As Teorias de Lebesgue e Schwartz e suas contribuições no Cálculo Diferencial e Integral

Departamento de Matemática

As Teorias de Lebesgue e Schwartz e suas

contribuições no Cálculo Diferencial e Integral

Autora: Renata de Oliveira

Orientador: Rafael Fernando Barostichi

Disciplina: Trabalho de Conclusão do Curso

Curso: Bacharelado em Matemática

Professores Responsáveis: Karina Schiabel Silva

Sadao Massago

Vera Lúcia Carbone

contribuições no Cálculo Diferencial e Integral

Autora: Renata de Oliveira

Orientador: Rafael Fernando Barostichi

Disciplina: Trabalho de Conclusão do Curso

Curso: Bacharelado em Matemática

Professores Responsáveis: Karina Schiabel Silva

Sadao Massago

Vera Lúcia Carbone

Instituição: Universidade Federal de São Carlos

Centro de Ciências Exatas e de Tecnologia

Departamento de Matemática

São Carlos, 15 de Março de 2014.

Renata de Oliveira

Agradecimentos

Não poderia nem se quer estar aqui se não fosse pela misericórdia de Deus, portanto agradeço ao meu primeiro Pai por, nada mais e nada menos, que tudo. Sou grata à minha mãe por excelência, a sempre Virgem Maria, por me proteger em todas as circuntâncias.

Agradeço:

À minha família, meu pai Reginaldo, minha mãe Luzia, meus irmãos Rogério e Érica e meus maravilhosos sobrinhos Pedro, Maria e Renan, por me darem um alicerce forte sem o qual não poderia seguir em frente.

Ao meu namorado Rafael por estar comigo em todos os momentos, por ser o meu refúgio, por todo cuidado, preocupação e, em especial, pela ajuda para confeccionar este trabalho.

À Comunidade Santo Sacrifício da Cruz por ser o meu consolo espiritual e fonte de graças em minha vida.

À Ong Práxis, à todos os professores e amigos que lá trabalham ou estudam, princi-palmente à coordenadora Luciene. Tais foram essenciais no meu ingresso acadêmico.

À todos os meus amigos da UFSCar que aguentaram todas as minhas reclamações, em especial aos meus colegas (loucos) de curso que souberam partilhar maravilhosos anos desta graduação.

Por m, à estrutura do departamento de Matemática e ao seu corpo docente, quero destacar o professor Rafael Fernando Barostichi pela sua excepcional orientação, paciência e dedicação.

Resumo

Apresentamos neste trabalho um estudo sobre duas das principais revoluções ocorri-das na Análise Matemática nos últimos séculos, a Integral de Lebesgue e a Teoria ocorri-das Distribuições de Schwartz. Em um primeiro momento, introduzimos a Teoria da Medida com a qual ampliamos a noção usual de medir subconjuntos de Rn_{. Feito isto, denimos}

a Integral de Lebesgue e mostramos suas principais propriedades, os teoremas de conver-gência e sua comparação com a Integral de Riemann. Posteriormente, trabalhamos com alguns espaços de funções, os primeiros são os espaços Lp e em seguida o espaço C∞

0 que

consiste das funções innitamente diferenciáveis com suporte compacto, sendo este último espaço essencial para denirmos as distribuições. Finalizamos o texto com as principais operações no espaço das distribuições D0 _{e o grande avanço que esta teoria trouxe para o}

Sumário

1.4 Comparação com a Integral de Riemann . . . 39

2 Os Espaços Lp ₄₃ 2.1 Denição e Propriedades . . . 43 2.2 O Dual de Lp _{. . . 57} 3 O Espaço C∞ 0 (Ω) 61 3.1 O Espaço C∞_{(Ω) . . . 61} 3.2 O Espaço C∞ 0 (Ω) . . . 63 4 Distribuições 79 4.1 Distribuições sobre um aberto de Rn . . . 79

4.2 Distribuições de Suporte Compacto . . . 83

4.3 Distribuições de Ordem Finita . . . 87

4.4 Derivada de uma Distribuição . . . 89

Lista de Figuras

1.1 Interseção de n-cubos. . . 6

Introdução

A teoria de integração é uma parte fundamental da área que conhecemos como Análise Matemática, seu desenvolvimento tornou-se notório principalmente no período compre-endido entre o m do século XIX e início do século XX, quando a teoria de integração, devida especialmente à Riemann, foi ampliada por meio de uma nova denição de integral, devida à Lebesgue, que generalizava a anterior e que possibilitava o cálculo de integrais de certas funções que não eram integráveis segundo Riemann.

Uma revolução similar a esta, ocorrida na teoria do Cálculo Integral, aconteceu em meados do século XX no que tange ao Cálculo Diferencial, com a teoria das Distribuições. Esta teoria representou um grande avanço, pois proporcionou uma ampliação signicativa da noção comum do que se entendia por solução de uma equação diferencial e até mesmo da ideia a respeito do conceito tradicional de função. Como um exemplo, a função delta de Dirac, utilizada largamente no estudo da mecânica quântica, embora sem uma formalização matemática precisa, encontra na teoria de Schwartz o rigor matemático ne-cessário para a sua formalização. Ainda, a teoria das distribuições nos permite introduzir uma noção de derivada mais fraca que a noção clássica, dando à mesma uma importância muito grande no desenvolvimento da teoria de equações diferenciais parciais.

O objetivo deste texto é apresentar as teorias de Lebesgue e Schwartz, ressaltando os ganhos obtidos no Cálculo Diferencial Integral e fazer a correlação entre esses tópicos. Para tanto, admitimos que são conhecidos conceitos básicos de: teoria dos conjuntos, espaços métricos, topologia e funções de várias variáveis.

No primeiro capítulo estudamos a Teoria da Medida com o intuito de obtermos as ferramentas necessárias para denirmos a Integral de Lebesgue. Com esta denição em mãos, provamos suas principais propriedades, cujos resultados mais importantes são os Teoremas da Convergência Monótona e Convergência Dominada e o Lema de Fatou. Na última seção, evidenciamos como a Integral de Lebesgue generaliza a Integral de Riemann. Em seguida, trabalhamos com o espaço Lp _{formado pelas funções p-integráveis, o que}

inicia o segundo capítulo. Mostramos que Lp _{é um espaço de Banach, cuja norma é}

denida em termos da Integral de Lebesgue, sendo esta uma importante aplicação dos tópicos estudados até o momento.

O terceiro capítulo contém algumas características do espaço das funções denidas em um aberto Ω de Rn_{, que são innitamente diferenciáveis e se anulam fora de um compacto,}

espaço este denotado por C∞

0 (Ω). Fazemos um breve comentário sobre a topologia em

C₀∞(Ω) que o torna um espaço de Fréchet, ou seja, um espaço vetorial topológico, local-mente convexo, metrizável e completo. Construímos, ainda neste capítulo, uma partição da unidade innitamente diferenciável subordinada à uma dada cobertura aberta e local-mente nita de Ω, a qual foi de grande serventia para designarmos, no capítulo seguinte, as distribuições de suporte compacto.

Finalizando este trabalho, no último capítulo, abordamos os principais elementos da Teoria das Distribuições desenvolvida por Schwartz. O modo como apresentamos esta teoria tem o objetivo de destacar uma ampliação do conceito de derivada de uma função. Este propósito é atingido ao nal do capítulo com o qual encerramos nosso estudo.

Capítulo 1

Integral de Lebesgue

A ideia de medir conjuntos sempre esteve presente na Matemática. No ínicio do século XX, Henri Lebesgue (1875-1941) observou que uma boa denição de quais conjuntos eram, de fato, mensuráveis ampliaria a família de funções integráveis (ou somáveis como ele se referia). Apresentamos neste capítulo a Teoria da Medida básica para introduzir a Integral de Lebesgue e abordar alguns dos seus resultados mais importantes, como os teoremas de convergência e o Lema de Fatou.

1.1 Teoria da Medida

Denição 1.1.1 (σ-anel). Seja A uma família de conjuntos. Caso a seguinte propriedade aconteça

1. Se A, B ∈ A, então A ∪ B ∈ A e A \ B ∈ A; dizemos que A é um anel. Se, além disso, A satisfaz

2. Dados A1, A2, . . . ∈ A, temos ∞ S n=1 An∈ A; o chamamos de σ-anel.

Decorre desta denição que interseção enumerável de elementos em um σ-anel A ainda pertence a A. De fato, dados A1, A2, . . . ∈ Atemos

∞ \ n=1 An = A1\ ∞ [ n=1 A1\ An ! ⇒ ∞ \ n=1 An ∈ A, já que cada A1\ An∈ A.

Com o mesmo raciocínio, concluímos que qualquer anel é fechado para interseções nitas.

A título de simplicações consideramos uma expansão de R, denotada por R, na qual contém, além de todos os números reais, os símbolos −∞ e +∞.

As funções que estão denidas em um anel e possuem valores em R são comumente chamadas de funções conjunto, elas associam cada conjunto a um número (em que +∞ e −∞ também podem ser atingidos). Funções conjunto são as ferramentas primordiais para a teoria da medida, uma vez que o desejado é adquirir a habilidade em mensurar subconjuntos de Rn_.

Denição 1.1.2 (σ-aditiva). Sejam A um anel e φ : A → R uma função. Dizemos que φ é:

• Aditiva, se dados A, B ∈ A com A ∩ B = ∅ tivermos φ(A ∪ B) = φ(A) + φ(B).

• σ-aditiva, se além de ser aditiva ocorrer

φ ∞ [ n=1 An ! = ∞ X n=1

φ(An), em que Ai ∈ A, ∀i ∈ N e Ai∩ Aj = ∅, ∀i 6= j.

Assumiremos sempre que a imagem de qualquer função conjunto φ não contém +∞ e −∞ simultaneamente (para evitar as indeterminações). Ainda, excluiremos aquelas que possuem apenas +∞ ou −∞ em suas imagens.

