2 Independência e dependência das taxas de juro

(1)

1 Incerteza e juro aleat´

orio

Considere-se o intervalo [0, n], o tempo medido em anos, e a parti¸c˜ao [0, 1] , (1, 2] , ..., (n − 1, 1] e suponha-se que no in´ıcio do ano t s˜ao aplicadas Ct unidades de capital, t = 1, 1, 2, ..., n.

Seja it a vari´avel aleat´oria que representa a taxa de juro nesse ano t, t = 1, 2, ..., n, e seja An

a variável aleatória que representa o valor acumulado da sucessão de investimentos anuais, no momento n. Claro que

An= C1(1 + i1)...(1 + in) + C2(1 + i2)...(1 + in) + ... + Cn(1 + in) = n X k=1 Ck n Y t=k (1 + it) ! (1) Como é evidente, dados os montantes a investir, se as taxas de juro dos diferentes anos forem fixas à partida, o cálculo do valor de An é imediato. Ora, o que acontece é que

em muitas situa¸cões existe incerteza acerca das condi¸cões sob as quais se desenrolam as opera¸cões financeiras, sobretudo no que se refere aos retornos que proporcionam. E, assim sendo, torna-se dif´ıcil controlar o risco associado aos investimentos.

Para tratar essa incerteza costuma considerar-se que a taxa de juro em cada per´ıodo é uma variável aleatória, com determinada distribui¸cão probabil´ıstica. Muito embora se possa frequentemente estabelecer hipóteses, mais ou menos realistas, sobre essas distribui¸cões de probabilidade, o facto é que, nos casos interessantes, não é tarefa fácil obter a distribui¸cão de An, agora também variável aleatória. No entanto, é necessário calcular, se existirem, os

mo-mentos dessa distribui¸cão, muito particularmente, o valor esperado e a variância. Igualmente importante é obter valores para as probabilidades de certos acontecimentos, em especial, a daqueles cuja realiza¸cão pode significar a ru´ına do investidor.

2 Independˆ

encia e dependˆ

encia das taxas de juro

Naturalmente, a abordagem mais simples consiste em admitir que as taxas de juro observadas nos diferentes per´ıodos são iid, ou seja, que as n variáveis it são por hipótese mutuamente

independentes e são também identicamente distribu´ıdas. Mais ainda, pode admitir-se que a distribui¸cão em causa é conhecida. Em tais condi¸cões, a determina¸cão da distribui¸cão con-junta é poss´ıvel. A partir dela, e procedendo às mudan¸cas de variável que forem necessárias, pode chegar-se à distribui¸cão de An. Veja-se um exemplo muito simples:

Um investidor aplicou 10000 no momento 0, 5000 no momento 1 e 3000 no momento 2. Há razões para acreditar que ss taxas de juro dos três per´ıodos em causa, i1, i2, i3, são v.a. i.i.d.

a uma v.a. i, que tem a seguinte distribui¸c˜ao:

f (i) =      0.20, i = 0.02 0.50, i = 0.07 0.30, i = 0.10 Como j´a se sabe, A3 = 3 X k=1 Ck 3 Y t=k (1 + it),

(2)

ou seja,

A3 = 10000(1 + i1)(1 + i2)(1 + i3) + 5000(1 + i2)(1 + i3) + 3000(1 + i3)

A distribui¸c˜ao de A3 pode facilmente obter-se, a partir da distribui¸c˜ao conjunta do vector

aleat´orio (i1, i2, i3), dada por

f (i1, i2, i3) = f (i1)f (i2)f (i3).

Note-se que, apesar de cada uma das variáveis só assumir neste caso três valores com prob-abilidade positiva, f (i1, i2, i3) é positiva para 27 concretiza¸cões do vector das taxas

(tra-jectórias do processo estocástico em causa). Com efeito, tendo todas as variáveis média E[i] e variância V ar(i), conhecidas, é poss´ıvel obter E[An]) e V ar(An), fazendo uso das

propriedades convenientes dos valores esperados. Vem

E[A3] = 10000(1 + E[i])3+ 5000(1 + E[i])2+ 3000(1 + E[i])

e

V ar(A3) = E[(A3)2] − (E[A3])2,

com E[(A3)2] = E h (10000(1 + i1)(1 + i2)(1 + i3) + 5000(1 + i2)(1 + i3) + 3000(1 + i3))2 i . Em geral, com as hip´oteses estabelecidas, ´e imediato que se pode estabelecer a igualdade

An = (1 + in) "_n−1 X k=1 Ck n−1 Y t=k (1 + it) ! + Cn # = (1 + in)(An−1+ Cn). (2)

Uma vez que (1 + in) e (An−1 + Cn) ainda s˜ao vari´aveis estatisticamente independentes,

tem-se E[An] = E[1 + in]E[An−1+ Cn], igualdade que pode ser usada de forma recursiva.

