ANÁLISE DO “CURSO COMPLETO DE MATEMÁTICA MODERNA PARA O ENSINO PRIMÁRIO”: QUAL GEOMETRIA E COMO ENSINÁ-LA?
Thiago Neves Mendonça1 Maria Cristina Araújo de Oliveira
1Universidade Federal de Juiz de Fora/Matemática, thiagoneves18@gmail.com
Resumo
Buscando respostas sobre qual Geometria se fez presente na formação dos professores primários entre 1940 e 1970, o artigo traz uma discussão inicial sobre o Movimento da Matemática Moderna e o ensino primário, compreendido nessa época, com a análise da coleção “Curso completo de Matemática Moderna para o Ensino Primário”, escrita pelas professoras Tosca Ferreira e Henriqueta de Carvalho, que influenciaram a modernização da Matemática no ensino primário. A partir da análise da coleção apresenta-se a Geometria nela contida, a forma como tal conteúdo é abordado e quais instruções são dadas para ensiná-lo. Em termos de conclusão pode-se perceber a influência da Matemática Moderna no ensino da Geometria, como por exemplo, com a utilização da teoria de conjuntos.
Palavras-chave: Formação do Professor Primário; Matemática Moderna, Geometria,
História da Educação Matemática;
1–INTRODUÇÃO
O artigo pretende apresentar uma análise da coleção “Curso completo de Matemática Moderna para o Ensino Primário”, tomando como questão norteadora a geometria proposta na obra e as recomendações para o seu ensino. O estudo integra a pesquisa de mestrado em andamento no Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática da Universidade Federal de Juiz de Fora, Minas Gerais, que investiga a geometria presente na formação de professores primários mineiros entre 1940 e 1970.
A coleção pertence ao acervo de uma professora primária que atuou em escolas de Juiz de Fora na década de 60. Sendo o Movimento da Matemática Moderna um período de grandes transformações no ensino de Matemática, não só no Brasil como em muitos países da Europa, Estados Unidos e Ásia, se objetiva examinar as transformações, bem como as permanências, a partir de tais propostas para o ensino de Matemática, particularmente a geometria.
Na década 1930, a Matemática Moderna é evidenciada com trabalhos de um grupo de matemáticos na França, conhecidos sob o pseudônimo “Bourbaki”, que priorizavam uma matemática unificada, estruturada e fundamentada na teoria de conjuntos (DUARTE 2007, apud DUARTE, BORGES, 2014, p.3)
No ano de 1950, Juscelino Kubistchek era o presidente do Brasil, liderando uma política desenvolvimentista e com a visão educacional atrelada às necessidades do desenvolvimento do país. (DUARTE, BORGES, 2014, p.3). Em 1957, a Matemática Moderna já aparece em congressos com a recomendação dos cursos de aperfeiçoamento para professores e experimentação com a Matemática Moderna, além da inserção de tópicos de Matemática Moderna nos currículos. O movimento ganha força em 1961,
quando George Springer, da Universidade do Kansas, vem ao Brasil a convite do professor Osvaldo Sangiorgi para ministrar curso aos professores da Universidade Presbiteriana Mackenzie em São Paulo (BORGES 2005, apud DUARTE, BORGES, 2014, p.4). Ainda nesse ano aconteceu o primeiro curso relativo à Matemática Moderna, realizado por professores do então recente Grupo de Estudos do Ensino de Matemática (GEEM).
Em 1962 foi aprovado o código do Ensino Primário de Minas Gerais, reconhecido pela lei 2610 de 8 de Janeiro deste ano. Essa lei delineou os princípios e diretrizes do Ensino Primário no Estado. A Matemática Moderna foi tema central das discussões dos participantes do IV Congresso de Ensino da Matemática em Belém, Pará. No ano seguinte, em 1963, o GEEM em convênio com o Departamento de Educação do Estado de São Paulo, ministrou o primeiro curso para os professores primários contando com a presença de 300 professores. Segundo Nakashima (2007), o objetivo desse curso era de levar a atualização e a introdução da Matemática Moderna aos participantes priorizando os novos conteúdos, instrumentalizando os professores para o ensino da Matemática Moderna. Ainda em 1963, os integrantes do GEEM acreditavam que compreendendo a Matemática Moderna os alunos iriam se apropriar da tecnologia e a demanda por profissionais com formação de qualidade seria atendida (MEDINA, 2007, apud DUARTE, BORGES, 2014, p.6).