Estão listadas abaixo algumas propriedades de funções aditivas φ : A → R. a) φ(∅) = 0, pois A ∩ ∅ = ∅, para qualquer A ∈ A tal que φ(A) ∈ R, e daí

φ(A) = φ(A ∪ ∅) = φ(A) + φ(∅) ⇒ φ(∅) = 0.

b) Para todo k ∈ N, φ(A1∪ A2∪ . . . ∪ Ak) = φ(A1) + φ(A2) + . . . + φ(Ak)com cada Ai ∈ A

e Ai∩ Aj = ∅ (i 6= j). O resultado se dá por indução sobre k, visto que a propriedade

é válida para k = 2 os passos da indução seguem de maneira natural.

c) φ(A ∪ B) + φ(A ∩ B) = φ(A) + φ(B). Observamos inicialmente que A ∪ B é igual a união dos conjuntos disjuntos dois a dois A \ (A ∩ B), B \ (A ∩ B) e A ∩ B, portanto

φ(A ∪ B) = φ(A \ (A ∩ B)) + φ(B \ (A ∩ B)) + φ(A ∩ B). Somamos φ(A ∩ B) na igualdade acima e obtemos

φ(A ∪ B) + φ(A ∩ B) = φ(A \ (A ∩ B)) + φ(A ∩ B)
+ φ(B \ (A ∩ B)) + φ(A ∩ B)
. Para concluirmos a propriedade basta notarmos que o lado direito desta equação é exatamente igual a φ(A) + φ(B), uma vez que

com ambas uniões disjuntas.

d) Se φ é uma função não negativa e B ⊂ A, então φ(B) ≤ φ(A). Escrevemos

A = A ∪ B = (A \ B) ∪ B, como (A \ B) ∩ B = ∅ e φ é aditiva temos

φ(A) = φ(A ∪ B) = φ(A \ B) | {z }

≥0

+φ(B) ≥ φ(B).

e) Se B ⊂ A e |φ(B)| < ∞, então φ(A \ B) = φ(A) − φ(B). No item anterior obtemos a igualdade

φ(A) = φ(A \ B) + φ(B),

como, por hipótese, φ(B) é nito podemos subtraí-lo em ambos lados da expressão de forma a obtermos o resultado desejado.

Teorema 1.1.3. Seja φ uma função σ-aditiva no anel A. Se a sequência {Am} em A é

tal que A1 ⊂ A2 ⊂ . . . e A = ∞ [ m=1 Am ∈ A, então lim m→∞φ(Am) = φ(A).

Demonstração. Construímos a sequência {Bm} do seguinte modo

B1 = A1 e Bm = Am\ Am−1 (m = 2, 3 . . .),

esta sequência também satisfaz S∞

m=1

Bm = A.

Sejam i, j ∈ N com i 6= j. Sem perda de generalidade supomos i < j, assim

i ≤ j − 1 ⇒ Ai ⊂ Aj−1 ⇒ Ai∩ (Aj \ Aj−1) = ∅ ⇒ Bi∩ Bj = ∅,

e por φ ser σ-aditiva segue que

φ(A) = φ ∞ [ j=1 Bj ! = ∞ X j=1 φ(Bj).

implica em φ(Am) = m X j=1 φ(Bj) ⇒ lim m→∞φ(Am) = ∞ X j=1 φ(Bj) = φ(A).  Para a próxima denição, recordamos que um n-cubo é um subconjunto de Rn _dado

por I = [a1, b1] × [a2, b2] × . . . × [an, bn] = {(x1, . . . , xn) ∈ Rn; aj ≤ xj ≤ bj}, sendo

cada [aj, bj] um intervalo da reta (os intervalos que denem o n-cubo também podem ser

tomados abertos ou semiabertos).

Denição 1.1.4 (Conjunto Elementar). Seja A ⊂ Rn. Dizemos que A é um conjunto

elementar se ele pode ser escrito como união nita de n-cubos. Proposição 1.1.5. Sejam I = Qn i=1 [ai, bi] e J = n Q i=1

[αi, βi] n-cubos não disjuntos. São

válidas: 1. I ∩ J é um n-cubo. 2. I \ J é um conjunto elementar. Demonstração. 1. Ora, I ∩ J = n Y i=1 [ai, bi] ! ∩ n Y i=1 [αi, βi] ! = n Y i=1 ([ai, bi] ∩ [αi, βi]) .

Para cada i = 1, . . . , n, [ai, bi] ∩ [αi, βi] é sempre um intervalo e portanto I ∩ J é um

n-cubo.

2. Da teoria de conjuntos sabemos que

I \ J =

n

Y

i=1

[ai, bi] \ [αi, βi],

em que [ai, bi] \ [αi, βi] é um intervalo, ou união de dois intervalos, para todo i =

1, . . . , n. Denotamos

[ai, bi] \ [αi, βi] = Xi∪ Yi, ∀i = 1, 2, . . . , n,

com Xi e Yi intervalos. Podemos escrever

I \ J =

n

Y

i=1

ou ainda, I \ J = 2 [ i1=1 2 [ i2=1 . . . 2 [ in=1 n Y j=1 Z_ij_j ! , (1.1) em que Zj 1 = Xj e Z j

2 = Yj. De fato, observamos que

z ∈ 2 [ i1=1 2 [ i2=1 . . . 2 [ in=1 n Y j=1 Z_ij j ! ⇔ ∃ ij = 1, 2 tal que zj ∈ Zijj, ∀j = 1, . . . n ⇔ zj ∈ Xj ou zj ∈ Yj, ∀j = 1, . . . n ⇔ z ∈ n Y i=1 Xi∪ Yi = I \ J.

Portanto, a expressão em (1.1) mostra que I \ J é uma união nita de n-cubos, ou seja, I \ J é um conjunto elementar.



Por simples indução, segue desta proposição que interseções nitas de conjuntos ele-mentares ainda é um conjunto elementar.

Denotamos por E a família de todos os conjuntos elementares de Rn_{. Já podemos}

armar sobre E:

a) E é um anel, mas não é um σ-anel. De fato, tomamos A, B ∈ E isto signica que

A = I1∪ I2∪ . . . ∪ Ik e B = J1 ∪ J2∪ . . . ∪ Jr,

sendo Ii e Jj n-cubos (i = 1, 2, . . . , k e j = 1, 2, . . . , r). É imediato que A ∪ B ∈ E.

Quanto ao complemento, obervamos que

A \ B = A \ r [ j=1 Jj ! = r \ j=1 (A \ Jj), (1.2) e para cada j = 1, . . . r A \ Jj = k [ i=1 Ii ! \ Jj = k [ i=1 (Ii\ Jj).

Da proposição anterior temos que Ii\ Jj ∈ E, para todo i = 1, . . . , k, e então, para

qualquer j = 1, . . . , r o conjunto A \ Jj é elementar. Concluímos de (1.2) que A \ B é

interseção nita de conjuntos elementares e portanto, usando novamente a proposição anterior, A \ B ∈ E.

Agora, consideremos os n-cubos

Ik = [−k, k] × [−k, k] × . . . × [−k, k], ∀k ∈ N

e notemos que a união enumerável

∞

[

k=1

Ik= Rn,

não é um conjunto elementar. De fato, caso contrário teríamos que Rn _{é união nita}

de n-cubos o que implica em Rn _{ser limitado, um absurdo. Logo, E não é um σ-anel.}

b) Se A ∈ E, então A pode ser escrito como união disjunta de um número nito de n-cubos. Para simplicar notações, faremos o caso n = 2 e vamos considerar A = I ∪ J, em que I = (a, b) × (c, d) e J = (r, s) × (t, u) estão na situação da gura abaixo.

Figura 1.1: Interseção de n-cubos. Basta observarmos que A é a união dos 2-cubos

(a, r] × (c, d), (r, b) × (c, t], (r, b] × (t, u) e (b, s) × (t, u) que são dois a dois disjuntos.

Objetivamos denir a medida de Lebesgue m, nosso intuito é deni-la no maior conjunto possível, isto é, conseguir medir (através de m) o maior número de subconjuntos de Rn

de forma a estender a noção que já tínhamos sobre medir conjuntos. Denição 1.1.6. Se I = [a1, b1] × . . . × [an, bn] é um n-cubo, denimos

m(I) =

n

Y

j=1

(bj− aj),

e se A é a união disjunta dos n-cubos I1, . . . , Ik, então

Se os intervalos que descrevem o n-cubo I forem abertos ou semiabertos a denição de m(I)continua a mesma. Ainda, notemos que nos casos n = 1, 2 e 3 o valor m(A) coincide com o comprimento, a área e o volume de A, respectivamente.

Denição 1.1.7 (Regular). Uma função aditiva não negativa φ : E → R é regular se, dados A ∈ E e ε > 0 existirem conjuntos F, G ∈ E, F fechado e G aberto, tais que

F ⊂ A ⊂ G e φ(G) − ε ≤ φ(A) ≤ φ(F ) + ε. Teorema 1.1.8. A função m é aditiva e regular em E.

Demonstração. De fato, sejam

A = I1∪ I2∪ . . . ∪ Ik e B = J1∪ J2 ∪ . . . ∪ Jr

conjuntos elementares disjuntos. Pelas propriedades acima mencionadas, podemos consi-derar Ii∩ Il= ∅ e Jj∩ Jt= ∅, ∀i 6= l e ∀j 6= t. Assim, A ∪ B = k [ i=1 Ii ! ∪ r [ j=1 Jj ! ,

como A ∩ B = ∅ temos Ii ∩ Jj = ∅, para todo i = 1, 2, . . . , k e todo j = 1, 2, . . . , r.

Portanto, A ∪ B é uma união disjunta de um número nito de n-cubos, da denição de m seguem as igualdades m(A ∪ B) = m(I1 ∪ . . . ∪ Ik∪ J1∪ . . . ∪ Jr) = k X i=1 m(Ii) + r X j=1 m(Jj) = m(A) + m(B).

A função m é regular. Para comprovarmos esta armação é suciente garantir a propriedade para cada n-cubo em Rn_{, já que os demais elementos de E são uniões nitas}

destes conjuntos. Dado ε > 0, sendo I = [a1, b1] × [a2, b2] × . . . × [an, bn], denimos

F = I e G = (a1 − ε0, b1+ ε0) × (a2− ε0, b2+ ε0) × . . . × (an− ε0, bn+ ε0),

em que ε0 > 0 será escolhido convenientemente para que m(G) − ε ≤ m(I). Assim,

F ⊂ I ⊂ G, F é fechado, G é aberto e m(I) = m(F ). Agora, se 0 < ε0 < 1, então

m(G) = n Y i=1 (bj − aj+ 2ε0) = m(I) + ε0[P (b1− a1, . . . , bn− an)] ,

em que P é um polinômio não nulo de coecientes constantes positvos que não depende de ε0. Desta maneira, escolhemos

ε0 = minε [P (b1− a1, . . . , bn− an)] −1

, 1

o que garante o desejado. 

Denição 1.1.9 (Medida Exterior). Seja µ uma função conjunto regular com valores nitos em E. Dado um subconjunto E de Rn_{, denimos}

µ∗(E) = inf ( _∞ X m=1 µ(Am) ) ,

em que este ínmo é tomado sobre todas as possíveis coberturas enumeráveis {Am} de E

por abertos elementares. O valor µ∗_{(E) é chamado medida exterior de E correspondente}

à µ.

