Pré-relatório, 28 de março de 2008 Brenno Gustavo Barbosa e Thiago Schiavo Mosqueiro

Pré-relatório, 28 de março de 2008 Brenno Gustavo Barbosa e Thiago Schiavo Mosqueiro

 _{Em ano posterior, os resultados} experimentais obtidos foram interpretados como a excitação dos átomos levando à transição dos níveis atômicos, o que lhes valeu o prêmio Nobel em 1925.

 Esses resultados mostravam a discretização as energia.

 _{O experimento Franck-Hertz, realizado}

em 1914, pretendia confirmar a hipótese de que os espectros de energia das moléculas e dos sólidos são discretos.

 Foram realizados três montagens:

 Na primeira montagem, foram medidas supostas energias de ionização de vários gases;

 A segunda montagem foi uma adaptação da primeira montagem para realizar a medida da “energia de ionização” de metais;

 _{Na terceira observarão a emissão de}

radiação ultra-violeta para o espectro do mercúrio, apesar de este elemento

A mecânica quântica velha estava começando a surgir quando Franck e Hertz realizaram este experimento. Imbuídos naquelas idéias, conseguiram interpretar seus resultados de forma a concordar com tais modelagens emergentes.

 _{Em 1913, Niels Bohr propõe um}

modelo para o átomo de

hidrogênio: o primeiro modelo que obteve algum sucesso ao descrever um sistema puramente quântico.

 _{O elétron descreve órbitas estáveis,} representando estados chamados “estacionários”.

 _{O modelo basea-se em três} hipóteses não muito difíceis de serem aceitas dada nossa intuição “clássica”.

O físico Niels Henrik David Bohr (1885-1962), em 1922.

 _{Em 1913, Niels Bohr propõe um}

modelo para o átomo de

hidrogênio: o primeiro modelo que obteve algum sucesso ao descrever um sistema puramente quântico.

 _{As órbitas permitidas dependem de} valores quantizados (discretos) de momento angular orbital, seguindo o vínculo

 _{O modelo basea-se em três} hipóteses não muito difíceis de serem aceitas dada nossa intuição “clássica”.

.

com

,

:









pdq

n

n

Z

L





pdq



n





p



O físico Niels Henrik David Bohr (1885-1962), em 1922.

 _{Em 1913, Niels Bohr propõe um}

modelo para o átomo de

hidrogênio: o primeiro modelo que obteve algum sucesso ao descrever um sistema puramente quântico.

 _{Quando ocorre o salto de um} elétron entre órbitas, a diferença de energia é emitida (ou suprida) por um simples quantum de luz.

 _{O modelo basea-se em três} hipóteses não muito difíceis de serem aceitas dada nossa intuição “clássica”.

O físico Niels Henrik David Bohr (1885-1962), em 1922.

 _{Segundo o que foi discutido,} podemos inferir então que ao forçarmos os elétrons de uma molécula de mercúrio a transitar de um nível eletrônico a seu segundo nível eletrônico (isto é, o de energia imediatamente mais alta), esperamos a emissão de radiação. Portanto, alguma técnica de espectroscopia poderia nos fornecer o comprimento de onda associado a esta radiação.

.

)

0

(

)

1

(

E

h



E

_Hg



_Hg



 _{Em outras palavras, esperamos a} ocorrência de

 _{A freqüência da onda de radiação} deve concordar com a diferença de energia ao transitar de um estado etiquetado por 1 para um estado etiquetado por0.

 _{Sabemos atualmente que a} freqüência que é medida nesta emissão é aproximadamente de 3,94 10⁶Hz. Isto significa que a diferença entre as energias do estado 1 para o estado 0 deve ser igual a4.89 eV.

 _{O experimento de Franck-Hertz pode} ser descrito classicamente por meio da perda abrupta de energia de um elétron ao “chocar-se” com um átomo ao coincidirem a energia de excitação do átomo com a energia total do elétron.  Matematicamente podemos descrever

esse evento através da simples equação (discretizada para uso computacional) para um único elétron com velocidade inicial v0. . 0 , 2 sgn max 2 ) ( 2 2₁ 1 2 1                     E v m m E x x L m eV v v e i e i i e i i

 _{Realizamos algumas simulações} com a equação em questão, salientando que ela mostra apenas a conservação da energia e que a corrente é proporcional a velocidade, obtendo o seguinte gráfico.