Efectuando os c´alculos necess´arios, conclui-se que E[An] vem igual ao valor acumulado da

renda correspondente à sucessão dos investimentos feitos, calculado com a taxa E[i] - sendo E[i] o valor esperado das variáveis que representam a taxa de juro.

Este facto fica perfeitamente vis´ıvel, quando em cada per´ıodo ´e investida uma unidade de capital Ct= 1, t = 1, 2, ..., n. Nesse caso, vem E[An] = ¨sn|E[i].

2.1 Taxas de juro dependentes

Foi referido que a hipótese da independência presente na exposi¸cão precedente é, muitas vezes, ilusória. Com efeito, o mais comum é que as taxas de juro, se bem que aleatórias, apresentem ao longo dos sucessivos per´ıodos rela¸cões vis´ıveis de dependência mútua. Por exemplo, se num ano se observa uma taxa elevada, é razoável admitir que no ano seguinte (e a menos que haja grande mudan¸ca nas condi¸cões económicas) voltará a observar-se uma taxa de magnitude maior do que a que seria esperada se assim não tivesse sido.

O problema da escolha do modelo que melhor traduz a rela¸cão existente entre as sucessi-vas taxas levanta, em cada caso particular, as questões suscitadas sempre que se pretende modelar a realidade. Trata-se, no entanto, de uma discussão que extravasa o âmbito do programa.

(3)

3 Exemplos

3.1 O Problema

Um investidor aplicou 10000 no momento 0, 5000 no momento 1, 3000 no momento 2, 4000 no momento 3 e 7000 no momento 4. As taxas de juro dos cinco per´ıodos em causa, i1, ..., i5,

s˜ao v.a. com dadas distribui¸c˜oes.

Pretende-se simular uma observa¸c˜ao do valor acumulado no momento 5 (a v.a. A5) e o

c´alculo do valor m´ınimo e do valor m´aximo que A5 pode assumir. Quer ainda calcular-se

(ou estimar-se) E[A5].

3.2 Taxas mutuamente independentes e identicamente distribu´ıdas

3.2.1 Caso 1.1

Neste primeiro caso, vai admitir-se que i1, ..., i5, s˜ao v.a. i.i.d. a uma v.a. i, que tem a

seguinte distribui¸c˜ao:

f (i) =      0.20, i = 0.02 0.50, i = 0.07 0.30, i = 0.10 Como se sabe, A5 = 5 X k=1 Ck 5 Y t=k (1 + it),

o que torna evidente que é necessário dispor de uma observa¸cão para cada uma das v.a. i1, ..., i5. Comecemos por calcular a fun¸cão de distribui¸cão da v.a. i. Vem

F (i) =          0, i < 0.02 0.20, 0.02 ≤ i < 0.07 0.70, 0.07 ≤ i < 0.10 1, i ≥ 0.10

Simulem-se agora cinco números aleatórios uniformemente distribu´ıdos no intervalo [0, 1], representem-se por rt, t = 1, ..., 5. Tomando como base a fun¸cão de distribui¸cão acima,

conclua-se sobre o correspondente valor de cada vari´avel it, de acordo com a seguinte

re-gra:

- se rt∈ [0, 0.20], tem-se it = 0.02, uma vez que a probabilidade de se obter rt∈ [0, 0.20],

pelas propriedades da distribui¸cão uniforme em [0, 1], é 0.20, exactamente igual à probabilidade de ser i = 0.02.

- se rt ∈ (0.20, 0.70], tem-se it = 0.07, uma vez que a probabilidade de se obter rt ∈

(4)

- se rt∈ (0.70, 1], tem-se it= 0.10, uma vez que a probabilidade de se obter rt∈ (0.70, 1],

´e 0.30, exactamente igual `a probabilidade de ser i = 0.10.

