Teoria dos Jogos. Prof. Maurício Bugarin ECO/UnB

(1)

Teoria dos Jogos

Prof. Maurício Bugarin

ECO/UnB

2

•  Capítulo 3: Jogos Estáticos com Informação Incompleta

•  1. Forma Normal e o Conceito de Equilíbrio de Nash Bayesiano

–  2. Aplicações

•  Duopólio de Cournot

•  Provisão Voluntária de Controle de Mal Público •  Leilões selados de primeiro preço

•  Leilões selados de segundo preço

•  Guerra de Nervos com informação incompleta

•  Leilão duplo (Gibbons) •  O Princípio da Revelação

•  O Teorema de Equivalência de Receitas •  Valores de reserva

•  Leilões sequenciais

Cap. 3: Jogos Estáticos com Informação Incompleta Roteiro

(2)

Aula 13 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin

Definição-Um jogo bayesiano na forma normal (ou estratégica) é:

( )

(

N

T

i i N

p

A

i i N

u

i i N

)

J

₌

,

_∈

,

_∈

,

_∈

Exemplo-Negociação bilateral: Leilão duplo

n=2, 1: proprietário do objeto (vendedor), p

2: comprador do objeto, c

T₁=T₂=[0,1] =V1=V2

Valores v_p e v_c são duas variáveis aleatórias independentes e uniformemente distribuídas entre 0 e 1:

F₁(v)=prob(v₁≤v)=v; F₂(v)=prob(v₂≤v)=v

f_i(v)=Fʹ′_i(v)=1, i=1,2, p(v₁, v₂)=p₁(v₁).p₂(v₂)=f₁(v₁).f₂(v₂)= 1

A₁=[0,1]=D: demanda mínima do proprietário A₂=[0,1]=O: oferta máxima do comprador

(3)

(

)

(

)

(

)

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < ≥ − + = δ λ δ λ λ δ λ δ se 0 se 2 , , , p c p p v v v u d: V₁=V_p=[0,1]→D estratégia do proprietário 1

l: V₂=V_c=[0,1]→O estratégia do comprador 2

Utilidade ex-post

(

)

(

)

(

)

⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < ≥ + − = δ λ δ λ λ δ λ δ se 0 se 2 , , , c c p c v v v u

(

)

(

) (

i i i i

)

i T t i i i i i i i

a

s

t

p

t

u

s

t

a

t

dt

U

i i − − − ∈ − −

∫

− −

;

),

(

|

;

,

(

)

( )

∫

₋ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + = 1 0 1 1 d 2 0 (.); , δ δ δ δ l c p c c l p p v v v l dv v l U Utilidade ínterim: Se estratégias estritamente crescentes:

(

)

( )

∫

₋ − + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − = 1 0 c 1 1 d 0 2 (.); , λ λ _λ λ d p p d p p c c dv v v d v v d U

(

)

( )

∫

− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + = 1 1 d 2 (.); , δ δ δ l c p c p p v v v l v l U

(

)

( )

p d p p c c dv v d v v d U

_∫

− ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − = λ _λ λ 1 0 c 2 (.); ,

(4)

Aula 13 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin Equilíbrio de Nash bayesiano.

Um equilíbrio da Nash bayesiano desse jogo é um par de estratégias (d, l), em que d, l: [0,1]→[0,1], satisfazendo:

(i) Para cada realização do tipo do agente p, v_p∈V_p, d(v_p) é a solução (δ) do seguinte problema de maximização:

(ii) Para cada realização do tipo do agente c, v_c∈Vc, l(vc) é a solução

(λ) do seguinte problema de maximização:

(

)

( )

∫

− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + = 1 1 d 2 (.); ,

max

δ δ δ δ l c p c p p v v v l v l U λ

max

Uc

(

λ, d(.);vc

)

= vc− d v

_{( )}

_p +λ 2 " # $ $ % & ' ' 0 d−1_{( )}_λ

∫

dvp

Simplificação.