Exemplo 1.1.10. Seja A ⊂ Rn _{enumerável. A medida exterior de A com relação à m é}

zero.

De fato, escrevemos A = {a1, a2, . . .}, com ak = (a (1) k , a (2) k , . . . , a (n) k ). Dado ε > 0, para

cada k ∈ N, tomamos o n-cubo

Ik= n Y i=1  a(i)_k − n √ ε 2kn+1 , a(i)_k + n √ ε 2kn+1  , temos m(Ik) = √n_ε 2nk n = ε 2k.

Como ak ∈ Ik, ∀k, segue que A ⊂ ∞

S

k=1

Ik, ou seja, {Ik} é uma cobertura de A por abertos

elementares, então por denição de medida exterior

m∗(A) ≤ ∞ X k=1 m(Ik) = ∞ X k=1 ε 2k = ε 2, sendo ε > 0 arbitrário concluímos que m∗_{(A) = 0.}

 Proposição 1.1.11. Sendo µ∗ _{como na denição anterior, é válido:}

I. µ∗

(A) = µ(A), sempre que A ∈ E. II. Se E = S∞ n=1 En, então µ∗(E) ≤ ∞ P n=1 µ∗(En).

Demonstração. Dados A ∈ E e ε > 0. Da regularidade de µ podemos assumir que A está contido em algum conjunto aberto elementar G tal que µ(G) ≤ µ(A) + ε. Em particular, {G} é uma cobertura enumerável de A por abertos elementares, então, por denição, µ∗(A) ≤ µ(G) e com isto

µ∗(A) ≤ µ(A) + ε ⇒ µ∗(A) ≤ µ(A).

Resta agora mostrarmos a desigualdade contrária µ(A) ≤ µ∗_{(A). Usando a denição de}

ínmo, sabemos que existe uma sequência {An} de conjuntos abertos elementares, cuja

união contém A e que satisfaz

∞

X

n=1

µ(An) ≤ µ∗(A) + ε.

Novamente pela regularidade de µ, existe um fechado F ∈ E contido em A tal que µ(F ) ≥ µ(A) + ε. O conjunto A é limitado, uma vez que A é união nita de conjuntos limitados. Sendo {Am} cobertura aberta de A e F ⊂ A compacto (fechado e limitado),

temos F ⊂ A1∪ A2 ∪ . . . ∪ AN, para algum N ∈ N. Daí,

µ(A) ≤ µ(F ) + ε ≤ µ N [ i=1 Ai ! + ε = N X i=1 µ(Ai) + ε ≤ µ∗(A) + 2ε.

Fazendo ε → 0 em µ(A) ≤ µ∗_{(A) + 2ε concluímos a prova primeiro item.}

Seja E = S∞

n=1

En. Notemos que se µ∗(En) = ∞, para algum n ∈ N, a desigualdade

µ∗(E) ≤

∞

X

n=1

µ∗(En)

é imediata, portanto será suciente mostrarmos o caso em que cada µ∗_(E

n) < ∞.

Dado ε > 0, pela denição de medida exterior, existe cobertura Ank, k = 1, 2, . . . , de

En por conjuntos elementares abertos de modo que ∞ X k=1 µ(Ank) ≤ µ ∗ (En) + ε 2n. Então, µ∗(E) ≤ ∞ X n=1 " _∞ X k=1 µ(Ank) # ≤ ∞ X n=1 µ∗(En) + ∞ X n=1 ε 2n = ∞ X n=1 µ∗(En) + ε,

e como ε > 0 é arbitrário obtemos a desigualdade desejada. 

quais-quer A, B ⊂ Rn _denimos

1. S(A, B) = (A \ B) ∪ (B \ A). 2. d(A, B) = µ∗_{(S(A, B)).}

Escrevemos Am → A se lim

m→∞d(A, Am) = 0.

A expressão para S(A, B) é também conhecida como diferença simétrica entre A e B, nomenclatura esta bastante sugestiva, uma vez que d(A, B) é, sob certas condições como veremos adiante, uma função distância.

Denição 1.1.13 (µ-mensurável). Dizemos que A ⊂ Rn _{é nitamente µ-mensurável se}

existe sequência {Am} de subconjuntos elementares de Rn tal que Am → A. Denotamos

por MF(µ)a coleção de todos os conjuntos nitamente µ-mensuráveis. Se A ⊂ Rnconsiste

de uma união enumerável de elementos em MF(µ) dizemos que A é µ-mensurável, ou que

A ∈ M(µ).

Vejamos algumas propriedades de S(A, B).

a) S(A, B) = S(B, A) e S(A, A) = 0. A primeira igualdade segue da associatividade da união e a segunda é imediata da denição.

b) S(A, B) ⊂ S(A, C) ∪ S(C, B), para quaisquer subconjuntos A, B e C de Rn_{. Ora,}

dado x ∈ S(A, B) temos que x ∈ A \ B ou x ∈ B \ A. Supomos que x ∈ A \ B, ou seja, x ∈ A e x /∈ B, existem as seguintes possibilidades

• x ∈ C ⇒ x ∈ C \ B ⇒ x ∈ S(C, B); • x /∈ C; ⇒ x ∈ A \ C ⇒ x ∈ S(A, C);

em ambos casos x ∈ S(A, C) ∪ S(C, B). Da mesma forma, assumindo que x ∈ B \ A obtemos • x ∈ C ⇒ x ∈ C \ A ⇒ x ∈ S(A, C); • x /∈ C ⇒ x ∈ B \ C ⇒ x ∈ S(C, B); e novamente x ∈ S(A, C) ∪ S(C, B). c) S(A1 ∪ A2, B1∪ B2) S(A1 ∩ A2, B1∩ B2) S(A1 \ A2, B1\ B2)      ⊂ S(A1, B1) ∪ S(A2, B2). Se x ∈ S(A1∪ A2, B1∪ B2), então x ∈ (A1∪ A2) \ (B1∪ B2) ou x ∈ (B1∪ B2) \ (B1∪ B2), isto é,

x ∈ A1∪ A2 e x /∈ B1∪ B2 ou x ∈ B1∪ B2 e x /∈ A1∪ A2.

Temos as implicações

x ∈ A1∪ A2 e x /∈ B1∪ B2 ⇒ x ∈ A1\ B1 ou x ∈ A2\ B2

e

x ∈ B1∪ B2 e x /∈ A1∪ A2 ⇒ x ∈ B1\ A1 ou x ∈ B2\ A2,

em cada um dos casos x ∈ S(A1, B1) ∪ S(A2, B1) e disto obtemos a primeira inclusão.

As outras inclusões seguem passos similares. Dispondo destes fatos sobre S e das desigualdades

µ∗(E1) ≤ µ∗(E2) (E1 ⊂ E2) e µ∗(E) ≤ ∞ X n=1 µ∗(En) E = ∞ [ n=1 En ! ,

obtemos, para quaisquer A, B, C ⊂ Rn_,

1. d(A, A) = 0. 2. d(A, B) = d(B, A). 3. d(A, B) ≤ d(A, C) + d(C, B). 4. d(A1∪ A2, B1∪ B2) d(A1∩ A2, B1∩ B2) d(A1\ A2, B1\ B2)      ≤ d(A1, B1) + d(A2, B2).

Am de que d dena uma métrica em P(Rn_{) (partes de R}n_{) resta comprovarmos a}

propriedade

d(A, B) = 0 ⇒ A = B,

mas se considerarmos µ = m, A enumerável e B = ∅ teremos

d(A, B) = m∗(S(A, B)) = m∗(A \ ∅ ∪ ∅ \ A) = m∗(A) = 0,

sem que A = B. Agora, se denirmos uma relação de equivalência ∼ em P(Rn₎ dada por

A ∼ B ⇔ d(A, B) = 0,

dividimos os subconjuntos de Rn _{em classes de equivalência e nestas condições d será uma}

métrica no conjunto quociente. Portanto, podemos considerar MF(µ), denido acima,

Para a prova do último resultado desta seção nos falta apenas uma desigualdade a qual apresentamos em forma de lema.

Lema 1.1.14. Seja µ uma função conjunto regular com valores nitos em E. Se A, B ⊂ Rn são tais que µ∗(A) e µ∗(B) são nitos, então

|µ∗(A) − µ∗(B)| ≤ d(A, B).

Demonstração. Observamos que d(A, ∅) = µ∗_{(S(A, ∅)) = µ}∗_{(A), assim, da desigualdade}

triangular segue que

d(A, ∅) ≤ d(A, B) + d(B, ∅) ⇒ µ∗(A) ≤ d(A, B) + µ∗(B).

Como µ∗_{(B) é nito concluímos que µ}∗_{(A) − µ}∗_{(B) ≤ d(A, B). Da mesma forma,}

d(B, ∅) ≤ d(A, B) + d(A, ∅) ⇒ µ∗(B) ≤ d(A, B) + µ∗(A)). Logo,

−d(A, B) ≤ µ∗(A) − µ∗(B) ≤ d(A, B) ⇒ |µ∗(A) − µ∗(B)| ≤ d(A, B).

 Teorema 1.1.15. O conjunto M(µ) é um σ-anel e µ∗ _{é σ-aditiva no mesmo.}

Demonstração. Faremos a demonstração por itens.

• MF(µ) é um anel. Dados A, B ∈ MF(µ), existem sequências {Am} e {Bm} em E

tais que

Am → A e Bm → B.

Das propriedades que constatamos para d obtemos d(Am∪ Bm, A ∪ B)

d(Am\ Bm, A \ B)

)

≤ d(Am, A) + d(Bm, B),

e pela convergência das sequências {Am} e {Bm} o lado direito desta expressão

converge a zero. Portanto,

d(Am∪ Bm, A ∪ B) → 0 ⇒ Am∪ Bm → A ∪ B

d(Am\ Bm, A \ B) → 0 ⇒ Am\ Bm → A \ B,

• µ∗ _{é aditiva em M}

F(µ). Am de que µ∗ seja aditiva em MF(µ) devemos mostrar

que se A ∩ B = ∅, então

µ∗(A ∪ B) = µ∗(A) + µ∗(B).