Recorrendo à fun¸cão ”rand()” do EXCEL (pode recorrer-se ao comando ”Random[ ]” do Mathematica, ou até à maior parte das calculadoras), obtiveram-se os valores r1 = 0.140475891,

r2 = 0.137050032, r3 = 0.16953729, r4 = 0.563583974, r5 = 0.021214974, donde se concluiu

que as observa¸c˜oes procuradas s˜ao i1 = 0.02, i2 = 0.02, i3 = 0.02, i4 = 0.07, i5 = 0.02.

A observa¸c˜ao pedida para A5 ´e

A5 = 10000(1.02)4(1.07) + 5000(1.02)3(1.07) + 3000(1.02)2(1.07)+ + 4000(1.07)(1.02) + 7000(1.02) = 32105 O valor m´ınimo é min(A5) = 10000(1.02)5+ 5000(1.02)4+ 3000(1.02)3+ 4000(1.02)2+ 7000(1.02) = 30938. e o valor máximo é max(A5) = 10000(1.1)5+ 5000(1.1)4+ 3000(1.1)3+ 4000(1.1)2+ 7000(1.1) = 39959. ´

E evidente que os resultados da simula¸cão nos aproximam muito mais do m´ınimo do que do máximo, mas podia ter ocorrido qualquer outra situa¸cão.

Como foi deduzido, para calcular o valor esperado de A5 basta calcular o valor esperado

da distribui¸c˜ao dada e recalcular A5 considerando as cinco taxas iguais a esse mesmo valor.

Vem

E[A5] = 10000(1.069)5+ 5000(1.069)4+ 3000(1.069)3+ 4000(1.069)2+ 7000(1.069) = 36208,

pois

E[i] = 0.20 × 0.02 + 0.5 × 0.07 + 0.30 × 0.1 = 0.069.

S´o para ilustrar, apresentam-se abaixo os resultados de 10000 simula¸c˜oes

3.2.2 Caso 1.2

Neste segundo caso continua a admitir-se que as taxas de juro dos cinco per´ıodos em causa são ainda v.a. i.i.d., com a diferen¸ca de que agora são identicamente distribu´ıdas a uma v.a. i, que tem distribui¸cão uniforme em [0.02, 0.10].

Como é conhecido, a fun¸cão de densidade da v.a. i é f (i) =

( ₁

0.10−0.02 = 12.5, 0.02 ≤ i ≤ 0.10

0, o.v. ,

(5)

F (i) =      0, i < 0.02 i−0.02 0.10−0.02 = 12.5(i − 0.02), 0.02 ≤ i < 0.1 1, i ≥ 0.10

e o valor esperado ´e E[i] = 0.02+0.10₂ = 0.06.

Recorrendo à chamada transforma¸cão uniformizante, sabe-se que a v.a. R = F (i) ∼ U [0, 1], o que permite exprimir i em fun¸cão de R. Vem

R = 12.5(i − 0.02) ⇔ i = 0.08R + 0.02.

Tal como anteriormente, basta também agora simular cinco números aleatórios uniforme-mente distribu´ıdos no intervalo [0, 1], representem-se por rt, t = 1, ..., 5, e recorrer à rela¸cão

acima para gerar os cinco valores das taxas de retorno da aplica¸cão. Usando os mesmos cinco valores, r1, ..., r5, utilizados no Caso 1 (que, aliás, continuarão a ser usados em todas

as situa¸c˜oes seguintes), vem:

i1 = 0.08 × 0.140475891 + 0.02 = 0.031

i2 = 0.08 × 0.137050032 + 0.02 = 0.031

i3 = 0.08 × 0.16953729 + 0.02 = 0.034

i4 = 0.08 × 0.563583974 + 0.02 = 0.065

i5 = 0.08 × 0.021214974 + 0.02 = 0.022.

Efectuando os c´alculos, resulta

A5 = 10000(1.031)2(1.034)(1.065)(1.022) + 5000(1.031)(1.034)(1.065)(1.022)+

+ 3000(1.034)(1.065)(1.022) + 4000(1.065)(1.022) + 7000(1.022) = 32649

O valor máximo e o valor m´ınimo são iguais aos do Caso 1, pelas razões óbvias, e o valor esperado é

E[A5] = 10000(1.06)5+ 5000(1.06)4+ 3000(1.06)3+ 4000(1.06)2+ 7000(1.06) = 35182.

