Capítulo Produto interno

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Cap´ıtulo 1.3 - Produto interno

1.3.1 - Produto interno

1.3.2 - Norma

Al´em da soma e do produto por um escalar, existe ainda uma outra opera¸c˜ao entre dois elementos do Rn

de muita importância em aplica¸cões em economia e administra¸cão: o produto interno ou produto escalar (que não deve ser confundido com o produto por um escalar, visto nos cap´ıtulos passados).

1.3.1 - Produto interno

Para explicar o produto interno, comecemos considerando somente o espa¸co R2

. O produto interno entre dois elementos A = (a1, a2) e B = (b1, b2) de R2, tamb´em chamado de produto escalar, ´e dado por

hA, Bi = h(a1, a2), (b1, b2)i = a1b1+ a2b2 .

Observa¸c˜_{ao: além do s´ımbolo hA, Bi, o s´ımbolo A · B também é usado para designar o produto interno.} Exemplo 1: calcule o produto interno entre (2, 1) e (3, 4).

Solu¸c˜ao: h(2, −1), (3, 4)i = 2 · 3 + 1 · 4 = 6 + 4 = 10.

Exemplo 2: _{calcule o produto interno entre (−1, 0) e (2, −6).}

Solu¸c˜ao: h(−1, 0), (2, −6)i = −1 · 2 + 0 · (−6) = −2.

Note que o resultado do produto interno é sempre um escalar (um número real). Este, inclusive, é o motivo do produto interno também ser chamado produto escalar. O nome produto interno é porque ele é o resultado do produto entre dois elementos do R2

(ou, no caso geral, do Rn_).

Tamb´em podemos definir um produto interno para o R3

:

hA, Bi = h(a1, a2, a3), (b1, b2, b3)i = a1b1+ a2b2+ a3b3 .

A generaliza¸c˜ao para o Rn_{´e dada pela defini¸c˜}_{ao a seguir.}

Defini¸c˜ao 1 - O produto interno entre dois elementos A = (a1, a2, · · · , an) e B = (b1, b2, · · · , bn) do

Rn´e definido como hA, Bi = h(a1, a2, · · · , a_n), (b1, b2, · · · , b_n)i = a1b1+ a2b2+ · · · a_nb_n.

Exemplo 3: _{calcule o produto interno entre (2, 1, −1) e (2, 4, −2).}

Solu¸c˜ao: h(2, 1, −1), (2, 4, −2)i = 2 · 2 + 1 · 4 + (−1) · (−2) = 4 + 4 + 2 = 10.

a) Um exemplo em administra¸c˜ao

Um significado econˆomico para o produto interno pode ser dado pelo seguinte exemplo: considere uma loja de roupas que vende cinco tipos diferentes de cal¸cas jeans. O estoque da loja desses produtos pode ser dado

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por E = (21, 14, 10, 9, 8), um elemento do R , o que significa que h´a 21 cal¸cas do primeiro tipo, 14 do segundo tipo, 10 do terceiro, 9 do quarto e 8 do quinto tipo.

Um outro elemento do R5

, que podemos chamar de vetor, indica o pre¸co de cada tipo de cal¸ca que está em estoque na loja. Utilizando a mesma ordem do vetor estoque, podemos definir o vetor pre¸co dado por P = (110, 130, 145, 180, 230), onde o pre¸co de cada tipo de cal¸ca é expresso em reais. Caso a gerente da loja queira determinar o valor total do estoque em termos de reais, ela pode fazê-lo executando a opera¸cão

E · P = (21, 14, 10, 9, 8) · (110, 130, 145, 180, 230) = 21 · 110 + 14 · 130 + 10 · 145 + 9 · 180 + 8 · 230 = 9040 , o que é exatamente o produto interno dos dois vetores. Esses cálculos costumam ser feitos em planilhas de cálculo, em geral utilizando fun¸cões como “somarproduto”.

b) Propriedades

Dados os elementos A, B e C de um espa¸co Rn_{e escalares α ∈ R, ent˜ao:}

P1) hA, Bi = hB, Ai (comutativa);

P2) hA, B + Ci = hA, Bi + hA, Ci (distributiva com rela¸cão à adi¸cão); P3) hαA, Bi = α hA, Bi, α ∈ R (fatora¸cão dos escalares);

Essas propriedades s˜ao provadas na Leitura Complementar 1.3.1.

1.3.2 - Norma

A norma de um elemento V do Rn _est´_{a ligada `}_{a representa¸c˜}_{ao vetorial desse elemento e ´e definida a seguir.}

Defini¸c˜ao 2 - A norma de um elemento elemento V = (v1, v2, · · · , v_n) ∈ Rn ´e a raiz quadrada do

produto interno dele com ele mesmo, isto ´e, ||V || =phV, V i.

