ESTIMAÇÃO DA VOLATILIDADE EX-POST APLICADA À SÉRIE DE
PREÇOS DE ENERGIA ELÉTRICA
Marcelo Rubens dos Santos do Amaral, M.Sc. Professor assistente do Depto. Estatística – IME-UERJ
Doutorando do Programa de Planejamento Energético – COPPE – UFRJ,
Centro de Tecnologia – Sala C-211 – Cidade Universitária – C.P. 68565 – 21945-970 – Rio de Janeiro – RJ – e-mail: rubens@ppe.ufrj.br
Mestrando em Métodos Matemáticos em Finanças – IMPA Lúcio Guido Tapia Carpio, D.Sc.
Professor do Programa de Planejamento Energético – COPPE – UFRJ, e-mail: guido@ppe.ufrj.br
RESUMO
O setor elétrico brasileiro atravessou uma crise de oferta durante a transição entre o modelo estatal/monopolista para um ambiente de competição. Uma das medidas anunciadas pelo governo para corrigir algumas disfuncionalidades altera o processo de despacho e formação do preço. Neste artigo analisamos a adequação de dois modelos de volatilidade oscilantes no tempo, quais sejam EWMA e GARCH(1,1), aplicados à série de preços de energia elétrica, observada antes da mudança no processo de preços, e, considerando que a competição seja mantida, os modelos heterocedásticos deverão conduzir ao gerenciamento de riscos mais apropriados que os obtidos através do modelo de Black-Scholes-Merton. PALAVRAS-CHAVE: Modelo de Alisamento Exponencial; modelo GARCH; e modelo de Black-Scholes-Merton.
ABSTRACT
During the restructuring to a competitive framework, the brazilian electrical industry has recently emerged from a crisis in suplying energy. Some changes was taken by government trying to repair the progress of the reform, and one of them deface the pricing model of electrical energy. This article analyses two models to assess volatility with heteroscedasticity: EWMA and GARCH in a period before changes. Considering the conservation of the competitive framework both models shall give better results than ones given by Black-Sholes-Merton Model in risk management.
KEY-WORDS: Exponentially Weighted Moving Average Model; Generalized Autorregressive
Conditional Heteroscedasticity Model; and Black-Scholes-Merton Model
1 - INTRODUÇÃO
A recente perda de capacidade de investimento do Estado brasileiro, assim como a opção econômico-política do governo brasileiro de reformulação do modelo institucional do setor elétrico, entre outros fatores, teve como conseqüência o início das profundas mudanças nos mecanismos de regulação e de mercado na indústria de energia elétrica.
Contrapondo o modelo monopolista/estatal anterior, a exemplo do que vem acontecendo em muitos países, a reforma apresenta como paradigma a introdução de mecanismos de mercado, induzindo à eficiência do setor através da introdução da competição entre os agentes de geração e comercialização, vislumbrando a perspectiva de transferência da tarefa de aumento da capacidade instalada para a iniciativa privada.
Muitas das recomendações da consultora [11] contratada pelo Ministério das Minas e Energia de cunho institucional foram adotadas, a maioria inspirada no modelo da reforma do setor elétrico do Reino Unido, destacando-se a separação das atividades de geração, transmissão, distribuição e comercialização; criação de um Operador Nacional de Sistemas (ONS); criação de um órgão regulador específico para o setor – a Agência Nacional de Energia Elétrica (ANEEL); criação do Mercado
Atacadista de Energia (MAE); e manutenção, num primeiro momento, do sistema centralizado de operação (tight pool). Uma discussão e relatos mais detalhados da sucessão de fatos marcantes deste processo de reforma podem ser encontradas em [16].
A nova estrutura abre espaço para a empresa comercializadora de energia elétrica que
normalmente não possui ativos de geração ou distribuição1 e intermediará contratos de compra e venda
de energia, devendo ser aprovada pela ANEEL. Caberá aos agentes geradores, comercializadores e investidores a administração da complexa relação risco versus retorno na nova configuração do setor elétrico, através da determinação ou mensuração adequada dos riscos em novos investimentos e dos riscos envolvidos na precificação de contratos e o conseqüente desenvolvimento de instrumentos financeiros de proteção e gerenciamento desses riscos.