3.2.3 Caso 1.3

Desta vez, as taxas de juro it dos cinco per´ıodos em causa s˜ao tais que as v.a. 1 + it s˜ao

i.i.d. a uma v.a. 1 + i, que tem distribui¸c˜ao Lognormal de parˆametros µ = 0.06 e σ2 _{= 0.04.}

Pelas propriedades da distribui¸c˜ao Lognormal, isto implica que: E[1 + i] = eµ+σ2₂ _{= e}0.06+0.04₂ _{= 1.0833}

V ar(1 + i) = e2µ+σ2

eσ2

− 1= e2×0.06+0.04_(e0.04_{− 1) = 0.0479}

log (1 + i) ∼ N (0.06, 0.04)

Pretende-se uma vez mais a simula¸cão de uma observa¸cão da v.a. A5 e o cálculo do valor

m´ınimo, do valor máximo e do valor médio dessa variável. ´

E fácil verificar que não é poss´ıvel obter a expressão da fun¸cão inversa da fun¸cão de dis-tribui¸cão da Lognormal (tal como sucede com a fun¸cão de distribui¸cão da Normal), de modo a usar-se o procedimento utilizado no Caso 2. Reccorre-se, então, ao seguinte processo:

(6)

1. Simulam-se cinco observa¸cões da distribui¸cão Normal Standard, usando a rela¸cão z = sin(2πr1)

√

−2logr2 (ou a rela¸c˜ao z = cos(2πr1)

√

−2logr2), onde r1 e r2 s˜ao

números aleatórios uniformemente distribu´ıdos no intervalo [0, 1], tal como anterior-mente (método de Box & Muller).

2. Uma vez que log (1 + i) ∼ N (0.06, 0.04), transformam-se aquelas cinco observa¸cões, de modo a obter concretiza¸cões z0 de uma v.a com distribui¸cão normal de média µ = 0.06 e variância σ2 = 0.04, para o que basta aplicar a igualdade z0 = µ + σz = 0.06 + 0.2z. São, repita-se, observa¸cões de log (1 + i).

3. Para se simular (1 + i), basta ver que

log (1 + i) = z0 ⇔ 1 + i = ez0

E assim se simulam as v.a. 1 + it, t = 1, ..., 5. Voltando a usar os valores rt anteriores

e um outro, seja r6 = 0, 261523575 (são necessários três pares, como é evidente), vem,

sucessivamente z1 = sin(2π × 0.140475891) √ −2 log 0.137050032 = 1.54 z2 = cos(2π × 0.140475891) √ −2 log 0.137050032 = 1.2662 z3 = sin(2π × 0.16953729) √ −2 log 0.563583974 = 0.937 z4 = cos(2π × 0.16953729) √ −2 log 0.563583974 = 0.5187 z5 = sin(2π × 0.021214974) √ −2 log 0, 261523575 = 0.2177 z₁0 = 0.06 + 0.2 × 1.54 = 0.368 z₂0 = 0.06 + 0.2 × 1.2662 = 0.8344 z₃0 = 0.06 + 0.2 × 0.937 = 0.2474 z₄0 = 0.06 + 0.2 × 0.5187 = 0.16374 z₅0 = 0.06 + 0.2 × 0.2177 = 0.10354 1 + i1 = e0.368 = 1.445 1 + i2 = e0.3113 = 1.3652 1 + i3 = e0.2474 = 1.2807 1 + i4 = e0.16374 = 1.1779 1 + i5 = e0.10354 = 1.1091

Efectuando os c´alculos mais uma vez, tem-se

A5 = 10000(1.445)(1.2551)(1.3652)(1.1779)(1.1091) + 5000(1.3652)(1.2807)(1.1779)(1.1091)+

+ 3000(1.2807)(1.1779)(1.1091) + 4000(1.1779)(1.1091) + 7000(1.1091) = 62435 O valor m´ınimo tende para zero e o valor m´aximo tende para infinito. Quanto ao valor esperado ´e

(7)

3.3 Taxas mutuamente independentes, mas n˜

ao identicamente

dis-tribu´ıdas

´

E imediata a generaliza¸cão a situa¸cões em que as v.a., embora ainda mutuamente indepen-dentes, não são identicamente distribu´ıdas. Nesses casos, terá que se simular cada taxa tendo em aten¸cão a respectiva distribui¸cão. O processo repete o que acabou de se fazer, adaptado `

as novas circunstˆancias.