Em 1965, ocorreram diversas ações no Brasil em relação à Matemática Moderna. O GEEM continuou com os cursos para professores e publicou um livro experimental direcionado à capacitação de professores, intitulado “Introdução da Matemática Moderna na Escola Primária”. Em Minas Gerais, essas modificações acarretaram na reforma dos programas para o ensino primário. (DUARTE, BORGES, 2014, p.6)
De acordo com Alain Choppin (2009), uma análise de manuais se distingue em duas categorias: referente a intenção de uso, voltada mais para a produção, difusão, e a outra referente ao uso efetivo, voltada para as práticas pedagógicas. Nossa análise será referente a intenção de uso, onde buscaremos identificar quais seriam as instruções das autoras para os professores primários em se tratando particularmente da Geometria.).
Segundo Chartier (1991), é importante situar o autor na historicidade de sua produção para que se possa analisar a sua intenção. Na passagem do autor para o leitor, pelo editor, são criados diferentes sentidos e assim se torna fundamental reconhecer as estratégias das quais os autores e editores tentavam impor uma leitura dirigida. “Dessas estratégias, umas são explícitas, recorrendo ao discurso (nos prefácios, advertências, glosas e notas), e outras implícitas, fazendo do texto uma maquinaria (autor, editor, contexto e lugar de produção) que, necessariamente, deve impor uma justa compreensão.” (CHARTIER, 1991, p.123). Nesse sentido, buscaremos informações relevantes sobre as autoras e situá-las na historicidade da produção dessa coleção.
2–UM POUCO SOBRE HENRIQUETA DE CARVALHO E TOSCA FERREIRA
As autoras da coleção são Tosca Ferreira e Henriqueta de Carvalho. Elas foram professoras de Grupos Escolares em São Paulo, Tosca no “Frei Antônio Santana Galvão” enquanto Henriqueta no “Júlio Pestana”. Foram também supervisoras do Ensino da Matemática. Tosca supervisionou no “Educandário S. José do Belém”, e Henriqueta na “Escola Primária do colégio Rio Branco”. Ambas também foram professoras do curso de Admissão, Tosca no “São José” e Henriqueta no Ginásio Estadual “Professor Eurico de Figueiredo” e ainda no “Raul Barbosa” – Jaçanã. Tosca foi professora de Matemática na
Escola Industrial N. Sra das Graças, no Estudo Dirigido do “Colégio Santana das Irmãs de São José” e no Estudo Dirigido do “Colégio São José”. Ambas as autoras foram conferencistas de cursos intensivos de Matemática Moderna no Paraná, Minas Gerais, Santa Catarina, através de promoção das respectivas secretarias da Educação. Henriqueta participou como membro do GEEM.
No trabalho de Arruda (2011) o nome de Henriqueta aparece juntamente com Manhúcia Perelberg Liberman, por serem professoras brasileiras ligadas ao Movimento da Matemática Moderna no Ensino Primário. Segundo Arruda, Henriqueta foi autora de manuais para professores e livros didáticos sobre a Matemática Moderna no ensino primário na década de 1960 e 1970. O professor titular de Matemática e diretor da Escola Secundária o Colégio Rio Branco e ainda membro do conselho consultivo do GEEM considera a professora Henriqueta pioneira no trabalho de modernização da Matemática na escola primária tanto na formação de professores quanto na proposição de livros didáticos às crianças (ARRUDA, 2011, p.201). No volume 1 da coleção “Matemática Moderna”, Henriqueta explica que por ser professora primária, e não matemática, se baseou nos trabalhos de George Papy, Luciene Felix, Osvaldo Sangiorgi, Irene de Alburquerque, Almerindo Bastos, para escrever os demais volumes da mesma coleção (ARRUDA, 2011, p.203).
