ENG 1714 Métodos Numéricos para Engenharia Mecânica

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ENG 1714 – Métodos Numéricos para

Engenharia Mecânica

http://lmmp.mec.puc-rio.br/eng1714/ Professor: Márcio Carvalho, Sala 153-L, Tel:3527-1174, email: msc@puc-rio.br Monitoria:

Horário: 3a_{: 15:00 – 17:00 – Sala 258L}

5a_{: 15:00 – 17:00 – Sala 258L}

Atendimento: O aluno deve me procurar sempre que tiver alguma dúvida.

Critério de Aprovação: 5 4 2 3 1 , 3 2 Se . 5 5 2 3 1 2   _{  }   _  G G G M G G M . G1 e G2 são

calculados da seguinte forma:

P G P P Listas Media G P      , 4 Se 2 , 4 Se

Objetivo: Introduzir os conceitos básicos de métodos numéricos para solução de problemas em engenharia. Ementa: Introdução; Integração numérica; Cálculo de raiz de equação transcendental; Interpolação e Ajuste

de Curvas; Solução de sistemas de equações algébricos; Sistemas não-lineares; Equações Diferenciais Ordinárias; Problema de Valor Inicial; Problema de Valor de Contorno; Equações Diferenciais Parciais; Otimização.

Bibliografia:

 Métodos Numéricos para Engenharia ,S. C. Chapra e R. P. Canale; McGraw Hill, 2002.

 Análise Numérica, R. L. Burden e J. Douglas Faires, Thomson, 2003.

 Numerical Recipies, W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky e W. T. Vetterling; Cambridge University Press, 1986.

 Numerical Methods, G. Dahlquist, A. Bjorck e N. Anderson; Prentice Hall, 1974.

ENG 1714- Métodos Numéricos para Eng. Mecânica

Departamento de Engenharia Mecânica

Prof. Marcio S. Carvalho

email: msc@puc-rio.br Sala: 153-L Tel: 3527-1174

APLICAÇÕES DE MÉTODOS NUMÉRICOS

 Tratamento de Dados Estatísticos

Análise de sinais

Cálcular de média, desvio padrão, variância, etc… Determinar equação da curva que melhor descreve os

resultados de um experimento

 Simulação de sistemas

Previsão de comportamento de um sistema Projeto mais barato e de melhor desempenho Verificação ? ) (x f y

INTRODUÇÃO

MODELAGEM E SIMULAÇÃO

PROBLEMA REAL

MODELO FÍSICO

MODELO MATEMÁTICO MODELO EXPERIMENTAL

MÉTODOS NUMÉRICOS PREVISÕES

TÉCNICAS EXPERIMENTAIS PREVISÕES

MODELO MATEMÁTICO

 Conjunto de equações que descrevem um determinado fenômeno físico  Modelo é desenvolvido a partir de hipóteses simplificadoras

Hipóteses simplificadoras são importantes para facitilar a solução Hipóteses devem ser coerentes com o fenômeno a ser descrito Engenharia: Uso correto de hipóteses simplificadoras

Hipóteses erradas levarão a predições incorretas

 Qualidade das predições está diretamente ligada ao modelo usado

 Compromisso entre custo para solução das equações e qualidade dos resultados  Modelo pode ser DIFERENCIAL ou INTEGRAL

 Modelos diferenciais geralmente levam a equações sem solução analítica  Necessidade de desenvolvimento de ferramentas para resolver as equações

IMPORTÂNCIA DE PREDIÇÃO

 Projeto de engenharia mais econômico  Otimização de projetos

 Análise de situações sem dados experimentais

 Determinação de desempenho em casos limites

MÉTODOS DE PREDIÇÃO

 Modelo Experimental

Em escala ou escala reduzida

Custo financeiro e de tempo elevado

Difícil de analisar efeitos de condições isoladas Fundamental para validar modelos teóricos

 Modelo Matemático

Baixo custo

Possibilidade de analisar diversos casos e otimizar projeto Velocidade de obter resposta

Habilidade de simular condições reais e ideais Necessidade de validar modelos matemáticos

 Comentários

MÉTODOS NUMÉRICOS

EQUAÇÃO DIFERENCIAL ( ) G(x) dx dT T k dx d     

MODELO: CONSERVAÇÃO DE ENERGIA + LEI DE FOURIER

PROBLEMA REAL: TRANSFERÊNCIA DE CALOR

? ) (x 

T

DETERMINAR TEMPERATURA APENAS EM ALGUNS PONTOS DO DOMÍNIO

DISCRETIZAR O PROBLEMA

EQUAÇÃO DIFERENCIAL  EQUAÇÃO ALGÉBRICA

DIFERENTES MÉTODOS NUMÉRICOS

 DIFERENÇAS FINITAS  ELEMENTOS FINITOS  VOLUMES FINITOS  ELEMENTOS DE CONTORNO  ELEMENTOS ESPECTRAIS  OUTROS ...