4 Taxas dependentes

Muitas vezes, é notório que as taxas de juro em per´ıodos consecutivos não são independentes. Nesses casos, é necessário procurar ajustar um modelo que exprima a rela¸cão de dependência existente.

Uma primeira hipótese é tentar conservar a distribui¸cão, mantendo a variância e ajustando a média, à medida que observa¸cões vão sendo feitas. Assim, por exemplo, e considerando um horizonte de n per´ıodos, pode considerar-se que

µt= (1 − k)µ1+ kit−1, t = 2, ..., n,

onde µ1 é a média da distribui¸cão de i1, a taxa do per´ıodo inicial, e k, 0 ≤ k ≤ 1, tem que

ser estimado a partir das informa¸cões dispon´ıveis. Claro que, quanto mais forte for a rela¸cão entre it−1 e it, mais k se aproxima de 1. Se se concluir que k ≈ 0 está-se na situa¸cão de

independˆencia.

????incluir o texto do Selma Lagerl¨of???

Nos pontos seguintes, vai voltar a resolver-se o problema acima, admitindo agora que existe dependˆencia.

4.1 Caso 2.1

Retome-se o Caso 1.1 da seçcão anterior e recorde-se que a fun¸cão de probabilidade de i1 é

f (i) =      0.20, i = 0.02 0.50, i = 0.07 0.30, i = 0.10 (3)

o que corresponde a E[i1] = 0.069

Simula¸c˜ao de i1

Pode tomar-se o valor obtido atr´as (Caso 1.1), que forneceu i1 = 0.02.

Simula¸c˜ao de i2

Comecemos por calcular µ2, recorrendo `a rela¸c˜ao proposta acima, e admitindo que estudos

feitos permitiram concluir que k = 0.4. Vem

(8)

Como se observou o valor mais baixo poss´ıvel no per´ıodo 1, isso implica que a média da distribui¸cão de i2 vai ser menor do que a da distribui¸cão de i1, µ2− µ1 = 0.0494 − 0.069 ≈

−0.02.

Uma vez que este tipo de modelo, por hipótese, conserva a forma da distribui¸cão e a sua variância, permitindo apenas que se proceda a ajustamentos na média, e recordando que E[X + c] = E[X] + c e que V ar(X + c) = V ar(X), basta substituir em (2) i1 por i2 e atender

a que esta assume os valores i1+ (µ2− µ1) = i1− 0.02. Vem

f (i2) =      0.20, i2 = 0.00 0.50, i2 = 0.05 0.35, i2 = 0.08 . (4)

A variável i2 só pode agora assumir os valores 0.00, 0.05 e 0.08. É desta distribui¸cão que se

vai simular a taxa de juro para o segundo per´ıodo. Voltando a usar o procedimento visto na situa¸c˜ao de independˆencia e o mesmo valor r2 = 0.137050032, conclui-se que i2 = 0.

Simula¸c˜ao de i3

Comecemos por calcular µ3. Vem

µ3 = (1 − 0.4) × 0.069 + 0.4 × 0.00 = 0.0414.

Como no per´ıodo 2 se observou novamente o valor mais baixo poss´ıvel, isso implica que a média da distribui¸cão de i3 vai ser menor do que a da distribui¸cão de i2, µ3 − µ2 =

0.0414 − 0.0494 ≈ −0.01. Como se viu, basta substituir em (2) i2 por i3 e ter em aten¸c˜ao

que os valores por esta assumidos s˜ao dados pela soma i2+ (µ3− µ2) = i2− 0.01. Obt´em-se

f (i3) =      0.20, i3 = −0.01 0.50, i3 = 0.04 0.30, i3 = 0.07 . (5)

A variável i3 só pode agora assumir os valores -0.01, 0.04 e 0.07. É desta distribui¸cão que se

vai simular a taxa de juro para o terceiro per´ıodo. Voltando a usar o procedimento visto na situa¸c˜ao de independˆencia e o mesmo valor r3 = 0.16953729, conclui-se que i3 = −0.01.