3–APRESENTAÇÃO DA COLEÇÃO “CURSO COMPLETO DE MATEMÁTICA MODERNA
PARA O ENSINO PRIMÁRIO”
A coleção “Curso completo de Matemática Moderna para o ensino primário”, foi escrita pelas professoras Tosca Ferreira e Henriqueta de Carvalho e publicada pela editora Renovação Ltda, em São Paulo.
Figura 1: Capa do livro "Curso completo de Matemática Moderna para o Ensino Primário” – Vol. 1
FONTE: Livro “Curso completo de Matemática Moderna para o Ensino Primário” do arquivo pessoal da professora Marília Neto Kappel da Silva, doado pela professora Miryan Bordmman de Oliveira.
O prefácio da coleção foi escrito por Jomar Monteiro com o título “Apreciações”. Monteiro defende que o ensino em seus vários níveis, passa por uma fase de transição, evoluindo do “tradicional” para o “renovado”, procurando ajustar-se aos novos rumos de uma escola cuja ação se pauta pelo respeito à personalidade do aluno.
Para Monteiro, o ensino de Matemática se mostrava muito menos aplicado e mais centrado na memorização, sendo este mecanizado. O ensino passaria então por uma mudança, uma nova metodologia, baseada em “Primeiro as coisas, depois as palavras”, ou seja, primeiro os objetos, as experiências, as percepções, as imagens, as abstrações, os conceitos e em seguida a simbolização, obedecendo dessa forma uma marcha natural do espírito infantil: do concreto para o abstrato.
De acordo com Monteiro, essa obra é baseada nos melhores princípios filosóficos e científicos, indo ao encontro dos anseios de toda uma classe, principalmente pelo fato de ter sido escrita pelas professoras primárias do mais alto gabarito que elaboraram uma série de livros de Matemática Moderna. Essa obra, entre outras seria então para consolidar a ação renovadora proposta pelo Setor de Orientação Pedagógica da Chefia de Serviço do Ensino Primário do Departamento de Educação do Estado de São Paulo.
Em todos os volumes da coleção encontramos o decálogo para ser seguido pelo professor e a divisão mensal dos conteúdos apresentados. É interessante ressaltar que a Geometria se dá sempre no final do livro e para o ano são separados os dois últimos meses.
4–AGEOMETRIA PRESENTE NA COLEÇÃO
A seguir discutiremos e apresentaremos a Geometria presente na coleção. Faremos a divisão por volumes, para ficar mais clara a proporção e os direcionamentos dados pelas autoras para tal conteúdo. Para obtermos um panorama da proporção de geometria em cada volume, montamos uma tabela que mostra a quantidade de páginas referentes a esse tema.
Tabela 1: Quantitativo de Geometria em cada volume da coleção “Curso Completo de Matemática Moderna para o Ensino Primário”.
Volume Total de páginas Páginas sobre geometria Porcentagem 1 187 6 3,21% 2 189 14 7,41% 3 197 37 18,78% 4 199 35 17,58% 5 317 43 13,56%
FONTE: Dados da pesquisa.
No primeiro volume da coleção, as autoras defendem que a criança deve começar a receber as primeiras noções de Geometria desde o primeiro grau, dentro das oportunidades
surgidas durante as aulas. Nele são trabalhadas as noções de formas geométricas. O professor deverá dar a noção exata das figuras planas e dos sólidos geométricos, podendo fazer relações com formas aproximadas, por ser o aluno ainda muito novo. Nas atividades sugeridas, aparecem problemas que envolvem cores e formas, também se encontram exercícios para que os alunos correlacionem os objetos às formas, ligando o objeto ao nome de sua forma geométrica, por exemplo, a bola sendo uma esfera, o dado sendo um cubo e o bastão de enrolar massa na forma cilíndrica.
FIGURA 2: Atividades de Geometria e aritmética
FONTE: Livro “Curso completo de Matemática Moderna para o Ensino Primário”, volume 1, p. 177.
No segundo volume, o início da geometria se dá com as formas cúbicas e cilíndricas. Nele encontramos a planificação do cubo e a do paralelepípedo retângulo, com a instrução para o professor recortar e montar os sólidos com as crianças, levando-as a observar que no cubo todas as faces são do mesmo tamanho e possuem a mesma medida, e que essas faces são os quadrados.