ESCOLHA DE SOFTWARE

 Softwares comerciais para diferentes aplicações

Análise estrutural: ANSYS, ADINA, ...

Escoamento de Fluidos: FLUENT, FIDAP, FLOW3D, ... Fenômenos de Transferência: FLUENT, ...

 Softwares comerciais ou desenvolvidos

Versatilidade X desempenho Desenvolvidos: Novos modelos

Comerciais: Mais “userfriendly”, interface gráfica

 Treinamento

Fundamentos físicos Uso do software

EMENTA

 Cálculo de raiz de equação  Interpolação e ajuste de curva  Integração numérica

 Solução de sistema de equações algébricas  Solução de sistema não-linear

 Descrição matemática de fenômenos físicos

 Equação diferencial ordinária - Problema de Valor de Contorno Problema de Valor Inicial

 Equação diferencial parcial

 Método de diferenças finitas, elementos finitos e volumes finitos  Otimização

INTRODUÇÃO ao SciLab

 Software e linguagem e ambiente de programação para cálculos matemáticos  Possui diversas rotinas de cálculo matemático já programadas e testadas  Possibilidade de criar programas e novas rotinas de acordo com

a necessidade do usuário

http://www.scilab.org/resources/documentation/tutorials

Introscilab.pdf

Scilab_beginners.pdf

JANELA DE COMANDO - COMMAND WINDOW

Janela de comando Diretorio de trabalho

VARIÁVEL TIPO VETOR - ARRAY Variável tipo vetor

Cria um vetor z(i) tal que z(i)=5*sin(u(i))

Variáveis criadas aparecem na janela de variáveis.

JANELA DE PROGRAMAÇÃO / EDIÇÃO  Criar uma nova janela de programação

 Para executar o programa, deve-se primeiro trocar o diretório de trabalho

 Para executar o programa:

clicar na própria janela de edição

 Estruturas de programação

For

While

Exercícios

1) Escreva um programa em MatLab para efetuar a multiplicação entre duas matrizes. O programa deve primeiro ler o número de linhas e colunas de cada matriz e o valor de cada entrada das matrizes. Antes de efetuar a operação, o programa deve verificar se a mesma é possível, i.e. se o número de colunas de uma matriz é igual ao número de linhas da outra.

0 2 _{  }

c bx ax

2) Escreva um programa que calcule as raízes reais de um polinômio do 2o grau .

O programa deve seguir os seguintes passos: (i) ler os coeficientes do polinômio; (ii) Calcular as raízes, tomando o cuidado para evitar divisão por zero e raízes complexas; (iii) Mostrar as soluções obtidas; (iv) Perguntar ao usuário se ele quer voltar ao passo (i).

AJUSTE DE CURVAS E INTERPOLAÇÃO

Conhecendo-se os valores de uma função em pontos discretos de um intervalo, deseja-se determinar uma curva que “represente” esta função neste intervalo.

f

₁*

_(x)

x

APLICAÇÕES

f

₂*

_(x)

Ajuste de dados experimentais - Estes carregam incertezas.

Ajuste dos dados de acordo com um modelo – Esta abordagem permite a obtenção de parâmetros que possuam interpretação física. Ex. f₁(x): . Necessidade de integração da função em questão.

Desejo de se conhecer o valor da função em pontos específicos não dados. Aproximar uma função por outra menos complexa, de fácil aplicação.

x

OBJETIVO

TIPOS DE PROCESSOS

Tem-se um conjunto de pontos e deseja-se obter uma curva que passe suavemente através de todos os pontos. A equação da curva interpoladora deve possuir o

mesmo número de parâmetros que o número de pontos dados.

Tem-se um conjunto de pontos e deseja-se uma curva que passe “próxima” destes pontos. A equação da curva ajustada deve possuir um número de parâmetros menor que o número de pontos dados. INTERPOLAÇÃO PADRÃO AJUSTE DE CURVAS

f

* AC

(x)

x

Dados n pontos x_i, f(x_i) no intervalo (a,b) obtém-se f*_{(x) tal que | f}*_(x

i)-f(xi) |<

f

*

IP

(x)

x

Dados n pontos x_i, f(x_i) no intervalo (a,b) obtém-se f*_{(x) tal que f}*_(x

MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS

É o método mais utilizado para ajuste de curvas.

A condição que determina a curva a ser obtida é a minimização da soma dos quadrados das diferenças entre os valores da função a ser determinada e da função original calculados nos pontos dados.

E=

[f

*

_(x

i

)-f(x

i

)]

2 i=1 n

f

*

_(x)

x

n pontos

f*_(x i)-f(xi) QUANTIDADE MINIMIZADA EXEMPLO SIMPLES x 1 3 4 6 7 f(x) -2,1 -0,9 -0,6 0,6 0,9 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0 2 4 6 8

Dada a tabela de pontos ao lado, determinar a reta que se ajusta a estes pontos utilizando o método de mínimos quadrados

SOLUÇÃO

Plotando-se os pontos dados, obtem-se o gráfico discreto ao lado.