Como Am e Bm são conjuntos elementares para todo m ∈ N e µ é aditiva em E

temos que

µ(Am) + µ(Bm) = µ(Am∪ Bm) + µ(Am∩ Bm). (1.3)

Usando novamente as propriedades de d, mais precisamente a desigualdade

d(Am∩ Bm, A ∩ B) ≤ d(Am, A) + d(Bm, B),

obtemos que Am∩ Bm → A ∩ B. Ainda, decorre do lema anterior que se Am → A

então µ∗_(A

m) → µ∗(A). Portanto, fazendo m → ∞ em (1.3) concluímos que

µ∗(A) + µ∗(B) = µ∗(A ∪ B) + µ∗(A ∩ B) = µ∗(A ∪ B), pois µ∗_{(A ∩ B) = µ}∗_{(∅) = 0.}

• µ∗ _{é σ-aditiva em M(µ). Tomamos A ∈ M(µ), então A pode ser representado como}

uma união enumerável de conjuntos em MF(µ) dois a dois disjuntos. De fato, se

A =

∞

S

m=1

A0_m com cada A0_m ∈ MF(µ), construímos os conjuntos

A1 = A01 e Am = (A01∪ . . . ∪ A 0 m) \ (A 0 1∪ . . . ∪ A 0 m−1), ∀m = 2, 3, . . . . Então A = S∞ m=1

Am e esta é a representação desejada. Pela Proposição 1.1.11,

µ∗(A) ≤

∞

X

m=1

µ∗(Am).

Por outro lado, A ⊃ A1 ∪ . . . ∪ Am, para todo m ∈ N, usando a aditividade de µ∗

em MF(µ) obtemos

µ∗(A) ≥ µ∗(A1∪ . . . ∪ Am) = µ∗(A1) + . . . + µ∗(Am), ∀m ∈ N.

Façamos m → ∞ nesta última expressão e assim

µ∗(A) ≥

∞

X

m=1

µ∗(Am),

o que resulta na igualdade µ∗_{(A) =} P∞

m=1

é nito e consideramos Bm = A1∪ . . . ∪ Am. Então, d(A, Bm) = µ∗(S(A, Bm)) = µ∗(Am+1∪ Am+2 ∪ . . .) = ∞ X i=m+1 µ∗(Ai).

Uma vez que µ(A) é nito, isto é, P∞

m=1 µ∗(Am)é convergente, temos ∞ X i=m+1 µ∗(Ai) → 0, quando m → ∞,

o que nos permite concluir

d(A, Bm) → 0 ⇒ Bm → A.

Desde que MF(µ)é um anel e cada Bm é união nita de elementos em MF(µ)segue

que Bm ∈ MF, para todo m ∈ N, e portanto A ∈ MF(µ). Com isto mostramos que

se A ∈ M(µ) com |µ∗_{(A)| < +∞, então A ∈ M} F(µ).

Para que µ∗ _{seja σ-aditiva em M(µ), devemos garantir que se A =} S∞

m=1

Am, em que

{Am} é formada por elementos de M(µ), então

µ∗(A) = ∞ X m=1 µ∗(Am). No caso µ∗_(A

m) < ∞, para todo m, como vimos, cada Am ∈ MF(µ) . Resta então

supor µ∗_(A

m) = ∞, para algum m ∈ N, nesta situação a igualdade desejada se

torna imediata.

• M(µ) é um σ-anel. Se, para cada j ∈ N, o conjunto Aj é uma união enumerável de

elementos de MF(µ), então a união ∞

S

j=1

Aj continua sendo uma união enumerável de

conjuntos nitamente µ-mensuráveis e, portanto, uma das condições para ser σ-anel está satisfeita. Agora, denotamos por

A = ∞ [ m=1 Am e B = ∞ [ m=1 Bm, com Am, Bm ∈ MF(µ),

dois elementos de M(µ). Para cada m, segue das leis de D'Morgan a igualdade

Am∩ B = Am∩ ∞ [ k=1 Bk ! = ∞ [ k=1 (Am∩ Bk),

sendo MF(µ) um anel, temos que Am ∩ Bk ∈ MF(µ), para todo k ∈ N, e portanto

A ∩ B = ∞ [ m=1 (Am∩ B) ∈ M(µ). Além disso, µ∗(Am\ B) ≤ µ∗(Am) < ∞, já que Am\ B ⊂ Am,

o que implica em Am\ B ∈ MF(µ) e com isso A \ B ∈ M(µ), pois

A \ B = ∞ [ m=1 (Am\ B).  Nesta última demonstração obtivemos o seguinte resultado:

A ∈ M(µ) tal que |µ∗(A)| < ∞ ⇒ A ∈ MF(µ).

Isto justica designarmos os elementos de MF(µ)como conjuntos nitamente µ-mensuráveis.

Além disso, não faremos mais distinção entre µ∗ _{e µ. Assim, originalmente µ estava}

denida em E e foi extendida a uma função σ-aditiva no σ-anel M(µ), esta extensão é chamada de medida.

Denição 1.1.16 (Medida de Lebesgue). A extensão da função m (vide Denição1.1.6) é chamada medida de Lebesgue em Rn_.

Exemplo 1.1.17. Seja X um conjunto qualquer. Denimos a função # : P(X) → R por

#(A) =cardinal de A, ∀A ⊂ X. A função # é chamada de medida da contagem.

É simples observarmos que # é σ-aditiva. Para denir tal função não estamos preo-cupados com cardinais innitos de diferentes tamanhos, ou seja, se um elemento de P(X) tem innitos elementos então # associa este conjunto a +∞ ∈ R. Donde, os conjuntos que possuem medida nita com relação à # são exclusivamente aqueles subconjuntos de X que possuem nitos elementos.

Agora vejamos alguns fatos sobre o σ-anel M(µ) formado pelos subconjuntos de Rn

que são mensuráveis segundo µ.

a) Se A é aberto, então A ∈ M(µ). Ora, basta que consideremos uma base B para a topologia de Rn _{formada por cubos de raio racional e centro em vetores cujas}

Qn× Q) e como os abertos são uniões de elementos básicos, concluímos que A é uma união enumerável de n-cubos e portanto um elemento de M(µ). Por complemento, todos os conjuntos fechados também estão em M(µ).

b) Dados A ∈ M(µ) e ε > 0, existem conjuntos F e G, F fechado e G aberto, tais que

F ⊂ A ⊂ G e µ(G \ A) < ε, µ(A \ F ) < ε.

Se µ(A) < ∞, pela Denição 1.1.9e usando propriedade de ínmo, existe uma cober-tura por abertos elementares de A cuja união denotamos por G de modo que

A ⊂ G e µ(G) < µ(A) + ε,

logo G é um aberto contendo A com µ(G \ A) < ε. Se µ(A) = ∞, como A ∈ M(µ) podemos escrever

A =

∞

[

j=1

Aj tal que µ(Aj) < ∞.

Pelo passo anterior, para cada j ∈ N existe um aberto Gj satisfazendo

Aj ⊂ Gj com µ(Gj\ Aj) <

ε 2j.

Seja G a reunião de todos Gj. Desta forma, G é um aberto que contém A e

µ (G \ A) = µ ∞ [ j=1 (Gj\ A) ! ≤ µ ∞ [ j=1 (Gj\ Aj) ! < ∞ X j=1 ε 2j = ε.

Agora, para econtrarmos o fechado F consideremos o conjunto B = Rn_{\A. Já sabemos}

que existe um aberto G tal que

B ⊂ G e µ(G \ B) < ε. Tomamos o fechado F = Rn_{\ Ge observamos que}

B ⊂ G ⇒ Rn\ G ⊂ Rn_{\ B ⇒ F ⊂ A}

e

A \ F = G \ B ⇒ µ(A \ F ) = µ(G \ B) < ε.

c) Dizemos que E é um conjunto de Borel se E pode ser obtido por um número enumerável de operações com conjuntos abertos, em que cada operação consiste de

união, interseção ou complementação. Se denotarmos por B a coleção de todos os conjuntos de Borel, pelo item a) temos B ⊂ M(µ). Além disso, B é o menor anel contendo todos os conjuntos abertos de Rn_.

d) Dado A ∈ M(µ), existem conjuntos de Borel F e G tais que

F ⊂ A ⊂ G e µ(G \ A) = µ(A \ F ) = 0.

Para cada m ∈ N, pelo item b), sabemos que existem Fm fechado e Gm aberto

satis-fazendo Fm ⊂ A ⊂ Gm, µ(A \ Fm) < 1 m e µ(Gm\ A) < 1 m. Consideremos os seguintes conjuntos borelianos

F = ∞ [ m=1 Fm e G = ∞ \ m=1 Gm.

Segue de imediato que F ⊂ A ⊂ G e, além disso,

µ(G \ A) = µ ∞ \ m=1 (Gm\ A) ! ≤ µ(Gm\ A) < 1 m, ∀m ∈ N e µ(A \ F ) = µ ∞ \ m=1 (A \ Fm) ! ≤ µ(A \ Fm) < 1 m, ∀m ∈ N.

Fazendo m → ∞ nas duas expressões acima concluímos que µ(G \ A) = µ(A \ F ) = 0. Como A = (A \ F ) ∪ F , vemos que cada A ∈ M(µ) é união de um conjunto de Borel com um conjunto de medida nula.

A coleção B é sempre a mesma independente da medida µ, enquanto que os con-juntos de medida nula podem variar.

e) O conjunto O = {E ∈ M(µ); µ(E) = 0} é um σ-anel, para cada medida µ. Dados A, B ∈ O, temos

µ(A ∪ B) + µ(A ∩ B) = µ(A) + µ(B) = 0 ⇒ µ(A ∪ B) = µ(A ∩ B) = 0, pois µ é uma função não negativa, assim A ∪ B ∈ O. Além disso,

µ(A \ B) = µ(A) − µ(B) = 0 ⇒ A \ B ∈ O,

pela Proposição 1.1.11 µ ∞ [ m=1 Am  ≤ ∞ X m=1 µ(Am) = 0 ⇒ ∞ [ m=1 Am ∈ O.

A seguir mostramos que não são apenas os conjuntos enumeráveis que possuem medida de Lebesgue nula.

Exemplo 1.1.18. O conjunto de Cantor C é não enumerável e sua medida segundo Lebesgue é nula.

O conjunto de Cantor C é um subconjunto fechado do intervalo [0, 1] ⊂ R, obtido pelo complementar de uma reunião de intervalos abertos do seguinte modo: Retiramos do intervalo [0, 1] seu terço médio aberto 1

3, 2 3

. Depois, retiramos o terço médio de cada um dos intervalos restantes [0,1

3] e [ 2 3, 1], sobrando 0, 1 9 ∪  2 9, 1 3 ∪  2 3, 7 9 ∪  8 9, 1 . Repetimos

este processo indenidamente. O conjunto C dos pontos que não foram retirados é o conjunto de Cantor.

É conhecido da teoria dos conjuntos que C é não enumerável. Como C é obtido removendo um intervalo de comprimento 1

3, depois dois intervalos de comprimento 1 9,

quatro de comprimento 1

81 e assim por diante. Temos que

m(C) = m([0, 1]) − ∞ X j=0 2j 3j+1 = 1 − 1 3 ∞ X j=0  2 3 j! = 1 − 1 3(1 − 2₃) = 0. 