FIGURA 3: Planificação do cubo e do paralelepípedo, e o modo de armar.
FONTE: Recorte do livro “Curso completo de Matemática Moderna para o Ensino Primário” volume 2, p. 176, 177 e 178.
Em seguida, encontramos uma ideia de como trabalhar com os quadrados e os retângulos e a partir deles construir os triângulos, fazendo a diagonal dessas figuras. Nesse sentido se introduz a ideia de congruência. A ideia é mostrar todos os tipos de triângulos, deixando a criança perceber que toda figura de três lados é chamada triângulo. Depois vem a ideia de ponto e linhas. As autoras afirmam que a ideia de ponto é intuitiva, e os professores podem fazer pontos na lousa para levar as crianças a perceberem o seu significado. Em seguida, elas instruem os professores para fazerem com que os alunos construam linhas que liguem dois pontos: suas casas até a escola, situação que deverá ser desenhada na lousa, introduzindo o conceito de linha curva. Elas ainda pedem para os professores mostrarem que a menor curva, a que representa o caminho mais curto, é chamada “linha reta”, e que esta é um conjunto de infinitos pontos. Explicam também o conceito de “segmento de reta” e em seguida mostram que a reta pode ser dividida em duas partes, chamadas “semi-retas”.
Dando sequência, as autoras classificam as retas de acordo com suas posições: vertical, inclinada e horizontal. Elas pedem para que os professores mostrem exemplos, como as linhas retas encontradas nas portas, janelas, dos canteiros dos jardins. Ainda sobre as retas, elas instruem os professores a falarem das retas que mantém a mesma distância são chamadas retas paralelas, e dá exemplos, como os trilhos da estrada de ferro, e ainda tem os desenhos das retas paralelas verticais, inclinadas e horizontais. Também são definidas as linhas divergentes, que partem do mesmo ponto, onde o exemplo usado é o de uma menina segurando um balão mostrando que as linhas “partem” da mão da menina. Sobre as linhas convergentes, que vão se encontrar num mesmo ponto, os exemplos usados são as varetas que formam as linhas do guarda-chuva ou do carrossel.
No terceiro volume, o capítulo de Geometria se inicia pelo cubo e pelo quadrado. Nele se tem a ideia de que montando o cubo a criança terá contato com o quadrado. Depois o estudo no cubo é voltado para os vértices e para os lados. O mesmo processo é feito para
o estudo do paralelepípedo e o retângulo, mostrando ainda uma região interna ao retângulo. Há aqui uma comparação entre o quadrado e o retângulo, para que os alunos possam perceber e diferenciar as duas figuras. No livro, encontramos um quadrado ABCD e um retângulo A’B’C’D’ onde as professoras demonstram que o conjunto de lados do quadrado está em correspondência biunívoca e conservam uma relação de equivalência. Em seguida elas mostram que os vértices do quadrado e do retângulo dado se encontram em correspondência biunívoca. Mostram ainda a correspondência entre os lados equivalentes do retângulo, tomando os lados paralelos para fazer tal correspondência. Essa é uma das abordagens típicas da Matemática Moderna.
FIGURA 4: As correspondências biunívocas feitas com o quadrado ABCD e o retângulo A’B’C’D’.
FONTE: Livro “Curso completo de Matemática Moderna para o Ensino Primário”, volume 3, p. 163.
Em seguida, o assunto é sobre o triângulo e a sua classificação quanto aos seus lados: equiláteros, cujos três lados são equivalentes; isósceles, cujos dois lados são equivalentes e o escaleno que não há equivalência entre os lados. O termo “equivalência” é usado para dizer que os lados possuem a mesma medida. Mais adiante o assunto abordado é sobre ângulos e alguns desenhos ilustram os casos de ângulos agudos e oblíquos. Há a
comparação, logo a seguir, do retângulo com o paralelogramo, utilizando a mesma ideia de correspondência biunívoca entre os ângulos.