A função escolhida para representar estes pontos é do primeiro grau, portanto

A aplicação do método, neste caso, resultará na determinação dos valores dos coeficientes angular e linear da reta que se ajusta a estes pontos, segundo o critério da minimização da soma dos quadrados dos desvios.

 

x

mx

k

Pode-se perceber que a grandeza a ser minimizada, com o

procedimento adotado, é escrita como uma função dos coeficientes.

 





0 2 0 5 1        _{ }    

_

 i i i i k f x x mx m E    





_

  



       5 1 2 1 2 * i i i n i i i f x mx k f x x f E

CÁLCULO DA SOMA DO QUADRADO DOS DESVIOS

A escolha dos coeficientes que minimizam E deve, portanto, ser tal que:



m

k



E

E



,

 





0 2 0 5 1        _{ }    

_

 i i i k f x mx k E

m e k são raizes do sistema de equações.

i xi f(xi) xi2 xi*f(xi)

1 1 -2.1 1 -2.1 2 3 -0.9 9 -2.7 3 4 -0.6 16 -2.4 4 6 0.6 36 3.6 5 7 0.9 49 6.3 sum 21 -2.1 111 2.7 57.6 -290 0.505 -2.54 114

 

0

5 1 5 1 2 5 1















   i i i i i i i

x

k

x

x

f

x

m



1

 

0

5

5 1 5 5 1 5 1















   i i i i i

x

f

x

m

 

 









































































     5 1 5 1 5 1 5 1 5 1 2

5

i i i i i i i i i i i

x

f

x

f

x

k

m

x

x

x





























































































1

.

2

7

.

2

111

21

21

5

21

5

111

1

1

.

2

7

.

2

5

21

21

111

2

k

m

k

m































542

.

2

505

.

0

k

m

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0 2 4 6 8 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 0 2 4 6 8

Erro Abs. Erro Rel. Erro Quad.

CÁLCULO DO ERRO

Erro absoluto

)

(

)

(

* i i A

f

x

f

x

E





Erro relativo

)

(

)

(

)

(

* i i i R

x

f

x

f

x

f

E





Erro quadrático



_*



2

)

(

)

(

_{i i} Q

f

x

f

x

E





CASO MAIS GERAL

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

_{1 1 2 2} 1 *

x

c

x

c

x

c

x

c

x

f

_{m m} m j j j

























Para um caso mais geral, onde a função de ajuste é formada por uma combinação linear de funções linearmente independentes, tem-se:

 

 













n i i i

f

x

x

f

E

1 2 * Exemplos:



 



 



0 0 0 2 *

₍

₎

)

1

(

        







c E b E a E

c

bx

ax

x

f



















0 0 *

₍

₎

_cos

)

2

(

     





B E A E

x

B

x

sen

A

x

f

0







j

c

E

Nestes problemas, recai-se em um sistema de m equações (derivando-se E em relação a cada coeficiente) e m

incógnitas (os coeficientes)

m equações m incógnitas



 



 



0 0 * * *

₍

₎

_ln[

₍

_)]

_ln

_ln

₍

₎

)

3

(

     















n E K E n

nx

K

x

f

z

n

K

z

g

Kz

z

g

 

 













n i i i

f

x

x

f

E

1 2 *





    m k k k m j j j x c x c x f 1 1 *_{( )}

_

_{( )}

_

_{( )}

Coeficientes a serem determinados. j e k são índices mudos.

Sistema de equações (m equações):



(

)



0

)

(

)

(

2

,...,

1

;

0

* 1 ) ( 1 *











































 

  j i n i i x f m k i k k j

x

f

c

x

f

x

c

m

j

c

E

i











(

)



(

)

(

)

1 * i j m k i k k j i j

x

x

c

c

x

f

c































 Observe que...



( ) ( ) ( ) ... ( )



( ) ) ( _{1 1 2 2 3 3 2} 2 1 2 i i m m i i i m k i k k c x c x c x c x x c x c c                     

_



0

)

(

)

(

)

(

0

1 1















_









 

  j i n i i m k i k k j

x

x

f

x

c

c

E

_

_

 

 









    









































n i i j i n i m k i j i k k n i i j i m k i k k i j j

m

j

x

x

f

x

x

c

x

x

f

x

c

x

c

E

1 1 1 1 1

,...,

2

,

1

;

)

(

)

(

)

(

0

)

(

)

(

)

(













 





  



n i i j i n k m i i j i k k

x

x

f

x

x

c

1 1 1

;

)

(

)

(

)

(







 

x

x

j

m

f

x

x

c

n i i j i n k m i i j i k k

(

)

(

)

(

)

;

1

,

2

,

,

1 1 1









 

  







                                                

























            n i i m i n i i i n i i i m n i i m n i i m i n i i m i n i i m i n i i n i i i n i i m i n i i i n i i x x f x x f x x f c c c x x x x x x x x x x x x x x x 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (                           

