O Método do Tubo de Trajetórias para a Equação de Convecção. Parte II: Implementação Numérica

(1)

O Método do Tubo de Trajetórias para a Equação de Convecção.

Parte II: Implementação Numérica

Luciana P. M. Pena

Laboratório de Ciências Matemáticas, (LCMAT/CCT), Universidade Estadual do Norte Fluminense Darcy Ribeiro - UENF

Campos dos Goytacazes-RJ, Brasil Nélio Henderson e Eline Flores Grupo de Termodinâmica e Otimização

Instituto Politécnico, Universidade do Estado do Rio de Janeiro 28601-970, Nova Friburgo-RJ, Brasil

Resumo. Nesta Parte II, é desenvolvido

um esquema robusto e eficiente para o método do tubo de trajetórias, o qual foi formulado de uma forma geral na Parte I deste artigo. Aqui são também apresentados resultados de exemplos numéricos e algumas comparações com outras metodologias.

1. INTRODUÇÃO

Na primeira parte deste trabalho, veja [3], desenvolvemos a formulação geral do método do tubo de trajetórias destinado à resolução da equação de convecção, .( ) 0 C CV t ∂ + ∇ = ∂ , (1)

onde a função incógnita C=C X t( , ) é um escalar denotando a concentração de um traçador, X é um vetor que representa a posição e t simboliza o tempo. A função V =V X t( , ), a qual satisfaz o sistema de EDO’s

V dt dX

= , (2)

é um campo de velocidade previamente conhecido. Deduzimos o método do tubo de trajetórias utilizando os princípios básicos da mecânica dos meios contínuos, de modo que ele é Lagrangiano e conservativo. Assim, conforme mostrado na Parte I, considerando (num instante de tempo t+∆t) uma malha retangular como indicada na Figura 1, obtemos

( ) t t D n t dX t X C C ∆ + + Ω =

∫

( , ) 1 , (3) onde

∫

∆ + Ω ∆ + ≡ Ω t t dX t t é a medida de uma

célula arbitrária Ω_{t ∆}₊ _t, D_t a sua imagem mapeada para o instante anterior t e C(n+1) é o valor médio da concentração na célula Ω_{t ∆}₊ _t. Como enfatizado na Fig. 1, este mapeamento é feito seguindo-se as trajetórias do traçador no sentido reverso do tempo. Logo, o elemento D_t

não é necessariamente (apesar da ilustração na referida figura) um quadrilátero, e possivelmente encontra-se deformado com relação à Ω_{t ∆}₊ _t. Note que a formulação na Eq. (3) é totalmente explícita, uma vez que ela determina valores médios de concentração no nível t+∆t em função de valores de C no tempo anterior t.

(2)

Figura 1. Tubo de trajetória no domínio

discretizado.

Neste artigo, partindo da Eq. (3), apresentamos um dos possíveis esquemas numéricos para a formulação geral deduzida na Parte I, [3], a qual foi desenvolvida inicialmente na tese de doutorado de Sampaio, [4]. Tal esquema foi analisado e exaustivamente testado na dissertação de doutorado de Pena, [2]. Nossa abordagem baseia-se em três paradigmas fundamentais, robustez, eficiência e simplicidade.

2. ESQUEMA NUMÉRICO

Supomos, por simplicidade, que o domínio mapeado D_t (no nível tempo t) é um quadrilátero, mas não necessariamente um retângulo (veja novamente a Fig. 1). Consideramos que a trajetória de uma partícula do traçador é determinada utilizando-se o campo de velocidade V , referente ao fluido. Note que esta hipótese é bastante razoável, pois de acordo com o modelo físico adotado na Eq. (1) estamos desprezando os efeitos da difusão molecular, ou seja, estamos efetivamente considerando

( )a

V ≅V, onde V_{( )}_a denota a velocidade do traçador.