Os riscos nas decisões de investimentos e níveis de contratação no setor elétrico podem ser avaliados e valorados através de modelos análogos aos utilizados na avaliação de contratos derivativos do mercado financeiro. Como exemplo, podemos citar o tão famoso e premiado modelo de
Black-Scholes-Merton [8 e 14]2 para determinação do valor de contratos de opções. Neste, e em qualquer
outro modelo, o componente básico da análise é o processo estocástico que supõe-se que tenha gerado e continuará regendo a evolução do preço do ativo subjacente, no nosso caso o preço da energia elétrica, que se constitui no assunto central em análise neste artigo.
Existem muitos procedimentos de análise de investimentos sob incerteza já desenvolvidos para distintos setores produtivos, com cada um deles adaptado e apropriado ao tipo de incerteza específica que envolve cada mercado em questão. No mercado de energia elétrica não seria diferente, sobretudo na caso brasileiro com características bastante distintas de outros países onde o setor também encontra-se em reestruturação, tais como Chile, Inglaterra, Argentina, Austrália, Noruega, Colômbia, Nova Zelândia e algumas regiões dos EUA como a Califórnia e a Costa Leste [7]. O Brasil distingue-se por possuir um parque gerador com 90% da capacidade instalada de origem hidráulica, caracterizado por grandes reservatórios com capacidade de regulação plurianual, estruturada em cascatas complexas sobre várias bacias hidrográficas [10].
Nos EUA e na Inglaterra, onde a produção é predominantemente formada por usinas térmicas, o sistema de preços está baseado na interação competitiva entre a oferta e a demanda. Decorrente das características do sistema hidrotérmico brasileiro com decisões a serem tomadas em diversos horizontes de tempo, o preço estabelecido no MAE foi baseado no Custo Marginal de Curto Prazo (CMCP), tendo sido calculado por uma cadeia de programas de otimização do sistema.
As decisões nos sistemas hidrotérmicos são acopladas no tempo, visto que o despacho do sistema deve ser determinado considerando-se as conseqüências futuras de cada decisão, ou seja, deve-se quantificar e internalizar ao modelo de despacho os custos futuros de combustíveis e eventuais déficits. Essa característica pode ser exemplificada na seguinte situação: se utilizarmos, no presente, muita água dos reservatórios e futuramente acontecer um período mais seco, provavelmente será necessária a utilização da geração térmica (de custo maior) para o atendimento da demanda e ainda com o risco de não atendimento dessa demanda. A figura 1 ilustra este processo de decisão.
1 Cabe à ANEEL evitar a prática de subsídios cruzados em situações em que a comercialização é desenvolvida associada a uma empresa de geração ou distribuição.
2 Os autores receberam o Prêmio Nobel de economia no ano de 1997, em reconhecimento ao enorme impacto e utilização prática de seus desenvolvimentos para a análise de contratos de opção. A denominação do modelo ‘Black-Scholes-Merton’ segue a argumentação apresentada em [19].
Figura 1 - Processo de Decisão para Sistemas Hidrotérmicos [17]
Os outros aspectos a serem destacados do sistema hidrotérmico (brasileiro) são: devido à aleatoriedade das afluências, o problema é essencialmente estocástico; na presença de muitos reservatórios e necessidade de discretização multiperíodo o sistema se torna de grande porte; existem não-linearidades implícitas devido às funções de custo de operação das usinas térmicas e às funções de produção de energia das hidráulicas; e necessidade de se considerarem os usos múltiplos da água.
De acordo com o documento “Visão Geral das Regras do MAE” [5], a partir da 3ª e última
etapa de implementação das regras do MAE – cujo início era previsto para 01/01/2002 – o processo de formação do preço do MAE (preço spot) seria dividido em quatro etapas, conforme figura 2. Esta figura apresenta os principais modelos eletroenergéticos desenvolvidos pelo Centro de Pesquisas de Energia Elétrica (CEPEL), também adotados pelo ONS para a determinação da programação e despacho de geração do sistema.