Buscamos um ENB em que as estratégias são funções lineares (estritamente crescentes) dos valores:

d(vp)=avp+b l(vc)=gvc+h Resolução.

(

)

( )

∫

− ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + = 1 1 d 2 (.); ,

max

δ δ δ δ l c p c p p v v v l v l U

( )

(

1

)

(

₁ 1

( )

2

)

4 1 2 2 δ δ δ ₋ − ₊ ₋ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ ₋ = h vp l g l

∫

⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + + 1 1 d 2 δ c p c h _v _v gv

(5)

Aula 13 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin Resolução. CPO:

( )

(

1

)

(

₁ 1

( )

2

)

4 1 2 2 δ δ δ − − − + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊h₋_v _l g _l p

( )

v gv h l

( )

_g _gh l _c = _c + ⇒ − =δ − δ 1

( )

(

1

)

(

₁ 1

( )

2

)

4 1 2 2 δ δ δ ₋ − ₊ ₋ − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊h₋_v _l g _l p ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ ₋ = ₂ 2 2 2 2 2 g 1 4 1 2 2 g h g h g g h g v h p δ δ δ δ 0 2 g 2 4 1 2 2 1 1 2 1 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ ₋ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − g h v h g g h g p δ δ δ

Aula 13 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin Resolução: CPO

Observe: melhor resposta é linear!

0 2 g 2 4 1 2 2 1 1 2 1 = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₊ ₋ − ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − g h v h g g h g p δ δ δ 0 2 − + = + − − + − h h v h g δ δ p δ p v h g 2 3δ = + + 3 3 2 g h vp + + = δ

(6)

Aula 13 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin Simplificação.

Buscamos um ENB em que as estratégias são funções lineares (estritamente crescentes) dos valores:

d(v_p)=av_p+b l(v_c)=gv_c+h Resolução.

( )

λ

( )

λ λ 1 1 4 2 2 − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − − = vc b ad d

λ

max

Uc

(

λ, d;vc

)

= vc− d v

( )

p +λ 2 " # $ $ % & ' ' 0 d−1 λ ( )

∫

dvp

( )

( ) p d p p dv v d v

∫

− ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − λ _λ 1 0 c ₂ Resolução. CPO:

Observe: melhor resposta é linear!

( )

v av b d

( )

_a _ab d p = c + ⇒ − λ = λ− 1 1 3 3 2 b v_c + = λ

( )

λ

( )

λ λ 1 1 4 2 2 − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − −b ad d v_c

( )

λ

( )

λ λ 1 1 4 2 2 − − ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛_v ₋b₋ ₋a_d _d c

(

b

)

b v a c ⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ₋ ₋ = λ λ 4 4 3 1

(7)

Aula 13 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin Resolução.

Observação: Eficiência? (Gráfico) Ganhos com a troca?

( )

v av b d _p = _p +

( )

c c l v b v + = = 3 3 2 λ

( )

p p d v g h v + + = = 3 3 2 δ

( )

v

g

v

h

l

_c

=

_c

+

( )

4 1 3 2 + = _p p v v d

( )

12

1

3

2 +

=

c c

v

l

Observação: Eficiência? (Gráfico) Ganhos com a troca?

( )

vp = ₃2vp+₄1 d

_{( )}

12 1 3 2 + = c c v v l vp v_c 4 1 4 3

( )

vp ≤l

( )

vc ⇔vc ≥vp +₄1 d

(8)

Aula 13 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin Modelando jogo bayesiano na linguagem de desenho de mecanismos:

“mensagens”

probabilidades do objeto ficar com cada jogador

“contribuição” de cada jogador

O Princípio da Revelação

(

)

[ ]

{

}

(

)

(

)

(

)

⎩ ⎨ ⎧ × → Δ= ∈ + ≤ 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 , , , , 1 | 1 , 0 , : m m p m m p m m p p p p M M p !