O procedimento para o cálculo da integral ( , )

t

DC X t dX

∫

é elaborado como descrito a seguir. O primeiro passo é constituído de uma etapa denominada de “etapa de backtracking”. Nessa etapa realizamos um processo retroativo no tempo ao longo das trajetórias. Efetivamente, os pontos X₁, X₂, X₃

e

X

₄ (os vértices do suposto quadrilátero

D

_t)

são obtidos resolvendo-se o sistema de equações diferenciais ordinárias representado em Eq. (2), com condições finais do tipo

X t

( + ∆ =

t

)

X

. Isso é feito para cada vértice

X

~

₁

,

X

~

₂

,

X

~

₃ e X~₄

de Ω_{t ∆}₊ _t. Esse passo determina completamente o (suposto) quadrilátero mapeado,

D

_t. Depois, a integral C X t dX t D ) , (

∫

é aproximada através de uma estratégia de integração eficiente. Essa segunda etapa será denominada de “etapa de integração”.

No presente trabalho, consideramos somente exemplos bidimensionais. Assim, escreveremos X =(x,y) e _{V =}(_u,v)_{. Em} todos os exemplos, usaremos uma grade de células centradas possuindo N ×_x N_y blocos de tamanho uniforme, com espaçamentos

x

N

L

x

=

∆ e ∆y =L_y N_y , onde

L

_x e L_y

são as dimensões do domínio retangular nas direções

x

e y, respectivamente, veja a Fig. 2.

Figura 2. Grade de células centradas.

Deste modo, no instante t+∆t, a variável

C

_i(_,n_j+1) denotará o valor médio de C na célula ( , )i j

[

_{1 2}

,

_{1 2}

] [

_{1 2}

,

_{1 2}

]

t+∆t

x

i−

x

i+

y

j−

y

j+

Ω

=

×

.

Aqui, tal quantidade efetivamente representará o valor da concentração no centro de Ω( jt ∆i+, )t. Na

(3)

etapa de backtracking, resolveremos o sistema de equações diferenciais indicado em Eq. (2), sujeito às condições finais dadas por x(t+∆t)=~x e

y t t

y( +∆ )=~. Isso é feito através do método de Runge-Kutta de quarta ordem.

Apesar da possibilidade de empregarmos métodos de integração em duas variáveis, no entanto, objetivando a eficiência e simplicidade do esquema, a integral dupla de

) , (X t

C sobre o domínio

D

_t será calculada como segue,

Λ

≅

∫

C

X

t

dX

C

t D

ˆ

)

,

(

, (4)

sendo C =ˆ C(Xˆ,t), onde Xˆ é um ponto em

D

_t obtido por backtracking do centro da célula Ω( jt ∆i+, )t, e Λ é a medida de uma área

apropriadamente escolhida, a ser descrita abaixo. Após a determinação de Xˆ , o cálculo de

) , ˆ ( ˆ _C _X _t

C = solicita uma interpolação bidimensional. Isso é exigido pois esse ponto não recai, necessariamente, no centro de uma célula da grade, referente ao instante

t

, veja Fig. 3. Empregamos uma interpolação 2-D com pesos. Trata-se de uma interpolação robusta que utiliza o valor da concentração definido no centro da célula que contém o ponto X =ˆ (xˆ,yˆ) e os valores definidos em cada célula vizinha ao bloco que possui o referido ponto, veja a Fig.4.

Figura 3. O backtracking e a localização do

ponto Xˆ .

Assim, se os nós

(

x

_i

,

y

_i

)

representam (de uma forma geral) os centros das células indicadas na Fig. 4, então a interpolação bidimensional com pesos pode ser escrita na seguinte forma:

Figura 4. Exemplos de pontos usados na

interpolação 2-D com pesos.

∑

− − ≅ i i i i i d d C C ₁ 1 ˆ _, ₍₅₎ onde as distâncias 2 2

)

ˆ

(

)

ˆ

(

_i _i i

x

y

d

=

−

+

−

são os pesos considerados.

