜ao, calculando 6 ÷ 12 obtemos 2.

• Problema 9: (1 2 4) × (2 14). Realizando a multiplica¸c˜ao,

1 2 14 2 4 28 4 8 56

(32)

Chegamos no resultado (3.3) somando as quantidades correspondentes, isto ´e, 28 + 4 + 14 + 2 + 7 + 1 = 56. Portanto, 56 ÷ 56 = 1

• Problema 10:

De acordo com [6] os problemas 7 e 10 s˜ao idˆenticos. Ambos tratam de:

(1 2 4) × (4 28) = 4 28 8 56 16 112 = 2

Já nos problemas 11 e 12 não há complica¸cões. Ahmes utilizou simplesmente a duplica¸cão na multiplica¸cão. Vejamos:

• Problema 11: (1 2 4) × 7 = 7 14 28 = 4 (3.4) • Problema 12: (1 2 4) × 14 = 14 28 56 = 8 (3.5) • Problema 13: (1 2 4) × (16 112)

(33)

Efetuando a multiplica¸c˜ao, temos / 1 16 112 / 2 32 224 / 4 64 448 Ent˜ao, (1 2 4) × (16 112) = 16 32 64 112 224 448 = 8 (3.6)

Para encontrarmos (3.6), tomemos o n´umero 448 como o n´umero auxiliar. Assim,

16 112 de 448 = 28 + 4 32 224 de 448 = 14 + 2

64 448 de 448 = 7 + 1

Somando as quantidades correspondentes obtemos 56. Agora calculemos 56 ÷ 448 = 8, ou seja, 1 448 2 224 4 112 / 8 56 • Problema 14: (1 2 4) × 28 = 28 56 112 = 16 (3.7)

Para encontrarmos o resultado (3.7), tomemos como o n´umero auxiliar o 112. Ent˜ao,

28 de 112 é 4 56 de 112 é 2 112 de 112 é 1

(34)

Ent˜ao,

(1 2 4) × (32 224) = 32 224 64 448 128 896

= 16 (3.8)

Para chegarmos ao resultado (3.8) usamos como o n´umero auxiliar o 896 e achamos

32 224 de 896 é 28 + 4 64 448 de 896 é 14 + 2 128 896 de 896 é 7 + 1

Somando as quantidades correspondentes obtemos 56. Agora calculemos 56 ÷ 896 1 896 2 448 4 224 8 112 / 16 / 56 Assim, 56 ÷ 896 = 16. • Problema 16: (1 3 3) × 2 = 2 6 3 = 1 (3.9)

(35)

• Problema 17:

(1 3 3) × 3 = 3 2 9 9

= 3 (6 18) 9 (3.10)

= 3 (3.11)

Efetuada a multiplica¸c˜ao por 3, os eg´ıpcios encontravam 2

9 num dos

quocien-tes. Mas, para continuar os cálculos eles procuravam na tabela 2/n a representa¸cão de 2₉ como soma de fra¸cões unitária. Em (3.10) observamos essa subs titui¸cão. E para chegar ao resultado (3.11), os eg´ıpcios tomavam como número auxiliar o 18. Assim,

3 de 18 = 6 6 de 18 = 3 9 de 18 = 2 18 de 18 = 1

Somando as quantidades correspondentes obtemos 12. Assim, calculando 12 ÷ 18 teremos 3. • Problema 18: (1 3 3) × 6 = 6 9 18 = 3 (3.12) • Problema 19: (1 3 3) × 12 = 12 18 36 = 6 (3.13) • Problema 20: (1 3 3) × 24 = 24 36 72 = 12 (3.14)

(36)

3 de 15 ´e igual a 10 15 de 15 ´e igual a 1

Assim, temos que 3 de 15 mais 15 de 15 é 11. Como 15, o número vermelho, supera 11 em quatro unidades temos que calcular o número de partes de 15 que dá um total de 4, ou seja, dividir 4 por 15.

1 15

10 1 2

/ 5 3

/ 15 1 5 15 4

A quantidade que falta ´e 5 15.