 _{O experimento de Franck-Hertz pode} ser descrito classicamente por meio da perda abrupta de energia de um elétron ao “chocar-se” com um átomo ao coincidirem a energia de excitação do átomo com a energia total do elétron.  Matematicamente podemos descrever

esse evento através da simples equação (discretizada para uso computacional) para um único elétron com velocidade inicial v0. . 0 , 2 sgn max 2 ) ( 2 2₁ 1 2 1                     E v m m E x x L m eV v v e i e i i e i i

 _{Realizamos algumas simulações} com a equação em questão, salientando que ela mostra apenas a conservação da energia e que a corrente é proporcional a velocidade, obtendo o seguinte gráfico.

 _{Há quem queira atribuir uma grande} importância ao fato de que a primeira energia de excitação do mercúrio ocorrer em 4,67eV e não em 4,89eV como se observa no experimento de Franck-Hertz. Acreditamos que esse não é o grande objetivo deste experimento, mas daremos uma explicação sucinta do fenômeno.

 O que ocorre é que a secção de choque do nível 3p1 é muito maior que a secção de choque de 3p0 o que condiciona uma maior chance do elétron perder sua energia para esse nível. Não poderemos visualizar isso no experimento.

 _{Há quem queira atribuir uma grande} importância ao fato de que a primeira energia de excitação do mercúrio ocorrer em 4,67eV e não em 4,89eV como se observa no experimento de Franck-Hertz. Acreditamos que esse não é o grande objetivo deste experimento, mas daremos uma explicação sucinta do fenômeno.

 O que ocorre é que a secção de choque do nível 3p1 é muito maior que a secção de choque de 3p0 o que condiciona uma maior chance do elétron perder sua energia para esse nível. Não poderemos visualizar isso no experimento.

 _{O caminho livre médio para um gás ideal} (gás real suficientemente rarefeito) é dada por

 

.

²

2

1

T

kT

d

l







 _{Esperávamos inocentemente que o} aumento da temperatura aumentasse o livre caminho reduzindo o número de choques e aumentando as chances de um elétron de chegar ao ânodo, contudo ocorre o contrário.

 _{Há uma redução da corrente com} o aumento da temperatura.

Atribuímos o resultado

contraditório ao aumento da

pressão de vapor com a

temperatura.

 Abaixo temos uma interpolação para a pressão em função da temperatura,

.

10

.

90

,

2

.

042

,

0

93

,

12

log

₁₀

P







T



5

T

2

Inicialmente, Franck e Hertz gostariam de medir energias de ionizações para diversos metais, entre eles o mercúrio. Porém, após tomarem conhecimento do trabalho de Niels Bohr, interpretaram o experimento de forma concordante com o modelo proposto por Bohr.

 _{O experimento consiste em} três montagens variantes com um mesmo propósito: obter informações sobre a emissão de radiação pelos elétrons na transição entre os estados eletrônicos.

 _{A válvula tetrodo Leybold, com as} imagens a cima, será utilizada no experimento. Em seu interior, há mercúrio que será aquecido até atinjir um estado de vapor. Há também um cátodo, emissor de elétrons que percorrerão este vapor.

 _{Podemos representar a válvula tetrodo} no esquema abaixo, reconhecendo o ânodo na região à direita e o cátodo, à esquerda. A região central deverá conter mercúrio.

Cátodo _Ânodo

 _fk : funciona como um cátodo.

Aplicando uma tensão sobre f, admitimos que haverá a emissão de elétrons (emissão termiônica).  _{A : ânodo, que receberá elérons}

vindos do cátodo.

 _{G1 : grade que controla o número} de elétrons, os acelerando em sentido ao ânodoA.

 _{G2 : grade que reacelera os} elétrons que, ao colidirem, perderam energia para o gás.

 _{C : região em que há mercúrio} (Hg) e está entre as placas G1 e

 _{A válvula, em mais detalhes, está} esquematizada ao lado. Na verdade, a formação é cilíndrica, então devemos imaginar os elétrons saindo de fk até A radialmente.

 Nosso esquema anterior, copiado abaixo, representaria uma das linhas centrais que ligam o cátodo ao ânodo.

 _{O mercúrio, à temperatura} ambiente, apresenta-se como líquido. Aquecendo a válvula, é possível mantermos o mercúrio em estado de vapor.

 _{Durante o trajeto em C, os elétrons} emitidos pelo cátodo colidem com as moléculas de Hg.

 _{Nestas colisões, os elétrons podem} perder sua energia ao excitar os átomos de Hg. Porém, modelados pelo modelo de Bohr, isto só

ocorrerá se os elétrons

apresentarem certos valores de energia discretos.