Para cada coeficiente existe uma equação correspondente, por exemplo, j=1:

0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1        _{   }   

_

_

_

_

    n i i i n i i m i m n i i i n i i c x x c x x f x x x c c E _{     } 

Colocando o sistema de equações na forma matricial tem-se:

 

x

x

j

m

f

x

x

c

n i i j i n k m i i j i k k

(

)

(

)

(

)

;

1

,

2

,

,

1 1 1









 

  







EXEMPLOS x

_{1.1 2.3 3.0 4.3 5.1 6}

F(x)

_{1.1 1.9 3.4 4.8 5.5 6.9}

Considere os dados:

 

 

          b i i i i i A i i i i i i x f x f x k m x x x                               











     6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 2 6

Determine a reta que melhor represente os dados usando o método dos mínimos quadrados. x F(x) X^2 x F 1 1.1 1.1 1.21 1.21 2 2.3 1.9 5.29 4.37 3 3 3.4 9 10.2 4 4.3 4.8 18.49 20.64 5 5.1 5.5 26.01 28.05 6 6 6.9 36 41.4 Soma = 21.8 23.6 96 105.87

4205

.

0

1983

.

1

6

.

23

87

.

105

6

8

.

21

8

.

21

96















































k

e

m

k

m

 

x

mx

k

f

*





Determine a parábola que melhor represente os dados usando o método dos mínimos quadrados.

 

x

ax

bx

c

f

*



2





Sistema de equações:

 





 





 





0 2 0 0 2 0 0 2 0 6 1 2 6 1 2 2 6 1 2        _{  }            _{  }            _{  }    







   i i i i i i i i i i i i i i x f c bx ax c E x x f c bx ax b E x x f c bx ax a E

 

 

 

























                                 6 1 6 1 6 1 6 1 2 6 1 6 1 6 1 6 1 2 3 6 1 6 1 2 6 1 2 6 1 3 4 1 0 0 0 i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i x f c x b x a c E x x f x c x b x a b E x x f x c x b x a a E

 

 

 

                                              























           6 1 6 1 6 1 2 6 1 6 1 2 6 1 6 1 2 6 1 3 6 1 2 6 1 3 6 1 4 6 i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i x f x f x x f x c b a x x x x x x x x 1339 . 0 ; 9924 . 0 ; 0288 . 0 6 . 23 87 . 105 19 . 522 6 8 . 21 96 8 . 21 96 66 . 468 96 66 . 468 85 . 2424                                     c b a c b a x F(x) x^4 x^3 X^2 x^2 F x F 1 1.1 1.1 1.46 1.33 1.21 1.33 1.21 2 2.3 1.9 27.98 12.17 5.29 10.05 4.37 3 3 3.4 81.00 27.00 9.00 30.60 10.20 4 4.3 4.8 341.88 79.51 18.49 88.75 20.64 5 5.1 5.5 676.52 132.65 26.01 143.06 28.05 6 6 6.9 1296.00 216.00 36.00 248.40 41.40 Soma = 21.8 23.6 2424.85 468.66 96.00 522.19 105.87

0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 1 2 3 4 5 6 7 Dados Ajuste Linear Ajuste Quadratico x F(x) Ajuste Equad 1.1 1.1 0.90 0.041 2.3 1.9 2.34 0.190 3 3.4 3.17 0.051 4.3 4.8 4.73 0.005 5.1 5.5 5.69 0.036 6 6.9 6.77 0.017 E = 0.340 x F(x) Ajuste Equad 1.1 1.1 0.99 0.012 2.3 1.9 2.30 0.161 3 3.4 3.10 0.089 4.3 4.8 4.67 0.018 5.1 5.5 5.68 0.031 6 6.9 6.86 0.002 E = 0.312

Linear

Quadrático

INTERPOLAÇÃO LAGRANGEANA

É um caso particular importante de interpolação, ou seja, de se obter uma curva que passe pelos pontos dados.

Dados n pontos x_i, f(x_i) no intervalo (a,b) obtem-se f*_{(x) tal que f}*_(x

i)=f(xi)

A função interpoladora é polinomial e de grau mínimo possível (n-1) O polinômio interpolador de grau n-1 é formado por uma combinação linear de n polinômios (polinômios-base) também de mesmo grau n-1.

Algumas características da Interpolação Lagrangeana são listadas a seguir:

Os coeficientes da combinação linear são os próprios valores da

função original nos pontos dados e portanto os polinômios-base possuem valor unitário em um ponto e se anulam nos outros:







n j j j

P

x

c

x

f

1 *

₍

₎

₍

₎

Polinômios de graus n-1 o número de

polinômios-base é igual ao de pontos

ij i j j j j

f

x

y

P

x

c



*

(

)





(

)





EXEMPLO SIMPLES

Dados os pontos (2,2) e (3,3), determinar a reta que se ajusta a estes pontos utilizando o método da Interpolação Lagrangeana.