No Problema 22, Ahmes aplicou o mesmo racioc´ınio. Procurou a quantidade que falta a 3 30 para obter 1 unidade. Neste caso é tomado o número 30 como número vermelho. Então, 3 30 de 30 é 21. Como 30 supera 21 em 9 unidades devemos determinar o número de partes de 30 que dá um total de 9, isto é, devemos dividir 9 por 30. Seguindo o procedimento habitual para a divisão obtém-se:

(37)

1 30 / 10 3

/ 5 6 10 5 9

Portanto, 10 5 ´e a solu¸c˜ao procurada.

J´a no Problema 23 temos que encontar a quantidade que falta para (4 8 10 30 45) obter 3.

Neste caso, Ahmes seleciona 45 como o número vermelho e aplica a mesma teoria anterior: 4 de 45 é 11 + 4 8 de 45 é 5 + 2 + 8 10 de 45 é 4 + 2 30 de 45 é 1 + 2 45 de 45 é 1 3 de 45 é 30

Somando agora as quantidades correspondentes ao enunciado obtemos (4 8 10 30 45) = 23 + 2 + 4 + 8, isto é, faltam 6 + 8 para chegar a 30 (o valor correspondente a 3 com o número vermelho 45). Agora devemos descobrir quantas partes de 45 são 6 + 8, que é a mesma coisa que dividir 6 + 8 por 45.

1 45 10 4 + 2 20 2 + 4 / 40 1 + 8 / 9 5 40 9 6 + 8

(38)

(39)

A História da Matemática contribui para a constru¸cão e evolu¸cão dos conceitos per-mitindo aos alunos conhecerem os obstáculos enfrentados pelo homem na produ¸cão e sistematiza¸cão desse conhecimento, levando também ao professor uma melhor compreensão e aceita¸cão das dificuldades enfrentadas pelos alunos, ajudando as-sim, a pensar em estratégias mais adequadas para favorecer a aprendizagem de conceitos e procedimentos matemáticos.

Contudo, percebemos que apresentar o contexto histórico do antigo Egito antes da inicia¸cão do tema Fra¸cões possa a vir contribuir para que o aluno tenha uma maior compreensão do tema. E elaborar atividades com fra¸cões eg´ıpcias contribuem para que os alunos desenvolvam habilidades de cálculo mental com fra¸cões.

Conclu´ımos que a aritmética e as fra¸cões eg´ıpcias são instigantes, curiosas e ricas de significados.

A primeira vantagem que os alunos podem adquirir com o método eg´ıpcio é a poss´ıvel realiza¸cão da multiplica¸cão através da duplica¸cão do multiplicando, sem precisar recorrerem a tabuadas. O mesmo ocorre para a divisão, pode realizá-la efetuando a duplica¸cão do dividendo.

Constatamos também que na realiza¸cão da divisão eg´ıpcia há uma maior praticidade, isto é, o modo como os eg´ıpcios resolviam problemas de dividir um certo número de pães por um certo número de pessoas é mais compreens´ıvel para os alunos. Além disso, o uso de fra¸cões unitárias permite uma maior facilidade na compara¸cão de quantidades.

De maneira geral, contextualizar o tema Fra¸cões do ponto de vista histórico, além de auxiliar no aprendizado dos alunos, também possibilita ao professor o enriquecimento e aprimoramento de seu repertório.

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mentary mathematics. New York: Dover Publications, INC, 1976.

[4] CORRÊA, F. J. S. A.; ALMEIDA, A. C.. Papiro de Rhind e as fra¸cões unitárias. Revista do Professor de Matemática, São Paulo, v.35, p. 02-08, 1997.

[5] EVES, H.. Introdu¸cão à História da Matemática. Trad.: Domingues H. H.; Campinas, SP: Editora: Editora da Unicamp, 2004.

[6] GILLINGS, R.J. Mathematics in the Time of the Pharaohs. Dover Publicati-ons, Inc, New York, 1982.

[7] PAR ÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS: Matemática / Secretaria de Educa¸cão Fundamental. Bras´ılia: MEC / SEF, 1998. 148 p.

[8] ROQUE, T.; PITOMBEIRA, J. B.. Tópicos de História da Matemática. Soci-edade Brasileira de Matemática. 2012

[9] SMITH, D.E.. History of Mathematics. New York: Dover, 1951, v.2, p.703.