1.2 Funções Mensuráveis

Denição 1.2.1 (Espaço de Medida). Seja X um conjunto qualquer. Dizemos que X é um espaço de medida se existir um σ-anel M de subconjuntos de X (os quais são chamados mensuráveis) e uma função conjunto σ-aditiva e não negativa µ denida em M.

Na seção anterior mostramos que Rn é um espaço de medida no qual consideramos a

medida de Lebesgue m.

Denição 1.2.2 (Funções Mensuráveis). Seja f uma função denida no espaço de medida X com valores em R. A função f é mensurável se o conjunto

{x ∈ X; f (x) > a} é mensurável para cada a ∈ R.

Exemplo 1.2.3. Sejam X = Rn _{e M = M(µ) como na seção anterior. Toda função}

De fato, dado a ∈ R temos

{x ∈ X; f (x) > a} = f−1((a, +∞)).

A continuidade de f implica que A é um aberto em X, e como foi visto, todo conjunto aberto pertence a M.

Proposição 1.2.4. Sejam X um espaço de medida e f : X → R uma função. Todas as armações abaixo são equivalentes.

(1) {x ∈ X; f(x) > a} é mensurável para todo a ∈ R. (2) {x ∈ X; f(x) ≥ a} é mensurável para todo a ∈ R. (3) {x ∈ X; f(x) < a} é mensurável para todo a ∈ R. (4) {x ∈ X; f(x) ≤ a} é mensurável para todo a ∈ R. Demonstração. (1) ⇒ (2). De fato, {x ∈ X; f (x) ≥ a} = ∞ \ m=1  x ∈ X; f (x) > a − 1 m  ,

de (1) segue que {x ∈ X; f(x) > a− 1

m}é mensurável para todo m ∈ N, então o conjunto

{x ∈ X; f (x) ≥ a}é interseção enumerável de mensuráveis e portanto mensurável. (2) ⇒ (3).Como complementar de elementos em M estão em M, a relação

{x ∈ X; f (x) < a} = X \ {x ∈ X; f (x) ≥ a}

garante a mensurabilidade de {x ∈ X; f(x) < a}, uma vez que por hipótese cada {x ∈ X; f (x) ≥ a}é mensurável.

(3) ⇒ (4).Basta observarmos que

{x ∈ X; f (x) ≤ a} = ∞ \ n=1  x ∈ X; f (x) < a + 1 n  . (4) ⇒ (1).Segue da igualdade {x ∈ X; f (x) > a} = X \ {x ∈ X; f (x) ≤ a}.  Corolário 1.2.5. Se f : X → R é mensurável, então |f| é mensurável.

Demonstração. Para todo a ∈ R temos

Uma vez que f é mensurável segue da proposição anterior que {x ∈ X; f(x) < a} e {x ∈ X; f (x) > −a} são mensuráveis, desta forma, pela igualdade acima, concluímos

que {x ∈ X; |f(x)| < a} ∈ M. 

Teorema 1.2.6. Seja {fm} uma sequência de funções mensuráveis em X. Consideremos

g(x) = sup

m∈N

fm(x) e h(x) = lim sup fm(x).

Então as funções g e h são mensuráveis. (O mesmo ocorre para inf e lim inf)

Demonstração. Dado a ∈ R, se g(x) > a segue da denição de supremo que existe m ∈ N tal que fm(x) > a, ou seja,

{x ∈ X; g(x) > a} ⊂

∞

[

m=1

{x ∈ X; fm(x) > a}.

Ainda, g(x) > a sempre que fm(x) > a, para algum m ∈ N, isto garante a igualdade

{x ∈ X; g(x) > a} =

∞

[

m=1

{x ∈ X; fm(x) > a}.

Sendo fm mensurável para todo m ∈ N, concluímos que o conjunto acima é uma união

enumerável de conjuntos mensuráveis, o que resulta em g ser mensurável. Resta a mensurabilidade de h. Pela denição de lim sup podemos escrever

h(x) = inf

k∈N{gk(x)},

em que gk(x) = sup{fm(x); m ≥ k}, o que implica em

{x ∈ X; h(x) < a} =

∞

[

k=1

{x ∈ X; gk(x) < a}.

Como vimos acima, cada gk é mensurável e portanto cada conjunto {x ∈ X; gk(x) < a}

está em M, isto garante que {x ∈ X; h(x) < a} é mensurável.  Deste teorema seguem os dois corolários abaixo, ambos imediatos.

Corolário 1.2.7. Se f e g são mensuráveis, então

I. H(x) = max{f(x), g(x)} e h(x) = min{f(x), g(x)} são mensuráveis; II. f+_{(x) = max{f (x), 0} e f}−

(x) = − min{f (x), 0} são mensuráveis.

Teorema 1.2.9. Sejam f e g funções mensuráveis com valores reais denidas em X. Dada uma função contínua F : R2 _{→ R, denimos}

h(x) = F (f (x), g(x)), ∀x ∈ X. Nessas condições, h é mensurável.

Demonstração. Dado a ∈ R denotamos Ga = {(u, v); F (u, v) > a}. Como F é contínua

e Ga = F−1((a, +∞)), segue que cada Ga é aberto. Assim, podemos escrever

Ga= ∞

[

m=1

Im,

em que {Im} é uma sequência de 2-cubos abertos dados por Im = (am, bm) × (cm, dm).

Como f e g são mensuráveis, os conjuntos

{x ∈ X; am < f (x) < bm} = {x ∈ X; f (x) > am} ∩ {x ∈ X; f (x) < bm} e

{x ∈ X; cm < g(x) < dm} = {x ∈ X; g(x) > cm} ∩ {x ∈ X; g(x) < dm}

são mensuráveis e portanto o mesmo ocorre com

{x ∈ X; (f (x), g(x)) ∈ Im} = {x ∈ X; am < f (x) < bm} ∩ {x ∈ X; cm < g(x) < dm}.

Disto segue que

{x ∈ X; h(x) > a} = {x ∈ X; F (f (x), g(x)) > a} = {x ∈ X; (f (x), g(x)) ∈ Ga} = ∞ [ m=1 {x ∈ X; (f (x), g(x)) ∈ Im} é também mensurável. 

Observação. Em particular, o teorema acima implica que

f + g e f · g são mensuráveis.

Denição 1.2.10 (Função Simples). Seja s uma função de valores reais denidas em X. Se a imagem de s é nita, dizemos que s é uma função simples.

Denição 1.2.11 (Função Característica). Seja E ⊂ X. Denimos

χE(x) =

(

1, x ∈ E 0, x /∈ E,

chamamos χE a função característica do subconjunto E.

Proposição 1.2.12. Toda função simples s : X → R é combinação linear nita de funções características. Além disso, digamos que s = Pm

i=1

ciχEi com cada Ei ⊂ X, então s é mensurável se, e somente se, Ei for mensurável para todo i = 1, 2, . . . , m.

Demonstração. Supomos que a imagem de s é constituída pelos números distintos c1, c2, . . . , cm.

Denotamos Ei = {x ∈ X; s(x) = ci}, então dado x ∈ X temos

s(x) = cj, para algum j ∈ {1, 2, . . . m} ⇒ x ∈ Ej e x /∈ Ei, ∀i 6= j

⇒ χEj(x) = 1 e χEi(x) = 0, ∀i 6= j ⇒ s(x) = m X i=1 ciχEi(x). Logo, s = c1χE1 + . . . + cmχEm.

Para concluir o resultado basta notarmos que dado a ∈ R

{x ∈ X; s(x) ≤ a} =

m

[

i=1

{Ei; ci ≤ a}

e esta união será mensurável para todo a ∈ R se, e somente se, cada Eifor mensurável. 

Teorema 1.2.13. Seja f : X → R uma função. Então, existe uma sequência {sm} de

funções simples tais que

lim

m→∞sm(x) = f (x), ∀x ∈ X.

Além disso:

a) Se f é mensurável podemos escolher {sm} sequência de funções simples mensuráveis.

b) Se f ≥ 0, {sm} pode ser tomada como sendo uma sequência monótona crescente.

Demonstração. Supomos inicialmente que f é não negativa. Para cada m ∈ N, denotamos

Fm = {x ∈ X; f (x) ≥ m} e Emi =  x ∈ X; i − 1 2m ≤ f (x) < i 2m  , com i = 1, . . . , m2m. Notemos que, xado m ∈ N, os conjuntos E

mi e Fm cobrem X e são disjuntos dois a dois. Denimos as funções

sm(x) = m2m X i=1 i − 1 2m χEmi + mχFm.

Armamos que a sequência {sm} é monótona crescente. De fato, dado um natural m

1. x ∈ Emi, para algum i = 1, 2, . . . , m2m. Nesta situação, sm(x) = i − 1 2m , e também ocorre i − 1 2m ≤ f (x) < i 2m ⇒ (2i − 1) − 1 2m+1 ≤ f (x) < 2i 2m+1.

Logo, x ∈ E(m+1)(2i−1) ou x ∈ E(m+1)2i. Assim,

sm+1(x) =

i − 1

2m ou sm+1(x) =

2i − 1 2m+1

e em ambos casos concluímos que sm(x) ≤ sm+1(x).

2. x ∈ Fm. Neste caso,

sm(x) = m e f (x) ≥ m.

Se f(x) ≥ m + 1, então sm+1(x) = m + 1 > m = sm(x), donde resta supor f(x)

estritamente menor que m + 1, ou seja,

x ∈ E(m+1)i, para algum i = 1, 2, . . . , (m + 1)2

m+1

. Como f(x) ≥ m devemos ter

i 2m+1 > m ⇒ i ≥ m2 m+1_{+ 1.} Desta forma, i − 1 2m+1 ≤ f (x) < i 2m+1, para algum i = m2 m+1_{+ 1, . . . , (m + 1)2}m+1_, e portanto sm+1(x) = i − 1 2m+1 ≥ (m2m+1+ 1) − 1 2m+1 = m = sm(x).

Além disso, para cada x ∈ X, {sm(x)} é limitada superiormente por f(x), disto

concluímos que {sm(x)} é convergente.

Para mostrarmos que f(x) é o limite da sequência {sm(x)}, para cada x ∈ X, é

su-ciente vericarmos que f(x) = sup

m∈N

{sm(x)}, visto que toda sequência monótona crescente

e limitada converge para o seu supremo. Ora, dado ε > 0 tomamos m0 sucientemente

1

2m0 < ε e sm0(x) = i − 1

2m0 , e com isto obtemos

i − 1 2m0 ≤ f (x) < i 2m0 ⇒ f (x) < sm0(x) + 1 2m0 < sm0(x) + ε ⇒ f (x) − ε < sm0(x). Concluímos, então, que a sequência {sm(x)} converge para f(x), em que cada sm(x) é

função simples não negativa. No caso geral, basta que consideremos f = f+_{− f}−_.