Simula¸c˜ao de i4

µ4 = (1 − 0.4) × 0.069 + 0.4 × (−0.01) = 0.0374.

Como também no per´ıodo 3 se observou o valor mais baixo poss´ıvel, a média da distribui¸cão de i4 vai ser menor do que a da distribui¸cão de i3, µ4 − µ3 = 0.0374 − 0.0414 = −0.004.

Substituindo em (3) i3 por i4, com i4 a assumir os valores i3+ (µ4− µ3) = i3 − 0.004, fica

f (i4) =      0.20, i4 = −0.014 0.50, i4 = 0.036 0.30, i4 = 0.066 . (6)

A variável i4 só pode agora assumir os valores -0.014, 0.036 e 0.066. É desta distribui¸cão

que se vai simular a taxa de juro para o quarto per´ıodo. Com r4 = 0.563583974, conclui-se

(9)

Simula¸c˜ao de i5

µ5 = (1 − 0.4) × 0.069 + 0.4 × (0.036) = 0.0558.

No per´ıodo 4 observou-se o valor intermédio e a média da distribui¸cão de i5 vai ser maior do

que a da distribui¸c˜ao de i4, µ5− µ4 = 0.0558 − 0.0374 = 0.0184. Substituindo em (4) i4 por

i5, que toma os valores i4+ (µ5− µ4) = i4+ 0.0184, fica

f (i5) =      0.20, i5 = 0.005 0.50, i5 = 0.055 0.30, i5 = 0.085 . (7)

A variável i5 só pode agora assumir os valores 0.005, 0.055 e 0.085. É desta distribui¸cão que

se vai simular a taxa de juro para o quinto per´ıodo. Com r5 = 0.021214974, conclui-se que

i5 = 0.005.

A5 = 10000(1.02)(1.00)(0.99)(1.036)(1.005) + 5000(1.00)(0.99)(1.036)(1.005)+

+ 3000(0.99)(1.036)(1.005) + 4000(1.036)(1.005) + 7000(1.005) = 29960.

Embora se possa efectuar os cálculos, não faz agora grande sentido calcular o m´ınimo (o máximo), pois as v.a. it já não são independentes e seria necessário refazer as simula¸cões,

obrigando cada variável it a assumir o seu m´ınimo (o seu máximo), per´ıodo após per´ıodo.

Para se calcular E[A5] teria que se conhecer a distribui¸c˜ao conjunta das cinco taxas.

4.2 Caso 2.2

Retome-se o Caso 1.2 da seçcão anterior e recorde-se que a fun¸cão de distribui¸cão de i1 é

F (i1) =      0, i1 < 0.02 i−0.02 0.10−0.02 = 12.5(i − 0.02), 0.02 ≤ i1 < 0.1 1, i1 ≥ 0.10 e E[i1] = 0.02+0.10₂ = 0.06.

Também aqui se toma a hipótese de conservar a distribui¸cão, mantendo a variância e ajus-tando a média, à medida que observa¸cões vão sendo feitas. Continua a considerar-se que

µt = (1 − 0.4)0.06 + 0.4it−1, t = 2, ..., 5,

e de todas estas condi¸c˜oes resulta que it∼ U µt− 0.10 − 0.02 2 , µt+ 0.10 − 0.02 2 ⇔ it∼ U [µt− 0.04, µt+ 0.04].

Vem, ent˜ao,

F (it) =      0, it< µt− 0.04 12.5(it− µt+ 0.04), µt− 0.04 ≤ it< µt+ 0.04 1, it≥ µt+ 0.04

(10)

e

Rt = F (it)−1 = 12.5(it− µt+ 0.04)) ⇔ it = 0.08Rt+ µt− 0.04,

rela¸c˜ao que permite simular it a partir de Rt ∼ U [0, 1], como foi visto em 1.2.

Simula¸c˜ao de i1

Pode tomar-se o valor obtido atr´as (Caso 1.2), que forneceu i1 = 0.047.