Para apresentar o losango, elas utilizam o retângulo, pedindo ao aluno para marcar um ponto no “meio” de cada lado do retângulo com auxílio de uma régua e no final, fazer com que a criança ligue os pontos marcados e formar oito triângulos congruentes, conforme ilustra a figura a seguir.
FIGURA 5: A construção do losango através do retângulo, na coleção.
FONTE: Livro “Curso completo de Matemática Moderna para o Ensino Primário”, volume 3, p.176.
Sobre a circunferência, elas instruem aos professores que utilizem de régua e compasso, e mostrar aos alunos que circunferência é a linha curva traçada, e a região interna é chamada de círculo. Ao diferenciar a esfera do círculo, elas escrevem “Esfera é um sólido geométrico, ocupa lugar no espaço. Sua superfície é curva. Rola no espaço como uma bola. O círculo é bem diferente da esfera, ele é uma figura desenhada num plano onde a esfera é um sólido” (CARVALHO, H., FERREIRA, T., p.179)
A seguir, elas trabalham com os sólidos geométricos. Todos têm sua planificação e a instrução dada é que essas planificações sejam desenhadas, em cartolinas e a montagem seja feita com as crianças, trabalhando o que é face, vértice e aresta, e contar esses elementos em cada sólido, prisma, cone e pirâmide, o nomeando segundo a figura que está em sua base. Finalizam o capítulo explicando o conceito de perímetro e calculando o perímetro de algumas figuras planas: o quadrado, o triângulo e o retângulo.
FIGURA 6: Planificações dos sólidos: Prisma, Pirâmide e Cone.
FONTE: Recorte do livro “Curso completo de Matemática Moderna para o Ensino Primário”, volume 3, p. 181, 183, 184, 186 e 187.
No quarto volume, a geometria se inicia com a área do quadrado, assim como a do retângulo, utilizando a ideia de subconjuntos. Um quadrado é dividido em nove quadrados menores e cada linha que contém os quadradinhos são consideradas subconjuntos, onde o aluno vai contar quantos metros quadrados ele tem em cada subconjunto e qual é o total de metros quadrados para o quadrado todo, fechando assim a ideia de área. Elas utilizam o símbolo “ ” de união para representar a soma das linhas. A figura a seguir mostra como as autoras trabalham essa ideia. O mesmo ocorre para a área do retângulo.
FIGURA 7: Área do quadrado com a ideia de subconjunto utilizando o símbolo “ ” de União.
FONTE: Livro “Curso completo de Matemática Moderna para o Ensino Primário”, volume 4, p. 149.
Com a área do paralelogramo, as autoras indicam às professoras para mostrarem que o paralelogramo pode ser visto, a partir de recortes, como um retângulo. A área do losango elas também se baseiam no retângulo, utilizando o desenho da figura 6. A área do trapézio elas montam, com dois trapézios, um paralelogramo e depois deduzem a fórmula. Todas essas áreas são deduzidas e ilustradas. A seguir, elas trabalham a ideia de ângulos e suas medidas. Existe uma parte direcionada para a igualdade e congruência das figuras geométricas, onde elas usam dos conceitos de conjuntos para relacionar as figuras. O conceito de igualdade é bem trabalhado e diferencia igualdade de congruência, retomando a ideia de igualdade entre dois conjuntos, que são iguais quando todos os seus elementos forem iguais.
Após esse estudo, o assunto é referente aos polígonos e linhas poligonais, dando continuidade também ao estudo dos trapézios. O círculo e a esfera são trabalhados posteriormente, com atividades que utilizam régua e compasso, e mostrando as relações entre raio e diâmetro, suas definições. Também mostram a ideia de reta secante, tangente. Definem, mais uma vez, o círculo como o conjunto de pontos da circunferência e o conjunto dos pontos internos a ela. Para falar de esfera, elas instruem que não desenhe a esfera, pois o desenho não fará com que a criança entenda duas propriedades. Mas o professor deve mostra-la. Para finalizar, elas dão os passos para se ensinar o comprimento da circunferência, arcos e medidas dos ângulos inscritos a uma circunferência.