SOLUÇÃO

Como são dados dois pontos, (2,2) e (3,3), os n=2 polinômios-base são de grau

n-1=1. Além disso, P1(x)=1, para o ponto (2,2) e P1(x)=0, para o ponto (3,3).

Analogamente, P2(x)=0 para o ponto (2,2) e P2(x)=1, para o ponto (3,3).

x

x

x

x

f















*

(

)

2

(

3

)

3

(

2

)

3

)

(

1

x

 x





P

P

2

(

x

)

 x



2

)

(

3

)

(

2

)

(

)

(

2 _{1 2} 1 *

x

P

x

P

x

P

y

x

f

n j j j









  ij i j

x

P

(

)





O polinômio interpolador de grau n-1 é formado por uma combinação linear de n polinômios (polinômios-base) também de mesmo grau n-1.

ij i j

x

P

(

)





j j j

f

x

y

c



*

(

)









n j j j

P

x

c

x

f

1 *

₍

₎

₍

₎

Deve-se impor a condição f*_(x

i)=f(xi)

Prova da ida (a volta é análoga)











n j i j j i j j

f

x

f

x

f

x

P

x

c

1 * *

₍

₎

₍

₎

₍

₎

₍

₎







m k i j i k jk

x

x

1

)

(

)

(







OBS 3:

Logo, percebe-se que a condição nos coeficientes é também uma condição no tipo de polinômio que forma a base de funções ser satisfeita (de acordo com a OBS 3)

ij i j

x

P

(

)





)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

1

* ₁ 1 * 1 2 2 * 1 1 1 * 1

f

x

P

x

f

x

P

x

f

x

P

x

f

x

x

f

i











_



_{n n}



0

)

(

0

)

(

1

)

(

_{1 2 1 1} 1









P

x

P

x

_

P

_n

x

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2

* ₂ 2 * 2 2 2 * 2 1 1 * 2

f

x

P

x

f

x

P

x

f

x

P

x

f

x

x

f

i











_



_{n n}



0

)

(

1

)

(

0

)

(

_{2 2 2 2} 1









P

x

P

x



P

_n

x

ij i j j j j

f

x

y

P

x

c



*

(

)





(

)





ij i

j

x

P

(

)





Exemplos de funções base polinomias que obedecem a condição:

Linear Parabólica P2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 P1 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 P3 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Cúbica P1 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 P2 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 P3 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 P4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 P1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 P2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

CÁCULO DOS POLINÔMIOS-BASE

Sabe-se que o polinômio base assume o valor unitário em um ponto e é nulo nos demais. Logo, estes demais pontos são raízes do polinômio. Portanto:

)

(

)

)(

(

)

)(

(

)

(

)

)(

(

)

)(

(

)

(

1 1 2 1 1 1 2 1 n j j j j j j j n j j j

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

P























   













   







_n j k k k j n j i i i j

x

x

x

x

x

P

1 1

)

(







n j j j

P

x

y

x

f

1 *

₍

₎

₍

₎

FUNÇÃO INTERPOLADORA

EXEMPLO

Considere a função f(x)=ex para 0<x<1. Utilize a interpolação Lagrangeana com

três pontos x1=0, x2=0.5 e x3=1 para representar esta curva.

SOLUÇÃO























)

)(

(

)

)(

(

)

(

)

)(

(

)

)(

(

)

(

)

(

3 2 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 1 *

x

x

x

x

x

x

x

x

x

f

x

x

x

x

x

x

x

x

x

f

x

f

)

)(

(

)

)(

(

)

(

2 3 1 3 2 1 3

x

x

x

x

x

x

x

x

x

f



















 



 





 



 



) ( 2 ) ( 2 5 . 0 ) ( 2 * 3 3 2 2 1 1

)

2

(

)

4

4

(

)

1

3

2

(

1

)

(

x P y x P y x P y

x

x

e

x

x

e

x

x

x

f

















1

87660

.

0

84168

.

0

)

(

2 *

_

_

_

x

x

x

f

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

_{1 1 2 2 3 3} 1 *

x

P

y

x

P

y

x

P

y

x

P

y

x

f

n j j j













Serão 3 polinômios-base do 2o. grau

x

e

x

f

(

)



1

87660

.

0

84168

.