 _{Podemos ainda aplicar um potencial} sobre A (ânodo) para que elétrons com baixas energias não interfiram na corrente gerada na região C. Definiremos como potencial de retardo esta tensão aplicada em A.  O experimento basea-se na medida

da corrente em A em função dos potenciais aplicados em f e G2.

 Como comentamos, mediremos durante o experimento a corrente que chega ao ânodo, pois estamos interessados na interação entre o vapor de mercúrio e os elétrons emitidos pelo cátodo. Passagem de elétrons. Passagem do sinal representando a corrente sobre o ânodo.

 _{A corrente passa por um amperímetro de}

grande precisão que repassa estas informações em forma de “sinal” para um plotter.

 _{Neste plotter, há um papel e um lápis,}

sustentado por uma régua, que marca o sinal recebido. É possível controlar a velocidade com que a régua do plotter percorre o painel.

Tensão que controla o movimento do marcador sobre o painel.

Para estudar os espectros de energias e a energia de ionização do mercúrio, realizamos o experimento descrito anteriormente, baseados nas discussões de Franck e Hertz.

 O experimento baseia-se na leitura de medidas da corrente que chega ao ânodo (A) em função do potencial sobre a grade que acelera os elétrons (G2). Utilizaremos o HP x-y Plotter para realizar estas medidas, que estará ligado ao amperímetro de grande precisão, conectado em série com o ponto A.

 Há três montagens diferentes. Vamos rapidamente enunciá-las.

 O experimento baseia-se na leitura de medidas da corrente que chega ao ânodo (A) em função do potencial sobre a grade que acelera os elétrons (G2). Utilizaremos o HP x-y Plotter para realizar estas medidas, que estará ligado ao amperímetro de grande precisão, conectado em série com o ponto A.

 Há três montagens diferentes. Vamos rapidamente enunciá-las.

A primeira de nossas montagens servirá para observarmos uma a ocorrência de uma excitação dos átomos de mercúrio pela corrente que percorrerá o cátodo e o ânodo, medida no pontoA.

Segundo nosso modelo, quando um átomo recebe uma quantidade de de energia oriunda de um processo externo, um de seus elétrons pode transitar entre dois estados: esta transição será detectada indiretamente.

 O experimento baseia-se na leitura de medidas da corrente que chega ao ânodo (A) em função do potencial sobre a grade que acelera os elétrons (G2). Utilizaremos o HP x-y Plotter para realizar estas medidas, que estará ligado ao amperímetro de grande precisão, conectado em série com o ponto A.

 Há três montagens diferentes. Vamos rapidamente enunciá-las.

Este arranjo realiza quase a mesma tarefa do arranjo anterior, com a diferença de que observaremos múltiplas excitações ao longo do caminho que a corrente percorrer.

O objetivo desta mudança é verificar se o ganho de energia, pelos elétrons, entre uma excitação e outra é o mesmo e se esta quantidade permanece inalterada (ou quanto inalterada) à

medida em que modificamos a

 O experimento baseia-se na leitura de medidas da corrente que chega ao ânodo (A) em função do potencial sobre a grade que acelera os elétrons (G2). Utilizaremos o HP x-y Plotter para realizar estas medidas, que estará ligado ao amperímetro de grande precisão, conectado em série com o ponto A.

 Há três montagens diferentes. Vamos rapidamente enunciá-las.

A ionização é a situação em que um elétron é completamente libertado das ligações (barreiras atrativas de potencial) do átomo, deixando como resultado um íon positivo (cátion) livre. A idéia é medir esta corrente positiva para assim estimar qual a energia que foi necessário fornecer aos elétrons para ionizar os átomos de mercúrio. Associado a este modelo, deveremos propor um método para medir o ponto em que a ionização ocorre de forma coerente.

o

A.

Primeiramente, fixaremos a diferença de potencial entre A e fk fixa e de

aproximadamente3.5V, deveremos observar que a corrente medida em A não sofre alterações até que, abruptamente, decresce. Neste valor, deve haver uma excitação dos átomos de mercúrio, o que implica na perda de energia por parte dos elétrons. Assim, com pouca energia, o potencial de retardo os bloqueia, o que explica a queda na corrente.

o Nesta parte, variamos o potencial de retardo para verificar a ocorrência da mudança brusca na medida da corrente. Os gráficos obtidos não foram os melhores e diversas flutuações estranhas ocorreriam freqüentemente, dificultando a realização das medidas.

o Como o mais importante desta parte não é retirar algum valor característico do mercúrio, mas observar esta mudança abrupta no comportamento da corrente, os gráficos foram suficientes.