Dados do Planejamento de Longo Prazo
Programa NEWAVE
Valores da Água Mensais Agregados
Programa DECOMP
Valores da Água Semanais por Reservatório
Programa DESSEM
Valores da Água Horários por Unidade Geradora Séries de Afluência
Previsões Mensais e Semanais de Vazões
Previsão de Carga
Previsão Horária de Vazões
Previsão de Carga de Longo Prazo
Disponibilidade de Geração Térmica Custos de Operação
Previsão de Carga Horária
PREÇO SPOT
Figura 2 - Cadeia de Modelos de Otimização - Fonte: referência [5]
Em 1999 foram firmados os contratos iniciais com a definição dos valores de energia e potência a serem transacionados entre geradoras e distribuidoras até o ano de 2006, sendo definido
ainda que, a partir do ano de 2003, haveria uma redução paulatina de 25% ano a ano da energia inicialmente contratada. O Acordo de Mercado [15] estabelecido no âmbito do MAE definiu regras de contratação livre bilateral para a energia “nova” a ser transacionada no mercado.
Convém observar que, apesar de a análise de risco e do processo de formação do preço ser um assunto de interesse dos agentes privados, ela também é de interesse dos agentes governamentais responsáveis por toda a cadeia de planejamento do setor, haja vista a parceria intencionada do estado com a iniciativa privada para o atendimento da demanda de um bem de característica pública como a energia elétrica.
Até agora vínhamos relatando um processo imaginado de transição inicialmente planejado.
Entretanto, recentemente, no dia 9 de janeiro de 2002, o Comitê de Revitalização do Setor Elétrico3
anunciou um plano para revitalização do setor elétrico com mudanças que alteram o curso inicial da reforma do setor. As causas estão direta ou indiretamente relacionadas sobretudo à crise de oferta pela qual atravessa o setor desde março de 2001 e a paralisia do MAE.
O plano anunciado visa4 corrigir as disfuncionalidades e propor aperfeiçoamentos para o
modelo do setor, preservando, como princípio, os pilares da reforma, quais sejam: a competição nos segmentos de geração e comercialização; investimento privado; e qualidade dos serviços. Entre as medidas de implementação imediata anunciadas encontram-se: o aperfeiçoamento do processo de despacho e formação de preço e a implementação da oferta de preços.
Num artigo anterior [4] questionamos a decisão do Comitê, e, com base em uma modelagem econométrica, promovemos uma análise e reflexão críticas dos argumentos que justificaram a adoção da referida alteração num contexto da reforma do setor e da crise de oferta de energia elétrica pela qual atravessou o país recentemente, concluindo ser desnecessário realizar mudanças radicais como aquelas propostas, na regra do “jogo” com ele em andamento, sobretudo levando-se em consideração que o modelo anterior, com preços calculados com base nos custos marginais de curto prazo, era compatível com a formulação teórica de um mercado competitivo, entre outros aspectos importantes.
A despeito da crítica anterior e outras que possam ter surgidas e/ou ainda por vir, o fato é que o modelo de formação de preços no mercado elétrico brasileiro irá sofrer alterações que deverão impactar os estudos e análises de projetos de investimentos já realizados assim como as análises em elaboração além de outras ainda por realizar. Isso porque uma das formas de se modelar o comportamento dos preços se processa através da análise de dados históricos procurando reproduzir no futuro as características predominantes do passado. No entanto isso pressupõe uma manutenção das condições iniciais.
Com a introdução de um mecanismo de ofertas de preços no novo modelo, aumentam a complexidade e as incertezas nas projeções de preços futuros; no entanto, podemos supor que o novo modelo deverá ser capaz de mitigar as possibilidades de que haja exercício de poder de mercado, caso contrário estaria corroído um dos pilares da reforma, ou seja, o modelo competitivo, porém anunciadamente isto não está nos propósitos do Comitê de Revitalização. Com base na hipótese de manutenção do ambiente competitivo, os preços no novo modelo deverão convergir para os custos marginais de curto prazo conforme reza a teoria competitiva.