Observamos que se f for mensurável, cada um dos conjuntos Emi e Fm serão mensu-ráveis garantindo assim a mensurabilidade das funções simples sm. 

1.3 Integração

Nesta seção continuaremos com as notações, ou seja, M é um anel constituído de sub-conjuntos de X os quais são ditos mensuráveis segundo a medida µ.

Seja E ∈ M. Supomos s(x) = Pm

i=1

ciχEi(x)mensurável, com x ∈ X e ci > 0. Conside-remos IE(s) = m X i=1 ciµ(E ∩ Ei),

com isto temos a seguinte denição:

Denição 1.3.1 (Integral de Lebesgue). Se f é mensurável e não negativa, denimos Z

E

f dµ = sup{IE(s)},

em que este sup é tomado sobre todas as funções mensuráveis simples s tais que 0 ≤ s ≤ f. A expressão R

E

f dµ é chamada integral de Lebesgue da função f sobre E com respeito à medida µ.

Proposição 1.3.2. Se s é uma função simples não negativa, então R

E sdµ = IE(s). Demonstração. Denotamos s = Pm i=1 aiχEi. Tomamos s0 = k P j=1

bjχFj função simples satisfa-zendo 0 ≤ s ≤ s0_{. Dado x ∈ F}

j, temos

bj = s0(x) ≤ s(x) = ai, para algum i = 1, . . . m,

ou seja, x ∈ Ei o que implica em Fj ⊂ Ei. Reindexamos a família {Fj} de modo que

Fj ⊂ Ej, para todo j = 1, 2, . . . , k, desta forma obtemos µ(E ∩ Fj) ⊂ µ(E ∩ Ej) e

i = 1, . . . , m, e disto temos IE(s0) = k X i=1 biµ(E ∩ Fi) ≤ k X i=1 aiµ(E ∩ Ei) ≤ m X i=1 aiµ(E ∩ Ei) = I(s).

Mostramos então que I(s) é um limitante superior de

{I(s0); s0 função simples e 0 ≤ s0 ≤ s}, mas I(s) é também um elemento deste mesmo conjunto, portanto

Z

E

sdµ = sup{IE(s0); s0 função simples e 0 ≤ s0 ≤ s} = I(s).



Exemplo 1.3.3. Consideremos a medida da contagem # denida no Exemplo1.1.17com X = N. Neste caso, para toda função não negativa f : N → R temos que

Z N f d# = ∞ X n=1 f (n). (1.4)

Neste ponto, quando estamos trabalhando com séries podemos usar todas as propriedades da integral de Lebesgue, já que tal série pode ser vista como a integral relacionada à medida da contagem.

De fato, por denição de integral, Z

N

f d# = sup {I_N(s); s é função simples e 0 ≤ s ≤ f} . (1.5)

Tomamos s uma função simples arbitrária tal que 0 ≤ s ≤ f, escrevemos

s = k X i=1 ciχEi, em que os E0

is são tomados disjuntos dois a dois. Se para algum i tivermos #(Ei) = ∞,

então devido à expressão (1.5) a igualdade em (1.4) é imediata. Desta maneira, podemos supor que, para cada i = 1, 2, . . . , k,

#(Ei) = mi ∈ N ⇒ Ei =n1i, n 2 i, . . . , n mi i ⇒ s(nj_i) = ci, ∀j = 1, . . . , mi.

Então, ci = s(nji) ≤ f (n j

i) para qualquer j = 1, . . . , mj e disto obtemos que

I(s) = k X i=1 ci#(Ei) = k X i=1 cimi ≤ k X i=1 f (n1_i) + f (n2_i) + . . . + f (nmi i )

em que esta última soma é da forma PM

n=1

f (n)com M ∈ N. Portanto, sendo f não negativa,

I(s) ≤ ∞ X n=1 f (n) ⇒ Z N f d# ≤ ∞ X n=1 f (n).

Para a desigualdade contrária, escolhemos para cada l ∈ N a função simples

sl = l X n=1 f (n)χ{n}. Notemos que sl(m) = ( f (m), se m ≤ l 0, se m > l ⇒ 0 ≤ sl≤ f, ∀l ∈ N, e assim, I(sl) = l X n=1 f (n) ≤ Z N f d#, ∀l ∈ N.

Fazendo l → ∞ obtemos que

∞ X n=1 f (n) ≤ Z N f d#

o que conclui a igualdade em (1.4). 

Denição 1.3.4 (Função Integrável). Seja f mensurável. Consideremos Z E f+dµ e Z E f−dµ,

em que f+ _{= max{f, 0}} e f− _{= − min{f, 0}. Se ao menos uma das integrais acima é}

nita, denimos Z E f dµ = Z E f+dµ − Z E f−dµ.

Lebesgue, com respeito à medida µ, e denotamos f ∈ L(µ) em E.

Usualmente escrevemos L = L(m), em que m é a medida de Lebesgue. Proposição 1.3.5. Seja f uma função mensurável. São válidas:

1. Se f é limitada em E e µ(E) < +∞, então f ∈ L(µ) em E.

2. Se a ≤ f(x) ≤ b, para todo x ∈ E, e µ(E) < +∞, então

aµ(E) ≤ Z

E

f dµ ≤ bµ(E).

3. Se f é integrável em E, para qualquer c ∈ R, temos cf ∈ L(µ). Além disso, Z E cf dµ = c Z E f dµ. 4. Se µ(E) = 0, então R E f dµ = 0.

5. Se f ∈ L(µ) em E, então f ∈ L(µ) em A, para qualquer A ∈ M com A ⊂ E. Demonstração. 1. Para qualquer subconjunto Ei ⊂ E temos µ(E ∩Ei) ≤ µ(E) < +∞.

Desta forma, sendo f limitada, os conjuntos

{IE(s); 0 ≤ s ≤ f+} e {IE(s); 0 ≤ s ≤ f−}

são limitados e portanto admitem supremo, ou seja, Z E f+dµ < +∞ e Z E f−dµ < +∞.

2. Supomos a ≥ 0, o caso a < 0 é análogo. Consideremos a função simples

s = aχE = ( a, se x ∈ E 0, se x /∈ E. Ora, 0 ≤ s ≤ a ≤ f e então IE(s) ≤ R E f dµ, mas aµ(E) = aµ(E ∩ E) = IE(s) ≤ Z E f µ.

Para a outra desigualdade tomamos uma função simples s de modo que 0 ≤ s ≤ f e mostremos que IE(s) ≤ µ(E)b. Denotamos s =

k

P

i=1

e E0 = k S i=1 Ei. Observamos que s ≤ f ≤ b ⇒ ci ≤ b (i = 1, . . . , k) ⇒ c0 ≤ b,

e sendo µ uma medida,

µ (E ∩ E0) = µ E ∩ _[k i=1 Ei  !

= µ(E ∩ E1) + µ(E ∩ E2) + . . . + µ(E ∩ Ek).

Concluímos que IE(s) = k X i=1 ciµ(E ∩ Ei) ≤ c0 _Xk i=1 µ(E ∩ Ei)  = c0µ(E ∩ E0) ≤ bµ(E), conforme o desejado.

3. Inicialmente mostremos para c ≥ 0. Como c ≥ 0 temos que

(cf )+ _{= max(cf, 0) = c max(f, 0) = c(f}+_{) e} (cf )− = − min(cf, 0) = c(− min(f, 0)) = c(f−), assim, Z E (cf )dµ = Z E (cf )+dµ − Z E (cf )−dµ = Z E c(f+)dµ − Z E c(f−)dµ. Se s = Pk i=1

aiχEi é função simples tal que 0 ≤ s ≤ f

+_{, então 0 ≤ cs ≤ cf}+ _{com cs}

também função simples, para todo c ≥ 0 . Ainda,

IE(cs) = k X i=1 caiµ(E ∩ Ei) = c k X i=1 aiµ(E ∩ Ei) ! = cIE(s), o que implica em

sup{IE(cs); 0 ≤ s ≤ f+} = sup{cIE(s); 0 ≤ s ≤ f+} = c sup{IE(s); 0 ≤ s ≤ f+},

isto é, Z E c(f+)dµ = c Z E f+dµ, ∀c ≥ 0.

O procedimento acima se aplica para qualquer função positiva, ou seja, também é válido que R

E

c(f−)dµ = cR

E

Para o caso c < 0, basta mostrarmos que Z E −f dµ = − Z E f dµ,

uma vez que R

E

cf dµ = R

E

(−c)(−f )dµ = −cR_E−f dµ. De fato, isto decorre direta-mente das igualdades

(−f )+ = max(−f, 0) = − min(f, 0) = f− e (−f )− = − min(−f, 0) = max(f, 0) = f+.

4. Ora, para todo subconjunto F de Rn_{temos µ(F ∩E) ≤ µ(E) = 0, ou seja, µ(F ∩E)}

é zero. Assim, para qualquer função simples s, IE(s) = 0 e portanto

Z

E

f dµ = sup{IE(s); 0 ≤ s ≤ f } = 0.

5. Como A ⊂ E, temos µ(Ei∩ A) ⊂ µ(Ei ∩ E) para todo conjunto Ei ⊂ Rn. Desta

forma IA(s) ≤ IE(s), para qualquer função simples s, o que acarreta em

sup{IA(s); 0 ≤ s ≤ f } ≤ sup{IE(s); 0 ≤ s ≤ f } ⇒ Z A f dµ ≤ Z E f dµ < ∞.  Proposição 1.3.6. Se f e g são integráveis em E tais que f(x) ≤ g(x), para todo x ∈ E, então Z E f dµ ≤ Z E gdµ.

Demonstração. Como f(x) ≤ g(x), temos

f+≤ g+ _{e g}−_{≤ f}− . Então, {IE(s); 0 ≤ s ≤ f+} ⊂ {IE(s); 0 ≤ s ≤ g+} e {IE(s); 0 ≤ s ≤ g−} ⊂ {IE(s); 0 ≤ s ≤ f−}, o que implica em Z E f+dµ ≤ Z E g+dµ e Z E g−dµ ≤ Z E f−dµ.

Portanto, Z E f dµ = Z E f+dµ − Z E f−dµ ≤ Z E g+dµ − Z E g−dµ = Z E gdµ.  Teorema 1.3.7. Seja f função mensurável e não negativa em X. A função

Φ(A) = Z

A

f dµ, ∀A ∈ M

é σ-aditiva em M. O mesmo ocorre se considerarmos f ∈ L(µ) em X.