0

)

(

2 *

_

_

_

x

x

x

f

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 y=exp(x) y=f*(x) -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 Erro Abs. Erro Rel. Erro Quad. RESULTADOS

Erro absoluto

)

(

)

(

*

x

f

x

f

E

_A





Erro relativo

)

(

)

(

)

(

*

x

f

x

f

x

f

E

_R





Erro quadrático



_*



2

)

(

)

(

x

f

x

f

E

_Q





O nível da água no Mar do Norte é determinado pelo movimento de maré conhecido como Maré M₂, com um período de 12 horas. A variação do nível com o tempo pode ser descrita pela seguinte fórmula:

Exercício

horas em t , 12 2 sin 12 2 cos ) ( 0 1 2               h A t A t t H   t 0 2 4 6 8 10 Horas H(t) 1.0 1.6 1.4 0.6 0.2 0.8 metros

Determine os parâmetros da curva de variação de H(t), isto é , utilizando os dados

acima e o método dos mínimos quadrados. 0 1 2

,A e A h

INTEGRAÇÃO NUMÉRICA

 Frequentemente cálculos integrais são necessários em engenharia





b a

dx

x

f

I

(

)

 Na maioria dos casos, a integral não pode ser calculada analiticamente

x

y

a

b



x

I = Área sob o gráfico





                       4 1 4 1 ) ( ] ) 1 ( [ ) 3 ( ) 2 ( ) ( ) ( i i i x x f x x i a f I x x a f x x a f x x a f x a f I Primeira idéia

x

y

a

b



x

Melhor aproximação

Usar os pontos no meio do intervalo





                                                                 4 1 2 1 4 1 ) ( 2 ) ( ) ) 1 ( ( 2 ) 4 ( ) 3 ( 2 ) 3 ( ) 2 ( 2 ) 2 ( ) ( 2 ) ( ) ( i i i x x f x x i a x i a f I x x a x a f x x a x a f x x a x a f x x a a f I 4 intervalos 5 pontos Regra do Retângulo

x

y

a

b



x

Melhor aproximação

Intepolação linear em cada intervalo

4 intervalos 5 pontos Regra do Trapézio























             _{          }                             4 1 2 ) ( ) ) 1 ( ( ) 4 ( 2 1 ) 3 ( ) 2 ( ) ( ) ( 2 1 2 ) 4 ( ) 3 ( 2 ) 3 ( ) 2 ( 2 ) 2 ( ) ( 2 ) ( ) ( i x x i a f x i a f I x a f x a f x a f x a f a f x I x x a f x a f x x a f x a f x x a f x a f x x a f a f I

x

y

x

₁

=a

x

n+1

=b



x

x

₂

De uma forma geral, a integral é calculada por uma soma ponderada dos valores do integrando em pontos do intervalo de integração





   n i i i b a x f w x f I 1 ) ( ) ( n : número de intervalos n+1: número de pontos

w_i são chamados de PESOe os pontos

x_ionde a função deve ser avaliada são chamados de ABSCISSA

 As diferentes fórmulas de integração numérica são

escolhas particulares dos pesos e abscissas  Todo fórmula de quadratura deve tender a integral exata quando o

 Geralmente usa-se abscissas igualmente espaçadas e escolhe-se

pesos para obter a melhor aproximação

 O resultado pode ser sistematicamente melhorado dividindo o intervalo ao meio  A precisão do método pode ser avaliada calculando-se a integral com n pontos

e repetindo-se o processo com 2n pontos. Se os resultados coincidirem dentro de uma certa tolerância, aceita-se o resultado como preciso  O erro na aproximação é sempre proporcional ao tamanho do intervalo

elevado a alguma potência inteira

m m

h

x

erro







m: ordem da aproximação

FÓRMULA DE NEWTON-COTES

 Divide-se o domínio em n intervalos com n+1 pontos

1

,

,

2

,

1

para

,

)

1

(

;















x

a

j

h

j

n

n

a

b

h

_j



 Define-se polinômio de interpolação de grau n pelos pontos (x_j, f(x_j))



 



1 1

)

(

)

(

)

(

n k k k

L

x

x

f

x

P

Polinômio interpolador de Lagrange

 A integral da função é aproximada pela integral do polinômio interpolador





_

 





     

























1 1 1 1 1 1

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

n k k k n k b a k k b a n k k k b a b a

w

x

f

dx

x

L

x

f

dx

x

L

x

f

dx

x

P

dx

x

f

I

EXEMPLOS DA FÓRMULA DE NEWTON-COTES  n = 1 e n+1 = 2

x

y

a

_b

P(x)

)

(

)

(

)

(

e

)

(

)

(

)

(

onde

)

(

)

(

)

(

1 2 1 2 2 1 2 1 2 1

x

x

x

x

x

L

x

x

x

x

x

L

x

L

x

f

x

P

k k k



















a

b

a

b

) ( 1 x L _L2(x) 1 2 2 ) ( ) ( ) ( 2 2 ) ( ) ( ) ( 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 1 a b x x dx x x x x dx x L w a b x x dx x x x x dx x L w b a b a b a b a                









_

_











b a

a

b

b

f

a

f

dx

x

f

I

(

)

2

)

(

)

(

)

(

Regra do Trapézio para 1 intervalo

 De uma forma geral o método de Newton-Cotes pode ser escrito como:





_





   