_V3

_{= (20.01 ± 0.01) V}



_V1

_{= (5.50 ± 0.01) V}



_V2

_{= (0.00 ± 0.01) V}

o Podemos primeiramente verificar a ineficácia das nossas previsões para baixos valores do potencial de retardo. As curvas abaixo foram obtidas para

o Neste outro gráfico, estão os valores do potencial de retardo que testamos e a temperatura em que os dados foram colhidos.

 _{Para cada uma das temperaturas, a tensão em que tal variação ocorreu está} tabelada abaixo. Temperatura (±1,º C) Potencial de Retardo (±0.01,V) Distância (±0.1, cm) Tensão (V) Erro para tensão 160 4.5 30.0 23.7 0.1 160 4.8 27.6 21.8 0.1 162 5.0 29.0 22.9 0.1 164 2.5 28.5 22.5 0.09 166 6.5 28.0 22.1 0.1

o

B.

O elétron é acelerado dentro do tubo até realizar uma colisão inelástica, perdendo sua energia. É acelerado novamente, até realizar uma nova colisão. Se entre o cátodo fk e a grade G2 houver uma diferença de potencial de 80V aparecerão

15 picos referentes a 15 colisões inelásticas de um mesmo elétron. Como se tratam sempre da mesma transição eletrônica, podemos inferir o valor da diferença de energia entre os dois níveis transitados a partir da distância entre os picos.

 _{Abaixo, estão os resultados que obtivemos ao utilizar o plotter para coleta de dados e}

discriminá-los de forma inteligente com ajuda de um software de tratamento de imagens.

Temperatura: 91 º C. Temperatura: 118 º C.

Temperatura: 160º C.



_{Neste amplo intervalo de}

temperatura,

fomos

capazes de observar o

comportamento

da

corrente

medida

no

ponto A e compará-los.

Antes de realizarmos os

primeiros cálculos, uma

pergunta vem à tona: e a

nossa previsão? Estava

errada?



As

diferenças

de

tensões

associadas aos picos podem ser

calculados a partir da distância

entre picos.



_V3

_{= (30.01 ± 0.01) V}



_V1

_{= (5.60 ± 0.01) V}



_V2

_{= (3.00 ± 0.01) V}



_V4

_{= (0.06 ± 0.01)V}

 _{A marcação que realizamos} está marcada para variar de 0V

a 30.01V. Isto significa que para que a diferença entre os picos, em termos de tensão, seja

4.9eV, deveremos ter uma diferença em comprimento de

.

3

L

V

V

x







 _{Definimos L = (38.0 ± 0.1)cm, o} que significa que

cm

x



6

.

2

Temperatura: 118 º C.

 _{Note que para realizarmos estas}

medidas, precisaríamos de uma referência de reta horizontal. Para tanto, zeramos a corrente em A e marcamos a reta abaixo de cada uma das curvas.

 A curvatura apresentada pela reta nas figuras que estamos

exibindo como nossos

resultados é devida única e exclusivamente ao processo de digitalização: nós tiramos fotos.

Reta de referência horizontal.

cm

3

.

6



cm

3

.

6



cm

2

.

6



cm

3

.

6



 Nossos resultados estão tabelados abaixo para cada uma das temperaturas estudadas.

Temperatura (±1,º C) Distância (±0.1, cm) Tensão (V)

Erro para tensão

91 6.1 4.82 0.09 118 6.2 4.89 0.09 134 6.2 4.89 0.09 142 6.2 4.89 0.09 144 6.3 4.97 0.09 152 6.3 4.97 0.09 160 6.3 4.97 0.09

V

V



(

4

.

9



0

.

1

)



 _{Para medir o potencial de}

contato, calculamos a diferença entre as energias de excitação para cada um das temperaturas e o potencial em que ocorre o primeiro pico. Temperatura: 144º C. Ocorrência da primeira excitação.

.

1

V

V

V

_c







 Nossos resultados estão tabelados abaixo para cada uma das temperaturas estudadas.

Temperatura (±1,º C) Posição do primeiro pico (±0.1, cm) Potencial de contato (V) Erro para o potencial de contato 91 8.8 2.1 0.2 118 9.1 2.3 0.2 134 9.0 2.2 0.2 142 8.9 2.1 0.2 144 9.2 2.3 0.2 152 - - -160 - -

-V

V

_c



(

2

.