Demonstração. Dados Aj ∈ M devemos mostrar que Φ(A) = ∞ P m=1 φ(Am), em que A é a união S∞ m=1

Am. Se f = χE, para algum E ⊂ Rn, então

Φ(A) = Z

A

χEdµ = IA(χE) = µ(A ∩ E)

e o resultado segue do fato de µ ser σ-aditiva. Da mesma forma, se f é simples, digamos f = k P i=1 ciχEi, então Φ(A) = Z A f dµ = IA(f ) = k X i=1 ciµ(A ∩ Ei).

No caso geral, para cada função mensurável simples 0 ≤ s ≤ f já temos

IA(s) = Z A sdµ = ∞ X m=1 Z Am sdµ ≤ ∞ X m=1 Z Am f dµ = ∞ X m=1 Φ(Am). Então, Φ(A) = Z A f dµ = sup{IA(s); 0 ≤ s ≤ f } ≤ ∞ X m=1 Φ(Am).

Agora, se Φ(Am) = +∞, para algum m ∈ N, é claro que Φ(A) = ∞

P

m=1

Φ(Am), portanto

podemos supor cada Φ(Am) < +∞. Dado ε > 0, por denição de supremo, existe função

simples s tal que 0 ≤ s ≤ f e Z A1 sdµ ≥ Z A1 f dµ − ε e Z A2 sdµ ≥ Z A2 f dµ − ε.

Por esta razão, Φ(A1∪ A2) ≥ Z A1∪A2 sdµ = Z A1 sdµ + Z A2 sdµ ≥ φ(A1) + φ(A2) − 2ε.

Seguindo indutivamente, para cada m ∈ N, obtemos

Φ(A1∪ A2∪ . . . ∪ Am) ≥ φ(A1) + . . . φ(Am)

Como, para todo m ∈ N, A ⊃ A1 ∪ A2 ∪ . . . Am segue que Φ(A) ≥ m P j=1 Φ(Aj), fazendo m → ∞ concluímos que Φ(A) ≥ ∞ X j=1 Φ(Aj) e conseguimos a igualdade. 

Corolário 1.3.8. Se A ∈ M, B ⊂ A, e µ(A \ B) = 0, então Z A f dµ = Z B f dµ.

Demonstração. Da Proposição1.3.5 segue que R

A\B f dµ = 0, escrevendo A = B ∪ (A \ B) obtemos Z A f dµ = Z B∪(A\B) f µ = Z B f dµ,

já que pelo teorema anterior Z B∪(A\B) f µ = Z B f dµ + Z A\B f dµ.  Sejam f e g funções mensuráveis com valores em R denidas em X. Em vista do último corolário, denimos a seguinte relação

f ∼ g em E ⇔ µ ({x ∈ X; f(x) 6= g(x)} ∩ E) = 0.

Se f e g estão relacionadas em E signica que f = g em E a menos de um conjunto de medida nula, comumente dizemos que f = g em quase toda parte (q.t.p.) de E (esta expressão depende da medida considerada, no caso em que não é explícito qual a medida usada é porque estamos lidando com a medida de Lebesgue m).

A relação acima denida é de equivalência, pois as seguintes propriedades são imeditas. i) f ∼ f, para toda função mensurável f : X → R.

ii) Se f ∼ g, então g ∼ f, para quaisquer f e g mensuráveis.

iii) Se f ∼ g e g ∼ h, então f ∼ h, quaisquer que sejam f, g e h mensuráveis. Portanto, pelo corolário anterior,

f ∼ g ⇒ Z A f dµ = Z A gdµ,

para todo conjunto mensurável A ⊂ E (assumindo que as integrais existam).

Proposição 1.3.9. Se f : X → R é uma função não negativa, temos a seguinte implica-ção

Z

X

f dµ = 0 ⇒ f = 0 q.t.p. de X.

Demonstração. Supomos, por absurdo, que f não se anula em quase toda parte de X. Portanto, existe uma constante a > 0 e um subconjunto A de X tal que

µ(A) > 0 e f ≥ a > 0 em A. Desta forma, Z X f dµ ≥ Z A f dµ ≥ Z A adµ = aµ(A) > 0,

o que contradiz a hipótese de que a integral da f sobre X é nula.  Proposição 1.3.10. Se f ∈ L(µ) em E, então |f| ∈ L(µ) em E e       Z E f dµ       ≤ Z E |f |dµ.

Demonstração. Podemos considerar E = A ∪ B, em que f(x) ≥ 0 em A e f(x) < 0 em B. Pelo Teorema 1.3.7, Z E |f |dµ = Z A |f |dµ + Z B |f |dµ = Z A f+dµ + Z B f−dµ.

de |f|. Ainda, f ≤ |f| e −f ≤ |f| implicam que Z E f dµ ≤ Z E |f |dµ e − Z E f dµ ≤ Z E |f |dµ. Portanto,       Z E f dµ       ≤ Z E |f |dµ.  Proposição 1.3.11. Seja g ∈ L(µ) em E. Se a função f mensurável em E satisfaz |f | ≤ g, então f ∈ L(µ) em E. Demonstração. Ora, f+ ≤ g e f− ≤ g ⇒ Z E f+dµ, Z E f−dµ ≤ Z E gdµ < ∞.  Teorema 1.3.12 (Teorema da Convergência Monótona de Lebesgue). Supomos E ∈ M. Seja {fm} uma sequência de funções mensuráveis satisfazendo

0 ≤ f1(x) ≤ f2(x) ≤ . . . ≤ fm(x) ≤ . . . , ∀x ∈ E.

Se f : E → R é denida por f(x) = lim

m→∞fm(x), então lim m→∞ Z E fmdµ = Z E lim m→∞fmdµ = Z E f dµ.

Demonstração. Como {fm(x)} é monótona crescente e fm(x) → f (x), para cada x ∈ E,

segue que a sequência

   Z E fmdµ   

é também monótona crescente e limitada superiormente. Portanto, existe α ∈ R tal que Z E fmdµ → α, quando m → ∞. Além disso, fm ≤ f, ∀m ∈ N ⇒ Z E fmdµ ≤ Z E f dµ, ∀m ∈ N ⇒ α ≤ Z E f dµ.

Resta mostrarmos a outra desigualdade, isto é, R

E

f dµ ≤ α.

Tomamos 0 < c < 1 e uma função simples mensurável s com 0 ≤ s ≤ f. Denotamos

Em = {x ∈ X; fm(x) ≥ cs(x)},

é imediato que

E1 ⊂ E2 ⊂ . . . ⊂ Em ⊂ . . . .

Da convergência fm(x) → f (x), para todo x em E, concluímos que

E =

∞

[

m=1

Em.

Para cada m ∈ N, temos que Z E fmdµ ≥ Z Em fmdµ ≥ c Z Em sdµ. (1.6)

Por outro lado, sendo Φ(A) = R

A

f dµ uma função conjunto σ-aditiva, segue do Teorema

1.1.3 que Φ(Em) → Φ(E), ou seja,

Z Em sdµ → Z E sdµ, quando m → ∞.

Fazendo m → ∞ na equação (1.6), obtemos

α ≥ c Z E sdµ ⇒ α ≥ Z E sdµ,

visto que 0 < c < 1 é arbitrário. Logo, R

E f dµ ≤ α e com isto Z E f dµ = α = lim m→∞ Z E fmdµ. 

Teorema 1.3.13. Se f = f1+ f2, em que f1, f2 ∈ L(µ) em E. Então, f ∈ L(µ) em E e

Z E f dµ = Z E f1dµ + Z E f2dµ.

da Proposição 1.3.2que Z E f dµ = Z E (f1+ f2)dµ = IE(f1+ f2) = IE(f1) + IE(f2) = Z E f1dµ + Z E f2dµ,

e portanto o resultado é válido. Mais geralmente, para quaisquer funções mensuráveis f1 e

f2, pelo Teorema1.2.13, podemos escolher sequências {s (1)

m }e {s(2)m }monótonas crescentes

de funções simples não negativas e mensuráveis tais que

lim m→∞s (1) m = f1 e lim m→∞s (2) m = f2. Consideremos sm = s (1)

m + s(2)m . É imediato que {sm} converge para f e como já vimos

Z E smdµ = Z E s(1)_m dµ + Z E s(2)_m dµ.

Calculamos o limite da expressão acima quando m → ∞ e aplicamos o teorema anterior para obtermos o desejado.

Agora, supomos f1 ≥ 0e f2 ≤ 0. Tomamos os conjuntos

A = {x ∈ E; f (x) ≥ 0} e B = {x ∈ E; f(x) ≤ 0}. As funções f, f1 e −f2 são não negativas em A, assim

Z A f1dµ = Z A (f − f2)dµ = Z A f dµ − Z A f2dµ, ou seja, Z A f dµ = Z A f1dµ + Z A f2dµ. (1.7)

Similarmente, −f, f1 e −f2 são não negativas em B e com isto

Z B −f2dµ = − Z B f dµ + Z B f1dµ ⇒ Z B f dµ = Z B f1dµ + Z B f2dµ. (1.8)

Uma vez que E = A ∪ B, basta somarmos as equações (1.7) e (1.8) para concluirmos o desejado.

E1 = {x ∈ E; f1(x), f2(x) ≥ 0}

E2 = {x ∈ E; f1(x), f2(x) ≤ 0}

E3 = {x ∈ E; f (x) ≥ 0 e f1(x) ≤ 0}

E4 = {x ∈ E; f (x) ≥ 0 e f2(x) ≤ 0}.

As situações provadas acima implicam que Z Ei f dµ = Z Ei f1dµ + Z Ei f2dµ, ∀i = 1, 2, 3, 4, e então Z E f dµ = 4 X i=1 Z Ei f dµ = 4 X i=1   Z Ei f1dµ + Z Ei f2dµ  = Z E f1dµ + Z E f2dµ. 

Este último teorema conclui o fato que a integral é uma aplicação linear.

Teorema 1.3.14. Supomos E ∈ M. Se {fm} é uma sequência de funções mensuráveis

não negativas e f (x) = ∞ X m=1 fm(x), ∀x ∈ E, então Z E f dµ = ∞ X m=1 Z E fmdµ.

Demonstração. As somas parciais da série

∞ X m=1 Z E fmdµ

formam uma sequência monótona crescente, já que R

E

fmdµ ≥ 0, para todo m ∈ N. Segue

do Teorema 1.3.12 que Z E k X m=1 fmdµ → Z E f dµ, quando k → ∞. (1.9)

Z E k X m=1 fmdµ = k X m=1 Z E fmdµ, ∀k ∈ N,

e portanto concluímos da equação (1.9) que

∞ X m=1 Z E fmdµ = Z E f dµ. 