Simula¸cão de i2 µ2 = 0.6 × 0.06 + 0.4 × 0.047 = 0.0548 i2 ∼ U [0.0148, 0.0948] i2 = 0.08 × 0.137050032 + 0.0148 = 0.026. Simula¸cão de i3 µ3 = 0.6 × 0.06 + 0.4 × 0.026 = 0.0464 i3 ∼ U [0.0064, 0.0864] i3 = 0.08 × 0.16953729 + 0.0064 = 0.02. Simula¸cão de i4 µ4 = 0.6 × 0.06 + 0.4 × 0.02 = 0.044 i4 ∼ U [0.004, 0.084] i4 = 0.08 × 0.563583974 + 0.004 = 0.049. Simula¸cão de i5 µ5 = 0.6 × 0.06 + 0.4 × 0.049 = 0.056 i5 ∼ U [0.016, 0.096] i5 = 0.08 × 0.021214974 + 0.016 = 0.018.

A5 = 10000(1.047)(1.026)(1.02)(1.049)(1.018) + 5000(1.026)(1.02)(1.049)(1.018)+

(11)

4.3 Caso 2.3

Se (1 + i1) ∼ Lognormal(µ1, σ2), considerar que log(1 + it) ∼ N (µt, σ2], com

µt= (1 − k)µ1+ klog(1 + it−1), t = 2, ..., n,

é uma forma de preservar a distribui¸cão Lognormal, fazendo a média variar em fun¸cão da ´

ultima observa¸cão. Na distribui¸cão normal a variância permanece constante, na distribui¸cão lognormal vai-se adaptando ao passado, tal como a média. O processo de simula¸cão conjuga os procedimentos usados em 1.3 e 2.2. Para cada t = 1, ..., 5, e continuando a considerar k = 0.4:

1. Toma-se µ1 ou calcula-se µt= (1 − k)µ1+ klog(1 + it−1), t = 2, ..., 5.

2. Simula-se uma observa¸cão zt da distribui¸cão Normal Standard, usando o método de

Box & Muller.

3. Transforma-se a observa¸c˜ao anterior, de modo a obter uma observa¸c˜ao z_t0 de log(1 + it).

Como se viu, basta aplicar a igualdade z_t0 = µt+ σzt, pois log (1 + it) ∼ N (µt, σ2).

4. A observa¸c˜ao de 1 + it vem

1 + it= ez

0 t_.

Simula¸c˜ao de i1

Pode tomar-se o valor obtido atr´as (Caso 1.3), que forneceu 1 + i1 = 1.445. Na simula¸c˜ao

das restantes taxas vão usar-se novamente as observa¸cões da distribui¸cão Normal Standard a´ı obtidas (z2 = 1.2662, z3 = 0.937, z4 = 0.5187 e z5 = 0.2177.) Simula¸cão de i2 µ2 = (1 − 0.4) × 0.04 + 0.4log(1.445) = 0.1712. log(1 + i2) ∼ N (0.1712, 0.04) z2 = 1.2662 z₂0 = log(1 + i2) = 0.1712 + 0.2 × (1.2662) = 0.42444 1 + i2 = e0.42444= 1.5287. Simula¸cão de i3 µ3 = (1 − 0.4) × 0.04 + 0.4log(1.5287) = 0.1938 log(1 + i3) ∼ N (0.1938, 0.04) z3 = 0.937

(12)

z₃0 = log(1 + i3) = 0.1938 + 0.2 × (0.937) = 0.3812 1 + i3 = e0.3812 = 1.4641. Simula¸c˜ao de i4 µ4 = (1 − 0.4) × 0.04 + 0.4log(1.4641) = 0.1765. log(1 + i4) ∼ N (0.1765, 0.04) z4 = 0.5187 z₄0 = log(1 + i4) = 0.1765 + 0.2 × (0.5187) = 0.28024 1 + i4 = e0.28024= 1.3235. Simula¸c˜ao de i5 µ5 = (1 − 0.4) × 0.04 + 0.4log(1.3235) = 0.1361. log(1 + i5) ∼ N (0.1361, 0.04) z5 = 0.2177 z₅0 = log(1 + i5) = 0.1361 + 0.2 × (0.2177) = 0.1796 1 + i5 = e0.1796 = 1.1967.

A5 = 10000(1.4445)(1.5287)(1.4641)(1.3235)(1.1967) + 5000(1.5287)(1.4641)(1.3235)(1.1967)+