Para um elemento V = (v1, v2) do R2, por exemplo, a norma fica ||V || =ph(v1, v2), (v1, v2)i =pv12+ v 2 2.

Exemplo 1: _{calcule a norma do vetor V = (−1, 3).}

Solu¸c˜ao: ||V || =p(−1)2_{+ 3}2₌√_{1 + 9 =}√_10.

Exemplo 2: _{calcule a norma do vetor V = (1, −4, 2).}

Solu¸c˜ao: ||V || =p12

+ (−4)2_{+ 2}2₌√_{1 + 16 + 4 =}√_21.

a) Aplica¸c˜ao em Estat´ıstica

Quando tomamos medidas relativas a uma determinada popula¸cão, podemos calcular medidas estat´ısticas como a média e o desvio padrão. A média mede o valor médio da totalidade dos dados e o desvio padrão é uma medida do quanto esses dados estão afastados da média.

Por exemplo, foram coletadas as idades de 5 pessoas em uma entrevista para um emprego e os resultados foram 28, 25, 23, 21 e 32 anos de idade. Essas idades podem ser organizadas em um elemento do R5

dado por X = (28, 25, 23, 21, 32). A m´edia das idades desses cinco entrevistados ´e dada por

¯

X = 28 + 25 + 23 + 21 + 32

5 =

129

5 = 25, 8 . Em geral, a m´edia de n dados organizados em um vetor (elemento do Rn_{) X = (x}

1, x2, · · · , x_n) ´e dada por

¯ X = x1+ x2+ · · · + xn n = 1 n n X i=1 xi .

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O desvio padrão desses dados é a raiz quadrada da soma dos quadrados das diferen¸cas entre os dados coletados e a sua média dividida pelo número de dados obtidos, como no cálculo feito a seguir:

σ = r (28 − 25, 8)2 + (25 − 25, 8)2 + (23 − 25, 8)2 + (21 − 25, 8)2 + (32 − 25, 8)2 5 = = r 2, 52 + (−0, 8)2 + (−2, 8)2 + (−4, 8)2_{+ 6, 2}2 5 = r 6, 25 + 0, 64 + 7, 84 + 23, 04 + 38, 44 5 = = r 76, 21 5 =p15, 242 ≈ 3, 90 .

Se construirmos o vetor diferen¸ca D = X − ¯X = (28 − 25, 8, 25 − 25, 8, 23 − 25, 8, 21 − 25, 8, 32 − 25, 8) = = (2, 5, −0, 8, −2, 8, −4, 8, 6, 2), ent˜ao o desvio padr˜ao pode ser escrito σ = ||D||√

5 . De modo geral, o desvio padr˜ao ´e definido como

σ = v u u t 1 n n X i=1 (xi− ¯x)2 ,

onde xi são os n dados e ¯x é a média deles. Definido o vetor D = (x1− ¯x, x2− ¯x, · · · , x_n− ¯x), podemos escrever

o desvio padr˜ao como

σ = ||D||√ n ,

ou seja, o desvio padrão é proporcional à norma do vetor diferen¸ca entre os dados obtidos e a sua média. Uma outra aplica¸cão da norma é no chamado método dos m´ınimos quadrados para o ajuste de curvas. Essa aplica¸cão pode ser vista na Leitura Complementar 1.3.2.

b) Significado geom´etrico

Qual ´e o significado da norma? Para descobri-lo, consideremos a representa¸c˜ao vetorial de um elemento V = (vx, vy) do R

2

(primeira figura a seguir). O m´_{odulo |V | desse vetor, que é o comprimento do segmento de} reta que vai da origem até (vx, vy), pode ser calculado utilizando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo

ao lado da primeira figura.

x y vx vy b vx vy |V | ·

Pelo teorema de Pit´agoras,

|V |2 = v2 x+ v 2 y ⇔ |V | = ± q v2 x+ vy2 .

Como o módulo de um vetor é sempre um número positivo ou nulo, então |V | =qv2

x+ v 2 y .

Note que a fórmula calculada é exatamente a defini¸cão da norma do elemento V = (vx, vy) do R2.

Veremos agora o que acontece se calcularmos o m´odulo de um vetor V = (vx, vy, vz), que ´e representado no

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x y vx vy vz V r b · · _r vz |V | · vx vy r ·

Podemos identificar dois triângulos retângulos na primeira figura, representados acima e ao lado. O primeiro triângulo retângulo é formado pelo vetor V e pelos lados vz e r. O segundo triângulo retângulo é formado no

plano xy e tem lados vx, vy e r.

De acordo com o Teorema de Pit´agoras,

|V |2 = r2+ v2_z.