(

)

(

) (

)

⎩ ⎨ ⎧ × → 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 , , , , : m m c m m c m m R M M c !

(

1

)

1 1 1:T M A s → =

(

2

)

2 2 2:T M A s → = Exemplos:

Leilão selado de primeiro preço Leilão selado de segundo preço Leilão duplo

Guerra de nervos

(9)

Dado um jogo bayesiano J do tipo acima e um ENB (s₁, s₂) de J, então é sempre possível encontrar um jogo bayesiano “equivalente” no qual:

(i) Os conjuntos de mensagens (estratégias) são os conjuntos de tipos: M1=A1=T1

M₂=A₂=T₂

(ii) Existe um ENB (sʹ′1, sʹ′2) do novo jogo que leva às mesmas utilidades esperadas que (s₁, s₂) em J e tal que:

sʹ′1(t1)=t1 sʹ′2(t2)=t2

Prova:

O Princípio da Revelação

Seja M um mecanismo por meio de lances para a venda de um objeto em que:

(i) Os valores atribuídos ao objeto pelos diferentes jogadores são independentes.

(ii) Os valores atribuídos ao objeto pelos diferentes jogadores são identicamente distribuídos.

(iii) Os jogadores são neutros com relação ao risco (utilidade linear com relação aos pagamentos: utilidade quase-linear).

Seja s um equilíbrio bayesiano simétrico e estritamente crescente do jogo associado a esse mecanismo em que o jogador que atribui menor valor ao objeto tem utilidade esperada 0.

Então a receita esperada para o leiloeiro nesse equilíbrio é a mesma obtida no leilão selado de segundo preço.

(10)

Os quatro formatos de leilões de um único objeto clássicos: - Inglês (aberto ascendente)

- Holandês (aberto descendente) - Fechado de primeiro preço

- Fechado de segundo preço (Vickrey)

geram todos a mesma receita esperada para o leiloeiro, sob as hipóteses de valor privado, independente e identicamente distribuído.

Aplicação para os leilões tradicionais

Considere agora o modelo clássico de leilão de primeiro preço com a seguinte novidade no seu desenho: o objeto somente será vendido se o lance vencedor for maior que um certo valor positivo r. Analisemos o papel dessa inovação no desenho sobre o retorno do leiloeiro.

Preço de Reserva

T₁=T₂=[0, ω] =V₁=V₂

Valores v₁ e v₂ são duas variáveis aleatórias independentes e distribuídas entre 0 e ω:

F₁(v)=prob(v₁≤v); F2(v)=prob(v2≤v)

f_i(v)=Fʹ′_i(v), i=1,2, p(v₁, v₂)=p₁(v₁).p₂(v₂)=f₁(v₁).f₂(v₂)

(11)

Aula 13 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin u1

(

l1(v1), l2(v2)

)

, v

(

1, v2

)

= v1− l1(v1) se l1(v1) > l2(v2), ≥ r v1− l1(v1) 2 se l1(v1) = l2(v2) ≥ r 0 se l1(v1) < l2(v2) ou < r # $ % % & % % u₂

₍

l₁(v₁), l₂(v₂)

₎

, v

₍

₁, v₂

₎

= v2− l2(v2) se l1(v1) < l2(v2), ≥ r v2− l2(v2) 2 se l1(v1) = l2(v2) ≥ r 0 se l1(v1) > l2(v2) ou < r # $ % % & % % Utilidade ex-post Preço de Reserva

U

₁

(

λ

1

, l

2

;v

1

)

=

Utilidade ínterim:

Se v₁<r, então a utilidade será nula

Caso contrário, escolhendo λ1>r, a utilidade será:

= v

(

1−λ1

)

Pr

{

λ1> l2(v2)

}

+

1

2

(

v1−λ1

)

Pr

{

λ1= l2(v2)

}

(12)

Aula 13 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin Equilíbrio de Nash bayesiano.