Apoiados, ainda, na hipótese de convergência dos preços nos dois modelos poderemos então analisar o histórico de preços atual e supor que as características estatísticas desta análise continuarão servindo de ponto de partida para precificação de contratos derivativos de energia elétrica e para as demais análises de riscos dos projetos de investimentos. Neste artigo estimamos a volatilidade ex-post da série histórica mensal dos retornos associados aos preços do MAE para o subsistema sudeste com base em dois modelos estatísticos: o modelo GARCH(1,1) (Generalized Autorregressive Conditional heteroscedasticity) e o EWMA (Exponential Weighted Moving Averages), também conhecido como modelo de Alisamento Exponencial. Trata-se de dois modelos largamente difundidos no meio acadêmico e no mercado financeiro, pois reproduzem de forma simples características observadas nas
3 Criado pela Resolução no 18 da GCE (Câmara de Gestão da Crise de Energia - criada em 14 de maio para coordenar as ações governamentais durante a crise de energia), de 22/6/2001. Contou com a assessoria da PSR Consultoria, concorrente do CEPEL para a construção de modelos de otimização.
séries de preços de commodities. Em seguida, avaliamos sua adequação à série de preços de energia elétrica no mercado brasileiro.
2 – A VOLATILIDADE NOS MERCADOS FINANCEIROS E SUA IMPORTÂNCIA NO MERCADO ELÉTRICO APÓS A REESTRUTURAÇÃO5
No mercado financeiro, o termo volatilidade é usualmente designado como um parâmetro de risco associado aos retornos dos investimentos; mais específica e tecnicamente trata-se do desvio-padrão, ou seja, um parâmetro da distribuição de probabilidade associada aos retornos, que mede a dispersão ou espalhamento da distribuição.
No contexto de administração de carteiras, o risco relevante é aquele que não pode ser reduzido ou protegido (hedged) através da diversificação, e na terminologia do modelo de apreçamento de ativos de capital (CAPM) traduz-se no ‘beta’ da carteira. Alternativamente, quando o interesse repousa no apreçamento de contratos derivativos, o risco que importa é aquele associado aos preços do ativo subjacente ao contrato. No caso particular de um contrato de opção, o que importa para a sua precificação ‘justa’ é a volatilidade dos movimentos de preço do ativo subjacente, e não o
nível ou tendência dos preços6, visto que, seja qual for a tendência dos preços, uma posição em um
contrato de opção pode estar protegida com uma posição apropriada na quantidade do ativo. Assim sendo, a estimação e previsão da volatilidade é um determinante crucial na modelagem de riscos financeiros de contratos derivativos7, pois:
• Comercializadores interessados em emitir, e conseqüentemente apreçar contratos derivativos, precisam prever a volatilidade do processo de preços ao longo do tempo de vida do contrato;
• O gerenciamento de suas posições, que é baseado em proteção ótima (optimal hedging), também requer previsão de volatilidade, sobretudo no curto prazo;
• As previsões de volatilidade para todos os possíveis fatores de risco nos mercados são necessárias para liquidar posições e calcular o risco de mercado de capital total para a firma inteira;
• Para validar os modelos de apreçamento e de proteção usados no gerenciamento de riscos e controle de funções também são necessárias previsões de volatilidade.
A volatilidade não é uma variável diretamente observada no mercado tal qual os preços; ela só pode ser estimada no contexto de um modelo. O modelo de Black-Scholes-Merton pressupõe que o processo de preço adjacente é um movimento geométrico Browniano, que apresenta uma volatilidade constante ao longo do tempo. Esse processo estocástico para o preço pressupõe ainda que os retornos têm distribuição lognormal de probabilidades, ou seja, sob o sistema de capitalização contínua a juros compostos, a taxa de retorno associada à evolução do preço deve ter uma distribuição normal (gaussiana) de probabilidades.
De fato, muitos trabalhos empíricos têm constatado que a distribuição das taxas de retorno associadas a preços de commodities tem distribuição parecida com a distribuição normal; no entanto geralmente com ‘caldas pesadas’ e, além disso, argumenta-se costumeiramente que a volatilidade dos preços costuma flutuar com o passar do tempo. Assim, em períodos de tranqüilidade ela apresenta valores baixos, enquanto que em períodos de ´turbulência´ dos mercados a volatilidade se eleva. Algumas dessas argumentações, que são abordadas e verificadas em [2, 6, 18], tornam o modelo de Black-Scholes-Merton impreciso sob o ponto de vista dos seus pressupostos, e tornaram-se a razão de uma intensa movimentação acadêmica na busca pelo modelo que melhor representa o processo
5 Os aspectos destacados para os mercados financeiros desta seção estão fortemente influenciados nos argumentos apresentados no capítulo 1 de [1].