1 1 1 1

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

n k k n k n k b a k k b a b a

x

f

C

a

b

dx

x

L

x

f

dx

x

P

dx

x

f

I



  b a k n k L x dx a b C ( ) ) ( 1 Cotes -Newton de es coeficient n C1n C2n C3n C4n C5n 1 1/2 1/2 2 1/6 4/6 1/6 3 1/8 3/8 3/8 1/8 4 7/90 32/90 12/90 32/90 7/90

 n = 2 e n+1 = 3













_



_





b a

a

b

b

f

b

a

f

a

f

dx

x

f

I

(

)

(

)

6

1

)

2

(

6

4

)

(

6

1

)

(

x

y

a

b

P(x)

Regra de Simpson para 1 intervalo

 A fórmula de Newton-Cotes é raramente aplicada em todo intervalo.  O intervalo é subdividido em subintervalos iguais ou não e a fórmula é

aplicada em cada subintervalo

COMENTÁRIOS

x

y

x

₁

=a

x

_n+1

=b



x

x

₂

 Divide-se o intervalo (a,b) em n subintervalos

de largura x e a fórmula é aplicada em

cada intervalo Exemplo: n = 1

























_

_

_

_

_



























_

_

_









)

2

(

2

1

)

(

2

1

)

(

2

1

)

(

2

1

)

(

x

a

f

x

a

f

x

x

a

f

a

f

x

dx

x

f

I

b a







         n i x x i a f x i a f I 1 2 ) ( ) ) 1 ( ( Regra do Trapézio

Exemplo: n = 2

O número de intervalos deve ser par. A fórmula é aplicada a pares de intervalos

























_

_

_

_

_

_

_

_



























_

_

_

_

_

_









)

4

(

6

1

)

3

(

6

4

)

2

(

6

1

2

)

2

(

6

1

)

(

6

4

)

(

6

1

2

)

(

x

a

f

x

a

f

x

a

f

x

x

a

f

x

a

f

a

f

x

dx

x

f

I

b a















        _{         }  /2 1 2 2 6 1 ) 1 2 ( 6 4 ) 1 ( 2 6 1 n i x x i a f x i a f x i a f I Regra de Simpson 0.001 0.01 0.1 1 10 0.1 1 10 y = 0.28889 * x^(1.923) R= 0.99844 E rro % Tamanho do Intevalo ( x)

 

2

x

Erro





n Delta X Exata Trapezio Erro%

4 2.5 1.5 3.8 1.53

8 1.25 1.5 2.21 0.47

20 0.5 1.5 1.62 0.08

QUADRATURA GAUSSIANA

 Máxima precisão para um dado número de funções  Intervalo não uniforme







_ b a n i i i

f

x

w

dx

x

f

1

)

(

)

(

Pontos de Gauss Pesos de Gauss

 Os valores das coordenadas dos pontos de Gauss e os correpondentes pesos são apresentados em tabelas padronizadas geralmente para limites de integração de -1 a 1.

 Para utilizar estas tabelas, é necessário fazer uma mudança de variável







 





b a n i i i

g

w

d

g

dx

x

f

1 1 1

)

(

)

(

)

(







 wi 1 -0.57735 1.00 2 +0.57735 1.00  wi 1 -0.77459 0.55555 2 0.00 0.88888 3 +0.77459 0.55555  wi 1 -0.86113 0.34785 2 -0.33998 0.65214 3 +0.33998 0.65214 4 +0.86113 0.34785

n = 2

n = 4

n = 3

 Para integrais em duas, três ou mais variáveis:



 



     





n i j i j n j i b a d c

g

w

w

d

d

g

dxdy

y

x

f

1 1 1 1 1 1

)

,

(

)

,

(

)

,

(













Exercício

Calcule a integral pelo Método do Trapézio:

Determine no número de intervalos necessários para obter uma resposta com precisão de 3 casas decimais



1  0 ) 5 exp( 3 x dx N intervalos Integral 5 0.6448 10 0.6081 20 0.5990 40 0.5967 80 0.5961

CÁLCULO DE RAIZ DE EQUAÇÃO

 Necessidade de determinar a raiz de uma equação

em diversos problemas de engenharia, isto é, determinar x, tal que:

0

)

(

x



f

 Algumas equações mais simples possuem solução analítica, como

3

e

2

0

6

5

10

20

2

2

_

_

_

_

_

_











x

x

x

x

x

x

 Na maioria dos casos (equação não-linear), as raizes da equação não podem ser determinadas analiticamente  Deve-se utilizar procedimentos iterativos para determinar a(s) raiz(es)

MÉTODO DE PICARD

)

(

0

)

(

0

)

(

* * ) ( * * * *

x

g

x

x

g

x

x

f

x f



















x* é raiz da equação f(x) = 0 PROCEDIMENTO ITERATIVO ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 0 (

:

Raiz

)

(

1

repetir

,

Enquanto

)

(

1

:

inicial

Chute

i i i i i i i

x

x

g

x

i

i

x

x

x

g

x

i

x

  

















x

)

(x

g

x

*

x

RAIZ ) 0 (

x

)

(

₍₀₎ ) 1 (

x

g

x



x

(2)

)

(

x

₍₀₎

g

)

(

x

₍₁₎

g

0





x

e

x

x x

e

x

g

e

x







(

)



 EXEMPLO 1: RESOLVER



69220

.