Finalmente para completar o cálculo de

∫

t D

dX

t

X

C

(

,

)

é necessário determinar a área Λ indicada na Eq. (4). Aqui, de acordo com a Fig. 1, suporemos que Λ é a área do quadrilátero cujo os vértices são os pontos

X =

₁

(

x

₁

,

y

₁

)

,

)

,

(

₂ ₂ 2

x

y

X =

,

X =

₃

(

x

₃

,

y

₃

)

e

)

,

(

₄ ₄ 4

x

y

X =

, os quais já foram obtidos por backtracking. Assim sendo, podemos calcular Λ pela soma dos seguintes determinantes,

1

2

1

2

1

4 4 3 3 2 2 4 4 2 2 1 1

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

+

=

Λ

. (6)

(4)

3. RESULTADOS NUMÉRICOS

Com objetivo comparar o método do Tubo de Trajetórias com outras metodologias, optamos por dois métodos descritos e analisados no artigo de Giraldo e Neta, [1]. Nossa escolha reside em alguns pontos fundamentais. O primeiro refere-se ao fato dos códigos computacionais dos algoritmos analisados por Giraldo e Neta (escritos em FORTRAN 77) estarem disponíveis, sendo de fácil acesso no

endereço eletrônico

http://math.nps.navy.mil/~bneta. O segundo ponto tem haver com os tipos de metodologias disponibilizadas por esses autores. Foi desenvolvido um código de um método Euleriano que utiliza uma estratégia sofisticada de elementos finitos, e um outro método que combina a mesma discretização em elementos finitos com uma abordagem Lagrangiana para a equação de convecção. Assim, podemos comparar o método do Tubo de Trajetórias com um método do tipo Euleriano, além de compará-lo com um outro método típico da sua própria classe.

4. Testes Comparativos

Nos testes comparativos selecionamos um problema proposto por Leveque (1996). Trata-se da rotação de um sólido definido no domínio

B =

[

0, 1

] [

×

0, 1

]

. O corpo sólido tem seu estado inicial definido pela seguinte função:

100 ( , , 0) [1 cos( ( , ))] 2 C x y = +

π

r x y , (7) onde 2 2 0 0

( , )

min( (

_c

)

(

_c

) , ) /

r x y

=

x

−

x

+

y

−

y

r

,(8) sendo

x =

c

0.25

,

y =

c

0.5

e

r =

0

0.2

.

O corpo é posto a girar no sentido anti-horário com velocidade angular

ω

, em torno de um eixo fixo que passa através do ponto

(

x

₀

,

y

₀

)

∈

B

e tem direção normal ao plano xy. Os valores que representam a velocidade linear

nas direções

x

e y são dados, respectivamente, pelas relações:

(

y

₀

)

u

=

−

ω

−

, (9)

(

x −

x

₀

)

=

ω

v _, ₍₁₀₎ sendo,

x

₀

=

y

₀

=

0.5

e

ω

=1.

Com intuito de comparar a solução numérica com a solução exata dada por

( , , _f) ( , , 0)

C x y t =C x y foram especificados

cinco diferentes valores para k: 1, 2, 3, 4 e 5, sendo tf =kp com p=2

π

/

ω

(o tempo de uma

revolução completa do corpo).

A análise comparativa realizada aqui leva em consideração o estudo erro

ε

₂, definido por:

(

)

(

)

2 numérica analítica , , , 2 _analítica 2 , , i j i j i j i j i j C C C

ε

=

∑

−

∑

(11)

Além disso, comparamos também o erro relativo de conservação de massa definido por:

. ( ) ( , ) , , .

( , , )

teor n i j i j t i j CM teor

C

x y t dX

C

x y t dX

ε

Ω Ω

−

Ω

≡

∑

∫

.(12)

onde a integral teor.

( , , )

B

C

x y t dX

∫

representa a massa exata obtida com auxílio da solução teórica e o somatório ( )_, ( , )

, n i j i j t i j C Ω

∑

representa a massa total calculada com a solução numérica, ambas tomadas sobre o domínio B.

A figura 5 mostra a solução analítica, em qualquer instante de tempo.