Agora, temos que determinar r. De acordo com o teorema de Pitágoras, aplicado ao triângulo retângulo que se encontra no plano xy,

r2

= v2 x+ v

2 y.

Juntando as duas f´ormulas, temos, ent˜ao, que |V |2 = v2 x+ v 2 y+ v 2 z ⇔ |V | = ± q v2 x+ vy2+ v2z.

Como somente um valor positivo é admiss´ıvel para um módulo, temos, então, |V | = q v2 x+ v 2 y+ v 2 z = q (vx, vy, vz) · (vx, vy, vz) =phV, V i ,

que ´e novamente a defini¸c˜ao da norma de V .

Dada essa analogia entre a norma de um elemento do R2

e o m´odulo de um vetor no plano e entre a norma de um elemento do R3

e o m´odulo de um vetor no espa¸co, podemos definir o m´odulo de um vetor associado ao elemento V = (v1, v2, · · · , v_n) do Rn como sendo a norma desse vetor.

c) Propriedades da norma

As propriedades ser˜ao enunciadas agora para elementos do Rn_{, que designaremos X = (x}

1, x2, · · · , x_n) e

Y = (y1, y2, · · · , y_n) e s˜ao provadas na Leitura Complementar 1.3.1.

N1) ||X|| ≥ 0 (a norma ´e sempre positiva).

N2) ||X|| = 0 ⇔ X = (0, 0, · · · , 0) (a norma só é nula quando o próprio vetor for nulo). N3) ||αX|| = |α| ||X|| (norma do produto de um vetor por um escalar).

N4) se X 6= (0, 0, · · · , 0), o vetor uX =

X

||X|| tem norma 1 (uX ´e chamado vetor unit´ario). N5) ||X + Y ||2

= ||X||2

+ 2 hX, Y i + ||Y ||2

(quadrado da norma da soma de dois vetores). N6) ||X − Y ||2

= ||X||2

− 2 hX, Y i + ||Y ||2

(quadrado da norma da subtra¸c˜ao entre dois vetores).

O próximo cap´ıtulo trata de mais algumas rela¸cões entre o produto interno e conceitos como ortogonalidade entre vetores, a proje¸cão de um vetor sobre outro vetor e o ângulo entre vetores. A Leitura Complementar 1.3.3 trata de uma outra opera¸cão entre vetores: o produto vetorial.

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Resumo

• Produto interno. O produto interno (ou produto escalar) entre dois elementos A = (a1, a2, · · · , a_n)

e B = (b1, b2, · · · , b_n) do Rn´e definido como

hA, Bi = h(a1, a2, · · · , a_n), (b1, b2, · · · , b_n)i = a1b1+ a2b2+ · · · a_nb_n .

• Norma. A norma de um elemento V = (v1, v2, · · · , v_n) ∈ Rn´e a raiz quadrada do produto interno

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Leitura Complementar 1.3.1 - Teoremas e

demonstra¸c˜

oes

Esta leitura complementar ser´a usada para demonstrar as propriedades do produto interno e da norma. Come¸camos pelas propriedades do produto interno.

a) Propriedades do produto escalar

Vamos, agora, provar as propriedades do produto interno mencionadas no texto principal deste cap´ıtulo. Dados os elementos X = (x1, x2, · · · , x_n), Y = (y1, y2, · · · , y_n) e Z = (z1, z2, · · · , z_n) do Rn, temos as seguintes

propriedades.

P1)_{hX, Y i = hY, Xi .}

Demonstra¸c˜ao: hX, Y i = x1y1+ x2y2+ · · · + xnyn = y1x1+ y2x2+ · · · + ynxn = hY, Xi.

P2)_{hX, Y + Zi = hX, Y i + hX, Zi.}

Demonstra¸c˜ao: temos

hX, Y + Zi = h(x1, x2, · · · , xn), (y1, y2, · · · , yn) + (z1, z2, · · · , zn)i =

= h(x1, x2, · · · , xn), (y1+ z1, y2+ z2, · · · , yn+ zn)i = x1(y1+ z1) + x2(y2+ z2) + · · · + xn(yn+ zn) =

= x1y1+ x1z1+ x2y2+ x2z2+ · · · + xnyn+ xnzn = x1y1+ x2y2+ · · · + xnyn+ x1z1+ x2z2+ · · · + xnzn =

= hX, Y i + hX, Zi .

P3)_{hαX, Y i = α hX, Y i , α ∈ R.}

Demonstra¸c˜ao: temos

hαX, Y i = h(αx1, αx2, · · · , αxn), (y1, y2, · · · , yn)i = αx1y1+ αx2y2+ · · · + αxnyn =

= α(x1y1+ x2y2+ · · · + xnyn) = α hX, Y i .

b) Propriedades da norma

Vamos, agora, provar as propriedades da norma mencionadas no texto principal deste cap´ıtulo. Dados os elementos X = (x1, x2, · · · , xn) e Y = (y1, y2, · · · , yn) do Rn, temos as seguintes propriedades.