No quinto volume, a ideia de os temas de geometria é abordada de forma semelhante aos volumes anteriores, principalmente o quarto volume por ser mais abrangente.
É importante ressaltar que nos primeiros volumes a Geometria é básica, trabalhando com as crianças apenas os conceitos de formas, de tamanho e posição. Neles são separadas poucas páginas para tratar do assunto. Nos demais, os conteúdos vão sendo abordados com mais detalhes, apresentando os conceitos e definições, bem como propriedades, estruturas, áreas, volume, capacidade e massa, separando esses conteúdos do capítulo reservado à Geometria
De forma geral, a bibliografia apresentada não varia muito de um volume para o outro. As referências bibliográficas voltadas para a Geometria, que aparecem na coleção, são “Algebra Y Geometria para la Escuela Primária – Dr. Calleb Gateño” e “Initiation a la Gêometrie – Dunod – Paris – Luciene Felix” e “Curso de desenho para a 2ª Série Ginasial – José de Arruda Penteado”.
Luciene Felix, professora e pedagoga francesa proferiu palestras tais como a que foi anunciada no “O Estado de São Paulo” em 15 de Agosto de 1962 com o título“Palestra de professora Francesa”, notícia que foi publicada no “O Estado de São Paulo em 15/08/1962 . Foi conferencista sobre a Matemática Moderna no Ensino, em 1965, que aconteceu devido ao convênio do GEEM com a Secretaria da Educação, a Universidade Mackenzie e a Embaixada Francesa. Ela retornou ao Brasil em 1968 a convite do GEEM para novamente dar palestras aos professores primários e secundários (NAKASHIMA, 2007, p.101).
5–CONCLUSÃO
A geometria proposta na coleção “Curso Completo de Matemática Moderna para o Ensino Primário” aparece de forma gradual, de acordo com os volumes da coleção. Constatamos, no primeiro volume, uma abordagem sem conceitos formais, apenas com a
percepção das formas e figuras, cujo objetivo era levar as crianças a perceberem e diferenciarem essas formas. À medida que avançamos nos volumes, o conteúdo além de se ampliar, é abordado com mais conceitos e definições.
Notamos que, em virtude da influência da Matemática Moderna e da modernização do ensino proposta pelas autoras, os conteúdos possuem características do movimento, tais como a utilização da teoria de conjuntos em alguns conteúdos, como apresentamos anteriormente na análise da coleção. Na coleção também encontramos os sólidos e suas planificações, que são marcas de uma matemática moderna.
As autoras instruem os professores que ao ensinar a Geometria, façam desenhos em quadros, planificações em cartolina para construção do sólido em sala e com a criança, exemplifiquem os conceitos com objetos da própria sala de aula, para que haja um melhor entendimento dos conceitos apresentados.
6–REFERÊNCIAS
ARRUDA, J. P. Histórias e práticas de um ensino na escola primária: Marcas e
Movimentos da Matemática Moderna. Doutorado em Educação Científica e Tecnológica – Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 2011.
CHARTIER, R. A história cultural – entre práticas e representações. Lisboa: DIfiel; Trad, Maria Manuela Galhardo. Rio de Janeiro: Bertrand Brasil, 1991
CHOPPIN, A. O manual escolar: uma falsa evidência histórica. Pelotas/RS: História da
Educação, ASPHE/FaE/UFPel, vol 13, n.27 p.9-75, Jan/Abr 2009.
Disponível em http//fae.ufpel.edu.br/asphe. Consulta: Julho de 2015.
DUARTE, A. R. S. Um olhar sobre a Matemática nos programas de Ensino Primário de Minas Gerais de 1965. In: SEMINÁRIO TEMÁTICO, XI, 2014, Florianópolis – Santa Catarina.
NAKASHIMA, M. N. O Papel da Imprensa no Movimento da Matemática Moderna. Mestrado em Educação Matemática – Pontíficia Universidade Católica, São Paulo, 2007.
SOARES, M. G. A aritmética de Lourenço Filho: Um estudo sobre as dinâmicas de transformações do saber escolar em face de uma nova pedagogia. Mestrado em Ciências – Universidade Federal de São Paulo, Guarulhos, 2014.