6 Este fato pode ser constatado também através da fórmula de Black-Scholes-Merton para o preço de opções européias.
7 De importância semelhante, poderíamos assinalar, vem a estimação das correlações apropriadas para o gerenciamento de riscos de carteiras.
estocástico adjacente aos preços e suas respectivas volatilidades. Desse esforço resultou a popularidade dos modelos GARCH(1,1) e EWMA, pois cada um reproduz ao seu modo algumas das características empíricas mais freqüentemente assinaladas ao comportamento dos preços de commodities de forma simples.
A determinação do mecanismo gerador probabilístico da série de preços de energia elétrica é muito importante, pois trata-se do principal componente do risco do mercado de energia elétrica devido ao seu comportamento altamente volátil como destacado em [13] e, adicionalmente, a
modelagem do processo estocástico para o preço de eletricidade conforme reconhecido por [10] deve
conduzir a modelos mais consistentes que os já apresentados para o setor elétrico, possibilitando outros tipos de sensibilidades com as variáveis relacionadas ao problema de gerenciamento de riscos.
Um caso típico de aplicação de um modelo de volatilidade para o setor elétrico seria na determinação do nível ótimo de contratação de energia, e conseqüentemente o nível de exposição ao preço spot (preço no MAE) que cada agente deverá decidir num ambiente competitivo, além, é claro, na determinação dos preços da energia a serem transacionados nos contratos.
Devido à crise de oferta que atravessou o setor elétrico brasileiro a partir de meados do ano de 2001, iremos aplicar os modelos intencionados a série de preços somente no período disponível nas fontes coletadas até a data de junho de 2001. Os dados podem ser visualizados no gráfico 1 e demonstram um comportamento que indica uma volatilidade que oscila com o tempo.
Gráfico 1 - Evolução mensal dos preços de energia elétrica em valores constantes (R$ de jun/2001) - submercado Sudeste
0 100 200 300 400 500 600 700 800
ago/95nov/95 fev/96mai/96ago/96nov/96 fev/97mai/97ago/97nov/97 fev/98mai/98ago/98nov/98 fev/99mai/99ago/99nov/99 fev/00mai/00ago/00nov/00 fev/01mai/01
Fonte: ONS - Seminário Futuros - BVRJ - Nov/99 (Até set/99); ANEEL (nov/99 até ago/00); ASMAE (apartir de set/00) http://www.asmae.com.br/precos - deflacionado pelo INPC/IBGE item energia elétrica
Constata-se pelo gráfico 2 que a distribuição observada das taxas de retorno também tem distribuição com ‘calda pesada’, quando comparado com a distribuição normal teórica de mesma média e desvio-padrão. Portanto, aparentemente a série de preços de energia elétrica apresenta o mesmo comportamento empírico quanto à forma da distribuição, assinalado à série de preços de outras commodities.
Gráfico 2 - Distribuição das taxas de retornos históricos (preço MAE/SE) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 -4,7 -4,05 -3,4 -2,75 -2,1 -1,45 -0,8 -0,15 0,5 1,15 1,8 2,45 3,1 3,75 4,4 5,05 Mais Observado Normal
Dividimos a série de taxas de retorno em duas séries seqüenciais de tamanhos iguais, e comparamos as variâncias dos dois períodos para verificar a hipótese de homocedasticidade (variância constante); o resultado foi bastante conclusivo para rejeição da hipótese nula a níveis de significância bastante inferiores a 1%. Assim sendo, podemos concluir que a variância mudou de um período para o outro, sendo esta mais uma semelhança entre a série de preços de energia elétrica e outras séries de preços de commodities.
tabela 1 - Teste-F: duas amostras para variâncias
Período 1 Período 2 Média 0,01075636 0,086791868 Variância 4,39273394 0,534773285 Observações 34 34 gl 33 33 F 8,214198548 P(F<=f) uni-caudal 1,36245E-08 F crítico uni-caudal 1,787821446
Período 1: de NOV/1995 a AGO/1998 Período 1: de SET/1998 a JUN/2001
3 – OS MODELOS EWMA E GARCH8
Estes dois modelos se propõem a identificar um processo de formação das volatilidades através de equações paramétricas que condicionam o valor atual da volatilidade aos seus valores observados no passado. Da acordo com a filosofia de modelagem em que se baseiam esses dois modelos, eles podem ser classificados como modelos de séries temporais do tipo mais tradicional de decomposição da componente não observável de tendência tal qual na classificação estabelecida em [3]. São, portanto, alternativas ao modelo de volatilidade homocedástica onde o processo de evolução temporal da volatilidade poderia ser encarado como um passeio aleatório com choques independentes, de tal sorte que o valor esperado da volatilidade seria constante ao longo do tempo.