N1)_{||X|| ≥ 0.} Demonstra¸c˜ao: ||X|| =phX, Xi =√x1x1+ x2x2+ · · · + xnxn=px21+ x 2 2+ · · · + x 2 n ≥ 0 . N2)_{||X|| = 0 ⇔ X = (0, 0, · · · , 0).} Demonstra¸c˜ao: ||X|| = 0 ⇔ phX, Xi = 0 ⇔ px2 1+ x 2 2+ · · · + x 2 n = 0 ⇔ x 2 1+ x 2 2+ · · · + x 2 n = 0, o que

só é poss´ıvel se x1 = x2 = · · · = xn = 0, o que significa que X = (0, 0, · · · , 0). Se X = (0, 0, · · · , 0), então

x2 1+ x 2 2+ · · · + x 2 n= 0 ⇔ hX, Xi = 0 ⇔ ||X|| = 0. N3)_{||αX|| = |α| ||X|| , α ∈ R.}

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Demonstra¸c˜ao: temos ||αX|| =ph(αx1, αx2, · · · , αxn), (αx1, αx2, · · · , αxn)i = q α2_x2 1+ α 2_x2 2+ · · · + α 2_x2 n = = q α2_(x2 1+ x 2 2+ · · · + x 2 n) = √ α2 q x2 1+ x 2 2+ · · · + x 2 n = |α| ||X|| . N4)_{se X 6= (0, 0, · · · , 0), o vetor u}X = X ||X|| tem norma 1.

Demonstra¸c˜ao: ||uX|| =

X ||X|| = 1 ||X||X = 1 ||X|| ||X|| = 1 ||X||||X|| = 1 . N5)_{||X + Y ||}2 = ||X||2 + 2 hX, Y i + ||Y ||2 .

Demonstra¸c˜ao: expandindo a primeira express˜ao, temos ||X + Y ||2 = hX + Y, X + Y i = hX, Xi + hX, Y i + hY, Xi + hY, Y i = ||X||2 + 2 hX, Y i + ||Y ||2 . N6)_{||X − Y ||}2 = ||X||2 − 2 hX, Y i + ||Y ||2 .

Demonstra¸c˜ao: expandindo a primeira express˜ao, temos

||X − Y ||2 = hX − Y, X − Y i = hX, Xi + hX, −Y i + h−Y, Xi + h−Y, −Y i = = hX, Xi − hX, Y i − hY, Xi + hY, Y i = ||X||2

− 2 hX, Y i + ||Y ||2

.

c) Desigualdade de Cauchy-Schwarz

Veremos aqui como provar a desigualdade de Cauchy-Schwarz, que ´e um importante teorema envolvendo a norma de um vetor. Esse teorema ´e enunciado e provado a seguir.

Teorema 1 - desigualdade de Cauchy-Schwarz - dados X, Y ∈ Rn_{, |hX, Y i| ≤ ||X|| ||Y ||.}

Demonstra¸c˜ao: para todo α ∈ R, ||X + αY || ≥ 0 (propriedade N1). Portanto,

phX + αY, X + αY i ≥ 0 ⇔ hX + αY, X + αY i ≥ 0 ⇔ hX, Xi + hX, αY i + hαY, Xi + hαY, αY i ≥ 0 ⇔ ⇔ hX, Xi + α hX, Y i + α hY, Xi + α2

hY, Y i ≥ 0 ⇔ ||X||2

+ 2α hX, Y i + α2

||Y ||2

≥ 0 . Esta é uma inequa¸cão para α e significa que a parábola p(α) = ||X||2

+ 2α hX, Y i + α2

||Y ||2

tem que estar toda acima, ou toda abaixo, ou sobre o eixo horizontal (em que p = 0). Isto significa que não há ra´ızes reais para a equa¸cão ||X||2

+ 2α hX, Y i + α2

||Y ||2

= 0 ou que essa raiz é única, o que só é poss´ıvel se ∆ = (2 hX, Y i)2− 4||Y ||2 ||X||2 ≤ 0 ⇔ (2 hX, Y i)2≤ 4||Y ||2 ||X||2 ⇔ 4 (hX, Y i)2≤ 4||X||2 ||Y ||2 = (hX, Y i)2≤ (||X|| ||Y ||)2 .

Como ambos os lados desta inequa¸c˜ao s˜ao positivos, isto significa que |hX, Y i| ≤ ||X|| ||Y ||, o que prova o teorema.