Um equilíbrio da Nash bayesiano desse jogo é um par de estratégias (l₁, l₂), em que l_i: V_i→[0, ω], satisfazendo:

(i) Para cada realização do tipo do agente 1, v₁∈V₁, v₁>r, l₁(v₁) é a solução (λ1) do seguinte problema de maximização em que λ1>r:

(

) {

}

(

) {

Pr ( )

}

2 1 ) ( Pr ₁ ₂ ₂ ₁ ₁ ₁ ₂ ₂ 1 1

max

1 v l v v l v −

λ

> + −

λ

= λ

(ii) Para cada realização do tipo do agente 2, v₂∈V2, v2>r, l2(v2) é a solução (λ2) do seguinte problema de maximização em que λ2>r:

(

) {

}

(

) {

Pr ( )

}

2 1 ) ( Pr ₂ ₁ ₁ ₂ ₂ ₂ ₁ ₁ 2 2

max

2 v l v v l v −λ λ > + −λ λ = λ Preço de Reserva Simplificações e resolução.

(a) Dada a simetria do jogo com relação aos jogadores, procuramos um equilíbrio simétrico, ou seja, um equilíbrio no qual os dois jogadores escolhem a mesmo função estratégia: l₁=l₂=l.

(b) Supomos que quanto maior for o valor v_i, ou seja, quanto mais valor o jogador i atribuir ao objeto, maior será seu lance em equilíbrio, ou seja, a função l é estritamente crescente. Além disso, supomos que l é diferenciável.

(c) Sabemos que não vale a pena um jogador de valor menor que r ganhar o objeto. Ademais, no limite, um jogador de valor exatamente

r é indiferente entre vencer e pagar r ou perder. Portanto supomos que

(13)

(

) {

}

(

) {

Pr ( )

}

2 1 ) ( Pr ₁ ₂ ₂ ₁ ₁ ₁ ₂ ₂ 1 1

max

1 v l v v l v −λ λ > + −λ λ = λ

(

₁ ₁

) {

Pr

₁

(

₂

)

}

max

1

v

l

v

−

λ

>

λ

(

₂ ₂

) {

Pr

₂

(

₁

)

}

max

2

v

l

v

−

λ

>

λ λ1

max

(

v

₁

−

λ

1

)

F l

−1

_(λ

1

)

(

)

λ2

max

(

v2−λ2

)

F l −1 (λ2)

(

)

Preço de Reserva

−F l

(

−1

(λ

1

)

+ v

(

1

−

λ

1

)

F l

"

−1

(λ

1

)

(

)

l

−1

( )

"

(λ

1

) = 0

−F l

(

−1

(

l(v1)

)

+ v

(

1− l(v1)

)

F l" −1 l(v1)

(

)

(

)

l−1

( )

"(l(v1)) = 0

( )

(

)

1 1 1 1

₍

₎₎

₍

₎

− −

_ʹ′

=

ʹ′

_l

_v

_l

_v

l

λ1

max

(

v

₁

−

λ

1

)

F l

−1

_(λ

1

)

(

)

−F v

( )

1 + v

(

1− l(v1)

)

F v"

( )

1 l −1

( )

"(l(v1)) = 0 −F v

( )

1 + v

(

1− l(v1)

)

" F v

( )

1 " l (v1) = 0 Preço de Reserva

(14)

Aula 13 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin −F v

( )

1 + v

(

1− l(v1)

)

" F v

( )

1 " l (v₁) = 0 −F v

( )

1 l (v" 1) + v1F v"

( )

1 − l v

( )

1 F v"

( )

1 = 0 v1F v!