Teorema 1.3.15 (Lema de Fatou). Seja E ∈ M. Se {fm} é uma sequência de funções

mensuráveis, não negativas e f(x) = lim inf fm(x), para todo x ∈ E, então

Z E f dµ ≤ lim inf Z E fmdµ.

Demonstração. Para cada m ∈ N e x ∈ E consideremos

gm(x) = inf{fk(x); k ≥ m}.

Já vimos que cada gm é mensurável em E, além disso, pela denição de gm,

0 ≤ g1(x) ≤ g2(x) ≤ . . . ≤ gm(x) ≤ . . . ,

gm(x) ≤ fm(x) e lim

m→∞gm(x) = f (x).

Aplicando o Teorema1.3.12 obtemos Z E gmdµ → Z E f dµ, quando m → ∞.

Como gm(x) ≤ fm(x)segue que

Z E gmdµ ≤ Z E fmdµ, ∀m ∈ N,

e para concluir o resultado basta tomarmos o lim inf nesta última expressão. 

Teorema 1.3.16 (Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue). Seja E ∈ M e seja {fm} uma sequência de funções mensuráveis tais que

f (x) = lim

m→∞fm(x), ∀x ∈ E.

q.t.p. de E) e todo m ∈ N, então lim m→∞ Z E fmdµ = Z E f dµ.

Demonstração. Decorre do fato |fm(x)| ≤ g(x) e da Proposição1.3.11 que fm ∈ L(µ)em

E, e portanto f ∈ L(µ) em E. Observamos que para todo x ∈ E

−fm(x) ≤ gm(x), ∀m ∈ N ⇒ fm(x) + g(x) ≥ 0, ∀m ∈ N e

lim

m→∞fm(x) + g(x) = f (x) + g(x).

O Teorema 1.3.15 garante que Z E (f + g)dµ ≤ lim inf Z E (fm+ g)dµ,

ou ainda, usando a lineariedade da integral, Z E f dµ ≤ lim inf Z E f dµ.

Temos também que g(x) − fm(x) ≥ 0, para todo x ∈ E, e portanto, de forma análoga,

concluímos que Z E (g − fm)dµ ≤ lim inf Z E (g − fm)dµ ⇒ − Z E f dµ ≤ lim inf  − Z E fmdµ   ⇒ Z E f dµ ≥ lim sup Z E fmdµ.

A existência do limite dada no enunciado implica na igualdade

lim sup Z E fmdµ = lim inf Z E fmdµ = lim m→∞ Z E f dµ, e disto obtemos Z E f dµ = lim m→∞ Z E fmdµ.  Até o presente momento, apresentamos a teoria de integração para funções com valores reais. No entanto, é simples estendermos as denições e resultados para funções complexas como veremos a seguir.

Seja f : X → C, em que X é um espaço de medida. Podemos escrever

f (x) = u(x) + iv(x), ∀x ∈ X,

com u e v funções reais denidas em X. Sendo assim, dizemos que f é mensurável se, e somente se, u e v são também mensuráveis. A soma e produto de funções complexas mensuráveis são mensuráveis, uma vez que este resultado é válido para funções reais. Além disso, como

|f | =√u2_{+ v}2_,

o Teorema 1.2.9 garante que |f| é mensurável sempre que f for mensurável.

Consideremos µ uma medida em X, E um subconjunto mensurável de X e f : X → C uma função. Dizemos que f ∈ L(µ), ou equivalentemente, f é integrável em E se f for mensurável e Z E |f |dµ < ∞. (1.10) Denimos Z E f dµ = Z E udµ + i Z E vdµ.

Decorre das desigualdades

|u| ≤ |f |, |v| ≤ |f | e |f| ≤ |u| + |v|,

que f ∈ L(µ) em E se, e somente se, u ∈ L(µ) e v ∈ L(µ) em E. Desta forma, todos os resultados sobre integração que não utilizam a relação de ordem da reta são válidos para funções com valores complexos.

1.4 Comparação com a Integral de Riemann

Para nalizar este capítulo, vejamos como a integral de Lebesgue se relaciona com a integral de Riemann. O próximo teorema mostrará que, de fato, Lebesgue estendeu a noção de integração dada por Riemann, mas antes façamos algumas considerações e recordemos a denição da integral de Riemann.

(medida de Lebesgue). Sendo f : X → R limitada, denotamos Z X f dm = Z b a f dx.

Se f ∈ L(µ) em [a, b] dizemos que f é Lebesgue integrável em [a, b].

Denição 1.4.1 (Integral de Riemann). Seja [a, b] ⊂ R. Uma partição P de [a, b] é um conjunto de pontos x0, x1, . . . , xn tais que

a = x0 ≤ x1 ≤ . . . ≤ xn= b.

Seja f função real e limitada em [a, b], denotamos

Mi = maxf (x); x ∈ [xi−1, xi] , mi = minf (x); x ∈ [xi−1, xi] ,

U (P, f ) = n X i=1 Mi∆i e L(P, f ) = n X i=1 mi∆i,

em que ∆i = xi− xi−1. Enim, denimos

Z

a b

f dx = infU (f, P ) (integral de Riemann superior) Z b

a

f dx = supL(f, P ) (integral de Riemann inferior)

em que o sup e o inf são tomados sobre todas as partições P de [a, b]. Dizemos que f é Riemann integrável se a integral superior e inferior coincidem, denotamos este valor comum por

Z b

a

f dx.

Am de não causar confusões com a notação, usaremos

R Z b

a

f dx, para representar a integral segundo Riemann.

Teorema 1.4.2. Se f é Riemann integrável em [a, b], então f é Lebesgue integrável em [a, b]. Além disso,

Z b a f dx = R Z b a f dx.

escolhermos sequência {Pk} de partições de [a, b] satisfazendo Pk ⊂ Pk+1, ∀k ∈ N, e denotando Pk = {x0, x1, . . . , xn}, xi− xi−1< 1 k, ∀i = 0, 1, . . . , n, mais ainda, lim k→∞L(Pk, f ) = Z b a f dx e lim k→∞U (Pk, f ) = Z a b f dx. (1.11)

Para cada Pk= {x0, x1, . . . , xn}, denimos

Uk(a) = Lk(a) = f (a) e

Uk(x) = Mi, Lk(x) = mi, se x ∈ (xi−1, xi].

Indicando Ei = (xi−1, xi], para cada i = 1, . . . , n, E0 = {a} e m0 = M0 = f (a), podemos

escrever Uk(x) = n X i=0 MiχEi e Lk(x) = n X i=0 miχEi, ∀x ∈ [a, b].

Desta forma, concluímos que Uk e Lk são funções simples e com isto

Z b a Lkdx = I[a,b](Lk) = n X i=0 mim(Ei) = n X i=1 mi∆i = L(Pk, f ) e (1.12) Z b a Ukdx = I[a,b](Uk) = n X i=0 Mim(Ei) = n X i=1 Mi∆i = U (Pk, f ), (1.13)

visto que m(E0) = 0.

Como P1 ⊂ P2 ⊂ . . . segue que

L1(x) ≤ L2(x) ≤ . . . ≤ f (x) ≤ . . . ≤ U2(x) ≤ U1(x), ∀x ∈ [a, b].

Logo, os limites

L(x) = lim

k→∞Lk(x) e U(x) = limk→∞Uk(x)

existem para cada x ∈ [a, b]. Pelo Corolário1.2.8L e U são mensuráveis em [a, b] e, além disso, sabemos que

L(x) ≤ f (x) ≤ U (x), ∀x ∈ [a, b].

Das igualdades (1.11), (1.12) e (1.13) juntamente com o Teorema da Convergência Mo-nótona de Lebesgue obtemos

Z b a Ldx = lim k→∞ Z b a Lkdx  = lim k→∞L(Pk, f ) = Z b a f dx e Z b a U dx = lim k→∞ Z b a Ukdx  = lim k→∞U (Pk, f ) = Z a b f dx. Uma vez que f é Riemann integrável é verdade que

Z a b f dx = Z b a f dx e portanto Z b a Ldx = Z b a U dx.

Esta última expressão implica que L = U = f em quase toda parte de [a, b], o que resulta em f ser mensurável em [a, b]. Então, f é integrável segundo Lebesgue e

Z b a Ldx ≤ Z b a f dx ≤ Z b a U dx ⇒ Z b a f dx = R Z b a f dx.  Exemplo 1.4.3. Seja f : [0, 1] → R dada por

f (x) = (

1, se x /∈ Q 0, se x ∈ Q

A função f é Lebesgue integrável, mas não é Riemann integrável. De fato, é simples observamos que

Z 0 1 f dx = 1 e Z 1 0 f dx = 0,

o que mostra a não integrabilidade de f segundo Riemann. Contudo, sendo A = [0, 1]∩Q enumerável sabemos que sua medida segundo m é nula e portanto

Z [0,1] f dm = Z A f dm + Z [0,1]\A f dm = Z [0,1]\A 1dm = m ([0, 1] \ A) = 1. 

Capítulo 2

Os Espaços L

p

A Integral de Lebesgue é essencial para a denição dos espaços Lp _{os quais são os}

objetos deste capítulo. Apresentamos aqui a sua denição e seus principais resultados. Como veremos no Capítulo 4, os espaços Lp _{trazem uma relação entre as teorias de}

Lebesgue e Schwartz.

2.1 Denição e Propriedades

Denição 2.1.1 (Espaço Lp). Sejam X um espaço de medida, M a coleção dos

subcon-juntos mensuráveis de X em relação à medida µ e 0 < p < ∞. Denimos

Lp_{(X, M, µ) = {f : X → C; f é mensurável e kf k}p < ∞}, em que kf kp =   Z X |f |p_dµ   1 p .

Observação. A notação Lp_{(X, M, µ)deixa explícito em qual conjunto e qual a medida}

que estamos trabalhando. Usaremos esta notação apenas quando houver necessidade, no geral este espaço será denotado apenas por Lp. Além disso, quando tomamos a integral

de f : X → C sobre X, será comum omitirmos X na expressão da integral da f, ou seja, denotaremos tal integral por

Z f dµ.

Dizemos também que Lp _{é o espaço das funções p-integráveis, uma vez que f}

per-tencer a Lp _{signica que |f|}p _{é integrável. Outro espaço que vamos trabalhar adiante é}

Lp_loc(Rn_{)constituído pelas funções localmente p-integráveisem R}n_{, ou seja, são funções}

que são p-integráveis sobre compactos de Rn_.