Augustin-Louis Cauchy (1789-1857): matemático francês responsável pela formula¸cão mais precisa do conceito de limites e por várias contribui¸cões de fundamental importância na teoria de fun¸cões de variáveis complexas e em equa¸cões diferenciais. Cauchy teve uma infância atribulada, tendo vivido na época da Revolu¸cão Francesa. Trabalhou como engenheiro para a marinha de Napoleão e teve várias tentativas de obter posi¸cões em universidades recusadas, muitas vezes por motivos pol´ıticos. Católico devoto, teve atritos com seus colegas partidários do ate´ısmo. Quando o rei da Fran¸ca voltou ao poder, recusou-se a jurar lealdade e perdeu seu emprego, retornando ao seu trabalho após o rei ter sido novamente deposto.

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Karl Hermann Amandus Schwarz (1864-1951): inicialmente interessado em Qu´ımica, Schwarz ingressou na universidade para estudar esse campo da ciência. No entanto, alguns de seus professores, percebendo a sua voca¸cão em matemática, o convenceram a mudar o assunto de seus estudos. Schwarz trabalhou em Göttingen e em Berlim (Alemanha) no campo da Análise Complexa e foi membro da Academia Real. Além de matemático, ele também desenvolveu alguns trabalhos voluntários: foi capitão da Brigada Voluntária de Bombeiros local e também auxiliava no fechamento das portas dos trens na esta¸cão ferroviária local.

d) Desigualdade triangular

Veremos agora como provar um outro teorema que apresenta uma propriedade importante da norma de um vetor: a chamada desigualdade triangular (tamb´em conhecida como teorema de Minkowski). Esse teorema ´e enunciado e provado a seguir.

Teorema 2 - desigualdade triangular - dados dois vetores X e Y , ||X + Y || ≤ ||X|| + ||Y ||.

Demonstra¸c˜ao: da propriedade N5 da norma, temos que ||X +Y ||2

= ||X||2

+ 2 hX, Y i+||Y ||2

. Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, |hX, Y i| ≤ ||X|| ||Y ||, de modo que

||X + Y ||2 = ||X||2 + 2 hX, Y i + ||Y ||2 ≤ ||X||2 + 2||X|| ||Y || + ||Y ||2 = (||X|| + ||V ||)2 . Portanto, ||X +Y ||2

≤ (||X|| + ||V ||)2. Como ambos os lados s˜ao positivos, isto significa que ||X +Y || ≤ ||X||+||V ||, o que prova o teorema.

Exemplo 1: verifique a desigualdade triangular para os vetores X = (2, 4) e Y = (3, 2).

Solu¸c˜ao: primeiro, calculamos X + Y = (5, 6). Agora, calculamos as diversas normas: ||X|| =√4 + 16 =√20 , ||Y || =√9 + 4 =√13 ,

||X + Y || =√25 + 36 =√61 . Substituindo na desigualdade triangular, obtemos

||X + Y || ≤ ||X|| + ||Y || ⇔√61 ≤√20 +√13 .

Como √61 ≈ 7, 81 e √20 +√13 ≈ 4, 47 + 3, 60 = 8, 07, a desigualdade ´e verificada.

A desigualdade triangular fica mais evidente se desenharmos os vetores X, Y e a soma deles, como no gr´afico ao lado. Claramente, a soma dos comprimentos dos dois vetores ´e maior que o comprimento da soma deles.

X

Y

X + Y

Observa¸cão: observando a figura do exemplo 1, podemos ver que a desigualdade triangular estabelece uma rela¸cão entre os três lados de um triângulo, de onde se entende a origem do seu nome.

Hermann Minkowski (1864-1909): nasceu na Lituânia, naquela época parte do Império da Rússia, de descendên-cia polonesa e judia. Estudou na Alemanha e foi professor em Bonn, Götttingen, Königsberg, na Alemenha, e em Zürich, na Su´ı¸ca, onde foi professor do f´ısico Albert Einstein. Trabalhou principalmente em geometria e desenvolveu a geometria quadridimensional do espa¸co-tempo da Teoria da Relatividade de Einstein.

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Leitura Complementar 1.3.2 - M´

etodo dos m´ınimos

quadrados

Em ciências como a estat´ıstica, a f´ısica, a biologia, a economia e muitas outras, é comum a coleta de dados relacionados a algum fenômeno, como o desenvolvimento de uma determinada popula¸cão com rela¸cão ao tempo. Em diversas ocasiões, é necessário ajustar uma curva teórica a dados experimentais quando se deseja testar uma teoria ou explicar um certo fenômeno. Veremos aqui um método para fazer isto, chamado método dos m´ınimos quadrados.