Figura 5. Superfície e curvas de nível da solução

(5)

Tabela 1 – Erros, máximos e mínimos de

concentração e tempo computacional para cinco diferentes valores de k (Número de Revoluções), com o método Euleriano semi-implícito.

k 2

ε

_CM

C

_mínimo

C

_máximo 1 0.04836921 -0.00020136 -2.81901967 100.07119 2 0.08378683 0.00034662 -5.47062785 102.04795 3 0.11448035 0.00040750 -5.58806680 101.53467 4 0.14307590 0.00081586 -6.70614846 100.68193 5 0.17108887 0.00050666 -8.02796066 100.71626

Figura 6. Superfícies e curvas de nível das

soluções numéricas obtidas com o método Euleriano semi-implícito (

θ

=

1 2

), proposto por Giraldo e Neta, para três diferentes valores de k: 1, 3 e 5, usando ∆ =t 0.05p e ∆ = ∆ =x y 0.03, com

C ≈

_R

0.5

.

concentração e tempo computacional para cinco diferentes valores de k, com o método semi-Lagrangiano semi-implícito. k 2

ε

_CM

C

_mínimo

C

_máximo 1 0.07811152 -0.00082094 -0.55687647 99.40775 2 0.15453701 -0.00068887 -0.70603817 98.24492 3 0.22991706 -0.00045521 -0.80867269 99.09399 4 0.30397341 -0.00018814 -0.91112843 99.15157 5 0.37643841 0.00002509 -1.02841657 98.41339

soluções numéricas obtidas com o método semi-Lagrangiano semi-implícito (

θ

=

1 2

), proposto por Giraldo e Neta, para três diferentes valores de

k: 1, 3 e 5, usando ∆ =t 0.02p e 0.03

x y

(6)

concentração e tempo computacional para cinco diferentes valores de k, com o método do Tubo de Trajetórias. k 2

ε

_CM

C

_mínimo

C

_máximo 1 9.0012956E-08 0.00022293 1.90983E-13 99.574735 2 1.7882476E-07 0.00044557 1.90898E-13 99.228029 3 2.6673821E-07 0.00066816 1.90813E-13 98.88279 4 3.5385191E-07 0.00089070 1.90728E-13 98.539012 5 4.4027660E-07 0.00111319 1.90643E-13 98.196691

soluções numéricas obtidas com o método semi-Lagrangiano semi-implícito (

θ

=

1 2

), proposto por Giraldo e Neta, para três diferentes valores de

k: 1, 3 e 5, usando ∆ =t 0.02p e 0.03

x y

∆ = ∆ = , com

C ≈

_R

2.0

.

5. CONCLUSÕES

Comparações numéricas com duas metodologias diferentes, uma Euleriana e a outra semi-Lagrangiana, demonstram a superioridade do método proposto.

Os resultados computacionais confirmaram que o esquema analisado apresenta na prática uma boa propriedade conservativa, estabilidade e precisão numérica, e eficiência suficiente para ser empregado em problemas práticos, modelados pela equação de convecção.

Em resumo, a análise experimental desenvolvida neste artigo ressalta a superioridade da solução gerada pelo método do Tubo de Trajetórias.

6. REFERÊNCIAS

[1] Giraldo, F. X. e Neta, B., A Comparison of a Family of Eulerian and Semi-Lagrangian Finite Element Method for the Advection-Diffusion Equation, In Computer Modelling

of Seas and Coastal Regions Iii, J. R. Acinas and C. A. Brebbia (eds), Computational Mechanics Publications, Southampton, U. K., (1997).

[2] Pena, L. P. M., Análise de um Método para a Equação de Convecção Formulado à Luz da Mecânica dos Meios Contínuos com Aplicações a Advecção de Anomalias Oceânicas e Meteorológicas, Tese de Doutorado, IPRJ-UERJ, (2006).

[3] Pena, L. P. M., Sampaio M., Henderson, N. e Platt, G. M., O Método do Tubo de Trajetórias para a Equação de Convecção. Parte I: Formulação, artigo completo a ser submetido ao XXX CNMAC, Florianópolis, Santa Catarina, (2007).

[4]

Sampaio, M., O Método do Tubo de Trajetórias: Uma Abordagem Semi– Lagrangiana para Equações de Convecção-Difusão, Tese de Doutorado, IPRJ-UERJ, (2006).