Sob a hipótese de homocedasticidade, a taxa de retorno em cada instante de tempo seria o valor rt, tal que:
1 t r t 1 t P e P = +
+ , onde Pt é o preço da commodity no instante de tempo t.
Decorre que:
= −1 t t t P P ln r
Assim, de acordo com o suposto no modelo de Black-Scholes-Merton, se os retornos Pt/Pt-1
têm distribuição lognormal, então as taxas de retorno terão distribuição normal (rt é independente e
identicamente distribuído - iid - N(µ,σ2)), e teríamos as seguintes alternativas para os estimadores da
variância (quadrado da volatilidade) da taxa de retorno no instante t:
• Estimador não tendencioso:
1 m ) r r ( ˆ m 1 n 2 n 2 t − − =
σ
∑
= , onde m é o número de retornoshistóricos observados e m r r m 1 n n
∑
= = (valor médio);• Estimador de máxima verossimilhança:
m ) r r ( ˆ m 1 n 2 n 2 t
∑
= − = σAssumindo que as taxas de retorno têm média zero9 e tomando-se por base o estimador de
máxima verossimilhança temos:
∑
∑
= = = = σ m 1 n 2 n m 1 n 2 n 2 t m m1 (r' ) ) ' r ( ˆEste estimador é uma média aritmética simples de uma função das taxas de retorno, pois atribui peso igual (1/m) para todas as observações passadas das taxas de retorno. Os modelos alternativos, que levam em consideração a hipótese de heterocedasticidade para a evolução das taxas
de retorno, ou seja, rt é independente porém com distribuições N(µ,σt2) a cada instante de tempo t,
podem ser formulados como um esquema análogo ao anterior porém atribuindo pesos diferentes para as observações passadas da mesma função das taxas de retorno. Assim teremos:
∑
= α = σ m 1 n 2 n 2 t ( 'r ) ˆ , onde 1 m 1 n = α∑
=O modelo de alisamento exponencial (EWMA) consegue fazer isso através da seguinte equação recursiva para a evolução da volatilidade:
2 t 2 1 t 2 t ˆ (1 ) (r' ) ˆ =λ⋅σ + −λ ⋅ σ − (1)
Fixando σˆ02 =(r'1)2 e desenvolvendo-se recursivamente a equação anterior (fazendo
t=1,...,m) teremos: 2 1 1 m 2 2 t 2 2 1 t 2 t 2 t (1 ) (r' ) (1 ) (r' ) (1 ) ( 'r ) ... ( 'r ) ˆ = −λ ⋅ +λ −λ ⋅ +λ −λ ⋅ + +λ ⋅ σ − − −
Ou seja, é uma média ponderada das observações passadas da função de 'rt com pesos que
somam um e decaem exponencialmente com a idade da observação (desde que λ <1). A estimação do parâmetro é realizada tomando como critério a minimização do erro de previsão (1 passo a frente) quadrático total. Como as previsões são baseadas na repetição do último valor estimado, com base na equação (1), a função objetivo a ser minimizada será:
Minimize em λ:
∑
= − σ − = λ m 2 i 2 2 1 i 2 i) ˆ ] ' r [( ) ( EPT 9 Considera-se a transformação r' r r tAlternativamente, os modelos GARCH originalmente propostos por [9], numa de sua versões mais simples (GARCH(1,1)) pressupõem um esquema de ponderação que também inclui algum peso à volatilidade de longo prazo (V):
2 1 t 2 1 t 2 t V ˆ (r' ) ˆ =γ⋅ +α⋅σ − +β⋅ −
σ , onde os pesos γ, α, β somam 1.