Consideremos, por exemplo, o primeiro gráfico a seguir. Trata-se de um conjunto de pontos que se assemelha a diversos pontos de uma reta. No entanto, é imposs´ıvel tra¸car uma reta que passe por todos os pontos do gráfico. Como podemos determinar qual a reta mais adequada a esse conjunto de pontos? Existem diversas formas de fazê-lo, porém uma é mais comumente utilizada: a dos m´ınimos quadrados.

x y 0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 b b b b b b x y 0 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 b b b b b b

Para entender esse critério, note que existem distâncias entre a reta teórica e os pontos dados, sendo que algumas vezes a reta está abaixo do ponto dado e outras vezes, está acima deste. Se forem somadas essas diferen¸cas, pode haver o cancelamento de algumas. Portanto, tal soma não pode ser usada como uma medida do quão inadequada a reta é com rela¸cão ao conjunto de pontos. Por exemplo, as diferen¸cas entre os pontos, (xi, yi), i = 1, . . . , 6, e as coordenadas dos pontos equivalentes na reta usada, (xi, y(xi)), são dados na tabela a

seguir para a reta cuja equa¸c˜ao ´e y = 0, 65x + 1, 3. xi yi y(xi) yi− y(xi) 0, 3 1, 1 1, 495 _{−0, 395} 0, 5 1, 9 1, 625 0, 275 1, 6 2, 1 2, 34 _{−0, 24} 2 3, 4 2, 6 0, 8 4, 2 3, 7 4, 03 _{−0, 33} 5, 4 5, 5 4, 81 0, 69

A soma desses erros ´e dada por

s = −0, 395 + 0, 275 − 0, 24 + 0, 8 − 0, 33 + 0, 69 = 0, 8 . Vê-se que, embora haja uma discordância grande entre a reta e os pontos, ela não aparece na medida da soma dos erros.

No entanto, se tomarmos o quadrado de cada diferen¸ca e somarmos esses quadrados, teremos uma medida confiável, pois um número real ao quadrado é sempre positivo. No exemplo em questão, teremos

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A letra E (de erro) ´e comumente utilizada para designar essa soma.

Observa¸cão: também poder´ıamos ter escolhido como fator de medida do erro a soma dos módulos das diferen¸cas entre a reta e os pontos. Isto determinaria um outro método, que não é tão utilizado devido a dificuldades em derivar a fun¸cão módulo.

O método dos m´ınimos quadrados consiste em escolher a reta que minimiza a soma dos quadrados desses erros. Para utilizá-lo, vamos come¸car pela seguinte fórmula para o erro:

E = n X i=1 [y(xi) − yi] 2 ,

onde y(xi) é o valor teórico, dado pela reta calculada no ponto xi, e yié o valor experimental. Como a equa¸cão

de uma reta é dada por y(xi) = axi+ b, onde a e b são constantes, essa fórmula de erro fica

E = n X i=1 (axi+ b − yi) 2 .

Para minimizarmos o erro, devemos escolher os valores de a e b que minimizam a fun¸c˜ao dada, mas isto ser´a feito mais tarde neste curso, quando for aprendido o conceito de derivadas parciais.

O que ´e do nosso interesse no momento ´e que podemos escrever E = n X i=1 [y(xi) − yi] 2 = hD, Di = ||D||2 ,

onde D ´e o vetor diferen¸ca dado por D = (y(x1) − y1, y(x2) − y2, · · · , y(x_n) − y_n)), o que mostra que a fun¸c˜ao

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Leitura Complementar 1.3.3 - Produto vetorial

O produto vetorial é o segundo tipo de produto entre vetores e resulta em um outro vetor. Embora ele seja de muita importância para a F´ısica e a Engenharia, pois ele ajuda na dinâmica de rota¸cões, o produto vetorial praticamente não é utilizado nas áreas de Economia e de Administra¸cão. Por isso, ele está sendo visto em uma leitura complementar. No entanto, o produto vetorial pode ser utilizado na melhor compreensão de aspectos da Dinâmica Econômica, que estuda a evolu¸cão no tempo de sistemas econômicos.

O produto vetorial é uma opera¸c˜_{ao X × Y entre dois vetores} X e Y que resulta em um vetor. Esta opera¸cão é definida pela seguinte fórmula:

X × Y = ||X|| ||Y || sen θ ˆn ,

onde θ é o ângulo entre os dois vetores e ˆn é um versor (um vetor de norma 1) que é normal aos dois vetores X e Y e cujo sentido é

dado pela regra explicada a seguir. _X

Y X × Y

·· θ Imaginemos um arco de circunferˆencia orientado definido no

plano formado pelos dois vetores, X e Y , sendo que o sentido desse arco vai de X at´e Y . Se o sentido for anti-hor´ario, o versor ˆ

n terá o sentido “para cima”, indicado na figura a lado. Se o sentido for horário, o sentido de ˆn será “para baixo”. Esta regra também é chamada regra da mão direita, pois podemos imaginar uma mão direita posicionada de forma que os dedos se fechem de modo a ir da posi¸cão do vetor X à posi¸cão do vetor Y . O polegar indica, ent˜_{ao, o sentido do vetor X × Y . Esta regra é ilustrada nos} exemplos a seguir. ˆ n ~u Y ˆ n ·· θ