2



0

.

2

)

o

C.

Uma vez que a tensão em A é menor que a tensão em fk, o potencial de retardo é

tão grande que nenhum elétron será detectado. Além disso, por A estar a um potencial negativo, serão detectados os íons positivos quando ocorrer a ionização, e teremos uma corrente positiva surgindo repentinamente. Por isto, apenas nesta terceira montagem é que verificaremos a ionização de fato.

o _{Esperamos com este experimento medir a energia de ionização do mercúrio. Ao}

lado, temos a curva obtida para a temperatura de 91ºC.

o _{Como comentamos, repentinamente,}

existe a detecção de corrente no sentido oposto. Naturalmente, nós invertemos as ligações do plotter para que o gráfico ficasse neste sentido, caso contrário veríamos uma queda brusca.

o _{Para medirmos a energia de ionização,}

traçamos as assíntotas...



_V3

_{= (20.01 ± 0.01) V}



_V1

_{= (5.60 ± 0.01) V}



_V2

_{= (3.09 ± 0.01) V}



_V4

_{= (4.19 ± 0.01)V}

o _{Esperamos com este experimento medir a energia de ionização do mercúrio. Ao}

lado, temos a curva obtida para a temperatura de 91ºC.

o _{Como comentamos, repentinamente,}

existe a detecção de corrente no sentido oposto. Naturalmente, nós invertemos as ligações do plotter para que o gráfico ficasse neste sentido, caso contrário veríamos uma queda brusca.

o _{Para medirmos a energia de ionização,}

traçamos as assíntotas associadas à

reta que indica a corrente súbita que surge e ...

o _{Esperamos com este experimento medir a energia de ionização do mercúrio. Ao}

lado, temos a curva obtida para a temperatura de 91ºC.

o _{Como comentamos, repentinamente,}

existe a detecção de corrente no sentido oposto. Naturalmente, nós invertemos as ligações do plotter para que o gráfico ficasse neste sentido, caso contrário veríamos uma queda brusca.

o _{Para medirmos a energia de ionização,}

traçamos as assíntotas associadas à

reta que indica a corrente súbita que surge e a reta referência (horizontal).

 _{Utilizando esta modelagem, coletamos o comportamento da corrente para} duas temperaturas diferentes, obtendo como resultado os valores tabelados abaixo. Temperatura (±1,º C) Distância (±0.1, cm) Energia de ionização (V) Erro 91 23.4 10.21 0.08 98 23.6 10.42 0.08 104 24.0 10.63 0.08

.

)

1

.

0

4

.

10

(

V

V

_ion





Concluiremos nossas observações e listaremos as referências que utilizamos para compreender este experimento (teoria envolvida e a prática da teoria).

 Obtivemos como energia de excitação do mercúrio o valor (4.9 ± 0.1)eV. O valor esperado, como comentado ao início, é

4.89eV.

 Obtivemos também a energia de ionização como (10.4 ± 0.1)eV. Encontramos em algumas referências o valor de 10.44 eV.

 O potencial de contato foi medido como

(2.2 ± 0.2)eV. Podemos verificar sua exatidão verificando a exatidão da medida da energia de ionização: para medirmos a energia de ionização foi necessário subtrair o potencial de contato da tensão em que houve corrente.

 Como obtivemos um bom valor bom para a energia de ionização, concluímos que o potencial de

contato também pôde ser

calculado com êxito.

 Por fim, pudemos realizar uma simulação numérica que constatou as curvas obtidas baseando-se apenas no modelo de Bohr e na mecânica clássica.

 Franck-Hertz experiment with mercury, Atomic and Nuclear Physics, Leybold Physics Leaflets, P6.2.4.1.  _{What really happens with Franck-Hertz experiment}

with mercury, G. F. Hanne, American Journal of Physics, 56, 696 (1988).

 _{Franck-Hertz experiment, Wikipédia,}

http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Franck-Hertz_experiment&oldid=190671859.

 _{WebElements Periodic Table,}

http://www.webelements.com/webelements/eleme nts/text/Hg/econ.html

 National Institute of Standards in Technology [2007],

http://physics.nist.gov/

 Para a confecção dos gráficos, utilizamos o plotter da HP que comentamos em conjunto com dois outros softwares: o penplot, desenvolvido por um ex-aluno do IFSC, e o Origin Lab, conceituado software para trabalhar com dados.