( )

1 = F v

( )

1 l (v! 1) + l v

( )

1 F v!

( )

1 k + vf v

_{( )}

dv = 0 v1

∫

F v

( )

1 l v

( )

1 Preço de Reserva

l r

_{( )}

= r ⇒

k = F r

_{( )}

r − vf v

_{( )}

dv 0 r

∫

F v

( )

1 l v

( )

1 = vf v

( )

dv + F r

( )

r r v1

∫

l v

( )

1 = 1 F v

( )

1 vf v

_{( )}

dv + F r

( )

F v

( )

1 r r v1

∫

v₁ 2 − 1 v₁ r2 2 + r2 v₁ =

l(v

₁

) =

v

1

2 +

1

2 r

2

v

Distribuição uniforme em [0,1] F v

( )

1 = v1; f v

( )

= 1 l v

( )

1 = 1 v1 v dv + F r

( )

F v

( )

1 r = r v1

∫

Preço de Reserva: Equilíbrio de Nash Bayesiano

Logo, l v

( )

1 = 1 F v

( )

1 vf v

_{( )}

dv + F r

( )

F v

( )

1 r r v1

∫

v1 2 + 1 2 r2 v1

(15)

Note que a existência de um preço de reserva induz um lance mais agressivo por parte dos jogadores.

Por outro lado, o leiloeiro deixa de vender o objeto quando os dois jogadores têm valores menores que r.

Qual será o efeito final sobre a receita do leiloeiro?

Preço de Reserva: Equilíbrio de Nash Bayesiano

l(v

₁

) =

v

1

2 +

1

2 r

2

v

₁

Aula 13 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin Preço de Reserva: Receita do Leiloeiro

RE r

_{( )}

= 2

l(v

₁

)

0 v1

∫

r 1

∫

dv

₂

dv

₁

= 2

v

1

2 +

1

2 r

2

v

₁

!

"

#

$

%

&

0 v1

∫

r 1

∫

dv

₂

dv

₁

=

2 v

1

2 +

1

2 r

2

v

1

!

"

#

$

%

&

r 1

∫

v

₁

dv

₁

= 2

v

1 2

2 +

r

2

2 !

"

#

$

%

&

r 1

∫

dv

₁

=

2 v

1 3

6 +

r

2

2 v

1

!

"

#

$

%

&

r 1

= 2

1

6 +

r

2

2 −

r

3

6 −

r

3

2 "

#

$

%

&

' =

1

3 + r

2

−

4

3 r

3

l(v

₁

) =

v

1

2 +

1

2 r

2

v

₁

(16)

Aula 13 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin Preço de Reserva: Receita do Leiloeiro

RE r

_{( )}

=

1

3 + r

2

−

4

3 r

3

R !

E r

_{( )}

= 2r − 4r

2

= 2r 1− 2r

₍

₎

r = 0,

1

2 R !!

E r

_{( )}

= 2 1− 4r

₍

₎

RE

1

2 !

"

#

$

%

& =

1

3 +

1

4 −

1

6 =

1

3 +

1

12

Preço de Reserva: Conclusão

Há aumento da receita do leiloeiro desde que o preço de reserva seja escolhido otimamente.

Questão: E se dois leilões sequenciais?

RE r

_{( )}

=

1

3 + r

2

−

4

3 r

3

RE

1

2 !

"

#

$

%

& =

1

3 +

1

12

(17)

Aula 13 Teoria dos Jogos Maurício Bugarin Leilões sequenciais

Dois leilões sequenciais, independentes, com os mesmos dois jogadores em cada, mas com o valor de cada jogador sendo realizado novamente a cada leilão

Se repetirmos o leilão de primeiro preço com valor de reserva ótimo a receita esperada no leiloeiro será:

2RE

1

2 !

"

#

$

%

& =

2

3 +

1

6 RE

1

2 !

"

#

$

%

& =

1

3 +

1

12

Mecanismo alternativo: Criar assimetria entre os jogadores!

Regra de criação de assimetria: O vencedor do primeiro leilão

inicia o segundo leilão com uma vantagem g (0,1). A vantagem se traduz em uma majoração de g no valor de seu lance quando feita a comparação com o lance de seu oponente.

0

Região de vitória do jogador 1 com lance inferior a 2

1 !!

!!− ! !!