Exemplo 1: _{calcule o produto vetorial X × Y entre os vetores dados abaixo (||X|| = 3 e ||Y || = 2).}

X Y

300

Solu¸c˜ao: X × Y = ||X|| ||Y || sen θ ˆn = 3 · 2 · sen 30o_ˆ

n = 6 ·1₂n = 2ˆˆ n .

O semi-arco que vai do vetor X para o vetor Y tem o sentido anti-hor´ario, o que indica que o versor normal tem o sentido para cima. O vetor X × Y est´a representado na figura abaixo.

ˆ n

X Y X × Y

(12)

X Y

300

Solu¸c˜ao: Y × X = ||Y || ||X|| sen θ ˆn = 2 · 3 · sen 30o_ˆ

n = 6 ·1₂n = 2ˆˆ n .

O semi-arco que vai do vetor Y para o vetor X tem o sentido hor´ario, o que indica que o versor normal tem o sentido para baixo. O vetor Y × X est´a representado na figura abaixo.

ˆ n

X Y

X × Y

Observe que os dois produtos vetoriais calculados acima têm o mesmo módulo e dire¸cão, mas sentidos opostos. De um modo geral, temos X × Y = −Y × X sempre.

X Y

600

Solu¸c˜ao: X × Y = ||X|| ||Y || sen θ ˆn = 2 · 1 · sen 60on = 2 ·ˆ √ 3 2 ˆn = √ 3ˆn . ˆ n X Y X × Y

X

Y

450

Solu¸c˜ao: X × Y = ||X|| ||Y || sen θ ˆn = 2 · 2 · sen 45on = 4 ·ˆ √1 2ˆn = 4 √ 2 2 ˆn = 2 √ 2ˆn . ˆ n X Y X × Y

Nos exemplos dados até agora, estamos trabalhando com proje¸cões de figuras no espa¸co e os vetores re-sultantes dos produtos vetoriais devem ser vistos como perpendiculares aos pares de vetores que os formam. Algumas vezes, temos que representar vetores entrando ou saindo do plano. Para isto, podemos usar a seguinte nota¸cão: usamos o s´ımbolo J para representar um vetor saindo do plano e N para representar um vetor

(13)

entrando no plano. A nota¸cão lembra a ponta de uma flecha saindo do plano ou a parte de trás de uma flecha entrando no plano. A seguir, mostramos exemplos utilizando esta nota¸cão.

X Y

·90 0

n = 6 · 1ˆn = 6ˆn . J ˆ n X Y J X × Y

Exemplo 6: _{calcule o produto vetorial X × Y entre os vetores dados abaixo (||X|| = 3 e ||Y || = 1).} X

Y

600

n = 3 · √ 3 2 ˆn = 3√3 2 ˆn . N ˆ n X Y N X × Y

b

X Y

1800

Solu¸c˜ao: X × Y = ||X|| ||Y || sen θ ˆn = 4 · 3 · sen 180o_{n = 12 · 0ˆn = ~0.}_ˆ

b

X X × Y = ~0 Y

O fato do produto vetorial entre dois vetores que formam um ˆangulo de 90o _{entre si ser o vetor nulo resolve}

o aparente paradoxo resultante do uso da regra aprendida para definir o sentido do vetor normal ˆn. Utilizando a regra aprendida, ter´ıamos um vetor que poderia estar entrando no plano ou saindo dele. No entanto, como o vetor nulo não tem dire¸cão nem sentido, não há contradi¸cão no uso da regra.

(14)

Propriedade 1: _{X × Y = −Y × X} (anticomutativa).

Propriedade 2: _{X × (Y + Z) = X × Y + X × Z} (distributiva com rela¸cão à adi¸cão).

Propriedade 3: _{(αX) × Y = α(X × Y ), α ∈ R} (fatora¸c˜ao dos escalares).

(15)

Exerc´ıcios - Cap´ıtulo 1.3

N´ıvel 1

Produto interno

Exemplo 1: _{calcule o produto interno entre os elementos X = (−4, 5, 1) e Y = (−1, 2, −4).}

Solu¸c˜ao: hX, Y i = h(−4, 5, 1), (−1, 2, −4)i = −4 · (−1) + 5 · 2 + 1 · (−4) = 4 + 10 − 4 = 10 .