0

)

(

36788

.

0

)

(

1

36788 . 0 ) 1 ( ) 2 ( 1 ) 0 ( ) 1 ( ) 0 (















 

e

x

g

x

e

x

g

x

x

n xn g(xn) 0 1 0.36788 1 0.36788 0.69220 2 0.69220 0.50047 3 0.50047 0.60624 4 0.60624 0.54540 5 0.54540 0.57961 6 0.57961 0.56012 7 0.56012 0.57114 8 0.57114 0.56488 9 0.56488 0.56843 10 0.56843 0.56641 11 0.56641 0.56756 . . . 20 0.56714 0.56714

0

1





x

1

2

)

(

1

2











x

g

x

x

x

EXEMPLO 2: RESOLVER



6

.

0

1

8

.

0

2

)

(

8

.

0

1

9

.

0

2

)

(

9

.

0

) 1 ( ) 2 ( ) 0 ( ) 1 ( ) 0 (























x

g

x

x

g

x

x

n x n g ( x n) 0 0 . 9 0 . 8 1 0 . 8 0 . 6 2 0 . 6 0 . 2 3 0 . 2 - 0 . 6

Processo iterativo diverge

PORQUE ???

x

)

(x

g

x

*

x

RAIZ ) 0 (

x

)

(

₍₀₎ ) 1 (

x

g

x



) 2 (

x

)

(

x

₍₀₎

g

)

(

x

₍₁₎

g

DIVERGE

x

)

(x

g

x

*

x

RAIZ ) 0 (

x

)

(

₍₀₎ ) 1 (

x

g

x



) 2 (

x

)

(

x

₍₀₎

g

)

(

x

₍₁₎

g

CONVERVE OSCILANDO

OSCILANDO

CONVERGE

0

)

(

1

MENTE

MONOTONICA

CONVERGE

1

)

(

0

DIVERGE

1

)

(

























x

g

x

g

x

g

MÉTODO DE BISSEÇÃO

 SE f(x)É UMA FUNÇÃO CONTÍNUA E f(a).f(b) < 0 A RAIZ DE f(x)PERTENCE AO INTERVALO (a,b)

 MÉTODO DE BISSEÇÃO CRIA UMA SEQUENCIA DE INTERVALOS CADE VEZ MENOR QUE CONTENHA A RAIZ

)

(x

f

x

*

x

0

a

0

b

)

,

(

a

₀

b

₀

)

,

(

a

₁

b

₁ 1

m

m

2









i i i i i i i i i i i i i i i i i i m b a m i i m b a a m f a f b b m a b f m f m f b a m i b f a f b a : Raiz 1 2 1 end then 0 ) ( ) ( ifend then 0 ) ( ) ( if ( ) ,do While1 2 1 e talque ( ) ( ) 0 Escolher 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0                     

0

sin

2

2

















x

x

EXEMPLO 3: RESOLVER

i

a

i-1

f(a

i-1

)

b

i-1

f(b

i-1

)

m

i

f(m

i

)

1 1.5 <0 2 >0 1.75 <0

2 1.75 2 1.875 <0

3 1.875 2 1.9375 >0

4 1.875 1.9375 1.90625 <0

5 1.90625 1.9375 1.9219

 CONVERGÊNCIA EXTREMAMENTE LENTA

 CONVERGÊNCIA MELHORA USANDO VALORES DE f(x) NO CÁLCULO DE

mi

)

(

)

(

)

(

)

(

1 1 1 1 1 1      







i i i i i i i

b

f

a

f

b

f

a

a

f

b

m

MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON (DE NEWTON)

)

(x

f

x

*

x

) 0 (

x

) 1 (

x

) 2 (

x

)

(

)

(

)

(

)

(

tan

1 1 i i i i i i i i

x

f

x

f

x

x

x

f

x

x

x

f

















 



PROCEDIMENTO ITERATIVO ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 (

:

Raiz

1

)

(

)

(

do

,

)

(

While

0

:

inicial

Chute

 























i i i i i i

x

i

i

x

x

x

x

f

x

f

x

x

f

i

x



0

sin

2

2

















x

x

EXEMPLO 4: RESOLVER

i

x

i

f(x

i

)

f’(b

i

)

x

0 1.5 0.434995 -0.67926 0.64039 1 2.14039 -0.30319 -1.60948 -0.18838 2 1.95201 -0.02437 -1.34805 -0.01808 3 1.93393 -0.00023 -1.32217 -0.00018 4 1.93375 0.000005 -1.32191  CONVERGÊNCIA RÁPIDA

 O TAMANHO DO PASSO DIMINUI A CADA ITERAÇÃO DE UM FATOR DE 10