O critério utilizado para estimação dos parâmetros é o de maximização da função de verossimilhança, onde, assumindo-se que as taxas de retorno têm distribuição normal com variância condicionada às observações passadas de acordo com a equação anterior, a função a ser maximizada será:
Maximize em (γ,α,β):
∑
= σ − σ − = β α γ m 2 i i 2 i i) rˆ' ˆ ln( ) , , ( l Sujeito a: α≥0; β≥0; V≥0 e α+β≤1 4 - RESULTADOS, ANÁLISES E CONCLUSÕESProcedemos às estimativas dos parâmetros para ambos os modelos de acordo com os procedimentos descritos utilizando-se o software Excel através do suplemento SOLVER e os resultados foram: EWMA: λ=0,885348
GARCH(1,1): α=0,801693; β=0,198307 e V=0,001999 (o parâmetro γ é obtido indiretamente como
função dos demais parâmetros)
Os parâmetros α e β do modelo GARCH somam 1, caso em que [12] sugere que seja utilizado
o modelo EWMA visto que o modelo GARCH com essa característica não apresenta estabilidade.
G ráfico 3 - E v olução dos re tornos históricos x E WM A
-6 -4 -2 0 2 4 6 nov/95fev/9 6 mai /96 ago/ 96 nov/96fev/9 7 mai /97 ago/ 97 nov/97fev/9 8 mai /98 ago/ 98 nov/98fev/9 9 mai /99 ago/ 99 nov/99fev/0 0 mai /00 ago/ 00 nov/00fev/0 1 mai /01 tax as de retornos obs erv adas MM5
tax as de retornos Simul.(EWMA )
Procedemos a uma simulação considerando-se as distribuições de probabilidade indicadas pelos valores estimados para a volatilidade e os resultados foram plotados nos gráficos seguintes:
G rafico 4 - E v olução das taxas de re torno históricos x G AR C H (1,1) -6 -4 -2 0 2 4 6 nov /95 mar /96 jul/9 6 nov /96 mar /97 jul/9 7 nov /97 mar /98 jul/9 8 nov /98 mar /99 jul/9 9 nov /99 mar /00 jul/0 0 nov /00 mar /01
tax as de retornos obs erv adas MM5
tax as de retornos Simul.GA RCH(1,1)
Para verificar a distribuição das taxas de retorno simuladas com base nos modelos EWMA e GARCH(1,1) apresentamos o gráfico seguinte:
Gráfico 5 - Simulação Monte Carlo GARCH(1,1) e
EWMA
0 2 4 6 8 10 12 14 -3,5 -3 -2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 Mais GARCH(1,1) EWMAEmerge da análise do gráfico anterior que os modelos de volatilidade heterocedásticos reproduzem em parte a característica de ‘cauda pesada’, portanto devendo conduzir a análises de riscos e precificações mais apropriados que o modelo homocedástico baseado na fórmula de Black-Scholes-Merton. Entretanto esta característica não parece reproduzir fidedignamente o ´peso´ da cauda observada no gráfico 2 em que se percebe uma concentração maior de valores entre –0,8 e 1,15.
A análise dos resultados não pode ser muito mais objetiva que a anteriormente apresentada pois, conforme mencionamos anteriormente, a volatilidade não é uma variável observável no mercado e só pode ser estimada no contexto de um modelo. Contudo, a inspeção visual das evoluções das taxas de retorno e seus histogramas (gráficos 2, 3, 4 e 5) comparados com as taxas de retorno observadas indica que há espaço para a busca de modelos mais ajustados às distribuições oriundas dos preços de energia elétrica.
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[17] – Silva E. L. (2001), “Formação de Preços em Mercados de Energia Elétrica”, Editora Sagra Luzzato.
[18] – Sobrinho, N. F. S., (2001) “Extração da Volatilidade do IBOVESPA”, artigo técnico publicado na resenha BM&F – no. 144 – março/abril
http://www.bmf.com.br/pages/Publicacoes1/ArtigosTecnicos/Resenha%20144/144_EXTRACAO.EXE
[19] – Volchan, S. B., (1999) “Modelos Matemáticos em Finanças: Avaliação de Opções”, Revista Matemática Universitária Nº 26/27 – junho/dezembro – pp. 67-121.