E1) Calcule os produtos internos entre os seguintes elementos: a) X = (3, −1) e Y = (2, 3). b) A = (2, −1, 3) e B = (4, 1, −2). c) X = (−1, 3, −4, 1) e Y = (1, 2, −1, −3).

Norma

Exemplo 2: _{calcule a norma de X = (3, −2, 4).}

Solu¸c˜ao: ||X|| =p32

+ (−2)2_{+ 4}2₌√_{9 + 4 + 16 =}√_29. E2) Calcule as normas dos seguintes elementos:

a) A = (2, 3, 1). _{b) B = (3, −4).} _{c) C = (−2, 0, 3).}

N´ıvel 2

E1) Determine α de modo que o vetor X = (2, 1, 2) seja normalizado, isto ´e, de modo que ele tenha norma igual a 1.

E2) Calcule ||||A − B||C||, onde A = (2, −1, 5), B = (1, 1, −3) e C = (−2, 1, −2). E3) Prove a identidade polar hX, Y i = 1₄ ||X + Y ||2

− ||X − Y ||2

. E4) Prove a lei do paralelogramo, ||X + Y ||2

+ ||X − Y ||2

= 2 ||X||2

+ ||Y ||2

.

E5) (Leitura Complementar 2.3.3) Calcule os produtos vetoriais entre os vetores abaixo (dados: ||A|| = 2, ||B|| = 1, ||C|| = 2, ||D|| = 2, ||E|| = 2, ||F || = 1, ||G|| = 2, ||H|| = 2): a) _A B · 90o . b) _D C 60o . c) _F b _E 180o . d) _G H 135o .

(16)

N´ıvel 3

E1) Qual é a superf´ıcie associada às solu¸cões da equa¸c˜_{ao ||(1, 1, 1)||}2

= 3?

E2) Escreva um vetor Y que seja paralelo ao vetor X = (3, −4), com o mesmo sentido de X e que tenha norma igual a 1.

E3) (Leitura Complementar 1.3.3) Mostre que ||U × V || ≤ ||U|| ||V ||.

E4) Prove o teorema de Pit´_{agoras, formulado da seguinte forma: ||X + Y ||}2

= ||X||2

+ ||Y ||2

quando X e Y s˜ao ortogonais.

E5) (Leitura Complementar 1.3.1) Utilize a desigualdade de Cauchy-Schwarz para mostrar que a média geométrica entre duas medidas não nulas é sempre menor ou igual à sua média geométrica, isto é, que pa, b ≤ a + b 2 , a, b ≥ 0.

Respostas

N´ıvel 1 E1) a) 3. b) 1. c) 6. E2) a)√14. b) 5. c)√13. N´ıvel 2 E1) α = ±1/3. E2) 9√23. E3) ||X + Y ||2 − ||X − Y ||2 = ||X||2 + 2 hX, Y i + ||Y ||2 − ||X||2 − 2 hX, Y i + ||Y ||2 = = ||X||2 + 2 hX, Y i + ||Y ||2 − ||X||2 + 2 hX, Y i − ||Y ||2 = 4 hX, Y i, de modo que hX, Y i = 1₄ ||X + Y ||2 − ||X − Y ||2 . E4) ||X + Y ||2 + ||X − Y ||2 == ||X||2 + 2 hX, Y i + ||Y ||2 + ||X||2 − 2 hX, Y i + ||Y ||2 = 2||X||2 + ||Y ||2 , de modo que ||X + Y ||2 + ||X − Y ||2 = 2 ||X||2 + ||Y ||2 . E5) a) 2ˆn J . b) 2√3ˆn N . c) ~0 . d) 2√2ˆn J . N´ıvel 3

E1) ´E uma esfera de raio 3 centrada em (0, 0, 0). E2) Y = 3 5, − 4 5 ou Y = 3 25+ 8 75 √ 54, −₂₅4 + 2 25 √ 54 .

E3) ||U × V || = |||U|| ||V || | sen θˆn| = ||U|| ||V || | sen θ| ||ˆn|| = ||U|| ||V || | sen θ| ≤ ||U|| ||V ||, pois | sen θ| < 1, sempre. E4) Da propriedade N 5 da norma, ||X + Y ||2

= ||X||2

+ hX, Y i + ||Y ||2

. Se X e Y s˜ao ortogonais, ent˜ao hX, Y i = 0 e ||X + Y ||2

= ||X||2

+ ||Y ||2

.

E5) Escolhendo X =√a,√be Y =√b,√ana desigualdade de Cauchy-Schwarz, obtemos

|hX, Y i| ≤ ||X|| ||Y || ⇔ √ a√b +√b√a ≤ √ a + b√a + b ⇔ 2√a√b ≤√a + b 2 ⇔√ab = a + b 2 .