(18)

Equilíbrio de Nash Bayesiano: Segundo período

!!− !! !!!!!!!! ! !!!= !!− !! !!!!!!+ ! !!− !!= !!′!!!! !!+ ! ×!!!! !!+ ! !!− !! !_!!!_! !!! ! !!!= !!− !! !!!! !!− ! !!− !!= !!′!!!! !!− ! ×!!!! !!− ! Leilões sequenciais

Equilibrio de Nash Bayesiano: Segundo período

Buscamos um equilíbrio de Nash em estratégias lineares, ou seja, queremos determinar os parâmetro α, δ, γ, ε tais que:

!!− !!= !!′!!!! !!+ ! ×!!!! !!+ !

!!− !!= !!′!!!! !!− ! ×!!!! !!− !

!! !! = !!!+ !!

(19)

!! !! = 1 2!!− 1 3!! !! !! = 1 2!!+! 1 3!!

Note: Apesar da simetria, há perda em termos esperados para o P: Quando 1 vence: !!!! !!!!!! !!!!!! ! ! ! =1 6− 2 9!! Quando 2 vence: _! !!!!!!!!! !!!!!! ! ! ! =1 6− 2 9!! Total: 1 3− 4 9!!< 1 3

(20)

A utilidade esperada (ex-ante) no segundo período do jogador que recebe a vantagem: Do jogador em desvantagem: !!− !! !! !!!!!! !!!!!! ! ! ! =1 6+ 1 3! + 2 9!! !!− !!!! !!!!!! !!!!!! ! ! ! =1 6− 1 3! + 2 9!! Leilões sequenciais

Equilíbrio de Nash Bayesiano: Primeiro período

Agora os jogadores são simétricos.

A utilidade esperada no primeiro período do jogador 1 é:

= !!− !!+ 2 3! !!!! !! + 1 6− 1 3! + 2 9!! !!− !! + 1 6+ 1 3! + 2 9!! !!!!!! ! !!!+ 1 6− 1 3! + 2 9!! ! !_!!!_!_! !!!

(21)

CPO:

−!!!! ! + !!− ! +

2

3! !!!! ! ! = 0

Buscamos agora um equilíbrio simétrico: !! ! = !! ! = ! !

!!!!! !! = !!− ! !! + 2 3! !!− !!+ 2 3! !!!! !! + 1 6− 1 3! + 2 9!!

!!!!! !! = !!− ! !! + 2 3! !!!! !! = !! ! 2 + 2 3!!!+ ! ! = 0 ! !! = !! 2 + 2 3! ! !! = !! 2 + 2 3!

(22)

! !! =

!!

2 + 2 3!

Receita esperada do leiloeiro no primeiro período:

2 ! !! !!!!!! !! ! ! ! = 2 !! 2 + 2 3! !!!!!! !! ! ! ! =1 3+ 2 3! = 2 !! 2 + 2 3! !!!!! ! ! = 2!! ! 6 + 2 3!!! ! ! Leilões sequenciais

Equilíbrio de Nash Bayesiano: Receita esperada nos dois períodos:

Receita esperada do leiloeiro no primeiro período: 1₃+2 3!

Receita esperada do leiloeiro no segundo período: 1

3− 4 9!!

Receita esperada do leiloeiro nos dois períodos:

1 3+ 2 3! + 1 3− 4 9!!= 2 3+ 2 3! − 4 9!! Maximizada em: ! =3 4

Receita total esperada: 2₃+1 2− 1 4= 2 3+ 1 4> 2 3+ 1 6

(23)

Conclusão:

Ao forçar uma assimetria no segundo período que favorece o vencedor do primeiro leilão, o mecanismo torna a vitória no primeiro leilão ainda mais atraente!

Mas então os dois jogadores farão lances mais ousados no

primeiro leilão para aumentar suas chances de vitória e consequente vantagem no segundo leilão.

Em equilíbrio o leiloeiro ne beneficia com o aumento da competição no primeiro leilão, mesmo que haja redução da competição no segundo!